Conversión de Sistemas de Numeración.

SISTEMAS NÚMERICOS Sistemas binario octal y hexadecimal Conversiones entre sistemas numéricos

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 2

También llamado sistema de numeración Base 10, utiliza diez dígitos para representar cualquier cifra. Ellos son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Combinando estos dígitos, podemos construir cualquier número.


Sistema de numeración decimal

Ejemplo

El número 348 es un dato representado en sistema de numeración decimal.

Se construye de la siguiente forma:

Centena Decena Unidad

Sistema de numeración decimal

3 x 102 + 4 x 101 8 x 100 = 348+ 300 40 8+ + =3 4 8

¿Por qué no utilizar el sistema decimal?

Resulta muy difícil diseñar un equipo electrónico que pueda funcionar con 10 diferentes niveles de voltaje para representar los dígitos del 0 al 9.


EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO


¿Qué es el bit?

En el sistema binario, al término dígito binario se abrevia como bit (binary digit).


Sistema Binario (Base 2)

En el sistema binario solo hay dos símbolos o posibles valores de dígitos, 0 y 1.

Es un sistema de numeración en el que la base es 2 y con el que se puede representar cualquier cantidad


CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL


Sistema Binario

Conversión de binario a decimal:


•

… 24

x23

x22

x21

x20

x• 2-1

x2-2

x…

Punto del número binario

… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125

Multiplicandoy sumando

Sumando

Ejemplo

Convertir 10110.1102 a decimal.


1 0 1 1 0 • 1 1 1

… 24

x23

x22

x21

x20

x• 2-1

x2-2

x…Multiplicando

y sumando

0x23 + 1x24 + 1x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3

16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0.125

22.875 10

Ejemplo



1 1 1 0 1 • 1 0 1

8 + 16 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125

29.625 10

… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125Sumando

MSB-LSBEl bit más significativo (MSB) es aquel que se ubica más a la izquierda (el que tiene el mayor valor). El bit menos significativo (LSB) es aquel que esta más a la derecha y que posee el menor valor.

04/22/2023 13

1 1 1 0 1 • 1 0 1

8 + 16 + 4 + 1 + 0.5 + 0.12529.625 10

… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125

… 24

x23

x22

x21

x20

x• 2-1

x2-2

x…

MSB LSB

Secuencia de números binarios 23=8 22=4 21=2 20=1

0 0 0 00 0 0 1

0 0 0 0 1

10 1 0 0 1 0 1 11 1 0 01 0

1 0 1 1 1 1 0 1 11 1 1

0

0

0

0 0 0

0

00

0

1

1

1

11

1

11

11

0

11 0

Decimal0123456789

101112131415

¿Cuál es el número más grande que se puede representar con 16 bits?

Para resolver esta pregunta se emplea:2N-1

En donde N es el número de bits.Entonces,

04/22/2023 15

Número mayor representadocon 16 bits

= 216- 1= 2N - 1

= 65535

¿Qué hora es?


CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO


Conversión decimal a binarioConvertir 28110 a binario


División Cociente Residuo Número binario

281/2 140 1 LSB = 1

140/2 70 0 0

70/2 35 0 0

35/2 17 1 1

17/2 8 1 1

8/2 4 0 0

4/2 2 0 0

2/2 1 0 0

1/2 0 1 MSB = 1

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA

Representación de 28110 en binario (base 2) :

1000110012



División Resultadoexacto Residuo Número

binario

233/2 116.5 1 LSB = 1

116/2 58 0 0

58/2 29 0 0

29/2 14.5 1 1

14/2 7 0 0

7/2 3.5 1 1

3/2 1.5 1 1

1/2 0.5 1 MSB = 1

MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA

Representación de 23310 en binario (base 2) :

111010012

Ejercicios (Tocci):


SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL


Sistema de numeración octal

Cada dígito de un número octal tiene 8 posibles valores: 0,1,2,3,4,5,6,7.La conversión de octal a decimal se realiza como se muestra a continuación:


•

… 84

x83

x82

x81

x80

x• 8-1

x8-2

x…

Punto del número octal

Multiplicandoy sumando

Conversión de octal a decimal



7 0 5 6 • 3 7

… 84

x83

x82

x81

x80

x• 8-1

x8-2

x…Multiplicando

y sumando

7 x 83 + 0 x 82 + 5 x 81 + 6 x 80 + 3 x 8-1 + 7 x 8-2

3584 + 0 + 40 + 6 + 0.375 + 0.1093

3630.484 10

Conversión decimal a octalConvertir 3233110 a octal


División Cociente Residuo Número octal

32331/8 4041 3 LSB = 3

4041/8 505 1 1

505/8 63 1 1

63/8 7 7 7

7/8 0 7 MSB =7


Representación de 3233110 en octal (base 8) :

771138



División Cociente Residuo Número octal

32331/8 4041 3 LSB = 3

4041/8 505 1 1

505/8 63 1 1

63/8 7 7 7

7/8 0 7 MSB =7



771138



División Resultado Residuo Número octal

25366/8 3170.75 .75x8 LSB = 6

3170/8 396.25 0.25x8 2

396/8 49.5 0.5x8 4

49/8 6.125 0.125x8 1

6/8 0 6 MSB =6



614268

Conversión de octal a binario

Se lleva a cabo convirtiendo cada dígito octal en su equivalente binario de 3 bits.


Octal Binario0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Conversión de binario a octal

Es la operación inversa del proceso anterior.

1. Los números se agrupan en conjuntos de 3 bits comenzando por el LSB.

2. Luego, cada grupo se convierte en su equivalente octal.


Convertir 4728 a binario.

Convertir 0100101012 a octal.

Ejemplos


Conteo en octalCon N dígitos octales se puede contar de 0 a 8N-1 lo que da un total de diferentes 8N conteos.

¿Hasta qué valor se puede contar con 3 dígitos octales?Desde 0008 a 7778.¿Cuántos números octales diferentes se pueden representar con 3 dígitos?

Un total de 83 = 51210 diferentes


Utilidad del sistema octal

Cuando se trabaja con una gran cantidad de números binarios de muchos bits, es más conveniente escribirlos en octal y no en binario.

Sin embargo, no se debe olvidar que los circuitos y sistemas digitales trabajan estrictamente en binario.




División Resultado Residuo Dígito octal

2735/8 341 0.875x8 LSD = 7

341/8 42 0.625x8 5

42/8 5 0.25x8 2

5/8 0 5 MSD = 5


Representación de 273510 en octal: 5 2 5 78

En binario 1112101 101010

SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL


Sistema de numeración hexadecimal

Base 16.16 símbolos posibles.0 al 9, A, B, C, D, E, y F.

El sistema hexadecimal utiliza grupos de 4 bits.


Hexadecimal Decimal Binario0 0 0000 1 1 00012 2 00103 3 00114 4 01005 5 01016 6 01107 7 01118 8 10009 9 1001A 10 1010B 11 1011C 12 1100D 13 1101E 14 1110F 15 1111

Conteo hexadecimal

Cada posición de los dígitos se puede incrementar en 1 unidad de 0 a F.

Cuando se alcanza el valor F, se vuelve a poner en 0 y se incrementa en la siguiente posición.


38

3C

40

393A3B

3D3E

41

3F

6F8

6FC

700

6F96FA6FB

6FD6FE

701

6FF

Conversión de hexadecimal a decimal

Convertir 357A16 a decimal.


3 5 7 A

163

x162

x161

x160

xMultiplicandoy sumando

3 x 163 + 5 x 162 + 7 x 161 + A x 160

12288 + 1280 + 112 + 10 13690 10

3 x 163 + 5 x 162 + 7 x 161 + 10 x 160

Conversión decimal a hexadecimal y binario

Convertir 4497810 a hexadecimal y binario.


División Cociente Residuo Número hexadecimal

44978/16 2811 2 LSB = 2

2811/16 175 11 B

175/16 10 15 F

10/16 0 10 MSB = A


Representación de 4497810 en hex: A F B 216

En binario: 001021010 10111111

Conversión decimal a hexadecimal y binario

Convertir 1273510 a hexadecimal y binario.


División Resultado Residuo Número binario

12735/16 795.9375 0.9375x16 LSB = 15 = F

795/16 49.6875 0.6875x16 11 = B

49/16 3.0625 0.0625x16 1

3/16 0.1875 0.1875X16 MSB = 3


Representación de 1273510 en hex: 3 1 B F16

En binario: 111120011 10110001

Conversión de binario a hexadecimal

El número binario se agrupa en conjuntos de 4 bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente.

Convierta 10110111111111012 a hexadecimal.


Binario, grupos de 4 bits: 110121011 11110111

B

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

En hexadecimal: 7 F D16

Conversión hexadecimal a octal

Convierta 31BF en octal.Solución.

Es más fácil convertir primero a binario y luego a octal.


31BF en hex: 3 1 B F16

En binario: 111120011 10110001

En grupos de 3 bits: 0 000011 11111000 111

0En octal: 6 7 7830

Conversión de Sistemas de Numeración.

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