DISEO DIGITAL UNIDAD 1: FUNDAMENTOS

DEL DISEO DIGITAL

M.C. RAFAEL ARTEAGA VELASCO

Unidad 1. Fundamentos del diseo digital. En esta unidad se explican detalladamente los sistemas de numeracin decimal, octal y hexadecimal; una vez comprendida su clasificacin se procede a ejecutar posibles conversiones entre sistemas, no olvidando los nmeros negativos que se manejan de forma similar. Finalmente se realizan operaciones con los sistemas numricos, entre ellas, la suma y resta en complemento a dos. Subtemas: 1.1. Sistemas de numeracin. 1.1.1 Decimal. 1.1.2 Binario. 1.1.3 Hexadecimal. 1.1.4 Octal. 1.2. Conversiones entre sistemas numricos. 1.3. Operaciones en sistema BCD.

1.1. SISTEMAS DE NUMERACIN QU ES UN SISTEMA DE NUMERACIN? Conjunto de smbolos y reglas de generacin que

permiten construir todos los nmeros vlidos. Puede representarse como N=(S, R) donde: N es el sistema de numeracin considerado (p.ej. decimal, binario, etc.). S es el conjunto de smbolos permitidos en el sistema. R son las reglas que nos indican qu nmeros son vlidos en el sistema, y cules no.

Con la aparicin de la tecnologa informtica fue necesario desarrollar nuevas representaciones. En la actualidad, gran parte de los sistemas tecnolgicos manejan un sistema de numeracin, llamado binario para representar la informacin que transmiten, de ah la importancia de conocerlo e interpretar este sistema de numeracin.

CMO SE CLASIFICAN LOS SISTEMAS DE NUMERACIN?

NO-POSICIONALES POSICIONALES

En estos sistemas los dgitos tienen el valor del smbolo utilizado, que no depende de la posicin (columna) que ocupan en el nmero.

En los sistemas de numeracin ponderados o posicionales el valor de un dgito depende tanto del smbolo utilizado, como de la posicin que se smbolo ocupa en el nmero.

Son los sistemas ms primitivos Entre ellos estn los sistemas del

antiguo Egipto, el sistema de numeracin romana, y los usados en Mesoamrica por mayas, aztecas y otros pueblos .

Los mayas utilizaban un sistema de numeracin de raz mixta de base 20 (vigesimal). Tambin los mayas preclsicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del ao 36 a. C.

El nmero de smbolos permitidos en un sistema de numeracin posicional se conoce como base del sistema de numeracin.

Si un sistema de numeracin posicional tiene base b significa que disponemos de b smbolos diferentes para escribir los nmeros, y que b unidades forman una unidad de orden superior

Cada sistema tienen reglas diferentes, pero una regla comn a todos es que para construir nmeros vlidos en un sistema de numeracin determinado slo se pueden utilizar los smbolos permitidos en ese sistema.

CULES SON LOS PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIN? En el sistema decimal los smbolos son {0,1,...9} En el binario son {0,1}; En el sistema octal son {0,1,...7}; En el sistema hexadecimal los smbolos son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIN

Para distinguir entre los diferentes sistemas numricos encerraremos entre parntesis el nmero y aadiremos un subndice indicando su base; si no se usa subndice, se entender que el nmero est en base diez.

1.1.1. Sistema Decimal El sistema numrico que utilizamos diariamente se conoce como sistema numrico decimal. ste es representado por una cadena de dgitos y cada posicin tiene un peso asociado. El valor del nmero es la suma ponderada de todos los dgitos. Por ejemplo: El sistema numrico decimal es expresado con una base 10, lo que significa que las cantidades son representadas utilizando 10 dgitos.

1.1.2. Sistema Binario El sistema binario es un sistema de numeracin en el que los nmeros se representan utilizando las cifras cero y uno, esto en informtica tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de voltaje lo que hace que su sistema de numeracin natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado

Cualquiera de estas condiciones es llamada bit. Un bit es un dgito binario (Abreviacin del ingls binarydigit), es decir, un 0 o un 1. Una combinacin de 8 bits se le llama byte.

27

26

25 24

23 22

21

20

1 x 27 = 128

1 x 26 = 64

0 x 25 = 0

1 x 24 = 16

0 x 23 = 0

1 x 22 = 4

0 x 21 = 0 0 x 20 = 0

Valor de posicin

Ejemplo de nmero en sistema binario

El valor del byte para este caso es de 212 en base 10

El bit ubicado ms a la izquierda se llama bit de orden superior o bit ms significativo (MSB, siglas en ingls most significant bit);

El bit ms a la derecha es el bit de orden inferior o bit menos significativo (LSB, siglas en ingls least significant bit). En conclusin podemos decir:

1.1.3. Sistema Hexadecimal Un gran problema con el sistema binario es la

verbosidad. Para representar el valor 20210 se requieren ocho dgitos binarios, la versin decimal slo requiere de tres dgitos y por lo tanto los nmeros se representan en forma mucho ms compacta con respecto al sistema numrico binario.

Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversin entre decimal y binario, no es precisamente una tarea cmoda.

El sistema de numeracin hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema. El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversin hacia el formato binario, debido a esto, la mayora del equipo de cmputo actual utiliza el sistema numrico hexadecimal.

Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dgito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16.

Ejemplos

1.1.4. Sistema Octal El sistema de numeracin octal es tambin muy usado en la computacin

por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeracin binaria. Esta caracterstica hace que la conversin a binario o viceversa sea bastante

simple. El sistema octal usa 8 dgitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y usa la notacin posicional.

Ejemplos

1.2. Conversin entre sistemas numricos

Una de las conversiones ms recurrentes es de decimal a binario y viceversa. La razn es poder conocer e interpretar la informacin que arroja o que se introduce a un sistema digital. Un nmero binario puede ser convertido a decimal formando la suma de las potencias de base 2 de aquellos coeficientes cuyo valor sea 1

Ejemplos

(1010.011)2 = 23 + 21 + 2-2 + 2-3 = (10.375)10

(1100.11)2 = 2

3 + 22 + 2-1 + 2-2 = (12.75)10

CONVERSIN DE BINARIO A DECIMAL

CONVERSIN DE OCTAL A DECIMAL

Un nmero octal puede ser convertido a decimal formando la suma de las potencias de base 8 de aquellos coeficientes que tengan valor

(630.4)8 = 6x82 + 3x81 + 4x8-1 = (408.5)10

(2107.1)8 = 2x8

3 + 1x82 + 7x80 + 1x8-1 = (1095.125)10

CONVERSIN DE HEXADECIMAL A DECIMAL

Un nmero hexadecimal puede ser convertido a decimal formando la suma de las potencias de base 16 de aquellos coeficientes tengan valor

(B65F)16 = 11x163 + 6x162+ 5x16+15 = (46687)10

(2C6B.F)16 = 2x16

3+12x162+6x16 +11+15x16-1 = (11371.9375)10

CONVERSIN DE DECIMAL A BINARIO

Convertir el decimal 41 a binario

Entero Proceso Residuo

41 41/2=20 1

20 20/2=10 0

10 10/2=5 0

5 5/2=2 1

2 2/2=1 0

1 1/2=0 1

Solucin (101001)2

Convertir el decimal 25 a binario

Entero Proceso Residuo

25 25/2=12 1

12 12/2=6 0

6 6/2=3 0

3 3/2=1 1

1 1/2=0 1

Solucin (11001)2

CONVERSIN DE DECIMAL A OCTAL

Convertir el decimal 153 a octal

Entero Proceso Residuo

153 153/8=19 1

19 19/8=2 3

2 2/8=0 2

0

Solucin (231)8

Convertir el decimal 500 a octal

Entero Proceso Residuo

500 500/8=62 4

62 62/8=7 6

7 7/8=0 7

0

Solucin (764)8

CONVERSIN DE DECIMAL A HEXADECIMAL

Convertir el decimal 1200 a hexadecimal

Entero Proceso Residuo

1200 1200/16=75 0

75 75/16=4 11 = B

4 4/16=0 4

0

Solucin (4B0)16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

CONVERSIN DE BINARIO A OCTAL

La conversin de binario a octal se lleva a cabo fcilmente haciendo la particin del nmero binario en grupos de tres dgitos, cada uno empezando desde el punto binario y hacindolo de izquierda a derecha.

El dgito octal correspondiente se asigna a cada grupo

(10 110 001 . 101 100 )2

21 =2

Convertir a octal el nmero (10110001.101100 )2

22 + 21 = 6 20 = 1 22 + 20 = 5 22 = 4

Solucin (261.54)8

CONVERSIN DE BINARIO A HEXADECIMAL

La conversin de binario a hexadecimal se lleva a cabo fcilmente haciendo la particin del nmero binario en grupos de cuatro dgitos, cada uno empezando desde el punto binario y hacindolo de izquierda a derecha.

El dgito hexadecimal correspondiente se asigna a cada grupo

(1011 0001 . 1101 )2

23 + 21 + 20 =11=B

Convertir a hexadecimal el nmero (10110001.1101 )2

20 = 1

Solucin (B1.D)16

23 + 22 + 20 =13=D

1.4. OPERACIONES EN SISTEMA BCD

El sistema binario tambin es conocido como BCD, por su siglas en ingls Binary Coded Decimal. Existen operaciones bsicas como sumas y restas que se ejecutan con frecuencia en los sistemas digitales. stas operaciones sern vistas slo como conocimiento.

nicamente se realizar la suma, ya que es la operacin ms comn en sistemas digitales. Para realizar estas sumas se utiliza la misma tcnica que utilizamos para la numeracin decimal, es decir, realizamos la suma bit a bit de derecha a izquierda, pero el resultado tiene que obedecer a un grupo de reglas que se presentan a continuacin:

Slo hay que tomar en cuenta si la suma genera un acarreo que se

agregar al siguiente bit.

Realizar la suma de los nmeros binarios (01)2 + (11)2

En la primera columna de la derecha, el nmero 1+1=0 con acarreo 1.

Ese bit de acarreo se pasa a la siguiente columna de la izquierda para sumarlo.

Por lo tanto queda 1+0=1 y 1+1=0 con acarreo 1.

Este bit de acarreo pasa a la siguiente columna de la izquierda, pero en esta ocasin no tiene que sumarse con ningn bit, por lo tanto pasa hasta el resultado.

Una forma de comprobar la suma es convirtiendo los sumandos y el resultado

a decimal y comprobar si coinciden.

Realizar la suma de los nmeros binarios (1101)2 + (1001)2

En la primera columna de la derecha, el nmero 1+1=0 con acarreo 1.

Ese bit de acarreo se pasa a la siguiente columna de la izquierda para sumarlo.

Por lo tanto queda 0+0=0 y 0+1=1 con acarreo 0. En la tercera columna queda 1+0=1 con acarreo 0 En la cuarta columna queda 1 + 1=0 con acarreo 1,

pero en esta ocasin no tiene que sumarse con ningn bit, por lo tanto pasa hasta el resultado.