ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL · Polos Dominantes:-2 2i Controlador Método del LGR....

ESCUELA SUPERIOR

POLITÉCNICA DEL LITORAL

“MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN

SISTEMA DINÁMICO MEDIANTE EL USO DE

COMPONENETES ANÁLOGOS”

Autor

Roberth Tinoco

Director

Ing. Eduardo Orces

Contenidos

1. Introducción

2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema

3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control.

4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.

5. LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.

6. Conclusiones y Recomendaciones.

Problema interesante desde el punto de

vista de control.

Ilustra muchas de las dificultades

asociadas con problemas de control del

mundo real.

Introducción

Control mediante el empleo decomponentes simples análogos

Introducción

Aplicaciones análogas:

• Robótica.

• Posicionamiento satelital con respecto a la

tierra.

• Plataforma para el lanzamiento de cohetes

• Estabilidad de Grúas y edificios, etc.

Introducción

Definición: Consiste enun péndulo que giralibremente por uno de susextremos mediante unaarticulación situada sobreun carro que se muevesobre una guía rectilíneabajo la acción de una

Fuerza de Control.

Objetivo

Construir el prototipo utilizando un bajo

presupuesto

• Diseñar estructuralmente el sistema

• Elegir sensores y actuador.

• Uso de componentes análogos

Controlar el sistema

• Simular distintos controladores lineales

usando MATLAB y SIMULINK

• Implementar controlador mediante LQR

Contenidos

1. Introducción

2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema



5.LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.


Modelado Dinámico del Sistema

0

1x

mg0

00x

Bo

0bx

0mI

mmM2


Modelado en SIMULINK


q

bmgS

q

mgmMBbS

q

mIbmMBS

Sq

m

sU

s

22

3

Donde:22 mmImMq


Determinación de los Parámetros Físicos:

mM4

mMg32n

Parámetro Descripción Valor

M Masa del Carro 0.425 Kg.

m Masa del Péndulo 0.270 Kg.

l Longitud del Péndulo 0.33 m.

b Constante de amortiguamiento

debido al Carro

0.1 N/m/s.

B Constante de amortiguamiento

debida al Péndulo

0.05

N.m/rad/s.


9.229 s

-----------------------------------------------

s^3 + 7.402 s^2 - 61.83 s – 9.045

Sistema a Lazo Abierto:


Modelado en el Espacio de Estados:

X

X

4

3

2

1

3

1

2

1

Xy

yy

q

mI

0q

m0

q

mIb0

q

Bmg

q

m

1000q

bm0

q

mMBg

q

mmM0010

2

4

3

2

1

22

4

3

2

1

.0

0.

0100

0001

y

y

4

3

2

1

2

1


Sistema a Lazo Abierto:


Modelado en SIMULINK


Estrategia de Control

Conjunto Carro-

Péndulo

Sensor

Amplificador mas

Actuador

Potencia

Externa

Señal Proporcional a

las Variables de

Salida

Contenidos

1. Introducción

2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema.





Diagrama de Bloques:

CONTROLADOR

K(S)

PLANTA

G(S)

r(S) = 0

+

+

+-

(S)U(S)e(S)

Fd(S)

Diagrama de Bloques Simplificado:

PLANTA

G(S)+-

(S)U(S)Fd(S)

CONTROLADOR

K(S)

sFsGsK1

sGs d

Controlador Método del LGR

Trazo del LGR:

Cero =

0

Polos =

-12.2973

5.0828

-0.1418


Especificaciones de Desempeño:

22

4

t

4

2% del criterio 44

t

s

ns

Tiempo de asentamiento:

1/ 2

e=05.0 7.0≈

Sobrepaso Máximo:

Polos Dominantes:-2 2i


Ley de Control PID:

Compensador PD:

Sistema no compensado hasta el polo dominante compensado

deseado es -173.12º.

100ssGPD

s

5.0ssGPI

Compensador PI:

Cualquier compensador integral ideal cero funcionará, mientras el

cero se coloque cerca del origen


Ley de Control PID:

k = 0.0951

ceros = 0 , 0

polos = 0 , -4.2118, -2.0024 +/- 2.0244i


Ley de Control PID:


Ley de Control PID:

RESPUESTA

A LAZO

CERRADO

SOBRESALTO TIEMPO DE

ESTABLECIMIENTO

ERROR

EN

ESTADO

ESTABLE

Kp Incrementa No altera Disminuye

Ki Incrementa Incrementa Incrementa

Kd Disminuye Disminuye No altera


Ley de Control PID:

9.046 s^2

---------------------------------------------------

s^4 + 188.3 s^3 + 843.1 s^2 + 443.4 s

Kp= 100; Kd= 20; Ki=50


Diagrama de Bloques:

CONTROLADOR

K(S)

PLANTA 1

G1(S)

r(S) = 0

+

+

+-

(S)

U(S)

e(S)

Fd(S)

Diagrama de Bloques Simplificado:

+-

X (S)

U(S)Fd(S)

CONTROLADOR

K(S)

Análisis de la Variable no Controlada

PLANTA 2

G2(S)

X(S)

PLANTA1

G1(S)

PLANTA2

G2(S)

sGsK1

sG

sF

sx

1

2

d


Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada

Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada en SIMULINK

Contenidos

1. Introducción


3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control..




Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:

DCxy

BAxx

Controlabilidad: Un sistema es controlable en el tiempo to, si se puede

llevar de cualquier estado inicial X(to) a cualquier otro estado, mediante un

vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

BAABB 1n

Condición de Controlabilidad:

Matriz de Controlabilidad no singular

Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:

DCxy

BAxx

Observabilidad: Un sistema es observable en el tiempo to si, con el

sistema en el estado X(to), es posible determinar este estado a partir de la

observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Condición de Observabilidad:

Matriz de Observabilidad no singular

CACAC1n

Controlador por Ubicación de PolosDiseño por Ubicación de Polos:

DCxy

BAxx

Kx xBKAx 0xetx BKA

Los valores característicos de la matriz A-BK se denominan Polos

Reguladores

ABAABB1000K11n

IAAAA n1n1n

1n

Fórmula de Ackermann:

Donde

Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:

Kx

Polos:

-2+2*sqrt(3)*i,

-2-2*sqrt(3)*i,

-20,

-20

K =

[135.31 12.64 -72.20 -38.85]

x8.38x2.726.123.135

Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:

Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Completo:

Cxy

BAxx

El estado x se aproximará mediante el estado

x̂CyLBx̂Ax̂

x̂CCxLx̂AAxx̂x

x̂xLCAx̂x

Definiendo el error x -

0eLCAe

b

a

b

a

bbba

abaa

b

a

B

B

x

x

AA

AA

x

x

b

a

x

x

01y

ababaaaa BxAxAx

bbbbabab BxAxAx

Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:

Ecuación de salida

Ecuación de Estado

abaabaabbbabbb LBByLAALLAA~LAA~

Lyx~~b

Ecuación del Observador de orden mínimo:

Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:

L =

15.0940 -1.2452

78.9617 -16.6433

-1.7567 23.9477

-18.3909 145.4249

Contenidos

1. Introducción






Implementación Final LQRSelección del Actuador:

Implementación Final LQRSelección del Actuador:

t1Sene1

Xtx 2t

2

o

1cos

2

2

dt

xdmM

dt

dxbtF

)t(v)t(F)t(Pot

Potencia del Motor

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Tiempo (seg)

Po

ten

cia

(H

P)

MASA

AMORTIGUAMIENTO

POTENCIA

PotenciaPromedio 0.00836HP [6.23 watts]

PotenciaMáxima 0,12573HP [93.8 watts]

Implementación Final LQRModelo dinámico del Motor DC:

aa

12

a

212

0

a

2a1m erR.2

Kx

rR.2

KKx

r.2

J

R

Ke

r.2

K

r.2

JF

1a

ba

2

2

2c

m KR

dt

dKe

dt

d

n

JJ

erqR2

mIK

q

Bm

q

gmx

q

rR2

KKbmI

xa

21

22a

212

erqR2

Kmx

q

mrR2

KKb

gq

r2

JmMm

q

r2

JmMB

a

12

a

21

2o

2o

222

o mmIr2

JmMq

Donde:

Implementación Final LQRConexión dinámica Péndulo - Motor DC:

Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:

a

bb

a1

i

gLM2/1

i

TK

Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:

1Ke [voltios] ia [A] T [N.m] K1=T/ia

[N.m/A]

1,812 0,22 0,05978 0,27173 O,27173

3,230 0,44 0,11856 0,27173

2Ke [voltios] ia [A] [rpm] K2=e/

[V/rad/s]

6,3 0,18 370 0,16262 O,15584

12,0 0,19 700 0,16367

15,4 0,44 1080 0,14057

aRe [voltios] ia [A] [rpm] Ra=(e-K2)/ia [ ]

8,04 0,40 400 3,78 3,69

8,15 0,45 400 3,60

Implementación Final LQRCaja Reductora:

c

mopt

J

Jn

Inercia del Motor DC:

RLmmMR3/Lm4

2/gLmJ ppm

22p2

p2o

m

Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:

Inercia de Carga:

2pc r)mM(J 34.1

J

Jn

c

mopt

SqrR2

KNKmgS

q

r2

JmM

mgSq

rR2

KNKmI

S

SrqR2

NKm

SE

S

2a

2122

o

32

a

212

4

2

a

1

Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:

Implementación Final LQRParámetros Físicos del Sistema:

PARÁMETRO DESCRIPCIÓN VALOR

M Masa del Carro 0,435 Kg.

m Masa del Péndulo 0,270 Kg.

l Longitud media del Péndulo 0,165 m.

b Coeficiente de Fricción Viscosa del Carro 0,1 N.s/m

B Coeficiente de Fricción Viscosa del Péndulo 0,05 N.m/rad/s

K1 Constante del Par Motriz 0,27173 N.m/A

K2 Constante de la Fuerza Contra electromotriz 0,15584 V/rad/s

Ra Resistencia de Armadura del Motor 3,69

K Ganancia del Potenciómetro del Péndulo 1,637 V/rad

Kx Ganancia del Potenciómetro del Carro 4,244 V/m

d Diámetro de la Polea 0,075 m

n Reducción de la caja Reductora 1.5, 3, 7 , 10

Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :

control óptimo implica una equidad entre el desempeño y el costo

de control y busca minimizar el valor del índice de desempeño J.

dtR'Qx'x2

1J

0

El problema de minimizar J con respecto a la entrada de control u(t),

es conocido como el problema Regulador Cuadrático Lineal (LQR)

Teorema del Regulador Óptimo

P'BRK Kx -1opt

Ecuación de Riccati 0P'BPBRQP'APA 1


Driver del Motor DC


Matriz de Ganancias de Realimentación de Estados:

K = [87.7593 -31.6228 8.1430 -31.3855];

Matriz de Ganancias del Observador:

L =

7.8260 -0.5693

-0.5693 0.1786

Aplicando la igualdad de la ley de control y del estimador:

21 39.3114.8x91.4141.169

10.17x46.1482.1439.12462.13 211

96.3x18.535.2067.2742.0 212


Diagrama de Flujo de Señales del Compensador:

Implementación Final LQRCompensador Electrónico

Zona Muerta del Motor0V Si V2.1V

0V Si V8.1VV

in

inout

Conclusiones y Recomendaciones

Dispositivos físicos actúan en estado de saturación..

Limitación de ganancias que inciden en el estado de

saturación.

Reemplazo del driver analizado por un OPA-548.

Uso de aisladores y flitros para disminuir el rizado en las

señales provenientes de los sensores.

Uso de frenado dinámico por parte del motor.

Se delimita la region del actuador por inestabilizar el

sistema

La realimentación reduce el efecto de las perturbaciones y

modera los errores de modelado, no obstante ante la

presencia de perturbaciones y ruido en el sensor se debe

incluir:

• Desempeño de seguimiento.

•Reducir la sensibilidad a ruido en el sensor, ganancia

significativa en la región de baja frecuencia y mínima en la

región de alta frecuencia.

• Se debe delimitar la señal de control para futuras mejoras.

• Reducir la sensibilidad ante errores en el modelado.

• Establecer una estabilidad robusta.

Conclusiones y Recomendaciones

1. Potenciómetro

Lineal.

2. Cilindro Lineal sin

Vástago.

3. Péndulo Invertido.

4. Servopotenciómetro

rotacional.

5. Tarjeta de

Referencia

electrónica.

6. Trasductor de

Presión.

7. Válvula proporcional

5/3.

8. Unidad FLR.

9. Válvula de

Suministro.

10. Interfase electrónica.

11. PC del Ordenador.

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