Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza

Propiedad de Paridad en la transformada de Fourier

A partir de la definición del espectro dada por las ecuaciones de Fourier, surgen muchosteoremas útiles e interesantes. Uno de particular interés es el resultado de trabajar con ondasReales [ℝ ] . En cualquier circuito físico que pueda concebirse, las formas de onda devoltaje (o de corriente) son funciones reales (a diferencia de funciones complejas) en eltiempo.

Ecuación del Espectro:

V (f )=F [v (t)]≃∫−∞

∞

v(t )e− j2π ft dtEc. 4. Chapter 2. Signals and Spectra [Carlson – Communication System]

TEOREMA.:La simetría espectral de señales reales. Si W (t) es real, entonces

W (−f )=W∗(f ) Ec.1

(El asterisco denota la operación de conjugada). Demostración: A partir de la ecuación

W ( f )=F [w( t)]=∫−∞

∞

[w (t)]e−j 2π ftdt Ec.2

Se obtiene:

W (−f )=∫−∞

∞

w (t)e j2π ft dt Ec. 3

y tomando el conjugado de la ecuación Ec.[2] se obtiene:

W (f )=∫−∞

∞

w(t )e j2π ftdt Ec.4

Pero ya que W (t ) es real, w (t)=w(t) y la ecuación Ec.1, sigue debido a que los lados derechos de las ecuaciones Ec.[2] y Ec.[3] son iguales. Puede también mostrarse que si W (t) es real y resulta ser una función par de t , entonces W (t) también es real. Demanera similar, si W (t) es real y es una función impar de t , entonces W (t) es imaginaria.

para una W (t) real, el espectro de magnitud es par alrededor del origen (es decir, def=0 ), o

Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza

|W (−f )|=|W (f )| Ec.5

y el espectro de fase es impar alrededor del origen:

θ(−f )=−θ(f ) Ec.6

Esto puede demostrarse fácilmente escribiendo el espectro en forma polar:

W ( f )=|W ( f )|e jθ(f )

W (−f )=|W (−f )|e jθ(f )

W ( f )=|W (f )|e− jθ(f )