Post on 23-Jul-2020
Coloraciones de graficas planas sin carasheterocromaticas
AMANDA MONTEJANO
Facultad de Ciencias UNAM-Juriquilla
Trabajo conjunto con JORGE AROCHA
XXVIII Coloquio Vıctor Neumann-Lara de Teorıa de las Graficas,Combinatoria y sus Aplicaciones
Morelia, Michoacan. 4 al 8 de marzo del 2013.
Definiciones basicas
una coloracion no-heterocromatica
una cara heterocromatica con el maximo numero decolores
Definiciones basicas
una coloracion no-heterocromatica
una cara heterocromatica con el maximo numero decolores
Definiciones basicas
una coloracion no-heterocromatica
una cara heterocromatica con el maximo numero decolores
Definiciones basicas
una coloracion no-heterocromatica
una cara heterocromatica con el maximo numero de colores
Definiciones basicas
una coloracion no-heterocromatica
una cara heterocromatica con el maximo numero de colores
Definiciones basicas
I χf (G) es el maximo k tal que existe una k–coloracionno-heterocromatica de G.
I χf (G) + 1 es el mınimo k tal que toda k–coloracion de Gcontiene una cara heterocromatica.
Definiciones basicas
I χf (G) es el maximo k tal que existe una k–coloracionno-heterocromatica de G.
I χf (G) + 1 es el mınimo k tal que toda k–coloracion de Gcontiene una cara heterocromatica.
Resultados preliminares
[Ramamurthi, West, 2004]
I estudiaron cotas inferiores justas
[Jendrol’, 2006]
I determino χf (G) para todos los poliedros semiregulares.
[Jungic, Kral’, Skrekovski, 2006]
I investigaron el problema para graficas planas sin triangulos.
Resultados preliminares
[Ramamurthi, West, 2004]
I estudiaron cotas inferiores justas
[Jendrol’, 2006]
I determino χf (G) para todos los poliedros semiregulares.
[Jungic, Kral’, Skrekovski, 2006]
I investigaron el problema para graficas planas sin triangulos.
Resultados preliminares
[Ramamurthi, West, 2004]
I estudiaron cotas inferiores justas
[Jendrol’, 2006]
I determino χf (G) para todos los poliedros semiregulares.
[Jungic, Kral’, Skrekovski, 2006]
I investigaron el problema para graficas planas sin triangulos.
Resultados preliminares
[Dvorak, Kral’, Skrekovski, 2009]
I estudiaron cotas superiores para graficas planas 3–, 4– y5–conexas.
Teorema: Sea G una grafica plana 3–conexa, entonces:
χf (G) ≤⌊
7n− 89
⌋
Resultados preliminares
[Dvorak, Kral’, Skrekovski, 2009]
I estudiaron cotas superiores para graficas planas 3–, 4– y5–conexas.
Teorema: Sea G una grafica plana 3–conexa, entonces:
χf (G) ≤⌊
7n− 89
⌋
El problema
I encontrar una cota superior justa para graficas planas maximales(en terminos del orden)
I buscar graficas planas maximales con χf (G) tan grande comosea posible
El problema
I encontrar una cota superior justa para graficas planas maximales(en terminos del orden)
I buscar graficas planas maximales con χf (G) tan grande comosea posible
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
α(G) + 1 ≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|
⌊ 2n−13
⌋≤ χf (G)
n + f − e = 2
2e = 3f
f = 2n− 4
|G| = 3n− 4 with an independent set of ≈ 23 |G|
El resultado
Teorema. [Arocha, M]
Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1
3
⌋<⌊ 7n−8
9
⌋
Toda coloracion de G con mas de⌊ 2n−1
3
⌋colores
contiene al menos una cara heterocromtica.
El resultado
Teorema: [Arocha, M]
Sea G una grafica plana maximal,entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1
3
⌋<⌊ 7n−8
9
⌋
Toda coloracion de G con mas de⌊ 2n−1
3
⌋colores
contiene al menos una cara heterocromtica.
La prueba
I considerar a las graficas como espacios topologicos
I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk
I introducir el concepto de coloracion nula
I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas
La prueba
I considerar a las graficas como espacios topologicos
I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk
I introducir el concepto de coloracion nula
I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas
La prueba
I considerar a las graficas como espacios topologicos
I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk
I introducir el concepto de coloracion nula
I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas
La prueba
I considerar a las graficas como espacios topologicos
I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk
I introducir el concepto de coloracion nula
I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas
Graficas como espacios topologicos
entender la estructura de G en terminos de sus ciclos (”hoyos”)
Graficas como espacios topologicos
entender la estructura de G en terminos de sus ciclos (”hoyos”)
Graficas como espacios topologicos
entender la estructura de G en terminos de sus ciclos (”hoyos”)
El (1er) grupo de homologıa
0 1 2
El (1er) grupo de homologıa
0 1 2
El (1er) grupo de homologıa
0 1 2
El (1er) grupo de homologıa
0 1 3
El (1er) grupo de homologıa
0 1 3
El (1er) grupo de homologıa
0 1 3
El (1er) grupo de homologıa
0 1 3
El (1er) grupo de homologıa
0 1 2
El (1er) grupo de homologıa
0 Z Z⊕ Z
El (1er) grupo de homologıa
0 Z Z⊕ Z
G → H1(G) ' Z⊕ Z...⊕ Z︸ ︷︷ ︸m− n + 1 veces
Coloraciones
I una k–coloracion f : G → Kk es un homomorfismo degraficas
Coloraciones
I una k–coloracion f : G → Kk es una funcion continua
Coloraciones nulas
f : G → Kk homomorfismo de graficas
↓ ↓
f : G → Kk funcion continua
↓ ↓
f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos
I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.
( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk homomorfismo de graficas
↓ ↓
f : G → Kk funcion continua
↓ ↓
f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos
I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.
( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk homomorfismo de graficas
↓ ↓
f : G → Kk funcion continua
↓ ↓
f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos
I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.
( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk homomorfismo de graficas
↓ ↓
f : G → Kk funcion continua
↓ ↓
f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos
I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.
( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )
Coloraciones nulas
f : G → Kk homomorfismo de graficas
↓ ↓
f : G → Kk funcion continua
↓ ↓
f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos
I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.
( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )
Ejemplos
I f : G→ K1
I f : G→ K2
I f : G→ Kk
si G/f es un arbol
Ejemplos
I f : G→ K1
I f : G→ K2
I f : G→ Kk
si G/f es un arbol
Ejemplos
I f : G→ K1
I f : G→ K2
I f : G→ Kk
si G/f es un arbol
Ejemplos
I una coloracion nula f tal que G/f no es un arbol
1
23
1
1
3
3
3
2
2
2
Ejemplos
I una coloracion nula f tal que G/f no es un arbol
1
23
1
1
3
3
3
2
2
2
Ejemplos
I una coloracion nula f tal que G/f no es un arbol
1
23
1
1
3
3
3
2
2
2
Coloraciones nulas
G/f es un arbol⇒ f es una coloracion nula
f es una coloracion nula 6⇒ G/f es un arbol
Teorema. [Arocha, M]
Sea f una coloracion nula maximal de G, entonces G/f es un arbol.
⇓
Teorema. [Arocha, M]
Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1
3
⌋
Coloraciones nulas
G/f es un arbol⇒ f es una coloracion nula
f es una coloracion nula 6⇒ G/f es un arbol
Teorema. [Arocha, M]
Sea f una coloracion nula maximal de G, entonces G/f es un arbol.
⇓
Teorema. [Arocha, M]
Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1
3
⌋
Coloraciones nulas
G/f es un arbol⇒ f es una coloracion nula
f es una coloracion nula 6⇒ G/f es un arbol
Teorema. [Arocha, M]
Sea f una coloracion nula maximal de G, entonces G/f es un arbol.
⇓
Teorema. [Arocha, M]
Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1
3
⌋<⌊ 7n−8
9
⌋
Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromaticas
coloracion nula⇒ coloracion no-heterocromatica
coloracion no-heterocromatica 6⇒ coloracion nula
1
23
1
1
2
2
3
2
3
3
Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromaticas
coloracion nula⇒ coloracion no-heterocromatica
coloracion no-heterocromatica 6⇒ coloracion nula
1
23
1
1
2
2
3
2
3
3
Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromaticas
coloracion nula⇒ coloracion no-heterocromatica
coloracion no-heterocromatica 6⇒ coloracion nula
1
23
1
1
2
2
3
2
3
3
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Lema. Para graficas planas maximales:
coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula
Prueba del teorema:
Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k
Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G
⇓ Lem.
f es una coloracion nula maximal
⇓ Teo.
G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas
⇓ Obs.
2n− 4 ≤ 3(k − 1)
Gracias!!