MAESTRÍA EN ESTRUCTURASUNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE

GUATEMALA.

INTRODUCCION A LA DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

ANALISIS DINAMICO:

Determinación de deformaciones, esfuerzos y fuerzas producidas por cargas dinámicas.Carga dinámica Varia en el tiempo.

TIPOS DE CARGAS DINÁMICAS:•Armónicas: Forma senoidal.•Periódicas: Transcurrido un intervalo constante de tiempo, vuelve a alcanzar el mismo valor.•Aleatorias: Tienen valores que no siguen ningún patrón.

FUERZAS VARÍAN EN EL TIEMPO

DEFORMACIONES INDUCIDAS

VARÍAN EN EL TIEMPO

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

INDUCIDA

EXISTEN ADEMÁS DE FUERZAS ELÁSTICAS, FUERZAS INERCIALES Y DE

AMORTIGUAMIENTO

Fuerzas inerciales = masa (aceleración)F. de amortiguamiento = C. amort (velocidad)Fuerzas elásticas = Rigidez ( desplazamiento)

Fuerzas inerciales resisten las aceleraciones inducidas, y representan la característica más importante del problema dinámico.

Si el cambio en fuerzas externas es pequeño, el cambio en desplazamientos o deformaciones también lo es, por lo que el análisis puede resolverse de forma estática.

DISCRETIZACIÓN DE MASAConsiste en agrupar la masa en puntos discretos para facilitar el análisis dinámico.

La masa se agrupa en los puntos de interés para conocer las deformaciones y/o fuerzas del sistema.El número de componentes de desplazamiento que deben considerarse para representar todas las fuerzas inerciales significativas se denomina: Número de grados de libertad dinámicos. (GDL`s)

TEORIA GENERAL DE VIBRACIONES:Movimiento de los cuerpos y a

las fuerzas asociadas con ellos

Se produce una vibración, cuando desde un equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales. El movimiento será de un lado a otro (oscilatorio), hasta alcanzar la posición de equilibrio nuevamente.

VIBRACIÓN

LIBREFORZAD

A

AMORTIGUADA

NO AMORTIGUA

DA

AMORTIGUADA

NO AMORTIGUAD

A

EQUILIBRIO DINÁMICO.

Análisis para un sistema simple de un grado de libertad.

(a)Elementos básicos: k, Rigidez. C, amortiguamiento. M, masa. P(t), Fuerza externav(t), Desplazamiento

(b) Fuerzas en equilibrio.

fI(t) + fD(t) + fS(t) = p(t) m v(t) + C v(t) + k v(t) = p(t)

.¨

VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA:Ecuación general de equilibrio vibración libre.

m x + c x + k x = o

¨ .•m = masa.•C = amortiguamiento viscoso.•K= Rigidez

m x + k x = o¨

Ecuación general de equilibrio vibración libre no amortiguada

x + k x/m = o

¨

Considerando condiciones iníciales para to =0 B1 = Xo, B2 = Xo/wX = Xo Coswt +( Xo/w) Senwt

Solución Vibración libreno amortiguada

GRAFICA VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

wn2 = k/m, wn ,es la frecuencia natural

en vibración libre del sistema. (#rad/unidad tiempo)Tn = Tiempo en completar un ciclo completo = 2∏/wnf = frecuencia natural de vibración, #ciclos/seg = 1/Tn

DIAGRAMA DE ARGANO Respuesta

estructura = proyección vectorial sobre el eje real.

X = A cos (wt – Θ)

A

´Xo/w

Xo

A = amplitud movimientoA = √Xo

2 + (Xo/w)2

.

Θ= Angulo de faseΘ= Tan-1 (X0 / wXo)

.

Angulo de fase = distancia angular de retraso en la respuesta.

VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA

Subamortiguado o subcrítico.

Amortiguamiento crítico

Sobreamortiguado o supercrítico.

El sistema no oscila, pero retorna lentamente a su posición de equilibrio.

El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio, con una amplitud que decrece progresivamente.El sistema retorna a su posición de equilibrio sin oscilar

VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO CRITICO.

Considerando amortiguamiento crítico,

Cc = 2mw

Solución general vibración libre con amortiguamiento crítico:

X = (Xo (1+wt) + Xot) e-wt

X = ((Xo + wXo)(1-wt)-Xow) e-wt

X = (Xo w2 + (Xo +wXo)(w2t-2w)) e-wt

Constante amortiguamiento crítico.

.. .

.¨

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO SUBCRITICO √<0.

ξ= c/Cc = c/2mw, Factor de amortiguamiento. (Damping ratio)

ξ 0.02 a 0.05 Acero

0.05 Concreto0.10 Concreto durante sismos

fuertes. 0.10 a 0.20 Madera.WD = Wn √1-ξ2 Frecuencia natural de vibración amortiguada.

WD = W √1-ξ2

Solución general vibración libre con amortiguamiento subcrítico:

X = ((Xo + Xoξw) SenwDt + Xo Cos wDt) e-ξwt

wD

.

X = e-ξwt A Cos (wDt-α)

A= √Xo2 + (Xo + Xoξw)2/wD2)

.

FACTOR DECAIMIENTO.VIBRACIÓN LIBRE SUBAMORTIGUADA.

WD = W √1-ξ2

Relación entre decaimiento de amplitud y amortiguamiento.

Amortiguamientos pequeños.

Ln vn = 2πξ m vn+m m = No. ciclos

VIBRACIÓN FORZADA

• El sistema esta sujeto a una fuerza externa que varia en el tiempo.• La excitación externa puede ser armónica, periódica o aleatoria.

EXCITACIÓN ARMÓNICA: P(t) = Po sen ŵt

m x + c x + k x = Po sen ŵt¨ .

VIBRACIÓN FORZADA NO AMORTIGUADAEXCITACIÓN ARMONICAm x + k x = Po sen ŵt

¨Solución general = Solución particular + Solución complementaria.

Respuesta a carga

dinámica

Respuesta a Vibración

libre.

x = Po Sen ŵt + A Sen wt + B Cos wt k (1 –

(ŵ/w)2)

GRAFICA EXCITACIÓN ARMONICA NO AMORTIGUADASolución general = Solución particular + Solución complementaria.

1(1 – (ŵ/w)2)

FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

ŵ/w < 1, ŵ<w, FAD es positivo, X y P tienen la misma dirección.

ŵ/w > 1, ŵ>w, FAD es negativo, X y P no tienen la misma dirección.

ŵ =w , resonancia.

VIBRACIÓN FORZADA AMORTIGUADAEXCITACIÓN ARMONICA

m x + c x + k x = Po sen ŵt

¨ .

Solución general = Solución particular + Solución complementaria.

Xcomp = (B1SenwDt + B2 Cos wDt) e-βwt

A = Po 1 k [(1 – (ŵ/w)2)2 + (2βŵ/w)2]1/2

Θ= Tan-1 (2βŵ / w) 1-(ŵ / w)2

Xpart= A Sen (ŵt - Θ)

X = Xpart + X comp

DeflexiónEstática

Factor amplificación dinámica, FAD1

VIBRACIÓN FORZADA AMORTIGUADAEXCITACIÓN DEL SOPORTE EN FORMA ARMONICACuando la excitación del soporte es de forma armónica:

•La fuerza inercial es proporcional a la aceleración total.•La fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad relativa.•La fuerza de rigidez es proporcional al desplazamiento relativo..

m xT + c xR + k xR = 0¨ .

xG = dsenŵtxG = -dŵ2senŵt

xT = xG + xR xT = xG + xR¨ ¨ ¨¨

m xR + c xR + k xR = -mxG

¨ . ¨

m xR + c xR + k xR = -mxG = m ŵ2d sen ŵt

¨ .

xR = a sen (ŵt – Θ)a = Po/k FAD1a = mŵ2d FAD1

mw2

w2 a = d ŵ2 FAD1

FAD2 DESPLAZAMIENTO ARMONICO

xR = d FAD2 sen (ŵt – Θ)

¨

SISMÓGRAFO

Medidor de desplazamiento. El Gráfico es desplazamiento relativo. Xr proporcional a Xg

xR = d FAD2 sen (ŵt – Θ)

FAD2 debe ser constante.FAD2 es constante cuando ŵ/w >1 y β = 0.5

El rango de aplicación para la medición de los desplazamientos, se incrementará reduciendo su frecuencia natural w, reduciendo su rigidez o aumentado su masa. W = √k/m

ACELERÓMETROMedidor de aceleración.

El Gráfico es desplazamiento relativo. Xr proporcional a Xg

m xT + c xR + k xR = 0¨ .m xR + c xR + k xR = -mxG = -ma sen ŵt

¨ . ¨

xG = a sen ŵt¨Aceleración en la

base.

PoxR = Po/k FAD1 sen (ŵt – Θ)xR = ma/k FAD1 sen (ŵt – Θ)

FAD1 es constante si β=0.7 y 0<ŵ/w<0.6

¨

AISLAMIENTO DE VIBRACIÓNTipo 1. Equipo en operación que

puede generar fuerzas oscilatorias y producir vibraciones dañinas en la estructura de soporte.P(t) = Po sen ŵt

Fuerza del equipo

X = Po FAD1 sen (ŵt –Θ)k

Fuerza en soporte, F = F rigidez + F amortiguamiento.

Respuesta soporte.

F rigidez, Fk = k x= Po FAD1 sen (ŵt-Θ)F amort, FD = C x= C Po ŵ FAD1

cos (ŵt-Θ) k

.

Fk = Po FAD1 sen (ŵt-Θ)FD = Po 2β ŵ FAD1 cos (ŵt-Θ)

w Fk y FD, están desfasadas 90º, su valor

máximo es:Fk MAX= Po FAD1FD MAX= Po 2β ŵ FAD1

w F max = (Fk

2 + FD2)1/2

F max = Po FAD1 (1 + (2βŵ/w)2)1/2

FAD3 = Factor de transmisibilidad del sistema de soporte

Tipo 2. Instrumentos sensitivos pueden estar soportados en una estructura que este vibrando apreciablemente. xG = dsenŵt

Excitación del soportexR = d ŵ2 FAD1 sen (ŵt – Θ)

w2 Respuesta

xT = xG + xR

xT = d FAD1 (1 + (2βŵ/w)2)1/2

sen(ŵt – Θ)FAD3 = Factor de transmisibilidad del sistema de soporte

RESPUESTA A CARGAS PERIODICASCualquier carga periódica no-armónica

puede expresarse como una combinación de armónicas simples.Series de Fourier.

P(t) = ao + ∑ an cos (n 2π t) + ∑ bn sen (n 2π t) Tp Tp

ŵ = 2π/Tp

Frecuencia circular de P(t).

Subdividiendo Tp en n segmentoswn = 2πn/Tp

Frecuencia circular para cada ∆t.

P(t) = ao + ∑ an cos (wn t) + ∑ bn sen (wn t)

wn = ŵ (n)

Coeficientes de Fourier:ao = 1 ∫ P(t) dtTp

an = 2 ∫ P(t) cos (n 2πt)dtTp

Tp

bn = 2 ∫ P(t) sen (n 2πt)dtTp

Tp

P(t) = ao + ∑ an cos (n 2π t) + ∑ bn sen (n 2π t) Tp Tp

xncos = an Cos (nŵt )

k (1 – (nŵ/w)2)

Respuesta para cada termino coseno

xnsen = bn Sen (nŵt )

k (1 – (nŵ/w)2)

Respuesta para cada termino seno

x(t) = 1/k [ao + ∑ (an cos nŵt + bn sen nŵt)] (1 –

(nŵ/w)2)

Para el caso amortiguado:

x(t) = 1/k ao + 1 * (1 – (nŵ/w)2)2 + (2β

n ŵ/w)2

∑[

]{ [an (2β n ŵ/w) + bn (1 – (nŵ/w)2)] Sen (nŵt) + [an (1 – (nŵ/w)2) - bn (2β n ŵ/w)] Cos (nŵt)}

RESPUESTA A CARGAS DE IMPULSOCargas de Impulso = Cargas de corta

duración.P(t)

t

Fase 1 Fase 2

t1

Interés: Respuesta máxima.

Puede ocurrir en Fase 1.Puede ocurrir en Fase 2.

Usualmente se desprecia las fuerzas de amortiguamiento ya que no se ha absorbido mucha energía cuando ocurre la respuesta máxima.

Respuesta en Fase1 Excitación Armónica .

PULSO SENOIDAL.P(t)

t

Po sen ŵt

t1

La carga se hace cero cuando ŵt1= π, t1 = π/ŵ

x = Po Sen ŵt + A Sen wt + B Cos wt k (1 – (ŵ/w)2)

Si condiciones iníciales Xo = Xo= 0, la respuesta es:

.

x = Po (Sen ŵt - (ŵ/w)Sen wt)k (1 – (ŵ/w)2)

t ≤ t1

Respuesta máxima ocurre en Fase 1 si ŵ<w.

Fase 1 Fase 2

Respuesta en Fase2 Vibración Libre con

condiciones iníciales Xt1 y Xt1.

.

X(t-t1) = Xt1 Cos(w(t-t1)) + Xt1/w Sen(w(t-t1))

. Xt1 y Xt1. son las condiciones finales de Fase 1

.

A = Po (ŵ/w) 2 Cos (wπ)k (1 – (ŵ/w)2) 2ŵ

Amplitud de movimientoen Fase 2

A = √Xt12 + (Xt1/w)2.

t > t1

Amplitud de movimientoen Fase 1

PULSO RECTANGULAR.P(t)

t

Fase 1 Fase 2

t1

x = Po + A Sen wt + B Cos wt k

Po

Si condiciones iníciales Xo = Xo= 0, la respuesta es:

x = Po (1 -Cos wt )k

.

.x = Po w Sen (wt)k

Respuesta en Fase1 Excitación Periodica .

t ≤ t1

Respuesta máxima ocurre en Fase 1 si T/2 <t1

XMAX = 2 Po/K

Respuesta en Fase2 Vibración Libre con

condiciones iníciales Xt1 y Xt1.

.

X(t-t1) = Xt1 Cos(w(t-t1)) + Xt1/w Sen(w(t-t1))

.

Xt1 = Po (1 -Cos wt1 )k

.Xt1 = Po w Sen (wt1)k

X(t-t1) = Po 2 Sen(πt1) Cos (wt –Θ)K T

Condiciones finales de Fase 1

Respuesta en Fase2t > t1

XMAX = Po 2 Sen(πt1)

K TSi valor máximo ocurre en fase 2.

RESPUESTA A EXCITACIONES ALEATORIAS

Método Exacto Piecewise.

Utiliza una subdivisión de la acción externa en intervalos pequeños.

Resuelve la ecuación de equilibrio dinámico para cada intervalo.

Calcula las condiciones finales de cada intervalo.

Utiliza condiciones finales como iniciales del nuevo intervalo.

Acción externa para el intervalo

m x + c x + k x = Po + αt

¨ .

Solución general = Solución particular + Solución complementaria.

Xcomp = (B1SenwDt + B2 Cos wDt) e-βwtXpart= 1/k (Po + αt) – αc/k2

“t” en cada intervalo

Po

x + 2βw x + w2 x = w2/k (Po + αt)¨ . Ecuación Equilibrio

dinamico, para aplicar Piecewise

COORDENADAS GENERALIZADAS

El procedimiento de concentrar la masa en puntos discretos reduce el número de g.d.l.

Cuando la masa está distribuida uniformemente se puede suponer que la forma deflectada de la estructura puede expresarse como la suma de una serie de patrones de deformación específicos.Los patrones deben ser compatibles con las condiciones de apoyo y deben mantener la continuidad de los desplazamientos internos.

Es efectivo en los casos en que gran parte de la masa está concentrada en pocos puntos discretos.

V(x) = ∑ bn sen(nπx/L)

V(x)

L

b1 sen(πx/L)

b2 sen(2πx/L)

b3 sen(3πx/L)

En general, V(x) = ∑ Zn ψn(x)Donde Zn = amplitudes = coordenadas generalizadasΨn(x) = funcion de desplazamientos, patrones o formas.

MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO.

Sistemas con determinada elasticidad, su movimiento puede describirse como un cuerpo rígido.Los desplazamientos en puntos discretos pueden expresarse en función de una amplitud de desplazamiento de referencia.Las masas y momentos inerciales de masa, usualmente se concentran en el centroide del cuerpo rígido.