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EL CÁLCULO EN LA ESCUELA: LAS CUENTAS, ¿SON UN PROBLEMA?

Graciela Chemello1 El cálculo es, fundamentalmente, un conjunto de procedimientos, y su ejecución está unida a los instrumentos que se utilicen para su realización. Por eso, podemos hablar de cálculo mental, de cálculo con lápiz y papel, de cálculo con ábaco, de cálculo con calculadora, etcétera. No olvidemos que la palabra cálculo proviene de calculus, la palabra latina que significa piedra pequeña, que era el instrumento con que sus inventores realizaban las cuentas. Para los romanos, calcular era sinónimo de manejar correctamente las piedras que usaban para hacer las cuentas. El cálculo aritmético, entonces, está ligado a la necesidad de resolver cotidianamente múltiples situaciones. La naturaleza y el contexto del problema determinan el grado de exactitud exigido en la respuesta y la necesidad de uno u otro tipo de cálculo. Hace ya tiempo que la enseñanza del cálculo en la escuela ha dejado de ser satisfactoria, tanto por la baja eficacia que esta enseñanza ha tenido2, como por el cambio en la demanda social de las competencias deseables por desarrollar en los alumnos con respecto a esta cuestión. Trataremos de fundamentar una propuesta para trabajar con el cálculo durante la EGB, que nos parece superadora de algunas de estas dificultades. En primer lugar, nos ocuparemos de la elección de instrumento de cálculo, es decir, de la relación entre e cálculo necesario para resolver un problema, el contexto que este problema proporciona y el tipo de números que involucra. En segundo lugar, queremos señalar que al pensar el trabajo con el cálculo, partimos de una cuestión esencial en la Didáctica de la Matemática: ¿cómo hacer que los conocimientos enseñados tengan sentido?3 Para que los alumnos puedan construir el sentido, el cálculo no debe plantearse en forma aislada, sino como parte de un problema para resolver. Consideramos que el cálculo adquiere su sentido por los problemas que resuelve, y también por los que no resuelve (o sea, sus límites de aplicación). A su vez, reflexionar sobre el cálculo producido, analizando cómo y por qué funciona, posibilitará construir el sentido como problemática propia de la disciplina. Adecuar el instrumento a la necesidad Durante muchos años, la enseñanza del cálculo estuvo centrada en que los alumnos adquirieran la destreza de usar algoritmos convencionales para operar, tarea a la que los docentes dedicaron gran parte de las horas de clase4. 1 Graciela Chemello es especialista en Didáctica de la Matemática. Asesora de escuelas en el área y del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. Integrante del equipo de asesores de la Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. 2 La baja eficacia está referida a las dificultades de los alumnos para saber cuándo usar cada operación en un problema dado, cómo controlar el resultado obtenido, pudiendo explicar los porqués de los distintos pasos de los algoritmos. 3 En “Aprender por medio de la resolución de problemas” del libro Didáctica de la Matemática, Charnay dice: “la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles: ♦ un nivel externo: ¿cuál es el campo de utilización de esa noción y cuáles son los límites de ese campo? ♦ un nivel interno: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta?.” En nuestra problemática, el nivel externo está relacionado con el tipo de cálculo por utilizar en cada situación particular, y el nivel interno, con la respuesta a cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado. 4 Hace algunos años, la enseñanza de los algoritmos estaba orientada por un modelo de aprendizaje en donde el saber debía ser comunicado a los alumnos. Este saber era considerado como algo acabado, ya construido. Por lo tanto, en la escuela se debían transmitir los algoritmos más económicos que los matemáticos habían inventado para calcular resultados. El alumno debía aprender, ejercitar y finalmente aplicar en problemas dichos algoritmos.

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En otras épocas, conocer y usar los algoritmos no sólo daba una amplia autonomía, sino que era una habilidad que permitía ocupar puestos de trabajo de gestión y mayor responsabilidad. La sociedad en que nos toca vivir ha evolucionado. Los cálculos operatorios se simplificaron a través del uso de instrumentos –al alcance de todos–, como las calculadoras. Esta nueva realidad, que no podemos ignorar dentro del ámbito de la escuela, nos obliga a replanteamos cómo intervenir educativamente. Entonces, ¿debemos enseñar a nuestros alumnos a calcular únicamente con calculadora, que es –indudablemente– el medio más rápido y eficaz de que disponemos para realizar esta tarea? Una postura coherente, en nuestra opinión, es adecuar el instrumento a la necesidad. Caso 1: Cuando alcanza con una respuesta aproximada Supongamos que estamos frente a una persona que recorre el supermercado, poniendo distintos productos en su carrito, con una cantidad tope de dinero para gastar. Esa persona necesitará conocer el valor aproximado del precio total de su compra, para lo cual, irá sumando precios aproximados de los productos. Si observamos el comportamiento de dicha persona, veremos que no utiliza lápiz ni papel, y seguramente tampoco los algoritmos convencionales aprendidos en la escuela. Si debe sumar $149 y $192, puede aproximar cada precio de distintos modos, entre ellos, el redondeo o el truncamiento.5 Caso 2: Cuando se necesita una respuesta exacta En otras ocasiones, es necesario realizar cálculos exactos, y éstos pueden involucrar: 2.a) Números pequeños o redondos. Por ejemplo, cuando queremos comprar un producto de $800 que está rebajado un 25%, es necesario conocer el resultado exacto. Como en este problema los números son redondos, lo mejor será poder operar mentalmente, y no tener necesidad de usar lápiz y papel ni calculadora. Para operar mentalmente, habrá que restar al precio total la cuarta parte de éste, es decir:

5 Redondear es aproximar a la decena, centena, etc. más cercana, dependiendo la elección del grado de aproximación requerido para el cálculo. En este caso, si aproximamos 149 a decenas enteras, veremos que es un número comprendido entre 140 y 150, y está más cerca de 150. Si aproximamos a centenas enteras, 149 es un número comprendido entre 100 y 200, y está más cerca de 100. Veamos cómo sería entonces el cálculo aproximado de la suma por redondeo: redondeo a decenas redondeo a centenas

149 + 192 341

→ →

150 + 190 340

→ →

100 + 200 300

Truncar es reemplazar por ceros un cierto número de cifras significativas, dependiendo esta cantidad de cifras del grado de aproximación requerido para el cálculo. En nuestro ejemplo, el cálculo aproximado de la suma por truncamiento sería: truncando las unidades truncando las decenas

149 + 192 341

→ →

140 + 190 330

→ →

100 + 100 200

Pruebe con varios ejemplos con las cuatro operaciones, ¿cuál de los dos modos de aproximación es más fácil de hacer?, ¿cuál aproximación es mejor (más cercana al resultado exacto)?

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25 % = 1/4 1/4 de 800 = 200 800 - 200 = 600

2.b) Números largos o difíciles. Si queremos abonar con un cheque lo que hemos gastado en alfombrar una superficie total de 8,66 m2 sabiendo que el costo es de $11,49 por metro cuadrado, habrá que averiguar el resultado exacto, pero esta vez hay que operar con números difíciles de multiplicar mentalmente. En tal caso, conviene disponer de algún instrumento que ayude a realizar los cálculos, sea éste una calculadora o lápiz y papel. En ambos casos, estos instrumentos son sólo una ayuda, puesto que su correcta utilización dependerá del usuario y de su posibilidad de ejecutar dichos cálculos. Si usa lápiz y papel, deberá recurrir a las tablas (cálculos que habrá memorizado) para ir realizando las operaciones parciales y luego usará cálculos mentales para estimar si su resultado es del orden que corresponde en relación a los datos. Si usa la calculadora, también tendrá que estimar el resultado con un procedimiento conveniente, para controlar el producto obtenido. Para estimar en el problema planteado se puede pensar, por ejemplo: 8,66 . 11,49 → 9 . 11 = 99 o sea, alrededor de $100. Sin embargo, el cheque debe realizarse por el valor exacto en centésimos: 8.66 . 11,49 = $ 99,4924, va a figurar $ 99,49 Otro ejemplo con números grandes y calculadora: “Hice el cálculo 2465 . 3274 y obtuve el resultado 78.962.112, ¿es correcto?” En primer lugar, si uno de los dos factores termina en 5, deberíamos esperar que la última cifra del producto fuera un 0 ó un 5. Si además pensamos que un número cercano al 2500, multiplicado por un número cercano al 3000, debería damos un número cercano al 75 (25 . 3) con cinco ceros, es decir siete millones y pico, pero no setenta y ocho millones y pico; podemos concluir que se han pulsado mal las teclas. Entonces: en la escuela sería conveniente trabajar siempre con el cálculo en relación a los problemas extramatemáticos que resuelve, tratando de que los chicos aprendan a distinguir frente a cada situación, si es necesario el cálculo aproximado o el exacto. En este último caso, deberá poder realizarlo mentalmente, con lápiz y papel o con calculadora. Pero también, en todos los casos deberá buscar la manera de controlar el resultado, tanto el orden de los números como la razonabilidad de éste.6 Cálculo mental, escrito y con calculadora Para reflexionar sobre los procedimientos de cálculo, interesa analizar qué conocimientos se ponen en juego en cada caso. Para ello, detengámonos en la resolución de dos sumas diferentes en forma escrita con el algoritmo convencional, mentalmente y con la calculadora. Los cálculos de los que nos ocuparemos son:

175 + 48 57 + 38

6 Controlar el orden de un número significa saber cuántas cifras tiene, o poder encuadrado sabiendo que es un número comprendido entre tal y cual. Controlar la razonabilidad del resultado implica estimar en qué medida corresponde al contexto del problema, por ejemplo, si estamos calculando la posible altura de la puerta de un departamento, ¿es correcto el resultado de 5,10 m?

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Escrito, con el algoritmo usual, se puede usar el mismo procedimiento para ambos cálculos.

1 1

175 + 48

1

57 + 38

223

95

Se considera el valor posicional de cada cifra de los números que intervienen: unidades, decenas, centenas. Se suman separadamente, unidades con unidades, decenas con decenas, etcétera; para ello se escriben los números en columna, pudiéndose escribir sólo un dígito en cada columna. Se suma comenzando por las unidades, se escribe el resultado ubicando cada cifra en la columna correspondiente a su valor posicional. Sumar las cifras por columna implica cambiar el orden de los sumandos (conmutar) y buscar resultados parciales (asociar) convenientemente. Al resolver mentalmente se puede usar más de una estrategia. Por ejemplo, dos modos posibles de descomposición mental de los términos que transforman la operación en otra equivalente más cómoda.

175 + 48 = (175 + 25) + 23 = 200 + 23

175 + 48=100 + (70 + 40) + (5 + 8) = 210 +13 = 223

Se usan las propiedades asociativa y conmutativa. Para otros números, conviene otra estrategia. Por ejemplo, un redondeo por compensación: se alteran los dos términos de la operación buscando el redondeo a ceros al menos de uno de ellos. Se efectúa una compensación añadiendo a uno de ellos lo que se le quita al otro, es decir se usa una consecuencia de la propiedad asociativa.

57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95

Al resolver con la calculadora, se pulsa

1 7 5 + 4 8 =

y va apareciendo en el visor

1 → 17 → 175 + 4 → 48 = 223

Los cálculos: productos históricos

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Finalmente queremos incluir, aunque sea de manera breve, un elemento más en este análisis. El algoritmo descripto para resolver el cálculo escrito es un producto histórico, que fue inventado sólo con el uso del sistema de numeración decimal. Otros pueblos, con otros sistemas de numeración, resolvían los cálculos de maneras diferentes. Para ver la estrecha relación entre el modo de representar cantidades y el modo de calcular, veamos, a modo de ejemplo, cómo multiplicaban los egipcios. Debido a la característica de su sistema de numeración, donde cada símbolo tenía un valor que componían en forma aditiva para representar las cantidades, su multiplicación también era aditiva y se basaba en el cálculo de dobles. Por ejemplo, para multiplicar 5 x 12.

Notación egipcia Notación indoarábiga | | | | | | | | | | | |

| | n | | | | nn | | | | | | | | nnnn | | n | | | | | | | | nnnn

1 2 4

12 24 48

Como 5 = 1 + 4, entonces 5. 12 = (1 + 4) .12 = 12 + 48 = 60 En este procedimiento, se utiliza la propiedad distributiva. Características de los cálculos A partir de los ejemplos presentados, analicemos las características de los distintos tipos de cálculo. El cálculo escrito con el algoritmo usual

§ Permite conservar los resultados, y también una parte de los procesos, con lo que posibilita localizar y corregir los errores; § permite obtener reglas –algoritmos– estrechamente ligadas a la representación gráfico-simbólica, se trata de manipular símbolos sin referencia alguna al mundo real; § la existencia de reglas permite ejecutarlos automáticamente; no hace falta pensar ni reflexionar, ni siquiera comprenderlos; § necesita del cálculo mental en forma limitada, ya que requiere el uso de las tablas de sumar y multiplicar; § es abreviado, oculta gran parte de las operaciones y las transformaciones intermedias, que tienen que ver con el uso de las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva; § es analítico, los números se consideran rotos, las cifras se operan separadamente, lo que lleva a perder de vista cuáles son los números con los que se está operando; § la comprensión del algoritmo depende de la comprensión de las reglas del sistema de numeración posicional decimal; § es general, es decir que cada algoritmo funciona igual con todos los números.

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El cálculo mental

§ Se hace con la cabeza; § es globalizador, toma el número como una totalidad que se puede descomponer aditiva o multiplicativamente, de forma tal que permite conservar el valor de los términos de la operación; § busca sustituir o alterar los datos iniciales para trabajar con otros más cómodos o más fáciles de calcular, usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva; § requiere ciertas habilidades: conteos, recolocaciones, descomposiciones, redistribuciones, compensaciones; § son particulares, ya que los procedimientos dependen de los distintos números involucrados; § sirve para anticipar el resultado.

El cálculo con calculadora

§ La calculadora es la que efectúa el procedimiento; § el usuario introduce los elementos necesarios para operar: los números, las operaciones, y en qué orden deben efectuarse; § ahorra los esfuerzos que conlleva el cálculo escrito, permitiendo obviar la repetición mecánica de reglas; § es ajena a los errores de pulsación, factor que no debemos olvidar, pues su aparición al usar las calculadoras es frecuente y reiterada; § permite resolver problemas en los cuales los datos surgen de la realidad y pueden ser complejos.

Vemos entonces que en el caso del cálculo con calculadora no hay necesidad de desplegar una estrategia para encontrar el resultado; el procedimiento está a cargo de la máquina. Pero, tanto para el cálculo mental como para el cálculo escrito, los procedimientos ponen en acto las propiedades de las operaciones y una manera de comprender los números, tal como se muestra en el cuadro.

Operaciones → Propiedades → Puesta en acto de las de las

operaciones propiedades

§ Cálculo con procedimientos no usuales en la escuela: conocimiento de los números: encuadramiento

aproximación escrituras aditivas

§ Cálculo con algoritmo tradicional: conocimiento de la representación de los números.

Construir el sentido del cálculo Producir procedimientos originales de cálculo, implica:

§ elegir con qué números operar; § elegir la operación; § desarrollar un procedimiento original; § llegar a un resultado;

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§ reconocer si un resultado es aproximado o exacto; § controlar el resultado.

Analizar los procedimientos implica reflexionar sobre: § cómo se pensaron los números; § qué operaciones se usaron; § qué “reglas” se usaron; § la economía de pasos empleados; § cuáles son los errores y cómo remediarlos.

Veamos si es posible pensar cómo plantear problemas con los distintos instrumentos de cálculo, de manera que los alumnos vayan construyendo el sentido del cálculo. Con calculadora Al analizar las características del cálculo con calculadora, en problemas extramatemáticos como el de nuestro ejemplo –cálculo exacto de una superficie, para averiguar el costo de su embaldosado–, vimos que no hay desarrollo de una estrategia. Sin embargo, permite al alumno centrarse sobre algunos aspectos:

§ planteo (¿qué operación?); § organización de las operaciones (¿en qué orden?); § interpretación del resultado (¿el resultado es razonable?).

Esto contribuye a la construcción del sentido del cálculo en el nivel externo. Si pensamos, en cambio, en la calculadora como una herramienta que permite pensar en problemas intramatemáticos, es posible trabajar con situaciones que requieran de los alumnos la producción de procedimientos propios, trabajando en el nivel interno. Veamos ejemplos de problemas internos para resolver con una calculadora elemental de cuatro operaciones. Una vez hechos, debe reflexionarse sobre cuáles fueron los conocimientos puestos en juego. ¿En qué grado podría proponerse cada uno de ellos? ¿Se puede modificar alguno para trabajarlo en un grado inferior?, ¿y en uno superior? Para qué proponemos esta reflexión: 1. Para entender mejor o para relacionar las operaciones y obtener otros algoritmos.

§ Dividí 426: 31, suponiendo que no funciona la tecla correspondiente a la división. § 237.225: 16 = 14.826,562 ¿Cuál era el resto de la división antes de bajar decimales?

2. Para pensar en el valor posicional de las cifras.

§ Poné 2345 en el visor de la calculadora. ¿Cómo harías, en una sola operación, para que en el visor apareciera 2045? § ¿Cómo harías con dos operaciones para que apareciera 2005? ¿Y en una sola operación?

3. Para trabajar con cálculo mental. Completá los resultados de las tres columnas.

Calculá con calculadora

Calculá mentalmente

Corregí con calculadora

Bien o Mal ¿Por qué?

8

82 – 35 = 47 64 – 17 = 47 325 – 124 =

81 – 35 = 46 65 – 17 = 45 315 –124 = 325 – 114 = 315 – 114 = 345 – 144 =

B M

4. Para trabajar con métodos matemáticos: ensayo-error, redondeo, aproximación.

§ El cociente de dos números enteros consecutivos es igual a 0,9375. ¿Qué números son? § Encontrá el número desconocido para que se cumpla la igualdad: 5_ x _= 392.

5. Para observar regularidades. Calculá 72, 73, 74, ... 79 ¿Cuál es el último dígito de 745? ¿Podrías decir alguno más? 6. Para investigar. Observá: (12 + 22). (22 + 32) = 5 . 13 = 65 = 42 +72. ¿Será cierto que: la suma de dos cuadrados perfectos multiplicados por la suma de dos cuadrados perfectos, es la suma de dos cuadrados perfectos? Generalizando: (a2 + b2) . (c2 + d2) = m2 + n2. Actividad Los siguientes son dos procedimientos para, resolver el primer problema: “Resolvé 426 : 31 suponiendo que no funciona la tecla correspondiente a la división.” PROCEDIMIENTO 1: de restas sucesivas.

10 veces 31

→

426 – 310

3 veces 31

→

116 – 93

116

23

Respuesta: 10 + 3 = 13, sobran 23. Es un procedimiento en el que se usaron restas y multiplicaciones; se descompuso el dividendo en dos partes (propiedad distributiva). PROCEDIMIENTO 2:

31 x 11 = 341 31 x 14 = 454 31 x 13 = 403

Respuesta: 13 y sobran 23. Éste es un procedimiento hipotético para aproximaciones sucesivas, se usaron productos; se tomó el dividendo globalmente.

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§ ¿Qué procedimiento es más económico? ¿Cuál es el más sencillo de aplicar con números más grandes? § ¿Cómo cree que lo resolvería un chico de 4° grado? ¿Y uno de 6°?

La enseñanza del cálculo Con respecto a la enseñanza del cálculo mental y del cálculo escrito, desde la perspectiva planteada, ambos modos de calcular se trabajan paralelamente: el cálculo mental, como soporte del cálculo escrito, y el cálculo escrito, como una manera de ir desarrollando distintas estrategias de cálculo mental con números cada vez más grandes. Si pensamos que el trabajo en el aula con los procedimientos mismos debería dar lugar a reflexiones que permitieran a los alumnos ir progresando en su conocimiento acerca de las propiedades de las operaciones, de los números, sus propiedades edades y su forma de representación, habría que proponer situaciones para que los alumnos sugirieran diferentes procedimientos para resolver cada cálculo, lo que nos llevará a realizar cálculos parciales mentalmente, conservar los pasos por escrito, e ir anticipando el resultado para prevenir errores. La enseñanza del cálculo hoy, pasa de proponer situaciones de cálculos con números de una cifra, a usar el algoritmo convencional aplicable a números de cualquier cantidad de cifras, interpretando el valor posicional de cada cifra desde la noción de agrupamiento en base 10. La propuesta es construir un camino entre estos extremos, que evite el salto, la generalización que los chicos de los primeros grados no pueden abordar. El algoritmo convencional de cálculo escrito aparecería, entonces, como el último paso de un proceso de construcción de algoritmos cada vez más económicos (de menor cantidad de pasos) retornando así el valor a que tuvo históricamente, y pudiendo ser analizado como el procedimiento que pone en juego una característica esencial de nuestro sistema de numeración: cuando se suman los cardinales de dos conjuntos, por ejemplo 2 + 3, el resultado es siempre 5, cualesquiera que sean los elementos de ese conjunto, tanto cuando se suman unidades (conjuntos de 1 elemento), como decenas (conjuntos de 10 elementos), etcétera.7 ¿Cuál es la realidad en las escuelas hoy? Con respecto a la enseñanza del cálculo en nuestras aulas, encontraremos –en general– que:

§ Las calculadoras no se usan. Quienes se oponen, dicen que los alumnos terminarán por no saber operar y que olvidarán las tablas. Podemos contestar a esta objeción proponiendo que piensen cuánto es lo que saben quienes realizan cálculos automatizados desprovistos de significado, y en qué medida esas operaciones repetitivas no son similares a la pulsación de teclas. § Se enseña el cálculo escrito con el algoritmo usual. El uso de las reglas y la consecuente automatización, llevó, poco a poco, a olvidar en muchos casos, las razones por las cuales se operaba con esos procedimientos, cuál era el origen de las reglas que se usaban. En otros casos, aunque las razones sean explicitadas por los docentes, éstas no son comprendidas por la mayor parte de los alumnos, quienes no pueden dar cuenta de esas razones cuando se les pregunta. Y esto ocurre, porque quienes explican los procedimientos son los docentes; ellos se encargan de transmitir procedimientos ya construidos, ellos son quienes se hacen cargo del sentido. § El cálculo mental fue limitado casi exclusivamente al uso de las tablas de sumar y multiplicar, basado en una simple memorización a ciegas, y dejando de

7 Remitirse al Cap. IX de Psicología del aprendizaje de las matemáticas, de Skemp.

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lado su valor como actividad de toma de decisiones y elección de estrategias, fruto de una reflexión personal.

¿Cuál es nuestra propuesta? Pensar las cuentas Como dijimos al inicio, es posible plantear a los alumnos la resolución de un problema: buscar el resultado de un cálculo. ¿Por qué y cómo hacerlo? Si elegimos como modelo de aprendizaje aquél que se centra en la construcción del saber por el alumno, habrá que partir de sus concepciones y ponerlas a prueba en distintas situaciones con distintos obstáculos, para mejorarlas, modificarlas y construir otras. Puede, por ejemplo, plantearse un problema que los alumnos investiguen individualmente o en grupos. Los chicos generarán estrategias propias para resolverlo y, frente al cálculo, procedimientos propios para llegar a los resultados. La producción de dicho procedimiento será realmente un problema para ellos, si hemos sabido elegir la situación de manera que les permita poner en juego sus conocimientos sobre la operación planteada, sus propiedades, los símbolos que deberán manipular. Al principio –casi seguro–, intentarán anticipar una primera estrategia que, al desarrollarla, les permitirá comprobar si han obtenido el resultado que querían. En esta etapa, el procedimiento es producido y frecuentemente también formulado por escrito. Escribir el procedimiento implicará el uso de ciertas reglas del lenguaje: el uso de los signos de las operaciones, del signo igual. Este momento de la actividad sirve para formular el procedimiento puesto en juego. Los procedimientos originales de los chicos La producción de procedimientos conduce, necesariamente, a la diversidad de respuestas. Cada chico elaborará un procedimiento que mostrará cuál es el dominio efectivo que tiene del campo numérico que conoce. Las investigaciones sobre las conceptualizaciones de los chicos en relación al sistema posicional de representación,8 muestran que éstas evolucionan sin apoyarse necesariamente en concretizaciones externas al sistema. Y, paralelamente a esta evolución, se observa la producción de procedimientos de cálculo vinculados a la interpretación que los chicos tienen de los números. Inicialmente, los chicos elaboran procedimientos basados en el conteo 1 por 1. Contar es la primera herramienta que los chicos utilizan para resolver problemas numéricos. Estos procedimientos se apoyan en la manipulación de diversos tipos de simbolización de cantidades: los palitos, las cifras de nuestro sistema colocadas ordenadamente, y en algunos casos los cálculos mentales.9 Luego, la memorización inicial de algunos cálculos va dando lugar a la construcción de otros nuevos, que pasarán más tarde al repertorio de los memorizados.10 Van armando

8 Recomendamos leer el artículo “El sistema de numeración, un problema didáctico”, de Delia Lerner y Patricia Sadovsky. 9 En “El aprendizaje del cálculo”, se describen los distintos procedimientos de conteo, que usan los chicos de 5 y 6 años aproximadamente para averiguar la cantidad de elementos de una colección obtenida uniendo otras dos. Por ejemplo: conteo: sobreconteo: dobleconteo:

XXX 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3

+ XXX 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 4 (1), 5 (2), 6 (3), 7 (4)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 3, y 4, 5, 6, 7.

10 Estas ideas son ampliadas en el cap. V de Los niños reinventan la aritmética y el cap. V de Reinventando la aritmética II, escritos por Constance Kamii.

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así una red de relaciones en el conjunto de números que dominan, que les permiten construir escrituras aditivas de cada número, y que contribuye a la construcción del sentido del número.11 Posteriormente, el descubrimiento de regularidades en la serie numérica les permite ir instrumentando conteos más complejos, por ejemplo, de 10 en 10, de 5 en 5, de 2 en 2, que luego utilizan en los procedimientos que desarrollan. Entonces, estos procedimientos se elaboran manipulando las cifras, pero sin tener en cuenta inicialmente su valor posicional en términos de decenas y centenas. Durante algún tiempo, el valor posicional es interpretado por los chicos en forma algorítmica, teniendo en cuenta aspectos aditivos o multiplicativos. En esta etapa, el 26, por ejemplo, será interpretado como 10 + 10 + 6, y luego como 2 veces 10 + 6. Esta manera de pensar los números conduce a la producción de procedimientos donde los números son pensados como totalidades, y en general, en ellos se van escribiendo los pasos intermedios. Veamos ejemplos de procedimientos originales realizados por alumnos de 31 grado frente al problema de repartir una ganancia de $ 254 entre cuatro socios, o sea $ 254: 4.

11 Construir el sentido del número, o de un cierto dominio numérico, implica poder usar esos números en situaciones significativas, donde los números funcionen como herramientas eficaces para resolver esas situaciones. Las situaciones en que se pueden usar los números pueden ser comunicativas, comparativas o de cálculo. De tal modo, poder efectuar cálculos en un cierto conjunto numérico contribuye al conocimiento y dominio de ese conjunto.

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Analicemos los distintos tratamientos dados por los chicos al dividendo: Johanna y Maia han elaborado procedimientos a partir del conteo 1 por 1, Johanna manipulando palitos, Maia manipulando palitos y los números de la serie. Pensaron en 254 como 1 + 1 + ... o en 1, 2, 3, 4, ..., 254. Johanna contó lo que le dio a cada uno de los socios, y Maia, que comenzó de la misma manera, buscó luego una cantidad que duplicada dos veces estuviera cerca de 254. Laura consideró un resultado aproximado que le fuera fácil sumar cuatro veces, y con la cantidad restante, repartió contando bolitas de a 1. Es decir, que pensó en 254 como totalidad descompuesta en dos partes aditivas 200 + 54. Federico y Lionel pensaron en 254 como una totalidad y buscaron sumas o productos sucesivos que se fueran acercando a la cantidad total por repartir.

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Los procedimientos son distintos, además, porque: algunos llegan a un resultado, otros no terminan la tarea propuesta, algunos llegan a un resultado aproximado y otros a un resultado exacto; algunos comprueban su respuesta, otros no. También usan diferentes operaciones para resolver este reparto y no todos han escrito la respuesta del problema. Es evidente que esta diversidad de producciones necesita de un docente que vaya interviniendo individualmente en forma distinta en cada situación. En algunos casos, habrá que preguntar: ¿cuál es la respuesta?; en otros: ¿comprobaste si tu respuesta es correcta?, o ¿la respuesta que escribiste corresponde a tu resultado? Se propondrá luego la confrontación de los procedimientos. En una rueda grupal, conducida por las preguntas del docente, cada uno explicará su procedimiento, cómo llegó al resultado. Esto posibilitará a cada chico, frente al posible cuestionamiento de un compañero, dar razones de por qué cree que su procedimiento es adecuado y por qué cree que el resultado es correcto; es decir que deberá validar su procedimiento. También llevará a evaluar el uso del lenguaje simbólico, si todos entienden cómo escribió su procedimiento, si hay otras maneras de escribirlo, en qué son distintas su representación y la de un compañero. Como vemos en nuestro ejemplo, en un grupo de alumnos, en una misma clase, hay respuestas muy diversas. Todos aprovecharán de este intercambio grupal. El progreso en la comprensión y la producción de los procedimientos se dará para cada chico de otra forma según cuál haya sido su producción inicial. La intervención del docente no intentará borrar las diferencias, sino que las reconocerá e intentará que cada alumno progrese desde sus conceptualizaciones a otras más avanzadas. Para ello, el docente podrá preguntar:

§ qué procedimientos llegaron a un resultado; § cuáles son los resultados exactos y cuáles son los aproximados; § cuál es el resultado exacto; § si es posible el resultado para esos datos; § cuáles fueron los valores de las cifras en los procedimientos que llegaron y en los que no llegaron al resultado correcto; § cómo se usaron los signos para escribir cada una de las cuentas.

Finalmente, el docente deberá institucionalizar los conocimientos puestos en juego: § al dividir, las partes son iguales; § puede sobrar algo del reparto; § para dividir por 4 se puede dividir por 2, dos veces; § qué operaciones se usaron en los distintos procedimientos; § para dividir un número por otro, se puede dividir primero una parte y después otra.

En otra clase, podrá proponer un problema que lleve a la profundización de alguna de las conclusiones de la puesta en común. Por ejemplo:

§ La comprobación de una regla que haya sido usada por alguno de los chicos, es decir probar si esa regla se cumple siempre. Para ello, habrá que probar en otros casos, si se encuentra un ejemplo donde no se cumpla, etcétera. En nuestro ejemplo, se podría tratar de probar alguna de las dos conclusiones señaladas anteriormente (“para dividir por 4 se puede dividir por 2,...” y “para dividir un número por otro...”). § Cómo repartir lo que sobra (cuando no se le puede dar una unidad entera más a cada uno).

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El procedimiento: ¿instrumento para resolver un problema, u objeto de reflexión? En situaciones como la que hemos descripto, los procedimientos originales de los chicos son un instrumento que elaboraron para llegar a una respuesta correcta. Pero los procedimientos pueden ser también objeto de reflexión. Si junto a la producción del procedimiento de cálculo, se pide a los alumnos que lo expliquen por escrito, cada chico deberá pensar ¿qué hice?, ¿cómo lo hice?. Esto le hará tomar conciencia de qué es lo que sabe, cuál es el conocimiento que tiene disponible, para luego apoyarse en lo que sabe para obtener otros resultados. Explicar el procedimiento utilizado, implica empezar a reflexionar sobre éste.12 Se podrán luego proponer también otras actividades en las que los procedimientos sean objeto de reflexión. En ellas, se pueden presentar cálculos resueltos con distintos procedimientos de una clase anterior para analizar cuáles son más económicos, o un procedimiento incorrecto y proponer que se descubra si hay error y cómo se corrige; también procedimientos tomados de la historia de la Matemática para descubrir qué propiedades se usaron, y qué relación tiene esa manera de operar y su sistema de numeración. La reflexión sobre los procedimientos, unida a la búsqueda de un procedimiento de resolución más económico, llevará a la comprensión del algoritmo usual, como así también de las reglas de nuestro sistema de numeración. Partir de un modelo de aprendizaje constructivista, implica no apuntar desde el principio al saber acabado, y aceptar su carácter provisorio. Para ello, debemos tomar ciertos “errores” sistemáticos de los chicos como parte del proceso, utilizándolos para avanzar en la construcción de los procedimientos que mencionamos antes. Graciela Chemello – Agosto de 1995

12 Este tipo de actividades desarrolla en los alumnos una capacidad metacognitiva, es decir la posibilidad de tomar conciencia “de lo que piensa, y de cómo lo piensa para que, a largo plazo, él mismo pueda pensado y modificarlo de manera autónoma según sus necesidades”.