Notas de la materia de Cálculo IV -...

Notas de la materia de

Cálculo IV

Dr. Antonio Ramos Paz Profesor e Investigador Titular “B” de Tiempo Completo

Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH

Febrero 2017

UMSNH Cálculo IV FIE

Dr. Antonio Ramos Paz ii

Prologo

A continuación se presenta una recopilación de las notas de la materia de Cálculo IV que se ofrece dentro de la currícula de las carreras de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y en Computación en la Facultad de Ingeniería Eléctrica. Estas notas no pretenden reemplazar a los textos que sobre la materia han sido escritos, sin embargo si pretenden ser un material de apoyo para los estudiantes de la materia de Cálculo IV. En estas notas el lector encontrará el material completo que corresponde al curso de Cálculo IV. El material contenido en estas notas está organizado en 3 Unidades, las cuales abarcan los temas de Variable Compleja, Transformada de Laplace, Series de Fourier y Transformadas de Fourier. La unidad 1 por su extensión se divide en dos partes. El contenido de estas notas se ha formado por medio de la recopilación de materiales de varios autores, los cuales son citados en la Bibliografía de este texto, además de mi aportación de problemas relacionados con las áreas de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. Estas notas contienen en primera instancia los conceptos, definiciones y teoremas de cada uno de los temas antes mencionados. A continuación se presentan problemas resueltos en dónde se ilustra la aplicación de estos conceptos. Finalmente a final de cada Unidad se presentan una serie de problemas propuestos. Espero que estas notas sean de utilidad para mis alumnos de la materia de Cálculo IV, además de cualquier otra persona que considere de utilidad y además le sirva este material.

Atte.

Dr. Antonio Ramos Paz Profesor e Investigador Titular Facultad de Ingeniería Eléctrica

UMSNH


Dr. Antonio Ramos Paz iii

Contenido Programa sintético y desarrollado de la materia de cálculo IV ........................................................... 1

Unidad 1

Variable Compleja ................................................................................................................. 4

Ejercicios propuestos unidad (parte 1) .................................................................................. 47

Autoevaluación unidad 1 (parte 1) ........................................................................................ 52

Unidad 2

Integral Compleja .................................................................................................................. 53

Ejercicios propuestos unidad 1 (parte 2) ............................................................................... 81

Autoevaluación unidad 1 (parte 2) ........................................................................................ 84

Unidad 3

Serie de Laurent y teorema de los residuos ..........................................................................

Ejercicios propuestos unidad 2 .............................................................................................. 113

Unidad 4

Transformada de Laplace ...................................................................................................... 85


Autoevaluación unidad 2 ....................................................................................................... 115

Unidad 5

Introducción al análisis de Fourier ........................................................................................ 116


Autoevaluación unidad 3 ....................................................................................................... 139

Bibliografía........................................................................................................................................... 140


Dr. Antonio Ramos Paz 1

Nombre de la materia: CÁLCULO IV Clave: CB0003-T No. De horas /semana : 5 Duración semanas: 16 Total de Horas : 80 No. De créditos : 10 Prerrequisitos : CB0002-T

Programa Sintético 1. Elementos de la Teoría de Variable Compleja. .............................................................................. 20 hrs. 2. Integración en el plano complejo ................................................................................................. 20 hrs. 3. Serie de Laurent y teorema de los residuos ................................................................................. 12 hrs. 4. Transformada de Laplace. ............................................................................................................ 14 hrs. 5. Introducción al análisis de Fourier. ............................................................................................... 10 hrs. Exámenes parciales. ….................………………………………………….............………………………………………….. 4 hrs. Total ..... 80 hrs.

Programa Desarrollado 1. Elementos de la Teoría de Variable Compleja. (20 horas)

1.1. Repaso de números complejos 1.1.1. Formas de representación de números complejos: rectangular, polar, par ordenado, forma

gráfica, vectorial y forma exponencial. 1.1.2. Conversión de rectangular a polar 1.1.3. Conversión de polar a rectangular y corrección en el segundo y tercer cuadrantes. 1.1.4. Operaciones elementales con números complejos (suma, resta, multiplicación y división de

números complejos) 1.1.5. El argumento y el argumento principal de un número complejo 1.1.6. El complejo conjugado y sus propiedades 1.1.7. El módulo o magnitud de un número complejo y sus propiedades 1.1.8. Potencias y raíces de números complejos

1.2. Desigualdades y regiones en el plano complejo 1.3. Funciones de una variable compleja

1.3.1. Funciones componentes 1.3.2. Función de variable compleja como transformación o mapeo entre dos planos

1.4. Límites y continuidad de una función compleja 1.5. Derivada y derivabilidad de una función compleja 1.6. Condiciones necesarias para la derivabilidad de una función compleja y ecuaciones de Cauchy

Riemann. 1.6.1. Condiciones suficientes para la derivabilidad.

1.7. Funciones analíticas y puntos singulares. 1.8. Funciones Armónicas y la ecuación de Laplace. 1.9. Funciones exponenciales y logarítmicas 1.10. Funciones trigonométricas . 1.11. Funciones hiperbólicas.

Primer examen parcial (1 Hora). 2. Integración en el plano complejo. (20 horas)

2.1. Integrales de línea o de camino 2.1.1. Definición de camino o arco suave a trozos . 2.1.2. Caminos y su parametrización.



2.1.3. Definición de integral de camino o de línea y sus propiedades básicas. 2.1.4. Ejemplos de integración de funciones a lo largo de caminos abiertos y cerrados.

2.2. Independencia de la trayectoria y primitivas 2.3. El teorema de Cauchy-Gousart

2.3.1. Dominios simple y múltiplemente conexos 2.3.2. El principio de deformación de caminos.

2.4. Fórmulas integrales de Cauchy 3. Serie de Laurent y teorema de los residuos. (10 horas)

3.1. Sucesiones y series 3.1.1. Progresiones o sucesiones, término general, convergencia de una sucesión 3.1.2. Series, sucesión de sumas parciales, convergencia de una serie. 3.1.3. Ejemplos de sucesiones y series típicas (aritmética, geométrica, armónica y otras) 3.1.4. Serie geométrica y su convergencia 3.1.5. Expansión en serie de 1/(1-z).

3.2. Series de Taylor y Maclaurin y su región de convergencia. 3.3. Series de Laurent y su región de convergencia. 3.4. Definición de ceros, polos y residuos 3.5. Teorema de los residuos.

Segundo examen parcial (1 Hora). 4. Transformada de Laplace. (14 horas )

4.1. Origen de la transformación de Laplace 4.2. Definición de la Transformada de Laplace bilateral y unilateral de una función de variable real. 4.3. Cálculo de transformadas de Laplace mediante la definición. 4.4. Ejemplos de funciones típicas y su transformada. La función escalón, la función rampa. 4.5. Propiedades de la Transformada de Laplace

4.5.1. Propiedad de Linealidad 4.5.2. Primera propiedad de traslación (traslación o corrimiento real).

4.5.2.1. La función escalón con corrimiento y su transformada 4.5.2.2. La función pulso y su transformada 4.5.2.3. La función Impulso Unitario o Delta de Dirac y su transformada

4.5.3. Segunda propiedad de traslación (traslación o corrimiento complejo) 4.5.4. Transformada de la derivada y de la derivada múltiple 4.5.5. Transformada de la integral 4.5.6. Teorema del valor final 4.5.7. Teorema del valor inicial 4.5.8. Propiedad de cambio de escala.

4.6. La convolución y su transformada de Laplace 4.7. La transformada inversa de Laplace

4.7.1. La fórmula de inversión 4.7.2. Propiedades de la Transformada inversa de Laplace 4.7.3. Cálculo de la transformada inversa mediante el uso de Tablas y expansión en fracciones

parciales. 4.8. Solución de ecuaciones integro-diferenciales por medio de transformada de Laplace.

5. Introducción al análisis de Fourier. ( 10 horas)

5.1. Funciones y señales periódicas. 5.1.1. Definiciones. Función periódica, periodo fundamental, frecuencia fundamental, frecuencia en

Hertz, frecuencia angular 5.1.2. Funciones sinusoidales, Amplitud, frecuencia y fase.

5.2. Funciones ortogonales, ortogonalidad de funciones sinusoidales.



5.3. Series de Fourier en su forma trigonométrica para una señal de periodo arbitrario T. 5.3.1. Coeficientes de Fourier y su obtención 5.3.2. Valor promedio y componente de CD, componentes armónicas.

5.4. Series de Fourier en su forma exponencial compleja, espectro de frecuencia discreto. 5.5. Simetrías par e impar y serie de Fourier de señales simétricas 5.6. De la Serie a la Integral de Fourier 5.7. Formas equivalentes de la integral de Fourier 5.8. La transformada de Fourier. 5.9. Propiedades de la transformada de Fourier. 5.10. Transformada de Fourier para algunas funciones del tiempo simples. Espectro de frecuencia

continuo. 5.11. La función rect, la función sinc y la función sinc normalizada 5.12. Relación entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier. 5.13. Teoremas de Parseval y de Rayleigh. 5.14. Condiciones de existencia de la Transformada de Fourier. 5.15. Señales de energía finita y de potencia finita. 5.16. La densidad espectral de energía y de potencia. 5.17. La autocorrelación y la densidad espectral de energía.



Unidad 1

Elementos de la Teoría de Variable Compleja Introducción El sistema de los números reales fue el resultado de la búsqueda de un sistema (un conjunto abstracto con ciertas reglas) que incluyera a los números racionales, pero que también proporcionara soluciones a ecuaciones polinomiales tales como 2 2 0x − = Históricamente, una consideración similar dio origen a la extensión de los números reales. A principios del siglo XVI, Geronimo Cardano consideró ecuaciones cuadráticas y cúbicas tales como 2 2 2 0x x+ + = que no son satisfechas por ningún número real x . La formula

2 4

2b b ac

a− ± −

da expresiones formales para las dos soluciones de la ecuación 2 0ax bx c+ + = Pero esta formula puede requerir raíces cuadradas de números negativos, por ejemplo

1 1− ± − Para la ecuación 2 2 2 0x x+ + = Cardano notó que si estos “números complejos” son tratados como números ordinarios con la regla

1 1 1− ⋅ − = − Estos resolvían en efecto las ecuaciones.

Geronimo Cardano

Gradualmente, en especial con el trabajo de Leonhard Euler en el siglo XVIII estas cantidades imaginarias llegaron a desempeñar un papel importante. Por ejemplo, la formula de Euler cos senie iθ θ θ= +



Reveló la existencia de una profunda relación entre los números complejos y las funciones trigonométricas.

Leonardo Euler

Casper Wessel, Jean Robert Argand, Karl Friedrich Gauss, Sir William Hamilton y otros, clarificaron el significado de los numeros complejos y se comprendió que no hay nada de “imaginario” en ellos. 1.1 Definición de Variable compleja Los números complejos se definen como pares ordenados ( ),x y de números reales y pueden interpretarse como

puntos del plano complejo, con coordenadas rectangulares ,x y , tal y como puede observarse en la Figura siguiente.

Cuando el plano cartesiano se usa para representar números complejos se denomina plano de Argand. Se llama así en honor de Jean Argand, matemático suizo que en 1806 propuso esta representación para los números complejos.

Jean Argand

Los números complejos de la forma ( )0, y , correspondientes a puntos del eje y , se llaman números imaginarios

puros. El eje y se denomina, por esa razón, eje imaginario. La Figura siguiente muestra un número imaginario puro.

( ),x y

y

x



Es costumbre denotar un número complejo ( ),x y como z , de modo que,

( ),z x y=

Además, los números reales x e y se llaman parte real y parte imaginaria, respectivamente, de z . Escribiremos: Re z x= para denotar la parte real de z Y Im z y= para denotar la parte imaginaria de z Ejemplo: sea 3 4z i= + , se tiene que: Re 3z = e Im 4z = Igualdad de números complejos Dos números complejos ( )1 1 1,z x y= y ( )2 2 2,z x y=

se consideran iguales si y sólo si, tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias. Por tanto, afirmar que

1 2z z= equivale a decir que 1z y 2z corresponden al mismo punto del plano complejo. Operaciones con números complejos Son dos las operaciones básicas que se pueden realizar con los números complejos:

• Suma • Multiplicación por un escalar

Suma de números complejos La suma de dos números complejos, 1z y 2z , se define como ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,z z x y x y x x y y+ = + = + +

Ejemplo: Sean los números complejos 1 2 3z i= + y 2 5 9z i= + se tiene que la suma de 1z y 2z es: ( ) ( )1 2 2 5 3 9 7 12z z i i+ = + + + = +

( )0, y

y

x



Multiplicación por un escalar El producto de un número complejo z x iy= + por un escalar α ∈ está definido como: z x i yα α α= + Ejemplo: sea 3 4z i= + , calcular 6z Solución ( )6 6 3 4 18 24z i i= + = +

Multiplicación de números complejos El producto de dos números complejos, 1z y 2z , se define como ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z x iy x iy x x ix y ix y y y⋅ = + + = + + −

Reacomodando ( )( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z x iy x iy x x y y i x y x y⋅ = + + = − + +

Ejemplo: Sean los números complejos 1 2 3z i= + y 2 5 9z i= + . El producto de 1z y 2z es: ( ) ( )1 2 2 5 3 9 3 5 2 9 17 33z z i i⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − +

Propiedades algebraicas básicas de los números complejos Leyes conmutativas 1 2 2 1z z z z+ = + 1 2 2 1z z z z= Leyes asociativas ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z+ + = + + ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z=

Ley distributiva

( )1 2 3 1 2 1 3z z z z z z z+ = +

Identidad aditiva 0z z+ = Identidad multiplicativa 1z z⋅ = A cada complejo ( ),z x y= se le asocia un inverso aditivo

( ),z x y− = − −

que satisface la ecuación,



( ) 0z z+ − =

Los inversos aditivos se utilizan para restar números, ( )1 2 1 2z z z z− = + −

Dado cualquier número complejo ( ),z x y= no nulo, existe un número 1z− tal que 1 1zz− = . Para encontrar el

inverso multiplicativo buscamos dos números u y v , en términos de x e y tales que, ( )( ) ( ), , 1,0x y u v =

se tiene que: 1xu yv− = 0yu xv+ = el sistema de ecuaciones anteriores da como resultado,

2 2

xux y

=+

2 2

yvx y−

=+

Así pues, el inverso multiplicativo de ( ),z x y= es,

12 2 2 2,x yz

x y x y− −= + +

( )0z ≠

En base a la definición anterior se puede calcular la división entre 1z y 2z como:

111 2

2

z z zz

−=

Ejemplo: sea 1 2 3z i= + y 2 4 2z i= + . Calcular 1

2

zz

.

Solución.

( )111 2 2 2 2 2

2

4 2 7 22 310 54 2 4 2

z iz z i iz

− = = + − = + + +

Ejercicio: calcular los valores numéricos de las siguientes expresiones. Escribir el resultado en la forma a bi+

• ( ) ( )3 4 1 2i i+ + +

• ( ) ( )3 4 1 2i i+ + −

• ( )( )( )1 2 1 2 3 4i i i+ − +

• ( )( )Im 3 4 1 2i i+ −



• 2 21 1

i i ii i

+ −+ +

− +

• 31

1ii

+ −

• 22 2

3 4 3 4i ii i

+ − + −

• 5i

• 5i−

• Si ( )( )c id e if ib+ + = , donde , , ,b c d e y f son números reales, halle e y f en términos de ,b c y d

Ejercicio: demostrar que:

• ( )Re Imiz z=

• ( )Im Reiz z=

• ( ) ( ) ( )2 22Re Re Imz z z= −

• ( ) ( )( )2Im 2 Re Imz z z=

Ejercicio: ¿cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos en general para dos números complejos cualquiera?

• ( )1 2 1 2Re Re Rez z z z+ = +

• ( )1 2 1 2Re Re Rez z z z=

• ( )1 1Re Rez zα α= donde α ∈

• ( ) ( )1 2 2 1Im Imz z z z− = − −

• ( )1 2 1 2Re Re Rez z z z=

• ( ) ( )2 21 2 2 1Im Imz z z z − = − −

Módulos Es natural asociar cada número complejo x x iy= + no nulo con el segmento dirigido, o vector, desde el origen

hasta el punto ( ),x y que representa z en el plano complejo. De hecho, nos referimos con frecuencia a z como

el punto z o el vector z . El módulo, o valor absoluto, de un número complejo x x iy= + se define como el número real no negativo

2 2x y+ y se denota por z , esto es,

2 2z x y= +



geométricamente, el número z es la distancia del punto ( ),x y al origen, o sea, la longitud del vector posición de

z . Se reduce al valor absoluto usual de los números reales, cuando 0y = .

Ejemplo: sea 3 4z i= + , calcular z .

Solución

2 23 4 25 5z = + = =

Téngase bien presente que mientras la desigualdad 1 2z z< carece de sentido, salvo que 1z y 2z sean números

reales, la desigualdad 1 2z z< tiene sentido y significa que el punto 1z está más cercano al origen que el punto

2z .

Ejemplo: Dado que 3 2 13i− + = y 1 4 17i+ = , el punto -3+2i está más cercano del origen que 1+4i.

Ejemplo: demostrar que 1a bib ai+

=+

Solución

Realizando la división a bib ai++

se tiene que:

2 2

2 2 2 2

2a bi ab b a ib ai a b a b+ −

= ++ + +

calculando la magnitud del número complejo se llega a:

( ),x y

y

x

z

1z

y

x

2z



( )

2 2 4 2 2 4

2 2 2 2 22 2

2 2 1ab b a a a b bia b a b a b

− + ++ = =

+ + +

Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos ( )1 1 1,z x y= y ( )2 2 2,z x y= es:

1 2z z−

donde:

( ) ( )2 21 2 1 2 1 2z z x x y y− = − + −

Ejemplo: sea 1 2 3z i= + y 2 5 4z i= − , calcular 1 2z z−

Solución

( ) ( )2 21 2 2 5 3 4 9 49 58z z− = − + − − = + =

Los números complejos z correspondientes a los puntos de la circunferencia de centro y radio R satisfacen,

en consecuencia, la ecuación 0z z R− = , Este conjunto de puntos se denomina circunferencia 0z z R− = .

Ejemplo: La ecuación 1 3 2z i− + = representa la circunferencia de centro ( )0 1, 3z = − y radio 2R = .

De la definición ( ),z x y= se sigue además que los números reales z , Re z x= e Im z y= están relacionados

por la igualdad,

( ) ( )2 2 2Re Imz z z= +

Así pues,

1z

y

x

2z1 2z z−

0z

y

x

0z

R



Re Rez z z≤ ≤

e Im Imz z z≤ ≤

Ejemplo: sea el número complejo 3 4z i= + se observa que Re Rez z z≤ ≤

( ) ( )Re 3 4 Re 3 4 3 4

3 3 5

i i i+ ≤ + ≤ +

≤ ≤

además que Im Imz z z≤ ≤

( ) ( )Im 3 4 Im 3 4 3 4

4 4 5

i i i+ ≤ + ≤ +

≤ ≤

formularemos a continuación la desigualdad triangular, que proporciona una cota superior para el módulo de la suma de dos números complejos 1z y 2z , 1 2 1 2z z z z+ ≤ +

esta desigualdad establece simplemente que la longitud de uno de los lados de un triángulo es menor o igual que la suma de las longitudes de uno de los otros dos lados. La desigualdad anterior se convierte en igualdad cuando 0, 1z

y 2z son colineales. Consecuencia inmediata de la desigualdad triangular es esta otra desigualdad, 1 2 1 2z z z z+ ≥ −

se tiene además que, 1 2 1 2z z z z± ≤ +

1 2 1 2z z z z± ≥ −

La desigualdad triangular se puede generalizar por inducción a sumas con un número finito de términos: 1 2 3 1 2 3n nz z z z z z z z+ + + + ≤ + + + +

Ejercicio: demuestre que:

1 2

1 2

1z zz z−

≤+

para 1 2 0z z+ ≠

Ejemplo: Dados los conjuntos A y B representados por: 1 3z − < y 2 2z i− <

Representar:



a) A B∩ b) A B∪

El conjunto A representa una circunferencia con centro en ( )1,0 y radio de 3 unidades, en tanto que B

representa una circunferencia de centro en ( )0,2 y radio de 2 unidades.

La Figura 1 muestra la intersección de A y B en tanto que la Figura 2 muestra la unión de A y B

Figura 1 Figura 2

Ejemplo: Representar gráficamente 3 23

zz−

=+

Solución

3 23

zz−

=+

Puede expresarse como, 3 2 3z z− = +

Expresando z como x iy+

( ) ( )2 22 23 2 3x y x y− + = + +

Elevando ambos miembros al cuadrado

( ) ( )( )2 22 23 4 3x y x y− + = + +

Realizando operaciones y simplificando 2 2 10 9 0x y x+ + + = O bien

( ) ( )2 2 25 0 4x y+ + + =

La expresión anterior representa una circunferencia de centro en ( )5,0− y radio de 4 unidades.



Conjuntos de puntos en el plano completo A continuación se establecen algunas definiciones esenciales y terminología acerca de conjuntos en el plano complejo. Circulos: sea 0 0 0z x iy= + . Debido a que

( ) ( )2 20 0 0z z x x y y− = − + −

es la distancia entre los puntos z y 0z , los puntos z que satisfacen la ecuación 0z z ρ− = donde 0ρ >

están en el circulo de radio ρ centrado en el punto 0z .

Discos y vecindarios Los puntos z que satisfacen la desigualdad 0z z ρ− ≤ pueden estar dentro o sobre el circulo 0z z ρ− = . Se

dice que los puntos definidos por 0z z ρ− ≤ es un disco de radio ρ centrado en 0z . Los puntos z que satisfacen

la desigualdad estricta 0z z ρ− < están dentro y no en circulo de radio ρ centrado en el punto 0z . Este conjunto

se denomina vecindario de 0z . En algunas ocasiones se necesitará un vecindario de 0z que excluya a 0z . Tal

vecindario se define por la desigualdad 00 z z ρ< − < y se denomina vecindario suprimido.

Conjuntos abiertos Un punto 0z se dice que es un punto interior de un conjunto S del plano complejo si existe algún vecindario de 0z que está completamente dentro de S . Si cada punto z de un conjunto S es un punto interior se dice que es un conjunto abierto.

Por ejemplo, la desigualdad Re 1z > define la mitad del plano derecho, el cual es un conjunto abierto. Todos los números complejos z x iy= + , para los cuales 1x > están en este conjunto. Si se escoge por ejemplo, el número

complejo 0 1.1 2z i= + , entonces un vecindario de 0z pertenece completamente al conjunto que está definido por

( )1.1 2 0.05z i− + > . Por otro lado, el conjunto S de puntos en el plano complejo definidos por Re 1z ≥ no es

abierto debido a que cada vecindario de un punto sobre la línea 1x = debe contener puntos en S y los puntos no están en S .

ρ

0z

0z z ρ− =

x

y

0z

S



Si cada vecindario de un punto 0z de un conjunto S contiene al menos un punto de S y al menos un punto no

está en S , entonces se dice que 0z es una punto frontera de S . Para el conjunto de puntos definidos por Re 1z ≥ , los puntos sobre la línea vertical 1x = son puntos frontera. Los puntos que pertenecen al circulo

2z i− = son puntos frontera para el disco 2z i− ≤ así como también para el vecindario 2z i− < de z i= .

Anillos el conjunto 1S de puntos que satisfacen la desigualdad 1 0z zρ < − se encuentran en el exterior del circulo

de radio 1ρ con centro en 0z , mientras que el conjunto 2S de puntos que satisfacen la desigualdad 0 2z z ρ− < se

encuentran en el interior del circulo de radio 2ρ con centro en 0z . Entonces, si 1 20 ρ ρ< < , entonces el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad simultánea, 1 0 2z zρ ρ< − <

es la intersección de los conjuntos 1S y 2S . La intersección es un anillo circular abierto centrado en 0z .

Dominio si cualquier par de puntos 1z y 2z en un conjunto S se pueden conectar por medio de una línea poligonal que consiste en un número finito de segmentos de recta unidos uno después del otro, los cuales están completamente en el conjunto, entonces el conjunto S se dice que está conectado. Un conjunto conectado abierto se llama dominio.

Regiones una región es un dominio en el plano complejo junto con todos, algunos o ningún de sus puntos frontera. Debido a que un conjunto abierto conectado no contiene puntos frontera, es automáticamente una region. Un conjunto que contiene todos sus puntos frontera se dice que es cerrado.

1ρ

0z

1 0 2z zρ ρ< − <

x

y

2ρ

1z2z S

ρ

0z

0z z ρ− =

x

y

ρ

0z

0z z ρ− ≤

x

y



Conjuntos acotados Se dice que un conjunto S en el plano complejo es acotado si existe un número real 0R > tal que z R< para

cada z en S , esto es, S es acotado si puede ser completamente encerrado dentro de algún vecindario del origen. Complejos conjugados

El complejo conjugado, o simplemente el conjugado, de un número complejo z x iy= + se denota por z y se

define como el número complejo x iy− , esto es, z x iy= −

El número z viene representado por el punto ( ),x y− , el reflejado de ( ),x y , punto representativo de z , en eje

real. Nótese que,

z z= además de que

z z=

para todo z . Puede ser demostrado que, 1 2 1 2z z z z+ = + Solución

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2x iy x iy x x i y y x x i y y+ + + = + + + = + − +

Lo cual puede representarse como ( )1 2 1 2 1 1 2 2 1 2x x i y y x iy x iy z z+ − + = − + − = +

Puede demostrarse adicionalmente que 1 2 1 2z z z z− = − 1 2 1 2z z z z=

1 1

2 2

z zz z

=

La suma de z z+ de un número complejo z x iy= + con su conjugado z x iy= − es el número real 2x . Y la

diferencia z z− es el número imaginario puro 2iy , así pues,

Re2

z zz += Im

2z zz

i−

= −

O bien,

2

z zx += e

2z zy

i−

= −



Una identidad importante que relaciona el conjugado de un número complejo z x iy= + con su módulo es,

2zz z=

Puede ser demostrado que, 1 2 1 2z z z z=

y

11

2 2

zzz z

= ( )2 0z ≠

Ejemplo: usar las propiedades de los complejos conjugados y de los módulos para probar que:

3 3z i z i+ = − Solución

3 3 3z i z i z i+ = + = −

Ejemplo: la propiedad 1 2 1 2z z z z= afirma que 22z z= y . Por tanto, si z es un punto interior al

círculo de radio 2 con centro en el origen, de modo que 2z < , de la forma generalizada de la desigualdad

triangular se tiene que:

3 23 23 2 1 3 2 1 25z z z z z z+ − + ≤ + + + <

Ejemplo: probar que Re2

z zz +=

Solución Sustituyendo z por x iy+ además de Re z x=

2

x iy x iyx + + −=

Realizando operaciones se demuestra que x x= Ejemplo: describir y construir la gráfica del lugar representado por la ecuación ( )2 3z z + =

Ejemplo: Si 1 1z i= − 2 2 4z i= − + 3 3 2z i= − hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:

a. 22 22 2 2

31 2 2z z z z+ + −

b. ( )( )2 3 1 3z z z z+ −

Ejemplo: verificar la validez de las siguientes expresiones:

• 1 2 1 2z z z z− = −

33z z=



• 1 2 1 2z z z z= ⋅

• ( ) ( )1 2 1 2Re Rez z z z= ⋅

Forma polar de un número complejo Sean r y θ las coordenadas polares del punto ( ),x y correspondiente al número complejo no nulo z x iy= +

Como, cosx r θ= e seny r θ= el número complejo z se puede escribir en forma polar como, ( )cos senz r iθ θ= +

O bien, z r θ= la cual es la representación polar de un número complejo. Ejemplo: expresar en forma polar el número complejo 1z i= + Solución

2 21 1 2r z= = + =

1 1tan1 4

πθ − = =

Por lo que,

24

z π= o bien 2 45z = °

Ejercicio: reduzca las siguientes expresiones a la forma polar r θ

• 31 2

1i ii

+ + −

• ( ) ( )

( )

21 233 24

i i

i π+ +

+

z

y

x

θ

r



Argumento de un número complejo En el análisis complejo, no se admiten valores negativos para el número real r , que es la longitud de la posición de z , es decir,

r z=

el número real θ representa el ángulo, en radianes, que forma el vector posición de z con el semieje real positivo.

θ tiene valores infinitos posibles, incluyendo valores negativos que difieren entre si por un múltiplo entero de 2π . Tales valores pueden hallarse a partir de la ecuación,

tan yx

θ =

donde hay que especificar el cuadrante que contiene al punto z . Cada valor posible de θ se llama un argumento de z y el conjunto de todos esos valores se denota por arg z . El

argumento principal de z , denotado por Argz , es el único valor Θ del argumento que π π− < Θ ≤ Nótese que, arg Arg 2z z nπ= + ( )0, 1, 2,n = ± ±

Téngase presente que cuando z es un número real negativo, Argz vale π , no π− Ejemplo: el número complejo 1 i− − que está en el tercer cuadrante, tiene como argumento principal,

34π− , esto es,

( ) 314

Arg i π− − = −

debido a la restricción π π− < Θ ≤ sobre el argumento principal, no es cierto que,

( ) 514

Arg i π− − =

Forma exponencial de un número complejo El símbolo ie θ , o bien ( )exp iθ , se define mediante la formula de Euler,

cos senie iθ θ θ= +

θ

x

yz x i y= +

θ

x

yz x i y= +



donde θ se mide en radianes. Esto nos permite expresar la forma polar de un modo más compacto en forma exponencial como, iz re θ= Ejemplo: expresar en forma exponencial el número complejo 1z i= + Solución

2r z= =

1 1tan1 4

πθ − = =

Por lo que

42i

z eπ

= o bien 452 iz e= Demostración de la formula de Euler Se sabe que

0 1 2 3 4 2 3 4

10! 1! 2! 3! 4! 2! 3! 4!

x x x x x x x x xe x= + + + + + = + + + + +

3 5 7 9

sen3! 5! 7! 9!x x x xx x= − + − + +

2 4 6 8

cos 12! 4! 6! 8!x x x xx = − + − + +

Se tiene que,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 4 5 6 7 8

0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!i i i i i i i i i i

e θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= + + + + + + + +

Desarrollando

2 3 4 5 6 7 8

12! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

i i i ie iθ θ θ θ θ θ θ θθ= + − − + + − − + +

Reacomodando

2 4 6 8 3 5 7 9

12! 4! 6! 8! 3! 5! 7! 9!

ie iθ θ θ θ θ θ θ θ θθ

= − + − + + + − + − +

O bien cos senie iθ θ θ= + Productos y cocientes en forma exponencial Por trigonometría elemental se sabe que ie θ tiene las propiedades aditivas bien conocidas de la función exponencial en el cálculo: ( )( )1 2

1 1 2 2cos sen cos seni ie e i iθ θ θ θ θ θ= + +

( )1 21 2 ii ie e e θ θθ θ += así pues, si 1

1 1iz r e θ=



22 2

iz r e θ= el producto 1 2z z se expresa en forma exponencial como: ( )1 21 2

1 2 1 2 1 2ii iz z r r e e r r e θ θθ θ += =

además se tiene que:

( )

( )1 21 2

1 2

2 2

1 1 1 10

2 2 2 2

ii ii

i i i

z r r re e e ez r r ree e

θ θθ θθ θ

θ θ

−−−

−= = =

se tiene que el inverso de cualquier número complejo iz re θ= es

1 1 1 iz ez r

θ− −= =

se tiene además que: ( )1 2 1 2arg arg argz z z z= +

Ejemplo: Para 1 1z = − y 2z i= Se tiene que,

( ) ( )1 2 2Arg z z Arg i π

= − = −

pero

( ) ( )1 23

2 2Arg z Arg z ππ π+ = + =

no obstante, si tomamos los valores de 1arg z y 2arg z usados y elegimos para ( )1 2arg z z el valor

( )1 232 2

2 2Arg z z ππ π π+ = − + =

Aplicando formalmente las reglas de los números reales a iz re θ= se tiene que, n n inz r e θ= ( )0, 1, 2, 3,n = ± ± ±

si r = 1 se tiene que:

( )ni ine eθ θ= ( )0, 1, 2, 3,n = ± ± ±

esta igualdad, cuando se escribe en la forma:

( )cos sen cos senni n i nθ θ θ θ+ = + ( )0, 1, 2, 3,n = ± ± ±

se conoce como formula de De Moivre Ejemplo: calcular 10z para 1z i= +



Solución

Se tiene que 2r = además de que 4πθ = . Expresando el número complejo en forma exponencial se tiene que,

42i

z eπ

= Elevando ambos miembros a la potencia 10

( ) ( ) 5101010 4 2 5 52 32 32 cos sen 322 2

i iz e e i i

π π

π π = = = + =

Ejercicio: escribir cada una de las siguientes expresiones en la forma a bi+ y en la forma r θ :

• ( )93 i− +

• 3

24π

−

• ( )121 2i+

• ( ) 52 i −+

Raíces de números complejos Consideremos un punto iz re θ= situado en la circunferencia de radio r centrada en el origen, tal y como se observa en la Figura siguiente,

Al crecer θ recorre la circunferencia en sentido anti-horario. En particular, cuando θ aumenta su valor en 2π , regresamos al punto inicial. Y lo mismo es cierto si el valor de θ disminuye en 2π . Por consiguiente, es evidente de la Figura anterior que dos números complejos no nulos, 1

1 1iz r e θ= y 2

2 2iz r e θ=

son iguales si y solo si, 1 2r r= y 1 2 2kθ θ π= + donde k es cualquier entero 0,1, 2,k =

En base a la observación anterior y a la expresión n inz rn θ= para las potencias enteras de los números complejos iz re θ= , es útil para hallar las raíces n-ésimas de un número complejo 0

0 0iz r e θ= , donde 2,3,n =

Las raíces n-ésimas de 0z son los números complejos:

iz re θ=

y

x

θr

iz re θ=

y

x

θr



0 2k

innz re

θ π+ = ( )0, 1, 2, 3,k = ± ± ±

en esta expresión en forma exponencial se aprecia que todas las raíces están situadas en la circunferencia

centrada en el origen, y están uniformemente espaciadas cada 2nπ

radianes, a partir del

argumento inicial 0

nθ

. Las raíces distintas se obtienen al hacer 0,1,2,3, , 1k n= − .

0 2

1/k

in nnz re

θ π+ = para 0,1,2,3, , 1k n= −

o en forma rectangular se tiene que,

1/ 0 02 2cos senn n k k

z r in n

θ π θ π + + = +

0,1,2,3, , 1k n= −

Ejemplo: hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente ( )1/54 4i− +

2 24 4 32ρ = + = 1 4tan 1354

θ − = = ° −

1/ 360 360cos sennk

k kz p in n

θ θ + + = +

para 0 1 0 4k n= − =

( ) ( ) ( )1/5

0

135 360 0 135 360 032 cos sen

5 5z i

+ + = +

0 2 cos 27 sen27z i= +

1 2 cos99 sen99z i= +

2 2 cos171 sen171z i= +

3 2 cos 243 sen243z i= +

4 2 cos315 sen315z i= +

Ejemplo: hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente ( )1/664

2 264 0 64ρ = + =

1 0tan 064

θ − = = °

1/ 360 360cos sennk

k kz p in n

θ θ + + = +

para 0 1 0 5k n= − =

0nz r=

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5



( ) ( ) ( ) 1/60

0 360 0 0 360 064 cos sen 2 cos 0 sen0

6 6z i i

+ + = + = +

0 2 cos 0 sen0z i= +

1 2 cos 60 sen60z i= +

2 2 cos120 sen120z i= +

3 2 cos180 sen180z i= +

4 2 cos 240 sen240z i= +

5 2 cos300 sen300z i= +

Ejemplo: hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente 2/3i

2 20 1 1ρ = + =

1 1tan 1800

θ − = = °

1/ 360 360cos sennk

k kz p in n

θ θ + + = +

para 0 1 0 2k n= − =

( ) ( ) ( ) 1/30

180 360 0 180 360 01 cos sen cos 60 sen60

3 3z i i

+ + = + = +

0 cos 60 sen60z i= + 1 cos180 sen180z i= + 2 cos300 sen300z i= +

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1 0 1 2



Ejemplo: determinar las soluciones de la ecuación 2 1w i− = − . Solución

Se tiene que: 1w i= − + Por lo que las soluciones de la ecuación serán las raíces cuadradas de 1 i− + La primera raíz está dada por:

( ) ( )

0

135 360 0 135 360 02 cos sen 0.4551 1.0987

2 2z i i

+ + = + = +

( ) ( )

1

135 360 1 135 360 12 cos sen 0.4551 1.0987

2 2z i i

+ + = + = − −

Ejemplo: determinar las soluciones de las siguientes ecuaciones. Exprese el resultado en la forma a bi+ .

• 24 4 0w w i+ + =

• 6 32 2 0w w− + =

• 2 3w i− = −

• 4 22 3 4 0w w− + =

• 6 32 1 0z iz− − = Ejercicio: escriba las siguientes expresiones en la forma a bi+ . Proporcione además todos los valores. Represente finalmente los resultados en una gráfica polar:

• 1/3i

• ( )1/21 i+

• ( ) 1/21 i −−

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.2 -0.7 -0.2 0.3 0.8



Funciones complejas Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento

de A un único elemento de B . Si b es el elemento del conjunto B asignado al elemento a del conjunto A a través de f , se dice que b es la imagen de a y se escribe ( )b f a=

El conjunto A recibe el nombre de dominio. El conjunto de todas las imágenes de B se denomina rango de la función. Cuando el dominio A de la definición anterior es un conjunto de números complejos Z , se dice que f es una

función de una variable compleja Z , o en forma abreviada, una función compleja. La imagen w de un número complejo Z es algún número complejo u iv+ , esto es, ( ) ( ) ( ), ,w f z u x y iv x y= = +

Donde u y v son las partes real e imaginaria de w y son funciones de valores reales.

Transformación del plano z al plano w

Ejemplo: encontrar la imagen de la línea Re 1z = bajo la transformación ( ) 2f z z= .

Solución ( ) ( ) ( )2 2 2 , ,f z x y ixy u x y iv x y= − + = +

Por lo que, ( ) 2 2,u x y x y= − (1)

Y ( ), 2v x y xy= (2)

Se tiene además que Re 1z = Por lo que, 1x = (3) Sustituyendo (3) en (1) y (2)

z

x

y

w

u

v

( )w f z=

Dominio de f Rango de f



21u y= − (4) y 2v y= (5) Despejando y de (5) y sustituyendo en (4)

2

14vu = −

La expresión anterior representan una parábola con vértice en (1,0) y apertura hacia el eje de las abscisas negativas.

Ejercicio: encuentre la imagen en el plano w de las rectas coordenadas ctex = e ctey = bajo la transformación

1 32 4

zwz

+=

+

Ejercicio: encuentre la imagen en el plano w de las rectas coordenadas 4y x= + bajo la transformación 2w z= Ejercicio dibuje la imagen en el plano w del cuadrado unitario cuyos lados son las rectas 0y = , 1y = , 0x = y

1x = bajo la transformación w iz= . Ejemplo: para cada una de las siguientes funciones, calcule ( )1 2f i+ :

• z

z z−

• 1x iy

z−+

• 1sen cosx i y+

Ejemplo: Si f está definida en el conjunto 0z ≠ mediante

1wz

=

nos podemos referir a ella como la función

1wz

=

o simplemente como la función 1z

x

y

u

v

( ) 2f z z=

Dominio de f Rango de f1x =



Supongamos que w u iv= + es el valor de una función f en z x iy= + , de modo que, ( )u iv f x iy+ = +

Cada uno de los números reales u y v dependen de las variables reales x e y así que ( )f z se puede expresar por

medio de un par de funciones reales x e y , ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= +

Si se usan las coordenadas polares r , θ en lugar de x e y ,se puede escribir, ( )iu iv f re θ+ =

donde w u iv= + y iz re θ= por lo que, ( ) ( ) ( ), ,f z u r iv rθ θ= +

Ejemplo: si ( ) 2f z z= , entonces

( ) ( )2 2 2 2f x iy x iy x y ixy+ = + = − +

por tanto, ( ) 2 2,u x y x y= −

( ), 2v x y xy=

Si la función v , en cualquiera de las ecuaciones anteriores, tiene siempre valor cero, el valor de f siempre es real.

En otras palabras, f es una función real de una variable compleja.

Ejemplo: ( ) 2 2 2 0f z z x y i= = + +

Ejemplo: expresar ( ) 3 1f z z z= + + en la forma ( ) ( ), ,u x y iv x y+ .

Solución

Se sabe que z x iy= + , por lo que ( )3 1x iy x iy+ + + +

Realizando operaciones ( )3 2 2 33 1 3x xy x i x y y y− + + + − +

Por lo que, ( ) 3 2, 3 1u x y x xy x= − + +

y ( ) 2 3, 3v x y x y y y= − +



Ejemplo: sea ( ) 2 3f z z z= + . Encontrar u y v y calcular el valor de f en 1 3z i= + .

( ) 2 2Re 3u f z x y x= = − +

( )Im 2 3v f z xy y= = +

( )1 3 5 15f i i+ = − +

Ejemplo: sea ( ) 2 6f z iz z= + . Encontrar u y v y calcular el valor de f en 1 42

z i= + .

Solución:

( )Re 6 2u f z x y= = −

( )Im 2 6v f z x y= = −

1 4 5 232

f i i + = − −

Ejemplo: encontrar la parte real e imaginaria u y v de la función compleja ( )f z z= en términos de r y θ .

Solución Se sabe que cosx r θ= además de que seny r θ= por lo que, ( ) cos senf z r irθ θ= −

finalmente se tiene que, ( ), cosu r rθ θ= y ( ), senv r rθ θ= −

Ejemplo: encontrar la parte real e imaginaria u y v de la función compleja ( ) 4f z z= en términos de r y θ .

Solución Se sabe que cos senz r irθ θ= + por lo que,

( ) ( ) ( )4 4cos sen cos 4 sen4f z z r ir r iθ θ θ θ= = + = +



finalmente se tiene que, ( ) 4, cos 4u r rθ θ= y ( ) 4, sen4v r rθ θ=

Ejercicios: escribir las siguientes funciones de z en la forma ( ) ( ), ,u x y iv x y+ , además en la forma

( ) ( ), ,u r iv rθ θ+ :

• ( )2z i−

• 2z i+

• 1z i− +

• 3z

• 3 23z z+

• 2 12

zz+

A veces la función ( )w z se expresa en términos de las variables x e y en lugar de z directamente. A menudo la

expresión de w , en términos de x e y puede volverse a escribir fácilmente en términos de z , esto se realiza mediante el uso de las identidades:

2

z zx +=

e

2

z zyi−

=

Ejemplo: exprese ( ) ( )2 2 2w x iy x y i xy+ = − + en términos de z .

Solución

( )2 2

22 2 2 2

z z z z z z z zf z ii i

+ − + −= − +

realizando operaciones se tiene que,

( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 2

4 4 2

z zz z z zz z z zf z

+ + − + −= + +

Simplificando

( )( ) ( )2 22 2 2

22 2 4

4 2 4

z z z z zf z z+ −

= + = =

Ejemplo: exprese

( ) 2 22 x iyw x iy x iyx y−

+ = + ++

En términos de z . Solución



Realizando la sustitución

( ) 2 2

2 22

2 2

2 2

z z z ziiz z z zw z i

i z z z zi

+ −−

+ − = + + + −+

Realizando operaciones y simplificando

( ) 3 12 2

zw z zz

= + +

Ejemplo: escribir las siguientes funciones en términos de la variable z

• ( )2 22xy i x y− + −

• ( )2 22xy i x y− + +

• 2 2x iy+

• 2 2x y+

• ( )3 2 2 33 2 3 2x xy x i x y y y− + + − +

• ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2

6 2 74 1 4 4 1 4

x y x yix y x x y x

− + + −+

+ + − + + −

Límite y continuidad de funciones Se dice que es el límite de la función ( )f z cuando z tiende al punto 0z , lo que se escribe,

( )

0

limz z

f z→

=

si f está definida en una vecindad de 0z y si los valores de f están próximos a para todo z próximo a 0z ; es decir, en términos precisos, para todo ε real positivo es posible encontrar un δ real positivo tal que para todo

0z z≠ en el disco 0z z δ− < se tiene,

( )f z ε− <

es decir, para todo 0z z≠ en tal disco con radio δ , se tiene que el valor de f pertenece al disco.

Formalmente la definición es semejante a la proporcionada en cálculo, aunque hay una gran diferencia. Mientras que en el caso real x puede tender a un 0x solo a lo largo de la recta real, aquí, por definición, z puede tender a

0z desde cualquier dirección en el plano complejo.

0zz

δ

x

y v

u

ε( )f z0z

z

δ

x

y v

u

ε( )f z



Si existe un límite, entonces es único. Teoremas sobre los límites Supóngase que ( )

01lim

z zf z L

→= y ( )

02lim

z zg z L

→= , entonces

( ) ( )

01 2lim

z zf z g z L L

→+ = +

( ) ( )

01 2lim

z zf z g z L L

→− = −

( ) ( )0

1 2limz z

f z g z L L→

⋅ = ⋅

( )( )0

1

2

limz z

f z Lg z L→

=

sii 2 0L ≠

Ejemplo. Considérese la función ( ) zf zz

= . Calcular ( )0

limz

f z→

.

Solución. Este límite no existe debido a que si existiera podría calcularse haciendo tender el punto ( ),z x y= hacia

el origen de cualquier manera, pero cuando ( ),0z x=

( ) 0 10

x i xf xx i x+

= = =−

Sin embargo, cuando ( )0,z y=

( ) 0 10

yi yif xyi yi

+= = = −

− −

Por lo tanto, si se hace tender z hacia el origen por el eje real se obtiene como límite el valor 1, mientras que si se tiende por el eje imaginario, se obtiene -1. Puesto que el valor de un límite, cuando éste existe, es único, se concluye que el límite ( )

0limz

f z→

no existe.

Ejemplo: sea ( )2 2x x y yf z i

x y x y+ +

= ++ +

. Demostrar que no existe límite cuando 0z → de ( )f z .

Teoremas sobre los límites Teorema 1. Sean ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= + , 0 0 0z x iy= + y 0 0 0w u iv= +

Entonces ( )

00lim

z zf z w

→=

Sii

( ) ( )( )

0 00, ,

lim ,x y x y

u x y u→

= y ( ) ( )

( )0 0

0, ,lim ,

x y x yv x y v

→=



Teorema 2. Sean ( )

00lim

z zf z w

→= y ( )

00lim

z zF z W

→=

Entonces ( ) ( )

00 0lim

z zf z F z w W

→+ = +

( ) ( )

00 0lim

z zf z F z w W

→=

Si 0 0W ≠

( )( )0

0

0

limz z

f z wF z W→

=

Límites en el infinito

Teorema. Si 0z y 0w son puntos de los planos z y w , respectivamente, entonces

( )0

limz z

f z→

= ∞ sii ( )0

1lim 0z z f z→

=

Y

( )0

0limz z

f z w→

= sii 0

01lim

z zf w

z→

=

Además

( )limz

f z→∞

= ∞ sii ( )0

1lim 01/z f z→

=

Ejemplo: Calcular 1

3lim1z

izz→−

++

.

Solución

Se tiene que ( )1 1

3z

f z iz+

=+

Entonces ( )1

1 1 1 0lim 03 3z f z i i→−

− += = =− + −

Por lo que se puede afirmar que 1

3lim1z

izz→−

+= ∞

+

Ejemplo: calcular

( ) 4 23 2

lim1z i

i z z zz→

+ − ++

Solución



( ) ( )4 2 4 23 2 3 2 4 3 7 7 1lim

1 1 1 2 2 2z i

i z z z i i i i i i iz z i→

+ − + + − + + −= = = = −

+ + +

Ejercicio: demostrar que:

( )( )2

1

2 3lim 3 9

1z

z z z ii

z→

+ − += +

−

Continuidad de funciones Una función f es continua en un punto 0z si satisface las tres condiciones siguientes

1. ( )0

limz z

f z→

existe

2. ( )0f z existe

3. ( ) ( )0

2

0 2limz z

f z f zu→

∂ Ω=

∂

Teorema. La composición de dos funciones continuas es una función continua.

Teorema. Si ( )f z es continua y no nula en un punto 0z , entonces ( ) 0f z ≠ en algún entorno de 0z .

Ejemplo: determinar si la función siguiente es continua en z i=

( )2 1

3

z z if z z ii z i

+≠= −

=

Solución ( ) 3f i i=

( )( )2 1lim 2

z i

z i z iz z i i i iz i z i→

+ −+= = + = + =

− −

Dado que ( )2 1lim

z i

zf iz i→

+≠

−entonces se concluye que ( )f z no es continua en z i=

Ejercicio: determinar si la función siguiente es continua en 3z i=

( )2 9 3

36 3

z z if z z ii z i

+≠= −

=



Ejercicio: halle los límites de las funciones siguientes en los puntos indicados y determínese si las funciones son continuas en esos puntos;

• ( ) ( )2 2 2z i z if z

z i− + +

=−

en z i=

• ( ) ( )2 2 1 42

z i z if z

z+ + +

=+

en 2z i= −

• ( )f z zz= en z i= −

• ( ) 2f z z= en z i=

La derivada La derivada de una función compleja f es un punto 0z se denota por ( )0'f z y se define como,

( ) ( ) ( )0 00 0

' limz

f z z f zf z

z∆ →

+ ∆ −=

∆

en el supuesto de que este límite existe. Así, se dice entonces que f es diferenciable en 0z . Si se escribe

0z z z∆ = − entonces también se tiene que, como 0z z z= + ∆ ,

( ) ( ) ( )0

00

0

' limz z

f z f zf z

z z→

−=

−

Ejemplo: Sea ( ) 2f z z= . Calcular ( )'f z , para cualquier punto z

Solución.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

0

2' limz

f z z f z z z z z z z z zf zz z z∆ →

+ ∆ − + ∆ − + ∆ + ∆ −= = =

∆ ∆ ∆

Realizando operaciones ( )

0' lim 2 2

zf z z z z

∆ →= + ∆ =

Ejemplo: La función ( )f z es diferenciable para todo z y su derivada es ( )' 2f z z= debido a que,

( ) ( )2 2

0' lim 2

z

z z zf z z

z∆ →

+ ∆ −= =

∆

Ejemplo: demostrar que z no es diferenciable. Solución Sea



( )f z z=

se tiene que:

( ) ( )f z z f z z z z z x i y

z z z x i y+ ∆ − + ∆ − ∆ ∆ − ∆

= = =∆ ∆ ∆ ∆ + ∆

Si 0y∆ = , se tiene que,

( ) ( )

1f z z f z

z+ ∆ −

= +∆

Si 0x∆ = , se tiene que,

( ) ( )

1f z z f z

z+ ∆ −

= −∆

Ejemplo: encontrar la derivada de la función ( ) 2 5f z z z= −

Solución

( ) ( ) ( )0

' limz

f z z f zf z

z∆ →

+ ∆ −=

∆

por lo que,

( ) ( ) ( )2 2

0

5 5' lim

z

z z z z z zf z

z∆ →

+ ∆ − + ∆ − +=

∆

realizando operaciones ( )

0' lim 2 5

zf z z z

∆ →= + ∆ −

por lo que, ( )' 2 5f z z= −

z z+ ∆

z

x

y

I

z z+ ∆

z

x

y

I

z z+ ∆

z

x

y

IIz z+ ∆

z

x

y

II



Ejemplo: encontrar la derivada de la función ( ) 11

zf zz+

=−

Solución

( ) ( ) ( )0

' limz

f z z f zf z

z∆ →

+ ∆ −=

∆

por lo que,

( ) ( )( )0

1 121 1' lim1 1z

z z zz z zf z

z z z z∆ →

+ ∆ + +− −+ ∆ − −= =

∆ + ∆ − −

realizando operaciones

( ) ( )( )0

2' lim1 1z

f zz z z∆ →

−=

+ ∆ − −

por lo que,

( )( )2

2'1

f zz−

=−

Ejercicio: determine para qué valores de la variable compleja z tienen derivada las siguientes funciones:

• ( ) 2f z z=

• ( )f z z=

• ( ) 4f z z−=

• ( ) 2 2 2f z x y ixy= − −

• ( ) cos senf z x i y= +

• ( ) 5f z z z= +

Formulas de derivación

Consideremos la notación ( ) ( )'d f z f zdz

= para expresar la derivada de la función ( )f z con respecto a la

variable compleja .z

1. 0d cdz

=

2. 1d zdz

=

3. ( ) ( )d dcf z c f zdz dz

=



4. 1n nd z nzdz

−=

5. ( ) ( ) ( ) ( )d d df z F z f z F zdz dz dz

± = ±

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df z F z f z F z F z f zdz dz dz

= +

7. ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2

d dF z f z f z F zf zd dz dzdz F z F z

− =

8. ( )( ) ( )( ) ( )' 'd f g z f g z g zdz

=

Ejercicio: determine dónde existen derivadas de las funciones siguientes y hállelas en caso de existir:

• ( )nz a−

• ( )

1nz b−

• z z

z+

• 2

z zi−

n es un número entero positivo y a y b son constantes complejas

Funciones Analíticas Se tratan de funciones que son diferenciables en algún dominio, de modo que es posible hacer “cálculo en los complejos”. Constituyen el tema fundamental del análisis complejo. Definición (Analiticidad)

Se dice que una función ( )f z es analítica en un dominio D si ( )f z está definida y es diferenciable en todos los

puntos de D . Se dice que una función ( )f z es analítica en un punto 0z z= en D si ( )f z es analítica en una

vecindad de 0z . También por función analítica se entiende una función que es analítica en algún dominio. Así, la analiticidad en 0z significa que ( )f z tiene una derivada en todos los puntos en alguna vecindad de 0z

(incluyendo 0z mismo ya que, por definición, 0z es un punto que pertenece a todas sus vecindades). Este concepto es motivado por el hecho de que carece de interés práctico el hecho de que una función sea diferenciable simplemente en un solo punto 0z pero no en toda una vecindad completa de 0z . Una expresión más moderna para analítica en D es holomorfa en D . Las funciones analíticas u holomorfas también son conocidas como funciones regulares.



Ecuaciones de Cauchy-Riemann A continuación se obtendrá un criterio muy importante para verificar la analiticidad de una función compleja. ( ) ( ) ( ), ,w f z u x y iv x y= = +

En términos generales, f es analítica en el dominio D si y sólo si las primeras derivadas parciales de u y vsatisfacen las dos ecuaciones, x yu v=

y xu v= −

Donde

xuux∂

=∂

, yuuy∂

=∂

, xvvx∂

=∂

, yvvy∂

=∂

Ejemplo: Verificar si la función ( ) 2f z z= es analítica o no.

Solución

( )f z puede ser expresada como ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 22 2f z x iy x x iy y x y ixy= + = + − = − +

Se tiene entonces que, ( ) 2 2,u x y x y= − y ( ), 2v x y xy=

Si se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemman, x yu v= y y xu v= − la función es analítica.

2xu x= 2yv x= se cumple la primera condición

2yu y= −

2xv y− = − se cumple la segunda condición

Dado que se cumplen las dos ecuaciones de Cauchy-Riemman se puede concluir que la función ( ) 2f z z= es

analítica. Ejemplo: Verificar si la función ( ) ( )3 2 2 33 3f z x xy i x y y= − + −

Solución: Sea 3 23u x xy= − y 2 33v x y y= − Para que la función sea analítica se debe de cumplir las Ecuaciones de Cauchy-Riemman

u vx y∂ ∂

=∂ ∂

u vy x∂ ∂

= −∂ ∂

Se tiene que,



2 23 3u x yx∂

= −∂

2 23 3v x yy∂

= −∂

con lo cual se cumple la primera condición.

6u xyy∂

= −∂

6v xyx∂

− = −∂

con lo que se cumple la segunda condición. Por tanto se concluye que ( ) ( )3 2 2 33 3f z x xy i x y y= − + − es

analítica.

Ejemplo: Verificar si la función ( ) 2 2 2 2

x yf z ix y x y

= −+ +

esa analítica

Solución:

Sea 2 2

xux y

=+

y 2 2

yvx y

= −+

Para que la función sea analítica se debe de cumplir las Ecuaciones de Cauchy-Riemman

u vx y∂ ∂

=∂ ∂

u vy x∂ ∂

= −∂ ∂

Se tiene que,

( )

2 2

22 2

u y xx x y

∂ −=

∂ +

( )2 2

22 2

v y xy x y

∂ −=

∂ +

con lo cual se cumple la primera condición.

( )22 2

2u xyy x y

∂ −=

∂ +

( )22 2

2v xyx x y

∂ −− =∂ +

con lo que se cumple la segunda condición. Por tanto se concluye que ( ) 2 2 2 2

x yf z ix y x y

= −+ +

es analítica.

Ecuación de Laplace. Funciones Armónicas Una de las razones principales de la gran importancia práctica del análisis complejo en las matemáticas aplicadas a la ingeniería resulta del hecho de que tanto la parte real como la parte imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación diferencial más importante en física, la ecuación de laplace, que aparece en la teoría de la gravitación, electrostática, dinámica de fluidos, conducción de calor, etc.

Ecuación de Laplace 2 0xx yyu u u∇ = + =

2 0xx yyv v v∇ = + =

Donde



2

2xxuu

x∂

=∂

2

2yyvv

y∂

=∂

Las soluciones de la ecuación de Laplace que tienen derivadas parciales de segundo orden continuas se denominan funciones armónicas y su teoría se denomina teoría del potencial. Por tanto, las partes real e imaginaria de una función analítica son funciones armónicas. Si dos funciones armónicas u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemman en un dominio D , entonces son las partes real e imaginaria de una función analítica f en D . Entonces, se dice que v es la función armónica

conjugada de u en D . Una función real de dos variables reales x e y se dice que es armónica en un dominio del plano xy si en todas los puntos de ese dominio tiene derivadas parciales de primer y segundo orden continuas y satisface la ecuación de derivadas parciales: ( ) ( ), , 0xx yyH x y H x y+ =

o bien 2 0xx yyu u u∇ = + =

conocida como la ecuación de laplace. Teorema: Si una función ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= + es analítica en un dominio D , las funciones componentes uy v son armónicas en D . Teorema: Una función ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= + es analítica en un dominio D si y sólo si v es armónico

conjugado de u . Ejemplo: comprobar que 2 2u x y y= − − es armónica en todo el plano complejo y encontrar una función armónica conjugada v de u . Solución

2

2 2ux∂

=∂

2

2 2uy∂

= −∂

2 2

2 2 2 2 0u ux y∂ ∂

+ = − =∂ ∂

Por lo tanto la función u es armónica. Ejemplo: determinar si la función u xy= es armónica, en caso afirmativo, encontrar una función analítica

correspondiente ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= +

Solución.



x yu y v= =

Se tiene que dv ydy

=

Despejando los diferenciales dv ydy=

Integrando ( )2

2yv h x= +

Derivando con respecto a x , ( )dh xdv

dx dx=

Se sabe además que dv du xdx dy

= − = −

Comparando ( )dh x

xdx

= −

Despejando los diferenciales ( )dh x xdx= −

Integrando ( )2

2xh x c= − +

Por lo que, 2 2

2 2y xv c= − +

Finalmente ( )2 2

2 2y xf z xy i

= − −

Ejemplo: determinar si la función 3 23u x xy= − es armónica, en caso afirmativo, encontrar una función analítica


Solución. 2 23 3x yu x y v= − =

Se tiene que

2 23 3dv x ydy

= −

O bien ( )2 23 3dv x y dv= −

Por lo que ( )2 33v x y y h x= − +

Derivando con respecto a x

( )

6dh xdv xy

dx dx= +



Se sabe que

6dv du xydx dy

= − =

Comparando

( )

0dh x

dx=

Por lo que ( ) 0h x =

Se tiene que, 2 33v x y y= − Finalmente se tiene que ( ) ( )3 2 2 33 3f z x xy i x y y= − + −

Ejemplo: determinar si la función 2 2u x y y= − − es armónica, en caso afirmativo, encontrar una función analítica


Solución. 2x yu x v= =

Se tiene que

2dv xdy

=

Por lo que, 2dv xdy= Integrando ( )2v xy h x= +

Derivando con respecto a x

( )

2dh xdv y

dx dx= =

Se sabe que

2 1dv du ydx dy

= − = +

Comparando



( )

1dh x

dx=

O bien ( )dh x dx=

Integrando ( )h x x c= +

Por lo que 2v xy x= + Finalmente ( ) ( )2 2 2f z x y y i xy x= − − + +

Ejercicio: determinar si las siguientes funciones son armónicas, en caso afirmativo, encontrar una función analítica correspondiente ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= +

a) 2 2

1vx y

=+

b) cos 2xu e y= c) v xy=

d) ( )22 2v x y= −

Ejemplo: ¿cuáles de las siguientes funciones son armónicas?

• x y+ • xy

• 2 2

yx y+

• 2 2x ye −

Funciones complejas como fluidos Una función compleja ( )w f z=

se puede interpretar como un flujo bidimensional considerando el número complejo ( )f z

Como un vector basado en el punto z . El vector ( )f z especifica la rapidez y la dirección del flujo en un punto

determinado z . Si ( ) ( )x t iy t+ es una representación paramétrica de la trayectoria de una partícula en el flujo, el vector tangente

( ) ( )' 'x t iy t= +T

Debe coincidir con ( ) ( )( )f x t iy t+



Cuando ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= + se infiere que la trayectoria de la partícula debe satisfacer el sistema de

ecuaciones diferenciales siguiente

( ),dx u x ydt

=

( ),dy v x ydt

=

Ejemplo: Encuentre las líneas de corriente asociadas a la función compleja: ( )f z z= .

Solución ( )f z x iy= −

dx xdt

= por lo que ( ) 1tx t c e=

dy ydt

= − por lo que ( ) 2ty t c e−=

Multiplicando ( ) ( )x t y t⋅ , se tiene,

xy c= Para diferentes valores de c se obtiene las líneas de corriente

Función exponencial Se define la función exponencial ze como z x iy x iye e e e+= = Utilizando la formula de Euler cos seniye y i y= +

ze es una de las funciones analíticas más importantes. La definición de ze en términos de funciones reales es: ( )cos senz xe e y i y= +

La definición anterior es motivada por requisitos que hacen de ze una extensión natural de la función exponencial

real xe , a saber,

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400



a) ze debe reducirse a xe cuando z x= es real b) ze debe ser una función entera; es decir analítica para toda z

c) De manera semejante al cálculo, su derivada debe ser ( ) 'z ze e=

Ejemplo: sea 6

z iπ= m exprésese ze de la forma a ib+

Solución

06 3 1cos sen6 6 2 2

ize e e iπ π π = = + = +

Ejemplo: exprese el número 1 5 /4 1 /3i ie eπ π+ − − en la forma a ib+ Solución

11

1 5 /4 1 /3 012 11 11 11 11cos sen cos sen12 12 12 12

ii ie e e e i i

ππ π π π π π+ − − = = + = +

Ejemplo: Sea ( ) izf z e−= expresar ( )f z de la forma ( ) ( ), ,u x y iv x y+

Solución ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cos sen cos seni x iyiz y ix y yf z e e e e x i x e x i x− +− −= = = = − + − = −

( ) cos seny yf z e x ie x= −

Por lo que, ( ), cosyu x y e x=

( ), senyv x y e x= −

Ejemplo: Verificar que z xe e=

Solución ( )cos sen cos senz x iy x x xe e e y i y e y ie y+= = + = +

( ) ( )2 2cos senz x x xe e y e y e= + =

Ejemplo: encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones. Dar el resultado en la forma a bi+ .

• 3 4ie +



• ie

• iee

• arccos1ie

Función logaritmo Considérese la ecuación we z= Donde z es cualquier número complejo no nulo. Si se escribe z y w en las formas iz re Θ= Y w u iv= + Entonces se tiene que, u iv ie e re Θ= En base a la igualdad de dos números complejos en forma exponencial ue r= Y 2v nπ= Θ+ Donde n es cualquier número entero. Dado que ue r= Es la misma que lnu r= Se satisface sii w tiene alguno de los valores ( )ln 2w r i nπ= + Θ+ donde 0, 1, 2, 3,n = ± ± ±

Si se escribe ( )log ln 2z r i nπ= + Θ+

donde 0, 1, 2, 3,n = ± ± ±

Se tiene la relación log ze z= donde 0z ≠ Algunas identidades con logaritmos

1. 1 2 1 2log log logz z z z= +

2. 1 2 1 2arg arg argz z z z= + 3. 1 2 1 2ln ln lnz z z z= +

4. 11 2

2

log log logz z zz

= −

5. logn n zz e=



6. 1/ 1exp lognz zn

=

7. 1 2exp log expn kz r in n n

π Θ = + donde 0, 1, 2, 3,k = ± ± ±

Ejemplo: sea 5z = − expresar ln z en la forma a ib+ Solución ( )ln log 2ez z i nθ π= + +

Donde log log 5 1.6094e ez = − =

arg z π= Por lo que, ( )ln 1.6095 2z i nπ π= + +

Ejemplo: encuentre todos los valores de z que cumplan 4ze i= Solución Aplicando logaritmos en ambos lados de la expresión, ln ln 4ze i= Por lo que, ln 4z i= Se tiene que,

ln 4 log 4 2 1.3862 22 2ei i n i nπ ππ π = + + = + +

para 0, 1, 2, 3,n = ± ± ±

Funciones trigonométricas La formula de Euler establece que cos senxe x i x= + y cos senxe x i x− = −

para todo número real x . Se deduce que 2 senix ixe e i x−− = Y 2cosix ixe e x−+ = Por lo que



sen2

ix ixe exi

−−= y cos

2

ix ixe ex−+

=

Por consiguiente

sen2

iz ize ezi

−−= y cos

2

iz ize ez−+

=

Propiedad adicional

sen cosd z zdz

=

cos send z zdz

= −

2tan secd z zdz

= 2cot cscd z zdz

= −

sec sec tand z z z

dz= csc csc cotd z z z

dz= −

Además ( )sen senz z− = − y ( )cos cosz z− =

Identidades

1. ( )1 2 1 2 1 2sen sen cos cos senz z z z z z+ = +

2. ( )1 2 1 2 1 2cos cos cos sen senz z z z z z+ = −

3. 2 2sen cos 1z z+ = 4. sen2 2sen cosz z z= 5. 2 2cos 2 cosz z sen z= −

6. sen cos2

z zπ + =

7. sen cos2

z zπ − = −

Puede ser demostrado que, ( )sen sen sen cosh cos senhz x iy x y i x y= + = +

( )cos cos cos cosh sen senhz x iy x y i x y= + = −

Funciones trigonométricas inversas

( )1/21 2ln 1sen z i iz z− = − + −

( )1/21 2cos ln 1z i z i z− = − + −



1tan ln2i i zz

i z− + = −

Funciones hiperbólicas

( )1cosh2

z zz e e−= +

( )1sen h2

z zz e e−= −

cosh cosiz z= sen h seniz i z=

cos coshiz z= sen senhiz i z=

Ejemplo: calcular ( )sen 2 i+

Solución ( ) ( )sen 2 sen2cosh 1 cos 2senh1 1.4031 0.4891i i i+ = + = −

Ejemplo: exprese ( )cos 3i en la forma a ib+

Solución ( ) ( )cos 3 cos 0cosh 3 sen 0 senh3 10.067i i= − =

Ejemplo: verificar que 5sen ln 2

2 4iπ + =

Solución

( ) ( )sen ln 2 sen cosh ln 2 cos senh ln 22 2 2

i iπ π π + = +

Realizando algunas operaciones

( )ln 2 ln 2

12 52sen ln 2 cosh ln 22 2 2 4

e eiπ − ++ + = = = =

Expresar las funciones dadas en la forma ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= +

• ( ) izf z e−=



• ( ) 2zf z e=

• ( ) 2z if z e +=

• ( ) 1/ zf z e=

Encontrar todos los valores complejos del logaritmo dado,

• ( )ln 5−

• ( )ln 2 2i− +

• ( )ln ei−

• ( )ln 1 i+

• ( )ln 3 i− +

Encontrar todos los valores que satisfacen las ecuaciones dadas,

• 4ze i=

• 1 3ze ie− = −

• 2 1 0z ze e+ + =

• 1/ 1ze = −

Encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones en la forma a bi+ .

• ( )sen 1 2i−

• ( )cos 2 i+

• ( )cos 1 ie +

• ( )sen seni i

• seni ie

• ( )( )sen arg 1 i+

• ( )1cos ie +

Demostrar:

• 2 2sen cos 1z z+ = Verificar las siguientes identidades trigonométricas

• ( ) ( )sen senz z− = −



• cos cosz z= Encontrar todos los valores complejos z que satisfacen las ecuaciones dadas,

• senz i=

• sen cosz z=

• cos 4z = Encontrar todos los valores de la cantidad dada,

• 1cos i−

• 1sen 2−

• 1tan 1−

• 1sen 1−

• 1tan 2i−



Ejercicios propuestos Unidad 1

1. Probar que:

( )Re Imiz z= −

2. Probar que:

1 2 1 2 1 2Re Re Re Im Imz z z z z z= ⋅ −

3. Efectuar cada una de las operaciones indicadas

a. ( ) ( )4 3 2 8i i− + −

b. ( )2 4 22 11 1

iii i

− − + − +

c. 2 31 13 2

1 1i ii i

+ − − − +

4. Si 1 1z i= − 2 2 4z i= − + 3 3 2z i= − hallar el valor numérico

de cada una de las siguientes expresiones:

a. 21 12 3z z+ −

b. 1 2

1 2

1z zz z i+ +− +

c. 1 2

3

Im z zz

5. Hallar números reales x e y tales que ( ) ( )2 3 4 2 5 1 0 2 3x iy ix y i x y y x i− + − − − = + + − − +

6. Encontrar las raíces cuadradas de: 3 i+

7. Encuentre las tres raíces cúbicas de: 1 i−

8. Resolver: 2 1z i= +

9. Hallar las raíces cúbicas de 8z =

10. Hallar las raíces cuadradas de: 4 2 4 2i+

11. Hallar las raíces quintas de: 16 16 3i− +

12. Hallar las raíces sextas de: 27z i= −

13. Resolver: 4 81 0z + =

14. Resolver: 6 1 3z i+ =



15. Hallar las raíces cuadradas de 5 12z i= −

16. Determinar y graficar los conjuntos representados por:

a) 4 4z i− =

b) 1 2z + >

c) 1/ 3 6z a< − <

d) Im zπ π− < ≤ e) 0 Re / 2z π< < f) arg / 4z π≤

g) Re 1z ≥ − h) 2Im 2z =

i) 1z iz i+

=−

17. Encontrar ( )3f i+ , ( )f i , ( )4 2f i− + donde ( )f z es:

a. 2 2z z+

b. 11 z−

c. 3

1z

18. Encontrar las partes real e imaginaria de las siguientes funciones:

a. ( )1

zf zz

=+

b. ( ) 32 3f z z z= −

c. ( ) 2 4 1f z z z= + −

19. Suponer que z varía en una región R del plano z . Encontrar la región (precisa) del plano w en que

están los valores correspondientes de ( )w f z= , y muestre gráficamente ambas regiones,

a. ( ) 2f z z= , 3z >

b. ( ) 1f zz

= , Re 0z >

c. ( ) 3f z z= , 1arg4π≤

20. En cada uno de los casos siguientes, determinar si ( )f z es continua en el origen, suponiendo que

( )0 0f = y, para 0z ≠ , la función ( )f z es igual a,



Re z

z ( )2

2

Re z

z

Im1

zz+

a b c

21. Calcular 2lim

1z

z iz→∞

++

Resp. 2

22. Calcular 3

2

2lim1z

z iz→∞

++

Resp. ∞

23. Obtener la derivada de lo siguiente,

a) ( )32z i+

b) 2

2

41

zz−+

c) ( )21

iz−

d) z iz i+−

e) ( )

2

2

zz i+

24. Encontrar el valor de la derivada de

a) z iz i+−

en i−

b) ( )22z i− en 3 2i−

c) 3

1z

en 3i

d) 3 2z z− en i−

e) 4

1 iz+

en 2

f) ( )62 iz+ en 2i

25. Verificar si las siguientes funciones son analíticas:

a) ( ) 8f z z=

b) ( )2Re z



c) ( )cos senxe y i y+

d) ( ) 4

if zz

=

e) ( ) 11

f zz

=−

f) ( )f z z z= −

g) ( ) Argf z z=

h) ( ) ln Argf z z i z= +

i) ( ) 22f z z z= −

j) ( ) 1f z zz

= +

26. Demostrar que ( )sen cosxu e x y y y−= − es armónica. En caso de ser armónica encontrar una función v

, tal que ( )f z u iv= + sea analítica.

27. Demostrar que 2 2 2 2 3u x y xy x y= − − − + es armónica. En caso de ser armónica encontrar una función

v , tal que ( )f z u iv= + sea analítica.

28. Demostrar que la función ( )2 1u x y= − es armónica. Encontrar una función v tal que ( )f z u iv= + es

analítica, es decir, encontrar la función conjugada de u .

29. Verificar que la función ( ) 3 2, 3 5u x y x xy y= − − es armónica en todo el plano complejo. Encuentre su

función armónica conjugada.

30. Verificar que la función es armónica y encontrar la función armónica correspondiente

a. ( ),u x y x=

b. ( ) 2 2,u x y x y= −

c. ( ) 3 3, 4 4u x y xy x y x= − +

d. ( ) [ ], cos senxu x y e x y y y= −

31. Demostrar que las funciones siguientes son analíticas en cualquier punto.

a. ( ) 3f z z=

b. ( ) 22 5 6f z z z i= + −

32. Demostrar que las funciones siguientes no son analíticas en punto alguno.

a. ( ) Ref z z=

b. ( ) 4 6 3f z z z= − +



c. ( ) 2 2f z x y= +

d. ( )f z y ix= +

e. ( ) ( )2f z z=

33. En las funciones siguientes, si existe el límite indicado encontralo,

a. 3 2lim 4 5 4 1 5

z iz z z i

→− + + −

b. 2

1

5 2 2lim1z i

z zz→ −

− ++

c. 4 1lim

z i

zz i→

−−

d. 2

21

2 2lim2z i

z zz i→ +

− +−

34. Demuestre que los límites indicados no existen

a. 0

limz

zz→

b. 1

1lim1z

x yz→

+ −−

35. Señale en qué puntos la función no es analítica

a. ( )3

zf zz i

=−

b. ( )3

2 4z zf zz+

=+

c. ( ) 2

22 5

if zz z iz

=− +

d. ( ) 2

4 36 25

z if zz z

− +=

− +

36. Exprese la cantidad indicada en la forma a ib+

a) ( )cos 3i

b) sen4

iπ +

c) ( )cos 2 4i− d) ( )cosh iπ



e) senh 13

iπ +

37. Demuestre que cos cos cosh sen senhz x y i x y= −



Autoevaluación Unidad 1

1. Realizar la operación ( )2 4 22 11 1

iii i

− − + − +

y expresar el resultado en la forma z a bi= +

2. Si 1 1z i= − , 2 2 4z i= − + , 3 3 2z i= − , hallar el valor numérico de ( )( )2 3 1 3z z z z+ −

3. Describir gráficamente la región representada por 1 2z i< + ≤

4. Resolver 4 81 0z + =

5. Expresar la función ( ) 7 9 3 2f z z iz i= − − + de la forma ( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= +

6. Evaluar ( ) ( )4 Ref z z iz z= + + en 2 7z i= −

7. Verifique que ( ) 3 3, 4 4u x y xy x y x= − + es armónica. Encuentre además la función armónica

conjugada de u

8. Utilizando la definición de derivada calcular la derivada de ( ) z if zz i+

=−

9. Demostrar que la función ( ) Ref z z= no es analítica

10. Exprese la cantidad indicada en la forma a ib+ ( )cos 2 4i−

Notas de la materia de Cálculo IV -...

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