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8/13/2019 Termodinamica-ejercicios Resueltos y Teoria

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Calor y Termodinmica Hugo Medina Guzmn

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CAPTULO 5. Termodinmica

INTRODUCCION.Sistemas TermodinmicosVariables termodinmicas macroscpicas.Consideremos un gas encerrado en un tubocilndrico cerrado a uno de sus extremos y provistode una tapa deslizante (pistn) en el otro. Como semuestra en la figura.

El sistema descrito ocupa determinado volumen elcul puede conocerse en determinado momento porla posicin del pistn, otra cantidad indispensable para la descripcin del sistema es lapresin del gasen el cilindro, que tambin se puede conocer,mediante un manmetro. Finalmente, para tener unaidea completa de lo que sucede en el cilindro hayque conocer la temperatura, la cual puede medirseen forma simple al igual que las otras doscantidades. Estas cantidades obtenidas por medicindirecta, que describen al sistema, nos proporcionarnlo que se conoce como laDescripcin microscpica del sistema.

Otro punto de vista de describir el sistema esasumiendo que el gas esta formado por un grannmero de partculas, molculas o tomos, todos deigual masa y cada uno movindose con unavelocidad independiente de las otras es imposibleaplicar las leyes de Newton del movimiento a cadamolcula por separado e incluso tabular lascoordenadas de cada molcula, en este caso esnecesario usar mtodos estadsticos las cantidadesque lo especifican no estn directamente asociadas,con nuestro sentido de percepcin, esta descripcines conocida comoDescripcin microscpica delSistema. La descripcin macroscpica o sea las propiedadesapreciadas por nuestros sentidos son el punto de partida para todas las investigaciones y aplicaciones prcticas. Por ejemplo, en la mecnica do un cuerporgido, considerando los aspectos, externos,especificamos su centro de masa con referencia a uneje de coordenadas en un tiempo particular.La posicin y e1 tiempo y la combinacin de ambos,tal como la. Velocidad, constituyen algunas de lascantidades macroscpicas usadas en mecnica y sonllamadas coordenadas mecnicas y estas sirven paradeterminar la energa potencial y cintica del cuerporgido. Estos dos tipos de energa, constituyen laenerga mecnica o externa del cuerpo rgido. El propsito de la mecnica es encontrar relacionesentre las coordenadas de posicin y el tiempo

consistentes con las leyes de Newton delmovimiento.En la termodinmica la atencin se dirige al exteriordel sistema. Se determinan experimentalmente: lascantidades macroscpicas que son necesarias ysuficientes para describir el estado interno delsistema, estas son llamadas coordenadastermodinmicas.El propsito de la termodinmica es encontrar lasrelaciones entre las coordenadas termodinmicasconsistentes con las leyes fundamentales de latermodinmica.Finalmente, puntualizaremos que dentro de la fsica,las leyes que relacionan las cantidadesmacroscpicas, se denomina termodinmica clsica

o simplemente termodinmica y, las frmulasmatemticas que relacionan las cantidadesmicroscpicas, constituyen la Mecnica Estadstica,o Teora atmica del calor, o bien, cuando se usantcnicas simples estadstico-matemticas se le llamateora cintica.

LEY CERO DE LA TERMODINMICA YEQUILIBRIO TRMICO.Supongamos que tenemos dos sistemas A y B,separados cada uno y definidos por las coordenadas(presin y temperatura) p, T y p , Trespectivamente.

El estado de un sistema en el cual las velocidadesmacroscpicas tienen valores que permanecenconstantes mientras que las condiciones externas nose cambien, se conoce como estado de equilibriotrmico.

Equilibrio trmico. Los experimentos demuestranque la existencia de un estado de equilibrio dependede la proximidad de otros sistemas y de la naturalezade la pared que los separa. Si cuando un sistemaest en un estado de equilibrio y este no cambia concualquier cambio en el ambiente, el sistema se diceque est Aislado o rodeado por una pared Pared

Adiabtica. Cuando las variables macroscpicas dedos sistemas que se encuentran conectadas por una pared diatrmica no varan, se dice que seencuentran equilibrios trmicos entre ellas.Imaginemos a los sistemas A y B separados encontacto, o separados por una pared diatrmica, conun sistema C.


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El sistema A estar en equilibrio con el sistema C yel sistema B tambin estar en equilibrio con elsistema C, luego los sistemas A y B estarn enequilibrio trmico uno con el otro.Esto se conoce como laLey cero de latermodinmica,

"Si dos sistemas se encuentran en equilibrio trmicocon un tercer sistema, los dos sistemas se encuentranen equilibrio entre s".Esta ley est de acuerdo a nuestra experiencia diariade nuestros sentidos, es sencilla pero no obvia, es unhecho que sucede pero podra no haber sido as. Nosexpresa la idea fundamental de temperatura. Cuandodecimos que las variables macrosc6picas no varan,nos hace falta definir una propiedad que asegureesto.Esta propiedad la llamaremosTemperatura.

Nosotros queremos asignar un nmero de cadaestado de equilibrio de un sistema que tenga la

propiedad que dos sistemas con el mismo nmeroestn en equilibrio trmico entre ellos."La temperatura de un sistema es una propiedad quedetermina si un sistema est en equilibrio o no conotros sistemas".

TEMPERATURA Y ESCALASLa temperatura se determina por la medicin dealguna cantidad mecnica, elctrica u ptica cuyovalor se correlaciona con la temperatura.Generalmente la temperatura de una sustancia, sinoen el termmetro el cual, se pone en contacto ntimocon la instancia y adquiere la misma temperatura.

Se llama TERMOMETRO, a un aparato que permitemedir la temperatura por medio de su propiedadtermomtrica o variable macroscpica que essensible al estado trmico de la sustancia. Los principales termmetros y sus propiedadestermomtricas se muestran en la tabla.

TERMOMETRO PROPIEDADTERMOMETRICA

Gas a volumen constanteGas a presin constanteResistencia elctricaTermocuplaColumna lquida en un tubocapilar

PresinVolumenResistencia elctricaFuerza electromotrizLongitud

Construyamos una escala de temperatura, para estotomemos como termmetro una columna lquida demercurio en un tubo capilar de vidrio, observamosque la columna de mercurio aumentar cuandoaumenta la temperatura, como la compresibilidad delmercurio es tan pequea podemos considerar comosi fuera a presin constante. La relacin ms simpleentre temperatura y longitud de la columna que podemos elegir, es una relacin lineal de y.

( ) bayt y +=

Donde las constantesa y b se evalan de acuerdo aun conjunto definido de reglas. Asignemos nmerosarbitrarios a dos puntos fijos.

Escala Celsius o centgrada.En la escala Celsius o centgrada uno de ellos el

punto de congelacin del agua, es decir el punto enque el agua y el hielo estn en equilibrio a la presinatmosfrica, a esta temperatura le damos el valorcero grados Celsius o grados centgrados (0C).

C0oc bayt =+= El otro punto, el de ebullicin del agua a presinatmosfrica, a este le llamamos Cien grados(100C).

C100oe bayt =+= Al resolver las dos ecuaciones simultneamenteencontramos los valores dea y b.

ce

o

y ya = C100 y cce

o

y y yb = C100 Sustituyendo la expresin original

( )( )ce

co

y y y y

t = C100

Para un termmetro a gas a Volumen Constante laexpresin sera

( )( )ce

co

p p p p

t = C100

y para un termmetro a gas a presin constante laexpresin sera

( )( )ce

co

V V V V

t = C100

El termmetro a gas a volumen constante consiste enun baln B1 lleno de gas (hidrgeno por ejemplo)ligado a un tubo en forma de U lleno de mercurio, elvolumen de gas en el baln se mantiene constantesubiendo o bajando B3 hasta que el mercurio en B2 se encuentra en la marca cero.

La presin p que equilibra la presin del gas esh p += cm76

La experiencia muestra que la dependencia de la presin con relacin a la temperatura es lineal conesto se obtiene la escala de un termmetrocolocando el baln en un bao de hielo en fusin,marcando pc y despus repitiendo la operacin convapor de agua, marcando pe.


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3

La distancia entre esos dos puntos se toma, porconvencin igual a 100.Medidas usando el gas hidrgeno como sustanciatermomtrica muestra que

366,1=c

e

p

p

o sea que la relacin con la temperatura, sera:

( )

=

= 11366,1

100

1

1100

c

o

c

e

co

p pC

p p

p p

C t

C115,273 oc p

pt

=

En esta expresin se ve que cuando la temperatura es

-273.15 la presin es Cero. Como no es posible parala presin tomar valores menores que cero, a estevalor de la temperatura se le torna como origen deuna nueva escala de temperatura, escalaABSOLUTA de Temperaturas en grados KELVIN.

C15,273)C()K ( oot T += En realidad para calibrar el termmetro, no se tomacomo referencia el punto de fusin del hielo, sinoque se especifica corno "punto fijo patrn alllamado "Punto triple de agua", nico punto en elque coexisten en equilibrio hielo, lquido y vapor deagua, dndose solamente a la presin de 4,58 mmHg.Obtenindose:t = 0,01 CT = 273,16 K

K 16,273c p

pT =

El termmetro de gas a volumen constante se tomacomo standard porque es el que experimentalmentemas nos conviene, pues es el que nos da lasvariaciones ms pequeas y tambin porque cuandoel termmetro contiene gas a baja presin, ladiferencia de lectura en temperatura usandodiferentes gases es reducida.

Ejemplo 1.Cuando el bulbo de un termmetro degas a volumen constante se coloca en un recipientecon agua a 100oC, la presin del gas es 227 mm deHg. Cuando el bulbo se mueve a una mezcla de hielo- sal la presin del gas cae a 162 mm de Hg.Asumiendo el comportamiento ideal, como en lafigura, cul es la temperatura Celsius de la mezclade hielo sal?

Solucin.Considerando el comportamiento del termmetrocon la linealidad mostrada en la figura.Para la presin del gas es 227 mm de Hgcorresponde una temperatura 100 + 273,5 =373,15 KPara la presin 162 mm de Hg corresponde

162227

15,373= x = 266,30 K o -6,85C

Ejemplo 2. En un lugar en que la presin

atmosfrica es 760 mm de mercurio introducimos untermmetro centgrado en hielo fundente y luego envapor de agua hirviendo. El termmetro, malgraduado, marca 2 para el primero y 102,5 para elsegundoa) Qu frmula de reduccin deberemos emplear

para calcular la temperatura real en todos loscasos? Si el termmetro marca 50,

b) cul es la verdadera temperatura?c) A qu temperatura sera correcta la lectura del

termmetro?Solucin.a) El cero de un termmetro correcto corresponde al

2 del mal graduado, y el 100 corresponde 102,5.El intervalo fundamental est, por tanto, divididoen: 102,5 - 2 = 100,5Llamando A a la temperatura marcada por elincorrecto yC a la del centgrado perfecto, lafrmula ser:

5,1002

100= AC

b)=

5,100250

100C

C76,475,10010048oC ==

c) Si la indicacin fuese correcta, se verificara:

2001005,1005,1002

100 == C C C C

C4005,0

200 oC ==

Lo cual es imposible, puesto que el cero absolutoes - 273,16 C, menor temperatura a la que puedeaproximar un sistema.

Ejemplo 3. Un termmetro centgrado mal graduadomarca 8 en el punto de fusin del hielo y 99 en elde ebullicin del agua, en un lugar en que la presin


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4

atmosfrica es 760 mm. Resolver para estetermmetro las preguntas del problema anterior.Solucin.1) El intervalo fundamental ser: 99 - 8 = 91Luego la frmula de reduccin es:

918

100

= AC

2)=

91850

100C

C C o15,4691

4200=

3) C C C C 10080091

918

100 ==

C9,889

800 oC ==

Otras escalas de temperatura.As como la escala Celsius (Centgrado) y su

correspondiente en la escala absoluta Kelvin, existenotras escalas en el sistema ingls.

La escala FAHRENHEIT, al cero de la escalaCelsius corresponde a 32 F y los 100Ccorresponden a 9 divisiones de F, la relacin deequilibrio es:

( ) F32C)(59F += t t

y

( ) ( ) F32F95C = t t

La escala absoluta correspondiente a la escalaFahrenheit es la escala RANKINE.

( ) )R (67,459F)R ( +=o

t T )K (

59)R ( T T =

Ejemplo 4.a) La temperatura de la superficie delSol es de unos 600 C. Exprsese esa temperatura enla escala Fahrenheit. b) Exprese la temperatura normal del cuerpohumano 98,6 F, en la escala Celsius.c) exprese la temperatura de pasteurizacin, 165 F,en la escala Celsius.d) Exprese el punto normal de ebullicin del

Oxgeno 183 C, en la escala Fahrenheit.Solucin.

a) Como ( )3295 = F C T T y

15,273= K C T T , igualando ambas expresiones,encontramos para la temperatura Fahrenheit:

( ) F33,1034037,25559

== K F T T .

b) ( ) C373295 == F C T T

c) ( ) .C89,733295 == F C T T

d) C4,2973259 =+= C F T T .

DILATACION TERMICA.Efectos frecuentes en los materiales al presentarse

cambios de temperatura, son variaciones en susdimensiones y cambios de estado. En primer lugarconsideraremos aqu, las variaciones de dimensionesque ocurren sin cambios de estado.Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta, este por lo general se dilata. Una excepcin es el aguaque se contrae entre 0C y 4C, este comportamientoes crtico en la manera como los lagos y los ocanos polares se congelan de la superficie hacia abajo, enlugar de hacerlo del fondo hacia la superficie, ya queel agua mas fra que 4C se eleva en lugar dehundirse y el agua a 0C est en la superficie enlugar de estar en el fondo. (La densidad del agua a4C es mxima, = 1 g/cm

3).

Expansin lineal.El cambio de una dimensin lineal de un slido talcomo el largo, el ancho, alto o una distancia entredos marcas se conoce como la expansin lineal.

Experimentalmente se encuentra, para un ampliorango de temperaturas, que el cambio de longitudes

l , es proporcional al cambio de temperaturat ya la longitudl , de tal manera que podemos escribir:

t = ll , donde es el coeficiente deexpansin lineal. Este coeficiente tiene diferentesvalores para los diferentes materiales y tiene porunidad l/grado.O bien,

t = l

l

Para encontrar la longitud final despus de un

cambio de temperatura t , escribimos dt d =l

l,

e integramos considerando la longitudl para t = t 1,y 'l para t = t 2, siendo t t t = 12


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5

= 21

' t

t dt

d

l

l l

l 2

1

'ln t t

t =ll

l

( )12'ln t t =

l

l t =

l

l 'ln

t

e

=

l

l '

t

e

=

ll ' Desarrollando t e en series de Taylor


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6

b) 16 C10242 == Como

)1(0 T A A += )10010241(10 6 += = 2cm024,10

Siendo16

10363

== C o

Obtenemos:

)1(0 T V V += )10010361(10010 6 += = 3cm6,1003

Ejemplo 6.Un herrero ha de colocar una llantacircular de 1 m de dimetro a una rueda de maderade igual dimetro. Con objeto de poder ajustarla,calienta la llanta hasta conseguir que su radio supereen 2 mm al de la rueda. Sabiendo que la temperaturaambiente es de 20 C y su coeficiente de dilatacinlineal es 12,2 x 10- 6C-1, calcular la temperatura engrados centgrados a que debe calentarse la llanta para cumplir las condiciones expuestas.Solucin.

)1( T += ll = )1(2 T r + )1( T d d +=

Luego

C3271102,12

1046

3o

d d d

T =

==

C34720 oT T =+=

Ejemplo 7.Un anillo de acero, de 75 mm dedimetro interior a 20 C, ha de ser calentado eintroducido en un eje de latn de 75,05 mm dedimetro a 20 C.a) A qu temperatura ha de calentarse el anillo? b) A qu temperatura tendramos que enfriar elconjunto para que el anillo saliera l solo del eje?(Coeficiente de dilatacin del acero: 12 x 10-6 C-1;coeficiente de dilatacin del latn: 20 x 10-6 C-1)Solucin.a) )1( T D D +=

)10121(7505,75 6 T +=

C55101275 7505,75 6oT = =

C755520 oT T T =+=+= b) Los dimetros a la temperatura que nos pidendebern ser iguales:

)1()1( T DT D l a +=+ D = dimetro del anillo a 20 C; D= dimetro del eje a 20 C;

a y l , coeficiente de dilatacin del acero y dellatn, respectivamente). Luego:

66 1012751020 =

D D DT

= C2,83 o C2,632,8320 ==+= T T T

Ejemplo 8. La varilla de un reloj de lenteja sincompensar, que bate segundos a 0 C, es de latn.

Averiguar cunto se retrasa el reloj en un da si seintroduce en un ambiente a 200 C. Coeficiente dedilatacin del latn: = 17 x 10-6 C-1. (Considerarel pndulo como simple, de longitud la misma que lavarilla.)Solucin.

A 0 el semiperodo (1 s) ser: g

01 l =

A 200: g

T )1(0 += l

Dividiendo:

200101711 6 +=+= T = s0034,1 =1,0017 s

Como un da dura 86400 segundos el pndulo dar

862530017,1

86400= semioscilaciones

El pndulo da en 1 da 86 400 - 86 253 = 147semioscilaciones menos que en su marcha correcta:El reloj se retrasar en 147 s = 2 min 27 s

Ejemplo 9.Una varilla de cobre de densidad

uniforme y de seccin constante oscila como un pndulo colgada de uno de sus extremos, con un periodo de 1,6 s cuando se encuentra a unadeterminada temperatura ambiente. Siendo elcoeficiente de dilatacin lineal del cobre19 x 10- 6 C-1 , determnese el incremento detemperatura que habra que darle al ambiente paraque el perodo aumente en 3 milsimas de s.Solucin.El perodo a la temperatura inicial T es:

2

31

222

l

l

Mg

M

Mgd

I ==

g 3

22 l

=

y a la temperatura T +T ser:

g T

T 3

)1(22 += l

dividiendo los dos:

+= )1( T T T

6

22

1019

16,1

603,11

=

= T T

T = 197C


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7

Ejemplo 10.La densidad del mercurio a 0C es13,6 g/cm3; su coeficiente de dilatacin, 182 x 10- 6 C-l. Calcular la densidad del mercurio a 100 C.Solucin.

1001018216,13

1 6+=

+=

T

= 13,36 g/cm3

Ejemplo 11.Una vasija de cinc (coeficiente dedilatacin lineal: 29 x 10-6 C-l) est llena demercurio a 100 C, teniendo entonces una capacidadde 10 l . Se enfra hasta 0C. Calcular la masa demercurio, medida a 0 C, que hay que aadir paraque la vasija quede completamente llena.Coeficiente de dilatacin del mercurio, 182 x 10-6C-l.Densidad del mercurio a 0 C, 13,6 g/cm3.Solucin.El volumen de la vasija a 0 quedar determinado por la ecuacin:

)1( T V V =

)1(

'T

V V

=

,

en la que: = 3 x 29 x10-6C-1 = 87 x10-6 C-1 3cm1000=V ( )1000 =T = - 100C

Por tanto:10010871

10006 +

= V = 991,38 cm3

El volumen del mercurio a 0 quedar determinado por la misma ecuacin en la que1610182 = C o Hg :

T V

V Hg

Hg +=

1=

1001018211000

6 + =

982,13 cm3

La diferencia es el volumen que queda por llenar:V - V Hg = 991,38 982,13 = 9,25 cm3

La masa del mercurio que hay que agregar es:

V M Hg = = 13,6 x 9,25 = 125,8 gEjemplo 12.Una vasija de Zn est llena demercurio a 0C, teniendo una capacidad de 5l .Calcular el volumen de mercurio que se derrama a100 C por efecto de la mayor dilatacin de esteltimo. (Tomar los datos necesarios del problemaanterior.)Solucin.

= 87 x10-6 C-1

Vasija: )1( T V V += = 5000(1 + 87x 10-6 x100) = 5043,5 cm3

El volumen del mercurio a 100 C es: Hg V = 5000 (1 + 182 x 10-6 x 100)

= 5091 cm3

El volumen del mercurio que se derrama 100 C es: Hg x V V V = = 5091 - 5043,5

= 47,5cm3

Ejemplo 13.Dos barras de longitudes L A, L B coeficientes de dilatacin lineal

A y

B

respectivamente se sujetan en un extremo, existiendoen el extremo libre una diferencia de longitud L.Qu relacin debe existir entre sus coeficientes dedilatacin lineal tal que dicha diferencia de longitudse mantenga constante cuando el conjunto se sometea una variacin de temperatura.Solucin.

Como constante= L A B A B L L L L '' = ,

( ) ( )T LT L L L A A B B A B ++= 11 De aqu: T LT L A A B B =

Finalmente: B

A

A

B

L L=

Ejemplo 14.Un tubo de acero, cuyo coeficiente deexpansin lineal es = 18 x 10-6, contiene mercurio,cuyo coeficiente de expansin de volumen es =

180 x 10-6

C-1

; el volumen de mercurio contenidoen el tubo es 10-5m3 a 0 C, se desea que la columnade mercurio permanezca constante para un rangonormal de temperaturas. Esto se logra insertando enla columna de mercurio una varilla de silicio, cuyocoeficiente de dilatacin es despreciable.Calcular el volumen de la varilla de silicio.

Solucin.A 0C, seaV o el volumen de la varilla de silicio yV el volumen de mercurio, a esta condicin tenemos

000 V V A +=l A una temperatura t la seccin Ao se incrementa a

Ao (1 +2 t ).Similarmente el volumen de mercurio cambia deV a V (1 + t ).

Como se requiere que ol permanezca constante, setiene

ol Ao (1 +2 t ) = (V + V o) (1 + 2 t)


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8

Por otro lado este volumen es:V (1 + t ) +V o igualando ambas expresiones(V + V o) (1 + 2 t ) = V (1 + t ) +V o

V o (1 + 2 t -1) = V (1 + t - 2 t )

2

)2-V( 2

)2-(0

==

t t V

V

V x

V 4103636)10-(180 6

-6

== = 4 x 10-5m3

La varilla de silicio ocupa los 4/5 del volumen totala 0C.

Ejemplo 15.Una barra de acero, C ACERO /1011

6= ,tiene un dimetro de 3 cm a la temperatura de 25 C.Un anillo de bronce, C BRONCE /10,17

6= ,

tiene un dimetro interior de 2,992 cm a la mismatemperatura. A qu temperatura comn entrar justamente el anillo en la varilla? Solucin.Puesto que los dimetros son cantidades lineales,stas se dilatarn con la temperatura. Como latemperatura inicial es de 25 C y la finalT dondelos dimetros deben coincidir, se tiene:

( )[ ]2510 += T d d ACERO A A [ ])25(10 += T d d BRONCE B B

DespejandoT , encontramos:

( ) ( )( ) A A B B B B A A

d d d d

T

0000

125251

+= = 472,83 C.

Ejemplo 16.Un vaso de vidrio de 75 cm3 se llenacompletamente de mercurio a la temperaturaambiente de 25 C. A la temperatura de 20 C, Culser el volumen de mercurio derramado?

Hg = 18,21 x 10-5 / C,

V = 9,6 x 10-6 / C .

Solucin.

El volumen derramado DV corresponde a ladiferencia entre el volumen de mercurio Hg V menos

el volumen del vaso V V , es decir:

V Hg D V V V = ( )T V T V V Hg ++= 311 00

V Hg T V 30 = =( )( )( ) 51088,221,18575 = - 0,058 cm3

Se derraman 0,058 cm3 de mercurio

Ejemplo 17.En el centro de un disco de acero hayun orificio de dimetro

d = 4,99 mm (a 0 C). Hasta que temperatura hayque calentar al disco para que por el orificio empiecea pasar una bola de dimetro D = 5,00 mm? Elcoeficiente de dilatacin lineal del acero es = 1,1 x10-5 K -1.Solucin.

( ) DT d =+ 1 , reemplazando valores:( ) 00,5101,1199,4 5 =+ T Resolviendo encontramos 182=T , como latemperatura inicial es 0C, es necesario elevar latemperatura hasta 182C.

Ejemplo 18.Una bola de vidrio de coeficiente dedilatacin cbica es , se pesa tres veces en el aire yen un lquido a las temperaturast 1 y t 2. Lasindicaciones de las balanzas para las tres pesadasson: P , P 1 y P 2. Determinar el coeficiente dedilatacin cbica del lquido.Solucin.Supongamos que el volumen de la bola a latemperaturat 1 es igual aV , entonces a la temperaturat 2 ser igual aV (1 + t ), dondet = t 2 t 1 Escribamos las indicaciones de las balanzas para lastres pesadas:

Vg P = ,Vg P P 11 = ,

)1()1(

112 t

t Vg P P

++=

.

Donde es la densidad del vidrio y 1 la densidaddel lquido (ambas a la temperaturat 1). En la frmula de P despreciamos la fuerza deempuje por ser pequea la densidad del aire. Por esono tiene importancia la temperatura a que hizo esta pesada.De las tres ecuaciones se obtiene 1 en funcin de P ,

P 1 , P 2, t 1, t 2 y que son conocidos:

))(()()(

122

121121 t t P P

t t P P P P

+=

En la prctica se suele utilizar una bola de vidrio decuarzo cuyo coeficiente de dilatacin cbica esmucho menor que el coeficiente de dilatacin cbicade la inmensa mayora de los lquidos. En este casola respuesta se puede simplificar:

))(()(

122

121 t t P P

P P

=

Ejemplo 19. Dos lminas, una de acero y otra de bronce, de igual espesora = 0,2 mm, estnremachadas entre s por sus extremos de manera quea la temperaturaT 1 = 293 K forman una lmina bimetlica plana. Cul ser el radio de flexin deesta lmina a la temperaturaT 2 = 393 K?

El coeficiente de dilatacin lineal:Acero es 101,1= 151 y delBronce es 15 102=1 .


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Solucin.

Vamos a suponer que la lnea meda de cada lminaconserva la longitud que tendra en estado nocurvado. El radior se determina por las condiciones

1)2( ll += ar , T = 11 ll ,

2)2( ll +=+ ar , T = 22 ll ,

)2

)(1()2

)(1( 21a

r T a

r T +=++ ,Por consiguiente

( )[ ] cm5,22)(2

212

21 =

++=T

T ar

FATIGA DE ORIGEN TRMICO.Consideremos una barra de seccin A sujeta enambos extremos

Al aumentar la temperatura t , debera producirseun cambio de longitud

t = l

l

pero como no se puede dilatar por estar sujeta, latensin debe aumentar hasta un valor suficiente para producir el mismo cambio pero de sentido inverso,este esfuerzo es:

l

l=Y A F

, reemplazando obtenemos:

t Y A F =

Ejemplo 20. Una platina de cobre se suelda con dos platinas de acero, como se muestra en la figura. Lastres platinas son iguales, teniendo exactamente lamisma longitud a temperatura ambiente. Calcular las

fatigas que se producirn al aumentar la temperaturaen t grados.

Solucin.En el esquema se muestran las dilataciones que se produciran en cada barra si no estuvieran soldadas(a) y las deformaciones por estarlo (b).

Tambin se tiene que la distribucin de fuerzaselsticas que igualan la longitud del sistema, porsimetra se puede considerar de la siguiente formasiguiente:

12 2 F F =

De este esquema tenemos las siguientes relacionesgeomtricas entre las deformaciones:Dividiendo esta expresin entre 0 L , tenemos unarelacin entre las deformaciones unitarias

L

L

L

L

L

L

L

L 1122 '' += Como:

t L L = 11 y

1

11' AY F

L L =

t L L = 22 y

2

22' AY F

L L =

Reemplazando se tiene:

2

22

1

11 AY

F t

AY F

t +=

Con 12 2 F F =

2

12

1

11

2 AY

F t

AY F

t +=


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10

Despejando A F 1

( )

+

=

21

121

21

Y Y

t A F

Y las fatigas sern:( )

+

==

21

1211 21

Y Y

t A F

S

y

( )

+

===

21

12122 21

22

Y Y

t A F

A F

S

Nota:Por sencillez de exposicin, se ha omitido precisar que al determinar las deformaciones

unitarias L L 1' y

L L 2' se han despreciado los

trminos de segundo orden.

1

11

1

1 '' AY F

L L

L L L =+

y

2

22

2

2 '' AY F

L L

L L L =+

Debido a 1 L L >> y 2 L L >> .

Ejemplo 21. Dos varillas del mismo dimetro, unade bronce de 25 cm. de longitud, y la otra de acerode 50 cm. De longitud se colocan extremo a extremoy aseguradas entre dos soportes rgidos.La temperatura de las varillas se eleva 40C.Cul es el esfuerzo en cada varilla?Mdulo de Young del acero 20 x 1011 dina cm 2 Mdulo de Young del bronce: 10 x 1011 dina cm 2 Coeficiente de dilatacin trmica acero 1,2x105 por CCoeficiente de dilatacin trmica bronce 1,8x105 por CSolucin.Al elevarse la temperatura las varillas deberanexpandirse si les fuera permitido, pero al no ser assufren esfuerzo de compresin, las fuerzas en las dosvarillas debe ser la misma. Por lo tanto, la unindebe de desplazarse hasta alcanzar el equi1ibrio.Entonces los esfuerzos son iguales.

B

BB

A

AAl

l

l

l == Y Y A F

(1)

Pero la longitud )( Bll + A es igual a lacantidad que no se deje expandir por dilatacin

t t B A A +=+ BAB llll Luego:40)( BAB B A A llll +=+ (2)

Resolviendo (1) y (2) obtenemos

)1(

40)(

B

A

A

B

BA

Y Y

B A A

l

l

lll

+

+=

)1(

40)(

A

B

B

A

BA

Y Y

B A B

l

l

ll

l+

+=

Reemplazando valores tenemos:cm10 x2,1 -2A =l ycm. 10 x2,1 -2B =l

y el esfuerzo en cada varilla

B

BB

A

AA

l

l

l

l == Y Y A F

= cm25cm 10x2,1

xcmdina

10x10

-2

2

11

= 0,84 x 10 29

cmdina

Ejemplo 22. Una barra de bronce se enfra ennitrgeno lquido hasta la temperaturaT 1 = 72 K.As enfriada, esta barra se introduce ajustadamenteen la abertura rectangular de una abrazadera rgida,que est a la temperaturaT 2 = 293 K, de manera quela holgura entre los extremos de la barra y los planoscorrespondientes de la abertura de la abrazadera puede considerarse nula. Qu presin ejercer la barra sobre la abrazadera cuando se caliente hasta latemperaturaT 2 = 293 K? El coeficiente de dilatacinlineal del bronce es = 1,75 x10-5 K -l y el mdulo deYoung Y = 1,04 x 1011 Pa.Solucin.Al enfriarse, la barra se contrae. Su longitud se haceigual a [ ])(1 120 T T = ll , de donde

)()( 120

0 T T = l

ll, Despus de calentar la

barra, apretada en la abrazadera, su longitud siguesiendo l , y la compresin )( 0ll estar ahoramotivada por las fuerzas elsticas.

Escribamos la ley de Hooke:Y p

o

=l

ll )( 0 , donde

p es la presin que ejerce 1a abrazadera sobre la barra en la direccin del eje de sta.

Comparando las expresiones deo

l

ll )( 0 hallamos

que 1a presin que buscbamos:Pa104)( 812 == T T Y p .

Conviene advertir que la presin no depende de lalongitud de la barra.Ejemplo 23. Entre dos paredes se encuentra una barra, de seccin A, compuesta de dos partes de


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11

igual longitudl / 2 que tienen los coeficientes dedilatacin lineal l y 2 y los mdulos de YoungY l yY 2. A 1a temperaturaT 1 los extremos de la barraapenas tocan las paredes.Con qu fuerza presionar dicha barra sobre las paredes si se calienta hasta la temperaturaT 2.Desprciese la deformacin de las paredes. Cuntose desplazar la junta de las partes de la barra?Solucin.Cuando la barra se calienta desde la temperaturaT 1 hasta la temperaturaT 2, sin paredes que la limiten, sealarga en la magnitud

))((2 122121

T T +

=+= l

lll .

Con las paredes limitadoras la barra calentadaresulta comprimida en esta misma magnitud. Por laley de Hooke (la fuerza compresora F es la mismaen ambas partos de la barra)

A F

Y Y S Y F

S Y F

++=

212

2

1

1 112lll

l

Esta relacin, en trminos generales, es aproximada,ya que las longitudesl 1 y l 2 de !as partes de la barraa la temperaturaT 2 las hemos sustituido por sulongitudl / 2 a la temperaturaT 1. No obstante, secomprende fcilmente que el error relativo que secomete al determinarl por esta f6rmula ser delorden dol /l y, por lo tanto, nuestra aproximacines muy buena (l


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12

=

== Y

L L

Y L L

Y S

Este es el esfuerzo trmico( )( )95102,1100,2 511 =S = 2,28 x 108 Pa

8

8

100,5 1028,2 rpturadeesfuerzo trmicoesfuerzo = = 0,456

Ejemplo 26. Una esfera hueca del metal estflotando en el agua a 0 C. Si la temperatura delagua se eleva a C, la esfera se sumergecompletamente en el agua sin hundirse. Desprecie laexpansin de la esfera. Encuentre la expresin paradeterminar coeficiente de dilatacin cbica delagua.Solucin.Dados:

e , la densidad de la esfera, 0 , la densidad del lquido

, Coeficiente de dilatacin cbica del lquido

esferaeagua )()( =

Como ( ) += 10aa V V

( )

+= 10

aa mm ( )

+= 1110

( ) = 10

Igualando ( ) e =10

Finalmentee

e

= 0

CALOR Y TRABAJOCuando dos sistemas a diferente temperatura se

hallan en contacto trmico, el calor fluye del sistemamas caliente al ms fro, hasta que alcanzan elequilibrio a una temperatura comn, la cantidad decalor que sale de un cuerpo es igual a la cantidad decalor que entra en el otro. Inicialmente se elabor lateora del calrico, para explicar este flujo, estasustancia no poda ser creada ni destruida, pero sitransferida de un cuerpo a otro. La teora delcalrico serva para describir la transferencia decalor, pero se descart al observar que el calrico secreaba por friccin y no habra una desaparicincorrespondiente de ca1rico en ningn otro sitio.En 1778 el Conde Rumford, como punto de sus

observaciones en el taladro de caones propuso quel calor debe estar asociado con el movimiento. Perono se estableci sino hasta medio siglo despus deesta observacin que haba una relacin definida

entre la cantidad de trabajo hecho contra la fricciny el calor producido.En 1843 James Prescott Joule emple un aparato enel cual el agua se agitaba por un conjunto de paletasgiratorias y la energa mecnica suministrada pararotar las paletas poda medirse con aproximacin. El

efecto trmico del trabajo mecnico hecho sobre elagua, era la elevacin de la temperatura. Elexperimento de Joule demostr que la elevacin dela temperatura era proporcional a la cantidad detrabajo hecho sobre el agua. Por consiguiente eltrabajo realizado en agitar el agua es equivalente alcalor aadido al agua.A pesar de que no necesitamos unidades especiales para el calor, una vez reconocido que es una formade energa medible en Joules, o cualquier otraunidad de energa, se sigue utilizando la unidadhistrica del calor, es decir la CALORIA. La calorase define cuantitativamente como la cantidad de

energa necesaria para elevar la temperatura de ungramo de agua desde 14,5C a 15,5C. La cantidadde energa para elevar la temperatura de unkilogramo de agua desde 14,5C a 15,5C es lakilocalora. La calora utilizada para medir elequivalente energtico de los alimentos es realmentela kilocalora. En el sistema ingles la unidad es elBritish thermal unit (BTU)1 BTU = 252 calorasEl equivalente exacto entre el trabajo realizado y elcalor aadido est dado por la relacin experimental.1 cal = 4,186 Joules1 BTU = 778 libra pie

Esta relacin es conocida como el EQUIVALENTEMECANICO DE CALOR

CAPACIDAD CALORIFICA. CALORESPECFICOLa cantidad de calor necesario para producir unaumento de temperatura en una cierta masa dependede la sustancia. Definamos primero:La CAPACIDAD CALORIFICA. (C ) de un cuerpoes la cantidad de calor requerido para elevar latemperatura de un cuerpo en un grado,

dT

dQC = Sus unidades son: Calora/C, BTU/F.Luego, definamos:El CALOR ESPECIFICO (c) es la capacidadcalorfica por unidad de masa:

mdt dQ

mdT dQ

mC

c === / Sus unidades son cal/gr x C BTU/libra x F

Observe que: 1Cg

cal1 Ckg

kcal

=

Y que:

Ckgkcal

1 Cg cal

1 C5/9 g453,6cal250

Flibra1BTU1

=== O sea que el valor numrico del calor especfico esel mismo en esas tres unidades.


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13

A pesar que el calor especfico de la sustancias varaligeramente con la temperatura, ser adecuado paranuestra discusin, asumir que el calor especfico esconstante independiente de la temperatura. Luego podemos determinara el calorQ necesario para

elevar la temperatura de la masam de una sustanciat grados, de la siguiente manera:( ) T mcT T mccdt mQ i f

T

T

f

i

==

CALOR ESPECIFICOAluminio 0,212Acero 0,11Bronce 0,090Cobre 0,094Oro 0,031

Plata 0,056Platino 0,032Plomo 0,031Tungsteno 0,032Zinc 0,094

Hielo 0,48Carbn 0,3Concreto 0.16Vidrio 0,12 - 0,20Parafina 0,69

Caucho 0,48Madera 0,3 0,7Agua 1,00Alcohol 0,6Petrleo 0,51Agua de mar 0,93

La capacidad calorfica depende del tipo de procesoque se realiza durante la transferencia de calor.Tiene valores definidos solamente para procesosdefinidos.

En particular manteniendo la presin constante se

denomina capacidad calorfica a presin constanteCp y si se mantiene el volumen constante sedenomina capacidad calorfica a volumen constanteCv. En generalCp y Cv son diferentes y seanalizarn con algn detalle ms adelante.

Ejemplo 27. Dos sustanciasm1 y m2 de caloresespecficosc1 y c2 estn a temperaturat 1 y t 2 respectivamente (t 1 > t 2).Calcular la temperatura final que alcanzan al ponerlos en contacto, sabiendo que no se presentancambios de estado.Solucin.

Por conservacin de energa:

=0Q

Como: Q = mc (t f -t f )Se tiene:

( ) ( )222111 t t cmt t cm = o bien

( ) ( ) 0222111 =+ t t cmt t cm o sea: Calor perdido = calor ganado

2222211111 t cmt cmt cmt cm =

( )t cmcmt cmt cm 2211222111 +=+ Despejando el valor de la temperatura final t :

2211

222111

cmcmt cmt cm

t ++=

Determinacin del calor especfico de un slidoLa experiencia se realiza en un calormetroconsistente en un vaso (Dewar) o en su defectoconvenientemente aislado. El vaso se cierra con unatapa hecha de material aislante, con dos orificios porlos que salen un termmetro y el agitador.

Se pesa una pieza de material slido de calorespecficoc desconocido, resultandom su masa. Se pone la pieza en agua casi hirviendo a la temperaturaT .Se ponen M gramos de agua en el calormetro, seagita, y despus de un poco de tiempo, se mide sutemperaturaT 0. A continuacin, se deposita la piezade slido rpidamente en el calormetro. Se agita, ydespus de un cierto tiempo se alcanza latemperatura de equilibrioT e.

cm es la masa del vaso del calormetro ycc sucalor especfico.

t m la masa de la parte sumergida del termmetro y

t c su calor especfico

am la masa de la parte sumergida del agitador yac su calor especfico

M la masa de agua que contiene el vaso, su calorespecfico es la unidadPor otra parte:Sean m y c las masa y el calor especfico delcuerpo problema a la temperatura inicialT .En el equilibrio a la temperaturaT e se tendr lasiguiente relacin.( )( ) ( ) 00 =++ T T mcT T k M ee La capacidad del calormetro dada por

aat t cc cmcmcmk ++= , se le denominaequivalente en agua del calormetro, y se expresa en

gramos de agua, y es una constante para cadacalormetro.El calor especfico desconocido del ser por tanto


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14

( )( )( )e

e

T T mT T k M

c

+= 0

En esta frmula tenemos una cantidad desconocidak , que debemos determinar experimentalmente.

Determinacin del equivalente en agua delcalormetroSe ponen M gramos de agua en el calormetro, seagita, y despus de un poco de tiempo, se mide sutemperaturaT 0. A continuacin se vierten m gramosde agua a la temperaturaT . Se agita la mezcla ydespus de un poco de tiempo, se mide latemperatura de equilibrioT e.Como el calormetro es un sistema aisladotendremos que( )( ) ( )T T mT T k M ee ++ 0

( )

( ) M m

T T

T T k

e

e

=0

Ejemplo 28.Calcule el calor especfico de un metalcon los siguientes datos. Un recipiente(calormetro) hecho de metal cuya masa es 3,64kg contiene 13,6 kg de agua. Un pedazo de metal de1,82 kg de masa, del mismo material del recipiente ycon temperatura de 176,7 C se echa en el agua. Elagua y el recipiente tienen inicialmente unatemperatura de 15,5 C y la temperatura final de todoel sistema llega a ser de 18,33 C.Solucin.Debido a que se trata de un problema de intercambiode calor, el calor entregado por el metal = calorrecibido por el (agua y recipiente). Llamando1Q alcalor liberado por el metal, 32 ,QQ a los recibidos por el agua y recipiente respectivamente:

.0321 =++ QQQ Considerando que el metal y recipiente tienen uncalor especfico mc , reemplazando en la expresinanterior:

metal final mmetal T T cmQ =1 ,

agua final aguaagua T T cmQ =2 yrecipiente final mrecipiente T T cmQ =3

) ) ) 0=++ r f mr a f aam f mm T T cmT T cmT T cm ,Es decir:

( ) ( )r f r m f ma f aa

m T T mT T m

T T cmc

+=

= .Cg

cal1038,1 2

Ejemplo 29.Cuntas caloras se requieren paraelevar la temperatura de 3 kg de aluminio de 20C a50C?

Solucin.Tomemos como calor especfico del aluminioc = 0,215 cal/g C, entoncesQ = mct = 3000 x 0,215 x (50 - 20) = 1,935 x 104 cal

Ejemplo 30.Un trozo de 300 g de cobre se calientaen un horno y en seguida se deja caer en uncalormetro de 500 g de aluminio que contiene 300 gde agua. Si la temperatura del agua se eleva de 15Ca 30C cul era la temperatura inicial del cobre?(Suponga que no se pierde calor.) Cunto calor sedebe agregar a 20 g de aluminio a 20C para fundirlocompletamente?Solucin.c Al = 0,215 cal/g.Cc H 2O = 1 cal/g.CcCu = 0,0924 cal/g.CQabsorbido = 300 x 1 x (30 - 15) + 500 x 0,215 x (30 -

15)Qcedido= 300 x 0,0924 x (t i - 30)Entonces300 x 1 x (30 - 15) + 500 x 0,215 x (30 - 15) = 300 x0,0924 x (t i - 30), de donde la temperatura inicial delCobre resulta sert i = 250,51 C.Para saber las caloras necesarias para fundir 20gramos de aluminio a 20 C, de las tablas obtenemos para el calor de fusin: L f (Al) = 3,97x105 J/kg a t = 660 C, de modo que elcalor necesario serComo 1 J = 0,24 cal de modo que

L f (Al) = 3,97 x 102 x 0,24 = 95,28 cal/gEntoncesQ = mct + mL f Q = 20 x 0,215(660 - 20) + 20 x 95,28 = 4657,6 cal

Ejemplo 31.Una moneda de cobre de 3 g a 25C,cae al piso desde una altura de 50 m.a) S 60% de su energa potencial inicial se gasta enaumentar su energa interna, determine sutemperatura final. b) Depende el resultado de la masa del centavo?Explique.Solucin.cCu = 0,0924 cal/g CmCu = 3 ga) La energa potencial serU = mgh = 0,003 x 9,8 x 50 = 1,47 J = 0,35 calEntonces

Cui f mc

Qt t += =

0924,0335,06,025

+ = 25,76 C

b) No depende dem: porqueQ es proporcionalm yel aumento de temperatura es inversamente proporcional am.

Ejemplo 32.Para medir el calor especfico de unlquido se emplea un calormetro de flujo. Se aadecalor en una cantidad conocida a una corriente dellquido que pasa por el calormetro con un volumenconocido. Entonces, una medicin de la diferenciade temperatura resultante entre los puntos de entraday salida de la corriente de lquido nos permite


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calcular el calor especfico del lquido. Un lquido de0,85 g/cm3 de densidad fluye a travs de uncalormetro a razn de 8,2 cm3/s. Se aade calor pormedio de un calentador elctrico en espiral de 250W, y se establece una diferencia de temperatura de15oC en condiciones de estado estacionario entre los

puntos de entrada y salida del flujo. Halle el calorespecfico (c) del lquido.Solucin.

El flujo de calor W250=

Q que se pone produceuna elevacin de temperaturaT = 15oC.

El calor absorbido por una masam es T mcQ = ,Como es masa que fluye y la entrada de calor esestacionariamente

T cdt dm

Qdt dQ

==

.

De aqu

dt dm

T

Qc

=

, como V m = ,

sg97,62,885,0 ===

dt dV

dt dm

Reemplazando valores, tenemos:

CkgJ2391

1097,615250

3 oo C c =

=

FASES DE LA MATERIA Otro de los efectos comunes de los cambios detemperatura son los cambios de estado de losmateriales (slido, lquido, gaseoso, plasma y CBE).

SLIDO. Manteniendo constante la presin, a bajatemperatura los cuerpos se presentan en forma slidatal que los tomos se encuentran entrelazadosformando generalmente estructuras cristalinas, loque confiere al cuerpo la capacidad de soportarfuerzas sin deformacin aparente. Son, por tanto,agregados generalmente rgidos, duros y resistentes.El estado slido presenta las siguientescaractersticas:

Fuerza de cohesin (atraccin).

Vibracin.

Tiene forma propia.

Los slidos no se pueden comprimir.

Resistentes a fragmentarse.

Volumen definido.

Puede ser orgnico o inorgnico

LQUIDO.Incrementando la temperatura el slidose va "descomponiendo" hasta desaparecer laestructura cristalina alcanzndose el estado lquido,cuya caracterstica principal es la capacidad de fluiry adaptarse a la forma del recipiente que lo contiene.En este caso, an existe una cierta ligazn entre lostomos del cuerpo, aunque de mucha menorintensidad que en el caso de los slidos. El estadolquido presenta las siguientes caractersticas:

Fuerza de cohesin menor (regular)

Movimiento-energa cintica.

Sin forma definida.

Toma el volumen del envase que lo contiene.

En fro se comprime.

Posee fluidez.

Puede presentar fenmeno de difusin.

Gaseoso. Por ltimo, incrementando an ms latemperatura se alcanza el estado gaseoso. Lostomos o molculas del gas se encuentranvirtualmente libres de modo que son capaces deocupar todo el espacio del recipiente que lo contiene,aunque con mayor propiedad debera decirse que sedistribuye o reparte por todo el espacio disponible.El estado gaseoso presenta las siguientescaractersticas:

Fuerza de cohesin casi nula.

Sin forma definida.


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Sin volumen definido.

Se puede comprimir fcilmente.

Ejerce presin sobre las paredes del recipiente quelos contiene.

Los gases se mueven con libertad.

PLASMA.Al plasma se le llama a veces "el cuartoestado de la materia", adems de los tres "clsicos",slido, lquido y gas. Es un gas en el que los tomosse han roto, que est formado por electronesnegativos y por iones positivos, tomos que han perdido electrones y han quedado con una cargaelctrica positiva y que estn movindoselibremente.La lmpara fluorescente, muy usada en el hogar yen el trabajo, contiene plasma (su componente principal es el vapor de mercurio) que calienta yagita la electricidad, mediante la lnea de fuerza a laque est conectada la lmpara.

La lnea hace positivo elctricamente a un extremo yel otro negativo causa que los iones (+) se acelerenhacia el extremo (-), y que los electrones (-) vayanhacia el extremo (+). Las partculas aceleradas gananenerga, colisionan con los tomos, expulsanelectrones adicionales y as mantienen el plasma,incluso aunque se recombinen partculas. Lascolisiones tambin hacen que los tomos emitan luzy, de hecho, esta forma de luz es ms eficiente quelas lmparas tradicionales. Los letreros de nen y lasluces urbanas funcionan por un principio similar ytambin se usan (o usaron) en electrnica.La lmpara de plasma (tambin llamada "globo de plasma" o "esfera de plasma") es un objetonovedoso, que alcanz su popularidad en los aos1980. Fue inventada por Nikola Tesla tras suexperimentacin con corrientes de alta frecuencia enun tubo de cristal vaco con el propsito deinvestigar el fenmeno del alto voltaje.

CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN (CBE).Otro estado de la materia es el condensado de Bose-Einstein (CBE), predicho en 1924 por Satyendra Nath Bose y Albert Einstein, y obtenido en 1995 (losfsicos Eric A. Cornell, Carl E. Wieman y WolfgangKetterle compartieron el Premio Nobel de Fsica de2001 por este hecho). Este estado se consigue atemperaturas cercanas al cero absoluto y secaracteriza porque los tomos se encuentran todos enel mismo lugar, formando un supertomo.

La figura siguiente muestra la Condensacin deBose-Einstein a 400, 200, y 50 nano-Kelvins

El Condensado de Bose-Einstein se ve como una pequea masa en el fondo de una trampa magntica.Esta masa de condensado es como una gota de aguaque se condensa del aire cuando ste es enfriado.Cuando se forma inicialmente, el condensado estrodeado todava de tomos normales de gas, as que parece la semilla dentro de una cereza.

Para qu sirve la Condensacin de Bose-Einstein?Es muy reciente y sabemos muy poco a cerca de ella para dar una respuesta. Es algo as como siviviramos en una isla tropical hace 400 aos y un pedazo de iceberg llegara a la costa. Sin que nadiehubiera visto hielo antes, pasara algn tiempo antesde que alguien se diera cuenta de que puede usarse para hacer helados.


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Tambin hay ciertos problemas de ingeniera quedeben ser resueltos antes de que la CBE puedausarse para mucho.Sin embargo las similitudes entre CBE y la luz delser sugieren que probablemente lo sea.

CAMBIOS DE ESTADO - CALOR LATENTE Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta porcausa de un calor suministrado, se origina unaumento de la energa cintica del movimiento delas molculas. Cuando un material pasa de la formalquida a la fase gaseosa, las molculas, que, porcausa de sus atracciones naturales se mantenanoriginalmente en contacto, se alejan ms de las otras.

Esto requiere se realice un trabajo en contra de lasfuerzas de atraccin, es decir hace falta que sesuministre una energa a las molculas parasepararlas. De este modelo podemos deducir que uncambio de fase de lquido a gas requiere calor ancuando no se produzca elevacin de la temperatura,lo mismo sucede para slido a lquido.Para sustancias puras", los cambios de fase se producen a cualquier presin, pero a determinadastemperaturas. Se requiere una determinada cantidadde calor para cambios de fase de una cantidad desustancia dada.Esto es, el calor es proporcional a la masa de la

sustancia.mLQ = Donde L es una constante caracterstica de lasustancia y de cambio de fase que se produce.Si el cambio es de slido a lquido, ser f L (calorlatente de fusin) y si el cambio el de lquido a gas,ser v L (calor latente de vaporizacin).En el caso del agua a presin atmosfrica la fusinse produce a 0C y f L vale 79,7 cal/gr. Y la

vaporizacin se produce a 100C yv L vale 539.2

cal/gr.Similarmente ocurre para los procesos inversos desolidificacin y condensacin.

Sublimacin.Tambin bajo ciertas condiciones de temperatura y presin se puede pasar directamente de slido a gasson pasar por lquido y se denomina sublimacin, Ls (calor de sublimacin).

Ejemplo 33.Se aade calor a una sustancia pura enun recipiente cerrado a una razn constante. Elgrfico muestra la temperatura de la sustancia comouna funcin del tiempo. Si L f es el calor latente defusin y Lv es el calor latente de vaporizacin. Cules el valor de la relacin Lv /L f para esta sustancia?

Solucin.La relacin de los tiempos empleados en absorbercalor para la vaporizacin y la fusin es 5/2, como setrata de la misma masa en ambos casos, esta relacinser igual a la relacin de los calores latentes; esto

es:25=

F

V

L L

Ejemplo 34.Determinar el calor necesario paravaporizar 200 gr. De hielo que se encuentra a latemperatura de 5C.Solucin.Como ocurren cambios de estado debemos calcularlas caloras requeridas en cada proceso.Utilicemos los siguientes valores:Calor especfico del hielo: 0,5 cal/gCCalor especfico del agua: 1 cal/gCCalor de fusin del agua: 80 cal/gCalor de vaporizacin del agua: 540 cal/g

Calor para elevar la temperatura del hielo de 5C a0CQ1 = m x c xt = m x 0,5 x [0 - (-5)]

= m x 2,5 cal

Calor para pasar de hielo a agua (fusin)Q2 = m x L = m x 80 cal

Calor para elevar la temperatura del Agua de 0C a100CQ3 = m x c xt = m x 1 x (100-0)

= m x 100 cal

Calor para pasar de Agua a Vapor (vaporizacin)Q4 = m x 540 cal

Finalmente,Q =Q = 4322 QQQQ +++ = m(2,5+80+100+540) = 200 x722,5

= 144500 cal.


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Ejemplo 35.Calcular la temperatura final cuando semezclan 2 kg. de hielo a -20C con 10 kg. de agua a60C.Solucin.Como ocurren cambios de estados es preciso

primero, hacer un balance de energa paradeterminar si el agua se convierte en hielo o el hieloen agua, u ocurre una conversin parcial.Trabajemos en Kilocaloras utilizando los siguientesvalores:Calor especfico del hielo : 0,55 kcal/kg CCalor especfico del agua : 1 kcal/kg CCalor de fusin del agua : 80 kcal/kg

Calor necesario para convertir el hielo enagua a 0 C.Q1 = m H x c H xt = 2 x 20 = 22 kcalQ2 = mH x L = 2 x 80 = 160 kcalQ H = += 21 QQQ = 182 kcal (1)Calor liberado al llevar el agua de 60C a 0C.Q 1 = max c H t = 10 x 1 x 60 = 600 kcalQa = 1'' QQ = = 600 kcal (2)Comparando (1) y (2), comoQa > QH, nos indica queel agua dispone de las caloras necesarias paraconvertir todo el hielo en agua y ms an elevar sutemperatura a ms de 0C. Esto es, la temperaturafinalt estar entre, 0C Q 1 si se elevara la temperatura del hielo a 0C ysolo parte del hielo se podr convertir en agua.Luego, la temperatura final es 0C,t = 0CCules sern las masas finales de hielo y Agua?La energa que resta despus de elevar latemperatura del hielo a 0C es:Qac - Q1 = 20,9 4,4 = 16,5 kcal.Con estas caloras se convertir en agua:Q = M x L

16,5 = M x 80 M = 0,21 Kg.y se quedarn como hielo a 0C:(0,50 0,21) = 0,29 kg.Por lo tanto, se tendr finalmente,1,21 kg. de Agua y 0,29 kg. de HieloPor supuesto todo a 0C, incluyendo el calormetro.

Ejemplo 37. Un trozo de hielo de 10 g ytemperatura 10 C se introducen en 1,5 kg de aguaa 75 C. Determine la temperatura final de la mezcla.

Cgcal45,0=hieloc ,gcal80, =hielo fusin L

Solucin.El calor cedido por el agua es igual al ganado por elhielo. El hielo gana una porcin calor desde latemperatura 10 C hasta 0 C, otra para cambiar deestado manteniendo la temperatura constante de 0 C

y otra cuando se ha convertido en agua al cambiar latemperatura de 0 C hasta la temperatura deequilibrio .eT De este modo:

[ ] f hhh Lmcm + )10(0( ) 075)0( =++ eaaeah T cmT cm .

Despejando eT encontramos:

C T e 94,73=

Ejemplo 38.Un recipiente de cobre de masa 0.5 kgcontiene 1 kg de agua a 20C se le aade 0,5 kg de

hielo a 16Ca) encontrar la temperatura de equilibrio b) Cuanto hielo y cuanta agua quedan.


19/70


19

K kgJ390=cobrec , K kg

J4190=aguac

K kgJ2100=hieloc , kg

J10334 3 x L hielo fusin =

Solucin.Calor cedido por el agua y el calormetro al llevarlode 20C a 0C

( ) += aacc cmcmQ1 = ( )2041900,13905,0 + = 87700 J

Calor para llevar el hielo -18C a 0C = hh cmQ2 = 0,5x2100x16 = 16800 J

Calor para fundir el hieloh f m LQ =3 = 334x103x0,5 = 167x103 J

Anlisis:Tenemos 87700 J , esa cantidad puede elevar la

temperatura del hielo hasta los 0C Nos quedan 87700 -16800 = 70900 JEsto no puede fundir todo el hielo, solamente

alcanza para fundirkgJ10334J10900,70

3

3

= 0,212 kg

a) Temperatura de equilibrio 0C b) Finalmente quedan 1 + 0,212 = 1,212 kg de aguay 0,5 0,212 = 0,288 kg de hielo

Ejemplo 39. Un recipiente metlico de masa 200 g,aislado del exterior, contiene 100 g de agua enequilibrio trmico a 22 C. Un cubo de hielo de 10 g,en el punto de fusin, se suelta en el agua, cuando sealcanza el equilibrio trmico la temperatura es 15 C.Asumir que no hay intercambio de calor con elexterior.Para el agua el calor especfico es 4190 J/kg K y elcalor de fusin es 3,34 x 105 J/kg.Cul es el calor especfico del metal?Solucin.Calor cedido = Calor ganado

( )( ) ( )( )15221,0419015222,0 + xc = ( ) ( )( )01501,041901034,301,0 5 +

K kgJ

64,739= xc

Ejemplo 40.Determine el estado final cuando semezclan 20 g de hielo a 0 C con 10 g de vapor a100 C.Solucin.C agua = 1 cal/g. C

L f = 3,33 x 105 J/kg = 80 cal/g Lv = 2,26 x 106 J/kg = 542,4 cal/g M hielo = 20 g M vapor = 10 gSi se condensa todo el vapor cede 5424 cal.Si se funde todo el Hielo absorbe 80x20 = 1600 calquedando agua que para ser llevada a 100 Cabsorbera a lo ms 20 x 100 = 2000 cal.

De aqu se concluye que no puede condensarse todoel vapor, pero s fundirse todo el Hielo. De modoque la temperatura final, en presencia de vapor debeser t F = 100 C: Supongamos entonces que condensam gramos de vaporQcedido = 542,4 xm cal

Qabsorbido = 20 x 80 + 20 x 1 x 100 = 3600 cal542,4 xm = 3600

4,5423600=m = 6,6 g

Luego el estado final consiste en una mezcla a 100C de 4,4 g de vapor y 26,6 g de agua lquida.

Ejemplo 41. Un recipiente de cobre de 0,1 kgcontiene 0,16 kg de agua y 0,018 kg de hielo enequilibrio trmico a presin atmosfrica. Si seintroduce un trozo de plomo de 0,75 kg de masa a255C, qu temperatura final de equilibrio sealcanza? (Considere que no hay intercambio de calor

con el entorno) Pbc = kgK J130 Cuc = kgK J390 aguac = 4190 kgK J

agua fusinc = kgJ103343

Solucin.

Cobre==

C0kg1,0

cu

cu

t

m , Agua

==

C0kg16,0

cu

agua

t

m ,

Hielo=

=C0

kg018,0

cu

hielo

t

m

Plomo==

C255kg75,0

Pb

Pb

t

m

Para fundir el hielo = 334x103 (0,018) = 6012 J

magua = 0,16 + 0,018 = 0,178 kgEl plomo puesto a 0C nos proporciona = 130(0,75)(255) = 24862,5 J Nos quedaran 24862,5 6012 = 18850,5 JLos que se empleara para elevar la temperatura delsistema:( ) disponibleQt mcmcmc =++ ( ) 5,1885013075,03901,04190178,0 =++ t

( )5,973982,7455,18850++

=t

= C36,2132,882 5,18850 =


20/70


21/70


21

La expresin matemtica fundamental de laconduccin de calor es la generalizacin de losresultados de los experimentos en el flujo lineal decalor a travs de una lmina de material de espesor x y de rea A, una de las caras se mantienen atemperatura + , los resultado muestran queQ es proporcional al tiempot .

t x

AQ

Este resultado podemos generalizar, en el lmite:

dxd

kAQdt dQ ==

Dondek es la CONDUCTIVIDAD TERMICA delmaterial.El signo menos se introduce dado que Q fluye en ladireccin de la disminucin de la temperatura (dellado caliente al lado fro).

VALORES DE LACONDUCTIVIDAD TERMICA

Sustanciask en

C m skilocal

Acero 0,011Bronce 0,026Aluminio 0,040Ladrillo 1,7 x 10 4 Concreto 4,1 x 10 4 Madera 0,3 x 10 4

Vidrio 1,4 x 104 Hielo 5,3 x 10 4

Lana de vidrio omineral

0,09 x 10 4

Caucho 0,10 x 10 4 Agua 1,43 x 10 4 Aire 0,056 x 10 4

Ejemplo 44.Flujo estacionario a travs de una pared compuesta. Capas en serieDeterminacin de la cantidad de calor que fluye enla direccin normal a travs de un medio de capasmltiples entre las temperaturas externast 0 y t nconstantes, como se muestra en la figura.

Solucin.Sea t 1 la temperatura entre la capa 1 y 2, t2 latemperatura entre las capas 2 y 3 y assucesivamente, luego tenemos:En la primera capa

)-( -1

011 l

t t Ak Q =

Ak Q

t t

-1

110

= l

En la segunda capa

)-( - 2

122 l

t t Ak Q =

Ak Q

t t - 22

21

= l

En la Capan

)-( - 1n

nnn

t t Ak Q

l

=

Ak Q

t t n

nnn

= -1

l

Sumando miembro a miembro

AQ

k k k t t

n

nn

++= ).....( 2

2

1

1o

lll

Luego

n

n

2

2

1

1

o

...

)-(

k k k

t t AQ

nlll

+++=

=

=

n

i i

i

n

k

t t AQ

1

o

)( l

Ejemplo 45.Flujo estacionario a travs de una pared compuesta. Capas en paralelo

Determinacin de la cantidad de calor

Q que fluye

en la direccin normal a un medio mltiple formado por placas paralelas como se muestra en la figura.

Solucin.

El Flujo

Q es la suma de los flujos 1

Q , 2

Q ,

.. nQ

a travs de cada una de las placas, de talmodo

( )( )l

abnn t t Ak Ak Ak Q ++=

...2211

( )l

=

=

n

iiiab Ak t t

Q 1

Ejemplo 46. Dos cuartos comparten una pared deladrillos de 12 cm de grosor, pero estn perfectamente aislados en las dems paredes. Cadacuarto es un cubo de 4,0 m de arista. Si el aire de


22/70


22

uno de los cuartos est a 10 C y el otro a 30 C.Cuntos focos de 100 W se necesitarn tenerencendidas en el cuarto ms caliente para mantenerla misma diferencia de temperatura?Solucin.Coeficiente de conductividad trmica del ladrillo

k = 1,0 W/(m K).

LkAQ =

= ( )( )( )

12,010300,40,41

= ( )( )12,0

200,40,41 = 2666,67 W

Nmero de focos de 100 W que se necesitarn tenerencendidos en el cuarto ms caliente para mantenerla misma diferencia de temperatura

7,26100

67,2666 = Se necesitan 27 focos de 100 W.

Ejemplo 47.Dos barras metlicas, cada una delongitud 5 cm y seccin transversal rectangular delados 2 y 3 cm, estn encajadas entre dos paredesuna a 100 C y otra a 0 C. Las barras son de Pb yAg. Determinar:a) El flujo trmico total a travs de las barras y b) La temperatura en la interfase.DATOS:k ( Pb ) = 353 W/m K;k ( Ag ) = 430 W/m K.

Solucin.

Pb A = 6 x 10-4 m, L = 5x10-2 m k = 353 W/m K;Ag

A = 6 x10-4

m, L = 5x10-2

m k = 453 W/m K;Flujo de calor en el plomo

( )

=

100

105106353 2

4

Q

= ( ) 100236,4 Flujo de calor en la plata.

( )0105106453 2

4

=

Q

= 436,5 Igualando los flujos

( ) 436,5100236,4 = 436,5236,46,423 =

6,423672,9 = C79,43=

El flujo es;

436,5=

Q = 5,436 x 43,79 = 238,1 W

Ejemplo 48.- Un excursionista usa prendas de vestirde 3,5 cm de grueso, cuya rea superficial total es de1,7 m2. La temperatura de la superficie de las prendas es de 20 C y la de la piel de 34 C.Calcular el flujo de calor por conduccin a travs dela ropaa) Suponiendo que sta est seca y que laconductividad trmicak es la del plumn igual a0,06x10-4kcal/s m K b) Suponiendo que la ropa est mojada, de modo quek es la del agua (1,4x10-4 kcal/s m K) y que la ropase ha comprimido hasta un espesor de 0,50 cm.

Solucin.a) ( ) ( )2

4

105,320347,11006,0

+==

LkAQ

= 0,01,5737 W

b) ( ) ( )24

1050,020347,1104,1

+==

LkAQ

= 2,5704 W

Ejemplo 49.Flujo a travs de un cilindro de radiointeriorr 1 y radio exteriorr 2, conductividad trmicak , temperatura interior t 1 y temperatura exteriort 2. Solucin.Tomemos una longitud L, y a una distancia r unelemento diferencial dr como se muestra en lafigura,

El flujo a travs del elemento diferencial es

dr dt kAQ =

Q es constante a travs de cualquier seccincilndrica coaxial.

A = 2 r LLuego

dr dt

rLk Q 2=

Despejandodt

r

dr

kL

Qdt

2

= Integrando


23/70


23

= 21

2

1 2r

r

t

t r dr

kLQ

dt

1

221 ln2 r

r kL

Qt t

=

De aqu

( )21

1

2ln

2t t

r r kL

Q =

Ejemplo 50. Una ventana de un metro de alto por 2de ancho tiene un vidrio cuyo espesor es de 0,006 m,conduce calor desde el interior a 20 C al exterior de3 C. Encuentre la diferencia porcentual de laconduccin del calor, cuando se pone dos vidrios delmismo espesor anterior, dejando una separacin deaire entre los vidrios de 0,012 m. Considere que:

Ckcal/sm102 6== V Vidrio k k ,Ckcal/sm106 6== A Aire k k .

Solucin.a) Al poner los dos vidrios:

Sean 1T y 2T las temperaturas a la derecha del vidrioizquierdo e izquierda del vidrio derecho,

respectivamente:( )

006,020 11 T Ak

t

QV

=

, (1)

( ),012,0

212 T T Ak t

Q A

=

(2)

( )006,0

323 =

T Ak

t

QV . (3)

En el estado de rgimen estable, es decir, cundo latemperatura en cada punto es constante en eltranscurso del tiempo, por lo cul t Q es lamisma en todas las secciones transversales:

.321t

Q

t

Q

t

Q

t Q

=

=

=

Igualando ecuaciones (1) y (2), encontramos:

.340

32112

+=T T (4)

De la igualacin de (2) y (3) tenemos:

.25

323

1

2

+=

T T (5)

Por otro lado, de la diferencia de las ecuaciones (4) y(5), hallamos:

C T 63,131 = y .63,132 C T = Reemplazando en ecuacin (1):

( )s

cal25,4006,0

20 1 == T

Ak t Q

V

b) Si la ventana est formada por un solo vidrio:

( )s

cal3,11330' =

=

X Ak

t Q

V ,

Es decir, la diferencia con respecto a.cal/s05,7= t Q De este modo hay una

diferencia de un 62,4%, con lo cul, cundo secoloca aire entre los dos vidrios se pierde un 62,4%menos de energa calrico que cundo se usa un solovidrio.

Ejemplo 51. Una ventana de un metro de alto pordos de ancho, est construida con lminas de vidriocuyo espesor es de 0,006 m. La ventana puede serensamblada con un solo vidrio en ese caso el flujode calor es

1

Q o puede construirse con dos vidrios

dejando una separacin de 0,012 m de aireconfinado entre las dos lminas de vidrio, en estecaso el flujo de calor es

2

Q . Encontrar la relacin

entre los flujos de calor.Cms/kcal102 6 = vidriok ,

Cms/kcal1066

confinadoaire =

k

Solucin.Al poner los dos vidrios:

+=

2

2

1

11

2k

Lk

L

AQ


24/70


24

Al poner un solo vidrio

=

1

12

k L

AQ

La relacin entre los flujos de calor es:

+

=

2

2

1

1

1

1

1

2

2k

Lk

L

Ak

L

A

Q

Q

21

12

1

1

2

2

1

1

1

2 22

k L

k L

k L

k L

k L

Q

Q +=

+

=

=

+

6

6

106102

6122

= 66,238

322 ==+

Ejemplo 52.El slido de la figura tiene basescirculares de radio R y 2 R, altura L y conductividadtrmicak. Si las bases se ponen en contacto conreservorios de temperaturaT 1 y T 2 .Determine lacorriente calorfica cuando el flujo es estacionario.Considere las paredes laterales forradas con unaislante trmico.

Solucin.

El flujo a travs de la porcin de anchody y rea

( )22 x Rr A +== , es tambin igual a

Q

dy

dT

kAQ =

= ( ) dydT

x Rk 2

+

Por semejanza de tringulos: L y

R x = y

L R

x =

Luego:dydT

y L R

Rk Q2

+=

( )

dT LQ

Rk L y

dy2

2

2 =+

Integrando( ) =+

2

12

2

0 2

T

T

LdT

LQ

Rk

L y

dy

( )2

12

2

0

1 T T

L

T LQ

Rk L y

=+

( ) ( ) ( )21

2

2

0

11T T

LQ

Rk

L L L

=

+

+

+

( )212

2

21

T T LQ

Rk L

=

Finalmente: ( )2122

T T L Rk

Q =

CONVECCION.Es el proceso de transferencia de calor de un lugar aotro por el movimiento de la masa calentada.

Las leyes que rigen el flujo de calor por conveccinson muy complejas porque involucra fenmenos defluidos en movimiento y el cual todava puede ser

forzado o natural por diferencia de densidades. Sinembargo, se tiene una relacin emprica dada por Newton, para un cuerpo dado:

==

hAQdt dQ

Dondeh es el coeficiente de conveccin, A es elrea de la pared, es la diferencia de temperaturaentre la superficie de la pared y el fluido.

EL COEFICIENTE DE CONVECCIONh dependede la posicin de la pared y de las caractersticas delfluido y su movimiento.

COEFICIENTE DE CONVECCION ENAIRE A PRESION ATMOSFERICA


25/70


25

DISPOSICION h )Cmskcal( 2

Pared horizontal Mirandoarriba 0,576x10

-3( ) 41t Pared horizontal Mirandoabajo 0,314x10

-3( ) 41t Pared vertical 0,424x10-3( ) 41t Tubo horizontal o vertical

1,00x10-341

D

t

Ejemplo 53. Una pared plana se mantiene atemperatura constante de 100C, y el aire sobreambas cara est a la presin atmosfrica y a 20C.Cunto calor se pierde por conveccin de un metrocuadrado de superficie en ambas caras en 1 hora? a) Si la pared es vertical b) Si la pared e horizontalSolucin.a) Si la pared es vertical.El flujo de calor de ambas caras es

t hAQ =

2 Donde

( )C

t hms

kcal1042,0 2413 =

80=t y ( ) 98,241 =t A = 1 m2de aqu

98,21042,0 3 = h =

C mskcal1012,1 2

3

801012,12 3 =

Q

=s

kcal179,0

EL calor que se pierde en una hora serQ = 0,179 x 3600 = 645 kcal b) Si la pared es horizontal.En este caso tenemos los valores para h:Para la cara que mira arriba

1/431 )(10x0,596 t h =

=C

2

3

mskcal 10x1,77

Para la cara que mira abajo1/43

2 )(10x0,314 t h =

=C

2

3

mskcal 10x0,94

Luego: t Aht AhQ - 21 =

t AhhQ )( 21 +=

( )( )( )801102,71 3

=Q =s

kcal217,0 y el calor que se pierde en una hora ser:Q = 0,217 x 3600 = 782 cal

Ejemplo 54.El aire sobre la superficie de un lagoest a una temperatura A mientras que el agua esten su punto de congelacin ).( CAc < Cul es el tiempoT que ha de transcurrir para quese forme una capa de hielo de espesor yAsumir que el calor liberado cuando el agua secongela fluye a travs del hielo por conduccin y dela superficie al aire por conveccin natural.DATOS:h = coeficiente de conveccin del hielo = densidad del hielo L = calor de fusin del hielok = conductividad trmica del hieloSolucin.

En la figura observamos como se va formando lacapa de hielo

Calor de solidificacin de la capa de hielo enformacin de rea A y espesordy. AdyLdmLdQ == (1)

ste calor se conduce a la superficie( )

ykA

dt dQ

Q S C ==

( )dt

ykAdQ C S

= (2)

Igualando calores (1) y (2)( )

dt y

kA AdyL C S

=

( ) =T

C S

Y dt

Lk

ydy00

( )T Lk Y

C S =

2

2

( )T k LY

C S =2

2

(3)

El flujo de calor de la superficie al medio ambientese produce por conveccin, o sea

( ) AS hAdt dQQ ==


26/70


26

( )dt hAdQ S A =

Este es el mismo calor y por lo tanto( )dt hA AdyL S A =

( )dt Lh

dy S A = Integrando

( ) =T

S A

Y dt

Lh

dy00

( )T Lh

Y S A =

( )T h LY

S A = (4)

Sumando las expresiones (3) y (4) obtenemos

( )T LhY k Y C A = +22

Finalmente,

( )

+

=

hY

k Y L

T C A 2

2

Ejemplo 55.El interior del ser humano se encuentraa 37C, el espesor efectivo de la piel puedeconsiderarse como de 3cm.a) Para una persona cubierta de pies a cabeza por unvestido de lana de 0,5cm de espesor. Calcular elflujo de calor que pierde en Lima (t amb = 15C) y enlas madrugadas de Puno (t amb= -20C). b) Cul debera ser el grosor de su vestido de la persona en Puno para tener la misma prdida decalor que una persona en Lima?Datos:k piel = 0,01W/mCrea del cuerpo humano persona promedio = 1,5m2 k lana = 0,0209 W/Ch (del cuerpo vestido)= 9 W/m2K,Solucin.a) El flujo de calor atraviesa la piel y el vestido porconduccin y de la superficie del vestido al ambiente por conveccin.Este flujo a travs de este conjunto es:

hk L

k

Lt t A

Q1

lana

lana

piel

piel

ambiente piel

++

=

En Lima: ( )

91

0209,0005,0

01,003,0

15375,1

++

=

Q = 9,85 W

En Puno: ( )

910209,0 05,001,0 03,0

20375,1

++

+=

Q = 23,74 W

c) Para encontrar el grosor de su vestido de la persona en Puno para que tenga la misma prdidade calor que una persona en Lima, aplicamos lamisma ecuacin.

( )

91

0209,001,003,0

20375,185,9

++

+=e

( ) =91

01,003,0

85.9575,10209,0e = 0,116 m

Ejemplo 56.Se construye un igl en forma dehemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredesde nieve compactada de 0,5 m de espesor. En elinterior del igl el coeficiente de transferencia decalor por conveccin es 6 W/m2K; en el exterior, encondiciones normales de viento, es 15 W/m2K. Laconductividad trmica de la nieve compactada es2,33 W/m K. La temperatura de la capa de hielosobre la que se asienta el igl es de -20 C y tiene lamisma conductividad trmica que la nievecompactada.a) Que calor debe proporcionar una fuente continuadentro del igl, para que la temperatura del aireinterior sea 1 C cuando la del aire exterior es - 40C. Considere las prdidas de calor a travs delsuelo. b) Cmo afecta el duplicar el espesor de las paredes?

Solucin.a)

Prdida por conveccin en el piso

( )i p pi AhQ =

2 ,21 R A p =

( )( )i pi RhQ =

212

[ ]( )( )1208,16 22 =

Q = W02,1388

Prdida de calor por el domo

Por conveccin del aire interior a la pared interior( )ii AhQ =

111


27/70


27

211 42

1 R A =

( )( )ii RhQ =

1211 2

( )( )18,126

1

2

1 =

Q =

( )108,122

1

( )08,122

1 11

= Q (1)

Por conduccin en la pared del igl:24

21

r A =

dr d

r k Q

21 2=

21

2 r dr

k Q

d

=

= 21

2

122

R

R r dr

k Qd

=

12

112

112 R Rk Q

( )

=

21

121

112 R Rk Q

( )( )

=

3,2

1

8,1

1

33,22

121

Q

( )93,120

121

= Q (2)

Por conveccin de la pared exterior al aire exterior

( )221 =

ee AhQ

222 42

1 R A = .

( )( )2221 2 =

ee RhQ

( )( )( )221 403,2215 =

Q

= ( )( )( )403,2215 22 + = ( )4032,498 2 +

( )32,498

40 12

=+ Q (3)

Sumando (1), (2) y (3):

( ) 08,1221401

=Q

+ 93,1201

Q

+ 32,4981

Q

( )002,0008,0008,039 1 ++= Q

= 1018,0

Q

==

029,039

1Q 2166,67 W

Salida total de calor1388,02 + 2166.67 = 3554,69 W

La fuente debe proporcionar 3,554 kW

b) Si se duplica el espesor de la pared del domo

( )

=

21

121

112 R Rk Q

( )( )

=

8,21

8,11

33,221

21

Q

( )65,311

21

= Q (2a)

Sumando (1), (2a) y (3):

( )08,122

140 1

= Q +65,311

Q

+32,498

1

Q

( ) 11 042,0002,0032,0008,039

=++= QQ

==

042,0391Q 928, 57 W

Salida total de calor 1388,02 + 928,57 = 2316,59 W

La fuente debe proporcionar 2,316 kW

RADIACION. Es el proceso de transferencia de calor por medio deondas electromagnticas durante el cual la masa delmedio no interviene puesto que no se refiere a laconveccin, ni a la conduccin, por ejemplo la

transferencia de energa del sol de la tierra.

Una sustancia puede ser estimulada a emitirradiacin electromagntica en varias formas, como por ejemplo un conductor elctrico con corrientealterna de alta frecuencia emite ondas de radio, una placa bombardeada por electrones con alta velocidademite rayos X, un lquido o slido caliente emiteradiacin trmica, etc.


28/70


28

En esta parte trataremos solamente la radiacintrmica.Experimentalmente STEFAN y BOLTZMANencontraron la ley que rige la radiacin, mostraronque la radiacin emitida, energa por unidad detiempo y por unidad de rea, por un cuerpo negro

(Sustancia Capaz de absorber toda la energa quellega a l) a una temperaturaT (Temperaturaabsoluta) es 4T R = Donde es la llamada constante de Boltzman.

428-

K horamkcal 10x4,88 =

=K m

W 10x5,67 428-

El calor transferido por radiacin de un cuerpo a unatemperaturaT al medio que lo rodea a unatemperatura 0T , es:

( )404 T T AeQ =

Dondee es el factor de emisividad del cuerpo atemperaturaT , siendo igual a 1 para el cuerponegro.

Ejemplo 57. La temperatura de trabajo del filamentode tungsteno de una lmpara incandescente es 2450K, y su emisividad es 0,30. Cul es la superficie delfilamento de una lmpara de 25 watts?Solucin.

Como 4T AeQ = 4T eQ A

=

Donde: W Q 25=

, K m

W .

1067,5 28= ,

30,0=e y K 2450=T Reemplazando valores obtenemos la superficie:

( )48 24501067,525

= A = 0,408 x 10-4m2

= 0,408 cm2

Ejemplo 58. Una persona desvestida tiene unasuperficie de 1,5 m2 expuesta a un ambiente y a unosalrededores de 27 C. La temperatura de su piel es de33 C y se puede considerar un emisor de radiacin perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor por conveccin es de 9 W/m2K, hllese:a) Las prdidas de calor por conveccin y porradiacin. b) El gasto energtico en kcal/da.Solucin.

a) =

hAQ conv = (9)(1,5)(33-27) = 81 W.

( )44 AC rad T T eAQ = = (5,67x10-8 )(1)( 1,5 )(3064-3004)= (5,67x10-8 )(1)( 1,5)(6,68x108)

= 56,8 W b) 2,846 kcal/da.El gasto energtico por da es:(56,8 + 81) J/s x 3600x24 s/da = 4907520 JComo 1 kcal = 4186 JEl gasto energtico en kcal/da:

4907520 J/da x 1 kcal /4186 J = 2,846 kcal/da.Ejemplo 59. Calcular la prdida neta de energaradiante de una persona desnuda en una habitacin a20 C, suponiendo que la persona se comporta comoun cuerpo negro. El rea del cuerpo es igual a 1,4 m2 y la temperatura de su superficie es de 33 C.Solucin.

( )44 AC rad T T eAQ =

= (5,67x10-8 W/m2.K 4)(1)( 1,4 m2 )(3064K-2934K) = (5,67x10-8 W/m2.K 4)(1)( 1,4 m2 )(13,98x108K) = 110, 97 W

Ejemplo 60. Los cables de calefaccin de una estufaelctrica de 1kW se encuentran al rojo a unatemperatura de 900 K. Suponiendo que el 100% delcalor emitido es debido a la radiacin y que loscables actan como radiadores ideales. Cul es elrea efectiva de la superficie radiante? Suponer latemperatura ambiente de 20 C.Solucin.


1000 = (5,67 x 10-8)(1)( A )(11734-2934) 1000 = (5,67 x 10-8)(1)( A )(1885 x 108) 1000 = 10687,95 A

95,106871000= A = 0,094 m2

Ejemplo 61. a) Cunta potencia irradia una esferade tungsteno (emisividad = 0,35) de 18 cm de radioa una temperatura de 25 ? b) Si la esfera est encerrada en un recinto cuyas paredes se mantienen a 5 C Cul es el flujo netode la energa liberada de la esfera?Solucin.a) ( ) 222 m101736,018,0 === R A

4eAT Q rad =

= (5,67x10-8)(0,35)(0,10173)(2984)= 15,92 W

b)


= (5,67x10-8)(0,35)( 0,10173)(2984K-2784)= 3,86 W

Ejemplo 62. La Tierra recibe aproximadamente 430W/m2 del Sol, promediados sobre toda su superficie,e irradia una cantidad igual de regreso al espacio (esdecir la Tierra est en equilibrio). Suponiendonuestro planeta un emisor perfecto (e = 1,00), estimesu temperatura superficial promedio.


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29

Solucin.( ) 222 m101736,018,0 === R A

4eT A

Q rad =

= (5,67x10-8)(1)(T 4) = 430

K T 2951067,5

4304 8 == , t = 22,1C

Ejemplo 63. a) Encontrar la potencia total radiadaal espacio por el Sol. Suponiendo que ste es unemisor perfecto conT = 5500 K. El radio del Sol es7,0x108 m. b) A partir del resultado anterior, determinar la potencia por unidad de rea que llega a la Tierra, quese encuentra a una distancia del Sol de 1,5x1011 m.Solucin.a)

( ) 216282 m1086,153100,7 === R A 4eAT Q rad =

= (5,67x10-8)(1)(153,86x1016)(55004)= 79,83x1024 W

b)( )211

24

101,541079,83

=

Area Potencia

= 282,48 W/m2

DEFINICIN DE UN GAS IDEAL.Los gases juegan un rol muy importante en muchos procesos termodinmicos, y antes de ir ms all, esimportante considerar una forma ingeniosa decomprender las propiedades de los gases. Esta ideaes llamada la teora cintica de los gases, trata deexplicar las propiedades macroscpicas de un gasexaminando el comportamiento de los tomos ymolculas que forman un gas. A simple vista esto parece ser imposible porque el nmero de tomosinvolucrados es demasiado grande, alrededor de 1027 tomos llenan una habitacin. Sin embargoutilizando la estadstica, se puede predecir conmucha precisin las caractersticas de un gas. En lo

siguiente asumiremos que estamos trabajando conun gas ideal con las propiedades siguientes:Un gas est formado por partculas llamadasmolculas.Las molculas se mueven irregularmente y obedecenlas leyes de Newton del movimiento.El nmero total de molculas es grande.El volumen de las molculas mismas es una fraccininapreciablemente pequea del volumen ocupado por el gas.Entre molculas no obran fuerzas de consideracin,

salvo durante los choques.Los choques son perfectamente elsticos y deduracin insignificante.

Los gases reales no siguen exactamente estecomportamiento, pero es una buena forma paracomenzar.

El comportamiento de las masas encerradas de gasesideales se determina por las relaciones entre p, V o p,T , o V , T cuando la tercera cantidadT o V o p respectivamente, es mantenida constante; estasrelaciones fueron obtenidas experimental por Boyle,Gay-Lussac y Charles respectivamente.

LEY DE BOYLE.La presin ( p) de un gas idealvara inversamente a su volumen (V ) si latemperatura (T ) se mantiene constante.

V p

1 conT constante Constante= pV

2211 V pV p =

LEY DE GAY-LUSSAC.La presin ( p) de un gasideal vara directamente a su temperatura (T ) si elvolumen (V ) se mantiene constante.

T p conV constante Constante=T p

2

2

1

1

T

p

T

p =

Nota: Esta ley se deduce con el termmetro de gas avolumen constante

C p p

t o

C

= 115,273

C p pt =+1

15,273

C p

pt =+15,273

15,273

C C p p

T T =

o2

2

1

1

T p

T p =

LEY DE CHARLES. El volumen (V ) de un gasideal vara directamente a su temperatura (T ) si la presin ( p) se mantiene constante.

T V con p constante Constante=T V

2

2

1

1

T V

T V =


30/70


30

Nota: Esta ley se deduce con el termmetro de gas a presin constante

C V V

t C

115,273

=

C V V t =+1

15,273

C V

V t =+15,273

15,273 C C V

V T T =

o2

2

1

1

T V

T V =

ECUACIN DE ESTADO DE UN GAS IDEAL.El comportamiento de gases ideales se caracteriza entrminos de p, V y T . Tal ecuacin se llama laecuacin del gas ideal. El comportamiento de

cualquier estado de la materia se puede caracterizargeneralmente por una cierta relacin entre la presin( p) y la densidad ( ) que por supuesto correspondeal volumen (V ). La ecuacin de los gases ideales puede obtenerse por la combinacin de dos de lastres leyes de los gases indicadas anteriormente.Sea el gas encerrado con condiciones iniciales1 p ,

1V y 1T , llevado a un estado final 2 p , 2V y 2T como sigue:

2

22

1

11

T V p

T V p =

o Constante=T

pV

Nota: Se encontr que el valor de la constante esdependiente en la masa del gas dado y tambin seencontr que no es igual para una unidad de masa dediferentes gases. Sin embargo, se encuentra que silo es para 1 mol de masa (la masa numricamenteequivalente en gramos al peso molecular, ejemplo, 2g para H2, 32 g para el O2, 28 g para el N2, etc.) decualquier gas ideal entonces el valor de la constantees igual para todos los gases. Esta constante igual para todos los gases es denotada generalmente por R y llamada la constante universal de los gases.

K molcal 1,986

K molJ314,8 == R

La ecuacin del gas ideal por lo tanto se escribenormalmente como

nRT pV =

Donde n = nmero de moles.

El nmero de moles se define como, el cociente dela masa de gas M a su peso molecular ( M 0)

0 M M

n =

Si esm la masa de cada molcula de un gas y N esel nmero de las molculas que hacen la masa total

M .

A N . = nmero de Avogadro = nmero de molculasen 1 mol de gas (cualquier gas).

Entonces M = mN y M 0 = mN A.

Por lo tantoa N

N n =

Luego RT N N

RT M M

nRT pV a

===0

Ahora, RT M M

pV 0

= RT mN mN

pV A

=

T N R

N pV A

=

El cociente entre las dos constantes R y A N es laconstante que designamos pork B, la constante deBoltzmann.

mol/10022,6K m