SISTEMAS NÚMERICOS Sistemas binario octal y hexadecimal Conversiones entre sistemas numéricos

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

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También llamado sistema de numeración Base 10, utiliza diez dígitos para representar cualquier cifra. Ellos son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Combinando estos dígitos, podemos construir cualquier número.

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Sistema de numeración decimal

Ejemplo

El número 348 es un dato representado en sistema de numeración decimal.

Se construye de la siguiente forma:

Centena Decena Unidad

Sistema de numeración decimal

3 x 102 + 4 x 101 8 x 100 = 348+ 300 40 8+ + =3 4 8

¿Por qué no utilizar el sistema decimal?

Resulta muy difícil diseñar un equipo electrónico que pueda funcionar con 10 diferentes niveles de voltaje para representar los dígitos del 0 al 9.

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EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO

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¿Qué es el bit?

En el sistema binario, al término dígito binario se abrevia como bit (binary digit).

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Sistema Binario (Base 2)

En el sistema binario solo hay dos símbolos o posibles valores de dígitos, 0 y 1.

Es un sistema de numeración en el que la base es 2 y con el que se puede representar cualquier cantidad

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CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL

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Sistema Binario

Conversión de binario a decimal:

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•

… 24

x23

x22

x21

x20

x• 2-1

x2-2

x…

Punto del número binario

… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125

Multiplicandoy sumando

Sumando

Ejemplo

Convertir 10110.1102 a decimal.

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1 0 1 1 0 • 1 1 1

… 24

x23

x22

x21

x20

x• 2-1

x2-2

x…Multiplicando

y sumando

0x23 + 1x24 + 1x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3

16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0.125

22.875 10

Ejemplo

Convertir 11101.1012 a decimal.

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1 1 1 0 1 • 1 0 1

8 + 16 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125

29.625 10

… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125Sumando

MSB-LSBEl bit más significativo (MSB) es aquel que se ubica más a la izquierda (el que tiene el mayor valor). El bit menos significativo (LSB) es aquel que esta más a la derecha y que posee el menor valor.

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1 1 1 0 1 • 1 0 1

8 + 16 + 4 + 1 + 0.5 + 0.12529.625 10

… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125

… 24

x23

x22

x21

x20

x• 2-1

x2-2

x…

MSB LSB

Secuencia de números binarios 23=8 22=4 21=2 20=1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 0 0 1

10 1 0 0 1 0 1 11 1 0 01 0

1 0 1 1 1 1 0 1 11 1 1

0

0

0

0 0 0

0

00

0

1

1

1

11

1

11

11

0

11 0

Decimal0123456789

101112131415

¿Cuál es el número más grande que se puede representar con 16 bits?

Para resolver esta pregunta se emplea:2N-1

En donde N es el número de bits.Entonces,

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Número mayor representadocon 16 bits

= 216- 1= 2N - 1

= 65535

¿Qué hora es?

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CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO

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Conversión decimal a binarioConvertir 28110 a binario

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División Cociente Residuo Número binario

281/2 140 1 LSB = 1

140/2 70 0 0

70/2 35 0 0

35/2 17 1 1

17/2 8 1 1

8/2 4 0 0

4/2 2 0 0

2/2 1 0 0

1/2 0 1 MSB = 1

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA

Representación de 28110 en binario (base 2) :

1000110012

Conversión decimal a binarioConvertir 23310 a binario

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División Resultadoexacto Residuo Número

binario

233/2 116.5 1 LSB = 1

116/2 58 0 0

58/2 29 0 0

29/2 14.5 1 1

14/2 7 0 0

7/2 3.5 1 1

3/2 1.5 1 1

1/2 0.5 1 MSB = 1

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA

Representación de 23310 en binario (base 2) :

111010012

Ejercicios (Tocci):

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SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL

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Sistema de numeración octal

Cada dígito de un número octal tiene 8 posibles valores: 0,1,2,3,4,5,6,7.La conversión de octal a decimal se realiza como se muestra a continuación:

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•

… 84

x83

x82

x81

x80

x• 8-1

x8-2

x…

Punto del número octal

Multiplicandoy sumando

Conversión de octal a decimal

Convertir 7056.378 a decimal.

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7 0 5 6 • 3 7

… 84

x83

x82

x81

x80

x• 8-1

x8-2

x…Multiplicando

y sumando

7 x 83 + 0 x 82 + 5 x 81 + 6 x 80 + 3 x 8-1 + 7 x 8-2

3584 + 0 + 40 + 6 + 0.375 + 0.1093

3630.484 10

Conversión decimal a octalConvertir 3233110 a octal

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División Cociente Residuo Número octal

32331/8 4041 3 LSB = 3

4041/8 505 1 1

505/8 63 1 1

63/8 7 7 7

7/8 0 7 MSB =7

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA

Representación de 3233110 en octal (base 8) :

771138

Conversión decimal a octalConvertir 3233110 a octal

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División Cociente Residuo Número octal

32331/8 4041 3 LSB = 3

4041/8 505 1 1

505/8 63 1 1

63/8 7 7 7

7/8 0 7 MSB =7

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA

Representación de 3233110 en octal (base 8) :

771138

Conversión decimal a octalConvertir 2536610 a octal

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División Resultado Residuo Número octal

25366/8 3170.75 .75x8 LSB = 6

3170/8 396.25 0.25x8 2

396/8 49.5 0.5x8 4

49/8 6.125 0.125x8 1

6/8 0 6 MSB =6

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA

Representación de 2536610 en octal (base 8) :

614268

Conversión de octal a binario

Se lleva a cabo convirtiendo cada dígito octal en su equivalente binario de 3 bits.

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Octal Binario0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Conversión de binario a octal

Es la operación inversa del proceso anterior.

1. Los números se agrupan en conjuntos de 3 bits comenzando por el LSB.

2. Luego, cada grupo se convierte en su equivalente octal.

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Convertir 4728 a binario.

Convertir 0100101012 a octal.

Ejemplos

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Conteo en octalCon N dígitos octales se puede contar de 0 a 8N-1 lo que da un total de diferentes 8N conteos.

¿Hasta qué valor se puede contar con 3 dígitos octales?Desde 0008 a 7778.¿Cuántos números octales diferentes se pueden representar con 3 dígitos?

Un total de 83 = 51210 diferentes

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Utilidad del sistema octal

Cuando se trabaja con una gran cantidad de números binarios de muchos bits, es más conveniente escribirlos en octal y no en binario.

Sin embargo, no se debe olvidar que los circuitos y sistemas digitales trabajan estrictamente en binario.

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Conversión decimal a binarioConvertir 273510 a binario

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División Resultado Residuo Dígito octal

2735/8 341 0.875x8 LSD = 7

341/8 42 0.625x8 5

42/8 5 0.25x8 2

5/8 0 5 MSD = 5

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA

Representación de 273510 en octal: 5 2 5 78

En binario 1112101 101010

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SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

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Sistema de numeración hexadecimal

Base 16.16 símbolos posibles.0 al 9, A, B, C, D, E, y F.

El sistema hexadecimal utiliza grupos de 4 bits.

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Hexadecimal Decimal Binario0 0 0000 1 1 00012 2 00103 3 00114 4 01005 5 01016 6 01107 7 01118 8 10009 9 1001A 10 1010B 11 1011C 12 1100D 13 1101E 14 1110F 15 1111

Conteo hexadecimal

Cada posición de los dígitos se puede incrementar en 1 unidad de 0 a F.

Cuando se alcanza el valor F, se vuelve a poner en 0 y se incrementa en la siguiente posición.

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38

3C

40

393A3B

3D3E

41

3F

6F8

6FC

700

6F96FA6FB

6FD6FE

701

6FF

Conversión de hexadecimal a decimal

Convertir 357A16 a decimal.

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3 5 7 A

163

x162

x161

x160

xMultiplicandoy sumando

3 x 163 + 5 x 162 + 7 x 161 + A x 160

12288 + 1280 + 112 + 10 13690 10

3 x 163 + 5 x 162 + 7 x 161 + 10 x 160

Conversión decimal a hexadecimal y binario

Convertir 4497810 a hexadecimal y binario.

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División Cociente Residuo Número hexadecimal

44978/16 2811 2 LSB = 2

2811/16 175 11 B

175/16 10 15 F

10/16 0 10 MSB = A

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA

Representación de 4497810 en hex: A F B 216

En binario: 001021010 10111111

Conversión decimal a hexadecimal y binario

Convertir 1273510 a hexadecimal y binario.

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División Resultado Residuo Número binario

12735/16 795.9375 0.9375x16 LSB = 15 = F

795/16 49.6875 0.6875x16 11 = B

49/16 3.0625 0.0625x16 1

3/16 0.1875 0.1875X16 MSB = 3

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA

Representación de 1273510 en hex: 3 1 B F16

En binario: 111120011 10110001

Conversión de binario a hexadecimal

El número binario se agrupa en conjuntos de 4 bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente.

Convierta 10110111111111012 a hexadecimal.

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Binario, grupos de 4 bits: 110121011 11110111

B

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

En hexadecimal: 7 F D16

Conversión hexadecimal a octal

Convierta 31BF en octal.Solución.

Es más fácil convertir primero a binario y luego a octal.

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31BF en hex: 3 1 B F16

En binario: 111120011 10110001

En grupos de 3 bits: 0 000011 11111000 111

0En octal: 6 7 7830

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