VECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 BSemestre 99-00 B
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
O
Eje X
Eje Y
Eje Z
Sistema de coordenadas de la mano derecha
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
Eje Y
Eje X
Eje Z
u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u
u
ab
Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así:
c
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
Eje Y
Eje X
Eje Zu=(a,b,c)
u
ab
c
Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector u así:
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioPunto P en el espacio
(a,b,c)3
Vector u=OPdesde el origen hasta P
Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas
rectangulares
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioSean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y un número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3)
producto por un escalar u como
u=(au1, au2, au3).
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioLa magnitud o norma de un vector u=(u1,u2,u3) es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras.
23
22
21 uuuu
Un vector de norma 1 se llama vector unitario
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1)
Ejemplo Nº1
b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioSolución Nº1
3144u
por lo tanto
(2,-2,-1) es el vector buscado
34
uu4
a)
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espaciob) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X.
Eje YEje X
Eje Z
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioPor lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario.
u=(a,b,c) unitario
Eje X
Eje Y
Eje Z
ua= cos
b= cos c= cos
cos2+cos2+cos2 =1
, , son los ángulos directores
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como:
u.v=u1v1+u2v2+u3v3
Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2
Producto escalar
Eje X
Eje Y
Eje Z
/2
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
Interpretación geométrica:
Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u
v
u
Proyvu= vv
v.u2
ucos
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioTeorema:
v
u
Proyvu
Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que
es un vector ortogonal a vvv
v.uvu
2w=
w=u-proyvu
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioPrueba del Teorema:
Por lo tanto wv
0vv
v.uv.u
v.vv
v.uv.uv.v
v
v.uu
22
22
w.v=
w.v=
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3).
Ejercicio Nº2
c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)
b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w.
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3.
Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho
Producto vectorial
Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacio
ixi=0 jxj=0 kxk=0
ixj=k jxi=-k kxi=j ixk=-j jxk=i kxj=-i
Producto vectorial
u= ai+bj+ck
v= xi+yj+zk
uxv(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioProducto vectorialUna regla nemotécnica para recordar la
definición de producto vectorial es escribir uxv como el “determinante”:
y calcular el mismo por cofactores de la primera fila
321
321
vvv
uuu
kji
uxv=
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioProducto vectorialTeorema:
Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces
Prueba:
senvuuxv
2222)v.u(vuuxv
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioProducto vectorial
Teorema: Sean u,v,w vectores en 3 y un número real, entonces: ux0 = 0xu = 0 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) (u)xv = (uxv) = ux( v) ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir , uuxv, vuxv uxv = 0 si y solo si u||v. (uxv).w = u.(vxw) (producto triple)Prueba: Use MATLAB
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioInterpretación geométrica del producto cruz
Area del paralelogramo generado por los vectores u y
v = uxv
Eje Z
Eje YEje X
usen u
v
Area= v usen
uxv
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioInterpretación geométrica del producto cruz
Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)|
Eje Z
Eje YEje X u
v
wArea de la base
uxv
Volumen |uxv|Proyuxvw
Alg
eb
ra l
ineal Vectores en el
espacioSolución Nº2
)3,1,2(14
2)3,1,2(
914)3,1,2).(1,3,2(
vv
v.u2
Proyvu=
73
,71
,72
Proyvu=
u.v=0, v.w=0, de donde uv y v w (forman un ángulo
de /2).u.w=3,
, por lo tanto u.w= wu3w 1u
de donde uw y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección
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