Post on 15-Mar-2020
Análisis numérico
DERIVACIÓN E
INTEGRACIÓN
DERIVACIÓN NUMÉRICA.
DERIVACIÓN NUMÉRICA.
DADA UNA FUNCIÓN y=F(x), DEFINIDA EN FORMA
TABULAR, VAMOS A OBTENER EL VALOR DE SUS
DERIVADAS EN ALGUNOS PUNTOS QUE LOS
DENOMINAREMOS “PUNTOS PIVOTES.
EN PRIMER LUGAR VAMOS A ADMITIR QUE LA
FUNCIÓN TABULAR SE APROXIMA POR UN
POLINOMIO QUE PASA POR TODOS LOS PUNTOS, Y
QUE LA PODEMOS REPRESENTAR POR MEDIO DE
LA FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.
ENTONCES SE TENDRÁ.
DERIVANDO AMBOS MIEMBROS DE (1)
)1(!3
)2)(1(!2
)1()( 03
02
00
.
+∆−−
+∆−
+∆+= ykkkykkykyxf
)2(0
hxx
k k −=
dxdkykkkykkyky
dkdxf
dxd )
!3)2)(1(
!2)1(()( 0
30
200
.+∆
−−+∆
−+∆+=
DE LA EXPRESIÓN (2) SE OBTIENE
hdxdk 1
=
dxdkykkkykkyky
dkdxf
dxd )
623
2()( 0
323
02
2
00
.+∆
+−+∆
−+∆+=
)3()6
2632
12(1)( 03
2
02
0
.+∆
+−+∆
−+∆= ykkyky
hxf
dxd
DERIVANDO LA EXPRESIÓN (3) SE OBTIENE LA SEGUNDA DERIVADA.
DE LA MISMA FORMA.
dxdkykkyky
dkd
hxf
dxd )
6263
212(1)( 0
32
02
0
.
2
2
∆+−
+∆−
+∆=
)4())1((1)( 03
02
2
.
2
2
+∆−+∆= ykyh
xfdxd
)5()(1)( 03
3
.
3
3
+∆= yh
xfdxd
CON LAS EXPRESIONES 3, 4 Y 5, SE OBTIENEN LAS
DIFERENTES FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
NUMÉRICA, PARA LA PRIMERA, SEGUNDA Y
TERCERA DERIVADA.
I) SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN PRIMER
GRADO DE (3)
)(1)( 0
.y
hxf
dxd
∆=
COMO
II) SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN
SEGUNDO GRADO:
010 yyy −=∆
)2
12(1)( 02
0
.yky
hxf
dxd
∆−
+∆=
( )1001' yyh
y XX +−==
COMO:
SE PUEDEN OBTENER LAS DERIVADAS EN CUALQUIERA DE LOS PUNTOS PIVOTES
SI SE TOMA EN k=0 ;
010 yyy −=∆ 01202 2 yyyy +−=∆
210 ;; xxxxxx ===
0xx =
( )210 4321'
0yyy
hy xx −+−==
SI SE TOMA EN ; k=1
FINALMENTE SI SE TOMA EN K=2
1xx =
( )2021'
1yy
hy xx +−==
2xx =
( )210 3421'
2yyy
hy xx +−==
TRATANDOSE DE LA SEGUNDA DERIVADA SI SE CONSIDERA UNA INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO, DE (4) NOS QUEDA:
)(1'')( 022
2
1y
hyxf
dxd
xx ∆== =
)2(1'')( 21022
2
1yyy
hyxf
dxd
xx +−==∴ =
PARA LA TERCERA DERIVADA DE LA EXPRESIÓN (5), SE TIENE:
)(1''')( 03
3
.
3
3
2y
hyxf
dxd
xx ∆== =
)33(1''' 012332yyyy
hy xx −+−=∴ =
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN I) PRIMERA DERIVADA a) INTERPOLACIÓN DE PRIMER GRADO
b) CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO
II) SEGUNDA DERIVADA CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO
III) LA TERCERA DERIVADA CON INTERPOLACIÓN DE TERCER GRADO
( )101'
0yy
hy XX +−==
( )210 4321'
0yyy
hy xx −+−==
( )2021'
1yy
hy xx +−==
( )210 3421'
2yyy
hy xx +−==
)2(1'' 21021yyy
hy xx +−==
)33(1''' 012332yyyy
hy xx −+−=∴ =
EJEMPLO DE APLICACIÓN.
PARA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DADA EN LA SIGUIENTE TABULACIÓN, CALCULAR:
a) LA PRIMERA DERIVADA EN X=2, CON UNA INTERPOLACIÓN DE PRIMERO Y SEGUNDO
ORDEN.
b) LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EN X=4, CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO
ORDEN.
c) SI f(x) = 10 LOG X, COMPARE RESULTADOS CON LOS INCISOS (a) Y (b).
4510.87815.79897.60206.67712.40103.3)(765432
xfx
INTEGRACIÓN NUMÉRICA.
ESTE PROBLEMA VAMOS A RESOLVERLO DE LA
MISMA MANERA QUE EL DE LA DERIVACIÓN. DADA
UNA FUNCIÓN F(x)=0 SE ACEPTARÁ LA
APROXIMACIÓN POLINOMIAL COMO ÁQUELLA QUE
PASA POR TODOS LOS PUNTOS DEFINIDOS EN LA
TABULACIÓN Y SE TENDRÁ UNA APROXIMACIÓN A:
∫nx
xdxxf
0
)(
SI
INTEGRANDO EN EL INTERVALO
)1(!3
)2)(1(!2
)1()( 03
02
00
.
+∆−−
+∆−
+∆+= ykkkykkykyxf
)2(0
hxx
k k −=
[ ]nhxxx n += 00 ,
)3()6
232
()( 03
23
02
2
00
.
00
dxykkkykkykydxxf nn x
x
x
x+∆
+−+∆
−+∆+∫=∫
HACIENDO EL CAMBIO DE VARIABLE
khxxresiónlade
k += 0
)2(exp
hdkdx =
)3(
00
endosustituyennkxxsi
kxxsi
n ====
hdkykkkykkykydxxfnx
x
n )6
232
()( 03
23
02
2
000
.
0
+∆+−
+∆−
+∆+∫=∫
INTEGRANDO
DE LA EXPRESIÓN (4) SE OBTIENEN LAS DIFERENTES FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE ACUERDO A LA INTERPOLACIÓN SELECCIONADO.
nx
xykkkykkykkyhdxxfn
0
03
234
02
23
0
2
0
.
6624462)(
0
+∆
+−+∆
−+∆+=∫
)4(6624462
)( 03
234
02
23
0
2
0
.
0
+∆
+−+∆
−+∆+=∫ ynnnynnynnyhdxxfnx
x
I. SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN PRIMER GRADO, LA INTEGRAL SE CALCULA ENTRE LOS DOS PRIMEROS PUNTOS DE “x”, ENTRE POR LO QUE n=1, EN (4) NOS QUEDA.
COMO
∆+=∫ 0
2
0
.
21)(1
0
yyhdxxfx
x
010 yyy −=∆
[ ] )(2
)( 10
.1
0
ayyhdxxfx
x+=∫
10 xyx
DE LA MISMA MANERA SE PUEDE OBTENER POR CADA DOS PUNTOS, ENTRE
SIGUIENDO EL MISMO PROCEDIMINETO HASTA
[ ] )(2
)( 21
.2
1
byyhdxxfx
x+=∫
21 xyx
[ ] )(2
)( 32
.3
2
cyyhdxxfx
x+=∫
[ ] )(2
)( 1
.
1
dyyhdxxf nn
x
x
n
n
+−=∫−
SUMANDO LAS EXPRESIONES a,b,c y d, SE TIENE
A ESTA EXPRESIÓN SE LE CONOCE CON EL
NOMBRE DE FÓRMULA DE INTEGRACIÓN
TRAPECIAL Y SE REPRESENTA TAMBIÉN DE LA
SIGUIENTE FORMA
[ ]nn
x
xyyyyyyhdxxfn ++++++ −=∫ 13210
.
22222
)(0
[ ]∑=∫ ++= ordenadasderestoyyhAdxxf n
x
x
n 22
)( 021
.
0
II. SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA AL SEGUNDO GRADO, LA INTEGRAL SE CALCULA ENTRE EN DONDE n=2 Y SE TIENE
∆
−+∆+=∫ 0
223
0
2
0
.
462)(2
0
ynnynnyhdxxfx
x
20 xyx
( ) ( )
[ ] )(43
)(
23122)(
210
012010
2
0
2
0
ayyyhdxxf
soperacionehaciendo
yyyyyyhdxxf
x
x
x
x
++=
+−+−+=
∫
∫
DE LA MISMA FORMA SE CALCULA ENTRE CADA TRES PUNTOS Y SE TIENE
SUMANDO LAS EXPRESIONES a,b,c, SE TIENE
[ ] )(43
)( 4324
2
byyyhdxxfx
x++=∫
[ ] )(43
)( 122
cyyyhdxxf nnn
x
x
n
n
++= −−∫−
[ ]nnn
x
xyyyyyyyyhdxxfn ++++++++= −−∫ 1243210 422424
3)(
0
EL SEGUNDO MIEMBRO RECIBE ELNOMBRE DE FÓRMULA DE INTEGRACIÓN DE SIMPSON DE TAMBIÉN SE REPRESENTA DE LA SIGUIENTE MANERA.
III. SI LA INTERPOLACIÓN SE LIMITA A UN TERCER GRADO SE CALCULA ENTRE Y n=3
31
30 xyx
∫
∆+−+∆
−+∆+=3
00
3234
02
23
0
2
0 63
63
243
43
63
233)(
x
xyyyyhdxxf
+++== ∑∑∫ imparorden
deordenadasparorden
deordenadasyyhAdxxf n
x
x
n 4.
23
)( 031
0
HACIENDO OPERACIONES
DE LA MISMA MANERA TOMANDO DE TRES EN TRES PUNTOS
[ ] )(3383)(3
03210 ayyyyhdxxf
x
x∫ +++=
[ ] )(3383)(6
36543 byyyyhdxxf
x
x∫ +++=
[ ] )(3383)(
3 123 cyyyyhdxxfnx
n nnnn∫ − −−− +++=
SUMANDO LAS EXPRESIONES a,b y c, SE TIENE
EL SEGUNDO MIEMBRO RECIBE EL NOMBRE DE SIMPSON DE Y SE PUEDE REPRSENTAR POR
+++== ∑∑∫ ordenadas
lasderestodemúltiplo
ordenadasyyhAdxxf n
x
x
n 33
28
3)( 083
0
[ ]nnnn
x
xyyyyyyyyhAdxxfn ++++++++== −−−∫ 1233210
83 332233
83)(
0
83
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN. I. CON INTERPOLACIÓN DE PRIMER GRADO FÓRMULA TRAPECIAL
II. CON INTERPOLACIÓN DE SEGUNDO GRADO. N DEBE SER 2 O MÚLTIPLO DE 2.
FORMULA DE SIMPSON DE 1/3
III. CON INTERPOLACIÓN DE TERCER GRADO. N DEBE SER 3 O MÚLTIPLO DE 3.
FÓRMULA DE SIMPSON 3/8
[ ]∑=∫ ++= ordenadasderestoyyhAdxxf n
x
x
n 22
)( 021
.
0
+++== ∑∑∫ imparorden
deordenadasparorden
deordenadasyyhAdxxf n
x
x
n 4.
23
)( 031
0
+++== ∑∑∫ ordenadas
lasderestodemúltiplo
ordenadasyyhAdxxf n
x
x
n 33
28
3)( 083
0
EJEMPLOS DE APLICACIÓN.
1. CALCULAR EL DESPLAZAMIENTO DE UN COHETE DISPARADO VERTICALMENTE DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA, LAS OBSERVACIONES DE LA VELOCIDAD A DIFERENTES INSTANTES SE MUESTRAN EN LA SIGUIENTE TABULACIÓN.
CALCULAR EL DESPLAZAMINETO A LOS 60,120,180,240 Y 300 SEGUNDOS.
2. ENCUENTRE UNA APROXIMACIÓN AL VALOR DE LA INTEGRAL, CONSIDERE n=6.
2229.33851.16502.02747.00824.00.)/(
300240180120600.)(
segmv
segt
dxe x∫ −2
0
2
1. CALCULE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA PARA x=-0.4 Y x=0.2, CON FÓRMULAS DE INTERPOLACIÓN LIMITADAS A PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN.
2. CALCULE EL VALOR DE LA INTEGRAL PARA n=6, CON SIMPSON 1/3 Y 3/8; Y PARA N=9, CON
SIMPSON 3/8. COMPARE RESULTADOS EN LAS APROXIMACIONES. dx
xxsen
∫2
1
)(
93.231.278.133.197.068.046.0
6.04.02.002.04.06.0
y
x −−−
TAREA 7.
3. ENCUENTRE LAS FÓRMULAS DE DERIVACIÓN, PARA LA PRIMERA DERIVADA, CONSIDERANDO UNA INTERPOLACIÓN DE TERCER GRADO EN LA EXPRESIÓN 4, DE LAS NOTAS (página 5).