Post on 14-Jan-2016
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Análisis de nodos y mallas
Circuitos eléctricos 1
Análisis de nodosEn el análisis nodal se aplica la ley de Kirchhoff de corrientes para determinar los voltajes presentes en los nodos.
•Es conveniente dibujar la red utilizando valores de conductancias y colapsando los nodos a un solo punto.
•Defina un nodo de referencia
•Etiquete los nodos restantes de 1 en adelante.
•Defina los voltajes de cada nodo (excepto el de referencia)
•Escriba LKC para cada nodo
•Resuelva el sistema de ecuaciones resultante
Circuitos con fuentes independientes de corriente
Consideremos el circuito de la figura a.
La figura 1b es el mismo circuito en donde se hace resaltar la existencia de tres nodos.
Dado que los voltajes se definen en pares de nodos, debemos elegir un nodo como referencia para medir dichos voltajes.
En la figura c se muestra el mismo circuito con la referencia tomada como el nodo inferior.
La figura d muestra la misma red en la que se han eliminado los signos de referencia del voltaje por resultar redundantes.
Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes a cada nodo obtenemos para el nodo 1.
0.5v1 + 0.2(v1 - v2) = 3
o0.7v1 - 0.2v2 = 3
y para el nodo 2.
v2 + 0.2(v2 - v1) = 2
o
- 0.2 v1 + 1.2v2 = 2
La solución de este sistema de ecuaciones es:
v1 = 5 Vv2 = 2.5 V
La tensión del nodo 1 respecto al dos será: (v1 – v2) = 2.5 V. con estos valores se puede determinar la potencia disipada por cualquiera de los elementos del circuito.Para circuitos que solo contienen fuentes independientes de corriente se obtiene una matriz de sistema simétrica, llamada matriz de conductancia.
Ejemplo
Determinar las tensiones de nodo
Matriz de conductancias
La matriz de conductancias es la matriz de coeficientes de del sistema de ecuaciones de nodos.
Para redes con solo resistencias y fuentes de corriente independientes la matriz de conductancias es una matriz simétrica.
Los elementos de la diagonal, gii, son iguales a la suma de las conductancias del nodo i y los elementos gij , con i <> j, son iguales al negativo de la suma de las conductancias que unen al nodo i y al nodo j.
El vector de términos independientes esta formado por la suma de las corrientes que llegan a cada nodo a partir de las fuentes de corriente.
ejercicioEscriba la matriz de conductancias para el siguiente circuito. Escriba el vector de términos independientes y resuelva el sistema para encontrar los voltajes de nodos.
Tarea # 11Escriba las ecuaciones de nodo utilizando la definición de la matriz de conductancias y resuelva el sistema resultante para calcular los voltajes de nodo de la siguiente red.
El supernodoSupernodoLa fuente de voltaje puede
considerarse como un “supernodo”.
La LKC se sigue cumpliendo si se aplica a las corrientes que entran y salen de este supernodo.
La fuente de voltaje suministra una ecuación para poder resolver el sistema.
4
Fuentes controladas
Supernodo
Supernodo
ref.
v1
v2
v3
v4
Ecuaciones
–2 v1 + 2.5 v2 – 0.5 v3 = 14
0.1v1 – v2 + 0.5 v3 + 1.4 v4 = 0
v1 = –12
0.2 v1 + v3 – 1.2 v4 = –2
Solución:
v1 = –12, v2 = –4, v3 = 0, v4 = –2,
TareaHaga análisis nodal para determinar el valor de vA.
Análisis de mallasEl análisis de mallas se aplica a redes planas.
Una red plana es aquella que se puede dibujar sin que se cruce ningún conductor.
Definimos un lazo con cualquier camino cerrado que recorre solo una vez cada elemento del mismo.
Se define una malla como un lazo que no contiene otros lazos.
Lazos y mallas
EjemploConsidere el circuito de la figura.
Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla obtenemos:
-42 + 6i1 + 3(i1 – i2) = 0 o
9 i1 – 3i2 = 42 y para la malla derecha
- 3(i1 – i2) + 4i2 – 10 = 0 o
-3 i1 + 7 i2 = 10 La solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A e (i1- i2)= 2 A. Las tensiones y potencias en cada elemento se pueden calcular fácilmente con estos valores.
Corriente de malla Definimos corriente de malla como la corriente que circula alrededor del perímetro de una malla.
En la figura se muestran las corrientes de malla de la red anterior.
La ecuación de malla para la malla 1 es:
6i1 + 3(i1 – i2) = 42
La ecuación de malla para la malla 2 es:
3(i2 – i1) + 4i2 = 10
9i1 – 3i2 = 42
– 3i1 + 7i2 = 10
La solución es la misma que la anterior.
Ejemplo
Encontrar i1 e i2
EjemploEncontrar i1, i2 e i3
Tarea
Encontrar i1 e i2
SupermallasLa fuente de corriente se puede manejar mediante una supermalla.
Las ecuaciones para la red de la derecha son:
Para la supermalla:
– 7 + 1(i1 – i2) + 3(i3 – i2) + i3 = 0
i1 – 4i2 + 3i3 = 7
para la malla 2:
1(i2 – i1) + 3(i2 – i3) + 2i2 = 0
– i1 + 6i2 – 3 i3 = 0
Ecuación de la fuente de corriente:
i1 – i3 = 7
Solución: i1 = 9 A, i2 = 2.5 A, i3 = 2 A.
i1
i1
i2
i3
Tarea
Encontrar i1
Solución con Workbench
Ejemplo
Solución con Workbench
Comparación entre nodos y mallas
v1 v2 v3
ix
ix
i1 i2 i3
i4
08510
081032
0248
100
323
32212
2111
vvv
vvvvv
vvvv
Solución:
v1 = 25.89
v2 = 20.31
ix = 2.79
058103
0324
048100
3323
32212
211
iiii
iiiii
iii
Solución:
i2 = ix = 2.79