jportilla© 2012jportilla© 2012

Teoría de CircuitosGrado en Ingeniería en Organización

industrialGrado en Ingeniería en Tecnología naval

Curso 2012-2013

Tema 6 – Régimen transitorioJ PORTILL

A

jportilla© 2012

Objetivos: Después de completar este tema debes ser capaz de :

• Saber que es el orden de un circuito lineal y de que factores depende.

• Comprender la importancia de la constante de tiempo en los circuitos lineales de primer orden y aprender a calcularla.

• Diferenciar en un circuito de primer orden las respuestas a entrada 0 y estado 0.

• Conocer la respuesta completa de un circuito de primer orden.

• Indicar casos reales de circuitos de primer orden, carga y descarga de un condensador y energización y desenergización de la bobina.

• Diferenciar entre respuesta natural y forzada de un circuito.

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Régimen Transitorio

• Cuando se produce un cambio en las magnitudes de un circuito, tensión o intensidad, decimos que el circuito está en régimen transitorio.

• Al cambiar las condiciones de un elemento de un circuito se pierde el régimen permanente, y tras sucederse los cambios de tensión / intensidad se vuelve de nuevo al equilibrio en otro régimen permanente.

• Al intervalo entre los dos regimenes permanentes se le denomina régimen transitorio.

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Régimen transitorio y régimen permanente (RT y RP)

Tiempo (µs)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10

Intensidad condensador

Tensión condensador

J PORTILL

A

jportilla© 2012

RT y RP Condensador

R. Transitorio R. Permanente

vc

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Consideraciones sobre la constante de tiempo

• La constante de tiempo de un circuito τ es el tiempo requerido para que la respuesta crezca al 63.2% del valor final.

• Despues de 5τ se considera que el circuito esta en régimen permanente.

63.2%

86.5%95.0%

98.2% 99.3%

1τ 2τ 3τ 4τ 5τ

Valor final

crecimiento de la

respuesta

Valor inicial J PORTILL

A

jportilla© 2012

Consideraciones sobre la constante de tiempo II

• La constante de tiempo de un circuito τ es el tiempo requerido para que la respuesta decrezca al 36,8% del valor inicial.

• Despues de 5τ se considera que el circuito esta en régimen permanente.

36.8%

13.5%

0.07%1.8%5.0%

1τ 2τ 3τ 4τ 5τ

Valor inicial

Valor final

Decaimiento de la

respuesta

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Consideraciones sobre la constante de tiempo III

• Cuanto menor sea la constante de tiempo mas rápida será la respuesta del circuito

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Determinación de la constante de tiempo

• Para un circuito RC τ = Requiv.C• Para un circuito RL τ = L / Requiv

• Requiv es la resistencia equivalente “vista” por el condensador o la bobina, calculada anulando fuentes y colocando los interruptores en su posición final

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Circuitos de primer orden

• Los cambios en las magnitudes que se dan durante el régimen transitorio se pueden representar mediante una ecuación diferencial.

• Cuando en el circuito solo existen elementos almacenadores de una sola naturaleza, la ecuación será de primer orden, y decimos que el circuito es de primer orden.

• τ = constante de tiempo

( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ

+ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Circuito RC

• Ecuación diferencial de primer orden por tener dos variables.

( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ

+ =.R Cτ =

( ) ( )( ) ( ) ( )R Cv t dv ti t i t i t CR dt

= + = + ⇒

1 ( ) 1( ) ( ).

dv ti t v tC dt R C

⇒ = +

' ( ) 1( ) ( ).

dv tg t v tdt R C

= +J PORTILL

A

jportilla© 2012

Circuito RL ( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ

+ =LR

τ =

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )R Lv ti t i t i t v t dtR L

= + = + ⇒∫

( ) ( ) ( )di t dv t RR v tdt dt L

⇒ = +

( ) 1 ( ) 1 ( )di t dv t v tdt R dt L

⇒ = + ⇒

' ( )( ) ( )dv t Rg t v tdt L

= +

• Ecuación diferencial de primer orden por tener dos variables.

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Solución de las ecuaciones• La respuesta obtenida al resolver la ecuación diferencial

tiene 2 componentes:• Solución de la homogénea (fh(t))• Solución particular (fp(t))

( ) ( ) ( )h pf t f t f t⇒ = +

01 ( )( ) 1 . ( ) 0 ( ) .

t t

hdf t f t f t k e

dtτ

τ− −

+ = → =

( ) ( )pf t f t∞=

( ) 1 . ( ) ( )df t f t g tdt τ

+ =

Respuesta en régimen transitorio

Respuesta en el nuevo régimen permanente

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Para obtener el valor de la constante k, emplearemos las condiciones iniciales:

• Habitualmente se expresa:

01 ( )

( ) ( ) ( ) . ( )t t

hf t f t f t k e f tτ− −

∞= + = +

1.0

0 0. ( ) ( )k e f t k f tτ−

∞ ∞= + = +

0 0es decir k ( ) ( )f t f t∞= − ⇒

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) . ( )t t

f t f t f t e f tτ− −

∞ ∞⇒ = − +

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

0 0 0 0( ) ( ) ( )h pt t f t f t f t= → = + =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• Para obtener la respuesta transitoria del circuitos de primer orden:1. Se calcula el valor inicial: f(t0).2. Se obtiene la respuesta en régimen permanente final: f∞(t).3. Se determina la respuesta en régimen permanente en el instante inicial: f∞(t0)

4. Se define la constante de tiempo: τ.

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Para determinar los valores iniciales de la tensión y la intensidad se tendrá en cuenta las características propias de la bobina y el condensador• El condensador no permite cambios bruscos de

tensión:

• La bobina no permite cambios bruscos de intensidad:0 0( ) ( )C Cv t v t+ −=

0 0( ) ( )L Li t i t+ −=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero I

• REGIMEN ESTACIONARIO: El condensador está cargado, en sus bornes tiene una tensión de valor v0=E V

0t∀ <

• REGIMEN TRANSITORIO: El condensador comienza a descargarse sobre la resistencia.

• Se establece una circulación de intensidad y una tensión en R igual a la tensión en C.

0t∀ ≥J P

ORTILLA

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero II

• En el circuito del régimen transitorio se puede sustituir el condensador cargado por una fuente de tensión con el valor de la tensión del condensador en el instante t=0, en serie con un condensador descargado para obtener la ecuación que define el régimen transitorio

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero III

• Intensidad en el condensador:• La ecuación que define el circuito en régimen

transitorio se obtiene del circuito para

( ) 10 ( )di tR i tdt C

= −

1 ( )0 ( ) di ti tRC dt

= +

0t∀ ≥

Que también podemos expresar:

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero IV

• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la intensidad

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

( )1 .( 0)

( ) ( ) (0) (0) .t

RCi t i t i i e− −

∞ ∞= − −

1

( ) 0 0 .t

RCEi t eR

− = − −

1

( )t

RCEi t eR

−=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero V

1

( )t

RCEi t eR

−=

• Esta ecuación es exponencial decreciente

i(t)

E/R

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero VI• La tensión en el condensador:

La ecuación que define el circuito en régimen transitorio donde aparece como variable la tensión es la siguiente, obtenida a partir del circuito en régimen transitorio:

( )( ) v ti tR

=

( )( ) dv ti t Cdt

= −

( ) ( )v t dv tCR dt

= −J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero VII

• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la tensión

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

( )1 .( 0)

( ) ( ) (0) (0) .t

RCv t v t v v e− −

∞ ∞= − −

1

( ) .t

RCv t E e−

=( )1

( ) 0 0 .t

RCv t E e−

= − −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de un condensador cargado sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero VIII

• Esta ecuación es exponencial decreciente

1

( ) .t

RCv t E e−

=v(t)

E

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• Según el 2º lema de kirchoff

– obtenemos

0iR v+ =• Suponemos que para t = 0, VC = V

• Consideremos este circuito para analizar la descarga del condensador

Descarga del condensador

0iR v+ =

d 0dvCR vt

+ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• Resolviendo obtenemos

donde I = V/R

La variación de la carga en el condensador esta dada por:

q(t) = Q e-t/τ

Siendo la constante de tiempo: τ = RC.

e et t- -

CRi I I Τ= − = −

.e .et t- -

CRv V V Τ= =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero I

• REGIMEN ESTACIONARIO: La bobina está cargada, la intensidad que circula por ella en el instante t=0 vale: I0=E/R. La tensión es nula en bornes de la bobina.

0t∀ <

• REGIMEN TRANSITORIO: La bobina comienza a descargarse sobre la resistencia.

• Aparece tensión en bornes de la bobina.

0t∀ ≥J P

ORTILLA

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero II

• En el circuito del régimen transitorio se puede sustituir la bobina cargada por una fuente de intensidad con el valor de la intensidad de la bobina en el instante t=0, en paralelo con una bobina descargada a fin de obtener la ecuación que define el régimen transitorio.

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero III

• Tensión en extremos de la bobina:• La ecuación que define el circuito en régimen transitorio

se obtiene del circuito para 0t∀ ≥

Que también podemos expresar:

00

( ) 1( ) ( ).tv ti t i v t dt

R L= − = + ∫

1 ( ) 10 ( )dv t v tR dt L

− = +

( )0 ( )R dv tv tL dt

= +

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero IV

• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la intensidad

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

( ).( 0)

( ) ( ) (0) (0) .R tLv t v t v v e

− −

∞ ∞= − −

( )0( ) 0 0 . .RtLv t R I e

−= − −

0( ) . .RtLv t R I e

−=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero V

• Esta ecuación es exponencial decreciente

v(t)

R.I00( ) . .

RtLv t R I e

−=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero VI

• La intensidad por la bobina:La ecuación que define el circuito el régimen transitorio se obtiene del circuito para: 0t∀ ≥

( )( ) di tv t Ldt

=

( ) ( )v t Ri t= −( )( ) di tRi t L

dt− =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero VII

• De la ecuación genérica anterior deducimos la ecuación para la intensidad

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

( ).( 0)

( ) ( ) (0) (0) .R tLi t i t i i e

− −

∞ ∞= − −

( )0( ) 0 0 .RtLi t I e

−= − − 0( ) .

RtLi t I e

−=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Descarga de una bobina cargada sobre una resistencia.

Respuesta de un circuito a entrada cero VIII

• Esta ecuación es exponencial decreciente

i(t)

I0

0( ) .RtLi t I e

−=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• Según el 2º lema de kirchoff

– obtenemos

0iR v+ =• Suponemos que para t = 0, v = 0

• Consideremos este circuito para analizar la desenergización de la bobina

Desenergización de la bobina

0iR v+ =

d 0d

R v vL t

+ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Resolviendo obtenemos:

e eRt t- -Lv V V Τ= − = −

Donde I = V/R.e .eRt t- -Li I I Τ= =

.e .eRt t- -Lv V V Τ= − = −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

.e .eRt t- -Li I I Τ= =.e .e

Rt t- -Lv V V Τ= − = −J P

ORTILLA

jportilla© 2012

Todas las funciones que se han obtenido en las descargas del condensador y de la bobina tanto para tensiones como para intensidades son funciones exponenciales decrecientes.

• Para valores mayores de 5τ se supone alcanzado régimen permanente pues el valor que toma la función es insignificante

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero, excitado por fuente I

• El estado inicial cero significa que el condensador no tiene energía almacenada en el instante inicial.

(0) 0v =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )h pv t dv ti t C v t v t v tR dt

= + → = +

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero, excitado por fuente II

• Respuesta:• Homogénea

• Solución particular: vp(t) la solución permanente dependerá de la naturaleza de la fuente de alimentación.

( ) ( ) 1 ( )0 ( )v t dv t dv tC v tR dt RC dt

= + = +

1

1( ) .t

RChv t k e=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero, excitado por fuente I

• El estado inicial cero significa que la bobina no tiene energía almacenada en el instante inicial

(0) 0i =

( )( ) . ( ) ( ) ( ) ( )h pdi tv t R i t L i t i t i tdt

= + → = +

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero, excitado por fuente II

• Respuesta:• Homogénea

• Solución particular: ip(t) la solución permanente dependerá de la naturaleza de la fuente de alimentación.

( ) ( )0 . ( ) ( )di t L di tR i t L i tdt R dt

= + = +

1( ) .RtL

hi t k e=

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta para fuentes de corriente continua y

condiciones iniciales nulasJ P

ORTILLA

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero I

• En régimen permanente y C.C. el condensador es un interruptor abierto, así:

1

1( ) .t

RChv t k e

−=

( ) en función del régimen permanentepv t ≡

v ( ) .p t R I=

1

1( ) . .t

RCv t k e R I−

= +

( ) ( ) ( )h pv t v t v t= +

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero II

• Sabemos que v(0)=0, lo utilizamos para determinar k1

el condensador no permite cambios bruscos de tensión

1 0

1(0) 0 . .RCv k e R I−

= = +

1 .k R I=

1

( ) . 1t

RCv t RI e−

= −

v(t)

RI

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero III

• A partir de la expresión de la tensión se pueden obtener las intensidades

1( )( ) . 1t

RCR

v ti t I eR

= = −

1( )( ) .t

RCC

dv ti t C I edt

= =

( ) ( )R Ci t i t I+ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

sustituyendo

ddvi Ct

=Entonces en el condensador:

En el circuito de la figura aplicamos el 2º lema de Kirchoff

Carga del condensador

εViR v V+ =

d.dvC R v Vt

+ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

d.dvC R v Vt

+ =

• Como i = C.dv /dt obtenemos (suponiendo VC = 0 en t = 0)

Si VC = 0 en t = 0, su solución es del tipo:

• Es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes

donde I = V/ R..e .et t- -

C Ri I I Τ= =

.(1 e ) .(1 e )t t- -

CRv V V Τ= − = −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• Por tanto la representación de la tensión e intensidad es exponencial

.(1 e ) .(1 e )t t- -

CRv V V Τ= − = − ..e .et- -

C Ri I I= =J PORTILL

A

jportilla© 2012

Variación de la carga eléctrica en el proceso

Suponemos que en t = 0, el condensador esta descargado, y cerramos el interruptor. La variación de la carga en el condensador a lo largo del tiempo t es: q = qmax(1 – e -t/τ)

La constante de tiempo es τ = RC, y qmax es el máximo valor de la carga que puede adquirir el condensador qmax=C e

La intensidad esta dada por la expresión:

I = (V/R)e-t/τ

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• En este caso la tensión e intensidad tienen la forma de exponenciales decrecientes

.e .et t- -

CRv e e Τ= =

I=e/Re

e

e et t- -

CRi I I Τ= − = −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero I

• En régimen permanente y C.C. la bobina es un interruptor cerrado, así:

1( ) .RtL

hi t k e=

( ) ( ) ( )h pi t i t i t= +

( ) en función del régimen permanentepi t ≡

( )pVi tR

=

1( ) .RtL Vv t k e

R= +

vR(t)

vL(t)

v(t)

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero II

• Sabemos que v(0)=0, lo utilizamos para determinar k1

el condensador no permite cambios bruscos de tensión

1

( ) . 1t

RCv t RI e−

= −

i(t)

V/R

0

1(0) 0 .RL Vi k e

R= = +

1VkR

= −

( ) . 1RtLVi t e

R−

= −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero III

• A partir de la expresión de la intensidad se pueden obtener las tensiones

( ) ( )R Lv t v t V+ =

( ) . ( ) . 1RtL

Rv t R i t V e

= = −

( )( ) .RtL

Ldi tv t L V edt

−= =

v(t)

V

vR(t)

vL(t)

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Energización de la bobina

sustituyendo

iR v V+ =

Entonces en la bobina:

En el circuito de la figura aplicamos el 2º lema de Kirchoff

1 ddvi

L t=

dd

R v v VL t

+ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

(1 e ) (1 e )Rt t- -Li I I Τ= − = −

dd

R v v VL t

+ =

• Como i = R/L .dv / dt obtenemos (suponiendo IL = 0 en t =0)

Si IL = 0 en t = 0, su solución es del tipo:

• Es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes

donde I = V / R

.e .eRt t- -Lv V V Τ= =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• Teniendo la tensión e intensidad forma exponencial

.e .eRt t- -Lv V V Τ= = (1 e ) (1 e )

Rt t- -Li I I Τ= − = −J P

ORTILLA

jportilla© 2012

Todas las funciones que se han obtenido en la carga del condensador y de la bobina tanto para tensiones como para intensidades son funciones exponenciales crecientes.

• Para valores mayores de 5τ se supone alcanzado régimen permanente pues el valor que toma la función es insignificante

J PORTILL

A

jportilla© 2012

• A partir de la ecuación de la solución se puede simplemente lograr las respuestas a los circuitos tratados.

• Trabajando para ello con la tensión en el caso de circuito RC ya que el valor de la tensión no experimenta cambios bruscos en el condensador y trabajando con la intensidad en circuitos RL donde la bobina no experimenta cambios bruscos de intensidad.

• De esta forma serán conocidos vc(0) e iL(0) respectivamente.

( ) 01.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

f t f t f t f t e τ− −

∞ ∞= − −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

0con 0( )(0)

(0) 0

C

C

C

tv t RIv RIv

∞

∞

===

=

1

( ) .t

RCCv t RI RI e

−= −

( ) 01 .( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

RCC C C Cv t v t v t v t e

− −

∞ ∞= − −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta para fuentes de corriente alterna y

condiciones iniciales nulasJ P

ORTILLA

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero I

• Es preferible trabajar con la tensión por no permitir el condensador saltos bruscos de tensión, así sabemos que: 0 0( ) ( )C Cv t v t+ −=

( ) 01 .( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .t t

RCC C C Cv t v t v t v t e

− −

∞ ∞= − −

0con 0t = 0( 0) 0Cv t = = RCτ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero II

• En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto:

0º º1 ºE EI I A

ZR jC

ϕϕ

ω

∠= = = ∠

∠ −−

90º º 90º

1 1. ºCV IC C ϕ

ϕω ω∠− ∠ −

= ∠ =

( )1( ) 2 cos 90ºCv t tC

ω ϕω∞ = + −

( )1(0) 2 cos 90ºCvC

ϕω∞ = −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta del condensador a estado inicial cero III

• Respuesta: función coseno (homogéna) + función exponencial decreciente (particular).

( )

( )11

1 2 co(

2 cos 90

s º)

º .

90

tR

C

CeC

v tC

t

ϕω

ω ϕω

−

+ −= −

−J P

ORTILLA

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero I

• Es preferible trabajar con la intensidad por no permitir la bobina saltos bruscos de intensidad, así sabemos que: 0 0( ) ( )L Li t i t+ −=

0con 0t =

( ) 0.( )

0 0( ) ( ) ( ) ( ) .R t tL

L L L Li t i t i t i t e−

∞ ∞= − −

0( 0) 0Li t = =

LR

τ =

LR

τ =

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero II

• En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto:

( )( ) 2 cosLi t I tω ϕ∞ = −

0º ºº

V VI I AR j L Z

ϕω ϕ

∠= = = ∠ −

+ ∠

( )(0) 2 cosLi I ϕ∞ = −

J PORTILL

A

jportilla© 2012

Respuesta de la bobina a estado inicial cero III

• Respuesta: función coseno (homogéna) + función exponencial decreciente (particular).

( )

( )( )2 co( s)

2 cos .R

L

tL

I t

I

i

e

t ω ϕ

ϕ−

− −

−

=

−J P

ORTILLA