Post on 16-Sep-2015
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3. Ecuaciones de Maxwell en la materia
En el primer tema hemos estudiado cmo es la luz en el vaco. Ahora queremos saber cmo es la luz en la materia. Es el resultado de la interaccin de la luz con las cargas de la materia; problema muy complejo. Atajo: reemplazar las ecuaciones de Maxwell en el vaco por otras que tengan en cuenta la presencia de la materia desde el principio. La solucin final es muy sencilla: reemplazar la constante dielctrica del vaco por otra de la materia que contiene toda la infomacin relevante sobre la materia.
Planteamiento Aproximaciones: Medios diluidos = esparcimiento Medios densos = ecuaciones de Maxwell en la materia Promedio espacial de las ecuaciones de Maxwell Polarizacin y Magnetizacin Susceptibilidades y Conductividad Constante dielctrica generalizada Clasificacin ptica de los medios materiales
Propagacin en la materia: problema horriblemente complejo La luz cambia el estado de movimiento de las cargas (fuerza de Lorentz) Las cargas en movimiento generan ms luz (Ec. Maxwell) La luz generada por cada carga se suma a la inicial y cambia el estado de la luz La nueva luz cambia el estado de movimiento de todas las cargas Etctera..etctera..etctera
Hay que hacer alguna aproximacin: P Medios pticamente diluidos = cargas independientes = esparcimiento scattering Hay pocas particulas o suficientemente alejadas entre si de forma que la luz emitida
por cada una no influye en las dems ni modifica el campo incidente. P Medios pticamente densos = cargas muy prximas entre si = Ecuaciones de
Maxwell en la materia
!!!tomos/m 10 328
Esparcimiento (scattering): este tipo de problemas se suelen resolver en dos pasos 1) Se calcula el movimiento de las cargas inducido por la luz (tema anterior) 2) Se calcula la luz emitida por las cargas en el estado de movimiento del paso 1 Las propiedades de la luz reemitida (frecuencia, fase, intensidad, polarizacin) dependen de las propiedades de la luz incidente y de las cargas (intensidad, polarizacin, masa, carga, frecuencia de resonancia) Por ejemplo: la cantidad de potencia luminosa extraida de la luz incidente se mide con un parmetro llamado seccin eficaz
P Medios pticamente diluidos = cargas independientes = esparcimiento scattering
Hay pocas particulas o suficientemente alejadas entre si de forma que la luz emitida por cada una no influye en las dems ni modifica el campo incidente.
P Medios pticamente densos = cargas muy prximas entre si = Ecuaciones de Maxwell en la materia (este tema)
Claves (i) Los tomos estn tan empaquetados que vale una descripcin continua de la
materia
(ii) Dinmica de la materia proporcional al campo electromagntico (ptica lineal)
(iii) Un solo campo que engloba incidente y reemitido por las cargas
!!!tomos/m 10 328Ecuaciones de Maxwell en la materia
Materia ordinaria (slidos lquidos) Incluso en un volumen de 3 hay Por ejemplo en el aire en un volumen 3 hay
tomos 1010tomos 107
Para la escala de longitud tpica de la luz () la materia est tan empaquetada que se puede aproximar por una distribucin contnua. No tenemos acceso a los detalles microscpicos, slo a promedios espaciales sobre volmenes pequeos comparados con pero que contengan muchos tomos (se eliminan las irregularidades a pequea escala). Cualquier detector har un promedio espacial extendido a su volumen.
Los gases suelen ser medios pticamente densos
Promedio espacial
( ) ( )trrErdV
trE V ,1, 3 +
=
( ) ( )trrBrdV
trB V ,1, 3 +
=
etctera x
E
xE
=
jtEB
tBE
B
E
=
=
+
=
=
00
0
1
0
0
/
jt
EB
t
BE
B
E
=
=
+
=
=
00
0
1
0
0
/
promedios extendidos a cierto volumen V centrado en r
P
=+= libreligadalibre
Expresamos las densidades de carga y corriente ligadas como dos campos (aprovechando la continuidad de la materia resultante del promedio espacial)
Mt
Pjjjj
+
+=+=
libreligadalibre
P = polarizacin = momento dipolar elctrico por unidad de volumen M = magnetizacin = momento dipolar magntico por unidad de volumen
=
VjjjrqV
P 1
jjj rrqVM
Vj
=
211
Electrodinmica clsica, J. D. Jackson 6.7
=
VjjjrqV
j 1libre
jt
EB
t
BE
B
E
=
=
+
=
=
00
0
1
0
0
/
libre
libre
0
0
jt
DH
t
BE
B
D
=
=
+
=
=
P
= libre Mt
Pjj
+
+=
libre
D= desplazamiento elctrico (C/m2) H= campo magntico (A/m)
PED
+= 0
MBH
=0
1
libre
libre
0
0
jt
DH
t
BE
B
D
=
=
+
=
=
Hay cuatro campos porque dos de ellos (D,H) describen las cargas ligadas. Nueva forma para el vector de Poynting y su promedio temporal para ondas armnicas
==
HESHES
Re21
PED
+= 0
MBH
=0
1
Finalizado el promedio pasamos al segundo paso: expresar la dinmica de la materia como proporcionales al campo E,B ya que normalmente la polarizacin, magnetizacin y corriente son inducidos por la luz. A partir de ahora trabajamos con ondas armnicas
+= EP e 0
+= HM m
+= Ej
libre
P Slo se han expresado los trminos ms usuales. Por ejemplo P podra depender tambin de H, E2 , EH, etc. P , , , son funciones de la posicin y frecuencia P , , , pueden ser complejas o incluso matrices dependiendo del medio
ED
=
HB
=
= susceptibilidad elctrica o magntica, = conductividad
= 0 (1+e ) permitividad elctrica (cte. dielctrica) = 0 (1+m ) permeabilidad magntica
ptica lineal
Para ondas armnicas se puede eliminar tambin la carga libre con el siguiente truco A partir de la ecuacin de conservacin de la carga
0t librelibre =+
j ( )Ej ==
librelibret
teniendo en cuenta que para ondas armnicas tieE
cteEi +
=
libre
libre
libre
0
0
jt
DH
t
BE
B
D
=
=
+
=
=
( )
( )
0~
0
0
0~
=+
=
=
=
EiH
HiE
H
E
),(),(),(~
rirr +=Cte dielctrica generalizada
la cte no importa porque no lleva dependencia en t
( )
( )
0~
0
0
0~
=+
=
=
=
EiH
HiE
H
E
),(),(),(~
rirr +=
Formalmente son ecuaciones como las del vaco!! (en el vaco ==0 =0 =0 ). La materia viene descrita simplemente por una serie de parmetros. Estos parmetros determinan las propiedades pticas de los materiales. En este curso ~0
( ) ( )( ) ( )
absorbente medioRe~ te trasparenmedioRe~dispersivo no medio~~ dispersivo medio~homogeneo medio~~ oinhomogene medio~
istropo medioescalar~ ,anistropo medio matriz~
==
==
==
====
rr
Clasificacin ptica de la materia
Fantstico resultado!!!
RESUMEN La luz modifica el estado de la materia. La materia modifica el estado de la luz. Damos cuenta de esta dependencia mutua en dos pasos: 1) promedio espacial de la ecuaciones de Maxwell (que incluye en un todo la luz original y la reemitida por las cargas)
2) expresando el estado de la materia como proporcional al de la luz Las ecuaciones de Maxwell promediadas son como las del vaco, pero con una constante dielctrica generalizada. La constante dielctrica generalizada contiene las propiedades pticas de la materia.