ARMONICOS ESFERICOS Y EL GEOIDE

Joaquın Montes Fernandez

15 de octubre de 2013

En esta practica vamos a aproximarnos los armonicos esfericos desdeun punto visual, para entender su significado y su utilidad. El objetivo esreconstruir distintos cuerpos a partir de las suma de armonicos esfericos.

Para ello disponemos de varios programas en MATLAB que vamos a irutilizando para trabajar con los armonicos esfericos.

1. GENERACION DE ARMONICOS ESFERICOS INDIVIDUALES

El programa spheriharm0(n,m,C,S) nos sirve para representar el armoni-co esferico de grado n y orden m, con los coeficientes (C S), es decir, que serepresenta sobre la esfera la funcion:

f(θ, φ) = (CS)Ynm(θ, φ) = (Ccos(mφ) + Ssin(mφ))Pnm(cosθ)

donde n es el grado y m es el orden de armonico y C, S son los coeficientesdel coseno y el seno, y cumpliendose la condicion n > 0 y que 0 ≤ m ≤ n.

Veamos la representacion de un armonico esferico con los siguientesparametros (n,m,C,S)=(2,1,1,1):

vemos que en realidad se combinan dos representaciones:

Una gama de colores que nos da el valor real del armonico esferico encada punto de la esfera.

La deformacion de la propia esfera, que en este programa esta norma-lizada para que sea como maximo el 20% del radio de la esfera.

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Representaciones de otros armonicos esfericos:

(1,0,1,1):

(3,0,1,1):

2

(3,1,1,1):

(3,2,1,1):

3

(3,3,1,1):

Respondemos a continuacion a las siguientes cuestiones:¿Cuantos paralelos y meridianos nodales tiene el armonico esferi-

co de grado n y orden m?Para responder a esta cuestion estudiamos el caso representado anterior-

mente de los armonicos esfericos de grado 3 y orden m, 0 ≤ m ≤ 3:

Caso (3,0,1,1). Paralelos:3, Meridianos:0

Caso (3,1,1,1). Paralelos:2, Meridianos:1

Caso (3,2,1,1). Paralelos:1, Meridianos:2

Caso (3,3,1,1). Paralelos:0, Meridianos:3

Vemos que se cumple: Paralelos n-m, Meridianos m.¿Cuanto hay que rotar el armonico esferico en torno al eje

vertical para que coincidan de nuevo sus maximos y sus mınimos?Volvemos a ejemplo al representado anteriormente de los armonicos esferi-

cos de grado 3 y orden m, 0 ≤ m ≤ 3:

Caso (3,0,1,1). Angulo: 0o

Caso (3,1,1,1). Angulo: 180o

Caso (3,2,1,1). Angulo: 90o

Caso (3,3,1,1). Angulo: 60o

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Vemos que se cumple: Simetrıa 2π/m.¿Que efecto tiene la variacion de los coeficientes C y S?Para ver este efecto vamos a tomar un armonico esferico cualquiera, por

ejemplo n = 4, m = 2, y vamos a variar los coeficientes C y S para ver comoafecta al resultado visual:

(4,2,1,1):

(4,2,10,1):

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(4,2,1,10):

(4,2,100,1):

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(4,2,1,100):

(4,2,100,100):

Podemos observar que la forma y los colores son practicamente semejan-tes, pero vemos que la escala de tonalidad de esos colores cambia, luego elefecto de la variacion de C y S tiene como consecuencia una mayor distorsionde los maximos y los mınimos con respecto a la esfera.

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¿Que ocurre cuando varıa el modulo de (C S)?El valor del modulo de C o S es la amplitud de oscilacion de los maximos

y mınimos que forman la distorsion respecto de la esfera.¿Que ocurre cuando varıa la razon C/S?Visualicemos los siguientes armonicos:

(2,1,1,1):

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(2,1,10,1):

(2,1,100,1):

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Vemos que cambia la escala de colores en el mismo factor que cambia C/Sluego aumentan la profundidad de los ’valles’y la altura de las ’montanas’.

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2. RECONSTRUCCION DEL GEOIDE DE LA TIERRA

Para esta reconstruccion usamos el modelo EGM96 de la web ICGEMdescargando el fichero egm96.gfc. En este fichero estan listados los coefi-cientes Cnm y Snm correspondientes a los distintos armonicos Ynm, comopodemos ver en la siguiente imagen:

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Usando el programa de MATLAB dado en las practicas y introduciendolos datos hasta n = 5 obtenemos lo siguiente:

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Por otro lado, vamos a utilizar un programa de MATLAB para leerlos coeficientes del desarrollo en armonicos esfericos del geoide de la Tierrahasta un grado y orden mas elevados, y reconstruir la funcion resultante.En nuestro caso lo haremos hasta N = 5 y obtenemos la siguiente figura delelipsoide:

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¿Sale la misma figura que en el caso anterior cuando has intro-ducido los coeficientes a mano?

La misma a simple vista.

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Prueba tambien con valores de N = 20 y N = 50. ¿En que cambiala representacion del geoide cuando aumentamos el grado y elorden de los armonicos esfericos involucrados?

N=20:

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N=50:

Se ve claramente que a mayor orden de suma se mejora la resolucion delas distorsiones del geoide.

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