POLIEDROS

POLIEDROS

Un POLIEDRO RECTILÍNEO es un cuerpo tridimensional

limitado por superficies planas que se denominan CARAS. Las

ARISTAS del poliedro son los segmentos pertenecientes a la

intersección de las caras. Los VÉRTICES del poliedro son los

puntos de intersección de las aristas. Las DIAGONALES del

poliedro son los segmentos no incluidos en ninguna cara.

Un poliedro se denomina CONVEXO, si todas sus diagonales

están en el interior del poliedro, y en caso contrario se

denomina NO CONVEXO.

ELEMENTOS DE POLIEDROS

POLIEDRO CONVEXO POLIEDRO NO CONVEXO

CARAS

ARISTAS

DIAGONALES

VÉRTICES

Un POLIEDRO CURVILÍNEO es un cuerpo

tridimensional limitado por superficies no necesariamente

planas.

POLIEDROS ELEMENTALES.

PRISMA.- Poliedro que se obtiene mediante traslación de un

polígono (base). Un prisma es triangular, cuadrangular,

pentagonal, etc., dependiendo del polígono que lo genera.

PARALELEPÍPEDO.- Prisma cuyas bases son

paralelogramos. En el caso de que sea un paralelepípedo recto,

entonces sus seis caras son rectangulares y se denomina

ORTOEDRO. Un CUBO es un paralelepípedo rectangular

cuyas seis caras son iguales.

¿Cómo calcular la longitud de la diagonal D de un Ortoedro de

lados a, b y c?.

CALCULAR LA DIAGONAL DE UN PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

a

b

c a

bd = (a²+ b²)

d c

d

D = (d²+ c²)

D

PIRÁMIDE.- Poliedro tal que todas sus caras, salvo una

(base) son triangulares, y se juntan en un vértice común. Una

pirámide se denomina triangular, cuadrangular, pentagonal,

etc., dependiendo del tipo de polígono que sea la base .

ÁREA DE PRISMA.

Dado un PRISMA de base un polígono de n lados:

El ÁREA LATERAL = AL = ÁREA de las n áreas de los

paralelogramos laterales del prisma.

El ÁREA de la BASE = AB = ÁREA del polígono (de n

lados) de la BASE.

El ÁREA TOTAL = AT = AL + 2 . AB

EJEMPLO.

Dado el PRISMA

5 cm

1 cm

Su desarrollado será:

AL = 6 . (5 cm).(1 cm) = 30 cm²

1 cm

½ cm

22 1 3

1 .2 2

cm

2

36. . .

2 3. 3.

2 2B

cm cm

A cm

2 2

2

2

30 3 3.

30 3 3 .

T L BA A A

cm cm

cm

5 cm

1 cm

VOLUMEN DE PRISMA.

El VOLUMEN de cualquier PRISMA se obtiene

multiplicando el ÁREA de la BASE del PRISMA, por la

ALTURA.

2 cm

2 cm

5 cm

Ejemplo. 2 3

2 . 2 . 5 .

4 5 . 20 .

Volumen V cm cm cm

cm cm cm

ÁREAS Y VOLÚMENES DE PRISMAS.

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE PRISMAS

PRISMA TRIANGULAR 1 ; PRISMA TRIANGULAR 2

PRISMA CUADRÁNGULAR ;

PARALELEPÍPEDO 1 ; PARALELEPÍPEDO 2

ÁREA DE PIRÁMIDE.

Dada una PIRÁMIDE de base un polígono de n lados:

El ÁREA LATERAL = AL = ÁREA de las n áreas de los

triángulos laterales de la pirámide.

El ÁREA de la BASE = AB = ÁREA del polígono (de n

lados) de la BASE.

El ÁREA TOTAL = AT = AL + AB

EJEMPLO.

Dada una PIRÁMIDE de base un cuadrado de lado 2 cm. Y cuyo

apotema de sus triángulos (altura de triángulos laterales) es de 5 cm.

2 cm.

5 cm.

AB = 2 cm. 2 cm = 4 cm²

2 cm.

AL = 4.(½ .( 2 cm. 5 cm)) = 20 cm²

5 cm.

2 cm.

AT = AB + AL = 24 cm ²

VOLUMEN DE PIRÁMIDE.

El VOLUMEN de cualquier PIRÁMIDE se obtiene

multiplicando el (1/3) del ÁREA de la BASE de la

PIRÁMIDE por la ALTURA y multiplicando por .

Ejemplo.

2 cm.

h=5 cm.

AB = 2 cm. 2 cm = 4 cm²

2 cm.

V = (1/3) . AB . h = (1/3) . 4 cm ² . 5 cm = (20/3) cm3

ÁREAS Y VOLÚMENES DE PIRÁMIDES.

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE PIRÁMIDES

TETRAEDRO

PIRÁMIDE PENTAGONAL

ÁREA DE TRONCO DE PIRÁMIDE.

El ÁREA TOTAL de cualquier TRONCO DE

PIRÁMIDE la podemos obtener desarrollando el tronco

de pirámide en un plano, y obteniendo el ÁREA

LATERAL de las n áreas de los TRAPECIOS

ISÓSCELES LATERALES (n = lados de la base) y

sumándole el área de las dos bases (polígonos de n lados).

EJEMPLO.

Dado una TRONCO DE PIRÁMIDE de base mayor un cuadrado de lado

2 cm. y base menor un cuadrado de base 1 cm. Y cuya apotema de sus

trapecios isósceles (altura de trapecios laterales) es de 3 cm.

ABM = 2 cm. 2 cm = 4 cm²

2 cm.

AT = ABM + ABm + AL =

= 4 cm² + 1 cm² + 12 cm² =

= 17 cm²

ABm = 1 cm. 1 cm = 1 cm²

1 cm.

2 cm.

1 cm.

3 cm.

AL = 4.(½ .( 2 cm. + 1 cm) . 3 cm.) = 12 cm²

2 cm.

1 cm.

3 cm.

VOLÚMENES DE TRONCO DE PIRÁMIDE.

El VOLUMEN de cualquier TRONCO DE PIRÁMIDE se obtiene

restando al volumen de la PIRÁMIDE COMPLETA, el volumen de la

PIRÁMIDE QUE FALTA.

EJEMPLOS DE TRONCO DE PIRÁMIDE

TRONCO DE PIRÁMIDE

POLIEDROS REGULARES. CONSTRUCCIÓN.

POLIEDRO REGULAR.- Poliedro que cuyas caras son polígonos

regulares iguales entre sí y en cada uno de sus vértices concurren el

mismo número de caras. Existen solamente 5 poliedros regulares

convexos denominados SÓLIDOS PLÁTONICOS.

• Para poder construir los poliedros regulares, se tiene que cumplir:

- El número de caras concurrentes en cada vértice debe de ser mayor o

igual que 3

 - La Suma de los ángulos que concurren en cada vértice ha de ser menor

de 360º.

DENOMINACIÓN DE POLIEDROS REGULARES

Vértices Aristas Caras

TETRAEDRO V = 4 A = 6 C = 4.

OCTAEDRO V = 6 A = 12 C = 8.

ICOSAEDRO V = 12 A = 30 C = 20.

CUBO V = 8 A = 12 C = 6.

DODECAEDRO V = 20 A = 30 C = 12.

Construye con papel los cinco POLIEDROS REGULARES

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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