Coloraciones de graficas planas sin carasheterocromaticas

AMANDA MONTEJANO

Facultad de Ciencias UNAM-Juriquilla

Trabajo conjunto con JORGE AROCHA

XXVIII Coloquio Vıctor Neumann-Lara de Teorıa de las Graficas,Combinatoria y sus Aplicaciones

Morelia, Michoacan. 4 al 8 de marzo del 2013.

Definiciones basicas

una coloracion no-heterocromatica

una cara heterocromatica con el maximo numero decolores

Definiciones basicas

una coloracion no-heterocromatica

una cara heterocromatica con el maximo numero decolores

Definiciones basicas

una coloracion no-heterocromatica

una cara heterocromatica con el maximo numero decolores

Definiciones basicas

una coloracion no-heterocromatica

una cara heterocromatica con el maximo numero de colores

Definiciones basicas

una coloracion no-heterocromatica

una cara heterocromatica con el maximo numero de colores

Definiciones basicas

I χf (G) es el maximo k tal que existe una k–coloracionno-heterocromatica de G.

I χf (G) + 1 es el mınimo k tal que toda k–coloracion de Gcontiene una cara heterocromatica.

Definiciones basicas

I χf (G) es el maximo k tal que existe una k–coloracionno-heterocromatica de G.

I χf (G) + 1 es el mınimo k tal que toda k–coloracion de Gcontiene una cara heterocromatica.

Resultados preliminares

[Ramamurthi, West, 2004]

I estudiaron cotas inferiores justas

[Jendrol’, 2006]

I determino χf (G) para todos los poliedros semiregulares.

[Jungic, Kral’, Skrekovski, 2006]

I investigaron el problema para graficas planas sin triangulos.

Resultados preliminares

[Ramamurthi, West, 2004]

I estudiaron cotas inferiores justas

[Jendrol’, 2006]

I determino χf (G) para todos los poliedros semiregulares.

[Jungic, Kral’, Skrekovski, 2006]

I investigaron el problema para graficas planas sin triangulos.

Resultados preliminares

[Ramamurthi, West, 2004]

I estudiaron cotas inferiores justas

[Jendrol’, 2006]

I determino χf (G) para todos los poliedros semiregulares.

[Jungic, Kral’, Skrekovski, 2006]

I investigaron el problema para graficas planas sin triangulos.

Resultados preliminares

[Dvorak, Kral’, Skrekovski, 2009]

I estudiaron cotas superiores para graficas planas 3–, 4– y5–conexas.

Teorema: Sea G una grafica plana 3–conexa, entonces:

χf (G) ≤⌊

7n− 89

⌋

Resultados preliminares

[Dvorak, Kral’, Skrekovski, 2009]

I estudiaron cotas superiores para graficas planas 3–, 4– y5–conexas.

Teorema: Sea G una grafica plana 3–conexa, entonces:

χf (G) ≤⌊

7n− 89

⌋

El problema

I encontrar una cota superior justa para graficas planas maximales(en terminos del orden)

I buscar graficas planas maximales con χf (G) tan grande comosea posible

El problema

I encontrar una cota superior justa para graficas planas maximales(en terminos del orden)

I buscar graficas planas maximales con χf (G) tan grande comosea posible

α(G) + 1 ≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|

α(G) + 1 ≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|

α(G) + 1 ≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|

α(G) + 1 ≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|

α(G) + 1 ≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|

α(G) + 1 ≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G|

⌊ 2n−13

⌋≤ χf (G)

n + f − e = 2

2e = 3f

f = 2n− 4

|G| = 3n− 4 with an independent set of ≈ 23 |G|

El resultado

Teorema. [Arocha, M]

Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1

3

⌋<⌊ 7n−8

9

⌋

Toda coloracion de G con mas de⌊ 2n−1

3

⌋colores

contiene al menos una cara heterocromtica.

El resultado

Teorema: [Arocha, M]

Sea G una grafica plana maximal,entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1

3

⌋<⌊ 7n−8

9

⌋

Toda coloracion de G con mas de⌊ 2n−1

3

⌋colores

contiene al menos una cara heterocromtica.

La prueba

I considerar a las graficas como espacios topologicos

I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk

I introducir el concepto de coloracion nula

I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas

La prueba

I considerar a las graficas como espacios topologicos

I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk

I introducir el concepto de coloracion nula

I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas

La prueba

I considerar a las graficas como espacios topologicos

I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk

I introducir el concepto de coloracion nula

I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas

La prueba

I considerar a las graficas como espacios topologicos

I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G→ Kk

I introducir el concepto de coloracion nula

I entender la relacion entre coloraciones nulas y coloracionesno-heterocromaticas

Graficas como espacios topologicos

entender la estructura de G en terminos de sus ciclos (”hoyos”)

Graficas como espacios topologicos

entender la estructura de G en terminos de sus ciclos (”hoyos”)

Graficas como espacios topologicos

entender la estructura de G en terminos de sus ciclos (”hoyos”)

El (1er) grupo de homologıa

0 1 2

El (1er) grupo de homologıa

0 1 2

El (1er) grupo de homologıa

0 1 2

El (1er) grupo de homologıa

0 1 3

El (1er) grupo de homologıa

0 1 3

El (1er) grupo de homologıa

0 1 3

El (1er) grupo de homologıa

0 1 3

El (1er) grupo de homologıa

0 1 2

El (1er) grupo de homologıa

0 Z Z⊕ Z

El (1er) grupo de homologıa

0 Z Z⊕ Z

G → H1(G) ' Z⊕ Z...⊕ Z︸ ︷︷ ︸m− n + 1 veces

Coloraciones

I una k–coloracion f : G → Kk es un homomorfismo degraficas

Coloraciones

I una k–coloracion f : G → Kk es una funcion continua

Coloraciones nulas

f : G → Kk homomorfismo de graficas

↓ ↓

f : G → Kk funcion continua

↓ ↓

f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos

I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.

( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )

Coloraciones nulas

f : G → Kk homomorfismo de graficas

↓ ↓

f : G → Kk funcion continua

↓ ↓

f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos

I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.

( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )

Coloraciones nulas

f : G → Kk homomorfismo de graficas

↓ ↓

f : G → Kk funcion continua

↓ ↓

f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos

I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.

( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )

Coloraciones nulas

f : G → Kk homomorfismo de graficas

↓ ↓

f : G → Kk funcion continua

↓ ↓

f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos

I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.

( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )

Coloraciones nulas

f : G → Kk homomorfismo de graficas

↓ ↓

f : G → Kk funcion continua

↓ ↓

f∗ : H1(G) → H1(Kk) homomorfismo de grupos

I Una coloracion f es nula si f∗ es nulo.

( f∗(c) = 0 ∀c ∈ H1(G) )

Ejemplos

I f : G→ K1

I f : G→ K2

I f : G→ Kk

si G/f es un arbol

Ejemplos

I f : G→ K1

I f : G→ K2

I f : G→ Kk

si G/f es un arbol

Ejemplos

I f : G→ K1

I f : G→ K2

I f : G→ Kk

si G/f es un arbol

Ejemplos

I una coloracion nula f tal que G/f no es un arbol

1

23

1

1

3

3

3

2

2

2

Ejemplos

I una coloracion nula f tal que G/f no es un arbol

1

23

1

1

3

3

3

2

2

2

Ejemplos

I una coloracion nula f tal que G/f no es un arbol

1

23

1

1

3

3

3

2

2

2

Coloraciones nulas

G/f es un arbol⇒ f es una coloracion nula

f es una coloracion nula 6⇒ G/f es un arbol

Teorema. [Arocha, M]

Sea f una coloracion nula maximal de G, entonces G/f es un arbol.

⇓

Teorema. [Arocha, M]

Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1

3

⌋

Coloraciones nulas

G/f es un arbol⇒ f es una coloracion nula

f es una coloracion nula 6⇒ G/f es un arbol

Teorema. [Arocha, M]

Sea f una coloracion nula maximal de G, entonces G/f es un arbol.

⇓

Teorema. [Arocha, M]

Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1

3

⌋

Coloraciones nulas

G/f es un arbol⇒ f es una coloracion nula

f es una coloracion nula 6⇒ G/f es un arbol

Teorema. [Arocha, M]

Sea f una coloracion nula maximal de G, entonces G/f es un arbol.

⇓

Teorema. [Arocha, M]

Sea G una grafica plana maximal, entonces χf (G) ≤⌊ 2n−1

3

⌋<⌊ 7n−8

9

⌋

Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromaticas

coloracion nula⇒ coloracion no-heterocromatica

coloracion no-heterocromatica 6⇒ coloracion nula

1

23

1

1

2

2

3

2

3

3

Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromaticas

coloracion nula⇒ coloracion no-heterocromatica

coloracion no-heterocromatica 6⇒ coloracion nula

1

23

1

1

2

2

3

2

3

3

Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromaticas

coloracion nula⇒ coloracion no-heterocromatica

coloracion no-heterocromatica 6⇒ coloracion nula

1

23

1

1

2

2

3

2

3

3

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Lema. Para graficas planas maximales:

coloracion no-heterocromatica⇒ coloracion nula

Prueba del teorema:

Sea G una grafica plana maximal de orden n con χf (G) = k

Consideremos f una k–coloracion no-heterocromatica de G

⇓ Lem.

f es una coloracion nula maximal

⇓ Teo.

G/f es un arbol con k vertices y k − 1 aristas

⇓ Obs.

2n− 4 ≤ 3(k − 1)

Gracias!!