1. Señales: Definición y clasificación.

2. Transformaciones de la variable independiente y propiedades de las señales.

3. Estudio de señales básicas.

Introducción a las señales en el dominio del tiempo

“Función de una o más variables independientes que contenga información acerca de la naturaleza o comportamiento de algún fenómeno”

1. Señales. Definición y clasificación

Ejemplos: Cambios de presión, sonidoPosición de la membrana de un altavozDiferencia de tensión en un piezoeléctrico de un altavozPosición o velocidad de cualquier móvil (coche, avión, ...)Tensión o corriente en elementos o ramas de un circuito Intensidad en escala de grises de una foto B/NIntensidad de RGB en una imagen a color

Clasificación:Funciones de una sola variable (por defecto, el tiempo) o de varias variables (imagen, temperaturas,...). Funciones unidimensionales (tensión, corriente,...) o de varias dimensiones (posición, velocidad,...)

¿Qué es una señal? Ejemplos

s(t) = 5tS(x,y) = 3x + 5xy

Señal de voz Señal de ECG

Espectrograma Imagen

-10 0 10 20-1

0

1

t

x(t)

Señales de tiempo continuo

La variable independiente toma valores reales (carácter continuo)

Tensión o corriente en elementos o ramas de circuitosTemperatura o presión en un punto en función del tiempo

Representación gráfica: curva continua, variable independiente “t”, señal x(t)

-10 -5 0 5 10 15 20-1

0

1

n

x[n]

Señales de tiempo discreto

La variable independiente toma valores enteros (carácter discreto)Temperatura máxima en los días del año (no existe el día 1.5 ó π)Altura de los alumnos de una clase (no existe el alumno 2.33)El valor de la señal puede ser real: 22.5º C, 1.76 m

Representación gráfica: variable independiente n, señal x[n],amplitud de la señal representada por un círculo y un segmento

La variable independiente puede ser de carácter inherentemente discreta (edad, día del mes,...) o una discretización de una variable continua (medir una tensión cada 10 ms,...)

2. Transformaciones de la variable independiente y propiedades de la señal

Transformaciones de la variable independiente:DesplazamientoReflexiónCambio de escala

Propiedades:SimetríaPeriodicidadCausalidad

t continuo: x1(t)=x(t−t0);t0 real

-10 0 10 20

-20

0

20

40

tx(

t)

-10 0 10 20

-20

0

20

40

t

x(t-5

)x(t−5):Retardo

x(t+π):Adelanto

-10 0 10 20

-20

0

20

40

t

x(t+

3.14

1592

65)

n discreto: x1[n]=x[n−n0];n0 entero

-5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

n

x[n]

-5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

n

x[n-

3]x[n−3]:Retardo

-5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

n

x[n+

4]x[n+4]:Adelanto

Desplazamiento

Tiempo continuo: x1(t)=x(−t) Tiempo discreto: x1[n]=x[−n]

-5 0 5-20

0

20

40

t

x(t)

-5 0 5-20

0

20

40

t

x(-t)

Reflexión especular respecto al eje vertical

-5 0 5-4

-2

0

2

4

n

x[n]

-5 0 5-4

-2

0

2

4

nx[

-n]

Reflexión

Tiempo continuo: x1(t)=x(a·t);a real

-10 0 10 20-1

0

1

tx(

t)

-10 0 10 20-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t/

2)x(t/2)Expansión

x(1.41·t)Compresión

-10 0 10 20-1

0

1

t

x(1.

41t)

-10 0 10 20-1

0

1

n

x[2n

]

x[2·n]Compresión.Pérdida de información

-10 0 10 20-1

-0.5

0

0.5

1

n-10 0 10 20-1

0

1

n

x[n/

2]

x[n/2]Expansión.Se introduceinformación

-10 0 10 20-1

0

1

n

x[n]

Tiempo discreto: x1[n]=x[a·n]; a racional

Cambio de escala

-10 0 10 20-1

0

1

t

x(t)

Ejemplo: x1(t)=x(−2+t/1.6)

-10 0 10 20-1

0

1

t

x(t/

1.6)

x(t/1.6) Expansión

-10 0 10 20-1

0

1

t

x(-2

+t/

1.6)

x(−2+t/1.6) Retardo en 2*1.6

n -2 -1 0 1 2 3 4 5x 0.79 0.83 0.84 0.85 0.88 0.95 0.99 0.78n’ -2 -1 0 1 2 3 4 5

2n’+1 -3 -1 1 3 5 7 9 ...x[2n’+1] ... 0.83 0.85 0.95 0.78 -0.96 ...

Ejemplo: x1[n]=x[2n+1]

-10 0 10 20-1

0

1

n

x[n]

-10 0 10 20-1

0

1

nx[

2n+

1]

Combinación de transformaciones

Transformaciones múltiples

( ) 0g g t tt Aa−⎛ ⎞→ ⎜ ⎟

⎝ ⎠Transformaciones múltiples,

( ) ( ) 0 0g g g gescalado en amplitud,

tt t t tA a t ttt A t A Aa a

→ → − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Una transformación múltiple se puede realizar por pasos

( ) ( ) ( )0 00 0g g g g g

escalado en amplitud,

ttt t tA a t ttt A t A t t A t Aa a

→→ − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La secuencia de pasos es significativa

Simplifica el estudio y representación de señales

x(t)=x(−t)x[n]=x[−n]Simetría par:

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

n

x[n]

=x[

-n]

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

t

x(t)

=x(

-t)

x(t)=−x(−t)x[n]=−x[−n]

Simetría impar:

-5 0 5-4

-2

0

2

4

t

x(t)

=-x

(-t)

-5 0 5-4

-2

0

2

4

n

x[n]

Simetría (I)

Impar{ x(t) }={ x(t)−x(−t) } / 2Impar{ x[n] }={ x[n]−x[−n] } / 2

Par{ x(t) }={ x(t)+x(−t) } / 2Par{ x[n] }={ x[n]+x[−n] } / 2

-0.5 0 0.5-2

-1

0

1

t

x(t)

-0.5 0 0.5-0.5

0

0.5

1

t

Par

x(t)

-0.5 0 0.5-1

0

1

t

Impa

rx(t

)

-10 -5 0 5 10-2

-1

0

1

n

x[n]

-10 -5 0 5 10-0.5

0

0.5

1

n

Par

x[n]

-10 -5 0 5 10-1

0

1

n

Impa

rx[n

]

Simetría (II)

Simplifica el estudio y representación de señales

Tiempo continuo:• Una señal x(t) es periódica ⇔

∃ T∈ℜ+ t.q. x(t+T)=x(t), ∀t• Periodo fundamental T0=min{ T }• Frecuencia fundamental: f0=1/T0• Pulsación fundamental: ω0=2π f0

Tiempo discreto:• Una señal x[n] es periódica ⇔

∃ N∈Ζ+ t.q. x[n+N]=x[n] ,∀n• Periodo fundamental N0=min{ N }• Frecuencia fundamental: f0=1/N0• Pulsación fundamental: Ω0=2π f0

-5 0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t)

T

-10 0 10 20-1

-0.5

0

0.5

1

n

x[n]

N

Periodicidad

Suma de funciones periódicas

El periodo de la suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo (MCM) de los periodos de las funciones individuales que componen la sumaSi el MCM es infinito, la señal es aperiódica

Causalidad

x(t) es causal ⇔ x(t)=0, ∀t<0 x[n] es causal ⇔ x[n]=0, ∀n<0

-5 0 5 10 15 20-1

-0.5

0

0.5

1

n

x[n]

Causal

-5 0 5 10 15 20-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t)

-5 0 5 10 15 20-1

-0.5

0

0.5

1

nx[

n]-5 0 5 10 15 20

-1

-0.5

0

0.5

1

nx[

n]No causal

-5 0 5 10 15 20-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t)

-5 0 5 10 15 20-1

-0.5

0

0.5

1

t

x(t)

3. Estudio de señales básicas

Señales de tiempo continuo SinusoidalesExponenciales

Exponenciales realesExponencial imaginariaExponenciales complejas

Escalón unidad Impulso unidad

Señales de tiempo discreto Escalón unidad Impulso unidad Exponencial realSinusoidal Exponencial compleja

Señales sinusoidales

x(t)=A·cos(ωt+φ)

• Amplitud: A• Periódica • Periodo fundamental T0=2π/|ω|• Frecuencia fundamental f0=1/T0• Pulsación fundamental |ω|• No causal• Simetría par si φ=0• Simetría impar si φ=π/2

-5 0 5 10 15 20

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

x(t)

A Acos( ) φ

T0

Señales exponenciales (I)

Señales exponenciales: x(t)=A·e(at+jβ)

A es un número real positivo, a es complejo y β es un número real

Podemos distinguir entre:i) a real (Im{a}=0)ii) a imaginario puro (Re{a}=0)iii) a complejo (Re{a} ≠ 0 ≠ Im{a})

Señales exponenciales (II)

Exponencial real (β =0 por simplicidad):x(t)=A·ea·t;A sólo modifica la altura

-2 0 2 4 60

1

2

3

4

t

x(t)

Exponencial real, a=0.25>0

-2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

t

x(t)

Exponencial real, a=-0.3<0

Exponencial imaginaria pura a=jω (β=0 por simplicidad)x(t)=Aejωt=A·cos(ωt)+jA·sen(ωt)

• Señal compleja• Re{x(t)} e Im{x(t)} son señales sinusoidales• Periódica de periodo fundamental T0=2π/|ω| , fcia. fundamental f0=1/T0• Pulsación fundamental |ω|• No causal• Si β≠0 ⇒ Fase inicial no nula• Armónicos: φk(t)=e jkωt

-2 0 2 4 6-1

-0.5

0

0.5

1

t

Exponencial imaginaria

Re{

x(t)}

-2 0 2 4 6-1

-0.5

0

0.5

1

t

Exponencial imaginaria

Im{x

(t)}

Señales exponenciales (III)

Sinusoides reales y complejas

( )cos2

jx jxe ex−+

=

( )sen2

jx jxe exj

−−=

Exponencial compleja a=r+jωx(t)=A·e(rt+jωt+jβ)=A·ert·ej(ωt+β)

• Señal compleja• Modulación de una exponencial imaginaria por otra real• No periódica• Oscilaciones amortiguadas (r<0) o crecientes (r>0)

-2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

t

Exponencial compleja (r>0)

Re{

x(t)}

-2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

t

Exponencial compleja (r<0)

Re{

x(t)}

Señales exponenciales

Señal escalón:

• Causal• x(t)·u(t) es causal y coincide con x(t) para t>0

0, 0( )

1, 0si t

u tsi t

<⎧= ⎨ >⎩

Escalón unidad

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.5

0

0.5

1

1.5

t

u(t)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

t

x(t)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2

0

2

t

x(t)

u(t)

Aproximación uΔ(t) al escalón unitario continuo

Aproximación al escalón unidad

Relación entre el escalón y el impulso unidad (I)

0, 0( )

1, 0si t

u tsi t

<⎧= ⎨ >⎩

Señal escalón unidad: u(t)

-5 0 5-1

0

1

2

Señal impulso unidad: δ(t)(o Delta de Dirac)

-5 0 5-1

0

1

2

( )( ) du ttdt

δ =

-5 0 5-1

0

1

2

-5 0 5-1

0

1

2

Δ

1/Δ

Relación entre el escalón y el impulso unidad (II)

Δ

Derivada

Aproximación δΔ(t) al impulso unitario continuo

Aproximación al impulso unidad

Señal impulso unidad o delta:

0, 0( ) ( )

1, 0t si t

d u tsi t

δ τ τ−∞

<⎧= = ⎨ >⎩

∫

0( ) lim ( )t tδ δΔΔ→

=

0,( ) ,

0,

si t 0t 1/ si 0 t 1/

si t 1/δΔ

<⎧⎪= Δ < < Δ⎨⎪ > Δ⎩

Significado:

• Función auxiliar δΔ(t)• El área encerrada es 1• Su integral desde −∞ hasta tes cero si t<0 ó 1 si t>1

0 t

δ(t)

0 t0 t

δ(t-t0)

Impulso unidad

0 Δ t

1/Δ

δΔ(t)

0 Δ’ t

1/Δ’δΔ’(t)

)0()()()()(

)()()()()()0()()(

)()(

0)()(

1)()(

000

0

xdxdx

tttxtttxtxttx

tudt

dd

dd

∫∫

∫∫∫∫∫

∞

∞−−

∞

∞−

∞−

∞

∞−−

==

−=−=

=−

==

==

ττδτττδτ

δδδδ

ττδ

ττδττδ

ττδττδ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

Propiedades de la función δ(t)

Propiedades impulso unidad

Escalón unidad discreto

Señal escalón:

• Causal• x[n]·u[n] es causal y coincide con x[n] para n≥0

0,[ ]

1 0 si n 0

u n, si n

<⎧= ⎨ ≥⎩

-5 0 5 100

0.5

1

n

u[n]

-5 0 5 100

0.5

1

n

u[n-

3]

Señal impulso unidad: [ ] 1,0

si n 0n

, si n 0δ

=⎧= ⎨ ≠⎩

-5 0 5 100

0.5

1

n

δ[n-4]

-5 0 5 100

0.5

1

n

δ[n]

(o Delta de Kronecker)No presenta ninguna dificultad en su definición ni en su representación

Impulso unidad discreto

]0[][][][][

][][][][][]0[][][

)0( 0][][

1][][][

]1[][][

][][][

000

0

0

xnnxnnx

nnnxnnnxnxnnx

Nnn

nnnn

nunun

nuknk

N

N

N

N

N

N

k

n

k

==

−=−=

>==

=−==

−−=

=−=

∑∑

∑∑

∑∑∑

∑∑

∞

∞−−

∞−

∞−

∞

∞−

∞

∞−−

∞

=−∞=

δδ

δδδδ

δδ

δδδ

δ

δδ

Propiedades de la función δ[n]

Propiedades impulso unidad

3.2.c) Señales exponenciales complejas de tiempo discreto:x[n]=A·αn ; A, α=eβ y β son números complejos

Se puede distinguir entre: i) Secuencia exponencial real: A y α son realesii) Secuencias sinusoidales |α|=1 (α=ejΩ )iii) Secuencias con oscilaciones de amplitud variable |α|≠1, Im{α}≠0

3.2.c.i) Secuencia exponencial real (A=1 por simplicidad):

-10 0 10 20 30-5

0

5

n

x([n

]

—— α=−1.05—— α=−0.90

-10 0 10 20 300

1

2

3

4

5

n

x([n

]

—— α=1.05—— α=0.90

Exponencial discreta

Secuencia sinusoidal |α|=1 (α=ejΩ, A=1 por simplicidad):x[n]=ejΩn

• Señal compleja (Im{x[n]}≠0)• Periodicidad:

x[n+N]=e[jΩ(n+N)]=ejΩn·ejΩN ⇒x[n+N]=x(n), ∀n ⇔ ejΩN=1 ⇔ ΩN=2mπPeriódica ⇔ Ω·N=2mπArmónicos: φk[n]=ejkΩn; sólo N diferentes

• No causal

-10 0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1

n

-10 0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1

n

Re{

x[n]

}Im

{x[n

]}

Para Ω =0.4 ≠ 2mπ/N

Sinusoidal discreta

Ejemplo de periodicidad discreta (I)

Ejemplo de periodicidad discreta (II)

54 5 5[ ] cos( ) · ( )

4 4j n

x n e n j sen nπ π π

= = +

54 5 5[ ] cos( ) ·sen( )

4 4j n

x n e n j nπ π π

= = +

2 2 8, 554

N N N mm m

π ππ= → = → = =

Ω

Ejemplo de periodicidad discreta (III)

2[ ] cos(2 ) · (2 )j nx n e n j sen nπ π π= = +

2[ ] cos(2 ) ·sen(2 )j nx n e n j nπ π π= = +

2 2 1, 12

N N N mm m

π ππ

= → = → = =Ω

-10 0 10 20 30 400

0.5

1

n

Ω/π=0

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=1/16

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=1/8

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=1/4

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=1/2

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=3/4

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=7/8

-10 0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1

n

Ω/2π=15/16

-10 0 10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

Ω=2π

Secuencia exponencial α=|α|ejΩ, A=|A|·ejθ

x[n]=A·αn=|A||α|n e(jΩn+jθ)

• Señal compleja (Im{x[n]}≠0)• Oscilaciones que crecen si |α|>1 o se amortiguan si |α|<1• No periódica• No causal

-10 0 10 20 30 40-2

-1

0

1

2

n

-10 0 10 20 30 40-2

-1

0

1

2

n

Im{x

[n]}

Re{

x[n]

}

-10 0 10 20 30 40-6

-4

-2

0

2

4

n

-10 0 10 20 30 40-6

-4

-2

0

2

4

n

Re{

x[n]

}Im

{x[n

]}

Exponencial compleja discreta

Tiempo continuo:• Si ω0 crece, la frecuencia

aumenta• Si ω0 decrece, la frecuencia

decrece• Si ω0≠ω’0⇒ las señales

son diferentes

• es siempre periódica

• Periodo fundamental T0=2π/|ω0|

• Frecuencia fundamental f0= |ω0|/2π• Pulsación fundamental |ω0|

• Infinitos armónicos diferentes

Tiempo discreto:• Si Ω0 crece, la frecuencia

NO siempre aumenta• Si Ωo decrece, la frecuencia

NO siempre disminuye• Si Ω0=Ω’0+2kπ ⇒

las señales son iguales:

• es periódica ⇔ Ω0=2mπ/N

• Si es periódica ⇒Periodo fundamental N0=N si N y m son primos entre síFrecuencia fundamental f0= 1/Ν0Pulsación fundamental 2πf0=2π/N0Sólo N0 armónicos diferentes

Comparación sinusoidales de tiempo continuo y discreto

0j te ω 0j ne Ω

0j te ω

( )'0 0

2j k n j ne eπΩ + Ω=0j ne Ω

3.3. Energía y potencia de una señal

EnergíaIntegral del módulo al cuadrado de la amplitud

PotenciaEnergía por unidad de tiempo

Una señal con energía finita es una señal definida en energía

Una señal con energía infinita y potencia finita es una señal definida en potencia

( ) 2xxE t dt

∞

−∞

= ∫

Energía de una señal continua x(t):

Energía de una señal discreta x[n]:

[ ] 2xx

n

E n∞

=−∞

= ∑

Energía

Potencia

( ) 21 xx TP t dt

T= ∫ [ ] 21 xx

n NP n

N =

= ∑

( )2

2

2

1lim x

T

x TT

P t dtT→∞

−

= ∫ [ ]1 21lim x

2

N

x N n NP n

N

−

→∞=−

= ∑

Periódica

No Periódica

Continua Discreta

Cuando la energía es infinita es más conveniente definir la potencia de la señal

DiscretoContinuo

1. Señales:• Tiempo continuo• Tiempo discreto

2.1. Transformaciones:• Desplazamiento: x1(t)=x(t−t0); t0 real

x1[n]=x[n−n0]; n0 entero• Reflexión: x1(t)=x(− t)

x1[n]=x[− n]• Cambio de escala: x1(t)=x(a·t)

x1[n]=x[a·n]

2.2. Propiedades de la señal:• Simetría: Par: x(t)=x(−t); x[n]=x[−n]

Impar: x(t)= −x(−t); x[n]=−x[−n]• Periódica: ∃ T∈ ℜ+ t.q. x(t+T)=x(t), ∀t

∃ N∈ Ζ+ t.q. x[n+N]=x[n], ∀n•Causal: x(t)=0, ∀t<0; x[n]=0, ∀n<0

3. Señales básicas 3.1. Tiempo continuo:

e(jωt), A·e(at+jbt), u(t), δ(t)3.2. Tiempo discreto:

u[n], δ[n], A·an, e(jΩn)

3.3 Energía y potencia de una señal:

Síntesis

( ) 2xxE t dt

∞

−∞

= ∫

( ) 21 xx TP t dt

T= ∫ [ ] 21 xx

n N

P nN =

= ∑

( )2

2

2

1lim x

T

x TT

P t dtT→∞

−

= ∫ [ ]1 21lim x

2

N

x N n NP n

N

−

→∞=−

= ∑

[ ] 2xx

n

E n∞

=−∞

= ∑