F U NCIONES E LE M ENTALES
NOMBRE Y APELLIDOS: Álvaro Peña
PUNT U ACIONES:
EJERCICIO 1 :
EJERCICIO 2 :
EJERCICIO 3 :
EJERCICIO 4 :
EJERCICIO 5 :
FINAL:
EJERCICIO 1 : (1 Punto/Apartado) Calcula el dominio de las siguientes funciones:
1) f ( x )=log ( 1−x2
x )El valor de
1−x2
xdebeser mayor que 0 , yaqueestá dentro deun logarítmo .
(−∞ ,−1 ) −1 (−1,0 ) 0 (0,1 ) 1 (1 ,∞ )+ 0 - ¿? + 0 -Sí No No No Sí No No
Dom ( f (x))=(−∞ ,−1 )∪ (0,1 ).
2) f ( x )=log (x2+2x+1 )
El valor de x2+2 x+1debe ser mayorque 0 , ya queestá dentro deun logarítmo .(−∞ ,−1 ) −1 (−1 ,∞ )
+ 0 +Sí No Sí
Dom ( f (x))=(−∞ ,−1 )∪ (−1 ,∞).
3) f ( x )= 3√ x+1
ex2−x−6−1Elúnico requisitoque debecumplir esta funciónes queel deominador no sea0.El denominador se hace0cuando : ex2− x−6=1=e0→x2−x−6=0→x=3 ,−2
Dom ( f (x))=R−{3 ,−2 }.
Álvaro Peña -1- 1ºBachillerato
4) f ( x )= 3√ x−2x3−1
Elúnico requisitoque debecumplir esta funciónes queel deominador no sea0.El denominador se hace0cuando : x3=1→x=1Dom ( f (x))=R−{1}
5) f ( x )=√−x2+3x−2
x2+1
El valor de−x2+3 x−2
x2+1debe ser mayor o igual que 0 , yaqueestá dentro deunaraiz cuadrada .
(−∞ ,1 ) 1 (1,2 ) 2 (2 ,∞ )- 0 + 0 -
No Sí Sí Sí No
Dom ( f (x))=[1,2].
6) f ( x )=√ 1−xx2+3 x
El valor de1−x
x2+3 xdebe sermayor o igualque0 , yaque está dentrodeunaraiz cuadrada.
(−∞ ,−3 ) −3 (−3,0 ) 0 (0,1 ) 1 (1 ,∞ )+ ¿? - ¿? + 0 -Sí No No No Sí Sí No
Dom ( f (x))=(−∞ ,−3 )∪(0,1].
Álvaro Peña -2- 1ºBachillerato
EJERCICIO 2 : (1.5 Puntos/Apartado) Define y representa las siguientes funciones:
1) f ( x )=|−2x2+8 x−6|
Cuando x∈ (−∞,1 )∪ (3 ,∞ ) , la función es 2x2−8x+6 .Cuando x∈ [1,3 ] , la función es −2 x2+8x−6 .
2) f ( x )=2|x+1|−|3−x|
Cuando x∈ (−∞,−1 ) , la función es −2x−2−3+x=−x−5.Cuando x∈[−1,3] , la función es 2 x+2−3+x=3x−1 .Cuando x∈ (3 ,∞ ) , la función es 2 x+2+3−x=x+5 .
Álvaro Peña -3- 1ºBachillerato
3) f ( x )=|2 x+3|x+3
Cuando x∈ (−∞,−1.5 ) , la función es −2 x−3x+3
.
Cuando x∈¿ , la función es 2x+3x+3
.
Álvaro Peña -4- 1ºBachillerato
EJERCICIO 3 : (0.75 Puntos/Apartado) Se consideran las funciones:
f ( x )=√x2+1 y g ( x )= xx−2
Halla:
a) ( f og)(x )
( f og ) ( x )=f (g ( x ) )=f ( xx−2 )=√( x
x−2 )2
+1=√ x2
x2−4 x+4+1=√2+ 4 x−4
x2−4 x+4
b) (go f )(x )
(go f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g (√ x2+1 )= √ x2+1
√x2+1+2=1−
2
√ x2+1+2=1−
2 (√ x2+1−2 )x2+1−4
c) f−1(x)
f−1 (x )→x=√ y2+1→x2= y2+1→ y2=x2−1→ y=√ x2−1=f−1 ( x )
d) g−1(x )
Álvaro Peña -5- 1ºBachillerato
g−1 ( x )→x= yy−2
→ y−2= yx→1− 2
y=1
x→
2y= x−1
x→ y= 2 x
x−1=2+ 2
x−1=g−1 ( x )EJERCICIO 4 :
(1 Punto/Apartado) Representa las siguientes funciones y realiza su estudio:
1) f ( x )=−( x+2 )2+1
1. Tipo de función:
Función algebraica cuadrática.
2. Dominio:
Dom ( f (x))=R−{3}
3. Puntos de corte con los ejes:
Eje x:x2+4 x+3=0→x=1 y 3La función corta al eje x en los puntos (-1,0) y (-3,0).
Eje y:y=−22+1=−3La función corta al eje y en el punto (0 ,−3 ).
4. Asíntotas:
No tiene.
5. Continuidad:
La función es continua en todo su dominio.
6. Periodicidad:
No tiene.
7. Simetría:
No tiene simetría ni par ni impar. Es simétrica con respecto a x=-2.
8. Monotonía. Extremos relativos:
Cuando x∈ (−∞,−2 ) , la función es creciente ( ).↗Cuando x∈(−2 ,∞) , la función es decreciente ( ).↘Máximo relativo en (-2,1).No tiene mínimos relativos.
9. Curvatura. Puntos de inflexión:
Para todo el dom inio, la función es cóncava (∩).No tiene puntos de inflexión.
Álvaro Peña -6- 1ºBachillerato
10. Recorrido:
ℑ ( f (x ))=(−∞ ,1).
Álvaro Peña -7- 1ºBachillerato
Álvaro Peña -8- 1ºBachillerato
2) f ( x )= 4−2xx−3
1. Tipo de fu nción :
Función algebraica racional de proporcionalidad inversa.
2. Domini o :
Dom ( f (x))=R−{3}
3. Puntos de corte con los eje s :
Eje x:4−2 x=0→x=2La función corta al eje x en el punto (2,0).
Eje y:
y= 4−3
=−43
La función corta al eje y en el punto (0 ,−43 ).
4. Asíntota s :
Asíntota vertical: x=3. Asíntota horizontal: y=-2
5. Contin u id a d :
Continua ∀ x∈R−{3}
6. Periodicidad :
No es periódica.
7. Simetría :
Con respecto al punto (3,-2).
8. M o not on ía. Extremos r e lativos :
La función es creciente en todo su dominio.No tiene ni máximos ni mínimos relativos.
9. Curvatura. Puntos de in f lexión :
Cuando x∈ (−∞,3 ) , la función es convexa (∪ ).Cuando x∈ (3 ,∞ ) , la función es cóncava (∩ ).No tiene puntos de inflexión.
10. Recorrid o :
Álvaro Peña -9- 1ºBachillerato
ℑ ( f (x ))=R−{−2 }
Álvaro Peña -10- 1ºBachillerato
3) f ( x )=( 32 )
x−1
+2
1. Tipo de fu nción :
Función trascendental exponencial
2. Domini o :
Dom ( f (x))=R
3. Puntos de corte con los eje s :
Eje x:
−2=( 32 )
x−1
La función no corta al eje x.Eje y:
y=23+2=8
3
La función corta al eje y en el punto (0 , 83 ).
4. Asíntota s :
Asíntota horizontal: y=2.Asíntota vertical: no tiene.
5. Contin u id a d :
Continua ∀ x∈R
6. Periodicidad :
No tiene.
7. Simetría :
No tiene.
8. M o not on ía. Extremos r e lativos :
La función es creciente (↗) para todos los valores reales de x.No tiene ni máximos ni mínimos.
9. Curvatura. Puntos de in f lexión :
La función es convexa (U) en todo su dominio.No tiene puntos de inflexión.
10. Recorrid o :
Álvaro Peña -11- 1ºBachillerato
ℑ ( f (x ))=(2 ,∞)
Álvaro Peña -12- 1ºBachillerato
4) f ( x )=log 12
( x+1 )−3
1. Tipo de fu nción :
Función trascendental logarítmica.
2. Domini o :
Dom ( f (x))=(−1 ,∞)
3. Puntos de corte con los eje s :
Eje x:
3=log 12
(x+1 )→x=18−1=−7
8
La función corta al eje x en el punto (−78
,0)Eje y:
y=log 12
(1 )−3→ y=−3
La función corta al eje y en el punto (0 ,−3 ).
4. Asíntota s :
x=−1
5. Contin u id a d :
La función es continua para todo el dominio de f (x).
6. Periodicidad :
No tiene.
7. Simetría :
No tiene.
8. M o not on ía. Extremos r e lativos :
La función es decreciente (↘) para todos el dominio de la función.No tiene ni máximos ni mínimos.
9. Curvatura. Puntos de in f lexión :
La función es convexa en todo su dominio.No tiene puntos de inflexión.
9. Recorrid o :
ℑ ( f (x ))=R
Álvaro Peña -13- 1ºBachillerato
Álvaro Peña -14- 1ºBachillerato
5) f ( x )=2sin (2 x−π )−1
1. Tipo de fu nción :
Función trigonométrica: Seno
2. Domini o :
Dom ( f (x))=R
3. Puntos de corte con los eje s :
Eje x:
1=2sin (2 x−π )→ 12=sin (∝)→α=¿ π
6y
5π6
¿
Si∝=π6; x=7π
12+π ×k ;(k∈Z)
La función corta al eje x en el punto ( 7π12
+π ×k ,0)Eje y:y=2sin (π )−1→ y=−1La función corta al eje y en el punto (0 ,−1 ).
4. Asíntota s :
No tiene.
5. Contin u id a d :
Continua ∀ x∈R
6. Periodicidad :
Es una función periódica de periodo π .
7. Simetría :
No tiene.
8. M o not on ía. Extremos r e lativos :
Creciente: x=(3 π12
+π ×k ,9 π12
+π ×k ), donde k∈Z
Decreciente: x=(−3 π12
+π ×k ,3 π12
+π ×k ), donde k∈Z
Máximos: ( 9 π12
+π ×k ,1) , dondek∈Z
Mínimos: ( 3π12
+π ×k ,−3), donde k∈Z
Álvaro Peña -15- 1ºBachillerato
9. Curvatura. Puntos de in f lexión :
La función es cóncava (∩) cuando: x=( π2 +π×k ,π+π ×k ), donde k∈Z
La función es convexa (U) cuando: x=(π ×k ,π2
+π ×k ) ,donde k∈Z
Puntos de inflexión: ( π2 ×k ,−1), donde k∈Z
10. Recorrid o :
ℑ ( f (x ))=[−3,1 ]
Álvaro Peña -16- 1ºBachillerato
EJERCICIO 5 : (2 Puntos/Apartado) Representa las siguientes funciones definidas a trozos justificando tus respuestas:
1) f ( x )={ 3
|( x−2 )2−1|2x−3
si x ≤0
si0<x ≤4si x>4 }
Álvaro Peña -17- 1ºBachillerato
2) f ( x )={ 1+2x−2
−x+6−( x−7 )2+1
si x≤3
si3<x ≤6si x>6 }
Álvaro Peña -18- 1ºBachillerato
3) f ( x )={ 3x+1x+1
1+ log 12
( x+1 )
x+3
si x←1
si−1<x≤3si x>3 }
Álvaro Peña -19- 1ºBachillerato
4) f ( x )={ −( x+1 )2+32 x−4x−3
log2 ( x−3 )+2
si x<0
si0≤ x<5si x≥5 }
Álvaro Peña -20- 1ºBachillerato
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