1
Principios de Equivalencia
• Concepto de Apertura.
• Principios de Equivalencia
• Expresiones de los Campos Radiados
• Directividad
• Aperturas rectangulares
• Distribuciones separables: ejemplos
• Aperturas circulares
Concepto de Apertura
• Las antenas de Apertura se
caracterizan por radiar la
energía al espacio que las rodea
a través de una abertura
(apertura)
– en algunos casos la apertura
está perfectamente limitada
por paredes metálicas
conductoras (Bocinas y
ranuras cortadas sobre planos,
cilindros, guíaondas, etc.).
– mientras que en otros casos
(reflectores y lentes) la
apertura se define como la
porción de la superficie frontal
plana en la que los campos de
la onda colimada por aquellos
toman valores apreciables.
Apertura
Plano de
Apertura
2
Teorema de Unicidad
En un medio homogéneo, dentro de un volumen V (libre de fuentes de radiación),
limitado por una superficie S, los campos existentes únicamente dependen del valor
que toman las componentes tangenciales de E y H sobre S.
rJFuentes de
Radiación
V S
$n
σ ε µ, ,
r rE H,
– Sean E1,H1 y E2,H2 dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell que cumplan:
$ $n E n ES S
× = ×r r1 2
$ $n H n HS S
× = ×r r1 2y
– Los vectores E1-E2 y H1-H2 también son solución de las Ecuaciones de Maxwell.
Aplicando el Teorema de la Divergencia a:
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ] [ ]
∇⋅ − × − = − ⋅ ∇ × − − − ⋅ ∇ × −
− × − ⋅ = − − − + −
=
− ≥
− ≥
⇒≡
≡∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
∫∫r r r r r r r r r r r r
r r r r r r r r r r
r r
r r
r r
r r
E E H H H H E E E E H H
E E H H ndS j H H E E dV E E dV
E E
H H
E E
H HS V V
S1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2
2
1 2
21 2
2
1 2
2
1 2
1 2
0
0
0
* * *
*
$ ω µ ε σ
La solución es UNICA: Los campos interiores se deben poder calcular a partir de sus
componentes tangenciales sobre S
Principios de Equivalencia
El análisis de estas antenas típicas de microondas se realiza a partir del
conocimiento de los campos E y H del frente de onda que atraviesa la apertura. – Estos campos se obtienen, en el caso de las bocinas y ranuras, a partir de los modos
que se propagan en su interior, mientras que para los reflectores y lentes se realiza un
trazado de rayos basado en óptica geométrica.
El análisis se basa en la aplicación de los Principios de Equivalencia
Electromagnética, que responden al siguiente planteamiento:
~
S
( )r rJ r ′
rE
S
rH
SDatos
– Si se conocen los campos en una superficie cerrada S que
contiene todas las fuentes (corrientes reales) de campo, ¿Pueden
obtenerse los campos radiados? ¿Existe alguna distribución de
corrientes equivalentes sobre S que produzca el mismo campo
radiado?
– La respuesta es afirmativa tal como sugiere el Principio de
Difracción que Huygens estableció para la luz en 1690.
3
Principios de Equivalencia
Principio de Huygens Principios de Equivalencia
><
$ $n z=
Plano XY
r
rE
H
a
a
Plano XY
r r
r rJ n H
M n E
s a
s a
= ×
= − ×
$
$
Onda
Plana
El Principio de Equivalencia, en su primera
forma, permiten sustituir, a efectos de
calcular los campos en el semiespacio z≥0, los campos en la apertura Ea, Ha, por las
corrientes superficiales equivalentes Js y
Ms, calculadas sobre la apertura
Planteamiento
Matemático
“Cada punto de un frente de ondas
actúa como una fuente secundaria de
generación de ondas esféricas; el
siguiente frente de ondas es la
envolvente de estas ondas secundarias
y así sucesivamente”.
Fuentes
Secundarias
Frentes
de Ondas
Ecuaciones Simétricas de Maxwell
AT 6
m
e
B
D
DjJH
BjmE
ρ=⋅∇
ρ=⋅∇
ω+=×∇
ω−−=×∇
r
r
rrv
rrr
=
0B
D
DjJH
BjE
A
eA
AA
AA
=⋅∇
ρ=⋅∇
ω+=×∇
ω−=×∇
r
r
rrv
rr
+
mF
F
FF
FF
B
0D
DjH
BjmE
ρ=⋅∇
=⋅∇
ω=×∇
ω−−=×∇
r
r
rv
rrr
Er
Hr
=
=
AEr
AHr
+
+
FEr
FHr
Ecuaciones Simétrica Ecuaciones con
fuentes eléctricas
Ecuaciones con
fuentes magnéticas
4
Fuentes Magnéticas Ficticias
η µ ε=
F: Potencial Vector Eléctrico
Para establecer los Principios de
Equivalencia es necesario introducir unas
fuentes ficticias de campo, de tipo
magnético:– Densidad de carga magnética ρm.– Densidad de corriente magnética
que cumplen el conjunto dual de
Ecuaciones de Maxwell que aparece en la
tabla.
En un problema con fuentes eléctricas
y magnéticas, los campos totales se
obtienen sumando los correspondientes a
cada distribución.
r rM Ms,
P.E.: Campos Radiados
( ) ( )r r r r r
A re
rJ r e dS A r A A
jkr
s
jkr r
Sr= ′ ′ = + +
−⋅ ′
′∫∫µ
πθ φθ φ
4
$ $ $ $
( ) ( )r r r r r
F re
rM r e dS F r F F
jkr
s
jkr r
Sr= ′ ′ = + +
−⋅ ′
′∫∫ε
πθ φθ φ
4
$ $ $ $
( )( ) ( )r r rE j r r A j r F
E
E j A j F
E j A j F
H
H E
H E
r r
= × × + ×
=
= − −
= − +
=
= −
=
ω ωη
ω ωη
ω ωη
η
η
θ θ φ
φ φ θ
θ φ
φ θ
$ $ $
0 0
En la zona de radiación:
Condiciones de Contorno:
( )( )( )( )
$
$
$
$
n D D
n B B
n E E M
n H H J
Ss
Sms
Ss
Ss
⋅ − =
⋅ − =
× − = −
× − =
r r
r r
r r r
r r r
1 2
1 2
1 2
1 2
ρ
ρ
r rE D1 1,
1
2
r rH B1 1,
r rE D2 2,
r rH B2 2,
$n
S
ε µ1 1,
ε µ2 2,
5
Teorema de las Imágenes Generalizado.
Resultados
válidos sólo para z ≥0
rJ
ρ
Conductor Eléctrico
Perfecto Plano e Indefinido
h$z ( )rE zt = =0 0
><( )
rE zt = =0 0
rM
ρm
rJ
ρ
rM
ρm
h
rJ i
ρ ρi = − rM i
ρ ρmi m=
σ = ∞
rJ
ρ
Conductor Magnético
Perfecto Plano e Indefinido
h$z ( )rH zt = =0 0
><( )
rH zt = =0 0
rM
ρm
rJ
ρ
rM
ρm
h
rJ i
ρ ρi = rM i
ρ ρmi = −
σm = ∞
1er Principio de Equivalencia
rJ V
S$n
ε µ,
r rE H,
Ambos problemas poseen los mismos campos tangenciales sobre S y, por lo
tanto, los campos radiados en V son IDENTICOS.
Se han sustituido el problema real, que posee unas corrientes reales a menudo
desconocidas, por otro con corrientes equivalentes que quedan como únicas
responsables de la radiación fuera de S.
rE = 0 V
S$n
ε µ,
r rE H,
rH = 0
V0 V0r r
r rJ n H
M n E
sS
sS
= ×
= − ×
$
$
><
S∞
Conocidos
$
$
n E
n H
E H
S
S
×
×
= =∞ ∞
r
r
r r0
se sustituyen las
fuentes interiores a V0
por la solución:
r
rE
H
=
=
0
0introduciendo
( )( )
r r
r rJ n H
M n E
sS
sS
= × −
= − × −
$
$
0
0
6
2o Principio de Equivalencia
rJ V
S$n
ε µ,
r rE H,
V
S$n
ε µ,
r rE H,
V0V0
r r
r rJ n H
M n E
sS
sS
= ×
= − ×
$
$
><
S∞
El volumen V0 se rellena de un conductor eléctrico perfecto que cumple:
Queda como responsable de la radiación la corriente magnética:
enfrentada al conductor eléctrico perfecto.
r rM n Es
S= − ×$
Conductor
Eléctrico
Perfecto
><
Plano XY
r
rE
H
a
a
r r
r rJ n H
M n E
s a
s a
= ×
= − ×
$
$ ><
Plano XYσ = ∞
><
r
rJ
M
s
s
Para
z>0
r
rJ
M
s
s
2rMs
$ $n z= $ $n z=
2º P.E. Teorema Imágenes
r rJ n Hs
S= ×$
3o Principio de Equivalencia
rJ V
S$n
ε µ,
r rE H,
V
S$n
ε µ,
r rE H,
V0V0
r r
r rJ n H
M n E
sS
sS
= ×
= − ×
$
$
><
S∞
El volumen V0 se rellena de un conductor magnético perfecto que cumple:
Queda como responsable de la radiación la corriente eléctrica:
enfrentada al conductor magnético perfecto.
r rM n Es
S= − ×$
Conductor
Magnético
Perfecto
><
Plano XY
r
rE
H
a
a
r r
r rJ n H
M n E
s a
s a
= ×
= − ×
$
$ ><
Plano XYσm = ∞
><
r
rJ
M
s
s
Para
z>0
r
rJ
M
s
s
2rJs
$ $n z= $ $n z=
3º P.E. Teorema Imágenes
r rJ n Hs
S= ×$
7
Aperturas Planas. Campos Radiados.
Plano XY
r
rE
H
a
a
$ $n z=
( ) ( )
( ) ( )
r
rE x E x y y E x y
H x H x y y H x y
a ax ay
a ax ay
= ′ ′ + ′ ′
= ′ ′ + ′ ′
$ , $ ,
$ , $ ,
r r
r rJ z H
M z E
s a
s a
= ×
= − ×
$
$
( ) ( ) ( )P u v E x y e dx dyx axj ux vy
Sa
, ,= ′ ′ ′ ′′+ ′∫∫2π
λ
( ) ( ) ( )P u v E x y e dx dyy ayj ux vy
Sa
, ,= ′ ′ ′ ′′ + ′∫∫2π
λ
( ) ( )r r r r r
A re
rz H r e dS
jkr
a
jkr r
S= × ′ ′
−⋅ ′
′∫∫µ
π4$ $
( ) ( )r r r r r
F re
rz E r e dS
jkr
a
jkr r
S= − × ′ ′
−⋅ ′
′∫∫ε
π4$ $
( )r r r
P E r e dSajkr r
Sa
≡ ′ ′⋅ ′∫∫ $
( )r r r
Q H r e dSajkr r
Sa
≡ ′ ′⋅ ′∫∫ $
( )
$ sen cos $ sen sen $ cos $
$ $
$
sen cos
sen sen
r x y z
r x x y y
kr r ux vy
u
v
= + +
′ = ′ + ′
⋅ ′ = ′ + ′
=
=
θ φ θ φ θ
π
λθ φ
θ φ
r
r 2
( ) ( ) ( )Q u v H x y e dx dyx axj ux vy
Sa
, ,= ′ ′ ′ ′′+ ′∫∫2π
λ
( ) ( ) ( )Q u v H x y e dx dyy ayj ux vy
Sa
, ,= ′ ′ ′ ′′+ ′∫∫2π
λ
Los potenciales
vectores valen:
definiendo:
Aperturas Planas. Campos Radiados.
( ) ( )( )θ θ φπ
φ φ η θ φ φE r = jke
rP P e Q en Q
-jkr
x y x y, , cos s n cos s cos4
+ − −
( ) ( ) ( )( )φ θ φπ
θ φ φ η φ φE r = jke
rP e P Q Q
-jkr
x y x y, , cos s n cos cos sen− − + +4
1er Principio
( ) ( )θ θ φπ
φ φE r = jke
2 rP P e
-jkr
x y, , cos s n+
( ) ( )φ θ φπ
θ φ φE r = jke
rP e P
-jkr
x y, , cos s n cos− −2
2o Principio
( ) ( )θ θ φ ηπ
θ φ φE r = jke
2 rQ Q
-jkr
x y, , cos sen cos− −
( ) ( )φ θ φ ηπ
φ φE r = jke
2 rQ Q
-jkr
x y, , cos sen− +
3o Principio
Todas las expresiones son sólo válidas para: 0 2≤ ≤θ π
8
Aperturas Planas. Campos Radiados
Para aperturas grandes, en que Ha y Ea están relacionados por η (fuente de
Huygens), los campos de radiación del 1er Principio se pueden escribir como:
( ) ( )θ θ φπ
θφ φE r = jk
e
2 rP P e
-jkr
x y, ,cos
cos s n1
2
+
+
( ) ( )φ θ φπ
θφ φE r = jk
e
2 rP e P
-jkr
x y, ,cos
s n cos−+
−
1
2
QP
QP
x
y
yx
= −
=
η
η
Si se utilizan los campos exactos de todo el plano de apertura los 3 principios dan
los mismos resultados. Cuando se utiliza la apertura definida como el área donde los
campos toman valores significativos, los resultados difieren si las aperturas son
pequeñas para θ alejados del máximo principal.
Para aperturas grandes, directivas, en las que la radiación se concentra en
direcciones próximas a θ=0 los diagramas obtenidos con los 3 principios son prácticamente coincidentes.
- Si la polarización es lineal y se mantiene constante en la apertura
este modelo predice contrapolar nula
Aperturas Planas. Polarización.
• Si la apertura es pequeña y se abre sobre un
plano conductor grande (ranuras, bocas de
guía sobre planos, etc.) debe utilizarse el 2º
Principio ya que fija la misma condición de
contorno que la realidad.
• También se ha comprobado con medidas
que el 2º Principio (Modelo de Campo
Eléctrico) modela mejor la radiación
contrapolar de pequeñas bocinas sin plano
de masa.
1er Principio2o Principio
9
Aperturas Planas. Polarización.
La polarización del campo radiado (sobre el lóbulo principal) coincide con la
polarización del campo de iluminación de la apertura, p.e.:
( )rE x E x ya a= ′ ′$ , ( ) ( ) ( )
rE r = jk
e
2 ren P
-jkr
x, , $ cos $ cos s ,θ φπ
θ φ φ θ φ θ φ−2º Principio
cuando θ → 0
Los campo radiados son en general el producto de un término de polarización por
un “Factor de Radiación” (P(θ,φ), Q(θ,φ)) que determina, para aperturas eléctricamente grandes, el diagrama de radiación que es así función de la
dimensiones y de la ley de iluminación de la apertura.
Este factor juega el mismo papel que el “Factor de Array” en análisis de arrays.
De hecho se puede llegar a las expresiones de los factores de radiación, que no
son otra cosa que las Transformadas de Fourier bidimensionales de los campos
de apertura, considerando ésta como un array reticular continuo de elementos
dxdy.
$ $ cos $ s $e en x= − =θ φ φ φ
Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.
x
y
Lx
Ly
rE y E x L y La x y= ≤ ≤$
0 2 2
( )$ sen cos $ sen sen $ cos $
$ $
$
sen cos
sen sen
r x y z
r x x y y
kr r k ux vy
u
v
= + +
′ = ′ + ′
⋅ ′ = ′ + ′
=
=
θ φ θ φ θθ φ
θ φ
r
r
( )( )( )
( )( )( )
( )P u v E e dx e dy E L L
k L u
k L u
k L v
k L vy
jkux
L
Ljkvy
L
L
x y
x
x
y
yx
x
y
y
,sen sen
= ′ ′ =′
−
′
−∫ ∫02
2
2
2
0
2
2
2
2
( )( )( )
( )( )( )
( )θ θ φ
π
θφE r = jk
e
2 rE L L e
k L u
k L u
k L v
k L v
-jkr
x y
x
x
y
y
, ,cos
s nsen sen1
2
2
2
2
20
+
( )( )( )
( )( )( )
( )φ θ φ
π
θφE r = jk
e
2 rE L L
k L u
k L u
k L v
k L v
-jkr
x y
x
x
y
y
, ,cos
cossen sen1
2
2
2
2
20
+
Iluminación:
Campo Radiado (1er Principio)
10
Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.
Diagramas aproximados en los Planos Principales:
Plano E (φ=90º):
0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340
30
20
10
0
( )( )( )
( )NE
y
y
F =k L v
k L vθ φ,
sen 2
2( )φ θ φE r =, , 0
Plano H (φ=0º):
0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340
30
20
10
0
( )( )( )
( )NH
x
x
F =k L u
k L uθ φ,
sen 2
2( )θ θ φE r =, , 0
Plano H Plano E
-13.26 dB
uL x
0 =λ
Lx=20λ
Ly=10λLx=20λ
Ly=10λ
vL y
0 =λ
u=senθθθθ v=senθθθθBW
LH
x
0
2=
λ
Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.
0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.30.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
D
Lx=20λ
Ly=10λ
u
v
El diagrama es similar al del array
reticular rectangular de las mismas
dimensiones.
El nivel de lóbulos secundarios es
mayor en los planos principales que en
los planos diagonales.
Si la apertura estuviese iluminada
con polarización circular
los diagramas de campo representados
continuarían siendo válidos. La
polarización sería circular pura del
mismo sentido para θ=0º.
( )rE x jy Ea = +$ $
0
11
Distribuciones Separables
• En aperturas rectangulares las distribuciones de tipo separable permiten
controlar de forma independiente los diagramas correspondientes a ambos
planos principales.
• En efecto, tomando por ejemplo:
donde f1(v) y f2(v) son las transformadas de Fourier unidimensionales de las
distribuciones según x’ y según y’, respectivamente.
– Plano XZ (φ=0,π);v=0; f2(v)=cte; ⇒ P(u,0)= Cte · f1(u)
– Plano YZ (φ=π/2,3π/2);u=0; f1(u)=cte; ⇒ P(0,v)= Cte · f2(v)
( ) ( ) ( )E x y E x E ya a a′ ′ = ′ ′, 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
P u v E x y e dx dy
E x e dx E y e dy
P u v f u f v
aj ux +vy
S
aj ux
L
L
aj vy
L
L
a
x
x
y
y
, ,
,
= ′ ′ ′ ′
= ′ ′ ′ ′
⇒ =
′ ′
′
−
′
−
∫∫
∫ ∫
2
1
2
2
2
2
2
2
21 2
π
λ
π
λ
π
λ
Ejemplos de Distribuciones Separables
Triangular Coseno (Modelo Guía Rectangular abierta)
E Ex
L
Lx
La
x
x x= −
− ≤ ≤0 1
2
2 2E E
x
L
Lx
La
x
x x=
− ≤ ≤0
2 2cos
π
( )( )
( )f u E
L kuL
kuL
x x
x
1 0
2
22
4
4=
sen
0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340
30
20
10
0
0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340
30
20
10
0
( )( )
( )f u E
L kuL
kuL
x x
x
1 0 2
2 2
1=
−π π
cos
-26.5 dB
uLx
0 2=λ
BWL
radx
0 4≈λ
εax=0.75Lx=10λ εax=0.81
BWL
radx
0 3≈λ
uLx
0
3
2=
λ
-23.0 dB
Lx=10λ
u=senθθθθ u=senθθθθ
DL Lx y
ax ay0 24= π
λε ε εa uniforme =1
12
Directividad
• En aperturas bien enfocadas (máximo de radiación en θ=0) la directividad vale:
• La potencia radiada se obtiene como el flujo de potencia que atraviesa la
apertura:
• La directividad vale:
( )D
S
P rR
0 2
0
4=
< = >θ
πk r r$ ⋅ ′ =
r0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )< = >=
= + ==
= + =S
E Ek
P P
r
x yθ
θ θ
η
θ θ
η π
θ φ0
0 0
2
0 0
2 2
2 2
2
2 2
2
( ) ( )[ ]P E x y E x y dx dyR ax ay
SA
= ′ ′ + ′ ′ ′ ′∫∫1
2
2 2
η, ,
( ) ( )
( ) ( )[ ]D
E x y dx dy E x y dx dy
E x y E x y dx dy
ax
S
ay
S
ax ay
S
A A
A
0 2
2 2
2 2
4=
′ ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ′
′ ′ + ′ ′ ′ ′
∫∫ ∫∫
∫∫
π
λ
, ,
, ,
Directividad - Eficiencia
• Para aperturas planas uniformemente iluminadas, la directividad vale:
• La eficiencia de iluminación de apertura (εA) da idea de lo bien que se aprovecha la apertura, esto es, lo uniforme que es su campo de iluminación en
amplitud y fase.
( ) ( )
( ) ( )[ ]εA
ef
A
ax
S
ay
S
A ax ay
S
A
S
E x y dx dy E x y dx dy
S E x y E x y dx dy
A A
A
≡ =
′ ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ′
′ ′ + ′ ′ ′ ′≤
∫∫ ∫∫
∫∫
, ,
, ,
2 2
2 21
D SA0 2
4=
π
λ
D A Sef A A0 2 2
4 4= =
π
λε
π
λ
SA: Superficie de la Apertura
(independiente de la forma)
En distribuciones rectangulares separables εA=εaxεay
13
Iluminaciones Rotacionalmente Simétricas
r´
x
y
z
θθθθ
φφφφ
r
φφφφ´
a( )a aE = xE r r ar
$ ′ ′ ≤
( )P = E r e dSx a
jkr r
Sa
′ ′⋅ ′
∫∫$r
( ) ( )$ sen cos cos sen sen sen cosr r r r⋅ ′ = ′ ′ + ′ = ′ − ′r
θ φ φ φ φ θ φ φ
( )rE jk
e
rP
jkr
x= −+ −
$ cos $ sencos
θ φ φ φθ
π
1
2 2
En este caso la apertura radiante es circular. En la
figura se muestran los parámetros geométricos
necesarios para su estudio.
Si la iluminación es uniforme
( ) ( ) ( ) ( )P = E r e d r dr E r J kr r drx a
jkr
r
a
ar
a
′ ′
′ ′ = ′ ′ ′ ′′ − ′
′=′= ′=∫∫ ∫sen cos
senθ φ φ
φ
π
φ π θ0
2
00
02
aE = xE r ar
$ 0 ′ ≤ ( ) ( )xJ x dx xJ x0 1∫ =
( )P = E a
J ka
kax 2 0
2 1πθ
θ
sen
sen
( )E jk
e
rE a
J ka
ka
E
CP
jkr
XP
=+
=
−1
2
0
0
2 1cos sen
sen
θ θ
θE E E
E E E
CP
XP
= −
= +
θ φ
θ φ
φ φ
φ φ
cos sen
sen cos
1er Principio
( )$ $e xCP θ = =0
Apertura Circular con Iluminación Uniforme
Para aperturas eléctricamente grandes, el diagrama
de radiación normalizado de campo vale:
( )( )
f =J ka
kae θ
θ
θ
2 1 sen
sen
dando un SLL=-17.6 dB
BW3dB=1.02λ/(2a)
BWnulos=2θ0
23 83 0 610 0
π
λθ θ
λλa
aasen , .= ≈ >>
BWnulos=2θ0=2.44λ/(2a)
2a=10λ
Diagrama con
simetría de
revolución
D0=4π(πa2)/λ2
14
Distribución Parabólica sobre Pedestal
( ) ( )E r C Cr
a
aD
ap
n
= + − −
=
1 1
2
2
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
f n,CCf n
C
nf n
CC
n
f nn J ka
ka
n
n
n
θθ θ
θθ
θ
,, ,
,! sen
sen
== +
−
+
+−
+
=++
++
01
11
12 11
1
1
2 1 0 1 240
30
20
10
0
C=-10
dB
-20 dB
-14 dB
θ (grados)
Diagrama
ormalizado
(n=2, a= 50λλλλ)
Campo
en la
Apertura
(C=-10 dB)
n=1
50 30 10 10 30 500
0.2
0.4
0.6
0.8
11.0
n=2
n=0
-a ar
Diagrama normalizado de campoModelo de campo de apertura
Distribuciones Parabólicas sobre Pedestal
HP: Ancho de Haz a -3 dB
εt: Eficiencia de Iluminación
Típicamente, los reflectores
reales, sin o con débil
bloqueo, dan niveles de
lóbulos secundarios entre
n=1 y n=2
Parámetros típicos de Diagramas de Radiación de Reflectores
15
Distribución Parabólica sobre Pedestal
40 30 20 10 035
30
25
20
)
ivel de Lóbulo Secundario (dB) (n=2)
Depende sólo del nivel de pedestal
No depende del radio de la apertura
Se observa que para conseguir
lóbulos secundarios bajos interesa
una iluminación de borde entorno a
-18, -20 dB.
C(dB)
Antenas de Ranura
• Ranuras
• Principio de Babinet
• Admitancias mutuas
16
Radiación de Ranuras Resonantes
En el caso resonante: 2/L λ=
rE yE z y
V
aza m
m=
= −
$ cos $ cos
2 2π
λ
π
λ
$ $n x=
r rM n E z
V
azst a
m= − × =
2
2 2$ $ cos
π
λ
∫ ∫−= −=
φθθ−
≈
λ
π
π
ε=
4
4z
2a
2ay
sensenjkycosjkzm
jkr
a
dyedzez2
cosa
V2
r
e
4zF
l
l 444 3444 21
r
Eθ = 0
θ
−
θ
π=
−
φsen
2
kcoscos
2
kcos
r
eVjE
jkr
m
ll
Vm
Ranura excitada en guía
Ranura excitada con coaxial
(Campo válido x>0)
(Campo válido todo el espacio)
Expresión similar
(dual) a la del
dipolo en λ/2E j
V e
r
m
jkr
φπ
πθ
θ=
− cos cos
sen
2
2/a λ<<
Para una ranura
radiando en todo el
espacio D0=1.64
Admitancia de Ranuras Resonantes
Ω≈η
== 480R4P2
VR
dipolorad
2
rad
2
mNOTA: No confundir esta resistencia con
la conductancia equivalente a la radiación
de una ranura cortada sobre una guía
onda
jBGV
P2Y
2
*
a +==
λ>>
λ
λ<<
λ=θθ
θ
−
θ
πη== ∫
π
ll
llll
2
2
0
3
2
0
2
2
rad
120
1
90
1
dsincos
2
kcoscos
2
kcos
2
V
V
P2G
B depende de la implementación y de la alimentación
17
Principio de Babinet - Relación de Bookers
“Si se suma el campo tras una pantalla
con una apertura Em al campo de la
estructura complementaria Ee, se
obtiene el campo en el vacío E0”
Jr
Mr
me0
me0
HHH
EEErrr
rrr
+=
+=
mm HErr
ee HErr
“El producto de las impedancias de
estructuras complementarias inmersas
en un medio de impedancia intrínseca η
vale η2/4”
Dipolo Ranura
sZdZ
4Y
ZZZ
2
d
sds
η==⋅
Admitancias Mutuas entre Ranuras
Ranuras
Dipolos
∑=
=N
1n
s
mn
s
n
s
m YVI
∑=
=N
1n
s
mn
s
n
s
m ZIV
n...1m,1m,...0n0Vs
n +−==s
mm
s
m
s
m YVI =⇒⇒⇒⇒
n...1m,1m,...0n0Isn +−==s
mm
s
m
s
m ZIV =⇒⇒⇒⇒
4Y
Z 2
s
mm
d
mm η=⇒⇒⇒⇒
Ranuras
Dipolos
∑=
=N
1n
s
mn
s
n
s
m YVI
∑=
=N
1n
s
mn
s
n
s
m ZIV
mn0Vs
n ≠=s
mn
s
m
s
n YVI =⇒⇒⇒⇒
mn0Isn ≠=s
mn
s
m
s
n ZIV =⇒⇒⇒⇒
4Y
Z 2
s
mn
d
mn η=⇒⇒⇒⇒
[ ] [ ]s2
s Z4
Yη
=
18
Antenas de Parche
• Parches
• Modelo de Líneas de Transmisión
• Modelo de Cavidad
• Polarización circular
Parches Microstrip
Parche rectangular Parche circular
19
Modos de Alimentación de Parches
Modelo de Linea de Transmisión
Yin
( )LtanjGLtanBY
LtanYBjGYjBGY
22c
c22c11in
β+β−
β++++=
β
L
rr f2
c
1
2
f2
cw
ε≈
+ε=
Anchura resonante
( )121in
r
2
c
22
c GG2Yf2
cL
YBG
BY2Ltan ±=⇒
ε≈⇒
−+=β
Longitud Resonante
( ) 1.0h
hk24
11
120
WGG
0
2
0
0
21 <λ
−
λ≈=
( )[ ] 1.0h
hkln636.01120
WBB
0
0
0
21 <λ
−λ
≈=
( ) θθθ
θ
θ
π≈ ∫
π
dsinLsinkJcos
cos2
Wksin
120
1G
3
00
2
0
0
212
20
Diseño según el Modelo de Linea de Transmisión
1h
w
w
h121
2
1
2
121
rreff >>
+
−ε+
+ε=ε
−
w
εr h
w εeff
h
L
εr h
w
∆L∆L
8,0h
w
264,0h
w
258,0
3,0412,0
h
L
eff
eff
+
+
−ε
+ε=
∆
η
∆=v
LC Capacidad asociada al
desbordamiento
L2LLeff ∆+=
Modelo de Cavidad
( )r
010rL2
cf
ε= ( )
r
001rw2
cf
ε=
( )r
020rL
cf
ε= ( )
r
002rW
cf
ε=
Modo dominante
si W>L>h
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
µεω==
π+
π+
π=++
µ=
µ−=
=
ωµε−=
ωµε−=
ωµε
−−=
2
r
2
r
222
2
z
2
y
2
x
zyxmnp
y
y
zyxmnpz
y
z
zyxmnp
zy
z
zyxmnp
yx
y
zyxmnp
2
x
2
x
kW
p
L
n
h
mkkk
zkcosyksenxkcosAk
H
zksenykcosxkcosAk
H
0H
zksenykcosxksenAkk
jE
zkcosyksenxksenAkk
jE
zkcosykcosxkcosAkk
jE
Campos en la Cavidad
21
Modelo de Cavidad - Radiación
Conocido el modo excitado se obtienen las corrientes equivalentes responsables
de la radiación
as
as
EnM
HnJrr
rr
×−=
×=
TMx010 TMz
110
Slots radiantes
Slots no radiantes
Modelo de Cavidad - Radiación
( )
ArrayFactor
eff0
Elemento
0
0
0
0
000
r
sensen2
Lkcos2
cos2
Wk
cos2
Wksen
cossen2
hk
cossen2
hksen
senr
rjkexp
2
hWEkjE
0EE
φθ
θ
θ
φθ
φθ
θ−
π=
==
φ
θ
X
Y
ElementoF Array
E Total
Plano E Plano E
Y
X
22
Modelo de Cavidad - Impedancia
z
yy0
z0
Alimentación mediante un Alimentador Coaxial
( ) ( )
π
−
Φωµ= ∑∑
L2
dmJ
kk
x,yhjx,yZ 0
m n2
mn
2
eff
00
2
000
( )
π
πεε=Φ
W
zncos
L
ymcos
LWz,y 00nm00
d: anchura de corriente equivalente (se ajusta midiendo)
( )e
eff
2
0effr
2
effW2
Perdidaskj1k
ω=δδ−ε=
≠
==ε
0msi2
0msi1m
Polarización Circular con Parches
• Alimentación dual
• Alimentación simple
( )( ) ( )2t
2y
x
010LQj1k
LysencETM
π−−
′π=⇒
( )( ) ( )2t
2z
x
001WQj1k
WzsencETM
π−−
′π=⇒
efft tan1Q δ=
W
z
L
y ′=
′
( )( )
+≈⇒=
π−−
π−−≈
tt
t
z
y
Q
11WL.C.P
WQ2j1k
LQ2j1k
E
E
23
Polarización Circular con Parches
• Polarización mediante ranuras • Polarización mediante recorte de las
esquinas
2.27
W
2.27
L
10
cd
72.2
W
72.2
Lc
===
==