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FSICA MODERNA
INFORME FASE 3
GRUPO No. 43
CRISTIAN CONTRERAS JUNCO 80.219.626
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
JOSE ACEVEDO Y GOMEZ
ABRIL 2015
2. MARCO TEORICO
Soluciones de la ecuacin de Schrdinger: Penetracin de una barrera de
potencial por efecto tnel:
Se puede determinar a partir de la ecuacin de Schrdinger la probabilidad T de que
una partcula atraviese una barrera de potencial. Esta probabilidad es proporcional al
cuadrado de la relacin de amplitudes de las funciones senoidales de onda, a los dos
lados de la barrera. Estas amplitudes se determinan igualando las funciones de onda y
sus derivadas en los puntos limtrofes, lo cual es un problema matemtico bastante
complicado. Cuando T es mucho menor que la unidad, T se determina de forma
aproximada con la frmula que sigue:
Donde
E = Energa de la partcula V = Potencial de la barrera a = espesor de la barrera
Nos interesa estudiar el caso en que la partcula llega a la barrera desde la izquierda
(regin 1, x < 0) con una energa E < V. En ese caso la Mecnica Clsica predice que
n 3 (x < a). Se demostrar
entonces que la Mecnica Cuntica predice en cambio que la partcula tiene cierta
probabilidad T de atravesar la barrera.
Aclaremos que la ecuacin de Schrdinger no es vlida para partculas relativistas.
Esto es as porque la ecuacin de la mecnica clsica est implcita en su desarrollo y
la energa para esta partcula es:
En 1928 Paul Dirac desarroll una teora relativista de la mecnica cuntica utilizando
esencialmente los mismos postulados de la teora de Schrdinger, excepto que la
ecuacin anterior la sustituy por su anloga relativista
Por supuesto que la teora de Dirac se reduce a la de Schrdinger a bajas velocidades.
Afortunadamente, la mayora de los fenmenos cunticos se pueden estudiar en casos
que no son relativistas.
Para el caso que nos atae, las soluciones generales de la ecuacin de Schrdinger
independiente del tiempo en las tres regiones en que se divide el eje x son:
Partimos de la ecuacin de Schrdinger:
Y a partir de aqu se plantea la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo:
En la primera regin, el potencial V es cero y se puede reacomodar haciendo:
3. RESULTADOS
3.1. Resultados Actividad 1
Ejercicio 5. Cristian Contreras Junco
Un electrn con energa E incide de derecha a izquierda sobre una barrera de potencial
cuadrada que tiene una energa U de alto y un ancho L.
a) Cul es la probabilidad de que el electrn atraviese la barrera de potencial?
Teniendo en cuenta los datos de las variables generadas para el caso No. 5,
encontramos que:
Masa del Electrn: 9,111031 U = 0,36 eV L = 0,2 nm E = 0,58 Ev
= 1,0551034.
Entonces, calculamos el coeficiente de transmisin as:
2
Dnde:
=2( )
=
2(9,111031)(0,36 0,58) (1,61019
1 )
1,0551034
= (1,8221030)(0,2) (
1,610191 )
1,0551034
= (1,8221030)(3,521020)
1,0551034
= 6,41341050
1,0551034=
Entonces, reemplazando valores en:
= 2
= 2()(0,21009)
E = 0,58 eV U = 036 eV
L= 0,2 nm
U (x)
x Regin 1 Regin 2 Regin 3
=
b) compruebe el clculo terico con el simulador dispuesto en entorno de Aprendizaje
Prctico. En caso de haber diferencia establezca el error relativo
Grafica No.5 Resultante de la experiencia practica
Calculo del error:
=
100%
=0.95 0
0.95 100%
= 100%
Ejercicio 10. Cristian Contreras Junco
a) Cul es la probabilidad de que el electrn atraviese la barrera de potencial?
Teniendo en cuenta los datos de las variables generadas para el caso No. 10,
encontramos que:
Masa del Electrn: 9,111031 U = 0,24 eV L = 0,1 nm E = 0,53 Ev
= 1,0551034.
Entonces, calculamos el coeficiente de transmisin as:
2
Dnde:
=2( )
=
2(9,111031)(0,24 0,53) (1,61019
1 )
1,0551034
= (1,8221030)(0,3) (
1,610191 )
1,0551034
= (1,8221030)(4,641020)
1,0551034
= 8,45411050
1,0551034=
Entonces, reemplazando valores en:
= 2
= 2()(0,11009)
=
b) compruebe el clculo terico con el simulador dispuesto en entorno de Aprendizaje
Prctico. En caso de haber diferencia establezca el error relativo
E = 0,53 eV U = 024 eV
L= 0,1 nm
U (x)
x Regin 1 Regin 2 Regin 3
Grafica No.10 Resultante de la experiencia practica
Calculo del error:
=
100%
=0.93 0
0.93 100%
= 100%
Ejercicio 15. Cristian Contreras Junco
a) Cul es la probabilidad de que el electrn atraviese la barrera de potencial?
Teniendo en cuenta los datos de las variables generadas para el caso No. 15,
encontramos que:
Masa del Electrn: 9,111031 U = 0,52 eV L = 0,2 nm
E = 0,15 eV U = 052 eV
L= 0,2 nm
U (x)
x Regin 1 Regin 2 Regin 3
E = 0,15 Ev
= 1,0551034.
Entonces, calculamos el coeficiente de transmisin as:
2
Dnde:
=2( )
=
2(9,111031)(0,52 0,15) (1,61019
1 )
1,0551034
= (1,8221030)(0,37) (
1,610191 )
1,0551034
= (1,8221030)(5,921020)
1,0551034
= 1,078621049
1,0551034=
3,284241025
1,0551034
= 3,111091
Entonces, reemplazando valores en:
= 2
= 2(3,11109)(0,21009)
= 1,25101
= 0,28788047
b) compruebe el clculo terico con el simulador dispuesto en entorno de Aprendizaje
Prctico. En caso de haber diferencia establezca el error relativo
Grafica No.15 Resultante de la experiencia practica
Calculo del error:
=
100%
=0.99 0,2878
0.99 100%
= 70,92%
3.2. Resultados Actividad 2
Un estudiante de Fsica Moderna quiere disear Transistores de efecto tnel resonante
en su laboratorio, para tal fin debe de contestar los siguientes interrogantes:
En qu consiste el efecto tnel?
El efecto tnel se refiere al fenmeno de la mecnica cuntica, donde tneles de
partculas a travs de una barrera que clsicamente no poda superar. Esto juega
un papel esencial en varios fenmenos fsicos, tales como la fusin nuclear que se
produce en estrellas de secuencia principal como el sol. Esto tiene importantes
aplicaciones a los dispositivos modernos tales como el diodo de efecto tnel y el
microscopio de efecto tnel.
Cmo aplicara el concepto anterior para disear los Transistores de efecto tnel
resonante?
Debido a la definicin anterior estos dispositivos son utilizados en los circuitos
rapidos porque su respuesta a la alta frecuencia es mucho mejor que la de cualquier
transistor. El efecto tnel es controlable para interrumpir corrientes tan rpidamente
que se puede construir un oscilador capaz de trabajar a frecuencias superiores que
1011Hz.
Cules son las caractersticas principales de estos dispositivos?
Los diodos de efecto tnel. Son dispositivos muy verstiles que pueden operar
como detectores, amplificadores y osciladores. Poseen una regin de juntura
extremadamente delgada que permite a los portadores cruzar con muy bajos
voltajes de polarizacin directa y tienen una resistencia negativa, esto es, la
corriente disminuye a medida que aumenta el voltaje aplicado
Cmo funcionan estos dispositivos?
Los transistores de efecto tnel tiene una tensin resonante para los que hay una
gran cantidad de corriente que favorece una tensin especial, logrado mediante la
colocacin de dos capas muy finas con una banda de conductancia de alta energa
muy cerca unos de otros. Esto crea un potencial de pozo cuntico que tiene un
discreto nivel de energa ms bajo. Cuando este nivel de energa es ms alta que la
de los electrones, se producir ningn efecto tnel, y el diodo est en polarizacin
inversa. Una vez que las dos energas se alinean voltaje, los electrones fluyen como
un circuito abierto. A medida que aumenta la tensin an ms improbable se
convierte en un tnel y el diodo se comporta como un diodo normal de nuevo antes
de un segundo nivel de energa se vuelve ms notable.
ANALISIS DE RESULTADOS
Si tenemos una partcula cuya energa (cintica) es mayor que el Vo entonces se podr
mover sin problema en todo el eje X. Si por el contrario, la partcula tiene una energa
menor que V0 pues estar condenada a rebotar contra la barrera de potencial cuando
se encuentre con ella.
Es evidente que la anchura de la barrera es muy importante, a mayor anchura ms
tiempo para decrecer en amplitud la onda transmitida y menor probabilidad de estar al
otro lado
Otra caracterstica menos evidente pero igual de fundamental es la masa de la
partcula que estemos describiendo. A mayor masa menor probabilidad de traspasar la
barrera.
CONCLUSIONES
1. La partcula descrita por la funcin de onda tiene una energa menor que la
barrera de potencial. Pero es capaz de transmitirse por la barrera.
2. En la transmisin vemos como la amplitud de la onda disminuye y que la parte
transmitida tiene una amplitud menor. La amplitud est relacionada con el cuadrado
de la funcin de onda. Y eso es la probabilidad de encontrar la partcula en una
determinada posicin. Por lo tanto, como se ve en la figura, la probabilidad de
encontrar a la partcula que ha superado la barrera es muy pequea.
3. El efecto tnel es un importante ingrediente en los mecanismo de reaccin
qumicos (algunos de ellos). Tambin hacemos microscopios, y es muy relevante
en muchos procesos industriales y tecnolgicos.
BIBLIOGRAFIA
Ciencia Historia. Efecto Tnel: Penetracin de una barrera de potencial. Recuperado
de: http://www.cienciahistoria.com/2011/10/efecto-tunel.html Abril 2015
Docsetools. El efecto tnel. Recuperado de: http://docsetools.com/articulos-
informativos/article_62754.html Abril 2015.