Unidad 4Mtodo del Lugar Geomtrico de las RacesINGENIERA DE CONTROL MT221

1INGENIERA DE ONTROL MT221 FIM-UNI 2014

Introduccin y criterios para la construccin del LGRAplicaciones Programacin con Matlab

Temario2INGENIERA DE ONTROL MT221 FIM-UNI 2014Introduccin y criterios para la construccin del Lugar Geomtrico de las Races (LGR)1IntroduccinLa caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localizacin de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la localizacin de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto, es importante que el diseador conozca cmo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme vara la ganancia de lazo.

Zona estableZona inestableZona asintticamente estable4INGENIERA DE ONTROL MT221 FIM-UNI 2014Introduccin

num = [0 1 0]; %observe esta lnea de comandoden = [1 2 10];t=0:0.1:10;figure(1)step(num,den,t);gridtitle('Respuesta a un impulso unitario de G(s)')figure(2)rlocus(num,den)

-1 + j3-1 - j3KP=0KP=0KP=0tendenciaDe esta grficaCuando vara KPIntroduccinnum = [0 0 1]; %se modific el cdigoden = [1 2 10]; t=0:0.1:10;figure(1)step(num,den,t);gridtitle('Respuesta a un escaln unitario de G(s)')figure(2)rlocus(num,den)

-1 + j3-1 - j3KP=0KP=0tendenciaDe esta grficaCuando vara KPCondiciones previas en la construccin del Lugar Geomtrico de las Races

Condiciones de ngulo y magnitud. Considrese el sistema de la figura. La funcinde transferencia en lazo cerrado es

La ecuacin caracterstica para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo que el denominador del lado derecho de la Ecuacin (1) sea igual a cero. Es decir,Ecuacin (1)

o bienCondiciones previas en la construccin del Lugar Geomtrico de las Races

Ecuacin (2)Aqu se supone que G(s)H(s) es un cociente de polinomios en s. Luego:Condicin de ngulo:

Condicin de mdulo:

Ecuacin (3)Ecuacin (4)En muchos casos, G(s)H(s) contiene un parmetro de ganancia K, yla ecuacin caracterstica se escribe como

Zm son los ceros del sistemaPn son los polos del sistema

Condiciones previas en la construccin del Lugar Geomtrico de las RacesAnalizando un caso particular. Por ejemplo, si G(s)H(s) se obtiene mediante

090180-90 o 270Lo primero que hay que hacer es ubicarlos ceros (z1) y los polos (p1, p2 y p3)en el plano complejo con K = 0 (sincontrolador)

Con este valor de K = 0 se va probando laexistencia de las races del ngulo de GHde cumpla la condicin:Regiones de existencia del lugar geomtrico con K = 0

Condiciones previas en la construccin del Lugar Geomtrico de las Races009090180-90 o 270-90 o 270180Aplicando puntos de prueba s arbitrario en el plano complejo.

Condiciones previas en la construccin del Lugar Geomtrico de las Racesdonde -p2 y -p3 son polos complejos conjugados, el ngulo de G(s)H(s) es

donde 1, 1, 2, 3 y 4 se miden en sentidocontrario al de las agujas del reloj,como se muestra en la figura anterior. La magnitud de G(s)H(s) para este sistema es

donde A1, A2, A3, A4 y B1 son las magnitudes de las cantidades complejas s+p1, s+p2, s+p3, s+p4 y s+z1, respectivamente

Construccin del Lugar Geomtrico de las RacesPASOSConsidere el sistema de la figura y que K > 0

Para este sistema,

Dibuje la grfica del lugar de las races y despus determine el valor de K tal que el factor deamortiguamiento relativo de los polos dominantes complejos conjugados en lazo abiertosea 0.5. Construccin del Lugar Geomtrico de las RacesPrimeramente se tiene que especificar las condiciones de ngulo y de mdulo antes de iniciar el proceso de graficado del LGR.

Para el sistema dado, la condicin de ngulo es:

La condicin de magnitud es:

Construccin del Lugar Geomtrico de las Races1. Determinar los lugares de las races sobre el eje real.PASOSEl primer paso al construir una grfica del lugar de las races es situar los polos enlazo abierto, s = 0, s = -1 y s = -2, en el plano complejo.jxxs=-2s=-1s=0Para determinar los lugares de las races sobre el eje real en este caso en cuatro zonas deprueba, se selecciona un punto de prueba, s.

(1) Si el punto de prueba est en el eje real positivo, entoncesZona deprueba (1)Zona deprueba (2)Zona deprueba (3)Zona deprueba (4)xConstruccin del Lugar Geomtrico de las Races

jxxs=-2s=-1s=0Zona deprueba (1)Zona deprueba (2)Zona deprueba (3)Zona deprueba (4)xEsto demuestra que no es posible satisfacerla condicin de ngulo. Por tanto, no hay unlugar de las races sobre el eje real positivo.jxxs=-2s=-1s=0Zona deprueba (1)Zona deprueba (2)Zona deprueba (3)Zona deprueba (4)x

xxsatisface la condicin de ngulo, ya que

El LGR pasar por esta zona

Construccin del Lugar Geomtrico de las Racesjxxs=-2s=-1s=0Zona deprueba (1)Zona deprueba (2)Zona deprueba (3)Zona deprueba (4)jxxs=-2s=-1s=0Zona deprueba (1)Zona deprueba (2)Zona deprueba (3)Zona deprueba (4)xxxx

Se observa que no se satisface la condicin dengulo, ya que:

Se observa que si satisface la condicin dengulo, ya que:

El LGR pasar por esta zona

Construccin del Lugar Geomtrico de las Races2. Determinar las asntotas de los lugares de las racesLas asntotas de los lugares de las races, conforme s tiende a infinito, se determinandel modo siguiente. Si se selecciona un punto de prueba muy lejano al origen, entonces

y la condicin de ngulo se convierte en

Dado que el ngulo se repite a s mismo conforme K vara, los ngulos distintos para las asntotas se determinan como 60, -60 y 180.

Se necesita saber el punto de origen con el eje real de las trazas de dichas asntotas.Construccin del Lugar Geomtrico de las RacesComo

Aplicando la condicin de mdulo

Se puede determinar las ecuaciones de las rectas asntotas de la siguiente maneraSustituyendo s = + j en esta ltima ecuacin, se obtiene

o bieno bienConstruccin del Lugar Geomtrico de las Races

Aplicando la tangente a ambos lados de esta ltima ecuacin,

La construccin de las asntotas se puede apreciaren la figura adjuntaxxx123123Construccin del Lugar Geomtrico de las Races3. Determinar el punto de ruptura.Para dibujar con precisin los lugares de las races, se debe encontrar el punto deruptura, a partir del cual las ramas del lugar de las races que se originan en los polosen 0 y -1 (cuando K aumenta) se alejan del eje real y se mueven sobre plano complejo.

B(s) es el num de G(s)A(s) es el den de G(s)Se escribe la ecuacin caracterstica como

Los puntos de ruptura se encuentran Derivando dK/ds = 0Para el ejemplo actual, la ecuacin caracterstica G(s)H(s) + 1 = 0 se obtiene mediante

, donde

Resolviendo:

Construccin del Lugar Geomtrico de las RacesDado que el punto de ruptura debe encontrarse sobre el lugar de las races, es evidenteque s = -0.4226 corresponde al punto de ruptura real.xxxS = - 0.4226-2

Se descarta este valor de s = -1.5774 ya que origina un valor de K negativo4. Determinar los puntos en donde el lugar de las races cruza el eje imaginario.Estos puntos se encuentran mediante el criterio deestabilidad de Routh del modo siguiente. Dado que laecuacin caracterstica para el sistema actual es

La tabla de Routh:> 0K = 6

xxxS = - 0.4226-2Construccin del Lugar Geomtrico de las RacesLos puntos de cruce con el eje imaginario se encuentran despus despejando la ecuacinauxiliar obtenida de la fila s2; es decir,

..Otra manera de encontrar este valor es haciendo s = j en la ecuacin caracterstica,

Se igualan ambas parte a cero. Se tiene que:

5. Seleccionar un punto de prueba en una vecindad amplia del eje j y el origen,Construccin del Lugar Geomtrico de las Races

6. Dibujar los lugares de las races, tomandocomo base la informacin obtenida en los pasosanteriores, tal y como se muestra en la figura

Esto es para conocer la tendenciadel cambio de ubicacin de las races, conforme cambia K

Construccin del Lugar Geomtrico de las Races7. Determinar un par de polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado tales que elfactor de amortiguamiento relativo sea 0.5.Determinacin de K para que = 0.5

Como en la respuesta subamortiguada

Construccin del Lugar Geomtrico de las Races

Aplicando la condicin de mdulo

El valor de K que produce tales polosse encuentra a partir de la condicinde magnitud, del modo siguiente:

Resulta que

Usando este valor de K, el tercer polose encuentra en s = -2.3326.Construccin del Lugar Geomtrico de las RacesDibuje la grfica del lugar de las races de un sistema con polos complejosconjugados en lazo abierto. Considere el sistema de la figura. Para este sistema,

donde K > 0. Se observa que G(s) tiene un par de polos complejos conjugados en

Ingeniera de Control Moderno. K. Ogata. Pearson.Mecatrnica. W. Bolton. Alfaomega

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