CAPITULO II Derivación e integración numérica · No obstante, en aplicaciones prácticas este...

1

CAPITULO II

Derivación e integración

numérica

Universidad Simón Bolívar

Mecánica Computacional II

2

Capítulo II

Derivación e integración numérica

• Introducción

• Derivación numérica

• Integración numérica

• Referencias

3

En muchas ocasiones se dispone de data numérica a

la cual se le debe calcular la derivada localmente o

realizar la integración en cierto intervalo. Ello puede

hacerse de diversas maneras.

Una primera vía es utilizar la aproximación de la

data por una función (polinomios o cualquier otra

base) y luego derivar esta función.

Esta opción conduce a buenos resultados, si la

aproximación que se obtuvo es lo suficientemente

“suave”.

Introducción

4

No obstante, en aplicaciones prácticas este

procedimiento puede ser muy engorroso y de poca

utilidad.

Una segunda opción es la construcción de formulas

especialmente adaptadas con estos fines.

A este tópico se dedica este capítulo.

Introducción

5

Capítulo II


• Introducción



• Referencias

6

Dad la importancia que tiene el desarrollo en serie de

Taylor de funciones, recordaremos el teorema de Taylor.

Teorema de Taylor:

Supongamos que f œ Cn[a,b], que f(n+1) existe en [a,b] y

que x0 œ [a,b]. Para toda x œ [a,b] habrá un número ξ(x) entre x0 y x tal que

Derivación numérica

( ) ( ) ( )xRxPxf +=

donde

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )!1

!!...

!21

01

0

00

00

2

00000

+−=

−=−++−′′+−′+=

++

=∑

n

xxxfxR

k

xxxf

n

xxxf

xxxfxxxfxfxP

n

n

n

k

k

k

n

n

ξ

Polinomio de Taylor

Residuo

7

Las aproximaciones numérica a las derivadas parten

del uso de desarrollos en serie de Taylor. Escribamos


( ) ( )0 !

m m

mm t

x d ff x x

m dx

∞

=

∆ + ∆ =

∑

Esta expresión se escribe como

( ) ( ) ( )( )

1 1

10 ! 1 !

m nm nn

m nm t c

x xd f d ff x x

m dx n dx

+ +

+=

∆ ∆ + ∆ = + +

∑

con c ∈[t,t+∆t]. El segundo término representa el

“error” cometido para la aproximación con n

términos.

8

Supongamos que tenemos una secuencia de datos

ordenados de manera creciente en x de manera que

se expresan como (xi,yi), 0§i§k. Supongamos, para

simplificar, que los puntos están espaciados de

manera uniforme.

La primera derivada en los puntos de data conocida

se calcula, en primer orden, a partir de


( ) ( ) ( )2x

dff x x f x x O x

dx+ ∆ = + ∆ + ∆

Luego, al despejar obtenemos

( ) ( ) ( )x

f x x f xdfO x

dx x

+ ∆ −= + ∆

∆

9

Si escribimos esta ecuación en términos de los

valores conocidos, con


obtenemos

( ) ( ) ( )1i i

x

f x f xdfO x

dx x

+ −= + ∆

∆

( )1i i

i i

x x x

y f x

+∆ = −=

Esta expresión corresponde a la fórmula de la

primera derivada “hacia adelante”, en primer orden.

10

De manera similar podemos calcular la derivada

hacia atrás


( ) ( ) ( )1i i

x

f x f xdfO x

dx x

−−= + ∆

∆

Estas ecuaciones

corresponden a las

pendientes de rectas que

unen a los distintos

puntos.

( ) ( ) ( )2x

dff x x f x x O x

dx− ∆ = − ∆ + ∆

x

y

xi

11

Expresiones con mayor precisión pueden ser

construidas. Por ejemplo si escribimos nuevamente

los desarrollos tenemos:


Restando estas ecuaciones obtenemos

( ) ( ) ( )2 2

3

22!x x

df x d ff x x f x x O x

dx dx

∆+ ∆ = + ∆ + + ∆

( ) ( ) ( )2 2

3

22!x x

df x d ff x x f x x O x

dx dx

∆− ∆ = − ∆ + + ∆

( ) ( ) ( )32x

dff x x f x x x O x

dx+ ∆ − − ∆ = ∆ + ∆

12

Al despejar


Utilizando la notación indicial

( ) ( ) ( )22x

f x x f x xdfO x

dx x

+ ∆ − − ∆= + ∆

∆

( ) ( ) ( )1 1 2

2

i i

x

f x f xdfO x

dx x

+ −−= + ∆

∆Esta ecuación es de un

orden mayor de precisión y

se interpreta como se

muestra en la figura x

y

xi

13

La expresión anterior nos permite hallar la derivada

en el punto i a partir de los valores conocidos de f en

(i+1) e (i-1).

Gráficamente tenemos


Esta ecuación permitirá entonces determinar los

valores de las derivadas en puntos internos en orden

2.

xxixi-1 xi+1

( ) ( ) ( )1 1 2

2

i i

x

f x f xdfO x

dx x

+ −−= + ∆

∆

14

En los bordes, si se quiere conservar el mismo orden

tendremos que hacer los desarrollos como sigue.


Multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la

segunda

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

3

21! 2!x x

x xdf d ff x x f x O x

dx dx

∆ ∆ + ∆ = + + + ∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

3

2

2 22

1! 2!x x

x xdf d ff x x f x O x

dx dx

∆ ∆ + ∆ = + + + ∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )34 2 3 21! x

x dff x x f x x f x O x

dx

∆ + ∆ − + ∆ = + + ∆

15

Simplificando obtenemos


En notación indicial

( ) ( ) ( ) ( )23 4 2

2x

f x f x x f x xdfO x

dx x

− + + ∆ − + ∆= + ∆

∆

( ) ( ) ( ) ( )1 2 23 4

2

i i i

x

f x f x f xdfO x

dx x

+ +− + −= + ∆

∆

Similarmente, desarrollando hacia atrás

( ) ( ) ( ) ( )1 2 23 4

2

i i i

x

f x f x f xdfO x

dx x

− −− += + ∆

∆

16

Combinando desarrollos en serie de Taylor con más

puntos, fórmulas de orden superior pueden ser

halladas.

De manera similar, fórmulas para segundas

derivadas pueden ser construidas


( )( )

221 1

22

2i i i

x

f f fd fO x

dx x

− + − += + ∆ ∆

( )( )

21 2 3 2

22

2 5 4j j j j

x

f f f fd fO x

dx x

− − −− + − = + ∆

∆

( )( )

21 2 3 2

22

2 5 4j j j j

x

f f f fd fO x

dx x

+ + +− + − = + ∆

∆

17

Aplicación. Se desea hallar la expresión aproximada

de la primera y segundas derivadas de la función

tabulada siguiente en los primeros dos puntos:


a) Cálculo de la primera derivada en el extremo

izquierdo( ) ( ) ( ) 18.13834

1.0

88936544.1070319944.121

8.1

=∆+−=∆+∆

−= +

=

xOxOx

ff

dx

xdf ii

x

( ) ( ) 16.83294631.0*2

)0.2()9.1(4)8.1(3 2

8.1

=∆+−+−==

xOfff

dx

xdf

x

x f(x)1.8 10.889365441.9 12.703199442 14.7781122

18

b) Cálculo de las derivadas en el nodo interior


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20.74912761.0

9.10.21

9.1

=∆+−=∆+∆

−= +

=

xOff

xOx

ff

dx

xdf ii

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18.138341.0

8.19.11

9.1

=∆+−=∆+∆−= −

=

xOff

xOx

ff

dx

xdf ii

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19.44373381.0*2

9.11.2

2

2211

9.1

=∆+−=∆+∆−= −+

=

xOff

xOx

ff

dx

xdf ii

x

A los fines de examinar la exactitud de las

aproximaciones realizadas, la tabla siguiente

presenta los resultados obtenidos así como la

comparación con la función que generó la data.

19


Hacia

adelante

Orden 1

Exacta Adelante Error (%)x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx)]

1.8 10.88936544 16.9390129 18.13834 7.081.9 12.70319944 19.38909388 20.7491276 7.012 14.7781122 22.1671683

Exacta Atrás Error (%)x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx)]

1.8 10.88936544 16.93901291.9 12.70319944 19.38909388 18.13834 -6.452 14.7781122 22.1671683 20.7491276 -6.40

x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx2)]1.8 10.88936544 16.9390129 16.8329463 -0.631.9 12.70319944 19.389093882 14.7781122 22.1671683

Exacta Centrada Error (%)x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx2)]

1.8 10.88936544 16.93901291.9 12.70319944 19.38909388 19.4437338 0.282 14.7781122 22.1671683

Hacia atrás

Orden 1

Hacia

adelante

Orden 2

Centrada

Orden 2

20


Es claro que los mejores resultados se obtienen con las

derivadas de orden superior, por lo que estas son utilizadas

preferentemente.

Analicemos la influencia del espaciamiento en la exactitud

del cálculo, entre los datos, cuando se conoce la función y

se desea calcular la derivada. Por ejemplo, para la misma

función, con aritmética de cuatro dígitos tenemos

h f(x+h) f(x-h) f´(x) [O(Dx2)] Error (%)1 52.705 2.2136 25.2457 30.2056721

0.1 14.7781 10.8894 19.4435 0.280601650.01 12.8984 12.5106 19.39 0.00467334

0.001 12.7226 12.6838 19.4 0.056248720.0001 12.7051 12.7013 19 -2.00676672

0.00001 12.7034 12.703 20 3.150771880.0000001 12.7032 12.7032 0 -100

0.00000001 12.7032 12.7032 0 -1000.000000001 12.7032 12.7032 0 -100

Error

empieza

a crecer

Error es

máximo!

21


Dos inconvenientes se presentan. En primer lugar el error

para valores muy pequeños de Dx se hace muy grande.

Esto es debido a errores debido a la cantidad de cifras

empleadas para la representación de las cantidades.

Sin embargo, a partir de cierto valor de Dx (alrededor de

0.01 en nuestro ejemplo), el error comienza a crecer.

Para examinar las razones del crecimiento del error

consideremos la formula de tres puntos para diferencias

centradas ( ) ( ) ( ) ( )22

xOx

xxfxxf

dx

xdf

x

∆+∆

∆−−∆+=

Si escribimos de manera explícita el error de redondeo

tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )22

xOx

xxexxfxxexxf

dx

xdf

x

∆+∆

∆−+∆−−∆++∆+=

22


Luego, el error total de la aproximación es:

Si suponemos el caso más desfavorable y consideramos

que el error está acotado por algún número ε>0 tenemos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

xOx

xxexxe

x

xxfxxf

dx

xdf

x

∆+∆

∆−−∆+=

∆∆−−∆+−

( ) ( ) ( ) ( )22

xOxx

xxfxxf

dx

xdf

x

∆+∆

=

∆∆−−∆+− ε

Entonces, a medida que disminuye Dx, el error de

truncamiento disminuye pero el error de redondeo se

incrementa.

Por esta razón, usualmente, cuando se conoce la función y

se calcula la derivada utilizando las formulas antes

descritas, el valor de Dx debe escogerse de manera que no

sea tan pequeño que el error de redondeo sea apreciable.

23

Fórmulas para puntos espaciados de manera no

uniforme pueden ser deducidas y se encuentran

fácilmente en la literatura.

Inclusive, en algunos casos, se construye el

polinomio interpolante de Lagrange de segundo

orden, que pasa por conjuntos de tres puntos

irregularmente espaciados y se deriva el mismo

obteniéndose


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )1111

1

11

111

111

1

2

22

++−+

−

+−

+−−

+−−

+

−−−−

+−−

−−+−−

−−=′

i

iiii

ii

i

iiii

iii

iiii

ii

xfxxxx

xxx

xfxxxx

xxxxf

xxxx

xxxxf

24

Con esta expresión es posible estimar la derivada en

el interior del dominio [xi-1,xi+1].

No siempre es mas conveniente utilizar expresiones

con mayor cantidad de puntos debido a la

imposibilidad de reflejar de manera adecuada

cambios abruptos (por ejemplo ondas de choque) o

las condiciones de borde (necesidad de discretizar la

malla de manera muy fina).


25

Capítulo II


• Introducción



• Referencias

26

Al igual que para el cálculo de derivadas, diferentes

métodos están disponibles.

En particular, si se puede trazar un polinomio

interpolante, o splines, las integrales pueden ser

calculadas.

Nuevamente este procedimiento puede resultar muy

engorroso por lo que es necesario desarrollar otros

métodos.

El método mas burdo se obtiene a partir de la

definición de integración definida.

Considere una secuencia de datos equiespaciados

(por simplicidad)

Integración numérica

27

Si utilizamos la

definición de integración


x y1 1.32 3.53 4.24 55 76 8.87 10.18 12.59 13

10 15.6

INTEGRACION NUMERICA

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

x

f(x)

( ) ( )1

lim

b n

nia

f x dx f x x→∞ =

= ∆∑∫

INTEGRACION NUMERICA

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

x

f(x)

28

Se obtiene una primera fórmula para integración

(regla del rectángulo)


Si los puntos están espaciados de manera uniforme

∆x=h

Salvo por la acumulación de los errores de redondeo,

mientras más puntos se escojan, más preciso será el

cálculo de la integral.

( ) ( ) ( )∑∑∫−

=

−

=∞→∆==

1

1

1

1

limn

i

i

n

in

b

axxfdxxfdxxf

( ) ( ) [ ]∑∫−

=−− ++++==

1

1

12210 ...n

i

nni

b

afffffhxfhdxxf

29

Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función


Considere diferentes valores de h. Si hacemos

tendremos

( ) 822 +−= xxxf

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]8121...81218020

82

82

222

1

0

26

0

1

0

2

1

0

+−−−+++−++−=

=+−=

++−+=

=

∑∫

∑∫

∑∫

−

=

−

=

−

=

hnhnhhhhh

ihihhdxe

ihaihahdxe

xfhdxxf

n

i

x

n

i

b

a

x

n

i

i

b

a

n

abh

−=

30

Si escogemos h=1 tendremos


x f(x)0 81 72 83 114 165 236

Luego,

( ) ( ) [ ] 7323161187811

0

=+++++== ∑∫−

=

n

i

i

b

axfhdxxf

Para estimar el error, comparemos con la solución

analítica

( ) Cxxx

dxxf ++−=∫ 83

23

31

Entonces,


y el error relativo es:

%1.13100*84

7384 −=−=E

Para disminuir el error, escojamos valores de h mas

pequeño. La tabla siguiente presenta algunos resultados.

( ) 8483

82

6

0

236

0

2 =

++−=+−∫ Cxx

xdxxx

n h Integral Error6 1 73.0000 -13.0952460 0.1 82.8100 -1.41667600 0.01 83.8801 -0.14274

6000 0.001 83.9880 -0.0142860000 0.0001 83.9988 -0.00143

32



Considere diferentes valores de h.

Si hacemos tendremos

( ) xexf =

( ) ( )

( ) ( )[ ]hnhnhhhn

i

ihx

n

i

ihab

a

x

n

i

i

b

a

eeeeehehdxe

ehdxe

xfhdxxf

12201

0

6

0

1

0

1

0

... −−−

=

−

=

+

−

=

+++++==

=

=

∑∫

∑∫

∑∫

n

abh

−=

33

La tabla siguiente presenta los valores obtenidos para

distintos h.


n h Integral Error6 1 234.20418 -41.8023

60 0.1 382.64266 -4.9167

600 0.01 400.42000 -0.4992

6000 0.001 402.22761 -0.0500

60000 0.0001 402.40867 -0.0050

Nótese que a diferencia del ejemplo anterior, la

disminución del error al disminuir el paso h es mas

lenta en este caso. En algoritmos que requieran

eficiencia, podría requerirse valores de h muy

pequeños, lo que demandaría tiempos de cálculo muy

grande.

Esto lleva a la búsqueda de métodos mas eficientes.

34

El siguiente programa fue utilizado para obtener los resultados anteriores

% programa integra

clear all

clc

% Integración de f(x) entre a y b para

% distintos valores de discretización

% Definición de la función

f=inline('x^2-2*x+8');

% f=inline('exp(x)');

% Integral teórica

f_int=inline('x^3/3-x^2+8*x');

% f_int=inline('exp(x)');

% Limites de la integración

a=0; b=6;

% Grafica de la función

ezplot(f,[a,b])


% Número de intervalos inicial

n=6;

% Número de discretizaciones a probar

num_disc = 5;

for k=1:num_disc

h=(b-a)/n;

sum=0;

for j=1:n

i=j-1;

sum=sum+f(a+i*h);

end

int=h*sum;

int_teo=f_int(b)-f_int(a);

error=(int-int_teo)/int_teo*100;

fprintf('%8d %12.5f %8.5f %8.5f\n',n, h, int, error)

n=n*10;

end

35


Una nueva fórmula para integración es obtenida a partir

de la regla del trapecio en la cual, rectas son trazadas

entre los distintos puntos que constituyen la data.INTEGRACION NUMERICA

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

x

f(x)

En este caso, la fórmula para integración es

( ) ( )nn

n

i

iib

afffff

hx

ffdxxf +++++=∆

+≈ −=

+∑∫ 1210

0

1 2...2222

36



Utilizando la regla del trapecio. Considere diferentes

valores de h.

Si hacemos tendremos

( ) xexf =

n

abh

−=

( ) ( )

( )( )nhhnhhhn

i

iib

a

x

nn

n

i

iib

a

eeeeeh

xff

dxe

fffffh

xff

dxxf

+++++=∆

+≈

+++++=∆

+≈

−

=

+

−=

+

∑∫

∑∫

1210

0

1

1210

0

1

2...2222

2...2222

37

La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos

para distintos valores de h.


n h Integral Error6 1 435.41858 8.19767

60 0.1 402.76409 0.08332600 0.01 402.43215 0.00083

6000 0.001 402.42883 0.0000160000 0.0001 402.42879 0.00000

Ahora, nos damos cuenta de que, en este caso, el error

cometido, comparado con los resultados obtenidos al

utilizar la regla del rectángulo, para el mismo paso h, es

mucho menor.

¿Por qué ocurre esto?

38

Para responder a esta pregunta, notemos que si utilizamos como aproximación para la función f(x) el polinomio de Taylor entre los puntos xi y xi+1obtenemos


Luego, al integrar entre esos puntos, obtenemos

( ) ( ) ( )( )ii xxOxfxf −+=

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )21

111

iiii

x

xi

x

xi

x

x

xxOxxxf

dxxxOdxxfdxxfi

i

i

i

i

i

−+−=

−+=

+

∫∫∫+++

que corresponde a la regla

del rectángulo mas un error

de orden h2ix

1+ix

( )ixf

39

Por otra parte, si se utiliza una aproximación del

polinomio de Taylor un orden superior


( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )32

11

2

2

1111

iii

iiii

x

xi

x

xii

x

xi

x

x

xxOxx

xfxxxf

dxxxOdxxxxfdxxfdxxfi

i

i

i

i

i

i

i

−+−′+−=

−+−′+=

++

∫∫∫∫++++

( ) ( ) ( )( ) ( )( )21xxOxxxfxfxf iii −+−′+=

al ser integrada entre xi y xi+1 nos lleva a

40


Si aproximamos hacia adelante la primera derivada de

f(x) en xi tenemos

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )3111

32

1

1

11

2

2

1

iiiii

iii

iii

ii

iiiii

x

x

xxOxxxfxf

xxxf

xxOxx

xx

xfxfxxxfdxxf

i

i

−+−−+−=

−+−−−+−=

+++

+

+

++∫

+

que corresponde a la regla del

trapecio mas un error de

orden h3.

Se entiende entonces, que al

ser error de orden superior, la

regla del trapecio es más

precisa que la del rectángulo.

ix1+ix

( )ixf

( )1+ixf

41


Una fórmula aún mas precisa, denominada Regla de

Simpson se obtiene al considerar la integración en cada

subintervalo a partir del desarrollo en serie de Taylor de

f(x)

.

Luego, una aproximación a la

integral de f(x) en el intervalo

[x0,x2] viene dada por

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )413

11

2

11111

!3!2xxO

xxxf

xxxfxxxfxfxf −+−′′′+−′′+−′+=

0x 1x 2x

( )0xf

( )1xf( )2xf

42


Integrando

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )dxxxOdxxx

xf

dxxx

xfdxxxxfdxxfdxxf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

∫∫

∫∫∫∫

−+−′′′+

−′′+−′+=

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

4

1

3

11

2

11111

!3

!2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )514

11

3

11

2

111

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

24

62

xxOxx

xf

xxxf

xxxfxxfdxxf

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

−+−′′′+

−′′+−′+=∫

43


Luego, tendremos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] 0242424

3666

0222

2

4414

10

4

121

4

11

313313

10

3

121

3

11

2212

10

2

121

2

11

10211

2

0

2

0

2

0

2

0

=−′′′

=−−−′′′

=−′′′

′′=−−

′′=−−−

′′=−′′

=−′

=−−−′

=−′

=−=

hhxf

xxxxxfxx

xf

hxf

hhxf

xxxxxfxx

xf

hhxf

xxxxxfxx

xf

xhfxxxfxxf

x

x

x

x

x

x

x

x

Cada integral se evalúa para dar:

44


Utilizando la expresión centrada para la segunda

derivada obtenemos (cuidado con el orden del error!)

( ) ( ) ( ) ( )5311

32

2

0

hOhxf

xhfdxxfx

x+

′′+=∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32

2

2101

2

3

12

2

0

hhOh

xfxfxfxhfdxxf

x

x

++−+=∫

Simplificando, obtenemos la Regla de Simpson

( ) ( ) ( ) ( )[ ]210 43

2

0

xfxfxfh

dxxfx

x++≈∫

precisa en orden h5.

45


Si se desea realizar la integración en un intervalo

[a,b], se subdivide el intervalo de integración en un

numéro par n de subintervalos y se aplica la regla de

Simpson en cada par consecutivo de subintervalos

0x 1x 2x 3x 4x 22 −jx 12 −jx jx2 1−nx

( )dxxfx

x∫2

0

( )dxxfx

x∫4

2

( )dxxfj

j

x

x∫ −

2

22

( )dxxfn

n

x

x∫ −2

nx2−nx

46


Luego, la integral vendrá dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∫∫=

−−=

++=≈−

2/

1

21222

2/

1

43

2

22

n

j

jjj

n

j

x

x

b

axfxfxf

hdxxfdxxf

j

j

0x 1x 2x 3x 4x 22 −jx 12 −jx jx2 1−nx

( )dxxfx

x∫2

0

( )dxxfx

x∫4

2

( )dxxfj

j

x

x∫ −

2

22

( )dxxfn

n

x

x∫ −2

nx2−nx

47


Desarrollando tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]nnnnnn

jjj

jjjjjj

b

a

xfxfxfxfxfxf

xfxfxf

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfh

dxxf

++++++

+++

++++++

++++++≈

−−−−−

++

−−−−−

∫

12234

22122

21222223242

432210

44

4 .....

44....

443

( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

+++≈ ∑∑∫

−

==− n

n

j

j

n

j

j

b

axfxfxfxf

hdxxf

12/

1

2

2/

1

120 243

Reagrupando llegamos a:

48


n h Integral Error6 1 404.423706 0.49571807

60 0.1 402.429017 5.5489E-05600 0.01 402.428794 5.5555E-096000 0.001 402.428793 6.78E-13

60000 0.0001 402.428793 -2.119E-13


Utilizando la regla de Simpson. Considere diferentes

valores de h.

La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos:

( ) xexf =

Nótese que el tamaño del error, para el mismo número

de subintervalos es bastante menor al obtenido con las

reglas del rectángulo y del trapecio para el mismo

ejemplo.

49


Las formulas derivadas para las reglas del trapecio y

de Simpson corresponden a una clase de métodos

denominados formulas de Newton-Cotes.

Dos tipos de formulas de Newton-Cotes existen:

abiertas y cerradas.

Las formulas cerradas de (n+1) puntos de Newton-

Cotes utilizan en cada subintervalo (n+1) puntos,

identificados como

10 ,...,n, kkhxx iki =+=+

con

n

xxh ini −= +

ix1+ix 2+ix

nix+

50


Esta fórmulas se denomina cerrada ya que los

extremos del subintervalo cerrado [xi,xi+n] se incluyen

como nodos. La fórmula es dada por:

( ) ( )k

ni

ik

k

x

xxfadxxf

ni

i∑∫+

=

≈+

donde, si Lk(x) representa los polinomios de Lagrange

que interpolan los (n+1) puntos de data tendremos

( ) ( )( )dx

xx

xxdxxLa

ni

i

ni

i

x

x

ni

kjij jk

jx

xkk ∫ ∏∫

+++

≠= −

−==

51


Por ejemplo, para n=1 tenemos

y

( )( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )22

1

22

1

1

2

11

1

11

1

1

2

1

11

11

1

1

11

1

11

1

ii

x

x

i

ii

x

xii

ix

x

i

ijij ji

j

i

ii

x

x

i

ii

x

xii

ix

x

i

ijij ji

j

i

x

x

i

kjij jk

j

k

xxxx

xxdx

xx

xxdx

xx

xxa

xxxx

xxdx

xx

xxdx

xx

xxa

dxxx

xxa

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

−=

−−

=−

−=−

−=

−=

−−

=−−=

−−

=

−−

=

+

++

+

+≠= +

+

++

++

++

≠=

+

≠=

+

++

+

++

+

∫∫ ∏

∫∫ ∏

∫ ∏

( ) ( ) ( ) ( )11

11

++

+

=

+=≈∑∫+

iiiik

i

ik

k

x

xxfaxfaxfadxxf

i

i

iiini xx

n

xxh −=−= +

+1

52


Luego,

que corresponde a la fórmula del trapecio.

Las distintas fórmulas junto con la expresión del error

se presentan a continuación.

n=1 : Regla del trapecio

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]111

22

1

+++ +=+−≈∫

+

iiiiii

x

xxfxf

hxfxf

xxdxxf

i

i

( ) ( ) ( )[ ] ( )

1

3

1122

1

+

+

<<

−+=∫+

ii

ii

x

x

xx

fh

xfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

53


n=2 : Regla de Simpson

n=3: Regla de Simpson 3/8

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

2

45

2190

43

2

+

++

<<

−++=∫+

ii

iii

x

x

xx

fh

xfxfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

3

45

32180

333

8

33

+

+++

<<

−+++≈∫+

ii

iiii

x

x

xx

fh

xfxfxfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

4

67

4321945

873212327

45

24

+

++++

<<

−++++≈∫+

ii

iiiii

x

x

xx

fh

xfxfxfxfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

n=4

54


Aplicación: Integre utilizando las fórmulas cerradas

de Newton-Cotes para n=1,2,3 y 4 la función

( ) ( )3 cos 1 xf x x x x e−= + +

en el intervalo [-1,5] con h=1/2.

La tabla de valores de f(x) y su gráfica son:

-1 0 1 2 3 4 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

x cos(x)+(x3+1) exp(-x)i x f(x)0 -1 -0.540302311 -0.5 1.003839832 0 13 0.5 1.121138274 1 1.276061195 1.5 1.082300256 2 0.385723887 2.5 -0.638195948 3 -1.575939589 3.5 -1.95268821

10 4 -1.4240579611 4.5 0.0748352112 5 2.26729225

55


Para n=1, tenemos:

( ) ( ) ( )[ ] ( )

1

3

1122

1

+

+

<<

−+=∫+

ii

ii

x

x

xx

fh

xfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

-1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Regla del trapecio

x

f(x)

Trapecio I_trapecio1 0.115884382 0.500959963 0.530284574 0.599299875 0.589590366 0.367006037 -0.063118028 -0.553533889 -0.8821569510 -0.8441865411 -0.3373056912 0.58553186

0.60825596

56


n=2, tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

2

45

2190

43

2

+

++

<<

−++=∫+

ii

iii

x

x

xx

fh

xfxfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

i x f(x) I_Simpson0 -1 -0.540302311 -0.5 1.00383983 0.745842842 0 13 0.5 1.12113827 1.126769054 1 1.276061195 1.5 1.08230025 0.998497686 2 0.385723887 2.5 -0.63819594 -0.623833248 3 -1.575939589 3.5 -1.95268821 -1.80179173

10 4 -1.4240579611 4.5 0.07483521 0.1904291912 5 2.26729225

0.63591378-1 0 1 2 3 4 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Regla de Simpson

x

f(x)

57


n=3, Regla de Simpson 3/8

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

3

45

32180

333

8

33

+

+++

<<

−+++≈∫+

ii

iiii

x

x

xx

fh

xfxfxfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

i x f(x) I_Simpson 3/80 -1 -0.540302311 -0.5 1.003839832 0 1 1.2360666493 0.5 1.121138274 1 1.276061195 1.5 1.08230025 1.6091149646 2 0.385723887 2.5 -0.638195948 3 -1.57593958 -1.5392570389 3.5 -1.95268821

10 4 -1.4240579611 4.5 0.07483521 -0.69994953712 5 2.26729225

0.605975037-1 0 1 2 3 4 5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Regla de Simpson 3/8

x

f(x)

58


n=4,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

4

67

4321945

873212327

45

24

+

++++

<<

−++++≈∫+

ii

iiiii

x

x

xx

fh

xfxfxfxfxfh

dxxfi

i

ξ

ξ

-1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5newton-Cotes cerrada n=4

x

f(x)

i x f(x) n=40 -1 -0.540302311 -0.5 1.003839832 0 1 1.8922135893 0.5 1.121138274 1 1.276061195 1.5 1.082300256 2 0.38572388 0.3720194657 2.5 -0.638195948 3 -1.575939589 3.5 -1.9526882110 4 -1.42405796 -1.60756717211 4.5 0.0748352112 5 2.26729225

0.656665882

59


MATLAB calcula fácilmente la integral numérica de la función f, entre a y b utilizando las siguientes instrucciones:

f=inline ('x.*cos (x)+(x.^3+1).*exp (-x)');

a=-1; b=5;

int_teo=quad(f,a,b)

int_teo =

0.6652

También, la integral puede ser obtenida analíticamente:

syms x Integ;

Integ = int(x.*cos (x)+(x.^3+1).*exp (-x));

pretty(Integ)

60


h Trapecio Simpson Simpson_3_8 n=40.5 0.60825596 0.63591378 0.60597504 0.65666588

Error (%) 8.563 4.405 8.906 1.2860.25 0.64948424 0.66322699 0.66086051 0.66504788

Error (%) 2.365 0.300 0.655 0.0260.16666667 0.65810058 0.66481971 0.66433115 0.66520375

Error (%) 1.070 0.060 0.134 0.0020.125 0.66119032 0.66509235 0.66493535 0.6652167

Error (%) 0.606 0.019 0.043 0.000

La tabla siguiente presenta la comparación de los

resultados obtenidos para distintos valores de h

(escogidos de manera que el número de subintervalos

permitiera usar todas las fórmulas)

Nótese que el error para h=0.5 es comparable entre las

fórmulas del trapecio y la de Simpson 3/8. Esto es

debido la forma particular de la función integrada. La

lámina siguiente presenta las gráficas de cada

aproximación para h=0.25

61


-1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Regla del trapecio

x

f(x)

-1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Regla de Simpson

x

-1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Regla de Simpson 3/8

-1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5newton-Cotes cerrada n=4

62


En conclusión, ahora usted dispone de un conjunto de

relaciones que le permiten calcular integrales

numéricamente.

Así mismo, todos los paquetes comercialmente

disponibles poseen comandos o rutinas adaptadas a

necesidades especificas como funciones que varían

muy rápido en algunas regiones y muy lentamente en

otras, lo que puede hacer poco eficientes los métodos

estudiados en este capítulo.

63

Capítulo II


• Introducción



• Referencias

64

Referencias

1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta

Edición, International Thomson Editores, 1998

2. Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra S.,

Canale R., 4ta Edición, McGrawHill, 2003

3. Análisis Numérico con Aplicaciones, Gerald C.,

Wheatley P.,6ta Edición, Pearson Educación, 1999

65

Capítulo II

Derivación e integración

numérica

Universidad Simón Bolívar

Mecánica Computacional II

CAPITULO II Derivación e integración numérica · No obstante, en aplicaciones prácticas este...

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