cálculo de área y cálculo del volumen con integrales

7/25/2019 clculo de rea y clculo del volumen con integrales

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Instituto universitario de tecnologa

Antonio Jos De Sucre

Matemtica II, Profesora: Ing. RanielinaRondn.

!ecnologa Mecnica, menc inmantenimiento "do semestre


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Al#erto J. Moreno $erde

%ac en &l !igre &do. An'otegui, tengo() a*os, casado con un +io de - a*os,estudi en la /D0 semestres de medicina1ero no 1ude concluir 1or ra'ones ma2ores,tena ms de -3 a*os 4ue no estudia#a 1ero+ace dos a*os comenc a tra#aar en unaem1resa contratista de PD$SA 2 mee5igieron 1or lo menos un !S/ 1ara +acercarrera dentro de la em1resa, 2 #ueno a4uesto2 ec+ndole 1ic+n como se dice6 2como nunca es tarde es1ero culminar lacarrera 1ara tener ms o1ciones la#orales 2desarrollar mi intelecto a nivel 1ersonal. 7eagrade'co muc+o a la 1rofesora RanielinaRondn 1or la a2uda 4ue nos +a ofrecido 2 ledeseo muc+os 5itos en su vida tanto1rofesional como 1rivada.


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La importancia del clculo integral,

encuadrado en el clculo infnitestimal es una

rama de las matemticas, en el proceso deintegracin o antiderivacin y es muy comn

en la ingeniera y en la ciencia tambin; se

utiliza principalmente para el clculo de reas

y volmenes de regiones y slidos de

revolucin.

8A78/70 D& $07/M&%

El volumen del cuerpo de revoluc in engendrado a l

girar la curva f(x) a lrededor del eje OX y l imitado por x = a

y x = b, v iene dado por:


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Ejemplos

- Hal lar el volumen engendrado por la uperf ic ie

l imitada por la curva y la recta dada a l girar e n torno

al eje OX:

y = en xx = !x = "

- #alcular el volumen del c i l indro engendrado por el

rect$ngulo l imitado por la recta y = %, x = & y x = ' , y el

eje OX al girar a lrededor de ete eje

- #alcular el volumen de la efera de radio r

art imo de la ecuacin de la c i rcunferencia x* + y* =

r*

irando un emic -rculo en torno a l eje de abc ia e

obt iene una efera


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- #alcular el volumen engendrado por la rotac in del

$rea l imitada por la par$bola y %./ = x y la recta x = %,

a lrededor del eje O0

#omo gira a lrededor del eje O0, apl icamo:

El volumen er$ la di ferencia del engendrado por la

recta y el engendrado por la par$bola entre lo extremo y

= 1' e y = '


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#omo la par$bola e im2tr ica con repecto a l eje OX,

el volumen e igual a do vece el volumen engendrado

entre y = ! e y = '

- Hal lar el volumen del el ipoide engendrado por la

el ipe &3x % + %4y % = '!!, a l girar:

1 5 lrededor de u eje mayor

2 5lrededor de u eje menor


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#omo la el ipe e im2tr ica a l repecto de lo do eje

el volumen e el doble del engendrado por la porc in de

el ipe del pr imer cuadrante en ambo cao

- #alcular el volumen engendrado a l girar a lrededor

del eje OX el rec into l imitado por la gr$f ica de y = %x 1x % ,

y = 1x + %

unto de interecc in entre la par$bola y la recta:


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6a par$bola et$ por enc ima de la recta en el intervalo

de integrac in


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8A78/70 D&7 9R&A

El $rea comprendida entre do func ione e igual a l

$rea de la func in 7ue et$ i tuada por enc ima meno el

$rea de la func in 7ue et$ i tuada por debajo

Ejemplos

- #alcular el $rea l imitada por la curva y = x% 1 4x + 3

y la recta y = %x

En primer lugar 8al lamo lo punto de corte de la do

funcione para conocer lo l -mite de integrac in

9e x = & a x = 3, la recta 7ueda por enc ima de la

par$bola


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-#alcular el $rea l imitada por la par$bola y% = 'x y la

recta y = x

9e x = o a x = ', la par$bola 7ueda por enc ima de la

recta


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-#alcular el $rea l imitada por la gr$f ica de la

funcione y =x % e y = 1x % + 'x

En primer lugar repreentamo la par$bola a part i r

del v2rt ice y lo punto de corte con lo eje

Hal lamo tambi2n lo punto de corte de la func ione,

7ue no dar$n lo l -mite de integrac in


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- #alcula el $rea de la f igura plana l imitada por la

par$bola y= x % 1 %x, y = 1x % + 'x

;epreentamo la par$bola a part i r del v2rt ice y lo

punto de corte con lo eje


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-Hal lar el $rea de de la regin l imitada por la

funcione:

y = en x, y = co x, x = !


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En primer lugar 8al lamo el punto de interecc in de

la func ione:

6a gr$f ica del coeno 7ueda por enc ima de la gr$f ica

del eno en e l intervalo de integrac in


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Se entiende 4ue la esencia del 8lculo integral es calcular reas desu1erficies , sumar reas etc., en fin es una diversidad de 1ro#lemas sonmodelados 2 resueltos a travs de una Integral, 1or lo 4ue resulta im1ortante4ue el ingeniero domine el clculo integral.

&l origen del clculo integral se remonta a la 1oca de Ar4umedes ";, matemtico griego de la antig?edad, 4ue o#tuvo resultados tanim1ortantes como el valor del rea encerrada 1or un segmento 1ara#lico. 7aderivada a1areci veinte siglos des1us 1ara resolver otros 1ro#lemas 4ue en1rinci1io no tenan nada en com@n con el clculo integral. &l descu#rimientoms im1ortante del clculo infinitesimal creado 1or arroB, %eBton 2 7ei#ni'>es la ntima relacin entre la derivada 2 la integral definida, a 1esar de +a#erseguido caminos diferentes durante veinte siglos. /na ve' conocida lacone5in entre derivada e integral teorema de arroB>, el clculo deintegrales definidas se +ace tan sencillo como el de las derivadas.

7os creadores del Anlisis Infinitesimal introdueron el 8lculo Integral,considerando los 1ro#lemas inversos de sus clculos. &n la teora de flu5ionesde %eBton la mutua inversi#ilidad de los 1ro#lemas del clculo de flu5iones 2fluentes se evidencia#a claramente. Para 7ei#ni' el 1ro#lema era mscom1leo: la integral surga inicialmente como definida. %o o#stante, laintegracin se reduca 1rcticamente a la #@s4ueda de funciones 1rimitivas. 7aidea de la integracin indefinida fue inicialmente la dominante.

&l 8lculo Integral inclua adems de la integracin de funciones, los1ro#lemas 2 la teora de las ecuaciones diferenciales, el clculo variacional, lateora de funciones es1eciales, etc. !al formulacin general creciinusualmente r1ido. &uler necesit en los a*os -


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varia#le. &n este caso vamos a ser nfasis en el clculo de vol@menes deslidos cilndricos 2 arandelas. Al tratar de +allar el volumen de un slido, se1resenta el mismo 1ro#lema 4ue al #uscar reas. Se tiene una idea intuitiva delsignificado de volumen 1ero a1licando el clculo veremos una definicin mse5acta. /n caso en 1articular 2 sencillo es encontrar el volumen de un slido

cilndrico es decir un cilindro.

&n concreto creo 4ue el 8lculo Integral es mu2 @til 1ara conocer el rea defiguras no regulares, tam#in es @til 1ara entender cmo se derivan ciertosresultados.

!&0R&MA C/%DAM&%!A7 D&7 8A78/70 I%!&RA7

La derivada de la funcin integral de la funcin

continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) f(x)

El teorema fundamental del c!lculo no indica 7ue la

derivac in y la integrac in on operac ione invera: i una

funcin cont inua primero e integra y luego e deriva, e

recupera la func in original

Ejemplos

#alcular la derivada de la func ione:


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El teorema fundamental del clculoconsiste (intuitivamente) en la

afirmacin de que la derivacine integracinde una funcinson

operaciones inversas. Esto significa que toda funcin acotada e integrable

(siendo continua o discontinua en un nmero finito de puntos) verifica que

la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en

la rama de las matemticasdenominada anlisis matemticoo clculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo aproximado dereas -integrales- en el que se vena trabaando desde !rqumedes" era una

rama de las matemticas que se segua por separado al clculo diferencial

que se vena desarrollando por #saac $e%ton" #saac &arro%' ottfried

eibni*en el siglo +,###' dio lugar a conceptos como el de las derivadas.

as integrales eran investigadas como formas de estudiar reas'

volmenes" hasta que en ese punto de la historia ambas ramas

convergieron" al demostrarse que el estudio del rea bao una funcin

estaba ntimamente vinculado al clculo diferencial" resultando la

integracin" la operacin inversa a la derivacin.

na consecuencia directa de este teorema es la regla de &arro%"

denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del clculo" '

que permite calcular la integral de una funcin utili*ando la integral

indefinidade la funcin al ser integrada
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada


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Eemplos/

&


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En primer lugar ca lculamo el punto de corte con el eje de abc ia


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'


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#omo la par$bola e im2tr ica con repecto a l eje OX,

el volumen e igual a do vece el volumen engendrado

entre y = ! e y = '

Teoremas de Pappus

Dado un tringulo amarillo a, se trata de construir so#re dos de suslados, dos 1aralelogramos #c 2 o#tener otro m cu2a rea sea lasuma de los dos anteriores. Di#uamos los 1aralelogramos, 21rolongamos sus lados su1eriores rs +asta 4ue se corten en un

1unto !, 1or ste tra'amos una recta 4ue 1ase adems 1or $,vrtice su1erior del tringulo a.


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Por la #ase del tringulo tra'amos en sus e5tremos JE rectas1aralelas a la anterior $!, donde stas cortan a los lados sr del1aralelogramo, o#tenemos F7 1or donde 1asa el lado su1erior mdel 1aralelogramo 4ue 4ueramos o#tener. /nimos sus e5tremos F7

con JE 2 2a tenemos la figura m.7a figura m es e4uivalente a la suma de los 1aralelogramos #c.

Teoremas de Pappus y Guldinus

Los dos teoremas de Pappus y Guldinus, desarrollados en un principio porPappus de Alejandra durante el siglo tercero a. c. y establecidos

posteriormente por el matemtico suizo Paul Guldin o Guldinus (1!!"1#$%&, se utilizan para calcular la super'icie y olumen de cual)uier objetode reoluci*n.+na super'icie de reoluci*n se crea girando una cura plana con respectode un eje 'ijo )ue no intercepta el plano de la cura mientras )ue unolumen de reoluci*n se 'orma girando el rea de un plano con respectode un eje 'ijo )ue no intercepta el plano del rea.-rea de una super'iciel rea de una super'icie de reoluci*n es igual al producto de la longitudde la cura generadora y la distancia recorrida por su centroide al generardic/a rea.

Prueba0uando una longitud di'erencial dL es girada con respecto a un eje a lolargo de una distancia 2r, 'orma un anillo cuya rea es dA32r dL. Lasuper'icie total, generada al girar toda la cura con respecto al eje es, porlo tanto, A324Lr dL. sta ecuaci*n se puede simpli'icar, si se obsera )uela ubicaci*n r del centroide para la lnea de longitud total L puededeterminarse de la ecuaci*n r534r dL6L. As, la super'icie total seconierte en A32r5L. 7in embargo, si la lnea no gira una reoluci*ncompleta, entonces suele suceder )ue, A38r5L (donde A3super'icie dereoluci*n, 8 3ngulo de reoluci*n en radianes, r3 distanciaperpendicular desde el eje de reoluci*n al centroide de la cura y L3longitud de la cura&.

I7I0RACIA


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= www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-

volumen

= www.inetor.com/defnidas/integral_volumen

= es.wikipedia.org/wiki/Integracin= www.ca.unl.edu.ar/Intde/Ejdefnida .

= www.vitutor.com/integrales/defnidas/areas_integrales

= es.khanacademy.org/math/integral-calculusEn

= ocw.uniar.es/ciencias-e!perimentales/calculo-integral
http://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.inetor.com/definidas/integral_volumenhttp://www.inetor.com/definidas/integral_volumenhttp://www.inetor.com/definidas/integral_volumenhttp://www.inetor.com/definidas/integral_volumenhttp://www.inetor.com/definidas/integral_volumenhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinidahttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://r.search.yahoo.com/_ylt=AwrBTvftbapW00MAAGGTdgx.;_ylu=X3oDMTBybGY3bmpvBGNvbG8DYmYxBHBvcwMyBHZ0aWQDBHNlYwNzcg--/RV=2/RE=1454038637/RO=10/RU=http%3A%2F%2F98.139.237.209%2Fsearch%2Fsrpcache%3Fp%3Dcalculo%2Bde%2Barea%2By%2Bvolumen%2Ba%2Btraves%2Bde%2Bintegrales%26type%3DB011VE0D20141025%26fr%3Dmcafee%26ei%3DUTF-8%26u%3Dhttp%3A%2F%2Fcc.bingj.com%2Fcache.aspx%3Fq%3Dcalculo%2Bde%2Barea%2By%2Bvolumen%2Ba%2Btraves%2Bde%2Bintegrales%26d%3D4907740410937405%26mkt%3Des-xl%26setlang%3Des-ES%26w%3DUHpstNT_AJe3yAEn_fTQktLiRDLMbwqX%26icp%3D1%26.intl%3Dve%26sig%3Dp1nS.ZaNKsmHgix7_SX7TA--/RK=0/RS=OyCXT8N8QLUSZ_Rd7EvQ0UF1IIw-http://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.calculointegrales.com/p/ejercicios-de-area-y-volumenhttp://www.inetor.com/definidas/integral_volumenhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinidahttp://www.vitutor.com/integrales/definidas/areas_integraleshttp://r.search.yahoo.com/_ylt=AwrBTvftbapW00MAAGGTdgx.;_ylu=X3oDMTBybGY3bmpvBGNvbG8DYmYxBHBvcwMyBHZ0aWQDBHNlYwNzcg--/RV=2/RE=1454038637/RO=10/RU=http%3A%2F%2F98.139.237.209%2Fsearch%2Fsrpcache%3Fp%3Dcalculo%2Bde%2Barea%2By%2Bvolumen%2Ba%2Btraves%2Bde%2Bintegrales%26type%3DB011VE0D20141025%26fr%3Dmcafee%26ei%3DUTF-8%26u%3Dhttp%3A%2F%2Fcc.bingj.com%2Fcache.aspx%3Fq%3Dcalculo%2Bde%2Barea%2By%2Bvolumen%2Ba%2Btraves%2Bde%2Bintegrales%26d%3D4907740410937405%26mkt%3Des-xl%26setlang%3Des-ES%26w%3DUHpstNT_AJe3yAEn_fTQktLiRDLMbwqX%26icp%3D1%26.intl%3Dve%26sig%3Dp1nS.ZaNKsmHgix7_SX7TA--/RK=0/RS=OyCXT8N8QLUSZ_Rd7EvQ0UF1IIw-


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cálculo de área y cálculo del volumen con integrales

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