Notas Cálculo

Notas de Calculo 3

Raybel A. Garca A., Antonio O. Vega E., Orlando R. Martnez M.

2 de octubre de 2013

Contenido

1. Espacios normados 11.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Producto escalar en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Productos interiores y normas . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Elementos basicos de topologa 292.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. Limites y continuidad. 613.1. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4. Espacios vectoriales normados dimensionalmente finitos . . . . . 87

iii

Captulo 1

Espacios normados

En general, estamos acostumbrados a trabajar con diversas cantidades como,por ejemplo, el volumen de un cuerpo, el area de un terreno, la temperatura deun objeto, etcetera. As pues, decimos que hemos comprado un litro de leche oque un nino tiene 38o de temperatura. En estos ejemplos, las cantidades citadasquedan totalmente determinadas cuando especificamos su magnitud, esto es, suvalor numerico y la unidad que hemos utilizado para medirlas. A este tipo decantidades las llamaremos magnitudes escalares. Sin embargo, existen otras queno pueden clasificarse como escalares, pues no quedan unicamente determinadasal proporcionar su magnitud. En este captulo estudiaremos las nociones devector, producto interior y norma.

1.1. Vectores

Muchas nociones fsicas tan familiares como la fuerza, la velocidad y la acele-racion involucran dos conceptos fundamentales: magnitud y direccion. A estetipo de entidades las llamaremos vectores.

A

B

Figura 1.1: Vector con origen en A y extremo en B

Definicion 1 Un vector es una entidad matematica que tiene magnitud, di-reccion y sentido.

Para representar un vector graficamente, utilizaremos una flecha que va deun punto A a un punto B (vease la Figura 1.1).Al punto A lo llamaremosorigen y al punto B extremo del vector. La longitud del segmento AB, medidaen unidades adecuadas, representa la magnitud del vector, la direccion del vector

1

2 1.1. Vectores

es la de la recta que lo contiene, mientras que su sentido es el que va de su origena su extremo. Si dos vectores son colineales, es claro que quiere decir que dos

vectores tienen o no el mismo sentido; dos vectoresAB y

CD son paralelos

entre s, si los segmentos AB y CD son paralelos, mas aun, diremos que dichosvectores tienen el mismo sentido si los segmentos AC y BD no se cortan ytienen sentidos contrarios si estos segmentos se cortan (vease la Figura 1.2).

A

B

C

D

Figura 1.2: Vectores con sentido opuesto

Definicion 2 Dos vectoresAB y

CD son iguales si y solo si tienen la misma

magnitud, direccion y sentido.

O

(a, b) = O

(x, y)

(x a, y b)

Figura 1.3: Traslacion en el plano

1. Espacios normados 3

Consideremos un par de ejes rectangulares con origen en un punto O; si eleje y se moviera a unidades a la derecha, es claro que la abscisa de todo puntodisminuira en a unidades. Analogamente, si el eje y se moviera a unidades ala izquierda, la abscisa incrementara en a unidades para todo punto en el ejerectangular. Algo similar sucedera con las ordenadas si movemos el eje x, bunidades hacia arriba o hacia abajo. En consecuencia, es claro que si movemosel origen al punto (a, b), de manera que los nuevos ejes sean paralelos y tenganla misma orientacion que los ejes originales, las nuevas coordenadas (x, y) delpunto (x, y) seran

x = x a y = y b, (1.1)(Figura 1.3). A este tipo de cambio de coordenadas, lo llamaremos traslacioncon ecuaciones (1.1). No es difcil extender estas ideas al espacio tridimensio-nal: mover el plano yz hacia la derecha o hacia la izquierda a unidades, esrestar o sumar a unidades a la abscisa de todo punto; si movemos el plano xzhacia adelante o hacia atras, significa quitar o anadir unidades a la ordenada;finalmente desplazar hacia arriba o hacia abajo el plano xy modificara la cota(coordenada z) de todo punto. De esta forma, las ecuaciones de traslacion parael caso tridimensional quedan descritas de la forma

x = x a y = y b z = z c.

O

A

B

X

Y

Z

Figura 1.4: Angulos directores para un vector en el espacio

Ahora, todo punto P = (x, y) en un sistema rectangular de coordenadas,podemos pensarlo como un vector, cuyo origen se encuentra en el origen delsistema coordenado y su extremo se encuentra en el punto P . Para cada puntoen el plano (o en el espacio), el vector asociado de la forma antes descritalo llamaremos vector posicion. A menos que haya confusion, denotaremos por

(x, y) al punto P y al vector posicionP indistintamente. Sea

AB un vector

con origen A = (x1, y1) y extremo B = (x2, y2). Si hacemos una traslacioncon A como nuevo origen, las nuevas coordenadas de B seran (x2x1, y2y1).As, hemos encontrado una forma de representar al vector

AB en un sistema

de coordenadas rectangular. Para el caso del espacio tridimensional se puederealizar un proceso similar. Ademas, tanto en el caso bidimensional como en el

4 1.1. Vectores

tridimensional, un vector queda determinado por los angulos que forman susproyecciones con los ejes coordenados. La Figura 1.4 muestra el caso de unvector en el espacio. Los angulos BAX , BAY y BAZ se llaman angulosdirectores y los respresentamos por , y respectivamente. Notese que dosvectores tienen la misma direccion y el mismo sentido si y solo si tienen losmismos angulos directores. Ademas, observese que , , [0, pi]. Como lafuncion coseno es uno a uno en el intervalo [0, pi], un angulo en este intervaloqueda determinado de forma unica por su coseno, por tanto, la orientacion de unvector esta definida por los cosenos de sus angulos directores, los cuales recibenel nombre de cosenos directores del vector. La proyeccion de B sobre el ejeX tiene coordenadas (x2 x1, 0, 0) con relacion a los ejes trasladados, dondex2 x1 es positivo, nulo o negativo, dependiendo de si es menor, igual omayor a pi2 . De esta forma, si r es la magnitud del vector

AB, se obtiene que

x2 x1 = r cos y2 y1 = r cos z2 z3 = r cos .

Se sigue que, por la definicion de igualdad, dos vectores son iguales si tienenla misma magnitud y los mismos cosenos directores.

Proposicion 1.1.1 Si A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) y

D = (x4, y4, z4) son puntos en el espacio, los vectoresAB y

CD si y solo si

x2 x1 = x4 x3, y2 y1 = y4 y3 y z2 z1 = z4 z3.Demostracion. Por las ecuaciones anteriores, si

AB =

CD, entonces se tiene

la igualdad de las diferencias de las coordenadas. Ahora, si las diferencias de lascoordenadas son iguales, entonces las magnitudes de cada uno de los vectoresson iguales, por tanto los dos vectores tienen los mismos cosenos directores.

No es difcil probar que todo vector

AB es igual a un vector

OP con origen

en el del sistema coordenado y con las componentes deAB como coordenadas

de su extremos. Tambien, notese que la suma de los cuadrados de los cosenosdirectores de cualquier vector es igual a 1.

Ahora, sean ~x = (x1, y1, z1) y ~y = (x2, y2, z2) dos vectores cualesquiera.Definimos la suma ~x + ~y como el vector

x + y := (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).

Al vector cuyo origen coincide con su extremo lo llamaremos vector cero o nulo.Este vector tiene magnitud nula, no tiene orientacion y lo representaremos por~0. Ademas, observese que ~0 = (0, 0, 0), de donde se sigue que, para cualquiervector ~x,

~x + ~0 = ~0 + ~x = ~x.

El vector (x1,y1,z1) se llama negativo del vector ~x y se denota por~x. Se tiene que

~x + (~x) = ~x + ~x = ~0.


Es claro que, a partir de estas definiciones, la suma de vectores satisface lasmismas propiedades basicas que las de la suma de numeros reales, es decir, escerrada, asociativa y conmutativa, ademas de que existe un elemento neutro ypara cada vector, existe un elemento inverso bajo esta operacion.

El siguiente resultado, proporciona una interpretacion geometrica de la adicionde vectores.

Proposicion 1.1.2 Si A, B y C son tres puntos cualesquiera, entonces

AC =

AB +

BC

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos elegir un sistema coor-denado con origen en A. Sean B = (x1, y1, z1) y C = (x2, y2, z2). Entonces

AB = (x1, y1, z1)

BC = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),

de donde se obtiene queAC = (x2, y2, z2) =

AB +

BC.

A B

C D

Figura 1.5: Regla del paralelogramo

Corolario 1.1.3 SiAB y

AC son vectores con el mismo origen A, entonces

AB +AC =

AD, donde D es el cuarto vertice del paralelogramo del cual AB

y AC son lados adyacentes.

Demostracion. Consideremos el paralelogramo ABCD (vease la Figura 1.5).

ComoAC =

BD, se sigue que

AB +

AC =

AB +

BD =

AD

Notese que las demostraciones de estos dos ultimos resultados funcionan

tanto para el plano como para el espacio. Ahora, consideremos un vector de la

6 1.2. Espacios vectoriales

forma ~x = (x1, y1, z1) y k un numero real al que llamaremos escalar. Definimosel producto del vector ~x por el escalar k de la siguiente forma

k ~x := (k x1, k y1, k z1)

Observese que se cumplen reglas distributivas para la suma de vectores y elproducto por escalares como sucede en los reales. En la siguiente seccion pro-fundizaremos en este aspecto. Para finalizar con esta seccion, analizamos lageometra del producto de vectores por escalares. De la formula de la distancia,la magnitud de un vector ~x = (x1, y1, z1), que denotaremos por ||~x||, esta dadapor

||~x|| =x21 + y

21 + z

21 .

Por otra parte, si k R, entonces

||k ~x|| =k (x21 + y

21 + z

21) = |k|

x21 + y

21 + z

21 = |k| ||~x||.

Notese que la orientacion de k ~x sera la misma o contraria a la de ~x, depen-diendo de si k es mayor o menor a cero respectivamente. Se dira que dos vectores~x y ~y son paralelos si y solo si ~y = k ~x, donde k 6= 0 y tendran la mismadireccion si y solo si k > 0.

1.2. Espacios vectoriales

En la seccion anterior observamos que con las definiciones dadas para la sumade vectores y el producto de un vector por un escalar, estas operaciones satis-facen ciertas propiedades. En esta pequena seccion analizaremos otros sistemasalgebraicos que le resultaran familiares al lector, en donde se pueden definiroperaciones de adicion y producto similares a las de los vectores en el plano yel espacio, y que satisfacen las mismas reglas. A continuacion definimos formal-mente estas estructuras algebraicas.

Definicion 3 Un espacio vectorial V sobre un campo K es una estructuraalgebraica que consiste de un conjunto, distinto del vaco, sobre el cual se definendos operaciones

+ : V V V y : K V Vque satisfacen las siguientes condiciones:

S1) Para cualesquiera x, y V , x + y = y + x.S2) Para cualesquiera x, y, z V , x + (y + z) = (x + y) + z.S3) Existe un unico elemento 0 V tal que x + 0 = x para cada x V .S4) Para cada elemento x V , existe un unico elemento y V tal que

x + y = 0.


P1) Para cada elemento x V , 1 x = x.P2) Para cualesquiera a, b K y para cualquier elemento x V ,

(ab) x = a (b x).

D1) Para todo a K y para cualesquiera x, y V ,a (x + y) = a x + a y.

D2) Para cualesquiera a, b K y para cualquier x V ,(a + b) x = a x + b x.

A los elementos del campo los llamaremos escalares y a los del espacio vectorial,vectores. El lector debe tener precaucion al referirse, por un lado, a los elemen-tos de un espacio vectorial y, por otro lado, a la entidad fsica discutida en laseccion anterior.Ejemplos

1. En la seccion anterior, vimos que

R2 = {(x1, x2) |x1, x2 R}y

R3 = {(x1, x2, x3) |x1, x2, x3 R}forman espacios vectoriales sobre R. Mas aun, si en

Rn = {(x1, ..., xn) |xi R, i {1, 2, ..., n}}definimos las operaciones + y de la forma

(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)

c (x1, ..., xn) = (c x1, ..., c xn), c R,se tiene que Rn es un espacio vectorial sobre R.

2. Una matriz de m n con entradas en R, es un arreglo rectangular dela forma

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

...am1 am2 amn

donde cada entrada aij R, i {1, 2, ...,m}, j {1, 2, ..., n}. Sidefinimos la suma de dos matrices A y B y el producto por escalares dela forma

(A + B)ij = Aij + Bij y (cA)ij = cAij ,

8 1.3. Espacios vectoriales

donde Aij denota la entrada de la matriz que se encuentra en el i-esimorenglon y la j-esima columna, entonces el conjunto de matrices Mmn (R)es un espacio vectorial sobre R.

3. Un polinomio con coeficientes en un campo K es una expresion de laforma

p (x) =

nk= 0

ak xk, (1.2)

donde n N y cada ak, llamado coeficiente de xk, esta en K. Sip (x) = 0, esto es, si ak = 0, para toda k N {0}, entonces a p (x)lo llamaremos el polinomio nulo o cero. El grado de un polinomio se definecomo el exponente mas grande de la indeterminada x que aparece en larepresentacion (1.2). Por convencion, el polinomio nulo tiene grado 1.Diremos que dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y suscoeficientes son iguales, esto es, si

p (x) =

nk= 0

ak xk y q (x) =

mk= 0

bk xk,

entonces son iguales si m = n y ai = bi, i {1, ...., n}. Por otra parte,si m < n podemos definir

bm+1 = bm+ 2 = = bn = 0,de tal forma que q (x) se puede escribir como

q (x) =

nk= 0

bk xk.

As, podemos definir la suma de dos polinomios como

p (x) + q (x) =

nk= 0

(ak + bk)xk

y el producto por escalares de la forma

c p (x) =

nk= 0

c ak xk, c K.

Con estas operaciones, el conjunto de polinomios de grado n con coe-ficientes en un campo K (que denotaremos por Pn [K]). es un espaciovectorial.

4. Consideremos R2 con las siguientes operaciones

(x1, y1) (x2, y2) = (x1 + x2, y1 y2)y

c (x1, y1) = (c x1, c y1).Observese que (R2, , ) no es un espacio vectorial (Por que?).


1.3. Espacios normados

El concepto de medida es fundamental en las aplicaciones. En esta seccion trata-remos la idea de distancia o longitud en los espacios vectoriales, va una estruc-tura mas rica llamada espacio con producto interior. Los espacios con productointerior tienen diversas aplicaciones en la geometra,la fsica, el estudio de losmnimos cuadrados y las formas cuadraticas, por ejemplo. Iniciamos esta seccioncon el estudio del producto punto para vectores en R3 (la construccion para R2es analoga).

1.3.1. Producto escalar en R3

Consideremos dos vectoresAB y

AC. Denotaremos por al angulo entre

ellos. Eligiendo un sistema de coordenadas rectangular, podemos suponer quelos vectores tienen el mismo punto inicial y este ultimo se encuentra en el origendel sistema. De esta forma, podemos pensar que sus extremos son los puntosP1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2) respectivamente. Ahora, observese que [0, pi] (vease la Figura 1.6). Nuestro objetivo es encontrar una forma decalcular el angulo entre estos vectores.

r1

r2

P1

P2

Figura 1.6: Angulo entre dos vectores

Aplicando la formula de la distancia y la ley de cosenos, obtenemos

r21 + r22 2 r1 r2 cos = (d (P1, P2))2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2,

donde r1 y r2 denotan las magnitudes de los vectoresAB y

AC respecti-

vamente. Usando el hecho de que ri = x2i + y

2i + z

2i , i = 1, 2, se sigue

quex1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = r1 r2 cos . (1.3)

10 1.3. Espacios normados

El lado izquierdo de esta ultima expresion lo llamamos producto escalar delos vectores P1 y P2 (recordemos que usamos indistintamente, a menos quehaya confusion, la notacion para puntos y vectores posicion). Denotamos alproducto escalar por P1 P2. El lado derecho de la ecuacion (1.3) establece queel producto escalar no depende de la eleccion del sistema de coordenadas, sinode la magnitud de los vectores y el angulo comprendido entre estos. Se deja allector verificar que el producto escalar satisface las siguientes condiciones:Para 3 vectores cualesquiera x, y, z y un escalar arbitrario c,

1. x (y + z) = x y + x z.

2. (cx) y = c (x y).

3. x y = y x.

4. x x 0 y x x = 0 x = 0

Observese que de esta ultima propiedad se deduce que ||x|| = x x, por loque, de la ecuacion (1.3), se sigue que

cos =x y||x|| ||y|| .

1.3.2. Productos interiores y normas

Muchas ideas geometricas tales como la longitud de vectores, los angulos com-prendidos entre ellos y la perpendicularidad en R2 y R3, se pueden extendera espacios vectoriales mas generales. Estas ideas estan relacionadas con el con-cepto de producto interior.

Definicion 4 Sea V un espacio vectorial sobre R. Un producto interior sobreV es una funcion , : V V R, tal que para cualesquiera elementosx, y, z V y para todo c R, se satisfacen las siguientes propiedades

1. cx + y, z = c x, z + y, z.

2. x, y = y, x.

3. x, x > 0 si x 6= 0

Ejemplos

1. Como vimos en la subseccion anterior, el producto escalar en R3 (y enR2) es un producto interior. Mas aun, podemos definir en Rn la siguientefuncion

X,Y =n

i= 1

xi yi, (1.4)


donde X = (x1, ...xn) y Y = (y1, ..., yn). Para ver que esta funcion esun producto interior, tenemos que verificar las propiedades dadas en ladefinicion 14. Si Z = (z1, ..., zn) y c R, entonces

cX + Y, Z =n

i= 1

(cxi + yi)zi

=

ni= 1

c xi zi + yi zi

= c

ni= 1

xi zi +

ni= 1

yi zi

= c X,Z + Y,Z.

Ahora, por la conmutatividad de los numeros reales, es claro que

X,Y = Y,X.

Finalmente si X 6= 0, entonces al menos una entrada del vector X esdistinta de cero, en consecuencia

X,X =n

i= 1

x2i > 0.

Por tanto, la funcion dada en la expresion (1.4) es unproducto interiorsobre Rn.

2. Sea V = C[a,b] el espacio de funciones continuas definidas sobre el inter-valo [a, b] y definimos la funcion

f, g = ba

f (t) g(t) dt (1.5)

Como la integral abre sumas y saca escalares, la primera propiedad dela definicion 14 se cumple, ademas la segunda propiedad se cumple porla conmutatividad de los numeros reales. Ahora si f (t) 6= 0 para todat [a, b], entonces (f (t))2 > 0. Como f es continua, se sigue que

f, f = ba

(f (t))2 dt > 0,

en consecuencia, la funcion definida en (1.5) es un producto interior.

Como consecuencias inmediatas de la definicion 14, tenemos las siguientes pro-piedades.

Proposicion 1.3.1 Sea V un espacio vectorial sobre R con producto interior.Entonces para cualesquiera x, y, z V y c R se tiene que


1. x, cy + z = c x, y + x, z2. x,0 = 0, x = 0.3. x, x = 0 si y solo si x = 0.4. Si x, y = x, z para todo x V , entonces y = z

Demostracion.

1. Observese que

x, cy + z = cy + z, x= cy, x + z, x= cx, y + x, z.

2. Notese quex,0 = x, y y

para y V . Luego, por la afirmacion anterior,x, y y = x, y + x,y

= x, y x, y = 0.

3. Si x = 0, por la afirmacion anterior se sigue que x, x = 0. Ahora six, x = 0, como por definicion se tiene que x, x > 0 si x 6= 0, sesigue que x = 0.

4. Si x, y = x, z, entonces se tiene quex, y x, z = x, y z = 0,

para todo x V , en particular para y z, esto esy z, y z = 0,

por la afirmacion anterior, y z = 0, es decir y = z.

Esta ultima proposicion nos permite generalizar la nocion de magnitud deun vector a espacios vectoriales con producto interior.

Definicion 5 Sea V un espacio vectorial sobre R con producto interior. Parax V definimos la norma o longitud de x como

||x|| =x, x

El siguiente resultado muestra que las propiedades para la norma euclidianaen R3 se cumplen en general para espacios vectoriales con producto interior.


Proposicion 1.3.2 Sea V un espacio vectorial sobre R con producto interior.Entonces para todo x, y V y c R, se cumplen las siguientes afirmaciones

1. ||c x|| = |c| ||x||.2. ||x|| 0 y ||x|| = 0 si y solamente si x = 0.3. |x, y| ||x|| ||y|| (Desigualdad de Cauchy - Schwarz).4. ||x + y|| ||x|| + ||y|| (Desigualdad del triangulo).

Demostracion.

1. Por la definicion se tiene que

||c x|| =c x, c x =

c2 x, x

= |c|x, x = |c| ||x||.

2. Por la definicion 14, se sigue que ||x|| > 0 si x 6= 0 y, por la proposicion1.3.1, se sigue que ||x|| = 0 si y solamente si x = 0.

3. Si y = 0 el resultado es inmediato. Supongamos que y 6= 0. Para todo R, se tiene que

0 ||x + y|| = x + y, x + y = 2 ||x||2 + 2 x, y + ||y||2.Sea ||x||2 = a, 2 x, y = b y ||y||2 = c. Entonces, se tiene que

a2 + 2b + c 0 R.Ahora, si f () = a2 + 2b + c, se sigue que

f ( b

2a

)= 0,

esto es, = b2a es un mnimo para la funcion f . Ademas, comof () 0 para toda R,

se obtiene que

a

(b2

4a2

)+ b

(b2a

)+ c 0,

de donde se sigue que

c b2

4a,

por lo tantob2 4ac,

es decir|x, y|2 ||x||2 ||y||2


4. Por la definicion de norma y las propiedades de producto interior, se tieneque

||x + y||2 = x + y, x + y= x, x + 2 x, y + y, y= ||x||2 + 2 x, y + ||y||2.

Por la desigualdad de Cauchy - Schwarz, se sigue que

||x + y||2 ||x||2 + ||x|| ||y||+ ||y||2 = (||x|| + ||y||)2,

lo cual concluye la demostracion.

Proposicion 1.3.3 (Ley del paralelogramo). Sea V un espacio vectorialsobre R con producto interior. Entonces, se cumple que

||x + y||2 + ||x y||2 = 2 (||x||2 + ||y||2)

Demostracion. Por la definicion de norma en un espacio conproducto interior,se tiene que

||x + y||2 + ||x y||2 = x + y, x + y + x y, x y= (x, x + 2 x, y + y, y)+ (x, x 2 x, y + y, y)= 2||x||2 + 2 ||y||2.

Ahora definimos el concepto de norma en general.

Definicion 6 Sea V un espacio vectorial sobre R. Definimos una norma comouna funcion || || : V R+ {0} que satisface las siguientes condiciones

1. Para todo x V , ||x|| 0. Ademas, ||x|| = 0 si y solamente six = 0.

2. Para todo x V y c R, ||c x|| = |c| ||x||.3. Para cualesquiera x, y, z V , ||x + y|| ||x|| + ||y||.

A un espacio vectorial en donde se ha definido una norma || || lo llamaremossimplemente espacio normado.

Hemos visto que a partir de un producto interior se puede generar una norma,pero no toda norma proviene de un producto interior. Sin embargo, se puedeverificar que si una norma satisface la ley del paralelogramo, se puede construirun producto interior que la induzca.


Proposicion 1.3.4 Sea V un espacio normado sobre R, con norma || || talque satisface la ley del paralelogramo y defnase

x, y = 14

(||x + y||2 ||x y||2) .Entonces , es un producto interior tal que ||x||2 = x, y para todo x V .Demostracion. Para ver que , es un producto interior, tenemos que veri-ficar las condiciones establecidas en la definicion 14. Observese que

x, y = 14

(||x + y||2 ||x y||2)=

1

4

(||y + x||2 ||y x||2) = y, x.Ademas,

x, x = 14

(||2x||2 ||0||2) = ||x||2 > 0,si x 6= 0.

Por otro lado, como la norma satisface la ley del paralelogramo, se tiene que

||x + 2y||2 + ||x||2 = ||(x + y) + y||2 + ||(x + y) y||2= 2 (||x + y||2 + ||y||2)

y

||x 2y||2 + ||x||2 = ||(x y) y||2 + ||(x y) + y||2= 2 (||x y||2 + ||y||2),

de donde se sigue que

||x + 2y||2 ||x 2y||2 = 2(||x + y||2 ||x y||2)por lo que

x, 2y = 14

(||x + 2y||2 ||x 2y||2)

=1

4(2(||x + y||2 ||x y||2)) = 2 x, y.

As, para probar que x + y, z = x, z + y, z, verificamos quex + y, 2z = 2 (x, z + y, z).

De manera similar al argumento anterior, por la ley del paralelogramo se tieneque

||x + y + 2z||2 + ||x y||2 = 2(||x + z||2 + ||y + z||2)

y

||x + y 2z||2 + ||x y||2 = 2 (||x z||2 + ||y z||2),


de donde se obtiene que

||x + y + 2z||2 ||x + y 2z||2 = 2 (||x + z||2 ||x z||2 + ||y + z||2 ||y z||2).

En consecuencia, se sigue que

x + y, 2z = 14

(||x + y + 2z||2 ||x + y 2z||2)

=1

4(2 (||x + z||2 ||x z||2 + ||y + z||2 ||y z||2))

= 2 (x, z + y, z).

Inductivamente, para n N se tiene que

nx, y = (n 1)x, y + x, y = = n x, y.

Ahora, por el argumento anterior, obtenemos

x, y = m(

1

mx

), y = m 1

mx, z,

de donde se concluye que

1mx, z = 1

mx, y.

As, si r = pq , donde p, q N, entonces

r x, y = p(

1

q

)x, y = p

(1

q

)x, y

=p

qx, y = r x, y.

Ahora, si r = 0, se sigue que

0, y = 14

(||y||2 ||y||2) = 0 = 0 x, y.

Finalmente, si r es negativo, notese que

rx, y = (r) (x), y = r x, y,

pero

x, y = x, yya que

x, y + x, y = 14

(|| x + y||2 || x y||2 + ||x + y||2 ||x y||2) = 0.

Por lo tanto

rx, y = r x, y = r x, y.


Por otra parte, observese que

x, x = 14

(||x + x||2 ||0||2) = ||x||2, (1.6)

para todo x V . Consecuentemente, por la desigualdad del triangulo y elargumento anterior, tenemos que

||x||2 + 2 x, y + ||y||2 = ||x + y||2 (||x|| + ||y||)2 = ||x||2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y||2.

De manera similar, tomando ||x y||2, se obtiene que||x||2 2 x, y + ||y||2 ||x||2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y||2,

de donde se concluye que|x, y| ||x|| ||y||. (1.7)

Finalmente, sea c R y r Q. Como(c r) x, y = c x, y rx, y

y(c r)x, y = cx rx, y = cx, y r x, y,

es claro que

|c x, y cx, y| = |(c r) x, y (c r)x, y|.Ahora, por la desigualdad (1.7), se sigue que

|c r| ||x|| ||y|| (c r) x, yy

(c r)x, y |c r| ||x|| ||y||y por tanto

|c x, y cx, y| = |(c r) x, y (c r)x, y| 2 |c r| ||x|| ||y||. (1.8)Por la propiedad arquimediana, para todo c R, se puede encontrar r Q

tal que |c r| < , donde > 0. Por la desigualdad (2), se concluye quecx, y = c x, y

para todo c R. As, , es un producto interior y por la ecuacion (34), sesigue el resultado.

Regresando al estudio de las normas en Rn, hemos visto que el productoescalar genera una norma, a saber, la funcion dada por

||X||2 = ni= 1

x2i ,


donde X = (x1, ..., xn). A esta norma la llamaremos norma euclidiana. Sinembargo, podemos definir otras funciones que resultan ser normas en Rn. Porejemplo, podemos definir la funcion

||X||1 =n

i= 1

|xi|.

Para ver que es una norma, debemos verificar que se cumplen las condiciones dela definicion 15. En efecto, notese que ||X||1 0 ya que estamos considerandolos valores absolutos de las entradas del vector X, ademas, esta funcion tomael valor cero si y solo si cada una de las entradas del vector es cero. Por otraparte, si c R, se tiene que

||cX||1 =n

i= 1

|c xi| = |c|n

i= 1

|xi| = |c| ||X||1.

Finalmente, por la desigualdad del triangulo para el valor absoluto, si Y =(y1, ..., yn), se sigue que

||X + Y ||1 =n

i= 1

|xi + yi| n

i= 1

(|xi| + |yi|) = ||X||1 + ||Y ||1.

Por tanto se sigue que ||X||1 define una norma. Por otro lado, podemos definirla siguiente funcion

||X||3 =(

ni= 1

|xi|3) 1

3

.

Esta funcion tambien es una norma. En general, para p 1, si definimos lafuncion

||X||p =(

ni= 1

|xi|p) 1p

,

esta resulta ser una norma. Para demostrar esta afirmacion, requerimos de unpar de desigualdades que demostraremos a continuacion

Proposicion 1.3.5 (Desigualdad de Holder). Sean p > 1 y q > 1 talesque 1p +

1q = 1, X = (x1, ..., xn) y Y = (y1, ..., yn). Sea X

= (|x1|, ..., |xn|)y Y = (|y1|, ..., |yn|). Entonces

X Y ( n

i= 1

|xi|p) 1p

( ni= 1

|yi|q) 1q

(1.9)Demostracion. Para empezar, recordemos la desigualdad de Bernoulli, estoes, si t 0, entonces

(1 + t)p 1 + pt,


alcanzandose la igualdad cuando t = 0. Ahora, sean a 0 y b > 0 tales que

1 + t =

(a

bqp

).

Sustituyendo este valor en la desigualdad de Bernoulli, obtenemos

ap

bq 1 + p a bqp p,

donde la igualdad se alcanza cuando ap = bq. Multiplicando por bq amboslados de la desigualdad y realizando las operaciones correspondientes, se obtieneque

ap bq (1 p) + p a bq ( p1p ). (1.10)Como 1p +

1q = 1, se tiene que q =

pp1 , por lo que, sustituyendo en la

desigualdad (1.10) obtenemos que

ap bq (1 p) + p a b,luego, multiplicando por 1p , se obtiene la siguiente desigualdad

ap

p+bq

q ab, (1.11)

alcanzando la igualdad cuando ap = bq. Por otro lado, tomese

aj =|xj |(

ni= 1

|xi|p) 1p

y

bj =|yj |(

ni= 1

|yi|q) 1q

,

sustituyendo en la desigualdad (1.11) y sumando sobre todas las j {1, ..., n},obtenemos

nj= 1

aj bj n

j= 1

|xj |p

p

(n

i= 1

|xi|p) + |yj |q

q

(n

i= 1

|yi|q)

=

ni= 1

|xi|p

p

(n

i= 1

|xi|p) +

ni= 1

|yi|q

q

(n

i= 1

|yi|q)

=1

p+

1

q= 1,


es decirn

j= 1

aj bj 1,

de donde se sigue el resultado.

Proposicion 1.3.6 (Desigualdad de Minkowski) Sean xi, yi R, i {1, ..., n} y p 1. Entonces(

ni= 1

|xi + yi|p) 1p

(

ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

(1.12)

Demostracion. Por la desigualdad del triangulo para el valor absoluto, setiene que

ni= 1

|xi + yi|p n

i= 1

(|xi| + |yi|)p.

Por otra parte, el lado derecho de esta ultima desigualdad, se puede escribircomo

ni= 1

(|xi| + |yi|)p =n

i= 1

(|xi| + |yi|)p 1 (|xi| + |yi|)

=

ni= 1

(|xi| + |yi|)p 1 |xi| +n

i= 1

(|xi| + |yi|)p 1 |yi|.

Luego, definiendo |zi| = (|xi| + |yi|)p 1 y aplicando la desigualdad (1.11) acada uno de los sumandos de la expresion anterior, obtenemos

ni=1

|zi| |xi| +n

i=1

|zi| |yi| (

ni=1

|zi|q) 1q(

ni=1

|xi|p) 1p

+

(n

i=1

|zi|q) 1q(

ni=1

|yi|p) 1p

=

(n

i= 1

|zi|q) 1q

( ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

=

(n

i= 1

((|xi| + |yi|)p 1

)q) 1q ( ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

,como 1p +

1q = 1, entonces p = q (p 1), de donde se obtiene que(n

i= 1

((|xi| + |yi|)p 1

)q) 1q ( ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

=

(n

i= 1

(|xi| + |yi|)p) 1q

( ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

,


lo cual implica que

ni=1

(|xi| + |yi|)p (

ni=1

(|xi| + |yi|)p) 1q

( ni=1

|xi|p) 1p

+

(n

i=1

|yi|p) 1p

,por lo que, multiplicando esta desigualdad por

1(n

i= 1

(|xi| + |yi|)p) 1q

se ob-

tiene que (n

i= 1

(|xi| + |yi|)p)1 1q

=

(n

i= 1

(|xi| + |yi|)p) 1p

(

ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

,

pero, por la desigualdad del triangulo para los valores absolutos, tenemos que(n

i= 1

(|xi + yi|)p) 1p

(

ni= 1

(|xi| + |yi|)p) 1p

,

de donde se concluye que(n

i= 1

(|xi + yi|)p) 1p

(

ni= 1

|xi|p) 1p

+

(n

i= 1

|yi|p) 1p

,

que era justo lo que se quera demostrar. De esta forma, la funcion definida por

||X||p =(

ni= 1

|xi|p) 1p

,

donde X = (x1, ..., xn) define una norma, ya que, es claro que ||X||p 0,alcanzandose la igualdad si y solamente si cada una de las entradas del vectorX es igual a cero. Ademas, si c R, se tiene que

||cX||p =(

ni= 1

|c xi|p) 1p

= |c|(

ni= 1

|xi|p) 1p

|c| ||X||.

Finalmente, la desigualdad del triangulo se sigue de la desigualdad (1.12).Por otra parte, podemos definir la siguiente funcion en Rn

||X|| = max {|xi| | i {1, ..., n}},donde X = (x1, ..., xn). Se afirma que esta funcion es una norma en R

n. Paraver esto, notese que ||X|| 0 alcanzando la igualdad si y solamente si cadaentrada del vector X es cero. Ahora, si c R, entonces

||cX|| = max {|c xi| | i {1, ..., n}} = |c| max {|xi| | i {1, ..., n}} = |c| ||X||.

22 1.4. Espacios metricos

Finalmente, se tiene que

||X + Y || = max {|xi + yi| | i {1, ..., n}} = |xj + yj |,para alguna j {1, ..., n}. Por la desigualdad del triangulo para el valor abso-luto, se tiene que

|xj + yj | |xj | + |yj | max {|xi| | i {1, ..., n}} + max {|yi| | i {1, ..., n}},de donde se concluye que

||X + Y || ||X|| + ||Y ||Se pueden dar otros ejemplos de espacios vectoriales normados: el espacio

de funciones continuas definidas en un intervalo [a, b] con la funcion dada por

||f ||p =( b

a

(|f (x)|)p dx) 1p

p 1

es un espacio normado; el espacio de funciones acotadas con la funcon

||f || = sup {|f (x)| |x [a, b]}tambien es un espacio normado. Nuestro estudio en la siguiente seccion, secentrara en como mediremos distancias a partir de las estructuras que hemosconstruido hasta el momento.

1.4. Espacios metricos

Entre las propiedades de Rn, una de las mas importantes es la propiedadmetrica, es decir, la forma en que se mide la distancia entre puntos. Un es-pacio metrico es un conjunto X equipado con una funcion d : X X Rque proporciona una forma razonable de medir distancias entre dos elementosde X . Este concepto nos permitira definir mas adelante el concepto de conjuntoabierto y a partir de este ultimo estudiar una serie de propiedades y conceptoscomo, por ejemplo, el de convergencia.

Definicion 7 Un espacio metrico es una estructura que consta de un conjuntoX 6= y de una funcion d : X X R+ {0}, llamada metrica, quesatisface los siguientes axiomas

1. d (x, y) = 0 x = y.2. d (x, y) = d (y, x) x, y X .3. d (x, y) d (x, z) + d (z, y) x, y, z X .

Ejemplos.


1. Sea (V, || ||) un espacio normado. Para x, y V , definimosd (x, y) = ||x y||.

Esta funcion, en efecto, define una metrica. Notese que, por las propiedadesde la norma, se tiene que d (x, y) 0, ademas d (x, y) = 0 si y solamentesi ||x y|| = 0, esto pasa si y solamente si x y = 0, lo cual sucedesi y solamente si x = y, con lo que se satisface el primer axioma. Luego

d (x, y) = ||x y|| = || (y x)|| = ||y x|| = d (y, x).Finalmente, por la desigualdad del triangulo para las normas, se tiene qued (x, y) = ||x y|| = ||(x z) + (z y)|| ||x z|| + ||z y|| = d (x, z) + d (z, y),de donde se concluye que (V, d) es un espacio metrico. De esta forma,

hemos construido varios ejemplos de espacios metricos:

a) (Rn, d) donde d : Rn Rn R+ {0} esta dada por

d (x, y) =

(n

i= 1

|xi yi|p) 1p

p 1.

En particular, cuando p = 2 se tiene la distancia euclidiana.

b) (Rn, d), definiendo a d como

d (x, y) = ||x y||c) (C[a,b], d) donde d esta definida como

d (f, g) =

( ba

|f (x) g (x)|2 dx) 1

2

,

por mencionar algunos.

2. Sea X 6= un conjunto arbitrario y defnase la funcion d como

d (x, y) =

1 si x 6= y0 si x = y.

Entonces (X , d) es un espacio metrico. La verificacion de los detalles sedejan al lector. Notese que este ejemplo nos dice que cualquier conjuntodistinto del vaco, se puede equipar con una metrica.

3. Sea X = {0, 1} y considerese el conjunto Y = X 9, es decir, las 9-adasen cuyas entradas hay solo 0s y 1s. Defnase d como

d (x, y) = numero de lugares en los cuales x y y son diferentes.

Entonces (Y, d) es un espacio metrico (de hecho, notese que

d (x, y) =

9i= 1

|xi yi|).


4. SeaX = {x = {xi}iN |xi R,

iN

x2i < }

y defnase

d (x, y) =

iN

(xi yi)2.

Antes de verificar que esta funcion es una metrica, recordemos que dossucesiones x y y son iguales si xi = yi para toda i N. Ahora, es claroque d (x, y) 0, alcanzando la igualdad si y solamente si xi yi = 0para toda i N. Por otra parte, observese que

d (x, y) =

iN

(xi yi)2 =iN

(yi xi)2 = d (y, x).

Finalmente, para la desigualdad del triangulo, si x, y, z X , entonceslas series

iN(xi yi)2,

iN

(xi zi)2,iN

(zi yi)2,

convergen. Luego(n

i= 1

(xi yi)2) 1

2

(

ni= 1

(xi zi)2) 1

2

+

(n

i= 1

(zi yi)2) 1

2

por la desigualdad de Minkowski. Haciendo tender n a infinito, se tieneel resultado. A este espacio se le conoce como espacio de Hilbert (real) ysuele denotarse como l2.

5. Sean (Xi, di), i {1, ..., n} espacios metricos. TomeseX = X1 X2 Xn.

Defnase para x, y X la funcion

d (x, y) =

ni= 1

di (xi, yi),

donde x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn). Se afirma que (X , d) es unespacio metrico. Para demostrar esta afirmacion, verificamos los axiomasde la definicion de metrica. Como di es metrica para toda i {1, ..., n},se sigue que d (x, y) 0, alcanzando la igualdad cuando cada uno de lossumandos se anula. Esto ultimo sucede si y solamente si xi = yi paratoda i {1, ..., n}, ya que di es metrica. Ademas

d (x, y) =

ni= 1

di (xi, yi) =

ni= 1

di (yi, xi) = d (y, x).


Finalmente, como cada di es metrica, se tiene que

d (x, y) =

ni= 1

di (xi, yi) n

i= 1

di (xi, zi) +

ni= 1

di (zi, yi)

= d (x, z) + d (z, y),

donde z = (z1, ..., zn).

6. Sea (X , d) un espacio metrico y Y X . Entonces, la restriccion

dI = d|Y Y : Y Y R+ {0},

es una metrica en Y. Al espacio (Y, dI) se le conoce como subespaciometrico. (Recuerde que si f : A B y g : C B tal que A C yf (x) = g (x) para toda x A, entonces se dice que f es la restriccionde g sobre A).

En un espacio metrico es posible hablar de vecindades de un punto.

Definicion 8 Sean (X , d) un espacio metrico, x X y > 0. Definimos labola abierta de radio con centro en x como

B (x) = {y X | d (x, y) < }

Definicion 9 Una vecindad de x es un conjunto U X , tal que existe > 0de tal forma que B (x) U .

Se dice que dos metricas son equivalentes si para cada punto en el espaciometrico, ambas determinan las mismas vecindades de dicho punto, es decir, dosmetricas d y d son equivalentes si y solo si para cada punto x X se cumplelo siguiente:Dada > 0 existe > 0 tal que si d (x, y) < , entonces d (x, y) < ; ydada > 0 existe > 0 tal que si d (x, y) < , entonces d (x, y) < .

Para cerrar este captulo, resulta interesante describir geometricamente lasbolas generadas en R2 y R3 por las normas || ||p. Consideremos los conjuntos

B(p) = {y Rn | ||y||p < 1} p 1, n = 2, 3.

Primero consideremos el caso n = 2.Si p = 1, el conjunto anterior se puede escribir como

{y R2 | |y1| + |y2| < 1}.

Para describir geometricamente este conjunto, parecera natural analizar el con-junto de puntos cuyas entradas satisfacen la siguiente igualdad

|y1| + |y2| = 1.


(0, 1)

(1, 0)

Figura 1.7: Bola generada por la norma || ||1 en R2

Notese que como se esta tratando con valores absolutos, basta con analizar loque sucede en el cuadrante positivo. El resto del conjunto se obtiene reflejandocon respecto al origen y al eje y. De esta forma, trataremos la igualdad

y1 + y2 = 1,

que es equivalente a la igualdad

y2 = 1 y1,

la cual describe una recta que pasa por los puntos (1, 0) y (0, 1). Reflejando conrespecto al eje de las ordenadas y con respecto al origen, obtenemos el conjuntodescrito en la Figura 1.7. Observese que los puntos que quedan debajo de larecta, satisfacen que

y1 + y2 < 1,

por lo que los puntos que conforman al conjunto B(1) en R2 son los que se

encuentran adentrodel cuadrado descrito en la Figura 1.7. Si p = 2, noteseque se tiene una circunferencia con centro en el origen.

(0, 1)

(1, 0)

Figura 1.8: Bola generada por la norma || || en R2

Por otra parte, el conjunto B definido como

B = {y R2 | ||y|| < 1},


genera un lugar geometrico como el descrito en la Figura 1.8, esto debido a quesi consideramos el conjunto de puntos (y1, y2) tales que

max {|y1|, |y2|} = 1,tanto sus abscisas como sus ordenadas no podran exceder 1, es decir, se tiene quey1, y2 [0, 1]. Si y1 [0, 1) entonces, necesariamente, y2 = 1 y viceversa, siy2 [0, 1), entonces, forzosamente y1 = 1.

Ahora, si x1 (0, 1), entonces, para 1 p q, se cumple que xq1 xp1,de donde se obtiene que

1 xp1 1 xq,de donde se concluye que la bola generada con la norma || ||p esta contenidaen la bola generada por la norma || ||q, para p < q, obteniendo una situacioncomo la descrita en la Figura 1.9

(0, 1)

(1, 0)

||X||1

||X||2

||X||4

||X||

Figura 1.9: Comparativo de las bolas generadas por diferentes normas

Se puede hacer un analisis similar para el caso de R3. Para el caso de lanorma || ||1, observese que la ecuacion

x1 + x2 + x3 = 1, x1, x2 x3 0,describe un plano que pasa por los puntos (0, 0, 1), (0, 1, 0) y (1, 0, 0). Luego,al reflejar con respecto a los ejes y al origen, obtenemos un octaedro (vease laFigura 1.10). La norma || ||2 genera una esfera, la norma || || un cubo y,por un argumento similar al del caso bidimensional, la bola generada por || ||pesta contenida en la generada por || ||q, si p q.

Figura 1.10: Norma || ||1 en R3

Captulo 2

Elementos basicos detopologa

Existen dos conceptos fundamentales en el desarrollo del calculo diferencial y,en general, en el analisis real: la convergencia de sucesiones y la continuidadde funciones. Mas adelante, definiremos funciones sobre subconjuntos de puntoscontenidos en espacios de dimensiones superiores y es conveniente conocer cier-tas propiedades de conjuntos que llamaremos abiertos, cerrados y compactos.Estos conjuntos generalizan las ideas de intervalos abiertos y cerrados en la rectareal y constituyen las ideas basicas de la topologa. Gran parte de los resultadosque desarrollamos en este captulo dependen unicamente de las propiedades dela funcion distancia por lo que, en algunas ocasiones, haremos un analisis de es-tos conjuntos en espacios metricos mas generales. A menos que haya confusion,denotaremos unicamente por X a un espacio metrico (X , d).

2.1. Conjuntos abiertos

El concepto de conjunto abierto es crucial en el estudio del calculo y el analisisreal.

Definicion 10 Sea X un espacio metrico y A X . Se dice que A es unconjunto abierto en X , si para todo x A, existe > 0 tal que B (x) A.Notese que, por la definicion 9, un conjunto es abierto si y solamente si esvecindad de todos sus puntos. A partir de la definicion se puede demostrar queB (x), > 0, es un conjunto abierto.

Proposicion 2.1.1 Sean X un espacio metrico, > 0 y x X . EntoncesB (x) es un conjunto abierto.

Demostracion. Sea y B (x). Debemos exhibir un valor > 0 tal queB (y) B (x). La Figura 2.1 sugiere que al tomar = d(x,y)2 , que es

29

30 2.1. Conjuntos abiertos

x y

d (x,y)2

Figura 2.1: Idea para la demostracion de la Proposicion 2.1.1

estrictamente positivo ya que d (x, y) < , B (y) B (x). En efecto, siz B (y), entonces

d (x, z) d (z, y) + d (y, x) < + d (x, y) = d (x, y) + 2

< .

Por tanto, z B (x).

En la demostracion de la Proposicion 2.1.1, observese que depende dela eleccion de y, esto es, B (y) sera mas pequena si y esta mas cerca delcontorno de la bola.Ejemplos.

1. Sea X = R2 con la metrica generada por la norma euclidiana. Conside-remos el conjunto dado por

A = {(x, y) R2 |x (a, b)}.Se afirma que A es abierto. La Figura 2.2 nos da una idea para la eleccionde . Para un punto s = (x, y) A, proponemos

= mn {|x a|, |x b|}.Sin perdida de generalidad, podemos suponer que 0 < a < b. Tomeseun punto z = (z1, z2) B (s), es claro que

|z1 x| d (z, s) < .Si = x a, entonces se tiene que|z1 x| < x a a x < z1 x < x a

a < z1 < 2x a = x + (x a) < b,de donde se sigue que z A.Si = b x, entonces

|z1 x| < b x x b < z1 x < b x 2x b < z1 < b.

2. Elementos basicos de topologa 31

Ahora, 2x b > a ya que, de lo contrario, se tendra que x < a+ b2 ,esto implica que

b x > b a2

y x a < b a2

,

de donde se concluye que x a < b x, lo cual es una contradiccion.Por tanto, 2x b > a de donde se concluye que z A y por lo tantoA es abierto.

a b

x

Figura 2.2: El conjunto A = {(x, y) R2 |x (a, b)} es abierto

2. Sean A y B subconjuntos abiertos de Rn. Definimos

A + B = {x + y Rn |x A, y B}.Se afirma que A + B es un conjunto abierto. Para ver esto, consideremosun punto arbitrario z A + B, entonces existen elementos x A yy B tales que z = x + y. Como A es abierto, existe > 0 tal queB (x) A. Demostraremos que B (z) A + B. Sea w B (z),entonces

||w z|| = ||w (x + y)|| < .Ahora, observese que w (x + y) = (w y) x, en consecuencia,w y B (x) A. Como y B y w = (w y) + y, se sigue quew A + B. Por tanto A + B es abierto.

3. Sea X un conjunto arbitrario, distinto del vaco y equipado con la metricadiscreta. Si A X , entonces para todo punto x A tomamos = 12 .Luego, B (x) = {x} A. Por tanto, todo subconjunto de X es abiertocon la metrica discreta.


4. Sea X un espacio normado y x X . Entonces el conjunto {x} no esabierto.

Notese que si tomamos la union de una coleccion arbitraria de intervalosabiertos en R, obtendremos un conjunto abierto. Sin embargo, la interseccion ar-bitraria de intervalos abiertos no siempre da como resultado un conjunto abierto.A saber, considerese la coleccion de intervalos dada por

In = (x0 1n, x0 +

1

n), n N,

para alguna x0 R. Observese quenN

In = {x0}.

Este ejemplo nos sugiere la siguiente propiedad de los conjuntos abiertos.

Proposicion 2.1.2 Sean X un espacio metrico y {A} una coleccion deabiertos en X , entonces

1. Para cualquier conjunto de ndices ,

A es abierto en X .

2. Si es un conjunto de ndices finito, entonces

A es abierto en X .

En particular, si = , por definicion

A = y

A = X .

Demostracion.

1. Sea x

A, entonces existe tal que x A. Como A esabierto, existe > 0 tal que

B (x) A

A,

por tanto

A es abierto.

2. Sea x

A, entonces x A para toda . Como cada Aes abierto, existe > 0 tal que B A. Como es finito, podemostomar

= { | }; > 0 y claramente B (x) B (x) para toda . Por tanto,

B

A,


de donde se concluye que

A es abierto.

Finalmente, como X contiene a todas las bolas, entonces es abierto y ,por vacuidad, es abierto.

En general, un conjunto con una coleccion de subconjuntos (llamados por

definicion abiertos) que satisfacen las condiciones de la proposicion 2.1.2 y con-tiene al vaco y al conjunto total, se le llama espacio topologico y a la coleccionde subcojuntos se le llama topologa.

Definicion 11 Dos normas definidas sobre un mismo espacio vectorial V sedicen equivalentes, cuando inducen la misma topologa sobre V , esto es, definenlos mismos abiertos en V .

Esta definicion es equivalente a la siguiente definicion.

Definicion 12 Dos normas || || y || || sobre V son equivalentes si y solo siexisten dos constantes a, b > 0 tales que

a||x|| ||x|| b||x|| x V.Diremos que dos normas estan relacionadas (|| || || ||) si y solo si sonequivalentes. Es claro que esta relacion es de equivalencia.

Proposicion 2.1.3 En Rn, las normas dadas por

||X||p =(

ni= 1

|xi|p) 1p

y||X|| = max {|xi| | i {1, ...., n}},

X = (x1, ..., xn), son equivalentes.

Demostracion. Observese que ||X|| = |xj | para alguna j {1, ..., n}.Luego, se tiene que

(|xj |p)1p = |xj |

i 6= j|xi|p + |xj |p

1p ,por tanto ||X|| ||X||p. Por otro lado, notese que

|xi| ||X|| i {1, ..., n}

n

i= 1

|xi|p n (||X||)p

||X||p pn ||X||.


Este resultado nos permite trabajar indistintamente con cualquier norma.Mas adelante demostraremos que cualquier norma en Rn es equivalente a lanorma || ||p, por lo que basta analizar las propiedades de los abiertos en Rncon la norma euclidiana.

Presentamos ahora otra nocion topologica basica que caracteriza a los con-juntos abiertos.

Definicion 13 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A un subconjunto deX. Se dice que un punto x A es interior, si existe U X abierto tal que

x U A.

A la coleccion de todos los puntos interiores se le llamara interior de A y sedenota por Ao.

Ejemplos.

1. Considerese el conjunto

A = {(x, y) R2 |x (a, b)}.

Ya se verifico que este conjunto es abierto, es decir, para todo x A,existe > 0 tal que

B (x) A.Tambien, hemos demostrado que para todo punto x en un espacio metrico,B (x) es un conjunto abierto. En consecuencia, es claro que A

o = A.

2. Sea A = [a, b]. Se afirma que Ao = (a, b). Si x (a, b), como esteultimo es un conjunto abierto, se sigue que existe un valor > 0 tal queB (x) A, esto es, existe un conjunto abierto totalmente contenido en(a, b) que contiene al punto x. Por otro lado, si x Ao, entonces existeU R abierto, tal que x U A. Ahora,

x 6 (, a) (b,),

ya que de lo contrario, como (, a) (b,) es un conjunto abierto,se puede construir un intervalo centrado en x de radio > 0, tal queeste totalmente contenido en (, a) (b,). Por otra parte, x 6= a,ya que para toda > 0, (a , a + ) interseca al complemento de A,es decir, no existe una vecindad de a que este totalmente contenida en(a, b). Un argumento similar demuestra que b tampoco es punto interior.Por tanto, x (a, b), de donde se sigue que Ao = (a, b).

El siguiente resultado proporciona otras descripciones equivalentes del inte-rior de un conjunto.

Proposicion 2.1.4 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. Enton-ces, las siguientes afirmaciones son equivalentes.


a) x es un punto interior de A.

b) Existe > 0 tal que B (x) A.

c) x {B A |B es un conjunto abierto}Demostracion.a)b)Si x Ao, entonces existe un abierto U tal que

x U A.

Como U es abierto, existe > 0 tal que B U A.

b) a)Ya se demostro que B (x) es un conjunto abierto, por lo que es claro que x esun punto interior de A.

a) c)Sea G =

{B A |B es un conjunto abierto}. Se tiene que x G, si ysolamente si x B, para algun abierto B A, esto es, x Ao.

c) a)Si x Ao, entonces existe un abierto U tal que x U A. Por tantox G.

La proposicion 2.1.4 muestra que el interior de un conjunto es abierto. Mas

aun, un conjunto A es abierto si y solamente si A = Ao. Notese que el interiorde un conjunto es el abierto mas grande contenido en A. El siguiente resultadomuestra algunas propiedades para los interiores de conjuntos en un espaciometrico. La demostracion de estos hechos se le deja al lector.

Proposicion 2.1.5 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A,B subconjuntosde X. Entonces

1. Xo = X.

2. Ao A.

3. (Ao)o = Ao.

4. (A B)o = Ao Bo.

5. Si A B, entonces Ao Bo.

6. Ao Bo (A B)o.

36 2.2. Conjuntos cerrados

2.2. Conjuntos cerrados

Los conjuntos que se conocen como cerrados, al igual que los abiertos, deter-minan la topologa de los espcaios metricos. Sin embargo, sus propiedades sondiferentes a las de los abiertos, por lo que resulta importante estudiarlos porseparado.

Definicion 14 Sean X = (X, d) un espacio metrico y B X. Se dice queB es un conjunto cerrado si Bc es abierto.

Ejemplos.

1. Sea x Rn. Se afirma que {x} es un conjunto cerrado en Rn. Para veresto, considerese Rn {x} y tomese un punto y Rn {x}. Definimos = d (x,y)2 y construmos la bola con centro en y y radio . Luego, siz B (y), entoncesd (x, z) d (x, y) d (z, y) d (x, y) = d (x, y) d (x, y)

2=

d (x, y)

2> 0,

de donde se sigue que d (x, z) > 0, por lo que z Rn {x}. As,Rn {x} es abierto y, por lo tanto {x} es cerrado en Rn. Mas aun, porla proposicion 2.2.1, se sigue que un conjunto finito en Rn es cerrado.

y

Figura 2.3: El complemento de la bola unitaria es un conjunto abierto

2. Consideremos C = {x Rn | ||x||2 1}. Se afirma que C es ce-rrado. Para demostrar esta afirmacion, notese que si y Cc, se tiene que||y||2 > 1, por lo que tomamos = ||y||2 1 (vease la Figura 2.3). Seaz B (y). Aplicando la desigualdad del triangulo se tiene que

||y||2 ||z||2 ||y z||2 < 1 = ||y||2 < ||z||2,es decir, z Cc. En consecuencia, B (y) Cc, esto es, Cc es abierto,de donde se concluye que C es cerrado.


3. El conjunto dado por

R = {(x, y) R2 |x (a, b], y [c, d]},

no es un conjunto cerrado. Notese que el conjunto Rc no es abierto, yaque para toda > 0, la bola de radio centrada en un punto de la forma(a, y), donde y (c, d), no esta totalmente contenida en Rc (vease laFigura 2.4).

a b

c

d

Figura 2.4: El conjunto R no es cerrado

De la definicion 14 y la proposicion 2.1.2, se obtiene el siguiente resultado.

Proposicion 2.2.1 Sean X un espacio metrico y {A} una coleccion decerrados en X , entonces

1. Para cualquier conjunto de ndices ,

A es cerrado en X .

2. Si es un conjunto de ndices finito, entonces

A es cerrado en

X .

Otro concepto topologico basico que nos ayudara a determinar si un conjuntoes cerrado es el de punto de acumulacion.

Definicion 15 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. Se dice queun punto x X es un punto de acumulacion de A si existe un abierto U Xtal que x U y (U {x}) A 6= . Al conjunto de puntos de acumulacionde A se le conoce como conjunto derivado y se denota por A.


Observese que esta definicion nos dice que un punto es de acumulacion de unconjunto A, si esta arbitrariamente cercano a los puntos de A. Por la propo-sicion 2.1.1, podemos reformular la definicion 15 de la siguiente manera:

Se dice que un punto x X es un punto de acumulacion de A si para toda > 0, (B (x) {x}) A 6= .

Se dice que un punto x A es aislado si existe un valor > 0 tal que(B (x) {x}) A = .Ejemplos.

1. Sea A = (0, 1). Si x [0, 1], es claro que para toda > 0 se cumpleque

((x , x + ) {x}) (0, 1) 6= .Si x < 0, como (, 0) es un conjunto abierto, existe un valor > 0tal que (x , x + ) (, 0), es decir, existe un valor tal que elintervalo centrado en x de radio no interseca al conjunto A, de dondese concluye que x no es punto de acumulacion para el conjunto A. Unargumento similar prueba que ningun punto en (1, ) es de acumulacionde A.

2. Considerese el conjunto dado por

A = {(x, y) R2 |x [0, 1], y Q (0, 1)}.

Se afirma que A = [0, 1] [0, 1]. Para ver esto, sea

w = (x, y) [0, 1] [0, 1].

Por la propiedad arquimediana, para todo valor > 0, se satisface que

(y , y + ) Q 6= ,

donde y [0, 1]. De esta forma, para toda > 0 se tiene que

(B (w) {w}) A 6= ,

de donde se sigue que w A. Finalmente, si w A, por la parteanterior se sigue que w [0, 1] [0, 1].

3. Sea {xn}nN R, una sucesion de puntos distintos, acotada. Por el teo-rema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones en R, existe una subsucesion{xnk} convergente, digamos a x0. Luego, x0 es un punto de acumulacionpara la sucesion {xn}, ya que para toda > 0, existe N N tal que|xnk x0| < , si nk > N . Esto quiere decir que para toda > 0,(B (x0) {x0}) {xn} 6= .


4. Tomese la bola A = B (x) R2. Se puede ver que el conjuntoB (x) = {y R2 | d (x, y) }

es el conjunto de puntos de acumulacion de A (la verificacion de los deta-lles se le dejan al lector). Sin embargo, este resultado es falso en general.Si consideramos X un conjunto arbitrario, distinto del vaco, equipadocon la metrica discreta, notese que, para x X,

B1 (x) = {x} (B1 (x)) = .Por otro lado

B1 (x) = {y R2 | d (x, y) 1} = X.

Las nociones de punto de acumulacion y conjunto cerrado estan fuertementerelacionadas, tal y como lo muestra el siguiente resultado.

Teorema 2.2.2 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. Entonces Aes cerrado si y solamente si A A.Demostracion. Supongamos que A es un conjunto cerrado. Si x Ac,entonces existe un valor > 0 tal que B (x) Ac. Luego Be (x) A = ,de donde se sigue que x 6 A. Por tanto, A contiene a todos sus puntos deacumulacion.

Por otro lado, supongamos que A A. Si x Ac, entonces x 6 A, dedonde se sigue que existe > 0 tal que B (x) A = , es decir, B (x) Ac,por lo que se concluye que Ac es abierto, lo cual prueba el resultado.

En la seccion anterior vimos que el interior de un conjunto A es el abierto

mas grande contenido en A. De manera similar, podemos construir el conjuntocerrado mas pequeno que contiene a A.

Definicion 16 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. Se define lacerradura de A, denotada por A, como el conjunto

A ={B X |A B, B cerrado}

Como la interseccion arbitraria de cerrados es un conjunto cerrado, se si-gue que A es cerrado. Notese que A A. El siguiente resultado muestra laconexion entre los puntos de acumulacion y la cerradura de un conjunto.

Proposicion 2.2.3 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. EntoncesA = A A.Demostracion. Sea B = A A. Por el Teorema 2.2.2, se sigue que cualquierconjunto cerrado que contiene a A, debe contener a B. Por tanto, basta condemostrar que B es cerrado. Para ver esto, sea y B, esto es, para > 0

(B (y) {y}) B 6= .


Tomese z (B (y) {y}) B; luego z A o z A. En este ultimo caso,tomando = d (z, y), se tiene que

(B (z) {z}) A 6= donde B (z) {z} contiene puntos distintos de y, es decir, y A y, enconsecuencia, y B. De esta forma, B es el cerrado mas pequeno que contienea A, como se quera demostrar.

Como consecuencia de esta proposicion se tiene que un conjunto A es ce-

rrado si y solo si A = A. El siguiente resultado muestra otra forma de definirla cerradura de un conjunto.

Proposicion 2.2.4 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. Entoncesx A si y solamente si

= nf {d (x, y) | y A} = 0.Demostracion. Si x A, por la proposicion 2.2.3, x A o x A. Six A, tomando x = y se sigue que = 0. Si x A, entonces para toda > 0 existe y A tal que d (x, y) < , de donde se concluye nuevamenteque = 0.

Por otro lado, si = 0 y x 6 A, como es el nfimo, se tiene que paracualquier valor > 0, existe y A tal que d (x, y) < , de donde se obtieneque x A, que era lo que se quera demostrar.

En forma analoga a los interiores de conjuntos, el siguiente resultado presenta

algunas propiedades para la cerradura de conjuntos. Dejamos la verificacion delos detalles al lector.

Proposicion 2.2.5 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A,B subconjuntosde X. Entonces

1. = .2. A A.3. A = A.

4. A B = A B.5. Si A B, entonces A B.6. A B A B.Para cerrar esta seccion, presentamos el concepto de frontera de un conjunto.

Definicion 17 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A X. Definimos lafrontera de A, denotada por A, como el conjunto

A = A Ac.


Como la interseccion de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, se sigue quela frontera de A es un conjunto cerrado. Ademas, notese que A = Ac.

Proposicion 2.2.6 Sea A X. Entonces x A si y solo si para toda > 0,

B (x) A 6= 6= B (x) Ac (2.1)

Demostracion. Si x X tal que se satisface la condicion (2.1), entoncesB (x) contiene puntos de A y de A

c distintos de x. As, x A.Por otra parte, supongamos que x A. Observese que x A o x Ac.

Si x A, como x A, por el Teorema 2.2.2, se sigue que x (Ac). Unargumento similar muestra que si x Ac, entonces x A.

2.3. Sucesiones

El concepto de convergencia es uno de los mas importantes en diversas areasde la matematica. En esta seccion, estudiaremos la nocion de convergencia deuna sucesion en espacios metricos, en particular, en Rn. Recordemos que unasucesion en un conjunto X 6= , es una funcion que asocia un numero naturala un elemento de X, esto es, una correspondencia de la forma S : N R,donde R X. Normalmente, cuando nos referimos a la imagen de un elementon en el dominio, bajo una funcion S, la denotamos por S(n). Sin embargo, enel caso de las sucesiones, denotaremos por Sn a la imagen del natural n; a lasucesion con los elementos Sn la denotaremos por {Sn}n=1. Por otra parte, alconjunto R lo llamaremos recorrido de la sucesion. Segun la propia definicion,una sucesion contiene una infinidad de elementos.

Recordemos la definicion de convergencia en R. Si los terminos de una su-cesion {xn} se acercan a un numero L, se dice que la sucesion tiende al lmiteL (tambien suele decirse que xn converge a L) y se denota por

lmnxn = L

este smbolo se lee: el lmite de la sucesion xn cuando n tiende a infinito es L.

xN

xN +1

L

Figura 2.5: Convergencia en R

42 2.3. Sucesiones

Definicion 18 Sea {xn} una sucesion contenida en R. Se dice que {xn} con-verge a un valor L si dada > 0 existe N N tal que

|xn L| < para cualquier n > N .

Intuitivamente, esta definicion nos dice que la sucesion converge a un ciertovalor si a partir de cierto momento los elementos de la sucesion y ese valor separecen mucho. Graficamente, el concepto de convergencia significa que parauna N suficientemente grande, los elementos de la sucesion

xN+1, xN+2, xN+3, .....

pertenecen a un intervalo de radio con centro en el valor L. Notese que loselementos xN+1, xN+2, xN+3, ....., xN quedan fuera de este intervalo, es decir,en el intervalo de convergencia se encuentra una infinidad de elementos de lasucesion, mientras que fuera del intervalo quedan solo un numero finito (veasela Figura 2.5)

La definicion de convergencia en un espacio metrico es muy parecida.

Definicion 19 Sean X = (X, d) un espacio metrico y {xn} X una su-cesion. Se dice que {xn} converge a x0 X, si para todo abierto U X quecontiene a x0, existe N N tal que xn U , si n N .

El siguiente resultado presenta una definicion equivalente, con la que el lectorpuede estar mas familiarizado.

Proposicion 2.3.1 Sean X = (X, d) un espacio metrico y {xn} X unasucesion. {xn} converge a x0 X si y solo si dada > 0 existe N N talque si n N , entonces d (xn, x0) < .Demostracion. Supongamos que xn x0 y sea > 0. Por la proposicion2.1.1, sabemos que B (x0) es abierto; luego, existe un valor N N tal quexn B (x0), esto es, d (xn, x0) < .

Por otro lado, sea U una vecindad de x0 y supongase que dada > 0existe N N tal que si n N , entonces d (xn, x0) < . Como U es unavecindad de x0, se puede encontrar un valor > 0 tal que B (x0) U . Deesta forma, existe N N tal que si n N , entonces xn B (x0) U y,por tanto, xn x0, como se quera demostrar.

Ejemplos.

1. Sea xn =1n . Verificamos que {xn} converge a 0. Sea > 0, entonces

se tiene que 1n = 1n < n > 1 ,

como > 0, esta ultima desigualdad esta bien definida, por lo que sesigue que la sucesion {xn} converge a cero.


2. Considerese la sucesion de numeros complejos dada por zn = 1 +in .

Recordemos que existe una biyeccion entre C y R2. De esta forma, {zn}converge, si y solo si xn =

(1, 1n

)converge en R2. Se afirma que {xn}

converge a x0 = (1, 0). En efecto, observese que

||xn x0||2 =(0, 1n

)2

=

1n < ,

para > 0 y n suficientemente grande. As, zn z0, donde z0 = 1.3. Tomese X un conjunto arbitrario, no vaco y equipado con la metrica

discreta. Notese que en este espacio, las sucesiones convergentes son lascasi constantes, es decir, aquellas sucesiones tales que xn = x0 paran N .

4. Sea X = (0, 1] y considerese la metrica usual de R restringida a X.Sabemos que en R, la sucesion xn = 1n es convergente y converge a0. Sin embargo, esta sucesion en X no converge, ya que 0 6 X. Esteejemplo muestra que el concepto de convergencia depende de la metrica yel espacio que estemos considerando.

Una propiedad fundamental del lmite de una sucesion es la unicidad.

Proposicion 2.3.2 Sea {xn} una sucesion convergente contenida en un espa-cio metrico, entonces su lmite es unico.

Demostracion. Supongamos que xn x0 y xn y0, esto es, dada > 0, existe N N tal que

d (xn, x0) 0, la bola B (x0) contiene un punto de R, se concluyeque x0 R.

Proposicion 2.3.4 Sean X = (X, d) un espacio metrico y A un subconjuntode X. Si x0 A, entonces existe una sucesion {xn} A tal que xn x0.

Demostracion. Como x0 A, para cada n N, existe un punto xn Atal que d (xn, x0) 1,por lo que 1 no puede ser lmite de la sucesion xn; de forma analoga se puedeverificar que 1 no es lmite de la sucesion xn.

En el ejemplo anterior, si tomamos las subsucesiones

{x2k}kN y {x2k 1}kN,

observamos que convergen a 1 y a 1 respectivamente. Este hecho nos hacepensar en el siguiente resultado: Una sucesion converge a un numero real siy solamente si todas sus subsucesiones convergen a . Este resultado tambienes cierto para espacios metricos en general.

Proposicion 2.3.5 Una sucesion {xn} en un espacio metrico converge a x0si y solamente si todas sus subsucesiones convergen a x0.

Demostracion. Supongamos que xn x0. Esto quiere decir que dada > 0, existe N N tal que d (xn, x0) , si n N . Sea {xnk} {xn}una subsucesion. Entonces, existe M N tal que nk N para k M .Luego, si k M , se sigue que d (xnk , x0) < , como se quera demostrar.

Por otra parte, si cada subsucesion de xn converge, en particular, la sucesioncompleta es subsucesion de s misma, por lo que se sigue el resultado.

Existe un tipo de sucesiones de particular interes: las sucesiones de Cauchy.

Definicion 21 Sean X un espacio metrico y {xn} un sucesion. Se dice que{xn} es de Cauchy, si dada > 0 existe N N tal que d (xn, xm) < , sin,m N .


De manera intuitiva, decimos que una sucesion es de Cauchy cuando, a partirde cierto momento, los elementos de la sucesion son practicamente iguales. Otrapropiedad de las sucesiones de Cauchy es que son acotadas. La demostracionde este hecho es muy parecida al caso de sucesiones de Cauchy en R, por loque la prueba se le deja al lector. El siguiente resultado presenta una condicionnecesaria para la convergencia de sucesiones en espacios metricos.

Teorema 2.3.6 Sean X un espacio metrico y {xn} una sucesion convergente,digamos a x0. Entonces {xn} es de Cauchy.Demostracion. Como xn x0, entonces para toda > 0, existenN1, N2 N, de tal forma que

d (xn, x0) N1 y d (xm, x0) N2.

Tomando N = max {N1, N2}, se tiene que

d (xn, x0) 1 (vease la Figura

2.6).

a(1)1 b

(1)1b

(2)1a

(2)1 a

(3)1 b

(3)1

a(1)2

a(2)2

b(1)2

b(2)2

Figura 2.6: 2-celdas anidadas

Por la completez de R, existe y1 R tal que

y1 kN

[a(k)1 , b

(k)1 ];

aplicando el mismo argumento para las demas componentes, existe x0 Rntal que x0 = (y1, ..., yn), donde

yj kN

[a(k)j , b

(k)j ], j {1, ..., n}.

En consecuencia, x0 kN

Jk.

Este resultado se puede generalizar a espacios metricos. Para ver la genera-

lizacion, requerimos la siguiente definicion.


Definicion 23 Sea X un espacio metrico. Definimos el diametro de un con-junto A en el espacio metrico como

diam (A) = sup{d (x, y) |x, y A}.

Teorema 2.3.8 (del encaje de Cantor). Sean X = (X, d) un espaciometrico completo y {Ai}iN una sucesion de conjuntos tales que

1. An+ 1 An, n N.

2. Ai es cerrado para toda i N.

3. lmn diam (An) = 0.

entonces, existe x0 X tal queiN

Ai = {x0}.

Demostracion. Sean xn An, y > 0. Como lmn diam (An) = 0,

entonces existe N N tal que diam (An) < , si n N . Como la sucesionde conjuntos es decreciente, se tiene que diam (An) diam (AN ) si n > N .Ahora

d (xn, xm) diamAN < .Por tanto, la sucesion {xn} es de Cauchy y como el espacio es completo, sesigue que {xn} converge, digamos a un punto x0. Por otra parte, como Ai escerrado para toda i, se sigue que Ai = Ai. Notese que

{xn |n k} AkSe afirma que

niNAi = {x0}.

Si existe a0 X tal que a0 niN

Ai, entonces

0 d (x0, a0) diam (An) < ,

para n suficientemente grande. Por tanto, x0 = a0.

El siguiente resultado generaliza el teorema de Bolzano-Weierstrass de R.

Teorema 2.3.9 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto A Rn aco-tado infinito, tiene un punto de acumulacion.

48 2.3. Sucesiones

Demostracion. Sea A un subconjunto acotado con una cantidad infinita deelementos. Entonces existe una n-celda cerrada, digamos J1, tal que A J1.Bisecando cada una de sus aristas, dividimos a J1 en 2

n celdas cerradas. ComoA tiene una infinidad de puntos, entonces existe una n-celda cerrada J2, tal queJ2 J1 y que contiene una infinidad de elementos de A. Nuevamente, bise-cando cada una de las aristas de J2, encontraremos una celda cerrada J3 J2tal que contenga una infinidad de puntos de A. Repitiendo el proceso, obtene-mos una sucesion de n-celdas cerradas que satisface las hipotesis del Teorema

2.3.7. En consecuencia, existe un punto x0 Rn tal que x0 kN

Jk.

Por otro lado, si J1 = [a1, b1] [an, bn], definimos la medida de J1como

0 < l (J1) = sup {bi ai | i {1, ..., n}}.Luego

0 < l (Jk) =l (J1)

2k 1k N.

Sea U una vecindad de x0 y supongamos que B(2)r (x0) U , donde

B(2)r (x0) = {x Rn | ||x x0||2 < r}.

Sea k N tal que Jk U ; esto lo podemos hacer ya que

|xi| ||x||2 n sup {|xi| | i {1, ..., n}},

as, si w Jk, entonces

||x0 w||2 n l (Jk) =

n l (J1)

2k 1.

Luego, por propiedad arquimediana, existe k N suficientemente grande, talque

n l (J1)

2k 1< r.

Por tanto, para cada k N, se tiene que Jk U . Como Jk tiene unacantidad infinita de elementos de A, se concluye que U contiene al menos unelemento de A distinto de x0, es decir, x0 A, con lo que queda demostradoel teorema.

Teorema 2.3.10 Rn es un espacio metrico completo.

Demostracion. Sea {xn} una sucesion de Cauchy y sea R su recorrido. Si Res finito, entonces todos los terminos de la sucesion, salvo una cantidad finita,son iguales y, por tanto, {xn} converge. Por otra parte, si R es infinito, comouna sucesion de Cauchy es acotada (Por que?), se sigue que R es infinito yacotado y, por el teorema 2.3.9, R tiene un punto de acumulacion, digamos


x0. Esto ultimo quiere decir que para toda > 0 B 2 (x0) contiene un puntoxm R. Finalmente, como {xn} es de Cauchy, se obtiene que

d (xn, x0) d (xn, xm) + d (xm, x0) < si n,m N,

para alguna N N. Por tanto, xn x0. El Teorema 2.3.6 concluye laprueba.

2.4. Compacidad

La compacidad es otra de las condiciones mas importantes para resultados fun-damentales en muchas areas como la topologa, el analisis y el calculo. En estaseccion estudiaremos los conceptos basicos relacionados con la compacidad. Seanalizaran condiciones equivalentes a la compacidad. Estudiaremos los teore-mas fundamentales sobre compacidad en Rn y sus generalizaciones a espaciosmetricos. Para empezar, presentamos la definicion de cubierta.

Definicion 24 Sean X = (X, d) un espacio metrico, A X y C = {U}una coleccion de subconjuntos de X, donde es un conjunto de ndices. Sedice que C es una cubierta de A en X si

A

U.

Diremos que la cubierta es abierta (o cerrada), si U es abierto (o cerrado)para toda .

Si C C y C tambien es una cubierta, diremos que C es una subcubierta deC para A. Diremos que una cubierta es finita (o numerable), si como conjuntoes finito (o numerable). A continuacion, presentamos la definicion de conjuntoscompactos en espacios metricos.

Definicion 25 Sean X = (X, d) y A X. Se dice que A es compacto sitoda cubierta abierta de A contiene una subcubierta finita.

Ejemplos.

a) Sea X un espacio metrico y considerese un punto x en el espacio. Esclaro que el conjunto {x} es compacto.

b) Sea [a, b] un intervalo cerrado en R. Se afirma que [a, b] es compacto.Para ver esto, sea C = {C} una cubierta de [a, b] y defnase elconjunto

B = {x [a, b] | [a, x] se puede cubrir con una cantidad finita de elementos de C}.

Notese que B 6= , ya que al menos a B. Ademas, para todo x B,se tiene que b > x. Por la propiedad del supremo, existe s R tal que

50 2.4. Compacidad

s = sup B. Como a B y b > x para toda x B, se sigue ques [a, b]. En consecuencia, existe 0 tal que s C0 . Luego,existe > 0 tal que (s , s + ) C0 . Tambien, existe x B talque x (s , s), es decir, [a, x] tiene una subcubierta finita, digamos{C1, ..., Cn, C0} Por tanto,

[a, s + 2

]tiene una subcubierta finita, a

saber, {C1, ..., Cn, }. As, se concluye que s B. Se afirma que s = b.Si no, como

[a, s + 2

]tiene una subcubierta finita, entonces existe un

elemento r B tal que r > s, lo cual es una contradiccion. De estaforma, hemos demostrado que [a, b] es compacto.

c) Si A Rn es compacto y x Rm, entonces R = A {x} es unsubconjunto compacto en Rn Rm. Para verificar esta afirmacion, con-siderese una cubierta abierta C de R y defina la coleccion

B = {B Rn |B = {y A | (y, x) C}, para alguna C C}.

Es claro que B es una cubierta abierta de A. Como A es compacto, existeuna subcubierta de B para A, digamos B = {B1, ..., Bl}. Observesecada Bi se corresponde con un elemento Ci de C, i {1, ..., n}, gene-rando as una subcubierta finita para R. Por tanto, R es compacto. Sepuede demostrar, de manera inductiva que si

n 1 veces [M,M ] [M,M ] Rn 1

es un conjunto compacto, entonces

n veces [M,M ] [M,M ] Rn

es compacto.

d) Sea X = (X, d) el espacio metrico discreto y considerese un subconjuntoA en este espacio. Si A es finito, como los abiertos en este espacio son sub-conjuntos de X, se sigue que A es compacto. Ahora, si A es compacto,entonces toda cubierta abierta de A tiene una subcubierta finita. Comolos abiertos en X son subconjuntos de X, se sigue que A es finito. As,los unicos conjuntos compactos en el espacio metrico discreto son aquellossubconjuntos finitos de X.

Observese que en la definicion 25, podemos tomar A = X, en cuyo caso, es-taramos hablando de espacios metricos compactos. Por otro lado, los ejemplosanteriores muestran que trabajar con cubiertas, en ocasiones, es complicado.Veremos que existen relaciones importantes entre la compacidad y algunas pro-piedades de numerabilidad. Un resultado importante, es el teorema de Lindelof,el cual usaremos para demostrar el teorema de Heine-Borel. Para esto, necesi-tamos un resultado previo.


Proposicion 2.4.1 Sea

B = {Br (x) Rn | r Q, x = (x1, ..., xn), xi Q para toda i {1, ..., n}}.Sean y Rn y A Rn un conjunto abierto tal que y S. Entonces, existeuna bola Br (x) B tal que y Br (x) A.Demostracion. Sea y = (y1, ..., yn). Una primera observacion es que la co-leccion B es numerable. Si y Rn y A es un abierto tal que x A, entoncesexiste > 0 tal que B (y) A. Luego, por la propiedad arquimediana, existeun valor wk Q tal que

|yk wk| < 4n

para cada k {1, ..., n},

tomando w = (w1, ..., wn), se sigue que

||y w||2 ||y w||1 < 4.

Nuevamente, aplicando la propiedad arquimediana, existe r Q tal que

4< r 1

n

}.

Como d (x, y) > 0, para toda y X {x}, entonces y An, para algunan N. Se sigue que

A nN

An,

como A es compacto, entonces existe una subcubierta finita, a saber

A l

k= 1

Ank .

Tomese N = max {nk | k {1, ..., l}}. Si = 1N , por construccion,

B (x) Ac.

En conclusion, Ac es abierto.

Lema 2.4.4 Si X es un espacio metrico compacto y A es un conjunto cerradoen X , entonces A es compacto.

Demostracion. Sea {C} una cubierta abierta de A. Como A es ce-rrado, entonces {{C}, Ac} es una cubierta abierta de X. Como X escompacto , entonces existe una subcubierta finita, digamos {C1, ..., Cn, Ac}.Luego, {C1, ..., Cn} es una cubierta para A, concluyendo as la prueba.

El siguiente teorema es uno de los resultados centrales acerca de la compa-

cidad de subconjuntos de Rn.

Teorema 2.4.5 (Heine-Borel). Sea A Rn. A es compacto si y solo si escerrado y acotado.

Demostracion. Supongamos que A es compacto. Por el lema 2.4.3, A escerrado. Por otra parte, por el Teorema 2.4.2, existe una cubierta numerable debolas para A. Como A es compacto, existe una subcubierta finita de bolas,

digamos, {Bi (xi)}i{1,...,n}. Considerando M =n

i= 1

i se sigue que A es

acotado.Ahora, supongamos que A es cerrado y acotado. Consideremos una cubierta

C de A. Por el Teorema 2.4.5, existe una subcubierta numerable R = {Ak}kN


para A. Sea m 1 y tomese Smmk= 1

Ak. Observese que Sm Sm+ 1 y que

A mN

Sm.

Como Sm es abierto, entonces Scm es cerrado. Construyase la sucesion de con-

juntos dada por

Q1 = A, Qm = A Scm, m > 1.

Hacemos las siguientes observaciones

1. Qm = {puntos en A fuera de Sm}.2. Qm es cerrado para toda m N.3. Qm+ 1 Qm.4. Qm A, para toda m N y, por tanto, Qm es acotado.5. diam (Qm) 0 conforme m .

Aplicando el Teorema 2.3.8, se sigue que existe x A, tal que x Qm paratoda m N, esto es, x 6 Sm para toda m N, lo cual es una contradiccional hecho de que {Sm} es una cubierta de A. Por tanto, existe m N, tal queQm = , de donde se conlcuye que A es compacto.

Una segunda prueba de que un conjunto cerrado y acotado en Rn es com-

pacto, es la siguiente: Como A es acotado, existe una n-celda cerrada Jn, talque A Jn. Por el ejemplo c) posterior a la definicion 25, Jn es compacto.Como A es cerrado, por el Lema 2.4.4, se sigue que A es compacto.

Este resultado falla en general. Si consideramos un espacio discreto X ytomamos un subconjunto M infinito, este no es compacto como se vio en elejemplo d) posterior a la definicion 25. Sin embargo, M es cerrado y acotado,ya que

M B2 (x0) x0 MEjemplos.

1. Consideremos C = {x Rn | ||x||2 1}. Ya vimos que C es cerrado yclaramente es acotado. Por tanto C es compacto

2. Ya vimos que el conjunto dado por

R = {(x, y) R2 |x (a, b], y [c, d]},

no es un conjunto cerrado. As, R no es compacto.

54 2.4. Compacidad

3. Tomese el conjunto

R = {(x, y) R2 | y [c, d]}.

Este conjunto, aunque es cerrado, no es compacto ya que no es acotado.Para ver esto, observe que la recta y = c esta contenida en R.

Se puede dar otra descripcion de los conjuntos compactos, va sucesiones.

Definicion 26 Sea X un espacio metrico. Se dice que un subconjunto A essecuencialmente compacto si toda sucesion {xn} en A tiene una subsucesionque converge a un punto x0 en A.

No es difcil ver que un conjunto A en un espacio metrico es cerrado si ysolamente si, toda sucesion contenida en A convergente, converge dentro deA. La verificacion de este hecho se deja como ejercicio al lector. As, se afirmaque si A es secuencialmente compacto, entonces A es cerrado. En efecto, sea{xn} A tal que xn x0 X. Como A es secuencialmente compacto,se sigue que existe una subsucesion {xnk} tal que xnk x0, pero por laProposicion 2.3.5, se sigue que x0 = x

0, de donde se concluye que A es cerrado.

Tambien, si A es secuencialmente compacto, entonces es acotado, ya que, delo contrario, entonces existe x0 A y una sucesion {xn} A tales qued (x n, x0) n, de donde se concluira que no existe una subsucesion de{xn} convergente, lo cual es una contradiccion.

Ahora, probaremos otro teorema central para conjuntos compactos en espa-cios metricos: el teorema de Bolzano-Weierstrass. Ya hemos probado unaversion de este resultado en la seccion anterior, pero fue para Rn. Presentamossu generalizacion. Necesitamos algunos resultados previos.

Lema 2.4.6 Sean X un espacio metrico, A un conjunto secuencialmente com-pacto en X y {A} una cubierta abierta de A. Entonces, existe r > 0tal que para cada x A, Br (x) A para alguna . Al nfimo de losnumeros r se le conoce como numero de Lebesgue para la cubierta.

Demostracion. Supongamos que no existe dicho numero. Entonces, paratoda n N existe un punto xn A tal que B 1

n(xn) no esta contenida en

A, para cualquier . Como A es secuencialmente compacto, existe unasubsucesion {xnk} {xn} de tal forma que xnk x0 A. Dado que {A}es una cubierta de A, se tiene que x0 A0 para alguna 0 . Luego,existe > 0 tal que B (x) A0 . As, para n suficientemente grande,obtenemos que

d (xn, x0) 0,A no puede ser cubierto por una cantidad finita de bolas. Sea x1 A. ComoA no es totalmente acotado, eso implica que existe x2 (B (x1))c, luegoconsiderese un punto x3 (B (x1) B (x2))c y as sucesivamente, generandouna sucesion {xn} tal que

xn (n 1i= 1

B (xi)

)c.

De esta forma, hemos construido una sucesion tal que d (xn, xm) paracualesquiera n,m N. As, {xn} no tiene subsucesiones convergentes, lo cuales una contradiccion al hecho de que A es secuencialmente compacto. Por tanto,A es totalmente acotado.

Ahora, estamos en condiciones de probar el teorema de Bolzano-Weierstrass.

Teorema 2.4.8 (Bolzano-weierstrass). Sea X un espacio metrico. Un sub-conjunto A es compacto si y solo si es secuencialmente compacto.

Demostracion. Supongamos que A es compacto y que existe una sucesion{xn} A de tal manera que no tiene subsucesiones convergentes. Esto implicaque {xn} tiene recorrido R infinito. Ademas, existe una vecindad Un para cadaxn, n N, de tal forma que xm 6 Un si n 6= m, esto se sigue ya que de locontrario, podemos elegir vecindades de la forma B 1

k(xn), k N y seleccionar

una subsucesion que converja a xn. Ahora, R es cerrado, esto debido a que notiene puntos de acumulacion (no hay subsucesiones convergentes) y por tantoR = R. Como R es cerrado y A es compacto, por el Lema 2.4.4, se obtieneque R es compacto, lo cual es una contradiccion, ya que Un no tiene unasubcubierta finita. En consecuencia, {xn} tiene una subsucesion convergente y,dado que A es cerrado, el lmite yace en A.

Por otra parte, supongamos que A es secuencialmente compacto. Sea rcomo en el Lema 2.4.6; luego, por el Lema 2.4.7, obtenemos que

A n

i= 1

B (xi), donde xi A.

Ademas, por el Lema 2.4.6, B (xj) Aj , j {1, ...n}, donde {Aj} esuna coleccion de abiertos. Por tanto, hay una subcubierta finita para A, comose quera demostrar.

56 2.5. Compacidad

Para cerrar esta seccion, presentamos un resultado que relaciona los concep-tos de completez y compacidad.

Teorema 2.4.9 Un espacio metrico es compacto si y solo si es completo ytotalmente acotado.

Demostracion. Supongamos que X es compacto. Por el Teorema 2.4.8, Xes secuencialmente compacto y por el Lema 2.4.7, es totalmente acotado. Ahora,para ver que es completo, consideremos una sucesion de Cauchy {xn}. ComoX es secuencialmente compacto, se satisface, por un lado, que

d (xn, xm) N para alguna N N

y por otro lado

d (xnk , x0) N para alguna N N,

donde {xnk} es una subsucesion de {xn} y x0 X.As, obtenemos lo siguiente:

d (xn, x0) < d (xnk , xn) + d (xnk , x0) < ,

si nk, n > N .Por otra parte, supongamos que X es completo y totalmente acotado. De-

mostraremos que X es secuencialmente compacto. Sean {xn} una sucesioncontenida en X y R su recorrido. Si R es finito, entonces hay una subsucesionconvergente y si hay una cantidad finita de repeticiones las eliminamos. Ahora,supongamos que R es infinito. Como X es secuencialmente compacto, dadoN N existen elementos yL1 , ..., yLM X tales que

X Mi= 1

B 1N

(yLi).

Para N = 1, sea

X Mi= 1

B1 (yLi).

De esta forma, existe una subsucesion de {xn} que cae en una de estas bolas.Tomando N = 2, podemos construir otra subsucesion que yace en una de lasbolas de la forma B 1

2(yLi). Finalmente, eligiendo la subsucesion cuyo primer

elemento es el primero de la primera subsucesion, el segundo es el segundo dela segunda subsucesion, etcetera, generamos una sucesion de Cauchy, que porser el espacio completo, es convergente. As, X es secuencialmente compacto y,por el Teorema 2.4.8, se sigue el resltado.


2.5. Conexidad

Cerramos este captulo con otro concepto importante que es el de conexidad.Intuitivamente, es claro que significa que un conjunto sea conexo. Uno pensaraque un conjunto es conexo si es de una sola pieza. Sin embargo, existen conjuntosen donde nuestra intuicion puede fallar. Veremos que existen dos nociones deconexidad y estudiaremos la relacion entre ellas. Iniciamos esta seccion con ladefinicion de desconexion.

Definicion 28 Sea X = (X, d) un espacio metrico. Se dice que un subconjuntoA X es inconexo, si existen B,C subconjuntos de A, abiertos, tales que secumplen las siguientes condiciones

1. B 6= 6= C.2. B C = .3. A B 6= 6= A C4. A = B C.

A la pareja (B,C) se le conoce como desconexion de A. Se dice que A esconexo si no es inconexo.

Observese que en esta definicion, se puede tomar A = X y tenemos espaciosmetricos inconexos. Si X es un espacio inconexo, como X = B C, dondeB,C son abiertos, se tiene que B,C tambien son cerrados, ya que Bc = C yviceversa. As, tenemos el siguiente resultado.

Proposicion 2.5.1 Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. X es inconexo.

2. Existen dos subconjuntos A,B de X, cerrado

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