CUADRILÁTEROSElvis Brown Ticona Apaza

darwin18_2006@hotmail.com

TEMARIOIntroducciónDefiniciónClasificaciónPropiedadesEjercicios resueltosEjercicios propuestosConclusión

INTRODUCCIÓNEl tratado de los cuadriláteros es de

suma importancia en el aprendizaje de la geometría plana, constituye pilar fundamental para el aprendizaje de las propiedades de los polígonos, segmentos y ángulos; trataremos así la definición, clasificación y principales propiedades que nos ayudaran a comprender la importancia de los cuadriláteros tanto en el desarrollo del curso como en la vida cotidiana.

DEFINICIÓNDados cuatro puntos coplanares A, B, C y D,

tal que tres de ellos no son colineales, se denomina cuadrilátero a la unión de segmentos AB, BC, CD y DA, los cuales son los lados del cuadrilátero y los puntos A, B, C y D son los vértices.

CLASIFICACIÓNCuadriláteros convexos

TrapezoideTrapecioParalelogramo

Cuadriláteros no convexos

TRAPEZOIDE

Trapezoide Escaleno o Asimétrico.

Trapezoide Bisósceles o Simétrico

Ningún par de lados opuestos son paralelos.

TRAPECIO

Trapecio escaleno Trapecio rectángulo Trapecio isósceles

Dos lados opuestos son paralelos.

PARALELOGRAMOLos lados opuestos son paralelos.

Paralelogramo o romboide

Rectángulo o Cuadrángulo

CuadradoRombo o Losan.

PROPIEDADES

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360º.

Teorema de los ángulos internos.

º360

Teorema de los ángulos internos de un cuadrilátero no convexoLa suma de los ángulos interiores agudos es

igual al ángulo externo del ángulo sobrante.

x

Teorema de las diagonales.Las diagonales de un paralelogramo se

cortan en su punto medio:

ODBOOCAO       

Teorema de los puntos medios.Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de

un trapezoide se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del trapezoide.

BDACdcba

Teorema de las bisectrices adyacentes.La medida del Angulo formado por los bisectrices

de los ángulos adyacentes a un lado del trapezoide, es igual a la semisuma de las medidas de los otros dos ángulos.

2 x

Teorema de las bisectrices opuestas.Las medidas del menor ángulo formado por

las bisectrices de dos ángulos opuestos de un trapezoide es igual a la semidiferencia de las medidas de los dos ángulos de las que no se han trazado las bisectrices.

2 x

Teorema de los puntos medios.Los segmentos que unen los puntos medios

de los lados opuestos de un cuadrilátero se cortan en su punto medio.

OPMOOQNO      

Teorema de la medianaLa longitud del segmento que une los puntos

medios de los lados no paralelos de un trapecio (mediana) es igual a la semisuma de las longitudes de las dos bases.

2bB

NM

Teorema de la distancia del centro del trapezoide a una recta exterior.La distancia del centro de un trapezoide a

una recta exterior, es igual al promedio de las distancias de sus vértices a dicha recta.

4dcba

GR

Teorema de las diagonales y la mediana.La longitud del segmento que une los puntos

medios de las diagonales de un trapecio, es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases del trapecio.

2bB

PQ

Teorema de las bisectrices adyacentes de los lados no paralelos de un trapecioLas bisectrices de los ángulos adyacentes a

cualquiera de los lados no paralelos de un trapecio, forman un ángulo recto.

º90

Teorema de las distancias de los vértices a una rectaLa suma de las distancias de dos vértices

opuestos de un paralelogramo a una recta exterior, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices opuestos a la misma recta.

dbca

Teorema de Paralelogramos1. Las diagonales de un paralelogramo se

cortan en su punto medio.

Teorema de Paralelogramos2. Las diagonales de un rectángulo son de una

misma longitud y se cortan en su punto medio.

Teorema de Paralelogramos3. Las diagonales de un cuadrado son de la

misma longitud y se cortan en su punto medio formando un ángulo de 90º.

Teorema de Paralelogramos4. Las diagonales de un rombo son

perpendiculares entre si y se cortan en su punto medio y son de diferente longitud.

Ejercicios ResueltosEn el cuadrilátero ABCD. Hallar la medida de

“x”; si a + b = 160° De la figura:

a+b+2α+2θ =360º ……….. (I)Por dato:a+b =160º Reemplazando en (I):160º+2(α+θ) =360ºResolviendo:α+θ =100ºPor ángulo exterior:α+θ = xDe donde : x=100º

Ejercicios ResueltosEn el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica

el punto P, tal que medida del ángulo APC es igual a 105º, calcular la medida del ángulo determinado por AC y DM; siendo M el punto medio de AP.

Al trazar MH perpendicular a AD, si AB = 2ª => MH = aEn el triangulo AMD; si MH = AD/2 y medida del ángulo MAD=75º; => se cumple que θ=30ºEn consecuencia: x=45+30 => x=75º

Ejercicios ResueltosEn el grafico ABCD es un cuadrado de centro

O, además PIQ equidistan del vértice D. Calcular “x” si la medida del ángulo BOQ = 70º En el triangulo AOQ; por el teorema

del ángulo exterior: angulo OPD=45º+20º=65ºEn el triangulo PQD isósceles QD=PD y ángulo PQD = 65ºEl cuadrilátero PQHD es inscriptible, => la medida del ángulo PHD = 65ºEn el triangulo rectángulo PHD: medida del ángulo HPD=25ºEn consecuencia: x+25º=65º=> x=40º

Ejercicios Propuestos2. En el trapecio ABCD. Hallar AD si AB = 6 y

BC = 4.

Ejercicios PropuestosEn la figura hallar el valor de “x”.

Ejercicios PropuestosEn un trapecio ABCD la base mayor mide 30, y los

lados no paralelos y miden y 20 respectivamente. Si la medida del ángulo D es 37°, calcular el área del Trapecio.

En un trapezoide ABCD; mB = 120°, mC = 150° y mD = 30°. Calcular AD, si: AB = 8 y BC = 5.

En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 8 y la suma de las bases es 60. Hallar la base menor del trapecio.