ESTRUCTURAS

Anlisis EstructuralB + 3 = 2NBarras y Nodos

B + 3 = 2NDe dnde viene esta serie????132132Mtodo de los nudosR1xR1yT3T1xyNodo 1Nodo 2R2yT2T1xyT3FxyNodo 3T2

Agrupando ecuacionesSe tienen 6 ecuaciones y 6 incgnitas, 2 ecuaciones por nodo y 3 reacciones2N = B + 3isoesttica

Clasificacin de las Estructuras2N = B + 32N < B + 32N > B + 3 Isoesttica Hiperesttica MecanismoN=6B=9N=6B=102N = B + 32N < B + 3N=4B=42N > B + 3

Clculo de estructuras hiperestticasF1234123Nodo 4ySe tienen 2 ecuaciones y tres incgnitasqEsta es la tercera ecuacinAplicando la Ley de Hooke se tieneF

Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio se tiene:Escrito en forma matricial se tiene:

Se sabe que: Entonces se tiene:

METODO DE LA RIGIDEZCaso UnidimensionalxProblemaModelo

k3u4u3k1u1u2k2u2u3Para cada elementoU11U12U22U23U33U34

Equilibrio en los nodosEnsamblando Matrices

Si hacemos k1= k2= k3=k tenemos

Aplicando condiciones de borde u1=0 y u4=0 se tiene:

Volviendo al problemau1=0 y u4=02F/32F/3

F/3F/3F/3F/3

Generalizando se tieneDesplazamientos desconocidos

Desplazamientos conocidos

Fuerzas conocidas

Fuerzas desconocidas

Resolviendo la primera fila se tieneResolviendo la segunda fila se tiene

Estructuras en 2-DElemento barra

Modelo matemtico

Cmo determinamos KAplico condiciones de borde dadas por: du

UiViF

Para las otras columnas se procede con las siguientes condiciones de borde

MATRIZ de RIGIDEZ en 2-D

Tarea:Determinar matriz de rigidez de elemento barra en 3-D

Estructuras en 2-DElemento Vigaui, Ui

vi, Vi

qi, Mi

uj, Uj

vj, Vj

qj, Mj

Determinacin de los coeficientesObserve que los GdL correspondientes a U, son los que cuantifican la traccin y compresin, adems nunca producirn flexin. Por lo tanto hay una total independencia con las otras variables.

Determinacin de los coeficientesCondiciones de borde dadas por: Ecuaciones:

Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

Condiciones de borde dadas por: Ecuaciones:vi, Vi

qi, Mi

vj, Vj

qj, Mj

xx

Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

Condiciones de borde dadas por: Ecuaciones:vi, Vi

qi, Mi

vj, Vj

qj, Mj

xx

Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

Condiciones de borde dadas por: Ecuaciones:vi, Vi

qi, Mi

vj, Vj

qj, Mj

xx

Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene

Matriz de rigidez Elemento Viga

Ejemplo:1.0m45123FBarrav2,

u2,

v3,

u3,

v2,

u2,

v1,

u1,

Vigaq1,

q2,

Barrav2,

u2,

v3,

u3,

135

Viga

Ensamble de matrices

Aplicando condiciones de borde

E=2.0x1011 PaL= 1.0 mA=0.01 m2Ab=0.001 m2I=8.33x10-6 m4F=10000

Cambio de Coordenadas Vigau1,

q1,

v2,

u2, v1,

q2,

Transformacin de CoordenadasXYxypxpypXpYpaaaX0Y0

Si hacemos coincidir los orgenes de los sistemas coordenados tenemosDonde R es la matriz de rotacin en 2-DSe puede ampliar a cualquier tipo de vector

Si se trata de fuerzas tenemosObserve que R es una matriz ortogonal, entonces su inversa es igual a la traspuesta.Por otra parte se tiene

Tarea:Determinar matriz de rigidez de elemento viga en 3-Dxyzijab