Paridad de fourier
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Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza Propiedad de Paridad en la transformada de Fourier A partir de la definición del espectro dada por las ecuaciones de Fourier, surgen muchos teoremas útiles e interesantes. Uno de particular interés es el resultado de trabajar con ondas Reales [ℝ] . En cualquier circuito físico que pueda concebirse, las formas de onda de voltaje (o de corriente) son funciones reales (a diferencia de funciones complejas) en el tiempo. Ecuación del Espectro: V ( f )=F [ v ( t )]≃ ∫ −∞ ∞ v ( t ) e − j 2 π ft dt Ec. 4. Chapter 2. Signals and Spectra [Carlson – Communication System] TEOREMA.:La simetría espectral de señales reales. Si W ( t ) es real, entonces W (− f )=W ∗( f ) Ec.1 (El asterisco denota la operación de conjugada). Demostración: A partir de la ecuación W ( f )= F [ w ( t )]= ∫ −∞ ∞ [ w ( t )] e −j 2 π ft dt Ec.2 Se obtiene: W (− f )= ∫ −∞ ∞ w ( t ) e j 2 π ft dt Ec. 3 y tomando el conjugado de la ecuación Ec.[2] se obtiene: W ( f )= ∫ −∞ ∞ w ( t ) e j 2 π ft dt Ec.4 Pero ya que W ( t ) es real, w ( t )= w ( t ) y la ecuación Ec.1, sigue debido a que los lados derechos de las ecuaciones Ec.[2] y Ec.[3] son iguales. Puede también mostrarse que si W ( t ) es real y resulta ser una función par de t , entonces W ( t ) también es real. De manera similar, si W ( t ) es real y es una función impar de t , entonces W ( t ) es imaginaria. para una W ( t ) real, el espectro de magnitud es par alrededor del origen (es decir, de f =0 ), o
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Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza
Propiedad de Paridad en la transformada de Fourier
A partir de la definición del espectro dada por las ecuaciones de Fourier, surgen muchosteoremas útiles e interesantes. Uno de particular interés es el resultado de trabajar con ondasReales [ℝ ] . En cualquier circuito físico que pueda concebirse, las formas de onda devoltaje (o de corriente) son funciones reales (a diferencia de funciones complejas) en eltiempo.
Ecuación del Espectro:
V (f )=F [v (t)]≃∫−∞
∞
v(t )e− j2π ft dtEc. 4. Chapter 2. Signals and Spectra [Carlson – Communication System]
TEOREMA.:La simetría espectral de señales reales. Si W (t) es real, entonces
W (−f )=W∗(f ) Ec.1
(El asterisco denota la operación de conjugada). Demostración: A partir de la ecuación
W ( f )=F [w( t)]=∫−∞
∞
[w (t)]e−j 2π ftdt Ec.2
Se obtiene:
W (−f )=∫−∞
∞
w (t)e j2π ft dt Ec. 3
y tomando el conjugado de la ecuación Ec.[2] se obtiene:
W (f )=∫−∞
∞
w(t )e j2π ftdt Ec.4
Pero ya que W (t ) es real, w (t)=w(t) y la ecuación Ec.1, sigue debido a que los lados derechos de las ecuaciones Ec.[2] y Ec.[3] son iguales. Puede también mostrarse que si W (t) es real y resulta ser una función par de t , entonces W (t) también es real. Demanera similar, si W (t) es real y es una función impar de t , entonces W (t) es imaginaria.
para una W (t) real, el espectro de magnitud es par alrededor del origen (es decir, def=0 ), o
Notas: Análisis de Fourier. Kevin Jessid Figueroa Maza
|W (−f )|=|W (f )| Ec.5
y el espectro de fase es impar alrededor del origen:
θ(−f )=−θ(f ) Ec.6
Esto puede demostrarse fácilmente escribiendo el espectro en forma polar:
W ( f )=|W ( f )|e jθ(f )
W (−f )=|W (−f )|e jθ(f )
W ( f )=|W (f )|e− jθ(f )
