Post on 02-Oct-2014
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TEMA: ANÁLISIS
TRANSITORIO DE CIRCUITOS
CON INDUCTANCIAS Y
CAPACIDADES.
CURSO: 1º DESARROLLO DE PRODUCTOS ELECTRÓNICOS.
MÓDULO: ELECTRÓNICA ANALÓGICA
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 2
ANÁLISIS TRANSITORIO
1. INTRODUCCIÓN.
2. CARGA DE UN CONDENSADOR.
3. DESCARGA DE UN CONDENSADOR.
4. CARGA DE UNA BOBINA.
5. DESCARGA DE UNA BOBINA.
6. BIBLIOGRAFÍA.
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 3
1.- INTRODUCCIÓN.
• El análisis de circuitos eléctricos, tanto de corriente continua como de corriente alterna, se puede hacer desde dos puntos de vista:– Análisis del régimen permanente: estudio de lo que ocurre en el circuito
una vez estabilizado.
– Análisis del régimen transitorio: estudio de lo que ocurre en el circuito hasta que se estabiliza.
• El análisis del régimen permanente, tanto en C.C. como en C.A., ya lo hemos estudiado.
• Para realizar el análisis transitorio de circuitos que contengan resistencias, inductancias (bobinas) y capacidades (condensadores), basta con tomar las ecuaciones que rigen estos componentes y aplicar las leyes de Kirchhoff.
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 4
1.- INTRODUCCIÓN.
• Para las resistencias, la ley de Ohm: vR(t) = R·i(t)
• Para las inductancias:
• Para las capacidades:
• Integramos para obtener la tensión en los condensadores:
dt
tdiLtv
L
)(·)( =
dt
tdvCti
c
c
)(·)( =
∫= dttiC
tvcc
)(1
)(
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 5
1.- INTRODUCCIÓN.
• Del estudio de las ecuaciones se pueden deducir algunas cosas:
– En un análisis en régimen permanente de corriente continua, una bobina ideal se comporta como un conductor de resistencia nula.
– En efecto, si la corriente es continua, por tanto constante, su derivada respecto al tiempo es cero, por lo que no provoca caída de tensión alguna.
– Un condensador en régimen permanente de corriente continua se comporta como un interruptor abierto.
– Esto es así ya que si la tensión no varía en los extremos de un condensador, la derivada de dicha tensión es cero, y por tanto la intensidad que lo recorre también, es decir, corta la intensidad en la rama en que se encuentre.
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 6
1.- INTRODUCCIÓN.
• Como las leyes que rigen el comportamiento de bobinas y condensadores llevan derivadas e integrales, para su resolución se precisa de la resolución de ecuaciones diferenciales.
• El estudio de las ecuaciones diferenciales puede llegar a ser muy complejo, no obstante, ya está resuelto de forma que sabemos la forma matemática que va a tener la solución de estos circuitos, lo que simplifica el proceso.
• Nosotros vamos a realizar el estudio del transitorio aplicado a circuitos de corriente continua, pero sería similar al de corriente alterna, sólo que en el caso de corriente alterna las ecuaciones resultantes serían más aparatosas.
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 7
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• Datos:– Generador de c.c.: V
CC
– Resistencia: R
– Condensador: C
• Incógnitas:– Tensión instantánea en
la resistencia: vR(t)
– Tensión instantánea en el condensador: v
C(t)
– Intensidad instantánea: i(t)
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 8
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• Como es un circuito serie, sólo hay una intensidad i(t) que recorre todo el circuito.
• Planteamos la segunda ley de Kirchhof:
• VCC
= vR(t) + v
C(t)
• Sustituyendo los valores de la tensión en la resistencia y en el condensador:
•
• Se deriva respecto al tiempo para eliminar la integral:
•
∫+= dttiC
tiRVCC
)(1
)(·
)(1)(
· tiCdt
tdiR
dt
dVCC
+=
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 9
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• Como la tensión VCC
es constante, su derivada es cero, por lo
que:
• La ecuación anterior es una ecuación diferencial homogénea
de primer grado.
• Una vez resuelta, sabemos que la tensión vC(t) y la intensidad
iC(t) en el condensador son de la forma:
0)t(iC
1
dt
)t(di·R =+
( ) τ
t
finalinicialfinalC eVVVtv−
−+= ·)(
τ
t
inicialCeIti−
= ·)(
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 10
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• t : tiempo transcurrido.
• τ : constante de tiempo, de valor R·C y se mide en segundos.
• R : resistencia equivalente de las que intervengan en la carga odescarga del condensador.
• C : capacidad de dicho condensador.
• Vinicial
: Tensión inicial del condensador, es un dato porque podría tener cualquier valor.
• Vfinal
: Tensión final del condensador. Se deduce del estudio del circuito, sabiendo que una vez el condenador ha acabado su carga o descarga la corriente es cero.
• Iinicial
: Intensidad inicial. Se deduce del estudio del circuito, unido al valor de la tensión inicial del condensador.
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 11
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• El conjunto de las constantes Vinicial
, Vfinal
, Iinicial
se obtienen de
las llamadas condiciones iniciales o de contorno.
• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión del condensador
vC(t) y de la intensidad i(t) del circuito anterior, suponiendo
que el condensador estaba descargado.
• τ = R·C
• Vinicial
= 0 V (dato: condensador descargado).
• Vfinal
= VCC
(el valor de la fuente de c.c.).
• Iinicial
= VCC
/ R (ya que si el condensador estaba descargado,
toda la tensión VCC
se aplica a la resistencia).
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 12
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• Ecuaciones de carga del condensador:
( ) τ
t
finalinicialfinalC eVVVtv−
−+= ·)(
( )
−=−=−+=−−−
RC
ttt
Ceeetv 1·V·VV·V0V)(
CCCCCCCCCC
ττ
RC
t
CC
Ce
R
Vti
−
= ·)(
τ
t
inicialCeIti−
= ·)(
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 13
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
tensión en % respecto
a la amplitud total de
la tensión de carga:
• Para t = τ (1 s) ha
cargado un 63 %.
• Para t = 5·τ (5 s)
prácticamente ha
cargado el 100 %
(está en su valor
final).
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 14
2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
intensidad en %, se
observa que:
• Para t = τ (1 s) ha
descendido un 63 %
(está al 37 % respecto
al inicio).
• Para t = 5·τ (5 s) ha
descendido casi el
100 % (casi no hay
intensidad).
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 15
3.- DESCARGA DE UN
CONDENSADOR.
• El circuito anterior, una vez cargado el condensador, se queda cargado indefinidamente y no circula intensidad.
• Supongamos que el circuito tiene un conmutador para poder realizar la descarga del condensador.
• La carga la realizaría de la forma que se ha descrito anteriormente.
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 16
3.- DESCARGA DE UN
CONDENSADOR.
• Una vez cargado, si se cambia la posición del conmutador
realizará la descarga.
• No hace falta volver a plantear las ecuaciones diferenciales.
• Sabemos que las ecuaciones de descarga son las mismas que
las de la carga.
• Cambian las condiciones iniciales, Vinicial
, Vfinal
, Iinicial
.
( ) τ
t
finalinicialfinalC eVVVtv−
−+= ·)(
τ
t
inicialCeIti−
= ·)(
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 17
3.- DESCARGA DE UN
CONDENSADOR.
• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión del condensador v
C(t) y de la intensidad i(t) del circuito
anterior, suponiendo que el condensador estaba cargado.
• τ = R·C• V
inicial= V
CC(dato: condensador cargado).
• Vfinal
= 0 (de la posición del conmutador).• I
inicial= – V
CC/ R (ya que el condensador estaba
cargado inicialmente a la tensión VCC
, que se aplica a la resistencia. El signo negativo se debe a que la intensidad cambia de sentido).
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 18
3.- DESCARGA DE UN
CONDENSADOR.
• Ecuaciones de descarga del condensador:
( ) τ
t
finalinicialfinalC eVVVtv−
−+= ·)(
( ) ττ
tt
Ceetv
−−
=−+= ·V·0V0)(CCCC
RC
t
CC
Ce
R
Vti
−
−= ·)(
τ
t
inicialCeIti−
= ·)(
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 19
3.- DESCARGA DE UN
CONDENSADOR.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
tensión en % respecto
a la amplitud total de
la descarga:
• Para t = τ (1 s) ha
descargado un 63 %
(le queda un 37 %).
• Para t = 5·τ (5 s) casi
ha descargado el 100
% (está en su valor
final).
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 20
3.- DESCARGA DE UN
CONDENSADOR.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
intensidad en %, se
observa que:
• Para t = τ (1 s) ha
descargado un 63 %
(le queda un 37 %).
• Para t = 5·τ (5 s)
prácticamente ha
descargado el 100 %
(prácticamente no hay
intensidad).
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 21
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• Datos:– Generador de c.c.: V
CC
– Resistencia: R
– Bobina: L
• Incógnitas:– Tensión instantánea en
la resistencia: vR(t)
– Tensión instantánea en la bobina: v
L(t)
– Intensidad instantánea: i(t)
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 22
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• Como es un circuito serie, sólo hay una intensidad i(t) que recorre todo el circuito.
• Planteamos la segunda ley de Kirchhof:
• VCC
= vR(t) + v
l(t)
• Sustituyendo los valores de la tensión en la resistencia y en la bobina:
• La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer grado, a partir de cuya solución obtenemos la intensidad i
L(t) y
la tensión vL(t) en la bobina.
dt
tdiLtiRV
CC
)()(· +=
( ) τ
t
finalinicialfinalL eIIIti−
−+= ·)( τ
t
inicialLeVtv−
= ·)(( ) τ
t
finalinicialfinalL eIIIti−
−+= ·)( τ
t
inicialLeVtv−
= ·)(
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 23
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• t : tiempo transcurrido.
• τ : constante de tiempo, de valor L/R y se mide en segundos.
• R : resistencia equivalente de las que intervengan en la carga odescarga de la bobina.
• L : coeficiente de autoinducción de la bobina.
• Iinicial
: Intensidad inicial de la bobina, es un dato porque podría tener cualquier valor.
• Ifinal
: Intensidad final de la bobina. Se deduce del estudio del circuito, sabiendo que una vez la bobina ha acabado su carga o descarga su d.d.p. es cero.
• Vinicial
: Tensión inicial de la bobina. Se deduce del estudio del circuito, sabiendo del dato de la intensidad inicial.
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 24
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• El conjunto de las constantes Iinicial
, Ifinal
, Vinicial
se obtienen de las llamadas condiciones iniciales o de contorno.
• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión de la bobina vL(t) y de la intensidad i(t) del circuito anterior, suponiendo
que no circulaba corriente por la bobina.
• τ = L/R
• Iinicial
= 0 A (dato: bobina descargada).
• Ifinal
= VCC
/ R (cuando la bobina no tenga tensión).
• Vinicial
= VCC
(ya que si la intensidad inicial es 0, la resistencia no tiene tensión, lo que significa que la tensión de alimentación está en la bobina).
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 25
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• Ecuaciones de carga de la bobina:
−=
−+=
−−
ττ
t
CC
t
CCCC
Le
R
Ve
R
V
R
Vti 1·0)(
τ
t
CCLeVtv−
= ·)(
( ) τ
t
finalinicialfinalL eIIIti−
−+= ·)(
τ
t
inicialLeVtv−
= ·)(
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 26
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
intensidad en %, se
observa que:
• Para t = τ (1 s) ha
subido un 63 %.
• Para t = 5·τ (5 s)
prácticamente ha
subido el 100 % (es
decir ha llegado a su
valor final).
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 27
4.- CARGA DE UNA BOBINA.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
tensión en %:
• Para t = τ (1 s) ha
bajado un 63 % (le
queda un 37 %)
• Para t = 5·τ (5 s)
prácticamente ha
bajado el 100 %
(prácticamente no hay
tensión).
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5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.
• El circuito anterior, una vez alcanza la intensidad final la bobina, ésta se mantiene constante y la tensión en la bobina es nula.
• Supongamos que el circuito tiene un conmutador para poder realizar la descarga de la bobina.
• La carga la realizaría de la forma que se ha descrito anteriormente.
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5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.
• Una vez cargada, es decir una vez alcanza su intensidad constante, si se cambia la posición del conmutador realizará la descarga.
• No hace falta volver a plantear las ecuaciones diferenciales.
• Sabemos que las ecuaciones de descarga son las mismas que las de la carga.
• Cambian las condiciones iniciales, Iinicial
, Ifinal
, Vinicial
.
( ) τ
t
finalinicialfinalL eIIIti−
−+= ·)(
τ
t
inicialLeVtv−
= ·)(
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5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.
• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión de la bobina v
L(t) y de la intensidad i(t) del
circuito anterior, suponiendo que por la bobina circulaba la intensidad final de la carga.
• τ = L/R• I
inicial= V
CC/ R (dato).
• Ifinal
= 0 (de la posición del conmutador).• V
inicial= – V
CC(la necesaria para oponerse al
cambio de intensidad).
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 31
5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.
• Ecuaciones de descarga de la bobina:
ττ
t
CC
t
CC
Le
R
Ve
R
Vti
−−
=
−+= ··00)(
τ
t
CCLeVtv−
−= ·)(
( ) τ
t
finalinicialfinalL eIIIti−
−+= ·)(
τ
t
inicialLeVtv−
= ·)(
1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 32
5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
intensidad en %:
• Para t = τ (1 s) ha
bajado un 63 % (está
a un 37 % de su valor
inicial).
• Para t = 5·τ (5 s)
prácticamente ha
bajado el 100 % (está
en su valor final).
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1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 33
5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.
• Dato: τ = 1 s.
• Si representamos la
tensión en %:
• Para t = τ (1 s) ha
disminuido un 63 %
(le queda un 37 %)
• Para t = 5·τ (5 s)
prácticamente ha
bajado el 100 %
(prácticamente no hay
tensión).
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6.- BIBLIOGRAFÍA
• Castejón, A. y Santamaría, G.: “Tecnología eléctrica”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1993.
• Guerrero, A., Sánchez, O., Moreno, J.A. y Ortega, A.: “Electrotecnia”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1998.
• Remiro Domínguez, F., Gil Padilla, A. y Cuesta García, L.M.: “Lógica Digital y microprogramable”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1998. Madrid, 1999.