MATEMÁTICA I

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL

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LOGRO DE LA SESIÓN

• Al término de la sesión, el estudiante calcula derivadas de funciones reales de variable real en ejercicios y/o problemas, empleando las propiedades y reglas de derivación. Sigue un proceso lógico fundamentado y comunica sus resultados.

Situación Problemática

Un fabricante determina que cuando se producen x (miles) unidades de cierto artículo, la utilidad generada está representada por: P(x)=-400x2+6800x-12000 dólares¿Cuál es la razón de cambio de la utilidad respecto al nivel de producción, cuando se producen 9 000 unidades?

RECORDAR

• Operaciones combinadas de números reales• Simplificación de expresiones algebraicas

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

T h 0

F(x h) F(x)m lim

h

x

f(x)

TL

Pendiente de la recta tangente en el punto

(x; f(x))

S

F(x h) F(x)m

h

(x+h)-x = h

f(x+h)-f(x)

f(x+h)

f(x+h)

x+hx+h

Definición:La derivada de una función f respecto a x, es la función f‘ dada por

T h 0

f(x h) f(x)f '(x) m lim

h

f '(x) se lee como ”f prima de x”, y se interpreta como la razón de cambio de f en un instante x.

Se dice que f es derivable en x=c, si f '(c) existe.

Notaciones

x

df(x)f '(x) D f(x)

dx

REGLAS DE DERIVACIÓN

Derivada de una función de la forma:

NOTA:

Si f(x) x f '(x) 1

Si f(x) K(cte) f '(x) 0

1)(')( nn ncxxfcxxf

1)(')( nn nxxfxxf

EJEMPLOS

)x(f

Calcule la derivada de la función

3 x 4

Solución

DERIVADA DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES

)(')(')]'()([ xgxfxgxf

)'675( 2 xx

EJEMPLOS

1) 2) )'6

52( 23

xxx

DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES

)(')()()(')]'()([ xgxfxgxfxgxf

]')2)(13([ 325 xxxEJEMPLO

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COCIENTE

2'

)(

)(')()()(')()(

xg

xgxfxgxfxgxf

EJEMPLO

'

3

2

44

xx

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

xx ee )'(

)ln()'( aaa xx

xx

1)]'[ln(

)ln(1

)]'([logax

xa

COSTO MARGINAL

Definición: Es la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).

Si es la función del costo total de producción de x artículos

es la función del costo marginal.

( )C f x

( )dC

f x Cdx

COSTO UNITARIO

El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por:

CC C Cx

x

Es decir, el costo total es el producto del número de unidades fabricadas y el costo promedio por unidad

INGRESO MARGINAL

Definición: Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida). Es decir,

Si es la función del ingreso total por la venta de q unidades, entonces

es la función del ingreso marginal. donde: Ingreso = (precio unitario)(No. de unidades vendidas) :

)(')(

qfdqqdf

pqqf )(

f

RESOLVER EL CASO INICIAL

Un fabricante determina que cuando se producen x miles de unidades de cierto artículo, la utilidad generada será

P(x)= -400x2+6800x-12000

dólares. ¿Cuál es la razón de cambio de la utilidad respecto al nivel de producción, cuando de producen 9 000 unidades?

TAREA:

Formule y resuelva un problema de su entorno haciendo uso de las derivadas, tomando como modelo el caso inicial.