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7/25/2019 AM3 Murmis TP1 - Ej. 10
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Anlisis Matemtico III - Gua de Trabajos Prcticos - T.P. No1Variable Compleja - lgebra y Topologa en Complejos
T. P. No1 - EJERCICIOS RESUELTOS
Enunciado
10. Verificar que si :,x k
a)
1sen
2
sen2
nikx
k n
n x
ex
=
+
=
b) obtener en consecuencia
1
1sen
21cos
2 2sen2
n
k
n x
kxx=
+
= +
Resolucin
Resuelto por: Miguel Goldstein
Revisado por: Gustavo M. Murmis - Eduardo G. Murmis - Ariel Burman
a) Esta igualdad la podemos demostrar con dos mtodos
Mtodo 1:
Comencemos por desarrollar
sen2
nikx
k n
xe
=
(1)
Reemplazando ( ) ( )cos senikxe kx i= + kx , en (1)obtenemos
( ) ( )( )sen sen cos sen2 2
n nikx
k n k n
x xe kx
= =
= +
i kx
Y si tenemos en cuenta que ( )2senx no depende de , lo podemos introducir en
la sumatoria, y luego distribuyendo resulta:
k
( ) ( ) ( ) ( )2 2sen cos sen sen sen2n n
ikx x x
k n k n
xe kx i kx
= =
= +
Aplicando las identidades trigonomtricas,
( ) ( )( ) ( ) ( )( )12 2 2 2 2sen cos cos sen sen2n nikx i x x x
k n k n
x e kx kx kx k = =
= + + + 2xx
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( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 1 12 2 2 2 2 2sen cos cos sen sen2n n
ikx i
k n k n
xe k x k x k x k
= =
= + + + 1 x
(2)
Separemos esta sumatoria en dos, para facilitar su estudio:
( )( ) ( )( )1 12 2cos cosni
k n
k x k x=
+ 2 (3)
( )( ) ( )( )1 12 2sen senn
k n
k x k x=
+
12
(4)
Analizando la sumatoria (3), observamos que para cada trmino de la misma, se
suma ( )( 12cos k x ) que es igual al valor de ( )( )12co que se resta en el
trmino anterior. Por lo tanto estos dos valores se cancelan entre s.
s k x+
Por ejemplo, sumando los trminos con 2k= y k 3= , tendramos:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 12 2 2 2cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 1x x x x + + + =
( ) ( )cos 1, 5 cos 2, 5x x= ( )cos 2,5x+ ( )cos 3, 5x =
( ) ( )cos 1, 5 cos 3, 5x x=
de donde observamos claramente que el trmino de ( )cos 2,5x se anula, yqueda restando el trmino cuyo argumento es ms grande, y sumando el
trmino cuyo argumento es ms chico. Generalizando esta idea, en nuestrocaso que tenemos la sumatoria desde n hasta n+ , toda la sumatoria sereducira a
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 12 2 2 2 2cos cos cos cosn
i i
k n
k x k x n x n x=
+ = +
12
Si tenemos en cuenta que el coseno es una funcin par nos queda
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 12 2 2 2 2 2cos cos cos cos 0n
i i
k n
k x k x n x n x=
+ = + + =
(5)
Con esto demostramos que la sumatoria de la expresin (3) es igual a 0
En la expresin (4), ( )( ) ( )(1 12 2sen senn
k n
k x k x=
+ )
12
, observamos que el
trmino ( )( )12sen k x , que se resta, es igual al trmino ( )( )12se delanterior k, que se suma y por lo tanto se cancelan.
n k x+
Resulta entonces,
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( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 12 2 2 2 2sen sen sen senn
k n
k x k x n x n x=
+ = +
12
Si tenemos en cuenta que el seno es una funcin impar, nos queda
( )( ) ( )( ) ( )( )1 12 2sen sen senn x n x n x = + = + 12
Y podemos finalmente obtener
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 12 2 2 2 2sen sen 2 sen senn
k n
k x k x n x n x=
+ = + = +
12
(6)
Reemplazando (5)y (6) en (2)nos queda:
sen2
n
ikx
k nx e
= =
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 12 2 2 2 2 2cos cos sen senn
i
k n
k x k x k x k x=
= + + + =
( )( )120 sen n x= + + Por lo tanto,
1sen sen
2 2
nikx
k n
xe n
=
= +
x
Pasando ( )2senx dividiendo al segundo miembro,
1sen
2
sen2
nikx
k n
n x
ex
=
+
=
Mtodo 2:
Desarrollando la sumatoria,
... 1 ...
nikx inx inx
k n
e e e
=
= + + + +
Multiplicando y dividiendo por ,inxe
( )21 1 ... ...n
ikx inx i nxinx
k n
e ee=
= + + + + e
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La expresin entre parntesis es la suma parcial de una serie geomtrica de
razn y puede por lo tanto expresarse como sumatoria de la siguientemanera:
ixe
( )2
0
1n n kikx ix
inx
k n k
e e
e= =
=
Considerando que la ltima sumatoria es una suma parcial de una seriegeomtrica, se la puede reemplazar usando
1
0
1
1
nnk
k
zz
z
+
=
=
.
Por lo tanto, la sumatoria se reduce a( ) ( )2 1 1
1 1
1 1
i n x i n xinxnikx
inx ix ix
k n
e e ee
e e e
+ +
=
= =
y si multiplicamos y dividimos por 2xi
e
, obtenemos
( ) ( )1 12 2
2 2x x
i n x i n xnikx
i ik n
e ee
e e
+ +
=
=
.
Multiplicando y dividiendo por 2i , la sumatoria se convierte en
( ) ( )1 12 2
2 2
2
2
x x
i n x i n x
nikx
i ik n
e e
ie
e ei
+ +
=
=
Finalmente,
( )( )12sen
sen2
nikx
k n
n xe
x=
+=
b) Reemplazando con ( ) ( )cos senikx
e kx i= + kx en la expresin demostrada en laparte a), obtenemos
( ) ( ) ( )( )
( )
12
2
sencos sen
sen
n
xk n
n xkx i kx
=
++ =
Separando en dos sumatorias,
( ) ( ) ( )( )
( )
12
2
sencos sen
sen
n n
xk n k n
n xkx i kx
= =
++ =
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De la igualdad de nmeros complejos resulta que la parte real del primermiembro debe ser igual a la parte real del segundo miembro, y por lo tanto,
( ) ( )( )
( )
12
2
sencos
sen
n
xk n
n xkx
=
+=
Analicemos la sumatoria del coseno:
( ) ( ) ( ) ( )1 0
0 1
cos cos cos cos
n n
k n k n k k
kx kx kx kx
= = = =
= + +
Haciendo un cambio de variable para la primer sumatoria, resultak k
( ) ( ) ( )1 1
cos cos 1 cos
n n n
k n k k
kx kx kx= = =
= + +
Si tenemos en cuenta que el coseno es una funcin par,
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
cos cos 1 cos 1 2 cos
n n n n
k n k k k
kx kx kx kx= = = =
= + + = +
Entonces,
( ) ( )( )
( )
12
1 2
sen1 2 cos
sen
n
xk
n xkx
=
++ =
y operando finalmente,
( )1
1sen
21cos
22sen
2
n
k
n x
kxx
=
+
= +
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