ANÁLISIS TRANSITORIO

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TEMA: ANÁLISIS

TRANSITORIO DE CIRCUITOS

CON INDUCTANCIAS Y

CAPACIDADES.

CURSO: 1º DESARROLLO DE PRODUCTOS ELECTRÓNICOS.

MÓDULO: ELECTRÓNICA ANALÓGICA

1º DPE ELECTRÓNICA ANALÓGICA 2

ANÁLISIS TRANSITORIO

1. INTRODUCCIÓN.

2. CARGA DE UN CONDENSADOR.

3. DESCARGA DE UN CONDENSADOR.

4. CARGA DE UNA BOBINA.

5. DESCARGA DE UNA BOBINA.

6. BIBLIOGRAFÍA.

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1.- INTRODUCCIÓN.

• El análisis de circuitos eléctricos, tanto de corriente continua como de corriente alterna, se puede hacer desde dos puntos de vista:– Análisis del régimen permanente: estudio de lo que ocurre en el circuito

una vez estabilizado.

– Análisis del régimen transitorio: estudio de lo que ocurre en el circuito hasta que se estabiliza.

• El análisis del régimen permanente, tanto en C.C. como en C.A., ya lo hemos estudiado.

• Para realizar el análisis transitorio de circuitos que contengan resistencias, inductancias (bobinas) y capacidades (condensadores), basta con tomar las ecuaciones que rigen estos componentes y aplicar las leyes de Kirchhoff.


1.- INTRODUCCIÓN.

• Para las resistencias, la ley de Ohm: vR(t) = R·i(t)

• Para las inductancias:

• Para las capacidades:

• Integramos para obtener la tensión en los condensadores:

dt

tdiLtv

L

)(·)( =

dt

tdvCti

c

c

)(·)( =

∫= dttiC

tvcc

)(1

)(

3


1.- INTRODUCCIÓN.

• Del estudio de las ecuaciones se pueden deducir algunas cosas:

– En un análisis en régimen permanente de corriente continua, una bobina ideal se comporta como un conductor de resistencia nula.

– En efecto, si la corriente es continua, por tanto constante, su derivada respecto al tiempo es cero, por lo que no provoca caída de tensión alguna.

– Un condensador en régimen permanente de corriente continua se comporta como un interruptor abierto.

– Esto es así ya que si la tensión no varía en los extremos de un condensador, la derivada de dicha tensión es cero, y por tanto la intensidad que lo recorre también, es decir, corta la intensidad en la rama en que se encuentre.


1.- INTRODUCCIÓN.

• Como las leyes que rigen el comportamiento de bobinas y condensadores llevan derivadas e integrales, para su resolución se precisa de la resolución de ecuaciones diferenciales.

• El estudio de las ecuaciones diferenciales puede llegar a ser muy complejo, no obstante, ya está resuelto de forma que sabemos la forma matemática que va a tener la solución de estos circuitos, lo que simplifica el proceso.

• Nosotros vamos a realizar el estudio del transitorio aplicado a circuitos de corriente continua, pero sería similar al de corriente alterna, sólo que en el caso de corriente alterna las ecuaciones resultantes serían más aparatosas.

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2.- CARGA DE UN CONDENSADOR.

• Datos:– Generador de c.c.: V

CC

– Resistencia: R

– Condensador: C

• Incógnitas:– Tensión instantánea en

la resistencia: vR(t)

– Tensión instantánea en el condensador: v

C(t)

– Intensidad instantánea: i(t)



• Como es un circuito serie, sólo hay una intensidad i(t) que recorre todo el circuito.

• Planteamos la segunda ley de Kirchhof:

• VCC

= vR(t) + v

C(t)

• Sustituyendo los valores de la tensión en la resistencia y en el condensador:

•

• Se deriva respecto al tiempo para eliminar la integral:

•

∫+= dttiC

tiRVCC

)(1

)(·

)(1)(

· tiCdt

tdiR

dt

dVCC

+=

5



• Como la tensión VCC

es constante, su derivada es cero, por lo

que:

• La ecuación anterior es una ecuación diferencial homogénea

de primer grado.

• Una vez resuelta, sabemos que la tensión vC(t) y la intensidad

iC(t) en el condensador son de la forma:

0)t(iC

1

dt

)t(di·R =+

( ) τ

t

finalinicialfinalC eVVVtv−

−+= ·)(

τ

t

inicialCeIti−

= ·)(



• t : tiempo transcurrido.

• τ : constante de tiempo, de valor R·C y se mide en segundos.

• R : resistencia equivalente de las que intervengan en la carga odescarga del condensador.

• C : capacidad de dicho condensador.

• Vinicial

: Tensión inicial del condensador, es un dato porque podría tener cualquier valor.

• Vfinal

: Tensión final del condensador. Se deduce del estudio del circuito, sabiendo que una vez el condenador ha acabado su carga o descarga la corriente es cero.

• Iinicial

: Intensidad inicial. Se deduce del estudio del circuito, unido al valor de la tensión inicial del condensador.

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• El conjunto de las constantes Vinicial

, Vfinal

, Iinicial

se obtienen de

las llamadas condiciones iniciales o de contorno.

• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión del condensador

vC(t) y de la intensidad i(t) del circuito anterior, suponiendo

que el condensador estaba descargado.

• τ = R·C

• Vinicial

= 0 V (dato: condensador descargado).

• Vfinal

= VCC

(el valor de la fuente de c.c.).

• Iinicial

= VCC

/ R (ya que si el condensador estaba descargado,

toda la tensión VCC

se aplica a la resistencia).



• Ecuaciones de carga del condensador:

( ) τ

t


−+= ·)(

( )

−=−=−+=−−−

RC

ttt

Ceeetv 1·V·VV·V0V)(

CCCCCCCCCC

ττ

RC

t

CC

Ce

R

Vti

−

= ·)(

τ

t

inicialCeIti−

= ·)(

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• Dato: τ = 1 s.

• Si representamos la

tensión en % respecto

a la amplitud total de

la tensión de carga:

• Para t = τ (1 s) ha

cargado un 63 %.

• Para t = 5·τ (5 s)

prácticamente ha

cargado el 100 %

(está en su valor

final).



• Dato: τ = 1 s.


intensidad en %, se

observa que:


descendido un 63 %

(está al 37 % respecto

al inicio).

• Para t = 5·τ (5 s) ha

descendido casi el

100 % (casi no hay

intensidad).

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3.- DESCARGA DE UN

CONDENSADOR.

• El circuito anterior, una vez cargado el condensador, se queda cargado indefinidamente y no circula intensidad.

• Supongamos que el circuito tiene un conmutador para poder realizar la descarga del condensador.

• La carga la realizaría de la forma que se ha descrito anteriormente.


3.- DESCARGA DE UN

CONDENSADOR.

• Una vez cargado, si se cambia la posición del conmutador

realizará la descarga.

• No hace falta volver a plantear las ecuaciones diferenciales.

• Sabemos que las ecuaciones de descarga son las mismas que

las de la carga.

• Cambian las condiciones iniciales, Vinicial

, Vfinal

, Iinicial

.

( ) τ

t


−+= ·)(

τ

t

inicialCeIti−

= ·)(

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3.- DESCARGA DE UN

CONDENSADOR.

• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión del condensador v

C(t) y de la intensidad i(t) del circuito

anterior, suponiendo que el condensador estaba cargado.

• τ = R·C• V

inicial= V

CC(dato: condensador cargado).

• Vfinal

= 0 (de la posición del conmutador).• I

inicial= – V

CC/ R (ya que el condensador estaba

cargado inicialmente a la tensión VCC

, que se aplica a la resistencia. El signo negativo se debe a que la intensidad cambia de sentido).


3.- DESCARGA DE UN

CONDENSADOR.

• Ecuaciones de descarga del condensador:

( ) τ

t


−+= ·)(

( ) ττ

tt

Ceetv

−−

=−+= ·V·0V0)(CCCC

RC

t

CC

Ce

R

Vti

−

−= ·)(

τ

t

inicialCeIti−

= ·)(

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3.- DESCARGA DE UN

CONDENSADOR.

• Dato: τ = 1 s.


tensión en % respecto

a la amplitud total de

la descarga:


descargado un 63 %

(le queda un 37 %).

• Para t = 5·τ (5 s) casi

ha descargado el 100

% (está en su valor

final).


3.- DESCARGA DE UN

CONDENSADOR.

• Dato: τ = 1 s.


intensidad en %, se

observa que:


descargado un 63 %

(le queda un 37 %).

• Para t = 5·τ (5 s)

prácticamente ha

descargado el 100 %

(prácticamente no hay

intensidad).

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4.- CARGA DE UNA BOBINA.

• Datos:– Generador de c.c.: V

CC

– Resistencia: R

– Bobina: L

• Incógnitas:– Tensión instantánea en

la resistencia: vR(t)

– Tensión instantánea en la bobina: v

L(t)

– Intensidad instantánea: i(t)



• Como es un circuito serie, sólo hay una intensidad i(t) que recorre todo el circuito.

• Planteamos la segunda ley de Kirchhof:

• VCC

= vR(t) + v

l(t)

• Sustituyendo los valores de la tensión en la resistencia y en la bobina:

• La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer grado, a partir de cuya solución obtenemos la intensidad i

L(t) y

la tensión vL(t) en la bobina.

dt

tdiLtiRV

CC

)()(· +=

( ) τ

t

finalinicialfinalL eIIIti−

−+= ·)( τ

t

inicialLeVtv−

= ·)(( ) τ

t


−+= ·)( τ

t

inicialLeVtv−

= ·)(

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• t : tiempo transcurrido.

• τ : constante de tiempo, de valor L/R y se mide en segundos.

• R : resistencia equivalente de las que intervengan en la carga odescarga de la bobina.

• L : coeficiente de autoinducción de la bobina.

• Iinicial

: Intensidad inicial de la bobina, es un dato porque podría tener cualquier valor.

• Ifinal

: Intensidad final de la bobina. Se deduce del estudio del circuito, sabiendo que una vez la bobina ha acabado su carga o descarga su d.d.p. es cero.

• Vinicial

: Tensión inicial de la bobina. Se deduce del estudio del circuito, sabiendo del dato de la intensidad inicial.



• El conjunto de las constantes Iinicial

, Ifinal

, Vinicial

se obtienen de las llamadas condiciones iniciales o de contorno.

• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión de la bobina vL(t) y de la intensidad i(t) del circuito anterior, suponiendo

que no circulaba corriente por la bobina.

• τ = L/R

• Iinicial

= 0 A (dato: bobina descargada).

• Ifinal

= VCC

/ R (cuando la bobina no tenga tensión).

• Vinicial

= VCC

(ya que si la intensidad inicial es 0, la resistencia no tiene tensión, lo que significa que la tensión de alimentación está en la bobina).

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• Ecuaciones de carga de la bobina:

−=

−+=

−−

ττ

t

CC

t

CCCC

Le

R

Ve

R

V

R

Vti 1·0)(

τ

t

CCLeVtv−

= ·)(

( ) τ

t


−+= ·)(

τ

t

inicialLeVtv−

= ·)(



• Dato: τ = 1 s.


intensidad en %, se

observa que:


subido un 63 %.

• Para t = 5·τ (5 s)

prácticamente ha

subido el 100 % (es

decir ha llegado a su

valor final).

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• Dato: τ = 1 s.


tensión en %:


bajado un 63 % (le

queda un 37 %)

• Para t = 5·τ (5 s)

prácticamente ha

bajado el 100 %


tensión).


5.- DESCARGA DE UNA BOBINA.

• El circuito anterior, una vez alcanza la intensidad final la bobina, ésta se mantiene constante y la tensión en la bobina es nula.

• Supongamos que el circuito tiene un conmutador para poder realizar la descarga de la bobina.

• La carga la realizaría de la forma que se ha descrito anteriormente.

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• Una vez cargada, es decir una vez alcanza su intensidad constante, si se cambia la posición del conmutador realizará la descarga.

• No hace falta volver a plantear las ecuaciones diferenciales.

• Sabemos que las ecuaciones de descarga son las mismas que las de la carga.

• Cambian las condiciones iniciales, Iinicial

, Ifinal

, Vinicial

.

( ) τ

t


−+= ·)(

τ

t

inicialLeVtv−

= ·)(



• Ejemplo: obtener las ecuaciones de la tensión de la bobina v

L(t) y de la intensidad i(t) del

circuito anterior, suponiendo que por la bobina circulaba la intensidad final de la carga.

• τ = L/R• I

inicial= V

CC/ R (dato).

• Ifinal

= 0 (de la posición del conmutador).• V

inicial= – V

CC(la necesaria para oponerse al

cambio de intensidad).

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• Ecuaciones de descarga de la bobina:

ττ

t

CC

t

CC

Le

R

Ve

R

Vti

−−

=

−+= ··00)(

τ

t

CCLeVtv−

−= ·)(

( ) τ

t


−+= ·)(

τ

t

inicialLeVtv−

= ·)(



• Dato: τ = 1 s.


intensidad en %:


bajado un 63 % (está

a un 37 % de su valor

inicial).

• Para t = 5·τ (5 s)

prácticamente ha

bajado el 100 % (está

en su valor final).

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• Dato: τ = 1 s.


tensión en %:


disminuido un 63 %

(le queda un 37 %)

• Para t = 5·τ (5 s)

prácticamente ha

bajado el 100 %


tensión).


6.- BIBLIOGRAFÍA

• Castejón, A. y Santamaría, G.: “Tecnología eléctrica”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1993.

• Guerrero, A., Sánchez, O., Moreno, J.A. y Ortega, A.: “Electrotecnia”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1998.

• Remiro Domínguez, F., Gil Padilla, A. y Cuesta García, L.M.: “Lógica Digital y microprogramable”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1998. Madrid, 1999.

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