AM3 Murmis TP1 - Ej. 10

7/25/2019 AM3 Murmis TP1 - Ej. 10

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Anlisis Matemtico III - Gua de Trabajos Prcticos - T.P. No1Variable Compleja - lgebra y Topologa en Complejos

T. P. No1 - EJERCICIOS RESUELTOS

Enunciado

10. Verificar que si :,x k

a)

1sen

2

sen2

nikx

k n

n x

ex

=

+

=

b) obtener en consecuencia

1

1sen

21cos

2 2sen2

n

k

n x

kxx=

+

= +

Resolucin

Resuelto por: Miguel Goldstein

Revisado por: Gustavo M. Murmis - Eduardo G. Murmis - Ariel Burman

a) Esta igualdad la podemos demostrar con dos mtodos

Mtodo 1:

Comencemos por desarrollar

sen2

nikx

k n

xe

=

(1)

Reemplazando ( ) ( )cos senikxe kx i= + kx , en (1)obtenemos

( ) ( )( )sen sen cos sen2 2

n nikx

k n k n

x xe kx

= =

= +

i kx

Y si tenemos en cuenta que ( )2senx no depende de , lo podemos introducir en

la sumatoria, y luego distribuyendo resulta:

k

( ) ( ) ( ) ( )2 2sen cos sen sen sen2n n

ikx x x

k n k n

xe kx i kx

= =

= +

Aplicando las identidades trigonomtricas,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )12 2 2 2 2sen cos cos sen sen2n nikx i x x x

k n k n

x e kx kx kx k = =

= + + + 2xx

2009 Pg. 1 de 5

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( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 1 12 2 2 2 2 2sen cos cos sen sen2n n

ikx i

k n k n

xe k x k x k x k

= =

= + + + 1 x

(2)

Separemos esta sumatoria en dos, para facilitar su estudio:

( )( ) ( )( )1 12 2cos cosni

k n

k x k x=

+ 2 (3)

( )( ) ( )( )1 12 2sen senn

k n

k x k x=

+

12

(4)

Analizando la sumatoria (3), observamos que para cada trmino de la misma, se

suma ( )( 12cos k x ) que es igual al valor de ( )( )12co que se resta en el

trmino anterior. Por lo tanto estos dos valores se cancelan entre s.

s k x+

Por ejemplo, sumando los trminos con 2k= y k 3= , tendramos:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 12 2 2 2cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 1x x x x + + + =

( ) ( )cos 1, 5 cos 2, 5x x= ( )cos 2,5x+ ( )cos 3, 5x =

( ) ( )cos 1, 5 cos 3, 5x x=

de donde observamos claramente que el trmino de ( )cos 2,5x se anula, yqueda restando el trmino cuyo argumento es ms grande, y sumando el

trmino cuyo argumento es ms chico. Generalizando esta idea, en nuestrocaso que tenemos la sumatoria desde n hasta n+ , toda la sumatoria sereducira a

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 12 2 2 2 2cos cos cos cosn

i i

k n

k x k x n x n x=

+ = +

12

Si tenemos en cuenta que el coseno es una funcin par nos queda

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 12 2 2 2 2 2cos cos cos cos 0n

i i

k n

k x k x n x n x=

+ = + + =

(5)

Con esto demostramos que la sumatoria de la expresin (3) es igual a 0

En la expresin (4), ( )( ) ( )(1 12 2sen senn

k n

k x k x=

+ )

12

, observamos que el

trmino ( )( )12sen k x , que se resta, es igual al trmino ( )( )12se delanterior k, que se suma y por lo tanto se cancelan.

n k x+

Resulta entonces,

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( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 12 2 2 2 2sen sen sen senn

k n

k x k x n x n x=

+ = +

12

Si tenemos en cuenta que el seno es una funcin impar, nos queda

( )( ) ( )( ) ( )( )1 12 2sen sen senn x n x n x = + = + 12

Y podemos finalmente obtener

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 12 2 2 2 2sen sen 2 sen senn

k n

k x k x n x n x=

+ = + = +

12

(6)

Reemplazando (5)y (6) en (2)nos queda:

sen2

n

ikx

k nx e

= =

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 12 2 2 2 2 2cos cos sen senn

i

k n

k x k x k x k x=

= + + + =

( )( )120 sen n x= + + Por lo tanto,

1sen sen

2 2

nikx

k n

xe n

=

= +

x

Pasando ( )2senx dividiendo al segundo miembro,

1sen

2

sen2

nikx

k n

n x

ex

=

+

=

Mtodo 2:

Desarrollando la sumatoria,

... 1 ...

nikx inx inx

k n

e e e

=

= + + + +

Multiplicando y dividiendo por ,inxe

( )21 1 ... ...n

ikx inx i nxinx

k n

e ee=

= + + + + e

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La expresin entre parntesis es la suma parcial de una serie geomtrica de

razn y puede por lo tanto expresarse como sumatoria de la siguientemanera:

ixe

( )2

0

1n n kikx ix

inx

k n k

e e

e= =

=

Considerando que la ltima sumatoria es una suma parcial de una seriegeomtrica, se la puede reemplazar usando

1

0

1

1

nnk

k

zz

z

+

=

=

.

Por lo tanto, la sumatoria se reduce a( ) ( )2 1 1

1 1

1 1

i n x i n xinxnikx

inx ix ix

k n

e e ee

e e e

+ +

=

= =

y si multiplicamos y dividimos por 2xi

e

, obtenemos

( ) ( )1 12 2

2 2x x

i n x i n xnikx

i ik n

e ee

e e

+ +

=

=

.

Multiplicando y dividiendo por 2i , la sumatoria se convierte en

( ) ( )1 12 2

2 2

2

2

x x

i n x i n x

nikx

i ik n

e e

ie

e ei

+ +

=

=

Finalmente,

( )( )12sen

sen2

nikx

k n

n xe

x=

+=

b) Reemplazando con ( ) ( )cos senikx

e kx i= + kx en la expresin demostrada en laparte a), obtenemos

( ) ( ) ( )( )

( )

12

2

sencos sen

sen

n

xk n

n xkx i kx

=

++ =

Separando en dos sumatorias,

( ) ( ) ( )( )

( )

12

2

sencos sen

sen

n n

xk n k n

n xkx i kx

= =

++ =

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De la igualdad de nmeros complejos resulta que la parte real del primermiembro debe ser igual a la parte real del segundo miembro, y por lo tanto,

( ) ( )( )

( )

12

2

sencos

sen

n

xk n

n xkx

=

+=

Analicemos la sumatoria del coseno:

( ) ( ) ( ) ( )1 0

0 1

cos cos cos cos

n n

k n k n k k

kx kx kx kx

= = = =

= + +

Haciendo un cambio de variable para la primer sumatoria, resultak k

( ) ( ) ( )1 1

cos cos 1 cos

n n n

k n k k

kx kx kx= = =

= + +

Si tenemos en cuenta que el coseno es una funcin par,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

cos cos 1 cos 1 2 cos

n n n n

k n k k k

kx kx kx kx= = = =

= + + = +

Entonces,

( ) ( )( )

( )

12

1 2

sen1 2 cos

sen

n

xk

n xkx

=

++ =

y operando finalmente,

( )1

1sen

21cos

22sen

2

n

k

n x

kxx

=

+

= +

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