CÁLCULODIFERENCIAL

Equipo:*Jose Luis Cervantes Berumen #7 *Carla María Pacheco Hernández #30*Carolina Escareño Ríos #9 *Cinthia A. Rodríguez Rodríguez #35*Irving Misael Ibarra Luna #21

LÍMITES

• El límite en una función es la “y” en la gráfica.

• Al valor del límite se le conoce como “c”

Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina.Definición: Se dice que el valor de una variable “x” se aproxima o tiende a una constante “a” como límite, cuando la diferencia entre el valor de la variable se hace y llega a ser menor que cualquier cantidad, por pequeña que esta sea.

lím f(x) = Lx → a

Si al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a, tanto del lado izquierdo como del derecho, f(x) se aproxima a un número L, entonces el límite cuando x tiende al número a es L:

EL PRIMER PASO QUE DEBEMOS REALIZAR PARA CONOCER SI EL LÍMITE DE LA FUNCIÓN EXISTE O NO ES SUSTITUIR EL VALOR X EN LA FUNCIÓN, ESTO NOS PUEDE DAR EL LÍMITE DIRECTO O PRESENTARSE ALGUNO DE   LOS SIGUIENTES TRES CASOS: I) c0 = ∞ donde c es una constante que al dividirla entre cero resulta no definido, es

decir indeterminado o infinito.

  II) 0c = 0, esto nos da como resultado, al dividir cero sobre una constante, este es el limite.  III) 00 , esto nos indica que el límite

puede existir o no existir.

¿Cómo saber si existe el límite?

•Límites directos Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x - 8 cuando x tiende a 3:Se sustituye el valor al que tiende x en la función: = - 2 El resultado es igual al valor del límite. •Cálculo de Límites mediante

factorizaciónLa factorización de un polinomio es el proceso que permite expresarlo como producto de otros polinomios. Existen diferentes tipos de realizar esto: Factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubico perfecto, entre otros. En cuanto a los límites podemos usar el que nos lleve al resultado correcto.

Tipos de cálculo de límites:

•Cálculo de Límites mediante tablas

Otra manera de encontrar el límite de una función es por medio de una tabla. Esto se aplica cuando al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y además no hay manera de factorizar la función, como es el caso siguiente:Por ello se construye una tabla con valores en t cercanos a 0, los cuales se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite.

T

.3 0.058

.1 0.1745

.001 17.45

0 - - - -> 18

-.001 17.45

-1 0.1745

-3 0.058

Calculo de limites mediante racionalización

Racionalizar es quitar la raíz o el radical del numerador o denominador de una fracción.

Sea f(x) una función, se define a su derivada f ′(x), como:

f ′(x):

Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por:

y′, f ′, o DX y

El valor de la derivada en cualquier punto de la curvatura es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto donde:

Interpretación geométrica

¿CÓMO DERIVAR?Derivada de x

Derivada de función afín

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada del arcocosecante la función potencial-exponencial

Derivada de un logaritmo

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Los máximos y mínimos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

MAXIMOSSi f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:1)  f '(a) = 02)  f ''(a) < 0

MINIMOSi f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:1)  f '(a) = 02) F ''(a) > 0

1. HALLAMOS LA DERIVADA PRIMERA Y CALCULAMOS SUS RAÍCES.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0x = −1 x = 1.

CÁLCULO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOSf(x) = x3 − 3x + 2

3. CALCULAMOS LA IMAGEN (EN LA FUNCIÓN) DE LOS EXTREMOS RELATIVOS.f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

2. REALIZAMOS LA 2ª DERIVADA, Y CALCULAMOS EL SIGNO QUE TOMAN EN ELLA LOS CEROS DE

DERIVADA PRIMERA Y SI:f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6xf''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

Si una cantidad x está en función del tiempo t , la razón de cambio de x con respecto a t está dada por . Si dos o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación

dxdt

Se elabora un modelo matemático que relacione las variables.

Se deriva el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos dados.

Se traza un dibujo que complete todas las variables y constantes que intervengan en el problema.

Ejemplo:Un cubo de hielo de 10 de volumen, comienza a derretirse a razón de , ¿Cuál es la razón de cambio de la superficie del cubo en ese instante?

Solución:Se construye un cubo con arista x cuyo volumen es y la razón con la que se derrite es

El signo indica que el volumen del cubo está decreciendo

x

xx

Se deriva el volumen respecto al tiempo:

Se despeja

La razón con que disminuye la arista es:

El área total del cubo es y la razón con que cambia el área es:

Pero , entonces:

Si el volumen es de ,entonces , por tanto :

El área disminuye a razón de

GRACIAS 5° ”A”