Post on 22-Mar-2021
1. Señales: Definición y clasificación.
2. Transformaciones de la variable independiente y propiedades de las señales.
3. Estudio de señales básicas.
Introducción a las señales en el dominio del tiempo
“Función de una o más variables independientes que contenga información acerca de la naturaleza o comportamiento de algún fenómeno”
1. Señales. Definición y clasificación
Ejemplos: Cambios de presión, sonidoPosición de la membrana de un altavozDiferencia de tensión en un piezoeléctrico de un altavozPosición o velocidad de cualquier móvil (coche, avión, ...)Tensión o corriente en elementos o ramas de un circuito Intensidad en escala de grises de una foto B/NIntensidad de RGB en una imagen a color
Clasificación:Funciones de una sola variable (por defecto, el tiempo) o de varias variables (imagen, temperaturas,...). Funciones unidimensionales (tensión, corriente,...) o de varias dimensiones (posición, velocidad,...)
¿Qué es una señal? Ejemplos
s(t) = 5tS(x,y) = 3x + 5xy
Señal de voz Señal de ECG
Espectrograma Imagen
-10 0 10 20-1
0
1
t
x(t)
Señales de tiempo continuo
La variable independiente toma valores reales (carácter continuo)
Tensión o corriente en elementos o ramas de circuitosTemperatura o presión en un punto en función del tiempo
Representación gráfica: curva continua, variable independiente “t”, señal x(t)
-10 -5 0 5 10 15 20-1
0
1
n
x[n]
Señales de tiempo discreto
La variable independiente toma valores enteros (carácter discreto)Temperatura máxima en los días del año (no existe el día 1.5 ó π)Altura de los alumnos de una clase (no existe el alumno 2.33)El valor de la señal puede ser real: 22.5º C, 1.76 m
Representación gráfica: variable independiente n, señal x[n],amplitud de la señal representada por un círculo y un segmento
La variable independiente puede ser de carácter inherentemente discreta (edad, día del mes,...) o una discretización de una variable continua (medir una tensión cada 10 ms,...)
2. Transformaciones de la variable independiente y propiedades de la señal
Transformaciones de la variable independiente:DesplazamientoReflexiónCambio de escala
Propiedades:SimetríaPeriodicidadCausalidad
t continuo: x1(t)=x(t−t0);t0 real
-10 0 10 20
-20
0
20
40
tx(
t)
-10 0 10 20
-20
0
20
40
t
x(t-5
)x(t−5):Retardo
x(t+π):Adelanto
-10 0 10 20
-20
0
20
40
t
x(t+
3.14
1592
65)
n discreto: x1[n]=x[n−n0];n0 entero
-5 0 5 10-1
-0.5
0
0.5
1
n
x[n]
-5 0 5 10-1
-0.5
0
0.5
1
n
x[n-
3]x[n−3]:Retardo
-5 0 5 10-1
-0.5
0
0.5
1
n
x[n+
4]x[n+4]:Adelanto
Desplazamiento
Tiempo continuo: x1(t)=x(−t) Tiempo discreto: x1[n]=x[−n]
-5 0 5-20
0
20
40
t
x(t)
-5 0 5-20
0
20
40
t
x(-t)
Reflexión especular respecto al eje vertical
-5 0 5-4
-2
0
2
4
n
x[n]
-5 0 5-4
-2
0
2
4
nx[
-n]
Reflexión
Tiempo continuo: x1(t)=x(a·t);a real
-10 0 10 20-1
0
1
tx(
t)
-10 0 10 20-1
-0.5
0
0.5
1
t
x(t/
2)x(t/2)Expansión
x(1.41·t)Compresión
-10 0 10 20-1
0
1
t
x(1.
41t)
-10 0 10 20-1
0
1
n
x[2n
]
x[2·n]Compresión.Pérdida de información
-10 0 10 20-1
-0.5
0
0.5
1
n-10 0 10 20-1
0
1
n
x[n/
2]
x[n/2]Expansión.Se introduceinformación
-10 0 10 20-1
0
1
n
x[n]
Tiempo discreto: x1[n]=x[a·n]; a racional
Cambio de escala
-10 0 10 20-1
0
1
t
x(t)
Ejemplo: x1(t)=x(−2+t/1.6)
-10 0 10 20-1
0
1
t
x(t/
1.6)
x(t/1.6) Expansión
-10 0 10 20-1
0
1
t
x(-2
+t/
1.6)
x(−2+t/1.6) Retardo en 2*1.6
n -2 -1 0 1 2 3 4 5x 0.79 0.83 0.84 0.85 0.88 0.95 0.99 0.78n’ -2 -1 0 1 2 3 4 5
2n’+1 -3 -1 1 3 5 7 9 ...x[2n’+1] ... 0.83 0.85 0.95 0.78 -0.96 ...
Ejemplo: x1[n]=x[2n+1]
-10 0 10 20-1
0
1
n
x[n]
-10 0 10 20-1
0
1
nx[
2n+
1]
Combinación de transformaciones
Transformaciones múltiples
( ) 0g g t tt Aa−⎛ ⎞→ ⎜ ⎟
⎝ ⎠Transformaciones múltiples,
( ) ( ) 0 0g g g gescalado en amplitud,
tt t t tA a t ttt A t A Aa a
→ → − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Una transformación múltiple se puede realizar por pasos
( ) ( ) ( )0 00 0g g g g g
escalado en amplitud,
ttt t tA a t ttt A t A t t A t Aa a
→→ − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
La secuencia de pasos es significativa
Simplifica el estudio y representación de señales
x(t)=x(−t)x[n]=x[−n]Simetría par:
-5 0 5-0.5
0
0.5
1
n
x[n]
=x[
-n]
-5 0 5-0.5
0
0.5
1
t
x(t)
=x(
-t)
x(t)=−x(−t)x[n]=−x[−n]
Simetría impar:
-5 0 5-4
-2
0
2
4
t
x(t)
=-x
(-t)
-5 0 5-4
-2
0
2
4
n
x[n]
Simetría (I)
Impar{ x(t) }={ x(t)−x(−t) } / 2Impar{ x[n] }={ x[n]−x[−n] } / 2
Par{ x(t) }={ x(t)+x(−t) } / 2Par{ x[n] }={ x[n]+x[−n] } / 2
-0.5 0 0.5-2
-1
0
1
t
x(t)
-0.5 0 0.5-0.5
0
0.5
1
t
Par
x(t)
-0.5 0 0.5-1
0
1
t
Impa
rx(t
)
-10 -5 0 5 10-2
-1
0
1
n
x[n]
-10 -5 0 5 10-0.5
0
0.5
1
n
Par
x[n]
-10 -5 0 5 10-1
0
1
n
Impa
rx[n
]
Simetría (II)
Simplifica el estudio y representación de señales
Tiempo continuo:• Una señal x(t) es periódica ⇔
∃ T∈ℜ+ t.q. x(t+T)=x(t), ∀t• Periodo fundamental T0=min{ T }• Frecuencia fundamental: f0=1/T0• Pulsación fundamental: ω0=2π f0
Tiempo discreto:• Una señal x[n] es periódica ⇔
∃ N∈Ζ+ t.q. x[n+N]=x[n] ,∀n• Periodo fundamental N0=min{ N }• Frecuencia fundamental: f0=1/N0• Pulsación fundamental: Ω0=2π f0
-5 0 5 10-1
-0.5
0
0.5
1
t
x(t)
T
-10 0 10 20-1
-0.5
0
0.5
1
n
x[n]
N
Periodicidad
Suma de funciones periódicas
El periodo de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo (MCM) de los periodos de las funciones individuales que componen la sumaSi el MCM es infinito, la señal es aperiódica
Causalidad
x(t) es causal ⇔ x(t)=0, ∀t<0 x[n] es causal ⇔ x[n]=0, ∀n<0
-5 0 5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
n
x[n]
Causal
-5 0 5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
t
x(t)
-5 0 5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
nx[
n]-5 0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
1
nx[
n]No causal
-5 0 5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
t
x(t)
-5 0 5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
t
x(t)
3. Estudio de señales básicas
Señales de tiempo continuo SinusoidalesExponenciales
Exponenciales realesExponencial imaginariaExponenciales complejas
Escalón unidad Impulso unidad
Señales de tiempo discreto Escalón unidad Impulso unidad Exponencial realSinusoidal Exponencial compleja
Señales sinusoidales
x(t)=A·cos(ωt+φ)
• Amplitud: A• Periódica • Periodo fundamental T0=2π/|ω|• Frecuencia fundamental f0=1/T0• Pulsación fundamental |ω|• No causal• Simetría par si φ=0• Simetría impar si φ=π/2
-5 0 5 10 15 20
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
x(t)
A Acos( ) φ
T0
Señales exponenciales (I)
Señales exponenciales: x(t)=A·e(at+jβ)
A es un número real positivo, a es complejo y β es un número real
Podemos distinguir entre:i) a real (Im{a}=0)ii) a imaginario puro (Re{a}=0)iii) a complejo (Re{a} ≠ 0 ≠ Im{a})
Señales exponenciales (II)
Exponencial real (β =0 por simplicidad):x(t)=A·ea·t;A sólo modifica la altura
-2 0 2 4 60
1
2
3
4
t
x(t)
Exponencial real, a=0.25>0
-2 0 2 4 60
0.5
1
1.5
2
t
x(t)
Exponencial real, a=-0.3<0
Exponencial imaginaria pura a=jω (β=0 por simplicidad)x(t)=Aejωt=A·cos(ωt)+jA·sen(ωt)
• Señal compleja• Re{x(t)} e Im{x(t)} son señales sinusoidales• Periódica de periodo fundamental T0=2π/|ω| , fcia. fundamental f0=1/T0• Pulsación fundamental |ω|• No causal• Si β≠0 ⇒ Fase inicial no nula• Armónicos: φk(t)=e jkωt
-2 0 2 4 6-1
-0.5
0
0.5
1
t
Exponencial imaginaria
Re{
x(t)}
-2 0 2 4 6-1
-0.5
0
0.5
1
t
Exponencial imaginaria
Im{x
(t)}
Señales exponenciales (III)
Sinusoides reales y complejas
( )cos2
jx jxe ex−+
=
( )sen2
jx jxe exj
−−=
Exponencial compleja a=r+jωx(t)=A·e(rt+jωt+jβ)=A·ert·ej(ωt+β)
• Señal compleja• Modulación de una exponencial imaginaria por otra real• No periódica• Oscilaciones amortiguadas (r<0) o crecientes (r>0)
-2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
t
Exponencial compleja (r>0)
Re{
x(t)}
-2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
t
Exponencial compleja (r<0)
Re{
x(t)}
Señales exponenciales
Señal escalón:
• Causal• x(t)·u(t) es causal y coincide con x(t) para t>0
0, 0( )
1, 0si t
u tsi t
<⎧= ⎨ >⎩
Escalón unidad
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.5
0
0.5
1
1.5
t
u(t)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
t
x(t)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
0
2
t
x(t)
u(t)
Aproximación uΔ(t) al escalón unitario continuo
Aproximación al escalón unidad
Relación entre el escalón y el impulso unidad (I)
0, 0( )
1, 0si t
u tsi t
<⎧= ⎨ >⎩
Señal escalón unidad: u(t)
-5 0 5-1
0
1
2
Señal impulso unidad: δ(t)(o Delta de Dirac)
-5 0 5-1
0
1
2
( )( ) du ttdt
δ =
-5 0 5-1
0
1
2
-5 0 5-1
0
1
2
Δ
1/Δ
Relación entre el escalón y el impulso unidad (II)
Δ
Derivada
Aproximación δΔ(t) al impulso unitario continuo
Aproximación al impulso unidad
Señal impulso unidad o delta:
0, 0( ) ( )
1, 0t si t
d u tsi t
δ τ τ−∞
<⎧= = ⎨ >⎩
∫
0( ) lim ( )t tδ δΔΔ→
=
0,( ) ,
0,
si t 0t 1/ si 0 t 1/
si t 1/δΔ
<⎧⎪= Δ < < Δ⎨⎪ > Δ⎩
Significado:
• Función auxiliar δΔ(t)• El área encerrada es 1• Su integral desde −∞ hasta tes cero si t<0 ó 1 si t>1
0 t
δ(t)
0 t0 t
δ(t-t0)
Impulso unidad
0 Δ t
1/Δ
δΔ(t)
0 Δ’ t
1/Δ’δΔ’(t)
)0()()()()(
)()()()()()0()()(
)()(
0)()(
1)()(
000
0
xdxdx
tttxtttxtxttx
tudt
dd
dd
∫∫
∫∫∫∫∫
∞
∞−−
∞
∞−
∞−
∞
∞−−
==
−=−=
=−
==
==
ττδτττδτ
δδδδ
ττδ
ττδττδ
ττδττδ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
Propiedades de la función δ(t)
Propiedades impulso unidad
Escalón unidad discreto
Señal escalón:
• Causal• x[n]·u[n] es causal y coincide con x[n] para n≥0
0,[ ]
1 0 si n 0
u n, si n
<⎧= ⎨ ≥⎩
-5 0 5 100
0.5
1
n
u[n]
-5 0 5 100
0.5
1
n
u[n-
3]
Señal impulso unidad: [ ] 1,0
si n 0n
, si n 0δ
=⎧= ⎨ ≠⎩
-5 0 5 100
0.5
1
n
δ[n-4]
-5 0 5 100
0.5
1
n
δ[n]
(o Delta de Kronecker)No presenta ninguna dificultad en su definición ni en su representación
Impulso unidad discreto
]0[][][][][
][][][][][]0[][][
)0( 0][][
1][][][
]1[][][
][][][
000
0
0
xnnxnnx
nnnxnnnxnxnnx
Nnn
nnnn
nunun
nuknk
N
N
N
N
N
N
k
n
k
==
−=−=
>==
=−==
−−=
=−=
∑∑
∑∑
∑∑∑
∑∑
∞
∞−−
∞−
∞−
∞
∞−
∞
∞−−
∞
=−∞=
δδ
δδδδ
δδ
δδδ
δ
δδ
Propiedades de la función δ[n]
Propiedades impulso unidad
3.2.c) Señales exponenciales complejas de tiempo discreto:x[n]=A·αn ; A, α=eβ y β son números complejos
Se puede distinguir entre: i) Secuencia exponencial real: A y α son realesii) Secuencias sinusoidales |α|=1 (α=ejΩ )iii) Secuencias con oscilaciones de amplitud variable |α|≠1, Im{α}≠0
3.2.c.i) Secuencia exponencial real (A=1 por simplicidad):
-10 0 10 20 30-5
0
5
n
x([n
]
—— α=−1.05—— α=−0.90
-10 0 10 20 300
1
2
3
4
5
n
x([n
]
—— α=1.05—— α=0.90
Exponencial discreta
Secuencia sinusoidal |α|=1 (α=ejΩ, A=1 por simplicidad):x[n]=ejΩn
• Señal compleja (Im{x[n]}≠0)• Periodicidad:
x[n+N]=e[jΩ(n+N)]=ejΩn·ejΩN ⇒x[n+N]=x(n), ∀n ⇔ ejΩN=1 ⇔ ΩN=2mπPeriódica ⇔ Ω·N=2mπArmónicos: φk[n]=ejkΩn; sólo N diferentes
• No causal
-10 0 10 20 30 40 50-1
-0.5
0
0.5
1
n
-10 0 10 20 30 40 50-1
-0.5
0
0.5
1
n
Re{
x[n]
}Im
{x[n
]}
Para Ω =0.4 ≠ 2mπ/N
Sinusoidal discreta
Ejemplo de periodicidad discreta (I)
Ejemplo de periodicidad discreta (II)
54 5 5[ ] cos( ) · ( )
4 4j n
x n e n j sen nπ π π
= = +
54 5 5[ ] cos( ) ·sen( )
4 4j n
x n e n j nπ π π
= = +
2 2 8, 554
N N N mm m
π ππ= → = → = =
Ω
Ejemplo de periodicidad discreta (III)
2[ ] cos(2 ) · (2 )j nx n e n j sen nπ π π= = +
2[ ] cos(2 ) ·sen(2 )j nx n e n j nπ π π= = +
2 2 1, 12
N N N mm m
π ππ
= → = → = =Ω
-10 0 10 20 30 400
0.5
1
n
Ω/π=0
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=1/16
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=1/8
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=1/4
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=1/2
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=3/4
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=7/8
-10 0 10 20 30 40-1
-0.5
0
0.5
1
n
Ω/2π=15/16
-10 0 10 20 30 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
Ω=2π
Secuencia exponencial α=|α|ejΩ, A=|A|·ejθ
x[n]=A·αn=|A||α|n e(jΩn+jθ)
• Señal compleja (Im{x[n]}≠0)• Oscilaciones que crecen si |α|>1 o se amortiguan si |α|<1• No periódica• No causal
-10 0 10 20 30 40-2
-1
0
1
2
n
-10 0 10 20 30 40-2
-1
0
1
2
n
Im{x
[n]}
Re{
x[n]
}
-10 0 10 20 30 40-6
-4
-2
0
2
4
n
-10 0 10 20 30 40-6
-4
-2
0
2
4
n
Re{
x[n]
}Im
{x[n
]}
Exponencial compleja discreta
Tiempo continuo:• Si ω0 crece, la frecuencia
aumenta• Si ω0 decrece, la frecuencia
decrece• Si ω0≠ω’0⇒ las señales
son diferentes
• es siempre periódica
• Periodo fundamental T0=2π/|ω0|
• Frecuencia fundamental f0= |ω0|/2π• Pulsación fundamental |ω0|
• Infinitos armónicos diferentes
Tiempo discreto:• Si Ω0 crece, la frecuencia
NO siempre aumenta• Si Ωo decrece, la frecuencia
NO siempre disminuye• Si Ω0=Ω’0+2kπ ⇒
las señales son iguales:
• es periódica ⇔ Ω0=2mπ/N
• Si es periódica ⇒Periodo fundamental N0=N si N y m son primos entre síFrecuencia fundamental f0= 1/Ν0Pulsación fundamental 2πf0=2π/N0Sólo N0 armónicos diferentes
Comparación sinusoidales de tiempo continuo y discreto
0j te ω 0j ne Ω
0j te ω
( )'0 0
2j k n j ne eπΩ + Ω=0j ne Ω
3.3. Energía y potencia de una señal
EnergíaIntegral del módulo al cuadrado de la amplitud
PotenciaEnergía por unidad de tiempo
Una señal con energía finita es una señal definida en energía
Una señal con energía infinita y potencia finita es una señal definida en potencia
( ) 2xxE t dt
∞
−∞
= ∫
Energía de una señal continua x(t):
Energía de una señal discreta x[n]:
[ ] 2xx
n
E n∞
=−∞
= ∑
Energía
Potencia
( ) 21 xx TP t dt
T= ∫ [ ] 21 xx
n NP n
N =
= ∑
( )2
2
2
1lim x
T
x TT
P t dtT→∞
−
= ∫ [ ]1 21lim x
2
N
x N n NP n
N
−
→∞=−
= ∑
Periódica
No Periódica
Continua Discreta
Cuando la energía es infinita es más conveniente definir la potencia de la señal
DiscretoContinuo
1. Señales:• Tiempo continuo• Tiempo discreto
2.1. Transformaciones:• Desplazamiento: x1(t)=x(t−t0); t0 real
x1[n]=x[n−n0]; n0 entero• Reflexión: x1(t)=x(− t)
x1[n]=x[− n]• Cambio de escala: x1(t)=x(a·t)
x1[n]=x[a·n]
2.2. Propiedades de la señal:• Simetría: Par: x(t)=x(−t); x[n]=x[−n]
Impar: x(t)= −x(−t); x[n]=−x[−n]• Periódica: ∃ T∈ ℜ+ t.q. x(t+T)=x(t), ∀t
∃ N∈ Ζ+ t.q. x[n+N]=x[n], ∀n•Causal: x(t)=0, ∀t<0; x[n]=0, ∀n<0
3. Señales básicas 3.1. Tiempo continuo:
e(jωt), A·e(at+jbt), u(t), δ(t)3.2. Tiempo discreto:
u[n], δ[n], A·an, e(jΩn)
3.3 Energía y potencia de una señal:
Síntesis
( ) 2xxE t dt
∞
−∞
= ∫
( ) 21 xx TP t dt
T= ∫ [ ] 21 xx
n N
P nN =
= ∑
( )2
2
2
1lim x
T
x TT
P t dtT→∞
−
= ∫ [ ]1 21lim x
2
N
x N n NP n
N
−
→∞=−
= ∑
[ ] 2xx
n
E n∞
=−∞
= ∑