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COLEGIO DISTRITAL EL SILENCIOBARRANQUILLA
2012
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAESP. CARLOS PEÑA ARRIETA
SEMEJANZA Y CONGRUENCIA9°
BIENVENIDOS AL INTERESANTE MUNDO DE LA SEMEJANZA Y CONGRUENCIA EN GEOMETRÍA
www.fismatblog.wordpress.comAquí encontrarás toda la información referente a informaciones, talleres, y cualquier actividad programada por el docente.
OBJETIVOS
Conocer los conceptos, símbolos y diferencias entre figuras semejantes y congruentes.
Identificar figuras semejantes y congruentes. Construir segmentos, ángulos y triángulos congruentes. Apropiar los criterios de congruencia entre triángulos. Aplicar los criterios de congruencia, a través del concepto
básico de proporcionalidad. Aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales en la
construcción de figuras geométricas semejantes y congruentes.
EJEMPLOS DE PROPORCIONALIDAD
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
2 4
3 6
4 8
5 10
5
10
4
8
3
6
2
42
12
40
x
100
x
100
12
30
¿Cómo se halla el término desconocido en las proporciones dadas?
24
6 m
m
5
7
25
a
Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas
Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas
SEMEJANZA
Los polígonos de al lado tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; ellos son semejantes.
Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace mediante el concepto de proporcionalidad.A
E
D B
SEMEJANZA Matemáticas
9º SILENCIO.Figuras semejantes
• Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.
• Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
• Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
SEMEJANZAFiguras semejantes: Planos
Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.
ML
M'L'es la razón de semejanza
Matemáticas
9º SILENCIO.
SEMEJANZASemejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.
El cocientea b c
ka ' b ' c '
se llama razón de semejanza.
Matemáticas
9º SILENCIO.
SEMEJANZAPrimer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
A B
C
A' B'
C'A = A‘ y B = B‘ C = C'
A' B'
C'
B''
C''
Matemáticas
9º SILENCIO.
1.- AA ( ángulo-ángulo)
SEMEJANZASegundo criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
A B
C
ab
c A' B'
C'
b'
c'
a'
a ' b ' c '
a b c
A' B'
C'
B''
C''
Matemáticas
9º SILENCIO.
2. LLL (lado-lado-lado)
SEMEJANZATercer criterio de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
A B
C
ab
c A' B'
C'
b'
c'
a'
y A A' b' c'
b c
A' B'
C'
B''
C''
c
Matemáticas
9º SILENCIO.
3.- LAL (lado-ángulo-lado)
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
25
65 25
65
¡SI!Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes, cumplen
con el criterio AA
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
1,5
3,5
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
1,5 3
= =3,5 7
510
Efectivamente , así es, ya que los productos
“cruzados” son iguales1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,53,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
B C4
3
DE
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39 =
412
Efectivamente así es, ya que los
productos “cruzados” son
iguales3 • 12 = 4 • 9¿Los ángulos formados
por estos dos lados son congruentes?
Por criterio LAL
Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
Semejanza. Teorema de Tales
Teorema de Tales
IMAGEN FINAL
Los ángulos son iguales por tener los lados paralelos:
Construye un triángulo A´B´C´ y traza una paralela a uno de los lados y que corte a los otros lados.
B C
A´
B´ C´
Si medimos los valores de los lados de cada uno de los triángulos se
observa que son proporcionales:
A
a´
b´
c´
a
bc
Se forma así un triángulo pequeño ABC.
Vamos a comprobar que los dos triángulos son semejantes:
c´
c
b´
b
a´
a
´C C ´,B B ´,A A
Este resultado es válido para cualquier triángulo y se conoce como teorema de Tales.
Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo pequeño, ABC, semejante al grande, A´B´C´ (A A´).
Los triángulos semejantes, ABC y A´B´C´ se dice que están en posición de Tales.
Matemáticas 9º SILENCIO 2012
ACTIVIDAD
IMAGEN FINAL
1. ¿Cuál es la anchura x del lago?
A
B
C
xM
N
2. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema).
3. ¿Cuál es el valor de la incógnita en los siguientes casos? Explique.
d
40
12
30
54
12 k
728
6 m
n
n 80
5
5
7
15
a
¡Qué capo soy!Ahora soy experto en
semejanzas, te invito a leer y documentarte
sobre congruencias, ¡ánimo!