Fórmulas de Derivación Numérica: Aproximación de la derivada ...

0Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Fórmulas de Derivación Numérica:Aproximación de la derivada primera de una

función

Fórmulas de Derivación Numérica:Aproximación de la derivada primera de una

función

Prof. Alfredo LProf. Alfredo Lóópez Benitopez BenitoProf. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LáázarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo Lóópezpez Abril, 2007



OBJETIVOSOBJETIVOS

1º. Conocer el concepto de fórmula de derivación numérica

2º. Obtener y aplicar fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio para aproximar primeras derivadas de funciones.

3º. Analizar y obtener cotas del error de aproximación de derivadasprimeras mediante fórmulas de tipo interpolatorio.

4º. Conocer las principales propiedades de las fórmulas de derivaciónnumérica de tipo interpolatorio para aproximar derivadas primerasde funciones.

5º. Obtener y aplicar fórmulas de tipo interpolatorio para aproximarderivadas de orden superior al primero, y conocer sus propiedadesprincipales.



DefiniciónSe denomina FÓRMULA DE DERIVACIÓN NUMÉRICApara aproximar f’(x*) sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} atoda expresión de la forma:

i

n

i 0if fx*'( ) . ( )xc

=

≈ ∑A los números ci se les denomina COEFICIENTES (oPESOS) de la fórmula.

Si ci = Li’(x*), siendo Li(x) (i = 0, 1, ..., n) los (n+1)polinomiosde base de Lagrange sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} a la fórmula se la denomina fórmula de derivación numérica detipo interpolatorio (en el sentido de Lagrange).

Fórmulas de derivación numérica: definición.Fórmulas de derivación numérica: definición.



DefiniciónSiendo f(x) una función derivable en x* y dada la fórmulade derivación numérica para aproximar f’(x*) sobre elsoporte {x0, x1, ..., xn}:

i*

n

i 0if '( ) ' . ( )x* xf c f

=

≈ = ∑se denomina ERROR DE TRUNCAMIENTO de la fórmulapara la función f(x) el en punto x*, al valor:

Rf(x*) = f’(x*) – f’*NOTA:Para cada función f, f

fxR

R (x: I

)R→

→Se buscará acotar Rf(x) en el intervalo I.

Fórmulas de derivación numérica: error.Fórmulas de derivación numérica: error.



Rf(x*)ci

Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio

Fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio

Siendo pn(x) el polinomio interpolador de Lagrange de una función f(x) sobre el soporte {x0, x1, …, xn} se tiene que:

f(x) = pn(x) + εf(x) = n

i i fi

f(x )·L (x) (x)=

+ ε∑0n

l li i f

if'(x*) f(x )·L (x*) (x*)

=

= + ε∑0

A las fórmulas así obtenidas se las de derivación numérica de tipo interpolatorio construidas sobre elsoporte {x0, x1, …, xn}

Sea n ≥ 1.



OBSERVACIÓNEn otros términos, las fórmulas de derivación numérica de

tipo interpolatorio que aproximan el valor de f’(x*), se obtienen derivando el polinomio interpolador de la función

f(x) y particularizando la expresión de la derivada en x*.

Para ello, puede utilizarse cualquiera de las expresiones queproporcionan el polinomio interpolador

(fórmula de Lagrange, fórmula de Newton, fórmulas endiferencias finitas, ...)

Fórmulas de tipo interpolatorio: obtención.Fórmulas de tipo interpolatorio: obtención.



Ejemplo: Soporte: {x0 , x1}Polinomio interpolador de f(x) en este soporte:

[ ]1 0 0 1 0(x) (x) (x )f p x ,x ·(xf )f x≈ = + −

Aproximación de f’(x*) mediante una fórmula de tipo in-terpolatorio con el soporte {x0 , x1} :

En un punto x*:

11 0

1 0

fx* (x ) fx (x )'( ) '( )x

*f px

−≈ =

− x*x0 x1

[ ] 1 00 11

1 0

f(x ) (x )'( fx) '(x) x ,f xx

p fx

−≈ = =

−

Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.



11 0

1 0

fx* (x ) fx (x )'( ) '( )x

*f px

−≈ =

−

x*x0 x1

H

0 1· (x )1 1H H

f f· (x )= +−

c0 c1

h0 h1

Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 1.

α f’(x*) = tg (α)

β p1’(x*) = tg (β)



Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2

a) Obtener una fórmula de tipo interpolatorio que aproximef’(x*) sobre el soporte {x0=x*-2·h, x1=x*-h, x2=x*}

b) Aplicar la fórmula a la aproximación de la primera deri-vada de la función e-x en el punto x* =0 y con pasos h = 10-1, 10-2, ……, 10-10

Solución:

0 2(x x * h)·(x x*)L (x)

2h− + −

= 01L' (x*)2h

=

1 2(x x * 2h)·(x x*)L (x)

h− + −

= − 12L' (x*)h

= −



Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2Fórmulas de tipo interpolatorio: ejemplo 2

01L' (x*)2h

=

2 2(x x * 2h)·(x x * h)L (x)

2h− + − +

=

( )f'(x*) f(x * h) ·f(x * h) ·f(x*)h

≈ − − − +1 2 4 32

¡APLIQUÉMOSLA !

0 2(x x * h)·(x x*)L (x)

2h− + −

=

1 2(x x * 2h)·(x x*)L (x)

h− + −

= − 12L' (x*)h

= −

23L' (x*)2h

=



EjemploEjemplo

( )f'(x*) f(x * h) ·f(x * h) ·f(x*)h

≈ − − − +1 2 4 32

x* = 0 f = x e-x f’(0) =-1 h Valor aproximado de f’(0)

0.1 -0.99640457000.01 -0.999966400010-3 -0.9999995000

10-4 -1.000000000010-9 -1.00000000009·10-10 -1.11111111111·10-10 0.0000000000

Disminuir h por debajo de un cierto umbral empeora el resultado



El error en las fórmulas de tipo interpolatorio

El error en las fórmulas de tipo interpolatorio

( ) ( ) ( )(n n

n n ii

f (x)x x ,x (x) / f(x) p (x) · x x

(n ) !

+

=

ξ∀ ∈ ∃ξ = ξ − = −

+ ∏1

001

n(n

ifi

R (x*) f ( (x*))· '(x*)· (x * x )(n ) !

+

=

⎡ ⎤= ξ ξ − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

∏2

0

11

n n(n

iiji j

f ( (x*))· (x * x )(n ) !

+

==≠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ ξ −⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∏∑1

00

11



Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylor

x0 x1 xnx*

h0 h1

h = sup(h0, h1) = sup(|x*-x0|, |x*-xn| )

xi = x* + θi·h (i = 0, ..., n) [ ]i 1,1θ ∈ −

j j n 1 n 1n( j (n 1i i

i i i ij 2

f f f f f·h ·h(x ) ( ·h) ( ) ·x * x* x* x* xh· '( ) · ( ) · ( ·h)j! (n 1)!

f *+ +

+

=

θ θ= +θ = + θ + + +δ

+∑n n

i

n

i ii

ii 0 i

i0 0

f fx* x* x'( ) · (x ) ( )· h· '( )·f fc *c c= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = + θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( )j n 1n n n

( j j n 1 (n 1i i i

j 2 i 0 i 0i i

h h( )· · · · · · ( ·h)j! (n 1)!

f fc cx* x *+

+ +

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞+ θ + θ +δ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Si f∈Cn+1((a, b)):



Uso de desarrollos en serie de TaylorUso de desarrollos en serie de Taylorn n

i

n

i ii

ii 0 i

i0 0

f fx* x* x'( ) · (x ) ( )· h· '( )·f fc *c c= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = + θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

( )j n 1n n n

( j j n 1 (n 1i i i

j 2 i 0 i 0i i

h h( )· · · · · · ( ·h)j! (n 1)!

f fc cx* x *+

+ +

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞+ θ + θ +δ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Propiedad 1n

i 0i 0c

=

=∑Si ci = Li’(x*) ......

(Ver la demostración en presentación nº 16)

Propiedad 2n

ii 0

i ·1h

c=

θ =∑

Propiedad 3n

ji

i 0ic · 0

=

θ =∑ (Ver presentación nº 17)(j = 2, ..., n)

(Ver la demostración en presentación nº 17)




( )n 1n n

n 1 (n 1i i i

i 0i i

i 0

h'( ) · (x ) '( ) · · · ( ·h)(n

f f fx* x* x1)!

c f *c+

+ +

= =

≈ = + θ +δ+∑ ∑

Si ci = Li’(x*) y se denota por hi = θi·h = xi – x*:

( )nn n

n (n 1i i i i

i 0 i 0i i

h'( ) · (x ) '( ) · · ·h · ( ·h)(n 1

x* x* xf f fc)

*c!

f +

= =

≈ = + θ +δ+∑ ∑

( )i

nn n(n 1

i ii 0 0

ii

x* xf f h'( ) · (x ) '( ) · · ( )(n 1

c)!

f f* +

= =

≈ = + ξα+∑ ∑

ξiαi

( )n n

(n 1i

i 0if

h( ) · · ( )(n 1)!

* fR x +

=

α= ξ+ ∑

( )n n

(n 1i

i 0if

h( ) · · ( )(n 1)!

* fR x +

=

α≤ ξ+ ∑




( )n n

(n 1i

i 0if

h( ) · · ( )(n 1)!

* fR x +

=

α≤ ξ+ ∑

Luego:

LemaSi g∈C((a,b)), dados (n+1) coeficientes no negativos y no todos nulos {γ0,γ1, ...,γn} y (n+1) puntos {ξ0,ξ1, ..., ξn} de (a,b), existe algún punto ξ∈(a, b) tal que: n

i ii 0

·g( ) ·g( )=

γ ξ = γ ξ∑ donde:n

ii 0=

γ = γ∑

(Ver demostración en los apuntes)

( )n

n (n 1i 0f

i

i( ) ·h · ( )(n

f*1

R x)!

+=≤ ξ+

α∑

β

n (n 1i· ( )f·h += β ξ




Propiedad 1n

i 0i 0c

=

=∑Si ci = Li’(x*):

Demostración:Interpolando la función f(x) = 1 (polinomio de grado 0 que se inter-polará sin error sea cual sea el valor de n) se tiene

1 = L0(x) + L1(x) + …….+Ln(x)n

ii 0

1 L (x)=

= ∑Derivando la identidad anterior y particularizándola en x = x* se tiene demostrada esta propiedad

(Demostración de las propiedades usadas en la presentación nº 13)




Propiedad 2Si ci = Li’(x*):

Demostración:Interpolando la función f(x) = x (polinomio de grado 1 que se inter-polará sin error sea cual sea el valor de n ≥1) se tiene

x = L0(x)·x0 + L1(x)·x1 + …….+Ln(x)·xn

n

i ii 0

x L (x)·x=

= ∑Derivando la identidad anterior en x* resultará que:


n

ii 0

i ·1h

c=

θ =∑

n n n n

i i ii 0 i 0

ii 0

i ii 0

i1 ·x ·(x * h) x *· h·c c c c·= = = =

= = +θ = + θ∑ ∑ ∑ ∑Se anula por Propiedad 1

de donde se tiene la igualdad que se quería demostrar




nji

i 0ic · 0

=

θ =∑

Propiedad 3Si ci = Li’(x*) y j < n:

Demostración:Interpolando la función f(x) = (x – x*)j (polinomio de grado j que seinterpolará sin error con los (n+1) puntos de soporte) se tiene

(x-x*)j = L0(x)·(x0–x*)j + L1(x)·(x1–x*)j + …….+Ln(x)·(xn–x*)j

( )n

j j ji i

i 0x x * h L (x)·

=

− = θ∑


de donde se tiene la igualdad que se quería demostrar

Derivando la identidad anterior y particularizando en x* resultará que:n

j ji i

i 00 h c·

=

= θ∑



EJEMPLOEJEMPLO

x0 x1x*

1 0 1 0

1 0

(x ) (x ) (x ) (x )( )x

f f fxf *x H

f− −≈ =

−H

h0 h1

h= sup(h0, h1)

Sean θ0 y θ1 tales que:

x0 – x* = θ0·h x1 – x* = θ1·h

Se verifica que: H = x1 – x0 = (x1 - x*) - (x0 - x*) = θ1·h – θ0·h = (θ1 – θ0)·h

y:2 21

1 1 1 1·h(x ) ( ·h) ( ) ·h· '( ) · '(x * x* ·h)f f f f x* x2

*fθ= +θ = + θ + +δ

2 20

0 0 0 0·h(x ) ( ·h) ( ) ·h· '( ) · '(x * x* ·h)f f f f x* x2

*fθ= +θ = + θ + +δ

1·H1·

H−

1 0f f(x ) (x )H−

=f(x*) ≈( )1 0 ·h

· '( )H

f x*θ − θ

( )2

2 21 1 0 0

h · · "( ·h) · "( ·h)2·

x * x *fH

f+ θ +δ − θ +δ

Si f∈C2((a, b)):



EJEMPLO (cont.)EJEMPLO (cont.)

f(x*) ≈ ( )1 0 ·h· '( )

Hf x*

θ − θ ( )2

2 21 1 0 0

h · · "( ·h) · "( ·h)2·

x * x *fH

f+ θ +δ − θ +δ

x0 x1x*

H

h0 h1h= sup(h0, h1)

= γ·h

1

f(x*) ≈ f '(x*) ( )2 21 1 0 0

h · · "( ·h) · "( ·h)2·

x * xf f *+ θ +δ − θ +δγ

Error de orden h

Casos particulares:

x* = x0 h = H; γ = 1; θ0 = 0; θ1 = 1; f 0hR ( ) · "( )2

fx* = ζ 0(h)

x* = x1 h = H; γ = 1; θ0 = -1; θ1 = 0; f 1hR ( ) · "*2

x f ( )= − ζ 0(h)



EJEMPLO (cont.)EJEMPLO (cont.)

x* = (x0+x1)/2 H = 2·h; γ = 2; θ0 = - ½; θ1 = ½ ;

f 1 0h 1 1R ( ) · "( ) "(x* )4

f4

f4

ζ ζ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Casos particulares (cont.):

En este caso, si f ∈C3((x0, x1)):2

1

3

1 x * x* x* h h(x ) ( h) ( ) h· '( ) · "( ) · '''( )2

f f f f f f*6

x= + = + ξ+ +

2

0

3

0 x * x* x* h h(x ) ( h) ( ) h· '( ) · "( ) · '''( )2

f f f f f f*6

x= − = − ξ+ −

1·H1·H

−

( h) (x * x * hf f )2·h

+ − − ( )2

1 0h'( ) · '''( )f f f ''' )6

* (x= + ξ + ξ

( )2 2

fh hR ( ) · 2· "'x* f ( ) · "'( )6 3

f= − = −ξ ξ

Pero ….



Definición

i*

n

i 0if '( ) ' . ( )x* xf c f

=

≈ = ∑Se dice que la fórmula de derivación numérica:

es exacta para la función f(x) en el punto x* cuando Rf(x*) =0Definición

i*

n

i 0if '( ) ' . ( )x* xf c f

=

≈ = ∑Se dice que la fórmula de derivación numérica:

es exacta de orden k cuando es exacta para cualquier polinomio de grado menor o igual que k y en cualquierpunto x* de la recta real.

Fórmulas de tipo interpolatorio: orden de exactitud.




EJEMPLO:La fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorioconstruida sobre el soporte {x0 , x1}:

1 0

1 0

(x ) (f x )( )x x

* ff x −≈

−

tiene un error de truncatura verificando: |Rf(x*)| < M·H

donde: ( )0 1x x xsupM (x)f "< <

=

Si f(x) es un polinomio de grado < 1, se verifica que M = 0.

En consecuencia, la fórmula anterior es exacta de orden 1.





TeoremaLas condición necesaria y suficiente para que una fórmulade derivación numérica construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} sea exacta de orden n es quesea una fórmula de tipo interpolatorio.Demostración:

a) Demostremos que si i

n

i 0if fx*'( ) . ( )xc

=

≈ ∑ es de tipo interpolatorioentonces la fórmula es exacta de orden n.

Si f(x) es cualquier polinomio de grado < n y denotamos por pn(x) a su polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte {x0, x1, ..., xn} severifica para cualquier punto x*:

f(x) = pn(x) i

n

ii 0

(x )· (x)f L=

= ∑ i

n

ii 0

'( ) (x )·x* x*L 'f ( )f=

= ∑ i

n

ii 0

x(c )f.=

= ∑





b) Demostremos que si i

n

i 0if fx*'( ) . ( )xc

=

≈ ∑ es exacta de orden n, entonces

es de tipo interpolatorio

Si es exacta de orden n, para cualquier polinomio de grado < n y encualquier x* es exacta.

En particular lo será para cada uno de los polinomios de base de Lagrange Lj(x) (j = 0, 1, ....n)

n

ij

0i ijL c L'( ) . ( )x* x

=

= ∑Recordando que Lj(xi) = δi,j se tiene que:

n

ij j j,ii 0

'( ) .L c cx*=

= δ =∑

(j = 0, 1, ..., n)

(j = 0, 1, ..., n) c.q.d.





PropiedadEn toda fórmula de derivación numérica construida sobreel soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} y que sea de tipointerpolatorio

i

n

i 0if fx*'( ) . ( )xc

=

≈ ∑se satisface que:

n

i 0i 0c

=

=∑Demostración:

ii

n

0x : (x)L 1

=

∀ =∑i

i

n

0L (x) ' 0

=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

n

ii

0(x) 0L '

=

=∑

n

ii

0'( )L 0x*

=

=∑n

i 0i 0c

=

=∑c.q.d.

Fórmulas de tipo interpolatorio: PropiedadFórmulas de tipo interpolatorio: Propiedad



Ejercicios propuestos:

i

n

i 0if fx*'( ) . ( )xc

=

≈ ∑

1º) Considérese la fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio:

y sea m un entero tal que 0 < m < n.

Demuéstrese que entonces:

( )n m 1*m

ii

i0

c ·x m· x−

=

=∑

Fórmulas de tipo interpolatorio: EjerciciosFórmulas de tipo interpolatorio: Ejercicios



2º) Demuéstrese que para toda función f∈C1((x0,x1)) siempre existe algúnpunto x* ∈(x0 , x1) para el que es exacta la fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte {x0, x1}:

Obsérvese que según lo anterior, para cualquier valor no negativodel entero k existe algún punto x* para el que la fórmula de derivaciónnumérica de tipo interpolatorio construida sobre el soporte {x0, x1}proporciona el valor exacto de la derivada de cualquier polinomio degrado k en x*.

00 1 1'( ) '(x*)· (x ) '(x*)L L ·x*f )f f(x≈ +

¿Quiere ello decir que la fórmula de derivación considerada es deorden k para cualquier valor no negativo del entero k?

¿ Se contradice el teorema sobre el orden de exactitud de las fórmulasde derivación numérica de tipo interpolatorio?

Fórmulas de tipo interpolatorio: EjerciciosFórmulas de tipo interpolatorio: Ejercicios



a) Soporte con 1 punto {x0}

0 0(x) (xf p f) (x )≈ = 0f '( ) 'x* xp ( 0*)≈ =

b) Soporte con 2 puntos {x0, x1}[ ] ( )01 0 1 0f p f f(x) (x) (x ) x ,x · x x≈ = + − [ ]0 0 1'( ) '(f p f x*)x x x* ,≈ =

x0 x1x*

1 0(x ) )H

f(xf −=H

x* = x00 0

0(x H) (x )' )f (x f f

H+ −

≈ (Fórmula en adelanto o backwind)

x* = x11 1

1(x )f f(x H)'(xf )

H− −

≈ (Fórmula en retroceso o upwind)

x* = (x0+x1)/2H H

2 2( )x * x *x f f(*'( )H

f )+ − −≈ (Fórmula centrada)

Fórmulas de tipo interpolatorio: fórmulas usuales




c) Soporte con 3 puntos {x0, x1 , x2}[ ] ( ) [ ] ( ) ( )0 0 1 0 0 1 2 0 11(x) (x) (x ) x ,x · x x x ,x ,x · xf p f f f x · x x≈ = + − + − −

[ ] [ ] ( ) ( )( )0 0 1 0 1 2 0 1'( ) '( ) x ,x x ,x ,x · x * x x * xf p f fx* x*≈ = + − + −

( ) ( )( )1 02 1

1 0 2 1 1 00 1

1 0 2 0

(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )

f ff ff f x x x x · x * x x * x

x x x x

−−−

− − −= + − + −

− −

Primer caso particular: soporte equidistante y x* = x0

x0 x1 x2

x*

h h

( 2·h) 4·x * x( * xh) 3· ( )'( )2·h

f ff *x f* − + + + −≈

(Fórmula en adelanto con 3 puntos)





Tercer caso particular: soporte equidistante y x* = x2

x0 x1 x2

x*

h h

x* xf f ff * x *x 3· ( ) 4· ( h)* 3· ( 2·h)'( )2·h

− − + −≈

(Fórmula en retroceso con 3 puntos)

Segundo caso particular: soporte equidistante y x* = x1

x0 x1 x2

x*

h h

( h)f ff x * x *x ( h)' *( )2·h

+ − −≈

(Fórmula centrada con 3 puntos)



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