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Mapa de ContenidosTema Pg. Introduccin........................................................................................................2 Objetivos.............................................................................................................3 Introduccin Terica...........................................................................................4 La ley de Ohm..................................................................................................4 Leyes de Kirchhoff...........................................................................................5 Anlisis de nodos.............................................................................................7 Anlisis de mallas..........................................................................................14 Ejemplos de Aplicacin.....................................................................................17 Conclusiones.....................................................................................................24 Bibliografa........................................................................................................25

Bibliografa

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IntroduccinLa Ley de Ohm, postulada por el fsico y matemtico alemn Georg Simn Ohm, es una de las leyes fundamentales de la electrodinmica, estrechamente vinculada a los valores de las unidades bsicas presentes en cualquier circuito elctrico. Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservacin de la energa y la carga en los circuitos elctricos. La ley se basa en el principio de la conservacin de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. En anlisis de circuitos elctricos, el anlisis de nodos, o mtodo de tensiones nodales es un mtodo para determinar la tensin (diferencia de potencial) de uno o ms nodos. El anlisis de mallas (algunas veces llamada como mtodo de corrientes de malla), es una tcnica usada para determinar la tensin o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta tcnica est basada en la ley de tensiones de Kirchhoff.

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Objetivos Conocer el postulado de la Ley de Ohm y sus efectos prcticos en la resolucin de incgnitas para encontrar el voltaje, intensidad de corriente, y valor de la resistencia en un circuito elctrico Comprender el principio de conservacin de la energa y de la carga en un circuito elctrico por medio de las Leyes de Kirchhoff Conocer el mtodo de corrientes de malla para determinar la tensin o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano.

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Introduccin TericaLa ley de OhmLa Ley de Ohm, postulada por el fsico y matemtico alemn Georg Simn Ohm, es una de las leyes fundamentales de la electrodinmica, estrechamente vinculada a los valores de las unidades bsicas presentes en cualquier circuito elctrico como son:1. Tensin o voltaje "E", en volt (V). 2. Intensidad de la corriente " I ", en ampere (A). 3. Resistencia "R" en ohm (

) de la carga o consumidor conectado al circuito.

Circuito elctrico cerrado compuesto por una pila de 1,5 volt, una resistencia o carga elctrica "R" y la. circulacin de una intensidad o flujo de corriente elctrica " I " suministrado por la propia pila.

Debido a la existencia de materiales que dificultan ms que otros el paso de la corriente elctrica a travs de los mismos, cuando el valor de su resistencia vara, el valor de la intensidad de corriente en ampere tambin vara de forma inversamente proporcional. Es decir, a medida que la resistencia aumenta la corriente disminuye y, viceversa, cuando la resistencia al paso de la corriente disminuye la corriente aumenta, siempre que para ambos casos el valor de la tensin o voltaje se mantenga constante. Por otro lado y de acuerdo con la propia Ley, el valor de la tensin o voltaje es directamente proporcional a la intensidad de la corriente; por tanto, si el voltaje aumenta o disminuye, el amperaje de la corriente que circula por el circuito aumentar o disminuir en la misma proporcin, siempre y cuando el valor de la resistencia5

conectada al circuito se mantenga constante. Postulado general de la Ley de Ohm

El flujo de corriente en ampere que circula por un circuito elctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensin o voltaje aplicado, e inversamente proporcional a la resistencia en ohm de la carga que tiene conectada. FRMULA MATEMTICA GENERAL DE REPRESENTACIN DE LA LEY DE OHM Desde el punto de vista matemtico el postulado anterior se puede representar por medio de la siguiente Frmula General de la Ley de Ohm:

VARIANTE PRCTICA: Aquellas personas menos relacionadas con el despeje de frmulas matemticas pueden realizar tambin los clculos de tensin, corriente y resistencia correspondientes a la Ley de Ohm, de una forma ms fcil utilizando el siguiente recurso prctico:

Con esta variante slo ser necesario tapar con un dedo la letra que representa el valor de la incgnita que queremos conocer y de inmediato quedar indicada con las otras dos letras cul es la operacin matemtica que ser necesario realizar.

Leyes de KirchhoffLas leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservacin de la energa y la carga en los circuitos elctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniera elctrica.6

Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedi a Maxwell y gracias a George Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniera elctrica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito elctrico.

Ley de corrientes de Kirchhoff

La corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3 Esta ley tambin es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es comn que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero

Esta frmula es vlida tambin para circuitos complejos:

La ley se basa en el principio de la conservacin de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos.

Ley de tensiones de Kirchhoff

Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no hace parte de la malla que estamos analizando.7

Esta ley es llamada tambin Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es comn que se use la sigla LVK para referirse a esta ley. En toda malla la suma de todas las cadas de tensin es igual a la tensin total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial elctrico es igual a cero.

Anlisis de nodos

La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del anlisis de nodos. En anlisis de circuitos elctricos, el anlisis de nodos, o mtodo de tensiones nodales es un mtodo para determinar la tensin (diferencia de potencial) de uno o ms nodos. Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podran usar anlisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o anlisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el anlisis de nodos se escribe una ecuacin para cada nodo, con condicin que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en trminos de las tensiones de cada nodo del circuito. As, en cada relacin se debe dar la corriente en funcin de la tensin que es nuestra incgnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, Irama = Vrama * G, donde G es la Conductancia del resistor. El anlisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este mtodo produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeo, o tambin puede resolverse rpidamente usando lgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este mtodo es una base para muchos programas de simulacin de circuitos (Por ejemplo,8

SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensin ms general del anlisis de nodos, El anlisis de nodos modificado. Los ejemplos simples de anlisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales(que son ms complejas) tambin se pueden resolver por el anlisis de nodos al usar el mtodo de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.

Procedimiento

Se elige el nodo con ms conexiones como nodo de referencia (cuya tensin es 0) y se asignan 3 variables Va, Vb y Vc Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos sern los nodos que se usarn para el mtodo. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los clculos; pero elegir el nodo con ms conexiones podra simplificar el anlisis. Identifique los nodos que estn conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensin del nodo. Si la fuente es independiente, la tensin del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensin del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Vase Figura 2) Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las

Leyes de Kirchhoff. Bsicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e igulelas a 0. Si el nmero de nodos es n, el nmero de ecuaciones ser por lo menos n 1 porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuacin.9

Si hay fuentes de tensin entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuacin muy sencilla. Resuelva

el desconocida.

sistema

de

ecuaciones

simultneas

para

cada

tensin

Ejemplos

Ejemplo 1: Caso bsico

Circuito sencillo con una tensin desconocida V1. La nica tensin desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razn, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, as:

Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:

Se resuelve con respecto a V1:

Finalmente, la tensin desconocida se resuelve sustituyendo valores numricos para cada variable. Despus de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensin, es fcil calcular cualquier corriente desconocida.

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Ejemplo 2

Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos' Solucin: 1. Se localizan todos los nodos del circuito.2. Se busca el nodo con ms conexiones y se le llama nodo de referencia Vd

(Figura 5).

3. No hay fuentes de tensin.4. Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc 5. Se plantean las ecuaciones segn las leyes de Kirchhoff, as:

Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2 tiene la polaridad de la Figura 5. As

Simplificando:

Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrn la polaridad de la Figura 6:

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Factorizando obtenemos

Para la polaridad del nodo Vc asumimos as:

Factorizando obtenemos:

Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.

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Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: Va = 42.5V, Vb = 22.5V y Vc = 12.5V

Supernodos

En este circuito, VA est en medio de dos tensiones desconocidas, y adems es un supernodo. En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1 y V2. La tensin en la terminal positiva de VB ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada directamente. Adems no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V1 y 2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinacin de estos nodos es cero. Esta combinacin de los dos nodos es llamada el mtodo de supernodo, y requiere una ecuacin adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V1 = V2 + VA. El sistema de ecuaciones para este circuito es:

Al sustituir V1 en la primera ecuacin y resolviendo con respecto a V2, tenemos:

Ejemplo de resolucin por supernodos

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Ejemplo de supernodo Para calcular la tensin entre las terminales de la fuente de tensin, sumamos las tensiones de las resistencias que estn unidas a estos nodos, y adems consideramos los dos nodos de la fuente de tensin como uno solo, as: Tensin en la resistencia de 4:

factorizando

Observamos el supernodo en los nodos Vb y Vc, tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a Vb y Vc:

factorizando

Finalmente, planteamos una ecuacin para la fuente de voltaje la cual es la cada de voltaje en los nodos as: Vb Vc = 10

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Observacin: Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta ltima ecuacin, y as obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.

Sistema de ecuaciones: Resolviendo Va= 62,5 V, Vb= 22,5 V y Vc= 12,5 V

Anlisis de mallasCircuito plano con mallas esenciales 1, 2, y 3. R1, R2, R3, 1/sc, y Ls representan la impedancia de las resistencias, el condensador y el inductor. Vs e Is representan la tensin y la corriente de la fuente de tensin y de la fuente de corriente, respectivamente. El anlisis de mallas (algunas veces llamada como mtodo de corrientes de malla), es una tcnica usada para determinar la tensin o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta tcnica est basada en la ley de tensiones de Kirchhoff. La ventaja de usar esta tcnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensin o una corriente de un circuito.1 Para usar esta tcnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se prefiere asignarle a todas la corrientes de malla el mismo sentido. De cada malla del circuito, se plantea una ecuacin que estar en funcin de la corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveramos un sistema lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla.

Corrientes de malla y mallas esenciales

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Circuito con corrientes de malla marcadas como i1, i2, y i3. Las flechas muestran la direccin de la corriente de malla. La tcnica de anlisis de mallas funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura uno las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas. Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podra no tener un significado fsico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del anlisis de mallas.1 Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en el mismo sentido. Esto ayudar a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convencin es tenerlas todas girando a la manecillas del reloj. En la figura 2 se muestra el mismo circuito antes pero con las corrientes de malla marcadas. La razn para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El anlisis de mallas asegura el menor nmero de ecuaciones, simplicando as el problema. Planteando las ecuaciones

Circuito simple usando anlisis de mallas Despus de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuacin para cada malla, en la cual se suma todas las tensiones de todos los componentes de una malla.2 Para los elementos que no son fuentes de energa, la tensin ser la impedancia del componente por la corriente que circula por l. 3 Cuando un componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente ser resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la tensin en la rama en funcin de la intensidad que circula por ella. Por ejemplo, la tensin de la resistencia R2 en la figura 2 es: VR = R(i3 i1), siendo i3 la corriente de malla de la que estamos escribiendo su ecuacin e i1 la malla vecina; considerando positiva la corriente de la malla que estamos describiendo y negativa la corriente de malla vecina. Es importante tener en cuenta los signos.16

Si hay una fuente de tensin en la corriente de malla, la tensin en la fuente es sumada o sustrada dependiendo si es una cada o subida de tensin en la direccin de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no este contenida en dos mallas, la corriente de malla tomar el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla est en la misma direccin o en direccin opuesta a la fuente de corriente.2 A continuacin se plantean las ecuaciones del circuito de la figura 3, as:

Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna tcnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales. Observacin: En circuitos resistivos (donde solo hayan resistencias), si al resolver el sistema una corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. En circuitos de corriente alterna con condensadores, bobinas, ser importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con nmeros complejos, a travs de la frmula de Euler, tendremos cambios de modulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor mdulo como positiva; tenemos que acudir al patrn de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra eleccin).

Ejemplos de Aplicacin.Problemas: Encontrar la resistencia total del siguiente circuito:

Solucin: El voltaje de la resistencia R1 se encuentra directamente encontrando la resistencia total del circuito:

Por lo tanto la resistencia R2 tiene un voltaje de 6V, como podemos ver:

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Tambin debemos considerar que la corriente en un circuito en serie, como lo es est, por lo que la corriente en la resistencia R1 es la misma que la de R2 y por tanto:

3. Encontrar el voltaje de la fuente del diagrama siguiente:

Por ltimo la resistencia total de las resistencias del circuito son: Solucin: De manera inmediata podemos determinar que por tratarse de un circuito serie la intensidad de la corriente es la misma en todos sus elementos. Por otro lado conocemos el valor de las resistencias, no as el de la pila del cual no ser considerada en este ejercicio, y por tanto podemos obtener directamente el voltaje total del las componentes.

2. Encontrar el voltaje de la resistencia R2 del siguiente diagrama

Entonces el voltaje total de la fuente es igual a:

Solucin. Aunque no se da el valor de la resistencia R1, podemos determinar el valor del voltaje en la resistencia R2, ya que lo que si conocemos es la corriente en la resistencia R1, la cual es la misma en el resto del circuito. Por lo tanto:

4. Demostrar que para un circuito en paralelo de dos resistencias la resistencia total es igual a:

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Solucin. Sabemos que para un circuito en paralelo la resistencia total es igual a:

a) El voltaje en cada una de las resistencias es igual al voltaje total, es decir el de la fuente. Por lo tanto, podemos calcular el voltaje total calculando el voltaje en una de las resistencias, en este caso, el que podemos calcular es el de la resistencia R1:

Si solo tenemos dos resistencias tendremos: b) Para calcular la corriente de la fuente los podemos hacer de dos formas:

La expresin demostrada es una expresin clsica para encontrar la relacin entre dos resistencias en paralelo, al menos es una expresin nemotcnica fcil de recordar. 5.- Se tienen los siguientes datos para el circuito mostrado 1er Mtodo a) Encontrar el voltaje de la fuente b) Encontrar la corriente administrada por la fuente Para el caso de la corriente en las otras resistencias tendremos:

Soluciones.19

DIAGRAMA 6a Solucin: 2 Mtodo Calculemos la resistencia total: De acuerdo al diagrama podramos acomodar el circuito de la siguiente forma:

la corriente total es igual a:

DIAGRAMA 6b Donde RA representa la resistencia, producto de realizar el arreglo siguiente:6. Encuentra la resistencia Rx del

circuito. Considrese siguientes datos:

los

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Donde

DIAGRAMA 6c

En el DIAGRAMA 6b podemos ver que las resistencias 1,4 y A estn es serie, como se ve a continuacin:

A partir de este diagrama podemos encontrar el voltaje en RB que es el mismo de la fuente y de la resistencia R5, en cuanto a corriente vemos que en R5 la corriente es:

Pero, como sabemos de un circuito en paralelo, la corriente total es la suma de la corriente en cada uno de los circuitos, tenemos: Por lo que podramos reducir el circuito a uno en paralelo:

Y el voltaje en la resistencia RB es:

Recordemos que para tenemos el siguiente arreglo:21

RB

Como el arreglo es el de un circuito en serie, y el voltaje total es la suma en cada una de las componentes, entonces el voltaje en RA :

La corriente es de IA= 276 mA Ahora el problema es ms concreto, recordemos que:

Lo que equivale a pensar en un circuito equivalente como el que se muestra a continuacin:

Lo que es equivalente, finalmente a resolver el circuito paralelo:

La corriente en RB es la misma en R1, R4 y en RA por pertenecer a un arreglo en serie. En cuanto el voltaje tenemos: El voltaje es el mismo en cada resistencia. En tanto a la corriente vemos que:

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Finalmente la resistencia en RX es:

La corriente de la resistencia RX:

Conclusiones El flujo de corriente en ampere que circula por un circuito elctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensin o voltaje aplicado, e inversamente proporcional a la resistencia en ohm de la carga que tiene conectada. En cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero En toda malla la suma de todas las cadas de tensin es igual a la tensin total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial elctrico es igual a cero. Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podran usar anlisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o anlisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el anlisis de nodos se escribe una ecuacin para cada nodo, con condicin que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nodo.23

nunca puede acumularse en un

Bibliografa Boylestad, Robert L.; Nashelsky, Louis; Electronica: Teoria de circuitos y dispositivos electrnicos; PretinceHall Hispanoamerica; Mexico; 2003. Referencias web: http://www.asifunciona.com/electrotecnia/ke_ley_ohm/ke_ley_ohm_1.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_mallas http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_nodos Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo. Coordinacin de innovacin educativa. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/electro/problemas_ley_ohm.htm

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