selectividad resueltos

IES Mediterrneo de Mlaga

Solucin Septiembre 2008

Juan Carlos Alonso Gianonatti

LGEBRAOPCIN AHallar una matriz: X = c

1 3 A= 2 1

y

b de orden 2 tal que A-1XA = B siendo d 1 1 B= 2 1

a

AA 1 XA = AB IXA = AB XA = AB XAA 1 = ABA 1 XI = ABA 1 X = ABA 1 3 1 3 2 1 = 3 + 2 = 1 0 A 1 A 1 = adj A t A t = 1 1 2 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 adj A t = 2 3 A = ( 1) 2 3 = 2 3 A=

( )

( )

1 1 1 1 1 5 2 1 1 9 11 3 = X = ABA 1 = 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 = 6 7

1




OPCIN B

1a) Probar que a

1 b b2

a

2

c = (b a ) (c a ) (c b ) c2

1

1 1 0 ba 0 b2 a2

1 ba c a = 1 2 b a2 2 2 c a

ca ba = 2 2 (b a )(b + a ) c a

ca = (c a )(c + a )

= (b a ) (c a ) 1 a a2

1 1 = (b a ) (c a )[c + a (b + a )] = (b a ) (c a )(c + a b a ) b+a c+a

1 b b2

1 c = (b a ) (c a ) (c b ) Pr obado c2

b) Hallar la solucin del sistema:

x + 2 y + 3z = 0 que, adems, satisface que la suma de x + 4 y + 9z = 2

valores correspondientes a cada una de las incgnitas es 4

2 x 4 y 6 z = 0 x + 3 z = 2 x = 2 + 3 z ( 2 + 3 z ) + 2 y + 3 z = 0 2 + 3z + 2 y + 3z = 0 x + 4 y + 9z = 2 2 y = 2 6 z y = 1 3z Solucin general ( 2 + 3 , 1 3 , ) 2 + 3 + 1 3 + = 4 = 5 ( 2 + 3.5 , 1 3.5 , 5)

Solucin pedida

2




GEOMETRAOPCIN ASe considera la recta r y los planos

1 y 2

siguientes:

x = 2 3 1 2 3x + 2 y z = 0 r y = 1 + 2 z = 4 2 3 + 2x + 2 y 2z = 0 a) Determinar la posicin relativa de los planos. b) Calcular la distancia de r a 2 . a) Los planos pueden ser paralelos, en este caso los vectores directores son proporcionales y si tienen un punto comn seria el mismo plano, o secantes

3 2 Son sec antes 2 2b) En este caso la recta tiene que ser paralela al plano siendo los vectores directores, de ambos, perpendiculares y su producto vectorial es nulo, de no serlo la distancia ser nula porque la recta cortar al plano o sindolo si la distancia es nula es que la recta est contenida en el plano.

v r = ( 3 , 2 , 1) v r v 2 = ( 3 , 2 , 1) (1 , 1 , 1) = ( 3) 1 + 2.1 + ( 1) ( 1) v 2 = (2 , 2 , 2) (1 , 1 , 1) v r v 2 = 3 + 2 + 1 = 0 v r v 2Al ser perpendiculares, los vectores directores de recta y plano, estos son paralelos La distancia ser la de un punto, cualquiera, de la recta al plano. Se toma el punto R indicado en la ecuacin de la recta

d r 2 = d R 2 =

3 + 2 .2 + 2 .1 2 .4 22 + 22 + 22

=

3+ 4+ 28 4+4+4

=

1 12

=

1 2 3

=

3 6

3




OPCIN B

a) Obtener los valores

mdulo

y para los cuales el vector de componentes ( , , 0 ) tiene x = 2 2 y es perpendicular a la recta r y = 1 z = 1

b) Estudiar si los vectores a = (3 , 1 , 2 ) , b = (0 , 1 , 1) , c = (0 , 1 , 1) son linealmente independientes. c) Calcular el ngulo que forman dos rectas cuyos vectores direccionales son

b y c respectivamente. a)Al ser perpendiculares el producto escalar del vector pedido y el director de la recta r es nulo

( , , 0)( 1 , 1 , 1) = 0 0 = 0 = 0 = 2 ( ) + 2 = 2 ( )2 + ( )2 + 0 2 = 2 2 + 2 = 2 = 1 = 1 2 2 = 2 2 = 1 = 1 = 1 = 1 v = (1 , 1 , 0) Soluciones 1 Que es el mismo vector v 2 = ( 1 , 1 , 0)

b) Si son linealmente dependientes sern coplanarios, el determinarte que forman es nulo, en caso contrario son independientes

3 1 2 0 1 1 = 3 3 = 6 0 Son linealmente independientes 0 1 1 c) cos b, c =

( )

b.c bc

=

(0 , 1 , 1) (0 , 1 , 1)0 2 + 12 + 12 0 2 + 12 + ( 1)2

=

0 +11 2 2

=

0 =0 2

(b, c) = arc cos 0 = 90 = Son perpendiculares 2

4




ANLISISOPCIN A1.-Sea

f (x ) =

(2 x 1)24x 2 + 1

a) Calcular el mximo y mnimo absoluto de f ( x )

b) Estudiar si f ( x ) es una funcin simtrica respeto al eje OY

c) Calcular

f (x ) dx0 2

x

a) f ' (x ) =

2.(2 x 1).2.(4 x 2 + 1) 8 x(2 x 1)

(4 x

2

+ 1)2

2

= 4 (2 x 1)

4 x 2 + 1 2 x(2 x 1)

(4 x2

2

+ 1)

2

f ' ( x ) = 4 (2 x 1)

4x 2 + 1 4x 2 + 2x

(4 x

+ 1)

2

= 4 (2 x 1)

(4 x

2x + 12

+ 1)

Crecimiemto f ' ( x ) > 0

4 (2 x 1)

(4 x

2x + 12

+ 1)

2

4 > 0 x 1 2x 1 > 0 2x > 1 x > 2 >0 1 2 x + 1 > 0 2 x > 1 x > 2 2 2 (4 x + 1) > 0 x

4 (+) () () (+) (+)

1 1 2 2(+) () (+) (+) () f(x) 2 x>2 2

+ 1) > 0

Resultadooperacin

f(x)>0

f(x)>0

Crecimiento

1 1 x / x < x > 2 2

Decrecimiento2

x /

1 1 0 2 (x + 1) > 0 x

(x + 1)2

=

(x + 1)2

2

Crecimiento f ' ( x ) > 0

(x + 1)2

Crecimiento x Asntotas verticales 2 xlim f ( x ) = 0 = 1 En x = 1 2 lim+ f (x ) = + = 0 x 1 Asntotas horizontales 2x 2 2 2x = = lim x = lim = =2 y = lim x x + 1 x x x 1 1 1+ 0 + 1+ x x x Asntota horizontal y = 2 x 2x 2x 2.( x ) 2.x x = lim 2 = 2 = 2 = 2 = lim = lim = = lim y = lim x x + 1 x ( x ) + 1 x 1 x x 1 x x 1 0 1 1 1 x x x Asntota horizontal y = 2 x Asntotas oblicuas 2x 2x 2x 2 2 2 f (x ) x = lim x + 1 = lim = = lim = lim = lim = =0 m = lim x x x x ( x + 1) x x x 1.( x + 1) x x + 1 x x (x + 1) x ( x ) 2 2x f (x ) ( x ) + 1 = lim 2 x = = lim x = lim 2 = lim 2 = 2 = 0 = lim m = lim x x ( x ) x x(1 x ) x x (1 x ) x 1.(1 x ) x 1 x x x No existen asntotas oblcuas

8




OPCIN B(Continuacin) Continuacin del Problema 1 de Anlisis

b) 2( x + 1) 2 2( x + 1) 2 x 2x lim x 2 [ f (x + 1) f (x )] = lim x 2 = lim x x + 2 x + 1 = x x x (x + 1) + 1 x + 1 2 2 (x + 1)2 2 x( x + 2) 2 x 2 + 2x + 1 x 2 2x 1 = lim 2 x 2 2 = lim x = = lim 2 x 2 x x (x + 1)(x + 2) x x + 3x + 2 x + 3x + 2

{

}

2x 2 2 2 2x 2 2 = lim 2 = = lim 2 x = lim = =2 x x + 3 x + 2 x 3 2 1+ 0 + 0 x x 3x 2 1+ + 2 + + x x x2 x2 x2 2.- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista, en el tema, seala que, dada la estructura de la empresa, solo puede optar por alarmas de dos tipos, A o B; adems afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la dcima parte del producto entre el nmero de alarma de tipo A y el cuadrado del nmero de alarmas de tipo B. Estudiar cuantas alarmas de cada tipo debe de instalar en la empresa para maximizar la seguridad. .

A+ B = 9 A = 9 B 1 3 dS 1 = 18B 3B 2 = B (6 B ) 2 S = A B = 1 (9 B ) B 2 = 1 9 B 2 B 3 S ' = 10 dB 10 10 10 10 B=0 S ' = 0 B (6 B ) = 0 6 B = 0 B = 6

(

)

(

)

3 9 S ' ' (0) = 5 (3 0) = 5 > 0 Mnimo 1 6 3 d 2S S''= = (18 6 B ) = (3 B ) = (3 B ) 3 9 10 5 dB 2 10 S ' ' (6) = (3 6) = < 0 Mximo 5 5 A=96=3 Para que la seguridad sea mxima habr que instalar 3 alarmas de tipo A y 6 de tipo B

9

ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

OPCIN A

Ejercicio 1 a) Dibuja el recinto limitado por las curvas y = e x+ 2 , y = e x y x = 0. (1 punto) b) Halla el rea del recinto considerado en el apartado anterior. (1,5 puntos)

Ejercicio 2 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por: h (t ) = 5 5t 5e 2 t a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura mxima y el valor de esta. (1,5 puntos) b) Teniendo en cuenta que la velocidad es v (t ) = h(t ) , halla la velocidad al cabo de 2 segundos. (1 punto)

Ejercicio 3 Determina la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1, 6) y B = (5, 2), y tiene su centro sobre la recta y = 2x. (2,5 puntos)

Ejercicio 4 1 2 t 1 2 Dada la matriz A = 3 4 , calcula (A A ) A. (2,5 puntos)

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SOLUCIONES: OPCIN A Ejercicio 1. a) El recinto pedido es el sombreado en la siguiente figura.

b) Corte de las curvas: e x+ 2 = e x x = 1 El rea viene dada por: A=

1 x+2

e

dx + e x dx1

0

La primera integral es impropia:

1 x+2

e

dx = lm

c c

)

1 x +2

e

dx = lm e x+ 2c

(

)

1 c

= lm ( e e c+ 2 ) = ec

La segunda integral vale:0

1

e x dx = e x

(

0 1

= 1 + e

Por tanto: A = 2e 1



Ejercicio 2. a) h (t ) = 5 5t 5e 2 t h(t ) = 5 + 10e 2 t h(t ) = 20e 2t 1 1 ln 2 h(t ) = 5 + 10e 2 t = 0 t = ln = 0,3466 2 2 2 Como h (0,3466) < 0, para ese valor se da el mximo. La altura mxima es h(0,3466) = 0,767 m. (NOTA: resultan valores muy pequeos) b) v (t ) = h(t ) = 5 + 10e 2t v (2) = 5 + 10e 4 = 4,81 m/s (?) NOTA: Este resultado no es posible. Algn dato del problema es incorrecto. (Quiz nuestra transcripcin?)

Ejercicio 3. Si P = (x, 2x) es el centro de la circunferencia se cumple que: d(P, A) = d(P; B) (1 x ) 2 + ( 6 2 x) 2 = (5 x) 2 + ( 2 2 x ) 2

8 = 8x x = 1 La ordenada del centro es y = 2x = 2. El radio = d(P, A) = 4. La ecuacin de la circunferencia es: ( x 1) 2 + ( y 2) 2 = 4 2

Ejercicio 4. A = 2 . 4 3 La matriz de los adjuntos es: Aij = 2 1 Luego:

( )



A1 =

1 1 4 2 2 3 1 = 3 / 2 1/ 2 2

1 5 / 2 1/ 2 1 3 2 At A 1 = 2 4 3 / 2 1 / 2 = 2 0

(A A )t t

1 2

5 / 2 1 / 2 5 / 2 1 / 2 21 / 4 5 / 4 = = 2 0 2 0 5 1 5 / 4 1 2 6 / 4 11 / 2 = 1 3 4 2 6

( A A ) A = 215/ 4 1 2



OPCIN A

Ejercicio 1 Sea f: R R la funcin dada por f ( x ) = 8 x 2 . a) [1 punto] Esboza la grfica y halla los extremos relativos de f (dnde se alcanzan y cules son sus respectivos valores). b) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte de la grfica de f con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2 Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la funcin f: (0, + ) R, definida por f ( x ) = xLn( x ) . Calcula: a) [1,5 puntos]

f (x)dx .

b) [1 punto] Una primitiva de f cuya grfica pase por el punto (1, 0).

Ejercicio 3 Sea senx cos x 0 senx 0 cos x senx + cos x senx cos x 1 Para qu valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz inversa.

Ejercicio 4 Halla la ecuacin del plano que pasa por el punto A(1, 0, 1), es perpendicular al x 2 y = 0 plano x y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta z=0



Solucin

Ejercicio 1

x 2 8, x 8 Su grfica es la adjunta.

Tiene dos mnimos: ( 8 , 0) y ( 8 , 0) Tiene un mximo relativo: (0, 8) b) Tangente a f(x) en x = 2: y f(2) = f (2)(x + 2) f(2) = 4 f (x) = 2x f (2) = 4

La tangente es: y 4 = 4(x + 2) y = 4x + 12 Corte con f ( x ) = x 2 8 : x 2 8 = 4 x + 12 x 2 4 x + 20 = 0 x = 2 2 6www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


Se tendrn los puntos: ( 2 2 6 , 20 8 6 ) y ( 2 + 2 6 , 20 + 8 6 ) . Adems, otro punto de corte es el de tangencia: (2, 4). (Vase la figura anterior.) Ejercicio 2

a)

f (x)dx = x ln xdx .u = x lnx du = (lnx +1)dx dv = dx v = x

La haremos por partes:

Luego,

x ln xdx = x 2 ln x ( x ln x + x ) dx 2 x ln xdx = x 2 ln x

x2 +c 2

De donde,

1 2 x2 x ln xdx = x ln x +k 2 4

b) Para que esa primitiva pase por (1, 0): 1 1 +k = 0 k = 4 4

Ejercicio 3

Si A es la matriz dada, A = sen 2 x + cos 2 x = 1 . Tiene inversa para cualquier valor de x. senx cos x 1 La matriz de los adjuntos es: Aij = cos x senx 1 . 0 0 1

( )

Luego,



A1 =

( Aij ) t A

senx cos x 0 = cos x senx 0 1 1 1

Ejercicio 4

x = 2t Las ecuaciones paramtricas de la recta dada son: r : y = t z=0 El plano pedido est determinado por el punto A = (1, 0, 1) y por los vectores r r v = (1, 1, 2) y v r = (2, 1, 0). Su ecuacin ser: x 1 1 2

y 1 1 = 0 2x + 4y + 3z + 5 = 0. z+1 2 0



ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o bien realizar nicamente los cuatro ejercicios d la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta e forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.

OPCIN A Ejercicio 12x

Considera la funcin f: R R definida por f ( x ) = e x +1 a) [1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f . b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor mximo que alcanzan).2

Ejercicio 2 [2,5 puntos] Determina un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que: 2 1 P(0) = P(2) = 1 y P( x) dx = . 0 3

Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina una matriz A simtrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: 6 4 12 2 det (A) = 7 y A 1 3 = 1 3

Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula la ecuacin de una recta que pasa por el punto de interseccin x del plano x + y z + 6 = 0 con la recta s = y 2 = z + 1 y es paralelo a la 3 3x + y 4 = 0 recta r 4 x 3 y + z 1 = 0



OPCIN B Ejercicio 1 9x 3 para x 0 y x 2. x 2 2x a) [1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f . b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Sea f la funcin definida por f ( x ) =

Ejercicio 2 [2,5 puntos] Sea f: R R la funcin definida por f ( x ) = xe x . Esboza el recinto limitado por la curva y = f (x ) , los ejes coordenados y la recta x = 1. Calcula su rea.

Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina la matriz X que verifica la ecuacin AX = X B siendo 1 0 0 1 1 0 A = 0 0 0 y B = 0 1 1 1 0 0 0 1 1

Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula el rea del tringulo de vrtices: A(1, 1, 2), B(1, 0, 1) y C(1, 3, 2)

Soluciones a la Opcin A Ejercicio 1 a) La funcin est definida en todo R. En consecuencia, f no tiene asntotas verticales. Asntotas horizontales:2x x + 2x x +12

lm e

= e = 1;0

x

lm e

x +1

2

= e0 = 1



La recta y = 1 es una asntota horizontal.

b) Hacemos la derivada: 2 2 x 2 x 2 +1 f ( x ) = 2 e f (x) = 0 si x = 1 o x = 1 ( x + 1) 22x

si x < 1, f (x) < 0 f es decreciente si 1 < x < 1, f (x) > 0 f es creciente en x = 1 hay un mnimo. si x > 1, f (x) < 0 f es decreciente en x = 1 hay un mximo. Para x = 1. f (1) = e 1 Mnimo: (1, e1). Para x = 1. f (1) = e 1 Mximo: (1, e)

Ejercicio 2 Sea P( x) = ax 2 + bx + c c

Por P(0) = 1 1 =

Por P(2) = 1 1 = 4a + 2b + c c = 1; b = 2a Luego: Como P( x) = ax 2 2 ax + 1

1 P( x) dx = 0 3

2

1 a ( ax 2ax + 1) dx = x 3 ax 2 + x = 0 3 0 32 2

2

8a 1 5 5 4a + 2 = a= b= 3 3 4 2

Por tanto, P( x) =

5 2 5 x x +1 4 2

Ejercicio 3 a b Sea A la matriz simtrica: A = b c . Con esto: www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


a b = ac b 2 = 7 b c 6 4 12 a b 2 2a b 6 a 3b 4 12 b c 1 3 = 1 2b c 6b 3c = 1 3 3 Se tiene: 2a b = 4 a = 2 + b / 2 2 2b c = 1 c = 2b 1 ( 2 + b / 2)( 2b 1) b = 7 ac b 2 = 7 ac b 2 = 7 De donde: b = 2; a = 1, c = 3. La matriz pedida es: 1 2 A= 2 3

Ejercicio 4 x = 3t Las ecuaciones paramtricas de la recta s son: s y = 2 + t z = 1 + t Sustituyendo en la ecuacin del plano: 3t + (2 + t) (1 + t) + 6 = 0 3t + 9 = 0 t = 3 La recta y el plano se cortan en P = (9, 1, 4). Hallamos las ecuaciones paramtricas de r: x =t 3x + y 4 = 0 r r y = 4 3t 4 x 3 y + z 1 = 0 z = 13 13t r La recta pedida es la que pasa por P con vector de direccin v r = (1, 3, 13). Sus ecuaciones son:



x = 9 + t y = 1 3t z = 4 13t



ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o bien realizar nicamente los cuatro ejercicios d la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados. OPCIN A Ejercicio 1 [2,5 puntos] Sea ln( 1 x 2 ) el logaritmo neperiano de 1 x 2 y sea f: (1, 1) R la funcin definida por f ( x ) = ln( 1 x 2 ) . Calcula la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 [2,5 puntos] Se sabe que la funcin f: R R definida por f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su grfica tiene un punto de inflexin en el punto de abscisa x = 1. Conociendo adems que halla a, b y c. Ejercicio 3 r r r Considera los vectores: u = (1, 1, 1), v = (2, 2, a) y w = (2, 0, 0). r r r a) [1,25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores u , v y w son linealmente independientes. r r r r b) [1,25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores u + v y u w son ortogonales. Ejercicio 4

f (x )dx = 6 ,1 0

x =1+ [2,5 puntos] Sabiendo que las rectas r x = y = z y s y = 3 + se cruzan, halla z = los puntos A y B, de r y s, respectivamente, que estn a mnima distancia.



OPCIN B Ejercicio 1 Dadas la parbola de ecuacin y = 1 + x 2 y la recta de ecuacin y = 1 + x , se pide: a) [1,5 puntos] rea de la regin limitada por la recta y la parbola. b) [1 punto] Ecuacin de la recta paralela a la dada que es tangente a la parbola. Ejercicio 2 Considera la funcin f: R R definida por f ( x ) = ( x + 3)e x . a) [0,5 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f. b) [1,5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexin de su grfica. c) [0,5 puntos] Esboza la grfica de f. Ejercicio 3 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) [0,5 puntos] El determinante de A3. b) [0,5 puntos] El determinante de A1. c) [0,5 puntos] El determinante de 2A. d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 C3, 2C3 y C2. Ejercicio 4x 1 y +1 z = = que equidista de 2 1 3 x = 3 + los planos 1 x + y + z + 3 = 0 y 2 y = + z = 6

[2,5 puntos] Determina el punto P de la recta r

Soluciones de la Opcin A Ejercicio 1 Hay que hallar F ( x) = ln( 1 x 2 ) dx . Esta integral puede hacerse por partes. Tomamos:



u = ln( 1 x 2 ) du =

dx = dv v = x

2x dx 1+ x2

Luego, F ( x) = ln( 1 x 2 ) dx = x ln( 1 x 2 ) +

2x2 dx 1 x2

La segunda integral se hace por descomposicin en fracciones simples, pues 2x2 2x2 2 + 2 2 A B = = 2 + = 2 + + 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1+ x En consecuencia:2 A B A(1 + x ) + B(1 x) = + = 2 = A(1 + x) + B (1 x ) 2 1 x 1 x 1+ x 1 x2

si x = 1: si x = 1: Por tanto:

2 = 2A A = 1 2 = 2B B = 1

Luego

2x2 2 1 1 dx = 2 + dx = ( 2) dx + dx + dx = 2 2 1 x 1 x 1 x 1+ x = 2 x ln( 1 x ) + ln( 1 + x ) + c

F ( x) = ln( 1 x 2 ) dx = x ln( 1 x 2 ) 2 x ln( 1 x ) + ln( 1 + x) + c

Para que pase por el punto (0, 1) debe cumplirse que F(0) = 1, y por tanto:F ( 0) = 0 ln 1 0 ln 1 + ln 1 + c = 1 c = 1.

La primitiva pedida es: F ( x) = x ln( 1 x 2 ) 2 x ln( 1 x) + ln( 1 + x) + 1 Ejercicio 2 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c f ( x ) = 3x 2 + 2ax + b f ( x) = 6x + 2a Por tener un extremo relativo en x = 0 f (0) = 0 b = 0www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


Por tener un punto de inflexin en x = 1 f(1) = 0 6 + 2a = 0 a = 3 Luego, de momento, f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + c

Por

f (x )dx = 61 0

x4 1 19 ( x + 3x + c) dx = + x 3 + cx = + 1 + c = 6 c = 4 0 4 0 41 3 2

1

En consecuencia,f ( x ) = x 3 + 3x 2 + 19 4

Ejercicio 3

r r r a) Los vectores sern linealmente independientes si el rango{ u , v , w } = 3. Para ello, el determinante asociado debe ser distinto de cero.1 1 1 2 2 a = 2a 4 0 a 2 2 0 0

r r r r b) u + v = (3, 3, 1 + a); u w = (1, 1, 1).Estos vectores son ortogonales cuando su producto escalar vale 0.

r r r r ( u + v ) ( u w ) = 0 (3, 3, 1 + a) (1, 1, 1) = 1 + a = 0 a = 1Ejercicio 4 La mnima distancia viene dada por el mdulo del vector AB, siendo AB ortogonal comn a los vectores de direccin de r y s.

x = t Las ecuaciones paramtricas de la recta r son: r y = t z = t Sean A y B dos puntos genricos de r y s, respectivamente. Sus coordenadas sern: A = (t, t, t); B = (1 + , 3 + , ) El vector AB = (1 + t, 3 + t, t).



r r Este vector debe ser perpendicular a v r = (1, 1, 1) y a v s = (1, 1, 1). En consecuencia: r AB v r = 0 (1 + t, 3 + t, t) (1, 1, 1) = 0 4 + 3t = 0r AB v s = 0 (1 + t, 3 + t, t) (1, 1, 1) = 0 4 + 3 t = 0 4 + 3t = 0 Resolviendo el sistema: t = 1 y = 1 4 + 3 t = 0 Luego, A = (1, 1, 1) y B = (0, 2, 1)



EXAMEN COMPLETO ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o bien realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados. OPCIN A Ejercicio 1 De la funcin f: (1, ) R se sabe que f (x) =

3 y que f(2) = 0. ( x + 1) 2

a) [1,25 puntos] Determina f. b) [1,25 puntos] Halla la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1).Ejercicio 2 Considera la funcin f: R R definida por f ( x) = ( x + 1)( x 1)( x 2) . a) [1 punto] Halla la ecuacin de las rectas tangente y normal a la grfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. Tiene puntos de inflexin la grfica de f? Ejercicio 3 Considera este sistema de ecuaciones: mx y = 1 x my = 2m 1 a) [1,5 puntos] Clasifica el sistema segn los valores de m. b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solucin en la que x = 3. Ejercicio 4 Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(1, 4, 3). a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos estn en el mismo plano. Halla la ecuacin de dicho plano. b) [0.75 puntos] Demuestra que el polgono de vrtices consecutivos ABCD es rectngulo. c) [0,75 puntos] Calcula el rea de dicho rectngulo.



OPCIN B Ejercicio 1 Se sabe que la funcin f: (1, +) R definida por: x 2 4 x + 5 si 1 < x < 0 f ( x) = 2 si x 0 x +a es continua en (1, +). a) [1,25 puntos] Halla el valor de a. Es derivable en x = 0? b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. . Ejercicio 2 [2,5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que el rea de la regin limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual a 9/2. Ejercicio 3 Considera las matrices siguientes: 1 0 1 0 1 0 1 A= y B = 0 1 C = 0 2 0 1 2 , 0 0 1 0 a) [1,25 puntos] Calcula A B, A C, At Bt y Ct At, siendo At, Bt y Ct las matrices traspuestas de A, B y C, respectivamente. b) [1,25 puntos] Razona cules de las matrices A, B, C y A B tiene matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa. Ejercicio 4 [2,5 puntos] Dados los vectores u = (2, 1, 0) y v = (1, 0, 1), halla un vector unitario w que sea coplanario con u y v y ortogonal a v . Soluciones de los ejercicios de la Opcin A Ejercicio 1

a) Hallamos una primitiva de f (x) =

3 ( x + 1) 2

f ( x) =

3 3 dx = 3( x + 1) 2 dx = 3( x + 1) 1 + c = +c 2 x +1 ( x + 1)

Como f(2) = 0, se tendr que: 3 0 = f (2) = +c c=1 2 +1

Por tanto, f ( x) =

3 +1 x +1



b) Una primitiva de f es: 3 F ( x) = + 1dx = 3 ln( x + 1) + x + k x +1

Si pasa por (0, 1), F(0) = 1: F (0) = 3 ln(0 + 1) + 0 + k = 1 k = 1 Por tanto, F ( x) = 3 ln( x + 1) + x + 1Ejercicio 2

a) Operando, obtenemos: f ( x) = x 3 2 x 2 x + 2La ecuacin de la recta tangente a f(x) en el punto (a, f(a)) es:

y f (a ) = f (a)( x a)La ecuacin de la normal es: y f (a ) =

1 ( x a) f (a )

Como f (x) = 3 x 2 4 x 1 , se tiene que f (1) = 2; mientras que f(1) = 0. Por tanto:

Tangente: Normal:

y = 2( x 1) y = 2x + 2y= 1 ( x 1) 2

b) La derivada segunda es: f (x) = 6 x 4 . Esta derivada se anula en x = 2/3. Como f(x) = 6 0, en x = 2/3 hay un punto de inflexin. Adems, como: si x < 2/3, f(x) < 0 f(x) es cncava () si x > 2/3, f(x) > 0 f(x) es convexa ()Ejercicio 3

a) Estudiamos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y de la matriz ampliada (M).m 1 1 A= 1 m 2 m 1 = M



m 1 = m 2 + 1 1 m Este determinante vale 0 si m = 1 o m = 1 El determinante de A, A = Con esto: Si m 1, 1 r(A) = 2 = r(M). El sistema ser compatible determinado. Si m = 1 se tiene: 1 1 1 =M A= 1 1 3 El rango de A, r(A) = 1; mientras que r(M) = 2. En consecuencia, el sistema ser incompatible. Si m = 1 se tiene: 1 1 1 A= 1 1 1 = M Como las dos filas de la matriz son iguales r(A) = r(M) = 1. El sistema ser compatible indeterminado. b) Si x = 3, se tendr: 3m y = 1 y = 3m 1 3 m(3m 1) = 2m 1 3 my = 5 3 my = 5 3m 2 + m 4 = 0 m = 4/3; m = 1 x=3 Para m = 4/3, el sistema tiene por solucin: . En este caso, al ser el sistema y = 5 compatible determinado, la solucin es nica. x = 3 Para m = 1, el sistema tiene por solucin: . En este caso, al ser el sistema y = 2 compatible indeterminado, la solucin es una de las infinitas posibles.Ejercicio 4

a) Los cuatro puntos pertenecern al mismo plano si los vectores AB, AC y AD son linealmente dependientes. Estos vectores son:AB = (2, 3, 1) (1, 2, 1) = (1, 1, 0) AC = (2, 3, 1) (1, 2, 1) = (1, 3, 2)



AD = (1, 4, 3) (1, 2, 1) = (2, 2, 2)

Como1 1 0 1 3 2 = 0 2 2 2

los vectores, efectivamente, son linealmente dependientes. b) El cuadriltero ser rectngulo si los vectores AB y BC, y AB y AD son ortogonales. Como: se tiene:AB = (1, 1, 0), BC = (2, 2, 2) y AD = (2, 2, 2) AB BC = AB AD = (1, 1, 0) (2, 2, 2) = 0

Por tanto, se trata de un rectngulo. c) Al tratarse de un rectngulo, su superficie se halla multiplicando su base por su altura. La base puede ser el mdulo de AB; la altura, el mdulo de AD.

AB = 1 + 1 = 2 ;Por tanto,

AD = 4 + 4 + 4 = 12

S = AB AD = 2 12 = 24 NOTA: La superficie tambin podra hallarse mediante el producto vectorial:

S = AB AD


ANDALUCA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

EXAMEN COMPLETOACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la Opcin A o bien realizar nicamente los cuatro ejercicios de la Opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.

OPCIN AEjercicio 1. [2,5 puntos] Determina un punto de la curva y de la recta tangente sea mxima.2

xe

x2

en el que la pendiente

Ejercicio 2. Sea I0

x3 1 x2

dx

a) [1,25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable t b) [1,25 puntos] Calcula el valor de I.Ejercicio 3. Considera A

1 x2

a 0

1 a

, siendo a un nmero real.

a) [1 punto] Calcula el valor de A 2

A

12 0

1 20

.

b) [1 punto] Calcula en funcin de a, los determinantes de 2 A y A t , siendo A t la traspuesta de A.

c) [0,5 puntos] Existe algn valor de a para el que la matriz A sea simtrica?Razona la respuesta.

Ejercicio 4. Considera el plano

de ecuacin 2x + y

z + 2 = 0 y la recta r de ecuacin

x 5 2

y

z 6 m

a) [1 punto] Halla la posicin relativa de r y segn los valores del parmetro m b) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y esperpendicular al plano

c) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paraleloal plano



OPCIN B

Ejercicio 1. Sea f la funcin definida por f ( x)

x4 x

3

, para x 0.

a) [0,75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte de los ejes y las asntotas de lagrfica de f

b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremosrelativos de f

c) [0,5 puntos] Esboza la grfica de fEjercicio 2. [2,5 puntos] El rea del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y e y

x2 a

ax , con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.

Ejercicio 3. [2,5 puntos] Resuelve

2

0

5 2 1

x y z

2 2 3

5 0 2

1 1 1 1

Ejercicio 4. Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones

x

y

z 3 0

x 2z 1 0

a) [1 punto] Halla la ecuacin del plano que contiene al punto P y a la recta r b) [1,5 puntos] Determina las coordenadas de l punto Q simtrico de P respecto de la recta r



SOLUCIN OPCIN AEJERCICIO 1 La pendiente de la tangente es mxima en las soluciones de y 0 (que son los puntos de inflexin) y que, adems, verifican que y 0 . Haciendo las derivadas se tiene:

y

xe

x2

y e

x2

x ( 2 x )ex2

x2

(1 2 x 2 )ex2

x2

y ( 4 x)e

(1 2 x 2 )( 2 x)ex2

( 6 x 4 x 3 )ex2

x2

y ( 6 12 x 2 )e y ( 6 x 4 x 3 )ex2

( 6 x 4 x 3 )( 2 x)e2 x( 3 2 x 2 )3/ 2

( 6 24 x 2

8 x 4 )e

x2

0

6x 4x3

x = 0; x

3 2

y(0)

6 ; y(

3 / 2)

( 6 36 18)e

0

El punto buscado es (0, 0).

EJERCICIO 2 a) Si t 1 x 2 dt 2 xdx Adems, de t 1 x 2 x 2 t 1. Por tanto: para x = 2 se tendr: 2 2 t 1 t=5 para x = 0 se tendr: 0 t 1 t=1 Sustituyendo:2

I0

x3 1 x2

2

dx =0

x2 x 1 x2

5

dx =1

1 (t 1) dt 1 2 = 2 t

5 1

t 1 t

dt

b) Operando:

1 5 1/ 2 (t 2 1=

t

1/ 2

)dt

1 t 3 / 2 t 1/ 2 2 3 / 2 1/ 2

5

1

1 2

53 / 2 3/ 2

51 / 2 1/ 2

13 / 2 11 / 2 3 / 2 1/ 2

=

1 2

10 5 3

2 5

2 3

2

2 5 2 3



EJERCICIO 3

a) A 2

A 1 a2

12 0 020

1 20 1 a 1 a a

A( A I ) 12 0 4; a 4; a 3 5

12 0 1 20

1 20a2 0 a a2 1 a 12 0 1 20

a 0a2 a

a 1

a 12 a

La nica solucin comn es a = 4.

b) 2 A

2a 0

2 2a

4a 2 a 0 1

At

a 1 a 1 0

0 a

a2

c) Es evidente que no, pues A

a

a

para cualquier valor de a

EJERCICIO 4

a) Estudiamos el ngulo de los vectores v = (2, 1, 1), normal al plano y el de direccin de la recta, v r = ( 2, 1, m)Su producto escalar es: v v r = (2, 1, 1) ( 2, 1, m) = 3 m Cuando este producto escalar es distinto de 0, el plano y la recta se cortan en un punto. Si el producto escalar es 0, el plano y la recta son paralelos; o el plano contiene a la recta. Por tanto: Si m 3, v v r 0

Si m = 3, v v r = 0

la recta corta al plano en un punto. la recta es paralela al plano o est contenida en l.

Como el punto P (5, 0, 6) de la recta no pertenece al plano, se concluye que la recta es paralela al plano.

b) Para m = 3 el plano pedido viene determinado por los vectores v = (2, 1, 1) y v r =( 2, 1, 3). Su ecuacin es:

x

5 2t 2h y t h z 6 3t h

x 5 y z 6

2 1 3

2 1 1 0x 4y 2z + 7 = 0



c) El vector caracterstico de este plano es el mismo que el de ; como adems debecontener al punto P(5, 0, 6) su ecuacin ser:

2( x 5)

y ( z 6)

0

2x + y

z

4=0


ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

Opcin A A.1. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 2 A que cumple las siguientes condiciones: 1) Coincide con su traspuesta. 2) Verifica la ecuacin matricial 1 1 1 3 3 1 1 1 A 0 1 = 3 3 3) Su determinante vale 9. [2,5 puntos]

A.2. Dada la recta de ecuaciones paramtricas

x = 1 + 2 r : y = 1 + z =1 y los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (1, 1, 2), se pide: 1) Encontrar la posicin relativa de r y la recta determinada por P y Q [1,5 puntos]. 2) Hallar el punto o los puntos R de r para los que el tringulo PQR es issceles de lados iguales PR y QR. [1 punto]

A.3. Hallar los valores de las constantes, a, b y c para que las grficas de las funcionesf ( x ) = x 2 + ax + b y g ( x ) = x 3 + c

pasen por el punto (1, 2) y en este punto tengan la misma tangente. [2,5 puntos]

A.4. Un tringulo issceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm de altura. Se inscribe en este tringulo un rectngulo uno de cuyos lados se apoya en la base del tringulo. Hallar las dimensiones del rectngulo as construido y que tenga la mayor rea posible [2,5 puntos]



Solucin A.1 a b Por 1) la matriz A debe ser simtrica: A = b d 1 a 1 Por 2): 1 1 b b 1 1 3 3 a + b a + d 3 3 = a b a d = 3 d 0 1 3 3 3

a + b = 3 a + d = 3 Por 3): A = ad b 2 = 9 Sustituyendo d y b en esta ltima ecuacin se tiene: a = 2; b = 1; d = 5. La matriz buscada es 2 1 A= 1 5

A.2

x=1 Ecuaciones de la recta PQ: s : y = 1 2t , con PQ = vs = (0, 2, 0). z = 2 1) Estudiando la dependencia lineal de los vectores vr, vs y AP, siendo A r y P s, se determina la posicin relativa de ambas recta: si esos vectores son l.i, las rectas se cruzan; si son l.d., estn en el mismo plano. Como vr = (2, 1, 0), vs = (0, 2, 0); tomando A = (1, 1, 1) y P = (1, 1, 2) se tiene que AP = (2, 2, 1). Con esto:

2

1

0

0 2 0 = 4 2 2 1



Luego, los vectores vr , vs y AP son linealmente independientes. En consecuencia, las rectas r y s se cruzan. 2) Sea R un punto genrico de r : R = (1 + 2, 2 + , 1). Entonces: PR = (2 + 2, 2 + , 1) y QR = (2 + 2, , 1) Como deben tener el mismo mdulo:( 2 + 2 ) 2 + (2 + ) 2 + ( 1) 2 = ( 2 + 2 ) 2 + 2 + ( 1) 2 = 1

El punto pedido es R = (1, 0, 1).

A.3 Debe cumplirse:f (1) = 2 = 1 + a + b f ( x ) = 2 x + a g (1) = 2 = 1 + c c = 1

g( x ) = 3 x 2 g(1) = 3

Como f (1) = g(1) , entonces: 2 1 + a = 3 a = 1 b = 0. Las funciones son:f (x ) = x 2 + x

y

g ( x) = x 3 + 1

A.4 El rea del rectngulo es base por altura: A = b a (Ver figura)



Por Tales se tiene que: Luego

x 5 = a = 4x a 20

A = b a = (10 2x) 4x = 40x 8x2 Para que A sea mxima: A= 0, A < 0. A= 40 16 x = 0 x = 2,5 A= 16 < 0. Las dimensiones del rectngulo deben ser: base = 5 cm; altura = 10 cm.


ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

Opcin A

0 0 1 A.1. Dada la matriz A = 0 a 0 , se pide: 1 0 2 i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la identidad A2 + 2A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos] ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto]

A.2. Hallar la ecuacin de la circunferencia C que pasa por los puntos (0, 2) y (0, 2) y es tangente a la recta r: y = 3x + 2 [1,5 puntos]. En el haz de rectas paralelas a r hay otra tangente a C, hallar su ecuacin [1 punto]

A.3. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el permetro de una cara lateral es de 30 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del que tiene volumen mximo [2,5 puntos]

A.4. Tenemos la funcin f definida para todo nmero real no negativo y dada por1 f (x ) = 1 x2 si 0 x 1 si x > 1

Se pide su representacin grfica [0,5 puntos], hallar interpretar geomtricamente el resultado [0,5 puntos]

f ( x)dx [1,5 puntos] e3 0

Solucin.

A.1

i)

0 0 1 0 0 1 1 0 A = 0 a 0 0 a 0 = 0 a 2 1 0 2 1 0 2 2 0 2

2 0 3

0 0 0 0 0 0 2 A + 2A + I = O 0 a + 2a + 1 0 = 0 0 0 a 2 + 2a + 1 = 0 a = 1 0 0 0 0 0 0 2



ii) Si a = 1,

1 0 0 A = 0 1 0 ; 1 0 2 Luego,

2 0 1 Adj(A) = 0 1 0 ; 1 0 0

A = 1

A

1

2 0 1 = 0 1 0 1 0 0

A.2 Observamos que la tangente pasa por el punto (0, 2). Luego ese es el punto de tangencia. El centro de la circunferencia pedida est en el punto de corte de la mediatriz de la cuerda determinada por P = (0, 2) y Q = (0, 2), que es la el eje OX, y la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Cuerda: y = 0 Perpendicular a la tangente en (=, 2): y 2 = Corte: O = (6, 0). Aqu est el centro. Radio = d(P, O) = 401 x 3

Ecuacin de la circunferencia: ( x 6) 2 + y 2 = 40 El punto de tangencia de la otra tangente debe ser diametralmente opuesto a P, en P= (x, y). Como el centro O es el punto medio del segmento PP, se tendr:0+ x 2+ y (6, 0) = , P = (12, 2) 2 2

Y la recta pedida ser: y + 2 = 3 (x 12)www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM


A.3 Si x es el lado de la base e y la altura, se trata de hacer mximo el volumen V = x2y con la condicin de que el permetro de una cara lateral valga 30 cm: 2x + 2y = 30 y = 15 x. Luego, V = x2(15 x) V = 15x2 x3 Para mximo: V = 0; V < 0 V = 30x 3x2 = 0 x = 0 o x = 10 V = 30 6x V(0) = 30; V(10) = 30. El mximo de V se da para x = 10 e y = 5.

A.4 La grfica de f se da en la figura adjunta.

f ( x)dx = dx + 31

3

0

0

1

1 5 1 1 dx = x 0 + = 2 x x 1 3

3

El nmero

5 designa el rea de la regin rayada en la figura. 3


Ejercicios resueltos de selectividad Matemticas II Universidad de Extremadura2000-2006

Vicente Gonzlez Valle I.E.S. Zurbarn (Badajoz) Abril 2007

ii

PrlogoEste libro se ha hecho para uso y disfrute de los alumnos de segundo de bachillerato de la opcin cientco-tecnolgica. Se trata de la segunda versin, por lo que espero tengis la bondad de perdonar los errores que he cometido al hacerlo. Tambin agradezco de corazn la colaboracin de algunos compaeros y compaeras que tuvieron conocimiento de la primera versin gracias a la Sociedad Extremea de Educacin Matemtica Ventura Reyes Prsper, la cual no slo comunic la primera edicin, sino que adems me permiti obtener los enunciados de todos los aos y as ayudarme a clasicarlos. Si quieres hacer algn comentario, comunicar algn error o decir algo que se te ocurra, puedes ponerte en contacto conmigo en [email protected]. Este libro se ir actualizando con los exmenes que cada ao vaya poniendo la universidad, pudiendo obtenerse la versin actualizada en la pgina: http://www.telefonica.net/web2/vicentegonza/examenes.html. Este trabajo se ha hecho utilizando L T Xy su frontend para linux Kile. Para los grcos se ha E usado el software de Geogebra. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y los han compartido gratuitamente con los dems. He hecho una clasicacin de los ejercicios por temas, esperando que la clasicacin realizada sea del agrado de todos. Se trata de un trabajo que ofrezco a la comunidad educativa, pero es conveniente saber que se emite bajo una licencia Creative Commons en la que tienes que tener presente que:

A

Tu eres libre de:copiar, distribuir, comunicar y ejecutar pblicamente la obra. hacer obras derivadas.

Bajo la siguientes condiciones: AtribucinDebes reconocer y citar la obra de la forma especicada por el autor o el licenciante. No puedes utilizar esta obra para nes comerciales. Si alteras o transformas esta obra, o generas una obra derivada, slo puedes

No Comercial

Licenciar Igual

distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta. Al reutilizar o distribuir la obra, tienes que dejar bien claro los trminos de la licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor.

iii

iv

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a Teresa, a , Isabel y Vicente. y a mis hijos Ana MA mi mujer M

A los tios Manolo, Chencho, Pepi, Gonzalo y Modesto, y, como no, al abuelo Paco, los ltimos que nos dejaron siendo testigos del amor.

Gracias a todos.

vi

ndice general1. Anlisis1.1. Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. 1.2. Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 1 2 3 4 4 5 5 6 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 12 13 14 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 20 20 20 22 22

Derivada y sus aplicaciones 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6. 1.2.7. 1.2.8. 1.2.9.

Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.10. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.11. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.12. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.13. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.14. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.15. Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.16. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.17. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.18. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.19. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.20. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.21. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.22. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.23. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.24. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.25. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Integral. Clculo de reas y volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

viii1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. 1.3.8. 1.3.9.

NDICE GENERALJunio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 23 24 25 25 26 26 27 28 28 29 29 30 31 31 32 32 33 34 34 35 35 36 36

1.3.10. Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.11. Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.12. Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.13. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.14. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.15. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.16. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.17. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.18. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.19. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.20. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.21. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.22. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.23. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.24. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.25. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.26. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.27. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.28. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. lgebra2.1. Matrices y determinantes 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6. 2.1.7. 2.1.8. 2.1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3939 39 39 40 40 41 41 42 42 43 43 44 44 45 45 45 45 46 47 49 49 50 51

2.1.10. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.11. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.12. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 2.2.7. 2.2.8. 2.2.9. Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NDICE GENERAL2.2.10. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.11. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.12. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.13. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.14. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.15. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix51 52 53 53 54 55

3. Geometra3.1. Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 3.1.7. 3.1.8. 3.1.9. Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5757 57 58 58 59 59 60 61 61 62 63 63 64 64 65 65 66 66 68 68 68 68 69 70 70 71 71 72 72

3.1.10. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.11. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.12. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.13. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.14. Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.15. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.16. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.17. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Problemas mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.2.6. 3.2.7. 3.2.8. 3.2.9. Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.10. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

NDICE GENERAL

Captulo 1

Anlisis1.1. Funciones y continuidad

1.1.1.

Representar grcamente la funcinf (x) = 2x3 x2 5 x+ 2 27

Cuntas races reales positivas tiene este polinomio?(Septiembre 00)

- Solucin:Para poder representarla vamos a estudiar su derivada. Tenemos que

f (x) = 6x2 x 1Igualando a cero resulta:

6x2 x 1 = 0 = x =

1

1 + 24 15 = = 12 12 4 = 1 12 3

6 =1 12 2

Construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada y conocer as donde crece y donde decrece y sus mximos y mnimos.

, 6x2 x 1 +

1 3

1 1 , 3 2

1 , + 2 +

En consecuencia: - Crece

,

1 3

1 , + 2

- Decrece

1 1 , 3 2 1 7 , 3 18 1 41 , 2 2161

- Mximo

- Mnimo

2Tambin es obvio que

1. Anlisis

l m f (x) = y que l m f (x) = + x x+ Podemos hacer una tabla de valores para anar la representacin, pero aqu no la pondremos.La grca resultante podemos verla en la gura 1.1

Figura 1.1: Representacin grca de la funcin

f (x) = 2x3

x2 5 x+ 2 27

Para ver la ltima parte del ejercicio usaremos el Teorema de Bolzano. Sabemos que como mucho tendr tres raices reales (pues es un polinomio de grado 3) y por los datos recabados con anterioridad y mirando la grca las raices estarn en los intervalos

,

1 3

,

1 1 , 3 2

y

1 , + 2

. Es

evidente que hay una positiva garantizada (la contenida en el ltimo intervalo) y otra negativa (en el primero). Veamos que ocurre con la otra. Nos basaremos en el teorema de Bolzano para ir tanteando y comprobando donde est. Tenemos que intervalo

f (0) =

5 >0 27

y

f

1 2

=

41 < 0. 216

Por tanto la tercera raiz se encuentra en el

0,

1 2

y es positiva.

1.1.2.

Representa la grca del polinomiof (x) = 2x3 + 3x2 0 2

Cuntas races reales negativas tiene este polinomio? y cuntas positivas?(Junio 01)

- Solucin:Vamos a hacer un breve estudio del polinomio para su representacin: -

Domf = R

Como en todos los polinomios.

- Simetra

No tiene.

- Continuidad - Asntotas

Continua en todo

R.

No tiene, como le ocurre a todos los polinomios.

- Corte con los ejes:

Eje X: Al ser un polinomio de grado 3 puede cortar al Eje X en un mximo de tres puntos. Vamos a orientarnos donde estarn usando el teorema de Bolzano.

f (2) = 16 + 12 0 2 < 0 f (1) = 2 + 3 0 2 > 0

1.1. Funciones y continuidad

3

f (0) = 0 2 < 0 f (1) = 2 + 3 0 2 > 0Por tanto corta en un punto entre

(2, 1),

en otro entre

(1, 0)

y en otro entre

(0, 1).

Eje Y:

(0, 0 2)

- Vamos a estudiar la derivada:

f (x) = 6x2 + 6xEsta derivada se anula en

x=0

y en

x = 1.

Por tanto:

(, 1) (1, 0) (0, +) 6x + 6x2

+

+

De aqu deducimos que:

Crece

(, 1) (0, +) (1, 0) (1, 0 8) (0, 0 2)

Decrece Mximo Mnimo

Su representacin grca podemos verla en la gura 1.2


f (x) = 2x3 + 3x2 0 2

La respuesta a las preguntas nales ya la hemos hecho cuando realizamos el estudio del corte con el Eje X, es decir, hay dos raices negativas y una positiva.

1.1.3.

Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una dcima, una raz positiva del polinomio x3 + x 1(Septiembre 01)

- Solucin:La parte de teora podemos encontrarla en cualquier libro. Para buscar la raiz positiva que nos piden vamos a tantear utilizando el teorema de Bolzano. Nuestra funcin es

f (x) = x3 + x 1

y es fcil observar que la funcin es continua en todo

R,

y por

tanto, lo es en cualquier intervalo que cojamos. Tambin se cumple que:

f (0) = 1

y

f (1) = 1

Vamos a comenzar a tantear para acorralar la raiz.

4

1. Anlisis

f (0 5) = 0 375 < 0 = f (0 7) = 0 043 > 0 =

La raiz est en el intervalo

(0 5, 1).


(0 5, 0 7). (0 6, 0 7). (0 6, 0 7). tomar 0 7.Valdra cualquiera,

f (0 6) = 0 184 < 0 =


La raiz, con un error menor que

01

est contenida en el intervalo

pero parece que por el valor que toma la funcin en l podamos

1.1.4.

Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio x4 4x2 1 tiene alguna raiz real negativa.(Junio 03)

- Solucin:El teorema podemos encontrarlo en cualquier libro. Vamos a aplicar el mismo para comprobar que la funcin tiene, al menos, una raiz negativa. Este hecho es evidente, pues basta con comprobar que la funcin toma valores de distinto signo en

5-

y

0.

f (5) = 625 100 1 > 0. f (0) = 1 < 0. fes continua en en el que

Luego, segn el teorema de Bolzano, como contrario en

[5, 0]

y toma valores de signo

5

y

0,

entonces existe un

c (5, 0)

f (c) = 0.

1.1.5.

Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuacin x = cosx tiene solucin positiva.(Septiembre 04)

- Solucin:El teorema de Bolzano puede encontrarse en cualquier libro. Pasamos a la segunda parte. Consideramos la funcin

f (x) = cosx x.

Evidentemente su dominio es todo

R

y es tambin

continua en todo su dominio. Adems:

f (0) = 1 0 = 1 > 0 f (1) = cos1 1 = 0 999847 1 < 0Por tanto, esta funcin cumple las hiptesis del teorema de Bolzano, y segn el mismo, tiene que tener una raiz en el intervalo

(0, 1),

y por tanto positiva.

Si no queremos apurar tanto podemos tomar est comprendido entre

x = 2, 3,

en lugar de

x = 1, pues como el coseno

1

y

1,

al restarle la

x

elegida dar negativo.

1.2. Derivada y sus aplicaciones

5

1.2.

Derivada y sus aplicaciones

1.2.1.

Determinar el dominio de denicin de la funcin f (x) = x ln x2 1 y representar su grca, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos (mximos y mnimos relativos).(Junio 00)

- Solucin:La funcin no existir en los puntos en los que vamos a hacer una tabla con los puntos de corte.

x2 1 0.

Vamos a ver donde ocurre. Para ello

x2 1 = 0 = x = 1La tabla queda:

(, 1) (1, 1) (1, +) x 1Luego el dominio de la funcin es Vamos a estudiar su derivada:

2

+

+ (1, +).

Domf = (, 1)

f (x) = 1

x2 1 2x x2 2x 1 2x = = x2 1 x2 1 x2 1

Vamos a estudiar su signo. Para ello vamos a igualar la derivada a cero y tendremos en cuenta el dominio antes calculado y construiremos una tabla.

2 4+4 2 8 x2 2x 1 = 0 = x = = =1 2 21 x 2 2La tabla quedara:

(, 1) x 2x 1 x2 12

(1, 1)No existe

1, 1 +

2

1+

2, +

+

+

Figura 1.3: Representacin grca de la funcin Luego la funcin: - Crece

f (x) = x ln x2 1

(, 1) 1, 1 + 2

1+

2, +

- Decrece

6Hay un mnimo en

1. Anlisis

1+

2, 0.84

. Para aproximar ms es bueno hacer una tabla de valores, que

aqu no haremos. Tambin es evidente que en tiene el logaritmo. -

x=1

y en

x = 1

hay asntotas verticales, pues las

x = 1 l f (x) = + mx1+

(Por la izquierda no existe).

-

x = 1

x1

l m f (x) = +

(Por la derecha no existe).

La representacin grca podemos verla en la gura 1.3.

1.2.2.

Denir el concepto de derivada de una funcin f (x) en un punto explicar su relacin con los mximos relativos de la funcin.

x = a,

y

(Junio 00)

- Solucin:La solucin de este ejercicio puede verse en cualquier libro.

1.2.3.

Calcular la derivada en el punto x = 1 de la funcin

f (x) = x1/2 lnx.(Septiembre 00)

- Solucin:Vamos a calcular la derivada y despus sustituiremos

x=1

en la funcin obtenida.

1 1 f (x) = x3/2 lnx + x1/2 2 xSustituyendo obtenemos:

1 f (1) = 13/2 ln1 + 11/2 1 = 1 2

1.2.4.

Dadas las funciones f (x) = x2 + y g(x) = senx + cosx, calcula la derivada en x = 0 de las funciones f (g(x)) y g(f (x)).(Junio 01)

- Solucin:Tenemos dos formas de resolver este ejercicio. La primera consiste en calcular las composiciones requeridas y posteriormente derivar, y la segunda en derivar aplicando la regla de la cadena. Veamos la primera en ambas funciones:

f (g(x)) = (senx + cosx)2 + = sen2 x + cos2 x +2senxcosx + = sen2x + + 11Si derivamos esta expresin tendremos:

[(f og)] (x) = [f (g(x))] = 2cos2xSustituyendo en

x=0

resulta:

[(f og)] (0) = 2Por otro lado, la otra composicin nos dara:

g(f (x)) = sen(x2 + ) + cos(x2 + )

1.2. Derivada y sus aplicacionesDerivando obtenemos:

7

[(gof )] (x) = 2xcos(x2 + ) 2xsen(x2 + )Subtituyendo en

x=0

el resultado obtenido es:

[(gof )] (0) = 0Veamos ahora el otro mtodo para la resolucin del ejercicio. Lo haremos a modo de ejemplo slo en el primer caso. Segn la regla de la cadena

[(f og)] (x) = f (g(x)) g (x) = 2(senx + cosx)(cosx senx)Si sustituimos en

x=0

nos quedara:

(f og)] (0) = 2(sen0 + cos0)(cos0 sen0) = 2Obtenemos, obviamente, el mismo resultado.

1.2.5.

Entre todos los rectngulos de rea dada cul es el de permetro mnimo?(Septiembre 01)

- Solucin:Vamos a buscar una funcin a minimizar (que depender en un principio de dos variables) y una igualdad que ligue las variables. En nuestro caso son:

P (x, y) A

=

2x + 2y

= xy

2A 2x2 + 2A = P (x) = 2x + = x x A = y = (1) x

Vamos a derivar la funcin obtenida:

P (x) =

4x x (2x2 + 2A) 4x2 2x2 2A 2x2 2A = = x2 x2 x2

Igualando la derivada a cero obtenemos:

2x2 2A = 0 = 2x2 2A = 0 = x2 = A = x = A 2 xDe las dos obtenidas slo vale la positiva. Vamos a calcular la segunda derivada para ver que hay un mnimo.

P (x) =

4x x2 2x(2x2 2A) 4x3 4x3 + 4Ax 4Ax = = 4 4 x x4 x

Sustituyendo el valor de x obtenido tenemos:

Pluego hay un mnimo. Sustituyendo

4A A A = >0 A2en (1) podemos calcular

x=

A

y.

x=

A A = y = = A A

8

1. Anlisis

Se trata por tanto de un cuadrado de lado

A. x = a

1.2.6.

Denir el concepto de derivada de una funcin f (x) en un punto explicar su relacin con el crecimiento de la funcin.

y

(Junio 02)

- Solucin:La respuesta puede encontrarse en cualquier libro.

1.2.7.

Representar la grca de la funcin tervalos donde es creciente.

f (x) = 2x + (2x)1 ,

determinando los in(Junio 02)

- Solucin:Nuestra funcin podemos ponerla

f (x) = 2x + (2x)1 = 2x + Domf = R {0}.ni al eje

Vamos a buscar algunos datos para poder representarla. Es evidente que el dominio de la funcin es asntota vertical en

1 4x2 + 1 = . 2x 2xTambin es obvio que tiene una

x = 0,

que no corta al eje

X,

Y.

Vamos a estudiar la derivada.

f (x) =

16x2 8x2 2 8x2 2 8x 2x 2 (4x2 + 1) = = 2 2 4x 4x 4x2

Igualando a cero tenemos:

8x2 2 1 1 = 0 = 8x2 2 = 0 = x2 = = x = 4x2 4 2Vamos a estudiar el signo de la derivada para especicar donde crece y donde decrece, as como los mximos y mnimos, si los tiene.

(, 1/2) (1/2, 0) (0, 1/2) (1/2, +) 8x2 2 4x2 + +

Para anar la representacin puede hacerse una pequea tabla de valores, viendo la representacin en la gura 1.4.


f (x) = 2x + (2x)1

1.2. Derivada y sus aplicacionesEn cuanto al crecimiento y decrecimiento, as como del estudio de la derivada, concluimos: - Crece

9

(, 1/2) (1/2, +). (1/2, 0) (0, 1/2). (1/2, 2). (1/2, 2).

- Decrece - Mximo - Mnimo

1.2.8.

Representar la grca de la funcin f (x) = x3 +x3 , determinando sus extremos (mximos y mnimos relativos).(Septiembre 02)

- Solucin:Nuestra funcin escrita en forma de fraccin es:

f (x) = x3 + x3 = x3 +Es evidente que su dominio es

x6 + 1 1 = x3 x3

Domf = R {0}.

Adems la funcin es impar, pues:

f (x) =

(x)6 + 1 x6 + 1 x6 + 1 = = = f (x) (x)3 x3 x3

Vamos a ver los puntos de corte con los ejes: - Eje X

Hacemos

y = 0. x6 + 1 = 0 = x6 + 1 = 0 = x3No corta.

- Eje Y

Hacemos

x = 0.

En este caso no corta, pues

x=0

no pertenece al dominio.

Vamos a calcular la primera derivada para hallar los mximos y los mnimos.

y =

6x5 .x3 3x2 x6 + 1 6x8 3x8 3x2 3x8 3x2 = = x6 x6 x6

Si igualamos a cero resulta

3x8 3x2 = 0 = 3x8 3x2 = 0 = 3x2 x6 1 = 0 = x6 = x = 0 = No6pertenece al dominio.

x 1 = 0 = x6 = 1 = x = 1

Vamos a estudiar el signo de la derivada y as podemos decidir los mximos y mnimos.

(, 1) (1, 0) (0, 1) (1, ) 3x8 3x2 x6 + +

De aqu deducimos que la funcin tiene: - Un mximo en el punto - Un mnimo en el punto

(1, 2). (1, 2).

10Es fcil observar que la funcin tiene una asntota vertical en la recta asntotas ni horizontales, ni oblicuas.

1. Anlisis

x = 0

y que no tiene

Puede hacerse una tabla de valores para anar ms la representacin grca, pero no la haremos aqu. La representacin grca pedida podemos verla en la gura 1.5.


f (x) = x3 + x3

1.2.9.

Enuncia la regla de L'Hpital y calcula el lmite1 cos(2x) x1 (x 1)2 l m(Septiembre 02)

- Solucin:La parte terica de la pregunta puede verse en cualquier libro. Vamos a resolver el lmite.

0 2sen(2x) 2 2 cos(2x) 0 1 cos(2x) = = l m = l m = 2 2 = 2 x1 2(x 1) x1 x1 (x 1) 0 0 1 l m

1.2.10.

Representar grcamente la funcin f (x) = ex ex, determinando sus extremos relativos (mximos y mnimos relativos). Existe algn valor de x en que f (x) sea negativo?(Junio 03)

- Solucin:Vamos a empezar, como siempre, por ver su dominio. - Es evidente que el

Domf = R.

- Veamos ahora los cortes con los ejes:

Eje X.

Hacemos

y = 0.

e ex = 0 = e = ex = x = 1 Eje Y.

x

x

Hacemos

x = 0.

f (0) = 1- Vamos a realizar la derivada, la igualaremos a cero y la estudiaremos la misma.

f (x) = ex e = 0 = ex = e = x = 1


11

(, 1) (1, ) e ex

+

Tambin se puede observar de forma sencilla que no va a tener asntotas. Para anar la representacin vamos a hacer una tabla de valores:

x y

1 3.09

0 1

1 0

2 1.95

3 11.93

La representacin grca podemos verla en la gura 1.6.


f (x) = ex ex

En cuanto al interrogante que nos hacen la respuesta es evidente viendo la grca, pero tambin puede razonarse si tenemos en cuenta que tiene un mnimo en el punto es no.

(1, 0).

La respuesta obvia

1.2.11.

Determinar una recta tangente a la parbola y = 2 x2 que sea paralela a la recta de ecuacin 2x + y = 4.(Junio 03)

- Solucin:Como es paralela a la recta forma

2x + y = 4

la ecuacin de la recta que buscamos tiene que ser de la

2x + y = k

y de aqu deducimos que su pendiente tiene que ser

m = 2. m = 2.

Vamos a ver donde tiene la funcin

y =2x

2

una recta tangente con pendiente

mtg = f (x) = 2x = 2 = x = 1Luego el punto en el que se produce la tangente es

f (1) = 2 1 = 1 = (1, 1). 2x + y = k .

Por tanto, para calcular k basta con sustituir el punto en la ecuacin de la recta

2x + y = kLuego la recta buscada es

en

(1, 1) = 2 + 1 = k = k = 3.

2x + y = 3

12

1. Anlisis

1.2.12.

Con un alambre de dos metros se desea formar un cuadrado y un crculo. Determinar el lado del cuadrado y el radio del crculo para que la suma de sus reas sea mnima.(Septiembre 03)

- Solucin:Para plantear el problema buscamos una funcin a minimizar (que estar en funcin de dos variables) y una ecuacun que ligue las variables. Estas ecuaciones son:

A(l, r) = l2 + r2 =

Ecuacin a minimizar. Ecuacin que liga las variables.

4l + 2r = 2 = 2l + r = 1 =Vamos a despejar

l

en la ltima ecuacin, resultando:

l=Sustituyendo en la primera tenemos:

1 r 2

(1.1)

A(r) =

1 r 2

2

+ r2 =

1 + 2 r2 2r 1 + 2 r2 2r + 4r2 + r2 = = 4 4 ( 2 + 4)r2 2r + 1 4

=Derivando la expresin obtenemos:

A (r) =

1 ( 2 + 4)r 2( 2 + 4)r 2 = 2 4 2

Igualando a cero resulta:

( 2 + 4)r = 0 = ( 2 + 4)r = 0 = ( 2 + 4)r = = 2 = ( + 4)r = 1 = r =Si hacemos la segunda derivada resulta:

1 +4

u.

A (r) =

2 + 4 >0 2 r

para cualquier valor de r.

En consecuencia para el valor de Vamos a calcular

que nosotros hemos calculado la funcin tiene un mnimo.

l

sustituyendo en la igualdad (1.1).

l=

1 1 +4

2

=

1

+4

2

=

4 2 &+ 4 & = = 2 + 8 2 + 8 +4

u.

1.2.13.

Determinar en qu puntos es negativa la derivada de la funcin f (x) = ex x2 .(Septiembre 03)

- Solucin:Nuestra funcin es

f (x) =

ex . x2

Su derivada por tanto ser:

f (x) =

ex x2 2xex xex (x 2) = x4 x4


13

Vamos a estudiar su signo. Calculamos para ello las raices del numerador y del denominador.

- Raices del numerador:

x = 0. x xe (x 2) = 0 = ex = 0 = No tiene x 2 = 0 = x = 2.- Raices del denominador:

solucin.

x4 = 0 = x = 0.Con los valores obtenidos construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada.

(, 0) (0, 2) (2, +) xex (x 2) x4Por tanto es negativa en el intervalo

+

+

(0, 2).

1.2.14.

Determinar el mayor rea que puede encerrar un tringulo rectngulo cuyo lado mayor mida 1 metro.(Junio 04)

- Solucin:La gura 1.7 nos muestra la idea.

Figura 1.7: Visin grca del problema

Nosotros iremos moviendo la hipotenusa (lado mayor) haciendo variar

x

e

y.

Necesitamos pues una funcin a maximizar (el rea) y otra que ligue las dos variables. Dichas ecuaciones son:

x.y (Funcin a maximizar) 2 2 2 x + y = 1 y = 1 x2 (Ecuacin A(x, y) =Por tanto, si sustituimos la

que liga las variables)

y

en la primera funcin obtenemos:

A(x) =

x

1 x2 1 = x 2 2

1 x2

Vamos a derivar para ver los puntos que anulan dicha derivada. Entre estos valores se encuentran

14los mximos y los mnimos.

1. Anlisis

A (x) =

1 2

1 x2 +

x (x) 2 1 1 x2 x2 1 2x2 = = 2 2 1 x2 2 1 x2 1 x2

Igualando esta expresin a cero tenemos:

1 2x2 2 1 2 2 2 = 0 = 2x + 1 = 0 = 2x = 1 = x = = x = 2 2 2 2 1xPara ver que tenemos en ese punto un mximo vamos a estudiar el signo de la derivada a ambos lados del nmero. Tenemos que

A (0) =

1 >0 2

y

A (0 8) =

0 28 0.

- Decrece en

f (x) < 0.

- Tiene un mximo en - Tiene un mnimo en - Es convexa en - Es cncava en

(1, 1) = f (1) = 0. (1, 1) = f (1) = 0.es decreciente en es creciente en

(, 0) = f (x) < 0 = f (0, +) = f (x) > 0 = f x=0

(, 0).

(0, +).

- Hay un punto de inexin en un mnimo en

como conclusin de los puntos anteriores, por tanto tiene

x = 0.

Con todos estos datos tenemos que la grca podra ser la que vemos en la gura 1.8.


15

Figura 1.8: Representacin aproximada de la funcin buscada

1.2.16.

Se desea construir un paraleleppedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el rea total de sus 6 caras sea mnima.

(Septiembre 04)

- Solucin:Queremos minimizar el rea total. Dicho rea es la suma de las reas de las seis caras. En el gura 1.9 podemos ver que este rea es:

Figura 1.9: Visin grca del ejercicio

A(x, h) = 2.(2x.h) + 2.(h.x) + 2.(2x.x) = 4xh + 2xh + 4x2 = 4x2 + 6xhPara ligar las variables tenemos el volumen que cumple

V = Ab h = 2x.x.h = 2x2 .h = 9 = h =Por tanto la funcin rea queda:

9 2x2

& A(x) = 4x2 + & 6x

3

9 2 2 x

= 4x2 +

27 4x3 + 27 = x x

16Si derivamos tendremos:

1. Anlisis

A (x) =

12x2 .x (4x3 + 27) 12x3 4x3 27 8x3 27 = = =0 x2 x2 x2 8x3 27 = 0.De aqu deducimos que:

Por tanto, la derivada se anula cuando

8x3 27 = 0 = 8x3 = 27 = x3 =

27 = x = 8

3

3 27 = dm. 8 2

Si estudiamos el comportamiento de la derivada en puntos prximos al obtenido vemos que se trata de un mnimo.

En conclusin tenemos que

Y estos eran los valores buscados.

19 37 < 0 y A (2) = >0 1 4 36 3 9 = x = = h = = 2 dm. 9 2 18 2. 4 A (1) =

1.2.17.

Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente es perpendicular a la recta y + 6x = 0.(Septiembre 04)

- Solucin:La curva de la que hablamos tiene ecuacin tenemos que la recta es

y 3 = 2x = y = y + 6x = 0 = y = 6x = m = 6. 1 . 6

3

2x = (2x) 3 . 1 1 = . m 6

1

Por otro lado

De aqu deducimos que la perpendicular tiene por pendiente Vamos a ver en que puntos tiene la curva pendiente igualamos a

mtg =

Para ello derivamos la funcin y la

2 1 = mtg (2x)2/3 .2 = 3 3 3 4x2 2 1 3 3 = = 3 4x2 = 12 = 4x2 = 4 = 4x2 = 64 = x2 = 16 = x = 4 3 2 6 3 4x y =Por tanto, los puntos buscados son

1 . 6

P1 (4, 2); P2 (4, 2).

1.2.18.

Hallar la derivada en

x=0

de la funcin

f (f (x)),

donde

f (x) = (1 + x)1 .(Junio 05)

- Solucin:Tenemos que Es obvio que

f (x) = (1 + x)1 = f (0) = 1,que

Aplicamos la regla de la cadena:

1 1 = f (x) = . 1+x (1 + x)2 1 f (0) = 1 y que f (1) = . 4 1 1 .(1) = 4 4

[f (f (0))] = f (f (0)) .f (0) = f (1).(1) =

1.2.19.

Representar grcamente la funcin f (x) = x2senx en el intervalo < x < , determinando sus extremos (mximos y mnimos relativos).(Junio 05)

- Solucin:Tenemos la funcin

f (x) = x 2senx

en el intervalo

< x <

1.2. Derivada y sus aplicacionesEs obvio que el dominio de esta funcin es todo Vamos a estudiar la derivada:

17

R.

Tambin es evidente que no hay asntotas.

f (x) = 1 2cosx = 0 = 2cosx = 1 = cosx = , 1 2cosx + 3 , 3 3 3

1 = x = 2 3 , 3 +

y

x=

3

De este estudio deducimos que hay un mximo en

x=

y un mnimo en

x=

Para representarla tendramos que hacer una tabla de valores:

3

x 0 y 0

2 0 18

2 0 18

3 2 71

3 2 71

/3 0 68

/3 0 68

Su representacin grca sera:

1.2.20.

Enunciar el Teorema del Valor Medio del Clculo Diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera nmeros reales x < y se verica que cosy cosx y x.(Septiembre 05)

- Solucin:El enunciado del teorema puede encontrarse en cualquier libro. Vamos a considerar la funcin

f (x) = cosx

que es obviamente continua y derivable en todo En consecuencia:

R,

y por lo tanto lo ser en cualquier intervalo

[x, y].

c (x, y)Ahora bien,

f (c) =

cosy cosx yx

f (x) = senx = f (c) = senc = f (c) 1.

De aqu deducimos lo que queramos:

cosy cosx 1 = cosy cosx y x yx

1.2.21.

Hallar la derivada en el punto x = 0 de la funcin f (f (x)), donde f (x) = senx.(Septiembre 05)

18

1. Anlisis

- Solucin:Vamos a realizar la derivada por la regla de la cadena:

[(f of )] (0) = f (f (0)) f (0) = cos(sen(0)) cos0 = cos0 cos0 = 1 1 = 1

1.2.22.

Calcula

1 + x ex x0 sen2 x l m(Junio 06)

- Solucin:Vamos a resolver el lmite por la regla de L'Hpital.

0 1 ex 0 ex 1 + x ex 1 ex 1 = = l m = = = l m = l m 2x x0 2 senx cosx x0 2cos2x x0 x0 sen2x sen 0 0 2 l m

1.2.23.

Dene el concepto de mximo relativo de una funcin relacin con las derivadas sucesivas de f (x).

f (x)

y enuncia su(Junio 06)

- Solucin:Es una pregunta terica que puede encontrarse en cualquier libro.

1.2.24.

Dada la funcinf (x) =

senx + sen(x + 1) cosx cos(x + 1)

en el intervalo 0 < x < 2, calcula su derivada, simplicndola en lo posible. Es constante esta funcin f (x)?(Septiembre 06)

- Solucin:Vamos a calcular la derivada que nos piden.

f (x) =

[cosx + cos(x + 1)] [cosx cos(x + 1)] [senx + sen(x + 1)] [senx + sen(x + 1)] [cosx cos(x + 1)] = cos2 x cos2 (x + 1) + sen2 x sen2 (x + 1) [cosx cos(x + 1)]2 2

=

=

11 [cosx cos(x + 1)]2

=0

De esto deducimos que la funcin es constante, pues su derivada es cero para cualquier valor de x.

1.2.25.

Calcula las asntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin f (x) = (1 + x2 )1 x. A partir de los resultados obtenidos, dibuja la grca de la funcin f (x).(Septiembre 06)

- Solucin:Nuestra funcin es denominador.

f (x) =

x . 1 + x2

Es evidente que su dominio es todo

R,

pues no se anula el

Vamos a hallar las asntotas.

1.2. Derivada y sus aplicaciones- Asntotas verticales: Como no se anula el denominador no hay asntotas verticales. - Asntotas horizontales:

19

x = 0. 1 + x2 x x l m = l m = 0. x 1 + x2 x+ 1 + x2 x+

l m

Luego la recta

y=0

es una asntota horizontal tanto en

+,

como en

.

- Asntotas oblicuas: Al tener asntotas horizontales no tiene oblicuas. Vamos a estudiar su derivada:

f (x) =

1 + x2 2x2 x2 + 1 1 + x2 2x.x = = 2 )2 2 )2 (1 + x (1 + x (1 + x2 )2

Veamos para que valores se anula la derivada:

x2 + 1 = 0 = x2 + 1 = 0 = x2 = 1 = x = 1 (1 + x2 )2Estudiemos su signo para ver el crecimiento y el decrecimiento:

(, 1) (1, 1) (1, +) x2 + 1 (1 + x2 )2 +

De aqu deducimos que: - La funcin crece en el intervalo - La funcin decrece en

(1, 1).

(, 1) (1, +). 1, 1 2.

- La funcin tiene un mximo en el punto

- La funcin tiene un mnimo en el punto

1,

1 2

.

- Tambin es evidente que corta a los ejes en el punto

(0, 0).

Por tanto su representacin grca la podemos ver en la gura 1.10.


f (x) =

x 1 + x2

20 1.3. Integral. Clculo de reas y volmenes

1. Anlisis

1.3.1.

Calcular, integrando por partes, el valor de2

x2 lnxdx1

(Junio 00)

- Solucin:Vamos a comenzar calculando una primitiva por partes.

u = lnx

=

du =

1 dx x

dv = x2 dx

=2

v=

x3 3

x3 lnx x2 lnx dx = 3Luego:

x3 1 x3 x3 dx = lnx 3 x 3 9

2

x2 lnx dx =1

x3 x3 lnx 3 9

2

=1

8 8 ln2 3 9

0

1 9

=

8 7 ln2 3 9

1.3.2.

Calcular el rea limitada por la parbola y = 2x2 , la circunferencia x2 +y2 = 1 y el eje OX , que aparece rayada en la gura .

(Junio 00)

- Solucin:Por lo que observamos en la gura del enunciado, nos piden que de la circunferencia consideremos la rama positiva, es decir, tomaremos

y=

1 x2 .

Es obvio que el rea hay que dividirla en dos trozos, como podemos ver en la gura 1.11. Vamos a calcular los puntos de corte:

2x2 =

1 x2 = 2x4 = 1 x2 = 2x4 + x2 1 = 0 z = x2y resolvemos.

Se trata de una ecuacin bicuadrada, por lo que hacemos

2z 2 + z 1 = 0

1.3. Integral. Clculo de reas y volmenes

21

Figura 1.11: Representacin detallada del rea buscada

1 z1 = 1 + 3 = 1 = x = = 2 1 1 + 8 1 3 4 2 2 2 z= = = 4 4 z = 1 3 = 1 = No vale. 2 4 Luego el rea buscada, segn vemos en la gura 1.11 es:

2/2

A = A1 + A2 =0

1

2x2 dx +

2/2

1 x2 dx

Vamos a calcular cada una por separado, calculando previamente una primitiva en cada caso.

2x2 dx =

2 3 x 3 = 2 2 2 1 = 3 8 6

Por tanto,

2/2

A1 =0Por otro lado tenemos:

2x2 dx =

2 3 x 3

2/2

u

2

0

1 x2 dxVamos a utilizar el cambio

x = sent

para resolver la integral indenida.

x dx 1 x2 dx =Si aqu cambiamos

=

sent

= cost dt 1 sen2 t cost dt = cos2 t dt

cos2 t =

1 cos2t + 2 2 dt =

tendramos:

1 cos2t + 2 2Por tanto:

1 sen2t 1 sen2(arcsenx) t+ = arcsenx + 2 4 2 4

1

A2 =

2/2

1 x2 dx = +0 4

1 sen2(arcsenx) arcsenx + 2 4 1 + 8 4 = 1 2 u 8 4

1 2/2

=

=

22En consecuencia:

1. Anlisis

A = A1 + A2 =

1 1 4 + 3 6 3 2 + = = 6 8 4 24 24

u

2

1.3.3.

Determinar una funcin f (x) cuya segunda derivada sea f

(x) = xex .(Septiembre 00)

- Solucin:Habr que calcular una primitiva de la funcin que nos dan, que ser

f

y posteriormente calcular

otra primitiva de sta, que ser la funcin que buscamos. La integral se calcula por partes:

u=x dv = e dxPor tanto:

; du = dxx

; v = ex

f (x) =

xex dx = xex

ex dx = xex ex

Hacemos de nuevo la integral de la funcin obtenida.

(xex ex ) dx =La funcin buscada es:

xex dx

ex dx = xex ex ex = xex 2ex

f (x) = xex 2ex

1.3.4.

Calcular, con el cambio de variable1

t2 = x + 3,6

el valor de:

xdx x+3(Septiembre 00)

- Solucin:Vamos a calcular primero una primitiva utilizando el cambio indicado:

t2 = x + 3 2tdt = dxRealizando la sustitucin:

=

x = t2 3

=

t=

x+3

t2 3 2tdt = tEn consecuencia:

2t3 6t dt = t

2t2 6 dt =

2 2t3 6t = 3

(x + 3)3 6 x+3 3

6 1

2 xdx = x+3

(x + 3)3 6 x+3 3 =

6

=1

54 18 3

16 12 3

=

54 54 16 + 36 20 = 3 3

1.3.5.

Determinar una constante positiva a sabiendo que la gura plana limitada por la parbola y = 3ax2 + 2x, la recta y = 0 y la recta x = a tiene rea (a2 1)2 .(Junio 01)

1.3. Integral. Clculo de reas y volmenes

23

- Solucin:La gura 1.12 nos muestra una visin grca del problema planteado.

Figura 1.12: Representacin detallada del rea buscada

Como

a > 0

la funcin

y = 3ax2 + 2x

corta al Eje X en

x = 0

y en

x =

nmero negativo).

2 3a

(que ser un

Luego el rea buscada es la que aparece sombreada en la gura 1.12. Por tanto, tenemos que:

a

(3ax2 + 2x)dx = (a2 1)20Ahora bien,

a

(3ax2 + 2x)dx = ax3 + x20En consecuencia:

a 0

= a4 + a2

a4 + a2 = (a2 1)2 a4 a4 d + a2 = d + 1 2a2 d d 2 3a = 1 1 a2 = 3 1 a= 3Como tiene que ser positivo el valor de

a,

tenemos que

a=

1 1 3 = = 3 3 3

1.3.6.

Calcular el valor de:0

1

xdx ex2

(puede hacerse con el cambio de variable t = x2 y con el cambio de variable t = x2 ).(Junio 01)

- Solucin:Vamos a calcular una primitiva. Para ello vamos a utilizar el cambio

t = x2 .

t = x2 = dt = 2xdxSustituyendo tenemos:

1 t 1 x2 1 dt = e = e 2et 2 2

24Por tanto:

1. Anlisis

1 0

xdx 1 x2 = e 2 ex2

1

=0

1 1 + 2e 2 y = x3 x

1.3.7.

Representar grcamente el recinto plano limitado por la curva su tangente en el punto de abscisa x = 1. Calcular su rea

y

(Septiembre 01)

- Solucin:Vamos a calcular primero la recta tangente. Vamos a calcularla mediante la ecuacin puntopendiente. El punto lo obtenemos sustituyendo en la funcin

x

por 1. Dicho punto ser

P (1, 0).

La pendiente de la recta tangente se obtiene sustituyendo en la derivada de la funcin:

f (x) = 3x2 1 = mtg = f (1) = 3 1 = 2La ecuacin de la recta ser:

y 0 = 2(x 1) = y = 2x 2A continuacin representaremos la zona que nos piden. Para pintar la recta basta con hacer una tabla de valores, pero para pintar la funcin ser mejor estudiar su derivada. Vamos a calcularla y estudiaremos su signo para ver el crecimiento y los mximos y mnimos.

3 1 f (x) = 3x 1 = 3x 1 = 0 = x = = x = 3 32 2 2Estudiamos el signo:

, 3/3 3x 12

3/3, 3/3

3/3, + +

+

Luego:

- Crece

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