Capítulo 5. Cálculo de una variable.

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5.1 Antecedentes

El Cálculo, se inició en Grecia en el siglo III a.C., con los trabajos de geometría y de lo que hoy se conoce como calculo integral de Arquímedes y Eudoxo. Este último es considerado el padre del cálculo integral creador del método de exhaución, basados en los trabajos filosóficos de Aristóteles, Platón, Pitágoras, Tales de Mileto y Zenón. Pero, no se establecieron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después en el siglo XVII con los aportes de Newton y Leibniz. Si bien podríamos atribuir a Newton y a Leibniz la paternidad del cálculo modero, ellos forman parte de una gran cadena iniciada mucho tiempo antes. Quizá una de las aportaciones más concluyentes fue la geometría analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat. En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial. Pierre de Fermat (1601 – 1665) en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con problema de los extremos relativos de una función. En el más importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman1. Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un cierto punto, con el valor de 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝜀𝜀) un punto cercano; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cresta" o en un "valle" de una curva la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝜀𝜀), teniendo en cuenta que la diferencia entre estos dos valores es muy pequeña, casi igual. Cuanta más chica sea la diferencia 𝜀𝜀 entre los dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por 𝜀𝜀, hace 𝜀𝜀 = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Este es el fundamento principal de lo hoy en día se llama diferenciación.

1 Métodos para hallar máximos y mínimos

“Las cantidades, así como las razones de cantidades, que tienden a la igualdad constantemente en un cierto tiempo finito y antes del límite de dicho tiempo se aproximan mutuamente más que una diferencia dada, al final se hacen iguales.”

Isaac Newton1

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Este descubrimiento le permitió a Laplace reconocer a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Isaac Newton2 y a Leibnitz3 a quienes se les debe atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales. Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era complicada; lo que hoy en día llamamos función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), él lo llamaba "cantidades fluentes", y la derivada, 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥) era llamaba "fluxión", le escribía 𝐴𝐴𝐴𝐴���� en lugar de 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los momentos - las actuales diferenciales - dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien, pero, para otro que no fuera su inventor del método, suenan bastante incomprensibles. En el año de 1669, Isaac Barrow4, recibió de su alumno Isaac Newton, un folleto titulado De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitos, que es el primer manuscrito, primer esbozo casi completo de lo que sería el Cálculo Diferencial e Integral. Aquel mismo año, Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por lo tanto mucho más derecho a la cátedra de matemáticas con más merecimientos que el propio Barrow; su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió su cátedra a Newton. A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como Los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publicado. En el aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la tierra, la luna y los planetas alrededor del sol. Se dice que un estudiante observó: "ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demás comprenden". Leibniz, comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665 – 1666), pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años de 1673 – 1676. Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se debe la notación del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑 y ∫ para la

2 Sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe, Inglaterra. 3 Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig, Alemania 4 Issac Barrow,1630-1677, nació en Londres Inglaterra. Fue el primero en reconocer que la integración y la diferenciación son operaciones inversas.

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derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término "función" y el uso del símbolo " = " para la igualdad. Con estos aportes, la superioridad del simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra de donde era oriundo Newton.

5.2 Límites. Zenón un Filósofo describió una serie de paradojas asociadas con el movimiento. Quizá su más famosa es la paradoja de Aquiles y la tortuga. Se dice que un día, el famoso héroe griego Aquiles jugó una carrera con una tortuga. Como Aquiles, se consideró que era un corredor muy rápido, él gentilmente concedió a la tortuga una delantera de 100 metros. Zenón afirmó que Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga. Su razonamiento era que, si cada competidor corre a una velocidad constante, uno muy rápido, y el otro muy lento, después de un tiempo Aquiles habría cubierto los primeros cien metros y alcanzar el punto de partida de la tortuga, pero durante este tiempo, la tortuga habría recorrido cierta distancia, aunque mucho más corta, pero no es cero, por ejemplo 10 metros. De esta forma, cuando Aquiles alcanza la nueva distancia, la tortuga logra avanzar un poco más. Por tanto, cada vez que Aquiles alcanza el punto donde estaba la tortuga, ella se encuentra más cerca de Aquiles, pero más adelante, por lo tanto, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. Si Aquiles corre a una velocidad de 10 metros por segundo y la tortuga a un metro por segundo. La posición de Aquiles al iniciar la carrera será �10 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� � ∗ 𝑡𝑡 y la posición de la tortuga en el tiempo 𝑡𝑡 es �1 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� � ∗ 𝑡𝑡 + 100. Para encontrar el tiempo en el que Aquiles se empareja con la tortuga, podemos escribir la ecuación,

�10 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� � ∗ 𝑡𝑡 = �1 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠� � ∗ 𝑡𝑡 + 100 despejamos el tiempo 𝑡𝑡 y se emparejan los corredores cuando 𝑡𝑡 = 111

9

De esta manera Aquiles habrá recorrido 11.1111 ∗ (10𝑚𝑚 𝑠𝑠⁄ ) = 111 19 metros

Etapa Aquiles Tortuga Inicio 0 100

1 100 100+10=110 2 100+10 100+10+1=111 3 10+10+1 100+10+1+.1=111.1 … … …

Que es una serie geométrica, 100 + 10 + 1 + .1 + ⋯

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100 + 100 �1

10� + 100 �

110�2

+ 100 �1

10�3

+. . … = 11119

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 |𝑘𝑘| < 1,𝑎𝑎 = 100 𝑦𝑦 𝑘𝑘 =1

10 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑆𝑆𝑛𝑛 =

100

1 − 110

=1009

10�= 11119

Zenón afirmaba que la suma del lado izquierdo era infinita. Este problema permaneció sin solución durante muchos años y es hasta que se desarrolla el concepto de límite que se pudo resolver finalmente, como ya vimos en las series geométricas. La noción de límite es una de las bases fundamentales del cálculo y muy cercano al concepto de derivada. Como en el caso de Aquiles y la tortuga, parece que siempre se acorta la distancia, pero nunca llegan a encontrarse. Esta noción de cercanía está implícita en el concepto de límite, para encontrar un límite haremos que la variable se acerque a un valor determinado y se examinará el resultado que tiene en la función. Para ilustrar el concepto vamos a determinar, por ejemplo, el límite de lim

𝑑𝑑→2(3𝑥𝑥 − 5)

Nos ayudamos con la siguiente tabla.

𝑥𝑥 2.1 2.01 2.001 2.0001 2 1.9999 1.999 1.99 1.9 3𝑥𝑥 − 5 1.3 1.03 1.003 1.0003 .9997 .997 .97 .7

El valor de 𝑥𝑥 se acerca a 1 por la izquierda y también se acerca a 1 por la derecha, de esta manera el limite de esta función es uno. Un segundo ejemplo podría ser encontrar el límite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

lim𝑑𝑑→2

𝑥𝑥3 − 1𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥 2.2 2.1 2.01 2.001 2 1.999 1.99 1.9 1.8 𝑥𝑥3 − 1𝑥𝑥 − 1

8.04 7.51 7.05 7.005 6.995 6.95 6.51 6.04

Se lee, el límite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 tiende, o se aproxima, a 2 es7. Así que, sea f una función definida en un intervalo abierto 𝐼𝐼 que contiene a un valor 𝑎𝑎, sin considerar el valor de a. El límite de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cuando 𝑥𝑥 se aproxima a 𝑎𝑎 es 𝐿𝐿, y se escribe

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿

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Si para cada número positivo ε, por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo δ, tal que para todos los valores de 𝑥𝑥, diferentes de 𝑎𝑎, que satisfacen la desigualdad |𝑥𝑥 − 𝑎𝑎| < δ, verificará la desigualdad |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < ε. En otras palabras, esta definición de límite nos dice que los valores de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se aproximan a un límite 𝐿𝐿, conforme 𝑥𝑥 se aproxima a un número 𝑎𝑎, sí el valor absoluto de la diferencia entre𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝐿𝐿 se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando 𝑥𝑥 suficientemente cercana a "𝑎𝑎", pero no igual a "𝑎𝑎". En general, el determinar el lim

𝑑𝑑→𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑥𝑥) mediante el uso directo de la definición es difícil,

por lo que para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.

Teoremas sobre límites.

Para facilitar la obtención del límite de una función se establecen los siguientes teoremas.

1. Si 𝑘𝑘 es una constante. lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑘𝑘 = 𝑘𝑘

2. Si a un número cualquiera, entonces. lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎

3. Si 𝑘𝑘 es una constante y a un número cualquiera. El límite de la suma, o diferencia, de varias funciones.

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

[𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑠𝑠(𝑥𝑥)] = lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑠𝑠(𝑥𝑥)

4. Producto de varias funciones.

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

[𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑠𝑠(𝑥𝑥)] = lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑠𝑠(𝑥𝑥)

5. Límite de un cociente

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

�𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑠𝑠(𝑥𝑥)

� =lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑠𝑠(𝑥𝑥) ≠ 0

6. Si 𝑟𝑟 es una constante positiva

lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]𝑟𝑟 = �lim𝑑𝑑→𝑎𝑎

𝑓𝑓(𝑥𝑥)�𝑟𝑟

Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el límite, pero previamente hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos como la factorización, la conjugada, etc.

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Ejemplos.

a) lim𝑑𝑑→2

10 = 10

b) lim𝑑𝑑→2

5𝑥𝑥 = 5 lim𝑑𝑑→2

𝑥𝑥 = 10

c) lim𝑑𝑑→3

𝑥𝑥4 = �lim𝑑𝑑→3

𝑥𝑥�4

= (3)4 = 81

d) lim𝑑𝑑→2

[5𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 4] = lim𝑑𝑑→2

5𝑥𝑥2 + lim𝑑𝑑→2

2𝑥𝑥 − lim𝑑𝑑→2

4

= 5[lim𝑑𝑑→2

𝑥𝑥]2 + 2 lim𝑑𝑑→2

𝑥𝑥 − 4 = 5(22) + 2(2) − 4 = 20

e) lim𝑑𝑑→3

�4𝑑𝑑3+8

2𝑑𝑑+6� =

lim𝑥𝑥→3

(4𝑑𝑑3+8)

lim𝑥𝑥→3

2𝑑𝑑+6=

lim𝑥𝑥→3

(4𝑑𝑑3+8)

lim𝑥𝑥→3

2𝑑𝑑+6=

lim𝑥𝑥→3

4𝑑𝑑3+8

lim𝑥𝑥→3

2𝑑𝑑+6= 4(3)3+8

2(3)+6= 29

3�

f) lim𝑑𝑑→2

√5𝑥𝑥3 − 15 = �lim𝑑𝑑→2

(5𝑥𝑥3 − 15) = �5(lim𝑑𝑑→2

𝑥𝑥)3 − 15 = �5(2)3 − 15 = 5

g) lim𝑑𝑑→4

2𝑑𝑑3 2⁄ −√𝑑𝑑𝑑𝑑2−15

=2 (lim𝑥𝑥→4

𝑑𝑑)3 2⁄ −√𝑑𝑑

(lim→4

𝑑𝑑)2−15= 2(4)3 2⁄ −41 2⁄

42−15= 14

h) lim𝑑𝑑→2

√𝑑𝑑2+5−1𝑑𝑑

=��lim 𝑑𝑑

𝑥𝑥→2�2+5�

1 2⁄−1

lim𝑥𝑥→2

𝑑𝑑= �(2)2+5�

1 2⁄−1

2= 3−1

2= 1

i) lim𝑑𝑑→3

√𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 5 = ��lim𝑑𝑑→3

𝑥𝑥�2

+ 2lim𝑑𝑑→3

𝑥𝑥 + lim𝑑𝑑→3

5�1 2⁄

= (32 + 2(3) + 5)1 2⁄ = 2√5

Ejercicios.

Encuentre el límite de las siguientes funciones, si existen.

1. lim𝑑𝑑→1

𝑑𝑑2−3𝑑𝑑−3

2. lim𝑑𝑑→2

�(𝑑𝑑−2)3

𝑑𝑑−2

3. lim𝑑𝑑→1

2𝑑𝑑+1𝑑𝑑+2

4. lim𝑑𝑑→3

2𝑑𝑑3−2𝑑𝑑2+4𝑑𝑑3𝑑𝑑2

5. lim𝑑𝑑→1

𝑑𝑑2−3𝑑𝑑−3

6. lim𝑑𝑑→4

8𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑2+6𝑑𝑑+3)

7. lim𝑑𝑑→2

(𝑥𝑥3 − 5) 8. lim𝑑𝑑→1

(36+𝑑𝑑)1 3⁄ −3𝑑𝑑

9. lim𝑑𝑑→3

√5𝑑𝑑+13𝑑𝑑+1

10. lim𝑑𝑑→3

(16+𝑑𝑑)1 2⁄ −4𝑑𝑑2

11. lim𝑑𝑑→1

4𝑑𝑑2+𝑑𝑑+6𝑑𝑑

12. lim𝑑𝑑→5

4𝑑𝑑−5𝑑𝑑2−36

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Figura 5.3 Recta pendiente en un circulo

Figura 5.4 Recta secante y la derivada

5.3 Límites y derivadas Nuestro punto de inicio al concepto de derivada es la pendiente de una recta y su extensión al caso general de cualquier curva. Por ejemplo, para un círculo, la tangente en un punto cualquiera es la recta que toca el círculo en este punto.

En la figura anterior, la pendiente de la recta tangente en el punto 𝑃𝑃 es negativa; mientras que la tangente en el punto 𝑄𝑄 es positiva. Por otro lado, en los puntos 𝐴𝐴 y 𝐴𝐴 las rectas tangentes tienen pendiente cero y por tanto son paralelas a los ejes. De esta manera la pendiente de la tangente en un punto de una curva nos indica el comportamiento de la función. Cuando la pendiente de la recta tangente es cero, como en el punto A, estamos en un punto tal que la pendiente cambia de signo, de positivo a negativo, que sería el caso de una cresta, o en el punto B, que cambia de

negativo a positivo es un punto inferior o un valle. Ésta pendiente expresa una relación de cambio y para calcular esta tasa de cambio en cualquier punto de una función necesitaremos encontrar la derivada de esta función. Consideremos un punto 𝑃𝑃 de una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el plano 𝑋𝑋𝑋𝑋. Tomemos ahora otro punto de la función 𝑄𝑄. La recta que pasa por 𝑃𝑃 y 𝑄𝑄 se llama secante (del latín “que corta”). Si se deja el punto 𝑃𝑃 fijo y se mueve 𝑄𝑄 sobre la curva acercándose a 𝑃𝑃, la secante gira alrededor de 𝑃𝑃. La pendiente de la secante5 es

𝑚𝑚 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ

Para acercar el punto 𝑃𝑃 a 𝑄𝑄, tenemos que reducir ℎ, aproximarla a cero, hasta que la secante coincida con la tangente. Se trata de hacer ℎ lo suficientemente pequeña, pero no cero. Entonces la cantidad 𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)

ℎ puede aproximarse a

la derivada de la función 𝑓𝑓′(𝑥𝑥).

5 La secante es una recta que corta a una curva en dos puntos.

139

Para encontrar la derivada de la función, seguimos el siguiente procedimiento:

1. Calcular 𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ

para ℎ ≠ 0

2. Hacer ℎ muy cercana a cero.

3. El valor de 𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ

se aproxima a 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)

Ejemplo. Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 encontrar la derivada

𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ

= (𝑑𝑑+ℎ)2−𝑑𝑑2

ℎ= 𝑑𝑑2+2𝑑𝑑ℎ+ℎ2−𝑑𝑑2

ℎ= ℎ(2𝑑𝑑+ℎ)

ℎ= 2𝑥𝑥 + ℎ

Si ℎ ≅ 0, entonces 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 Como mencionamos antes, ℎ es un valor cercano, pero no igual a cero. Nos acercamos a cero por el lado positivo o negativo. En forma simbólica lo que decimos es que ℎ → 0. Entonces la derivada 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) es

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = limℎ→0

𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ

Ahora supongamos que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 cuando 𝑥𝑥 = 2.

𝑓𝑓(2+ℎ)−𝑓𝑓(2)ℎ

= (2+ℎ)2−22

ℎ= 22+4ℎ+ℎ2−22

ℎ= ℎ(4+ℎ)

ℎ= 4 + ℎ

Si damos valores a esta última función.

ℎ 4 + ℎ ℎ 4 + ℎ 1 5 -1 3 .1 4.10 -.1 3.9 .01 4.01 -.01 3.99 .001 4.001 -.001 3.999 .0001 4.0001 -.0001 3.9999

Ambas tablas tienden al valor de 4, que es el valor de la derivada cuando ℎ → 0. Decimos que 𝑓𝑓′(𝑎𝑎), la derivada de a existe, si 𝑓𝑓(𝑎𝑎+ℎ)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)

ℎ se aproxima a un número

cuando ℎ → 0, si por lo contrario no se aproxima a ningún número la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no es diferenciable para 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎

140

Figura 5.5 Tasa media de variación

5.4 Tasa de variación.

Una característica de la Economía es que resulta de gran interés conocer las variaciones que ha experimentado una variable objeto de análisis a lo largo del tiempo, por ejemplo, para predecir la demanda futura de un bien, necesitamos la tasa de variación. Consideremos una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "𝑎𝑎" y "𝑎𝑎 + ℎ", siendo "ℎ" un número real que corresponde a la variación de 𝑥𝑥. Se llama tasa de variación de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el intervalo [𝑎𝑎,𝑎𝑎 + ℎ], a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas 𝑎𝑎 y 𝑎𝑎 + ℎ.

𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) La variación de 𝑦𝑦 por unidad de variación de 𝑥𝑥 se llama Tasa media de variación en el intervalo [𝑎𝑎,𝑎𝑎 + ℎ]. Que es igual a; Tasa media de variación en el intervalo [𝑎𝑎,𝑎𝑎 + ℎ]

= 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)

ℎ

Esta expresión es justamente la pendiente de la recta secante a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), que pasa por los puntos 𝑃𝑃,𝑄𝑄 de abscisas a y 𝑎𝑎 + ℎ. Si encontramos el límite cuando ℎ → 0 de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en 𝑎𝑎 encontramos la tasa instantánea de variación 𝑓𝑓′(𝑎𝑎), es decir la derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Tasa instantánea de variación en el intervalo [𝑎𝑎,𝑎𝑎 + ℎ]

= lim ℎ→0

𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ

En algunos casos es conveniente estudiar la razón 𝑓𝑓′(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑎𝑎)

que es la Tasa proporcional de

variación. En economía, esta tasa es conocida como Tasa relativa de variación. Normalmente se expresa en porcentaje. “Una variable crece 3% anual si tiene una tasa proporcional de variación de 3

100� por año”

141

5.5 Aplicaciones al análisis marginal. Las aplicaciones de las derivadas al análisis marginal son muy utilizadas en Economía. Los costos de producción de una empresa son por una parte independientes de las cantidades producidas (costos fijos) y por la otra relacionados con el nivel de producción (costos variables) Sea 𝐶𝐶(𝑞𝑞) el costo total de producción y 𝑞𝑞 las cantidades producidas. Se llama costo medio de producción 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑝𝑝) a la función,

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑞𝑞) =𝐶𝐶(𝑞𝑞)𝑞𝑞

De la definición de costo marginal sabemos que es el costo adicional que se obtiene al producir una unidad adicional, entonces el costo de producir h unidades adicionales es

𝐶𝐶(𝑞𝑞 + ℎ) − 𝐶𝐶(𝑞𝑞) Podemos rescribir el costo promedio de producción de h unidades adicionales así,

𝐶𝐶(𝑞𝑞 + ℎ) − 𝐶𝐶(𝑞𝑞)ℎ

Y finalmente si tomamos límites obtenemos el Costo marginal de producir ℎ unidades adicionales, que no es otra cosa que la derivada de la función de costos.

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑙𝑙 = 𝐶𝐶′(𝑞𝑞) = lim𝑞𝑞→0

𝐶𝐶(𝑞𝑞 + ℎ) − 𝐶𝐶(𝑞𝑞)ℎ

Normalmente una empresa produce muchas unidades (𝑞𝑞), entonces cuando ℎ = 1 es un número.

𝐶𝐶′(𝑞𝑞) = limℎ→0

𝐶𝐶(𝑞𝑞 + 1) − 𝐶𝐶(𝑞𝑞)1

= 𝐶𝐶(𝑞𝑞 + 1) − 𝑐𝑐(𝑞𝑞)

Así, como lo indicamos antes, el costo marginal es aproximadamente igual al incremento en el costo 𝐶𝐶(𝑥𝑥 + 1) − 𝑐𝑐(𝑥𝑥) Suponga que la función de costo de una empresa es 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 100. a) ¿cuál es la tasa media de variación cuando 𝑥𝑥 varia de 100 𝑎𝑎 100 + ℎ y b) ¿cuál es el costo marginal cuando 𝑥𝑥 = 100?

a) 𝐶𝐶(100 + ℎ) − 𝐶𝐶(100) = (100 + ℎ)2 + 3(100 + ℎ) + 100 − 1002 − 300 − 100 = 1002 + 200ℎ + ℎ2 + 300 + 3ℎ + 100 − 1002 − 300 − 100 = 203ℎ + ℎ2 𝐶𝐶(100+ℎ)−𝐶𝐶(100)

ℎ= (203+ℎ)ℎ

ℎ= 203 + ℎ

142

b) limℎ→0

𝐶𝐶(𝑑𝑑+ℎ)−𝐶𝐶(𝑑𝑑)ℎ

= limℎ→0

(𝑑𝑑+ℎ)2+3(𝑑𝑑+ℎ)+100−𝑑𝑑2−3𝑑𝑑−100ℎ

= limℎ→0

2𝑑𝑑ℎ+ℎ2+3ℎℎ

= 2𝑥𝑥 + 3

En forma general, consideremos una empresa que produce un bien en un período dado. Donde, 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚ó𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋(𝑥𝑥) = 𝑅𝑅(𝑥𝑥) − 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑓𝑓𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚ó𝑚𝑚 (𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑎𝑎) 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠 Llamaremos a las derivadas de estas variables;

𝐶𝐶′(𝑥𝑥) 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑅𝑅′(𝑥𝑥) 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑙𝑙 𝜋𝜋′(𝑥𝑥) 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑓𝑓𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑙𝑙 El ingreso marginal, es la variación en el ingreso o el ingreso obtenido por la venta de un producto adicional. Si un producto se vende siempre al mismo precio, entonces el ingreso marginal es igual al precio. Por otro lado; la ganancia o beneficio marginal, es la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal. Si no se cuenta con las funciones de ingreso total ni costo total, el beneficio marginal será la ganancia que se obtiene al producir y vender una unidad adicional. Otros ejemplos en economía son la propensión marginal al consumo6 que es la derivada de la función de consumo respecto al ingreso o el producto marginal del trabajo7 que es la derivada de la función de producción con respecto al trabajo. Ejercicios. 1) Un fabricante de memorias para teléfonos celulares produce 𝑥𝑥 memorias por semana a

un costo total de 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑2

25+ 3𝑥𝑥 + 100. Calcular el costo medio y el costo marginal.

2) Si la función de ingreso total es 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 350 − 0.007𝑥𝑥2 y la función de costo total es 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 50 + 25𝑥𝑥 + 0.005𝑥𝑥2. Determinar el beneficio marginal.

3) El costo mensual de un empaque, bolsa para café está determinado por la función, 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 0.65𝑥𝑥2 + 35𝑥𝑥 + 5000 pesos. Determinar cuál será el costo de 251 empaques si actualmente se producen 250 por día

6 La propensión marginal al consumo mide el aumento en el consumo inducido, cuanto se incrementa la renta disponible en una unidad monetaria. 7 Es la producción adicional que se obtiene con una unidad adicional del trabajo.

143

5.6 Reglas de derivación Se han desarrollado procedimientos sencillos para calcular la derivada de una clase de funciones y utilizar el resultado como una fórmula para evitar el procedimiento de cálculo por límites. Algunas de estas reglas son las siguientes:

1) Derivada de una constante 𝒌𝒌 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒅𝒅𝒅𝒅

= 𝟎𝟎

Ejemplo: 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

(𝟓𝟓) = 𝟎𝟎; si 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒂𝒂 → 𝒇𝒇′(𝒂𝒂) = 𝟎𝟎

2) Regla de la potencia.

Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑛𝑛 entonces 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ó 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑥𝑥𝑛𝑛−1 donde 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑚𝑚𝑡𝑡𝑠𝑠 Calcular

a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 b) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥8 c) 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑100

100 d) 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥−0.33)

e) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟

(−5𝑟𝑟−3) f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 34𝑥𝑥4 3⁄

Solución:

a) 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 2𝑥𝑥 b)𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 3(8)𝑥𝑥8−1 = 24𝑥𝑥7 c)𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 100 𝑑𝑑100−1

100= 𝑥𝑥99

d) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑥𝑥−0.33) = −0.33𝑥𝑥−0.33−1 = −0.33𝑥𝑥−1.33 = −0.33𝑑𝑑1.33

e) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟

(−5𝑟𝑟−3) = −5(−3)𝑟𝑟−3−1 = 15𝑟𝑟−4

f) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3

4𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥4 3⁄ = 3

443𝑥𝑥4 3� −1 = 𝑥𝑥1 3⁄

3) Regla de sumas y diferencias. Si 𝒇𝒇(𝒅𝒅) y 𝒈𝒈(𝒅𝒅) son funciones derivables en un punto 𝒅𝒅, y también en la suma 𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅) + 𝒈𝒈(𝒚𝒚) y en su diferencia 𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅)− 𝒈𝒈(𝒚𝒚).

𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅) + 𝒈𝒈(𝒅𝒅) ⇒ 𝑭𝑭′(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇′(𝒅𝒅) + 𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅) − 𝒈𝒈(𝒅𝒅) ⇒ 𝑭𝑭′(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇′(𝒅𝒅)− 𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

En notación de Leibniz

𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

[𝒇𝒇(𝒅𝒅) ± 𝒈𝒈(𝒅𝒅)] = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒇𝒇(𝒅𝒅) ± 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅𝒈𝒈(𝒅𝒅)

Ejemplo: Encontrar la derivada de las funciones siguientes:

a) 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅�𝟑𝟑𝒅𝒅𝟖𝟖 + 𝒅𝒅𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎� = 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝟑𝟑𝒅𝒅𝟖𝟖� + 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎� = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝟕𝟕 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒅𝒅𝟗𝟗𝟗𝟗

b) 𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟑𝟑

𝒅𝒅𝟐𝟐� = 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅𝟐𝟐� − 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅� 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐� = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟑𝟑 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅−𝟐𝟐� = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝒅𝒅−𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟔𝟔

𝒅𝒅𝟑𝟑

144

Anteriormente hemos definido el beneficio como 𝝅𝝅(𝒅𝒅) = 𝑹𝑹(𝒅𝒅) − 𝑪𝑪(𝒅𝒅). Por la regla de la diferencia 𝝅𝝅′(𝒅𝒅) = 𝑹𝑹′(𝒅𝒅)− 𝑪𝑪′(𝒅𝒅). Cuando el ingreso marginal es igual a costo marginal 𝝅𝝅′(𝒅𝒅) = 𝟎𝟎

4) Regla del producto. Si 𝒇𝒇(𝒅𝒅) y 𝒈𝒈(𝒅𝒅) son funciones derivables en un mismo punto.

𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅) ∙ 𝒈𝒈(𝒅𝒅) ⇒ 𝑭𝑭′(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇′(𝒅𝒅) ∙ 𝒈𝒈(𝒅𝒅) + 𝒇𝒇(𝒅𝒅) ∙ 𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

Ejemplo: Encontrar la derivada de las funciones siguientes: a) 𝒉𝒉(𝒅𝒅) = (𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝒅𝒅)(𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐) Encontrar 𝒉𝒉′(𝒅𝒅)

𝒉𝒉′(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝒅𝒅��𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐� = �𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐� 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝒅𝒅� + (𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝒅𝒅) 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐�

= �𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐��𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� + �𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝒅𝒅��𝟐𝟐𝟎𝟎𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒅𝒅� = −𝒅𝒅²(−𝟑𝟑𝟓𝟓𝒅𝒅⁴ + 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒅𝒅² + 𝟑𝟑)

b) 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = (𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟓𝟓)�𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟑𝟑⁄

𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

= �𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟓𝟓�𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 �

𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟑𝟑⁄

+ �𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟑𝟑⁄ 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 �

𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟓𝟓�

= �𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟓𝟓� �𝟏𝟏𝟑𝟑� �𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏�−𝟐𝟐 𝟑𝟑⁄ (𝟔𝟔𝒅𝒅) + �𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟑𝟑⁄ (𝟐𝟐𝒅𝒅)

=𝟐𝟐𝒅𝒅�𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟓𝟓�

(𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐 𝟑𝟑⁄ + 𝟐𝟐𝒅𝒅�𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟏𝟏�𝟏𝟏 𝟑𝟑⁄

5) Regla del cociente. Si 𝒇𝒇(𝒅𝒅) y 𝒈𝒈(𝒅𝒅) son funciones derivables en un mismo punto.

𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)

⟹ 𝑭𝑭′(𝒅𝒅) =?

𝑭𝑭(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅) Aplicamos la regla del producto

𝒇𝒇′(𝒅𝒅) = 𝑭𝑭′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) + 𝑭𝑭(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅) → 𝒇𝒇′(𝒅𝒅) − 𝑭𝑭(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅) = 𝑭𝑭′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) Despejamos 𝑭𝑭′(𝒅𝒅)

𝒇𝒇′(𝒅𝒅) − 𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝒈𝒈

′(𝒅𝒅) = 𝑭𝑭′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) → 𝒇𝒇′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)−𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

𝒈𝒈(𝒅𝒅) = 𝑭𝑭′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) Finalmente

𝑭𝑭′(𝒅𝒅) =𝒇𝒇′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) − 𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝟐𝟐

Ejemplo:

Calcular 𝑭𝑭′(𝒅𝒅) 𝒚𝒚 𝑭𝑭′(𝟔𝟔) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒂𝒂𝒄𝒄𝒅𝒅𝒄𝒄 𝑭𝑭(𝒅𝒅) = (𝟏𝟏𝟎𝟎𝒅𝒅−𝟑𝟑)(𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏)

𝑭𝑭′(𝒅𝒅) =�𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏� 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅(𝟏𝟏𝟎𝟎𝒅𝒅−𝟑𝟑)−(𝟏𝟏𝟎𝟎𝒅𝒅−𝟑𝟑) 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅

𝟐𝟐−𝟏𝟏�

(𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏)𝟐𝟐 = �𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏�(𝟏𝟏𝟎𝟎)−(𝟏𝟏𝟎𝟎𝒅𝒅−𝟑𝟑)(𝟐𝟐𝒅𝒅)(𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏)𝟐𝟐

= 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝟎𝟎𝒅𝒅𝟐𝟐+𝟔𝟔𝒅𝒅(𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏)𝟐𝟐

= −(𝟏𝟏𝟎𝟎𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟔𝟔𝒅𝒅+𝟏𝟏𝟎𝟎)(𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟏𝟏)𝟐𝟐

𝑭𝑭′(𝟔𝟔) = −[𝟏𝟏𝟎𝟎(𝟔𝟔)𝟐𝟐−𝟔𝟔(𝟔𝟔)+𝟏𝟏𝟎𝟎][(𝟔𝟔)𝟐𝟐−𝟏𝟏]𝟐𝟐 = −𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐

𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓𝟓= 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟕𝟕𝟐𝟐

145

Sea 𝑪𝑪(𝒒𝒒) el costo total de producir q unidades de un bien. Llamaremos a la cantidad 𝑪𝑪(𝒒𝒒)

𝒒𝒒

el costo promedio de producir 𝒒𝒒 unidades. Hallar la tasa de variación del costo promedió o el costo promedio marginal.

𝒅𝒅𝒅𝒅𝒒𝒒 �

𝑪𝑪(𝒒𝒒)𝒒𝒒 � =

𝒒𝒒 𝑪𝑪′(𝒒𝒒)− 𝑪𝑪(𝒒𝒒)𝒒𝒒𝟐𝟐

=𝒒𝒒 𝑪𝑪′(𝒒𝒒)𝒒𝒒𝟐𝟐

−𝑪𝑪(𝒒𝒒)𝒒𝒒𝟐𝟐

=𝟏𝟏𝒒𝒒�𝑪𝑪′(𝒒𝒒)−

𝑪𝑪(𝒒𝒒)𝒒𝒒

�

Este resultado nos indica que “la tasa de variación del costo medio es igual a la diferencia del costo marginal menos el costo medio, dividido entre la cantidad de unidades q”. Para valores positivos de q, el costo marginal 𝑪𝑪′(𝒒𝒒) es mayor que el costo medio 𝑪𝑪(𝒒𝒒)

𝒒𝒒, si y solo

si la tasa de variación del costo medio es positiva. Ejemplo: Calcular el costo promedio marginal, cuando 𝒒𝒒 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎, para la función de costo

𝑪𝑪(𝒒𝒒) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝒒𝒒𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝒒𝒒𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒒𝒒 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝑪𝑪′(𝒒𝒒) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝒒𝒒𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝒒𝒒 + 𝟐𝟐𝟎𝟎

𝑪𝑪′(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎) + 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎

𝑪𝑪(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.𝟑𝟑(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟎𝟎(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎) + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

El costo promedio marginal cuando 𝒒𝒒 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 es entonces,

𝟏𝟏𝒒𝒒�𝑪𝑪′(𝒒𝒒)−

𝑪𝑪(𝒒𝒒)𝒒𝒒

� =𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 �

𝟏𝟏𝟎𝟎 −𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 �

= −𝟎𝟎.𝟐𝟐

Así, cuando 𝒒𝒒 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎, el costo promedio por unidad decrece en 𝟎𝟎.𝟐𝟐 por cada unidad adicional producida.

La fórmula de la derivada de un cociente es más fácil de entender si consideramos tasas proporcionales de variación.

Partimos de la formula general 𝑭𝑭′(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)−𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅)[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝟐𝟐

𝑭𝑭′(𝒅𝒅)[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝟐𝟐

𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)= 𝒇𝒇′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)

𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)− 𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

𝒇𝒇(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)

𝑭𝑭′(𝒅𝒅) �𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝒇𝒇(𝒅𝒅)� = 𝒇𝒇′(𝒅𝒅)

𝒇𝒇(𝒅𝒅)− 𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

𝒈𝒈(𝒅𝒅) sabemos que 𝑭𝑭(𝒅𝒅) = 𝒇𝒇(𝒅𝒅)

𝒈𝒈(𝒅𝒅)

Finalmente concluimos con:

𝑭𝑭′(𝒅𝒅)𝑭𝑭(𝒅𝒅)

=𝒇𝒇′(𝒅𝒅)𝒇𝒇(𝒅𝒅)

−𝒈𝒈′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)

146

6) Regla general de la potencia. Para derivar una función del tipo [𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝒓𝒓, primero debemos derivar 𝒈𝒈(𝒅𝒅), aplicando la regla de la potencia, regla 2, y después multiplicarla por el factor 𝒈𝒈′(𝒅𝒅).

𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

([𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝒓𝒓) = 𝒓𝒓 ∙ [𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝒓𝒓−𝟏𝟏 ∙𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]

Ejemplos: Calcular

a) 𝒚𝒚 = �𝒈𝒈(𝒅𝒅)�𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅𝒈𝒈(𝒅𝒅) = 𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) = 𝒈𝒈′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅) + 𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅) = 𝟐𝟐𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

𝒑𝒑𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 𝒂𝒂 = 𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝟑𝟑 =𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝟐𝟐𝒈𝒈(𝒅𝒅) = [𝟐𝟐𝒈𝒈′(𝒅𝒅)𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝒈𝒈(𝒅𝒅) + �𝒈𝒈(𝒅𝒅)�𝟐𝟐𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

= 𝟐𝟐�𝒈𝒈(𝒅𝒅)′𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝟐𝟐�+ 𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝟐𝟐𝒈𝒈′(𝒅𝒅) = 𝟑𝟑𝒈𝒈(𝒅𝒅)𝟐𝟐𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

En forma general

𝒚𝒚′ = 𝒂𝒂[𝒈𝒈(𝒅𝒅)]𝒂𝒂−𝟏𝟏𝒈𝒈′(𝒅𝒅)

b) 𝒚𝒚 = �𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐�𝟓𝟓𝟎𝟎

𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

= 𝟓𝟓𝟎𝟎�𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐�𝟓𝟓𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 �

𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐� = 𝟓𝟓𝟎𝟎�𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐�𝟐𝟐𝟗𝟗(𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒅𝒅)

c) 𝒚𝒚 = �𝒅𝒅−𝟏𝟏𝒅𝒅+𝟑𝟑

�𝟏𝟏 𝟑𝟑⁄

𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

= 𝟏𝟏𝟑𝟑�𝒅𝒅−𝟏𝟏𝒅𝒅+𝟑𝟑

�𝟏𝟏𝟑𝟑−𝟏𝟏 𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅�𝒅𝒅−𝟏𝟏𝒅𝒅+𝟑𝟑

� = 𝟏𝟏𝟑𝟑�𝒅𝒅−𝟏𝟏𝒅𝒅+𝟑𝟑

�−𝟐𝟐𝟑𝟑 �

(𝒅𝒅+𝟑𝟑) 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

(𝒅𝒅−𝟏𝟏)−(𝒅𝒅−𝟏𝟏) 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒅𝒅+𝟑𝟑)

(𝑿𝑿+𝟑𝟑)𝟐𝟐�=

= 𝟏𝟏𝟑𝟑�𝒅𝒅 − 𝟏𝟏𝒅𝒅 + 𝟑𝟑

�−𝟐𝟐𝟑𝟑�

(𝒅𝒅 + 𝟑𝟑) − (𝒅𝒅 − 𝟏𝟏)(𝑿𝑿 + 𝟑𝟑)𝟐𝟐

� =𝟏𝟏𝟑𝟑�𝒅𝒅 − 𝟏𝟏𝒅𝒅 + 𝟑𝟑

�−𝟐𝟐𝟑𝟑�

𝟐𝟐(𝑿𝑿 + 𝟑𝟑)𝟐𝟐

�

d) 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = �𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝒅𝒅𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏�𝟓𝟓

𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

= 𝟓𝟓�𝒅𝒅𝟑𝟑 +𝒅𝒅𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏�𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

�𝒅𝒅𝟑𝟑 +𝒅𝒅𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏� = 𝟓𝟓�𝒅𝒅𝟑𝟑 +𝒅𝒅𝟐𝟐

+ 𝟏𝟏�𝟐𝟐�𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐 +

𝟏𝟏𝟐𝟐�

e) 𝒚𝒚 = 𝒅𝒅+(𝒅𝒅𝟓𝟓+𝟏𝟏)𝟏𝟏𝟎𝟎

𝟑𝟑

𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

= 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

𝟏𝟏𝟑𝟑�𝒅𝒅+ �𝒅𝒅𝟓𝟓 + 𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟎𝟎� = 𝟏𝟏

𝟑𝟑�𝟏𝟏+ 𝟓𝟓𝟎𝟎𝒅𝒅𝟐𝟐�𝒅𝒅𝟓𝟓 + 𝟏𝟏�𝟗𝟗�

f) 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟏𝟏(𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑−𝟑𝟑𝒅𝒅)𝟐𝟐 = �𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒅𝒅�−𝟐𝟐

𝒅𝒅𝒚𝒚𝒅𝒅𝒅𝒅

= (−𝟐𝟐)�𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒅𝒅�−𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅

(𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒅𝒅) = −𝟐𝟐(𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑−𝟑𝟑𝒅𝒅)𝟑𝟑

�𝟏𝟏𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟑𝟑� = − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟔𝟔(𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑−𝟑𝟑𝒅𝒅)𝟑𝟑

147

Ejercicios. 1. Utilizar límites para encontrar la derivada de las siguientes funciones.

a. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 b. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐

+ 𝒅𝒅𝟐𝟐

𝟏𝟏−𝒅𝒅

c. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅−𝟓𝟓 + 𝟔𝟔𝒅𝒅 d. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟑𝟑𝒅𝒅−𝟑𝟑

+ 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐

e. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟐𝟐𝒅𝒅 � −𝟓𝟓𝟓𝟓𝒅𝒅+𝟏𝟏

� f. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = (𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟏𝟏)�𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟐𝟐�

g. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = �𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐�𝟑𝟑

h. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = � 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑+𝟏𝟏

�+ 𝟐𝟐

i. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅−𝟑𝟑𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐+𝟓𝟓𝒅𝒅+𝟏𝟏

j. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅−𝟏𝟏𝟑𝟑𝒅𝒅+𝟏𝟏

2. Utilizar las seis reglas de derivación para resolver las siguientes ecuaciones.

k. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = −𝟑𝟑𝒅𝒅−𝟓𝟓 + 𝟔𝟔𝒅𝒅 l. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟑𝟑𝒅𝒅−𝟑𝟑

+ 𝒅𝒅−𝟐𝟐

m. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐

n. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟑𝟑

+ 𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟎𝟎

o. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = �𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐�𝟑𝟑

p. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟏𝟏

𝟑𝟑𝒅𝒅𝟑𝟑

q. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟏𝟏(𝒅𝒅𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒅𝒅)𝟑𝟑 r. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅𝟐𝟐�𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟔𝟔�

s. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = �𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟏𝟏��𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟐𝟐� t. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = �𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒅𝒅��𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝒅𝒅 +

𝟏𝟏�

u. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐−𝟐𝟐𝟑𝟑𝒅𝒅+𝟏𝟏

v. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐+𝟓𝟓𝒅𝒅−𝟑𝟑𝟐𝟐𝒅𝒅+𝟏𝟏

3. La función de costos de una empresa es 𝑪𝑪(𝒅𝒅) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 donde q son las unidades de un producto. ¿Cuál es la tasa de cambio con respecto a q, cuando 𝒒𝒒 = 𝟏𝟏𝟓𝟓?

4. Una organización de productores de café tiene un ingreso de 𝑥𝑥 kg de café dado por la

función, 𝑹𝑹(𝒅𝒅) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒅𝒅. Encuentre a. Ingreso marginal a una producción de 2405 kg. b. ¿Cuál es el nivel de producción cuando el ingreso es de $2800 pesos

5. Una empresa que elabora miel de abeja, estima que el costo de producir 𝒅𝒅 cubetas de

miel es 𝑪𝑪(𝒅𝒅) = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝒅𝒅𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒔𝒔𝒄𝒄𝒔𝒔. a. Calcule el costo de producción cuando crece de 30 a 31 cubetas. b. ¿Cuál es el costo promedio marginal para un nivel de producción de 30

cubetas? c. Para un nivel de producción de 30 cubetas, calcule la tasa de cambio de los

costos de producción.

148

5.7 Funciones compuestas y regla de la cadena Un caso especial de la regla generalizada de la potencia es la regla de la cadena. Si 𝑦𝑦 es una función de 𝑠𝑠, 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑠𝑠), y 𝑠𝑠 es una función de 𝑥𝑥, 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥) entonces 𝑦𝑦 es una función de 𝑥𝑥, es decir 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑥𝑥)). En este caso se dice que 𝑦𝑦 es una función compuesta de 𝑥𝑥 que tiene como derivada

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑐𝑐 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓�𝑠𝑠(𝑥𝑥)� = 𝑓𝑓′�𝑠𝑠(𝑥𝑥)�𝑠𝑠′(𝑥𝑥)

Recordemos que una función compuesta está formada por la composición de varias funciones.

(𝑓𝑓 ∘ 𝑠𝑠)(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑥𝑥)) Ejemplo. Si tenemos las siguientes funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑−1

𝑑𝑑+1, 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3. ¿Encontrar la

derivada de la función compuesta 𝑓𝑓�𝑠𝑠(𝑥𝑥)�? Por la derivada de la función compuesta. Remplazamos cada ocurrencia de 𝑥𝑥 en 𝑓𝑓(𝑥𝑥) por la función 𝑠𝑠(𝑥𝑥) para obtener,

𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑥𝑥)) =𝑠𝑠(𝑥𝑥) − 1𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 1

= 𝑥𝑥3 − 1𝑥𝑥3 + 1

Su derivada 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

�𝑑𝑑3−1

𝑑𝑑3+1� =

�𝑑𝑑3+1� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥�𝑑𝑑3−1�−�𝑑𝑑3−1� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥�𝑑𝑑

3+1�

(𝑑𝑑3+1)2 = �𝑑𝑑3+1��3𝑑𝑑2�−�𝑑𝑑3−1��3𝑑𝑑2�

(𝑑𝑑3+1)2

=3𝑥𝑥5 + 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥5 + 3𝑥𝑥2

(𝑥𝑥3 + 1)2 =6𝑥𝑥2

(𝑥𝑥3 + 1)2

Ejemplo. Use la regla de la cadena para encontrar la derivada de 𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑥𝑥)), a) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠8 y 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5 + 9𝑥𝑥 + 3.

1. Derivar las funciones 𝑓𝑓′(𝑠𝑠) = 8𝑠𝑠7 𝑦𝑦 𝑠𝑠′(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥4 + 9

2. Sustituir 𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′�𝑠𝑠(𝑥𝑥)� = 8(𝑥𝑥5 + 9𝑥𝑥 + 3)7

3. Regla de la cadena.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓�𝑠𝑠(𝑥𝑥)� = 𝑓𝑓′�𝑠𝑠(𝑥𝑥)�𝑠𝑠′(𝑥𝑥) = 8(𝑥𝑥5 + 9𝑥𝑥 + 3)7(5𝑥𝑥4 + 9)

149

b) Obtener 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

, si 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠5 − 2𝑠𝑠3 + 8 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 𝑥𝑥2 + 1.

1. Obtener derivadas 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 5𝑠𝑠4 − 6𝑠𝑠2 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 2𝑥𝑥

2. Sustituir 𝑠𝑠 = 𝑥𝑥2 + 1 para obtener, 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= (5𝑠𝑠4 − 6𝑠𝑠2)2𝑥𝑥 3. Finalmente,

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= [5(𝑥𝑥2 + 1)4 − 6(𝑥𝑥2 + 1)2]2𝑥𝑥

En muchos problemas de composición de funciones, la variable de interés es el tiempo, en estos casos decimos que 𝑥𝑥 = 𝑠𝑠(𝑡𝑡) y otra variable. Por ejemplo 𝑅𝑅 es función de 𝑥𝑥, o 𝑅𝑅 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Entonces 𝑅𝑅 = 𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑡𝑡)) y por la regla de la cadena tenemos,

𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑡𝑡

=𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

Ejemplo. Una empresa vende chocolates a $12 pesos la pieza. Si 𝑥𝑥 es el número de chocolates vendidos en un día y 𝑅𝑅 es el ingreso de las ventas de 𝑥𝑥 chocolates; la función es 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥. Suponga que las ventas diarias crecen a una tasa de 4 chocolates por día ¿Qué tan rápido crecen los ingresos? El ingreso marginal es 𝑑𝑑 (12𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑= 12 y la tasa de cambio del ingreso 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑= 4.

𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑡𝑡

=𝑑𝑑𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= 12(4) = 84

Los ingresos crecen a una tasa de 84 por día Ejemplo. Una organización de horticultores produce en invernadero 𝑥𝑥 toneladas de

jitomate a la semana. El beneficio semanal es de ℎ(𝑥𝑥) = 20𝑑𝑑2

𝑑𝑑+10 cientos de pesos. Si el nivel

de producción en 𝑡𝑡 semanas es 𝑥𝑥 = 6𝑡𝑡 + 4

a) Obtener el beneficio marginal 𝑑𝑑ℎ(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑

b) Obtener la tasa de cambio del beneficio en el tiempo 𝑑𝑑ℎ𝑑𝑑𝑑𝑑

c) ¿Qué tan rápido (con respecto al tiempo) cambia el beneficio cuando t = 4?

El beneficio marginal,

𝑑𝑑ℎ𝑑𝑑𝑥𝑥

=(𝑥𝑥 + 10) 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 (20𝑥𝑥2) − 20𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 + 10)2 =

(𝑥𝑥 + 10)(40𝑥𝑥) − 20𝑥𝑥2

(𝑥𝑥 + 10)2

=40𝑥𝑥2 + 400𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥2

(𝑥𝑥 + 10)2 =20𝑥𝑥2 + 400𝑥𝑥

(𝑥𝑥 + 10)2

150

Tasa de cambio del beneficio, en el tiempo, por la regla de la cadena

𝑑𝑑ℎ𝑑𝑑𝑡𝑡

=𝑑𝑑ℎ𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= �20𝑥𝑥2 + 400𝑥𝑥

(𝑥𝑥 + 10)2 � (6)

Expresar en términos de 𝑡𝑡, sustituir 𝑥𝑥 por 𝑥𝑥 = 6𝑡𝑡 + 4

𝑑𝑑ℎ𝑑𝑑𝑡𝑡

= �20(6𝑡𝑡 + 4)2 + 400(6𝑡𝑡 + 4)

(6𝑡𝑡 + 14)2 � (6) =20(6𝑡𝑡 + 4)[6𝑡𝑡 + 24]

(6𝑡𝑡 + 14)2

Tasa de cambio del beneficio, cuando 𝑡𝑡 = 4

𝑑𝑑ℎ𝑑𝑑𝑡𝑡

= �20(6(4) + 4)(6(4) + 24)

(6(4) + 14)2 � (6) =20(28)(48)

382= 18.61

El beneficio aumente a una tasa de $18.61 mensual

5.8 Derivación implícita. En algunas aplicaciones, trabajamos con una ecuación en lugar de una función. Determinar la tasa de cambio de una variable con respecto a la otro solo es posible por la técnica de derivación implícita. Por ejemplo, para la ecuación,

𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2𝑥𝑥 = 5 No es obvio expresar esta ecuación como una función de la forma 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), obtener la tasa de cambio 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑 , la podemos resolver por derivación implícita sin necesidad de

transformarla en su equivalente explícita. Por ejemplo, Obtener la derivada de la ecuación 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 4 por derivación implícita. Si la variable dependiente ′𝑦𝑦′ puede ser definida como una función implícita de la variable independiente ′𝑥𝑥′ y viceversa, 𝑥𝑥 puede definirse igualmente como una función implícita de 𝑦𝑦. Un procedimiento es derivar la ecuación término a término considerando a la variable ‘𝑦𝑦’ como función de 𝑥𝑥; es decir con la sustitución 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y de la ecuación resultante despejar 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑,

𝑥𝑥2 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥)2𝑥𝑥 = 4

151

Resolvemos la ecuación aplicando la regla de la potencia y la regla generalizada de la potencia, entonces tenemos,

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2 +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]2 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4 → 2𝑥𝑥 + 2𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

= 0

Despejamos 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑 y tenemos, 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑= −2𝑑𝑑

2𝑓𝑓(𝑑𝑑)

Finalmente se sustituye 𝑓𝑓(𝑥𝑥) por ′𝑦𝑦′ obtenemos la derivada implícita.

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=−𝑥𝑥𝑦𝑦

Debemos recordar que cuando una potencia de 𝑦𝑦 se deriva con respecto a 𝑥𝑥, como 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

[𝑓𝑓(𝑥𝑥)]2, el resultado debe incluir el factor 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

. Cuando se deriva una potencia de 𝑥𝑥, no

tenemos el factor 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

, como en el ejemplo anterior. De la solución anterior se deducen los pasos para encontrar la derivada de una función por diferenciación implícita,

1) Diferencie cada lado de la ecuación con respecto a, ′𝑦𝑦′ trate a esta variable como una función de 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

2) Mueva todos los términos 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

al lado izquierdo de la ecuación y los otros términos al lado derecho

3) Factorizar 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

, en el lado izquierdo de la ecuación

4) Divide ambos miembros de la ecuación por el factor que multiplica 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

.

Ejercicios. a) Encontrar 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑 de la ecuación 𝑥𝑥3 + 𝑦𝑦3 = 3𝑎𝑎𝑥𝑥𝑦𝑦 (“hoja de descartes”)8

Solución, es una función implícita. Hacemos 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥3 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥)3) =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑎𝑎𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥)) → 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥3) +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑓𝑓(𝑥𝑥)3) = 3𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥𝑓𝑓(𝑥𝑥))

Aplican las reglas de la potencia y el producto.

3𝑥𝑥2 + 3𝑓𝑓(𝑥𝑥)2𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

= 3𝑎𝑎 �𝑥𝑥𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)� → 3𝑥𝑥2 + 3𝑓𝑓(𝑥𝑥)2𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

= 3𝑎𝑎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 3𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑥𝑥)

8 El folium de Descartes (‘hoja de Descartes’) es una curva algebraica propuesta por vez primera por Descartes en 1638. Tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Folium_de_Descartes.

152

Figura. 5. X grafico de una isocuanta

despejar 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

que es la derivada que buscamos y regresamos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦

3𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

− 3𝑎𝑎𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= 3𝑎𝑎𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2 → 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

(3𝑦𝑦2 − 3𝑎𝑎𝑥𝑥) = 3𝑎𝑎𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2

Finalmente 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑎𝑎𝑦𝑦−𝑑𝑑2

𝑦𝑦2−𝑎𝑎𝑑𝑑

b) Supongamos la función de producción de Cobb-Douglas9 10𝑥𝑥1 3⁄ 𝑦𝑦2 3⁄ = 600, donde "𝑥𝑥" es trabajo y "𝑦𝑦" representa el capital. Esta función representa las cantidades de (𝑥𝑥,𝑦𝑦), trabajo y capital para las cuales se obtiene el nivel de producción de 600. La gráfica de esta función se llama isocuanta; con derivación implícita se obtiene la tasa de cambio de la producción cuando 𝑦𝑦 = 328.63.

Una isocuanta representa diferentes combinaciones de factores que proporcionan un mismo nivel de producción. En nuestro ejemplo son el trabajo y el capital. Para valores de (2, 328.63) tenemos el mismo nivel de producción, 600 que a (5.4, 200).

Para resolver empezamos por aplicar la regla del producto.

10𝑥𝑥1 3⁄ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥)2 3⁄ + 𝑓𝑓(𝑥𝑥)2 3⁄ 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑10𝑥𝑥1 3⁄ = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑600

10𝑥𝑥1 3⁄ �23� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)−1 3⁄ 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)2 3⁄ ∙ 10 �1

3� 𝑥𝑥−2 3⁄ = 0 Despejamos 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑

10𝑥𝑥1 3⁄ �23� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)−1 3⁄ 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑= −𝑓𝑓(𝑥𝑥)2 3⁄ �10

3� 𝑥𝑥−2 3⁄ → �20

3� 𝑥𝑥1 3⁄ 𝑦𝑦−1 3⁄ 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑= −�10

3� 𝑦𝑦2 3⁄ 𝑥𝑥−2 3⁄

9 Propuesta por Knuth Wicksell (1851-1926) y aplicada por Charles Cobb y Paul Douglas. Representa la proporción con la que varía la producción a partir de los insumos, trabajo y capital y viceversa. La función de producción tiene economías de escala constantes; si aumenta la renta de los trabajadores y el capital en 10%, por ejemplo; la producción aumenta en la misma proporción.

153

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= −�103 �𝑦𝑦

2 3⁄ 𝑑𝑑−2 3⁄

�203 �𝑑𝑑1 3⁄ 𝑦𝑦−1 3⁄

= −30𝑦𝑦2 3⁄ 𝑦𝑦1 3⁄

60𝑑𝑑2 3⁄ 𝑑𝑑1 3⁄ = − 𝑦𝑦2𝑑𝑑

Para 𝑥𝑥 = 2, 𝑦𝑦 = 328.63

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

= −328.63

2(2) = − 82.15

Esta cantidad − 82.15 es la pendiente de la isocuanta en el punto (2, 328.63). Si el valor del trabajo se incrementa en una unidad, muy pequeña, el valor del capital se reduce en − 82.15 de manera que se conserve el valor de la producción. En términos económicos el valor absoluto de 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑 es la tasa marginal de sustitución de trabajo por capital.

En derivación implícita, transformamos una ecuación de 𝑥𝑥,𝑦𝑦 donde 𝑦𝑦 es una función de 𝑥𝑥. Sin embargo, en algunas aplicaciones relacionamos estas variables con una tercera que generalmente es el tiempo 𝑡𝑡. Cuando derivamos esta ecuación con respecto al tiempo 𝑡𝑡, en realidad obtenemos las tasas de cambio 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑 y 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑. Estas derivadas son tasas relativas.

Derivación implícita y el tiempo Suponga que una organización de productores agrícolas vende 𝑥𝑥 toneladas de cártamo a un precio de 𝑝𝑝 pesos (miles por tonelada). Suponga también que 𝑥𝑥 y 𝑝𝑝 satisfacen la ecuación de demanda 𝑝𝑝2 + 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑝𝑝 = 350. ¿Qué tan rápido es el cambio de las ventas mensuales cuándo 𝑥𝑥 = 12 y 𝑝𝑝 = 3, y el precio baja a razón de $. 60 por mes? Si 𝑝𝑝 y 𝑥𝑥 son funciones diferenciables de 𝑡𝑡, la derivada de la demanda con respecto al tiempo es,

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

(𝑝𝑝2) +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

(4𝑥𝑥) +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

(𝑥𝑥𝑝𝑝) =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

(350)

2𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑡𝑡

+ 4𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

+ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑥𝑥

+ 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= 0

La incógnita es 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑; cuando 𝑥𝑥 = 12, 𝑝𝑝 = 3, y 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑= −0.6 negativa porque el precio

decrece. Sustituir en la ecuación.

2(3)(−.60) + 4𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

+ 12(−.60) + 3𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= 0 → 7𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= 10.8 → 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡

= 1.54

Las ventas aumentan a una tasa de 1.54 toneladas por mes.

154

Ejercicios. 1. Calcular 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑥𝑥)), donde 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑠𝑠(𝑥𝑥) son;

1.1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑑𝑑+1

, 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3

1.2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5 + 3𝑥𝑥, 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 4 1.3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 3)2, 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥3 1.4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1

𝑑𝑑+ 𝑥𝑥2; 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥3

1.5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 5; 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5

2. Las funciones siguientes pueden ser vistas como una función compuesta. Encuentre

𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑠𝑠(𝑥𝑥) y 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑓𝑓�𝑠𝑠(𝑥𝑥)�.

2.1. (𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥 − 2)5 2.2. (4𝑥𝑥 − 3)3 + 1

4𝑑𝑑−3

3. Hallar 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

por la regla de la cadena

3.1. Si 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠5 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 1 − 𝑥𝑥3

3.2. 𝑦𝑦 = 12𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠1 2⁄ 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 1 − 3𝑥𝑥

3.3. 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠5 2� y 𝑠𝑠 = 4𝑥𝑥2 + 1

3.4. 𝑦𝑦 = 14𝑠𝑠4 + 3𝑠𝑠1 3⁄ 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 2 + 𝑥𝑥

3.5. 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑2

1+𝑑𝑑2 𝑦𝑦 𝑠𝑠 = 4𝑥𝑥 + 1

4. Una organización de productores produce y vende mensualmente 𝑥𝑥 frascos de verduras encurtidas, con un beneficio de P miles de pesos, donde 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2 + 100𝑑𝑑

100+𝑑𝑑2. El

nivel de producción 𝑡𝑡 semanas después es 𝑥𝑥 = 4 + 2𝑡𝑡. a) Encuentre el beneficio marginal 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑

b) Encuentre el beneficio en el tiempo 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

y el cambio en el beneficio cuando 𝑡𝑡 = 5?

5. Evaluar las siguientes ecuaciones por derivación implícita para determinar la pendiente de la función en un punto dado.

a) 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦3 = 14, 𝑥𝑥 = 3, 𝑦𝑦 = 2 b) 𝑦𝑦2 = 3𝑥𝑥𝑦𝑦 − 5; 𝑥𝑥 = 2, 𝑦𝑦 = 1

6. Suponga que el precio 𝑝𝑝 y las ventas semanales de un producto 𝑥𝑥 satisfacen la ecuación de demanda 2𝑝𝑝3 + 𝑥𝑥2 = 4500. Determine tasa de cambio de las ventas en el tiempo cuando 𝑥𝑥 = 50 y 𝑝𝑝 = 10, y el precio cae en una tasa de $. 50 por semana.

7. Supongamos la función de producción de Cobb-Douglas 30𝑥𝑥1 3⁄ 𝑦𝑦2 3⁄ = 1080, donde "𝑥𝑥" es trabajo y "𝑦𝑦" representa el capital. Dibuje las isocuantas, para un nivel de

producción de 1080 y 2000. Encuentre la derivada 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

, cuando 𝑥𝑥 = 16 y 𝑦𝑦 = 54.

155

5.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. 5.9.1 Función exponencial Las derivadas de las funciones exponenciales se expresan de la siguiente forma:

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑠𝑠𝑑𝑑) = 𝑠𝑠𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑏𝑏𝑑𝑑) = 𝑏𝑏𝑑𝑑ln (𝑏𝑏)

Supongamos ahora que tenemos una función de la forma 𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑), donde 𝑠𝑠(𝑥𝑥) es una función diferenciable. Es decir, 𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑) está compuesta de dos funciones. Entonces se puede expresar,

𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑) = 𝑓𝑓(𝑠𝑠(𝑥𝑥)) Aplicamos la regla de la cadena

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑)� = 𝑓𝑓′�𝑠𝑠(𝑥𝑥)�𝑠𝑠′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓�𝑠𝑠(𝑥𝑥)�𝑠𝑠′(𝑥𝑥); 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠(𝑥𝑥)

Entonces la regla de la cadena para la función exponencial, si 𝑠𝑠(𝑥𝑥) es una función diferenciable,

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑)� == 𝑠𝑠𝑔𝑔(𝑑𝑑)𝑠𝑠′(𝑥𝑥)

Ejemplos.

a) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠−𝑑𝑑 = 𝑠𝑠−𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(−𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑑𝑑(−1) = −𝑠𝑠𝑑𝑑

b) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑2+1 = 𝑠𝑠𝑑𝑑2+1 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥2 + 1) = 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2+1

c) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠3𝑑𝑑

2−1𝑥𝑥 La función 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 1𝑑𝑑 su derivada es, 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑�3𝑥𝑥2 − 1

𝑑𝑑� = 6𝑥𝑥 + 1

𝑑𝑑2

Entonces la derivada de 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠3𝑑𝑑

2−1𝑥𝑥 = �6𝑥𝑥 + 1𝑑𝑑2� 𝑠𝑠3𝑑𝑑

2−1𝑥𝑥

d) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑠𝑠ln𝑑𝑑� = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 1

Si aplicamos la regla de la cadena

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑠𝑠ln𝑑𝑑� = 𝑠𝑠ln𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑙𝑙𝑚𝑚(𝑥𝑥)) = 𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑙𝑙𝑚𝑚(𝑥𝑥)) = 1

5.9.2 Función Logaritmo. A partir de este último ejercicio se deriva la fórmula de la función logaritmo. 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(ln (𝑥𝑥)) = 1𝑑𝑑 𝑥𝑥 > 0

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(ln𝑠𝑠(𝑥𝑥)) =1

𝑠𝑠(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠(𝑥𝑥) =𝑠𝑠′(𝑥𝑥)𝑠𝑠(𝑥𝑥)

Es la aplicación de la regla de la cadena para la función logaritmo.

156

Ejemplos.

a) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(ln 𝑥𝑥)5 = 5(ln 𝑥𝑥)4 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

ln 𝑥𝑥 = 5(ln𝑑𝑑)4

𝑑𝑑

b) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

ln 𝑥𝑥 + ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ∙ 1

𝑑𝑑+ ln 𝑥𝑥 = 1 + ln 𝑥𝑥

c) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑚𝑚 (𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 + 8) = 1

𝑑𝑑3+5𝑑𝑑2+8𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 + 8) = 3𝑑𝑑2+10𝑑𝑑𝑑𝑑3+5𝑑𝑑2+8

d) Suponga que el valor de una inversión a un tiempo 𝑡𝑡 está dado por la función 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 750,000𝑠𝑠 .6√𝑑𝑑. Encuentre que tan rápido cambia la inversión después de 𝑡𝑡 = 5 años. Solución, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(ln 𝑓𝑓(𝑡𝑡)) = 𝑓𝑓′(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑)

Esta es la tasa de cambio de 𝑓𝑓(𝑡𝑡) por unidad de 𝑡𝑡.

𝑓𝑓′(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑)

= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�ln 750,000 𝑠𝑠 .6√𝑑𝑑� = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑(ln 750,000 + 0.6√𝑡𝑡) = 0.6 �1

2� 𝑡𝑡−1 2� = .3

√𝑑𝑑

Cuando 𝑡𝑡 = 5 𝑓𝑓′(5)𝑓𝑓(5)

= .3√5

= 0.134 = 13.4%

Ejercicios. Diferenciar las siguientes funciones.

1. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟑𝟑𝒑𝒑𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 2. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒍𝒍𝒄𝒄 𝟐𝟐𝒅𝒅

3. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒑𝒑𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝒅𝒅 4. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝟏𝟏

𝒅𝒅𝒍𝒍𝒄𝒄 (𝒅𝒅 + 𝟏𝟏)

5. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒑𝒑−𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝟓𝟓𝒅𝒅𝟐𝟐 6. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒍𝒍𝒄𝒄 � 𝒅𝒅𝒅𝒅+𝟓𝟓

�

7. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒑𝒑𝒅𝒅(𝟐𝟐 − 𝒑𝒑−𝒅𝒅) 8. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = (𝒍𝒍𝒄𝒄 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏)𝟑𝟑

9. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = �𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟑𝟑�𝟐𝟐𝒑𝒑𝒅𝒅 10. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒑𝒑𝟐𝟐𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒄𝒄𝒅𝒅

11. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅√𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝒅𝒅 12. 𝒇𝒇(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅𝟐𝟐

𝒍𝒍𝒄𝒄𝒅𝒅

13. El valor de los archivos de una empresa es de 𝑡𝑡(𝑡𝑡) = 200𝑡𝑡 + 50𝑠𝑠−0.25𝑑𝑑 ¿Cuál sería su valor tres años después?

157

5.10 Derivadas de orden superior Sea una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) derivable. Si 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) es la derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) con respecto a 𝑥𝑥. Si continuamos el cálculo y derivamos nuevamente 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) tendremos 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) que llamaremos la derivada segunda de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), si continuamos derivando la función obtendremos la tercera, cuarta, enésima derivada. Las derivadas segundas y de en general de orden superior se determinan aplicando las mismas reglas de diferenciación vistas para la primera derivada.

Utilizando la notación de Leibniz, la segunda derivada se representa 𝑑𝑑2𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑2 que es diferente

de �𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑�2.

Cuando derivamos una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) obtenemos una nueva función 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), entonces la segunda derivada es

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)

La primera derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es la pendiente de la función en cualquier punto. La segunda derivada nos da información adicional de la forma en cualquier punto, lo veremos más adelante en el tema de máximos y mínimos. Ejemplos.

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 5 Encontrar todas las derivadas de la función. Solución, Encontramos las derivadas sucesivas, mientras sea posible. De esta manera, 1ª. Derivada 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 24𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 − 3 2ª. Derivada 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 48𝑥𝑥 + 12 3ª. Derivada 𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) = 48 4ª. Derivada 𝑓𝑓′′′′(𝑥𝑥) = 0

b) Obtener la segunda derivada de la función 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2 Solución, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

4𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2 = 4𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 𝑠𝑠𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(4𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥(2𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 4𝑠𝑠𝑑𝑑2 = 8𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 4𝑠𝑠𝑑𝑑2

𝑑𝑑2

𝑑𝑑𝑥𝑥2�4𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2� =

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

�8𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 4𝑠𝑠𝑑𝑑2� = 8𝑥𝑥2(2𝑥𝑥)𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 16𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 8𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2

= 16𝑥𝑥3𝑠𝑠𝑑𝑑2 + 24𝑥𝑥𝑠𝑠𝑑𝑑2 c) Encontrar 𝑑𝑑

2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑2

de la función 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 9 (ecuación de una circunferencia)

Solución, es una función implícita 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(9) → 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑥𝑥2) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑦𝑦2) = 0

Aplican las reglas de la potencia y el producto.

158

3𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 0 Vamos a despejar 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

que es la derivada que buscamos

1ª Derivada es 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 𝑑𝑑𝑦𝑦

A partir de esta ecuación obtenemos la segunda derivada. Aplicamos la regla del cociente. 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑� = 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑�−𝑥𝑥

𝑦𝑦� ↔𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑2

= −𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑑𝑑)−(𝑑𝑑) 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦

𝑦𝑦2= −

𝑦𝑦−(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑦𝑦2 Sustituimos

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥2

= −𝑦𝑦 − (𝑥𝑥) �− 𝑥𝑥𝑦𝑦�

𝑦𝑦2= −

𝑦𝑦 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦

𝑦𝑦2= −

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2𝑦𝑦𝑦𝑦2

= −𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝑦𝑦3

Finalmente, sustituimos la función original 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 9 y tenemos,

𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥2

= −9𝑦𝑦3

La derivada primera 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) es la tasa de cambio, representa la rapidez instantánea de cambio de la variable dependiente 𝑦𝑦 a medida que cambia la variable independiente 𝑥𝑥, mide la rapidez de variación de la función. Así, la segunda derivada mide la rapidez de variación de la primera derivada. La segunda derivada es una medida de la tasa de cambio en la primera derivada. Posteriormente veremos algunas aplicaciones de las derivadas de orden superior para resolver problemas de valor extremos, máximos y mínimos. Supongamos la función 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 3 las derivadas primera y segunda son respectivamente 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 3 y 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 2. Su representación gráfica es la siguiente,

La gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es una parábola convexa, abre hacia arriba. La pendiente de esta función es negativa hasta el punto �− 3

2, 34�. A partir de este punto la pendiente es positiva

y de cero en el punto. La segunda gráfica nos muestra el comportamiento de la pendiente de la función 𝑓𝑓′(𝑥𝑥). Como se puede apreciar para valores de 𝑥𝑥 menores a −3

2 la

pendiente es negativa, del otro lado cuando 𝑥𝑥 toma valores mayores la pendiente es negativa. La tercera gráfica 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥), es una función constante indica que la pendiente esta aumentando en una tasa instantánea de 2 unidades para cada cambio de 𝑥𝑥.

159

Ejercicios. Calcular la segunda derivada de las siguientes funciones:

1) 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥5 + 3𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 10

2) 𝑦𝑦 = 7𝑑𝑑3+8𝑑𝑑−5

3) 𝑦𝑦 = ln 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥 4) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 − 34

5.11 Aplicaciones de la derivada Las técnicas del cálculo tienen muchas aplicaciones a problemas de la vida real. En las siguientes aplicaciones, vamos a construir una función a partir de un modelo matemático y el análisis de la función y sus derivadas nos permitirán obtener información del problema original. 5.11.1 Describir la gráfica de una función. Máximos y mínimos Es común graficar una función para conocer su comportamiento en un intervalo de valores. Sin embrago, por la complejidad de la función obtener su gráfica resulta complicado. En primer lugar, observemos la siguiente gráfica. Dependiendo, si la vemos de izquierda a derecha la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es creciente o decreciente si la vemos en el sentido inverso. Para evitar confusiones seguiremos la práctica más común de leer las gráficas de izquierda a derecha.

Así, una función continua es creciente en un intervalo, si para cualquier par de puntos en el intervalo con 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2, se verifica que 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) < 𝑓𝑓(𝑥𝑥2). Por lo contrario, una función continua es decreciente en un intervalo si para cualquier par de puntos con 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2, se verifica que 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) > 𝑓𝑓(𝑥𝑥2). Un punto extremo relativo de una función es el punto en el cual la gráfica cambia de ascendente a descendente o viceversa. Estos puntos en los que la

gráfica cambia de pendiente los llamaremos puntos máximos relativos si el cambio es de ascendente a descendente; será un punto mínimo relativo en el otro caso.

160

El punto máximo, o máximo absoluto de una función es el mayor valor que toma la función en su dominio y el punto mínimo, es el menor valor que toma la función. No necesariamente una función tiene máximo y/o mínimo, por ejemplo, En muchos problemas prácticos se requiere encontrar los valores máximos y mínimos. Estas cantidades se llaman valores óptimos y encontrarlos es el problema de la optimización. Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) una función de una variable real. Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y su derivada son continuos en un punto donde el valor de la derivada cambia de positivo a negativo, la función tiene un máximo. Por otro lado, si la pendiente pasa de un valor negativo a un positivo, es un mínimo. En los dos casos, el valor de la pendiente en ese punto es cero. Como la pendiente de la recta tangente, como lo hemos dicho antes, se obtiene con la primera derivada de la función, para obtener estos puntos extremos debemos igualar a cero la primera derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y obtener los puntos que hacen cero la función. Estos puntos nos indicaran si la función tiene uno o varios puntos de inflexión, un máximo o un mínimo.

5.11.2 Prueba de la primera derivada. Sirve para determinar si un punto (x, f(x)) es máximo o un mínimo. Sea una función f(x), c un punto crítico y a, b dos números reales tales que,

i. a < c < b ii. f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b). Esto es necesario para que

solamente exista un punto crítico en el intervalo. iii. c es un punto crítico en el intervalo cerrado [a, b]

• Si f ′(a) > 0 para a < c y f ′(b) < 0 para b > c, entonces c es un máximo relativo

en f(c)

161

• Si f ′(a) < 0 para a < c y f ′(b) > 0 para b > c, entonces c es un mínimo relativo en f(c)

Cuando f ′(c) = 0, la regla de la primera derivada no es concluyente. Ejemplo. Encontrar los puntos críticos de la función y = x3 − 3x2 + 7 y dibujar su gráfica. Solución: La primera derivada es f(x)′ = 3x2 − 6x.

Hacemos f(x)′ = 0 y resolvemos para x;

3x2 − 6x = 0 → 3x(x − 2) = 0

Por lo tanto x = 0 y x = 2 son las soluciones a la ecuación anterior. Sustituimos los valores de x en f(x),

f(0) = 03 − 3(0)2 + 7 = 7 f(2) = (2)3 − 3(2)2 + 7 = 3

De esta manera los puntos de críticos son (0,7) y (2,3). El siguiente paso es encontrar como cambia la gráfica en estos puntos. En el primer punto (0,7), si tomamos a = −1 y b = 1, los valores de la derivada

f′(−1) = 9 y f′(1) = −3, La función es decreciente para los dos valores entonces este punto es un máximo relativo. Igualmente, en el punto (2,3), si a = 1 y b = 3, el valor de la función es f(1) = −3 y f(3) = 9 por lo tanto obtenemos un mínimo relativo, Su gráfica es la que se muestra. Si es necesario obtenemos un punto intermedio para verificar que la función es descendente en ese punto, por ejemplo, en (1,5), para a = 0 y b = 2, las pendientes son f ′(0) = 0 y f′(5) = 0. Como se estableció antes el resultado no es concluyente,

162

5.11.3 Prueba de la segunda derivada En un intervalo de una función f(x), esta puede ser “convexa”, que abre hacia abajo o “cóncava”, abre hacia arriba. La forma de la gráfica dependerá de cómo sean sus tangentes, por ejemplo, para la función

Como podemos apreciar en la gráfica, las pendientes de las tangentes van disminuyendo cuando la curva abre hacia abajo; por lo contrario, las pendientes de las tangentes aumentan cuando la curva abre hacia arriba. Un punto de inflexión es aquel punto en donde la curva cambia de cóncava a convexa y viceversa. En la gráfica, a la izquierda del punto de inflexión la curva abre hacia abajo; mientras que a la derecha abre hacia arriba. Existe una relación entre la derivada segunda de una función y su concavidad Sea una función 𝒇𝒇(𝒅𝒅) derivable dos veces en un punto crítico 𝒄𝒄.

a) Si 𝒇𝒇′′(𝒄𝒄) > 𝟎𝟎, la gráfica de 𝒇𝒇 es cóncava, abre hacia arriba, y el punto (𝒄𝒄,𝒇𝒇(𝒄𝒄)) será un mínimo relativo si 𝒇𝒇′(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.

b) Si 𝒇𝒇′′(𝒄𝒄) < 𝟎𝟎, la gráfica de 𝒇𝒇 es convexa, abre hacia abajo, y el punto (𝒄𝒄, 𝒇𝒇(𝒄𝒄)) será un máximo relativo si 𝒇𝒇′(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎.

c) Si 𝒇𝒇′′(𝒄𝒄) = 𝟎𝟎, la gráfica de la función en el punto (𝒄𝒄,𝒇𝒇(𝒄𝒄)) no es precisa, en este caso se puede utilizar el criterio de la primera derivada.

d) (𝒄𝒄,𝒇𝒇(𝒄𝒄)) es un punto de inflexión. Si hay un cambio de concavidad en 𝒅𝒅 = 𝒄𝒄; de esta manera 𝒅𝒅 es cóncava en un lado y convexa al otro, 𝒇𝒇′′(𝒄𝒄) cambia de signo cuando 𝒅𝒅 = 𝒄𝒄

163

Ejemplos: Utilizar la prueba de la segunda derivada para encontrar los extremos relativos y los puntos de inflexión, si los hay, de las siguientes funciones

a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑4

4− 4𝑑𝑑3

3+ 𝑑𝑑2

2+ 6𝑥𝑥 + 1

Obtener la primera derivada 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 6 Igualar a cero 𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 6 = 0 Por división sintética las raíces de 𝑥𝑥 son (−1,2,3), finalmente se sustituyen estos valores en 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Puntos de inflexión

𝑓𝑓(−1) = (−1)4

4− 4(−1)3

3+ (−1)2

2+ 6(−1) + 1 = −2.91 Punto (−1,−2.91)

𝑓𝑓(2) = (2)4

4− 4(2)3

3+ (2)2

2+ 6(2) + 1 = 8.33 Punto (2, 8.33)

𝑓𝑓(3) = (3)4

4− 4(3)3

3+ (3)2

2+ 6(3) + 1 = 7.75 Punto (3, 7.75)

Estos puntos se sustituyen en la segunda derivada para conocer como son los puntos de inflexión.

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 1 Se analizan estos puntos 𝑓𝑓′′(−1) = 3(−1)2 − 8(−1) + 1 = 12 en (−1,−2.91) la función es cóncava 𝑓𝑓′′(2) = 3(2)2 − 8(2) + 1 = −3 en (2, 8.33) la función es convexa 𝑓𝑓′′(3) = 3(3)2 − 8(3) + 1 = 4 en (3, 7.75) la función es cóncava Estos resultados se verifican en la grafica

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 4 Obtenemos la primera derivada 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 Igualamos a cero 3𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 = 0 → 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 6) = 0 los valores de 𝑥𝑥 = 0, 2 son extremos. Puntos de inflexión 𝑓𝑓(0) = 03 − 3(0)2 + 4 = 4 punto (0, 4) 𝑓𝑓(2) = 23 − 3(2)2 + 4 = 0 punto (2, 0) Se sustituye en la segunda derivada para conocer la naturaleza de los puntos de inflexión.

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 6

De esta manera los puntos de inflexión

𝑓𝑓′′(0) = 6(0) − 6 = −6 en (0, 4) la función es cóncava 𝑓𝑓′′(2) = 6(2) − 6 = 6 en (2, 0) la función es convexa

164

Se puede verificar estos puntos en la gráfica inferior

c) f(x) = (2 − x2)(x2 − 4)

La primera derivada

f ′(x) = (2 − x2)(2x) + (x2 − 4)(−2x) = 4x − 2x3 − 2x3 + 8x = −4x3 + 12x

= 4x(3 − x2)

Igualar a cero 4x(3 − x2) = 0

Los valores de x1,2 = 0,√3,−√3 y se sustituyen en f(x). Puntos de inflexión f(0) = (2)(−4) = −8 (0,−8) f�√3� = (2 − (√3)2)((√3)2 − 4) = 1 (√3, 1)

f�−√3� = (2 − �−√3�2

)((−√3)2 − 4) = 1 (−√3 ,1 ) Sustituimos en la segunda derivada para conocer la concavidad de los puntos de inflexión f ′′(x) = −12x2 + 12 f ′′(0) = −12(0) + 12 = 12 en (0,−8) la función es cóncava f ′′�√3� = −12�√3�

2+ 12 = −24 en (√3, 1) la función es convexa

f ′′�−√3� = −12�−√3�2

+ 12 = −24 en (−√3, 1) la función es convexa Se puede verificar en la gráfica

165

Ejercicios.

1. Utilizar la prueba de la segunda derivada para encontrar los extremos relativos y los puntos de inflexión, si los hay, de las siguientes funciones

a. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 4 b. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥5 − 3𝑥𝑥3 c. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥√3 + 𝑥𝑥

2. Encontrar los extremos relativos de cada una de las siguientes funciones. 2.1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥4 − 9𝑥𝑥2 + 18 2.2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (2 + 𝑥𝑥)3 2.3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 9√𝑥𝑥23 − 3𝑥𝑥3 + 4

3. Obtenga la gráfica de las siguientes funciones y encuentre los puntos extremos y los puntos de inflexión. 3.1. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥 + 1 3.2. 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 36𝑥𝑥 + 20 3.3. 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥3 − 12𝑥𝑥 − 4

5.11.14 Cálculos en intervalos cerrados. Cuando la función f(x) está acotada por un intervalo cerrado, estos puntos extremos se consideran también puntos extremos, máximos o mínimos, como, por ejemplo, Encontrar los extremos absolutos de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 en el intervalo cerrado [−2, 2].

Solución,

Como la función es continua, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es un polinomio, y el intervalo es cerrado, I. Se buscan

166

II. los puntos extremos,

f ′(x) = 3x2 − 6x − 9, los puntos extremos son; x1,2 = −1,3

Descartamos x = 3 porque no está en el intervalo.

III. Después, evaluar f en los extremos del intervalo y en el punto crítico x = −1

f(−2) = (−2)3 − 3(−2)2 − 9(−2) = −8 − 12 + 18 = −2 f(−1) = (−1)3 − 3(−1)2 − 9(−1) = −1 − 3 + 9 = 5 f(2) = (2)3 − 3(2)2 − 9(2) = 8 − 12 − 118 = −22

IV. De los resultados anteriores encontramos que, f(2) = −22 , punto (2,−22) es el mínimo y f(−1) = 5 punto (−1,5) es el valor máximo

Ejemplos,

a) Encontrar los puntos extremos de la función f(x) = √x2 − 43 en el intervalo [−3,1].

I. En primer lugar, encontramos los

puntos extremos,

f ′(x) =13

(x2 − 4)−23 (2x)

Se iguala a cero f(x)

2x3

(x2 − 4)−23 = 0

Los puntos extremos son x = 0 y x = ±2

El punto x = 2 está fuera del intervalo, entonces no lo consideramos. De esta manera los puntos extremos para las x`s son {−2,0,1}

II. Evaluar f en los extremos del intervalo y en el punto crítico x = −1

𝑓𝑓(−3) = �(−3)2 − 43 = √53 = 1.71 𝑓𝑓(0) = �(0)2 − 43 = √−43 = −√43 ≅ −1.58

𝑓𝑓(−2) = �(−2)2 − 43 = 0 𝑓𝑓(1) = �(1)2 − 43 = √−33 = −√33 = 1.44

III. De los resultados anteriores encontramos que, f(0) = −√43 , punto (0,−1.58) es el mínimo y f(−3) = √53 punto (−3,1.71) es el valor máximo

167

b) Una empresa que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 40 unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender q unidades mensuales es dada por,

𝑈𝑈(𝑞𝑞) = −100 + 600𝑞𝑞 + 10𝑞𝑞2 −13𝑞𝑞3

Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual Solución,

I. En primer lugar, se debe buscar el punto donde la función U alcanza el máximo en el intervalo [0,40]. Como U es una función polinómica y como nos interesa encontrar el máximo en el intervalo cerrado. Encontramos la primera derivada e igualamos a cero.

𝑈𝑈′(𝑞𝑞) = 600 + 20𝑞𝑞 − 𝑞𝑞2 = 0

Las soluciones son q = 36.45 y q = −16.45, tomamos solamente la parte entera y descartamos el segundo valor por estar fuera del intervalo. De esta manera los puntos extremos son {0,36,40}

II. El segundo paso es evaluar U en los valores extremos

𝑈𝑈(0) = −100 + 600(0) + 10(0)2 −13

(0)3 = −100

𝑈𝑈(36) = −100 + 600(36) + 10(36)2 −13

(36)3 = 18,908

𝑈𝑈(40) = −100 + 600(40) + 10(40)2 −13

(40)3 = 18,566 III. De los resultados anteriores encontramos que f(36) = 18,908, que es el valor

máximo o el nivel de producción en que la utilidad es máxima.

5.11.5 Aplicaciones a la economía. Las aplicaciones del cálculo, particularmente las derivadas, en economía son diversas y muy útiles puesto que por definición nos llevan a realizar cálculos marginales. Es decir, la razón de cambio en la variable cuando se suma una unidad adicional al total. En el caso del costo marginal, es el costo de producir una unidad adicional es decir 𝐶𝐶(𝑥𝑥 + 1) −𝐶𝐶(𝑥𝑥). Este valor es muy cercano a 𝑑𝑑𝐶𝐶

𝑑𝑑𝑑𝑑. Enunciados similares podemos hacerlo para otras

variables económicas como; costo, ingreso, beneficio o producción. A) Análisis marginal Los costos de producción de una empresa son por una parte independientes de las cantidades producidas, costos fijos, y por otro lado los que están relacionados con el nivel

168

de producción, costos variables. Los costos fijos se mantienen durante un tiempo aun si no hay ninguna actividad de producción; por otra parte, los costos variables, no están en función del tiempo existen solo si hay producción de artículos o servicios. Sea 𝐶𝐶(𝑥𝑥) el costo total de producción y 𝑥𝑥 las cantidades producidas. Llamaremos costo medio de producción 𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) a la función

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑥𝑥) =𝐶𝐶(𝑥𝑥)𝑥𝑥

El costo marginal de producción 𝐶𝐶𝑚𝑚(𝑥𝑥) es;

𝐶𝐶𝑚𝑚(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

De la misma manera podemos encontrar otras variables económicas como; el ingreso medio y marginal, la producción media y marginal, utilidad marginal, etc. Ejemplos, 1) Un fabricante tiene una producción 𝑥𝑥 de un producto. Si el costo de producción anual

es, en miles de pesos, 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥2 + 30𝑥𝑥 + 1500

Si el costo total cuando se producen 100 piezas es de $124,500. Encontrar el costo marginal cuando se produce una pieza adicional y determinar si es conveniente su producción.

El costo marginal es la derivada de la función de costos, entonces

𝑄𝑄′(𝑥𝑥) = 24𝑥𝑥 + 30

De esta manera, el costo de producir una pieza más es

𝑄𝑄′(100) = 24(100) + 30 = 2,430

Así, si producen una pieza más, el costo se incrementa en $2,430 pesos Por otro lado, el costo promedio es,

𝑄𝑄(𝑥𝑥)������� = 12𝑥𝑥 + 30 +1500𝑥𝑥

Y el costo promedio de producir 100 piezas es,

𝑄𝑄(𝑥𝑥)������� = 12(100) + 30 +1500100

= $1,245

Como el costo promedio de producir 100 piezas es menor, no conviene producir la siguiente pieza

169

El ingreso marginal se define de manera análogo. Es el ingreso obtenido por la venta de una unidad adicional. Es claro que, si un producto se vende siempre al mismo precio, entonces el ingreso marginal es igual al precio.

2) Una empresa que fabrica alimento para ganado tiene una función de ingreso, 𝑅𝑅(𝑞𝑞) = 30𝑞𝑞 − 3𝑞𝑞2 en miles de pesos; donde 𝑞𝑞 es la cantidad de alimento en toneladas vendido en un año. Determinar a) el ingreso marginal, para 𝑞𝑞 = 3; b) A qué nivel de producción alcanza la empresa un nivel de producción máximo?, c) interpretación económica de sus resultados

a) El ingreso marginal es

𝑅𝑅′(𝑞𝑞) = 30 − 6𝑞𝑞

Para 𝑞𝑞 = 3 el ingreso marginal es 𝑅𝑅′(3) = 30 − 6(3) = 12. Si la producción es de 3 toneladas, producir una unidad adicional traería un aumento en los ingresos de $12 pesos

b) El ingreso máximo se obtiene cuando 𝑅𝑅′(𝑞𝑞) = 0, así

30 − 6𝑞𝑞 = 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑚𝑚𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑞𝑞 = 5

El ingreso total es para este valor 𝑅𝑅(𝑞𝑞) = 30(5) − 3(5)2 = 75

Al producir 5 toneladas de alimento, la empresa obtiene su nivel máximo de ingreso de $75 miles de pesos

B) Elasticidad de la demanda.

La elasticidad de la demanda es un concepto que en economía se utiliza para medir la variación porcentual de la cantidad demandada cuando el precio aumenta en 1%. El número que se obtiene de esta forma es independiente de las unidades en que se midan cantidades y precios.

Si se conoce la función de demanda y un punto (𝑝𝑝, 𝑞𝑞) de la función. La elasticidad de la demanda se define de la siguiente manera:

Supongamos que la demanda de un bien se obtiene a partir de la función 𝑞𝑞 = 𝐷𝐷(𝑝𝑝). Cuando el precio varía de 𝑝𝑝 → 𝑝𝑝 + ∆𝑝𝑝, la cantidad demandada 𝑞𝑞 también varía. Así,

∆𝑞𝑞 = 𝐷𝐷(𝑝𝑝 + ∆𝑝𝑝) − 𝐷𝐷(𝑝𝑝) Y la relativa o proporcional es, ∆𝑞𝑞𝑞𝑞

= 𝐷𝐷(𝑑𝑑+∆𝑑𝑑)−𝐷𝐷(𝑑𝑑)𝐷𝐷(𝑑𝑑)

La razón entre la variación relativa de la cantidad demandada y la variación relativa del precio es,

170

∆𝑞𝑞 𝑞𝑞⁄∆𝑝𝑝 𝑝𝑝⁄

=𝑝𝑝∆𝑞𝑞𝑞𝑞∆𝑝𝑝

=𝑝𝑝

𝐷𝐷(𝑝𝑝)𝐷𝐷(𝑝𝑝 + ∆𝑝𝑝) − 𝐷𝐷(𝑝𝑝)

∆𝑝𝑝

Cuando ∆𝑝𝑝 = 𝑝𝑝100� , de tal manera que 𝑝𝑝 aumenta un 1% entonces la ecuación anterior

se transforma en �∆𝑞𝑞𝑞𝑞� ∙ 100 que es la variación porcentual de la cantidad demandada.

La razón ∆𝑞𝑞 𝑞𝑞⁄∆𝑑𝑑 𝑑𝑑⁄

es la elasticidad media de 𝑞𝑞 en el intervalo [𝑝𝑝,𝑝𝑝 + ∆𝑝𝑝]. Es natural definir la

elasticidad de 𝐷𝐷 en 𝑝𝑝 como el límite de esta razón cuando ∆𝑝𝑝 tiende a 0. Puesto que el cociente 𝐷𝐷(𝑑𝑑+∆𝑑𝑑)−𝐷𝐷(𝑑𝑑)

∆𝑑𝑑 tiende a 𝐷𝐷′(𝑝𝑝) cuando ∆𝑝𝑝 → 0 tenemos,

La elasticidad de 𝐷𝐷(𝑝𝑝) con respecto a 𝑝𝑝 es =

𝑝𝑝𝐷𝐷(𝑝𝑝)

𝑑𝑑𝐷𝐷(𝑝𝑝)𝑑𝑑𝑝𝑝

Supongamos que la cantidad de la demanda de un cierto bien viene dada por la función. 𝐷𝐷(𝑝𝑝) = 8000𝑝𝑝−1.5. Hallar la elasticidad de 𝐷𝐷(𝑝𝑝) y el porcentaje exacto de variación de la cantidad demandada cuando el precio aumenta un 1% a partir de 𝑝𝑝 = 4.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐷𝐷(𝑝𝑝) = 8000(−1.5)𝑝𝑝−1.5−1 = −12000𝑝𝑝−2.5

𝑝𝑝𝐷𝐷(𝑝𝑝)

𝑑𝑑𝐷𝐷(𝑝𝑝)𝑑𝑑𝑝𝑝

=𝑝𝑝

8000𝑝𝑝−1.5 (−12000 𝑝𝑝−2.5) = −120008000

𝑝𝑝 ∙ 𝑝𝑝−2.5

𝑝𝑝−1.5 = −1.5

Un aumento en el precio de 1% hace que la cantidad demandada baje aproximadamente 1.5%.

La caída en la demanda cuando el precio es 4. 𝐷𝐷(4) = 8000(4)−1.5 = 1000.

Si el precio aumenta en 1%, el nuevo precio será 4 + 4100� = 4.04. Entonces la

variación de la demanda será:

𝐷𝐷(4.04) − 𝐷𝐷(4) = 8000(4.04)−1.5 − 1000 = −14.81

La variación porcentual de la demanda a partir de 𝐷𝐷(4) = 1000 es aproximadamente.

−14.811000

∙ 100 = −1.481

Esta relación inversa entre precio y cantidad es siempre negativa, por eso generalmente se toma el valor de la elasticidad en valor absoluto. Por conveniencia, la formula general de cálculo se multiplica por −1.

La elasticidad de la demanda 𝜂𝜂𝑑𝑑 al precio 𝑝𝑝 para la función de demanda 𝑞𝑞 = 𝑓𝑓(𝑝𝑝) es,

171

𝜂𝜂𝑑𝑑 =−𝑝𝑝𝐷𝐷′(𝑝𝑝)𝐷𝐷(𝑝𝑝)

La elasticidad de la demanda se expresa como 𝜂𝜂𝑑𝑑 y dependiendo de la capacidad de respuesta a los cambios en los precios, la elasticidad de la demanda puede ser elástica o inelástica.

En general, la demanda de un bien es inelástica (o relativamente inelástica) cuando el coeficiente de elasticidad es menor que uno en valor absoluto. Esto indica que las variaciones en el precio tienen un efecto relativamente pequeño en la cantidad demandada del bien. Un producto clásicamente inelástico es la tortilla. Las variaciones en el precio de la tortilla tienen una variación prácticamente nula en la cantidad demandada. Es decir, es insensible o inelástica al precio.

Cuando la Elasticidad Precio de la Demanda es mayor que uno, se dice que la demanda de este bien es elástica (o relativamente elástica). Una disminución a la baja en el precio de los automóviles genera un impacto en la cantidad demandada. Por ejemplo, si los precios de los autos aumentan en un 6% y la demanda disminuye en un 3% se obtiene −3%

6%=

−0.5. La elasticidad es igual a 0.5, en valor absoluto. Nótese que este es un número sin dimensiones.

Ejemplo. Suponga que la función de demanda para un cierto metal es 𝑞𝑞 = 100 − 2𝑝𝑝 donde 𝑝𝑝 es el precio por tonelada y 𝑞𝑞 es la cantidad demandada en millones de toneladas.

a) ¿Qué cantidad se venderá a $30 por kilogramo? b) Determinar la elasticidad 𝜂𝜂𝑑𝑑 c) Determine e interprete la elasticidad de la demanda a 𝑝𝑝 = 30 d) Determine e interprete a 𝑝𝑝 = 20

a) 𝑞𝑞(𝑝𝑝) = 100 − 2𝑝𝑝 cuando 𝑝𝑝 = 30 𝑞𝑞(30) = 100 − 2(30) = 40

La demanda es de 40 millones de Kg de metal.

b) 𝜂𝜂𝑑𝑑 = −𝑝𝑝 𝑓𝑓′(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑) = − −2𝑑𝑑

100−2𝑑𝑑= 2𝑑𝑑

100−2𝑑𝑑

c) 𝜂𝜂𝑑𝑑 = 2(30)100−2(30)

= 6040

= 32

Cuando el precio es $30 /Kg, un incremento en el precio de 1%, la demanda cae en 1.5% o menor, la cantidad de metal cae en 3 2� veces la tasa relativa de incremento en el precio. La demanda es elástica.

d) 𝜂𝜂𝑑𝑑 = 2(20)100−2(20)

= 4060

= 23

172

Cuando el precio es de $20 pesos por Kg, un pequeño incremento en el precio resultará en una caída en la tasa relativa de la demanda de 2

3� veces la tasa relativa de incremento en el precio. Es decir, si el precio se incrementa en 1% la cantidad demandada se incrementará en 2 3� de 1%. La demanda será inelástica.

Son varios los factores que influyen en el mayor o menor grado de elasticidad de un bien. Por ejemplo, el tipo de necesidades. Si es un producto de primera necesidad, su demanda será más bien inelástica; en cambio sí es un producto de lujo su demanda será más elástica, dado que un aumento en el precio alejará a algunos consumidores. También afecta la elasticidad la existencia de bienes sustitutos. Si hay buenos sustitutos, la demanda del bien será elástica y se podrá reemplazar su consumo. Al revés, si hay pocos sustitutos, la demanda tenderá a ser inelástica. Un ejemplo clásico de bienes sustitutos y elasticidad es la mantequilla y la margarina. Si la mantequilla sube mucho de precio se podrá reemplazar por la margarina.

Otro factor que afecta es el período de tiempo. La elasticidad tiende a aumentar en el largo plazo porque los consumidores tienen más tiempo para ajustar su comportamiento y adaptarse a los bienes sustitutos. Frente a otros productos, como por ejemplo la gasolina, el consumidor puede reaccionar rápidamente a un alza y disminuir su consumo, pero con el tiempo se adaptará al nuevo precio y volverá a consumir a los mismos niveles, mostrando así una demanda inelástica.

Ejercicios.

1. Para las siguientes funciones de demanda calcule la elasticidad al precio que se indica. 1.1. 𝑞𝑞 = −2300𝑝𝑝 + 440 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑝𝑝 = 1.5 1.2. 𝑞𝑞 = 𝑝𝑝2𝑠𝑠−(𝑑𝑑+3) 𝑝𝑝 = 80 1.3. 𝑞𝑞 = 70

𝑑𝑑2−2, 𝑝𝑝 = 5

1.4. 𝑞𝑞 = 500 − (4𝑝𝑝 + 𝑝𝑝2), 𝑝𝑝 = 15

1.5. 𝑞𝑞 = (𝑑𝑑−100)2

2, 𝑝𝑝 = 10

2. Una empresa de dulces vende 𝑄𝑄 = 3500(𝑑𝑑+25)

cajas de chocolates a un precio de 𝑝𝑝 pesos

por caja. Si el precio actual del producto es de $ 95.0 pesos. 2.1. Es la demanda elástica o inelástica a un precio de $95 pesos. 2.2. Si el precio aumenta un poco, el ingreso se incrementa o disminuye.