Laboratorio de Óptica, Grupo 8791 – Semestre 2015-2 Profesor: Héctor Cruz Ramírez. Ayudante: Jorge Arturo Monroy Ruz Equipo n° 5: Jesús Isaí Ramírez Alvarado, Emmanuel de los Santos Vázquez, Abel Torres Añorve, Omar Elías Velasco Castillo.
PRÁCTICA N°2: LENTES E IMÁGENES.
RESUMEN En este reporte se da a conocer el desarrollo y los resultados de una práctica de laboratorio realizada con el uso de lentes positivas
y negativas, para posteriormente pasar a emplearlas en el montaje de dos arreglos ópticos que hagan las veces de un telescopio
kepleriano y un microscopio compuesto. Una vez determinadas las distancias focales de las lentes, que fueron de 32.7 cm +/- 7
mm en un caso con objeto infinito y 20.7 cm +/- 8 mm en otro caso para la positiva y de -46.500 cm para la negativa; se discutió
el funcionamiento de las lentes cualitativa y cuantitativamente. Después se dispuso las lentes para otro tipo de arreglos ópticos:
el telescopio y el microscopio. Finalmente con esto se realizaron los cálculos de los aumentos para las lentes en cada uno de los
casos, obteniendo una magnificación de -0.182 en el telescopio y de +2.331 para el microscopio.
OBJETIVOS 1. Medir la distancia focal de una lente positiva mediante la formación de imágenes.
2. Medir la distancia focal de una lente negativa mediante la formación de imágenes.
3. Construir un telescopio kepleriano.
4. Construir un microscopio compuesto.
INTRODUCCIÓN Como ya se anticipó, se pretende centrar nuestro
análisis para la clasificación de las lentes como
positivas y negativas.
Las lentes esféricas positivas son lentes que
convergen los rayos de luz de un objeto distante (en
el infinito) en un punto de la imagen. También son
conocidas simplemente como lentes convergentes o
positivas (+) [7]. Ambas superficies de tal lente
pueden ser esféricas, o una plana y la otra esférica.
Las lentes convexas, por otro lado, son más gruesas
en el centro que en los bordes. Son frecuentemente
lentes biconvexas con la misma curvatura en ambas
superficies [2], [4], [6].
En contraparte tenemos a las lentes negativas
esféricas, también conocidas como lentes
divergentes o negativas (-) [7], son aquellas en las que
el haz de rayos que incide diverge después de
refractarse. Estas lentes son frecuentemente
bicóncavas con la misma curvatura en ambas
superficies. Las dos superficies de estas lentes pueden
ser ambas esféricas o una plana y la otra esférica.
Siempre son lentes delgadas en el centro y gruesas en
los extremos [2], [4], [6].
Así pues, bajo este criterio de clasificación, tenemos
una definición para un instrumento óptico tal como
es la lente: una lente funge como un instrumento que
fomenta de cierta forma la convergencia o
divergencia de un haz de rayos de luz [3], que para
fines prácticos se puede ver como las imágenes de
cualquier objeto a nuestro alrededor. Es aquí cuando
se realiza una clasificación para las que se pueden
formar con ellas [7]:
Imagen real: Una imagen que se forma por
rayos de luz que convergen (y se intersectan)
en puntos de una imagen, puede recogerse
en una pantalla.
Imagen virtual: Contrariamente a una
imagen real, es una imagen imaginaria
formada por rayos divergentes de luz. Cada
punto de una imagen virtual es fuente
aparente de rayos de luz divergentes. No
puede recogerse en una pantalla.
Cualquiera de los dos tipos de imagen puede
visualizarse en un arreglo con lentes positivas y/o
negativas si se determinan los parámetros para las
distancias de recorrido de los rayos luminosos que
según la teoría son los adecuados (cf. Teoría, [2], [3]).
Precisamente antes de pasar a ella, se discuten
algunos conceptos más que son necesarios para
entender el desarrollo de este informe [3], [7]:
Distancia focal: Distancia a lo largo del eje,
entre el plano central de la lente delgada y el
sitio donde se forma la imagen de un objeto
muy lejano. Por ejemplo, si la luz procedente
de una fuente de luz distante se enfoca a 1.0
m de la lente, la distancia focal es 1.0 m.
Distancia objeto: es la distancia que hay
entre la primera lente en un arreglo y el
objeto del cual se busca obtener una imagen.
Desde otro punto de vista lo podemos ver
como la longitud de la trayectoria de la luz
de un cuerpo hasta refractarse en una
primera lente.
Distancia imagen: a grandes rasgos,
distancia (desde una lente) a la cual se
formará la imagen del objeto.
Magnificación: La razón entre el tamaño de
la imagen y el tamaño del objeto (tamaño de
la imagen/tamaño del objeto). Puede ser
positiva (si la imagen del objeto es derecha)
o negativa (si la imagen del objeto es
invertida).
Por último, en un arreglo de 2 lentes o más,
es de suma importancia definir la distancia
de separación entre ellas. Esta longitud nos
hará variar la formación de la imagen en
todos sus aspectos.
TEORÍA Para el análisis de los parámetros que describen el
recorrido de la luz en la teoría de la óptica geométrica
paraxial y de primer orden, la formación de imágenes
con lentes delgadas (el que una lente sea delgada es
una aproximación adicional) está dada por la llamada
ecuación de lentes delgadas:
1
𝑓=
1
𝑠𝑜+
1
𝑠𝑖 (𝐸𝑐. 1)
La Ec.1 también es conocida como la ecuación de
Gauss para lentes delgadas. En la Fig. 1 se muestra un
sistema óptico conformado por una fuente de luz (F),
una lente (L) de distancia focal f. Si el objeto (O) se
encuentra en la posición so, entonces la imagen se
encuentra en la posición si de tal forma que se cumple
la Ec. (1).
Fig.1. Dibujo cualitativo que muestra gráficamente
los parámetros para las distancias que puede haber
en un arreglo óptico con una lente.
Donde so es la distancia del objeto, O, ver Fig.1, a la
lente delgada L; si es la distancia de la lente al plano
donde se forma la imagen (I) y f es la distancia focal
de la lente. Existe una convención de signos para so, si
y f que se resume en la Tabla 1:
Tabla 1. Convención de signos para los parámetros
so, si y f.
Véase que de (1) se puede tener que:
𝑠𝑖 =𝑠𝑜𝑓
𝑠𝑜 − 𝑓 (𝐸𝑐. 2)
Que viene siendo una expresión para la distancia de
formación de la imagen si en términos de la distancia
focal y la distancia de la lente al objeto (para una sola
lente).
El comportamiento de so y si es sintetizado en la Fig. 2
para una lente positiva y en la Fig. 3 para una lente
negativa. Todo sistema óptico se le asocia un eje
óptico, en este caso será el eje z de la Fig. 1, el cual es
definido como la dirección de un rayo de luz que pasa
por el centro de la lente de tal forma que el rayo
reflejado y el rayo transmitido tienen la misma
dirección que el rayo incidente. El plano que se
encuentra a la distancia focal de la lente y del lado del
objeto se llama plano focal posterior, y el plano que
se encuentra a la distancia focal de la lente del lado
de la imagen se llama plano focal frontal [3].
Fig.2. Relación entre so y si para una lente positiva
(f>0).
Fig.3. Relación entre so y si para una lente negativa
(f<0).
Por otro lado, la imagen puede ser amplificada e
invertida. Lo cual se modela con la siguiente ecuación
de amplificación transversal (Mt) [3]:
𝑀𝑡 = −𝑠𝑖
𝑠𝑜 (𝐸𝑐. 3)
En un arreglo con dos lentes, llamémosles 1 y 2, se
tiene una relación:
𝑠𝑜2 = 𝑠𝑖1 + 𝑑 (𝐸𝑐. 4)
Donde d denota la distancia de separación entre las
lentes. De aquí se tiene:
𝑠𝑜2 = 𝑑 − 𝑠𝑖1
Fig. 4. Dos lentes delgadas separadas por una
distancia más pequeña que sus distancias
focales.
Fig. 5. Dos lentes delgadas separadas a una distancia
mayor que la suma de sus distancias focales, se
forma una imagen intermedia real en medio de
ambas.
Sustituyendo esto último en la Ec.2 para el caso de la
lente 2:
𝑠𝑖2 =𝑠𝑜2𝑓3
𝑠𝑜2 − 𝑓2=
{𝑑 − [𝑠𝑜1𝑓1
𝑠𝑜1 − 𝑓1]} 𝑓2
(𝑠𝑜1𝑓1
𝑠𝑜1 − 𝑓1) − 𝑓2
(𝐸𝑐. 5)
En este mismo arreglo de dos lentes, el aumento
transversal total a la imagen final es el producto de
los aumentos transversales individuales de las lentes
1 y 2, los que sufren los rayos luminosos al traspasar
cada una:
𝑀𝑇𝑡 = 𝑀𝑡1𝑀𝑡2
De donde con la ayuda de las relaciones pasadas, se
llega a una ecuación para el aumento transversal total
final:
𝑀𝑇𝑡 =𝑓1𝑠𝑖2
𝑑(𝑠𝑜1 − 𝑓1) − 𝑠𝑜1𝑓1
Donde todas son cantidades conocidas por todo lo
anterior.
Otra relación útil para la magnificación transversal, en
valor absoluto, para una lente i = 1,2,… viene dada
por:
| 𝑀𝑡𝑖 | = |
𝑓𝑖
𝑥𝑜𝑖 |
Donde f es el parámetro de distancia focal para cada
lente y xo es la distancia objeto-foco, la separación
entre el objeto y el extremo que tiene la longitud focal
DESARROLLO EXPERIMENTAL
LENTE POSITIVA.
Nuestro arreglo experimental fue alineado con ayuda
de un láser y dos diafragmas. Después de estos se
retiró el láser y se colocó una fuente de luz colimada
blanca que también se alineó con la ayuda de los
diafragmas. Terminado todo el trabajo de alineación
se procedió a colocar nuestra lente positiva, una
imagen b/n y una pantalla sobre nuestro riel
graduado con ayuda de nuestros carritos.
Se fijó nuestra lente positiva y lo que varió fue la
distancia de nuestra imagen a la lente (So), después se
encontró la imagen sobre nuestra pantalla (Si).
LENTE NEGATIVA.
El arreglo experimental es muy análogo al de la lente
positiva, lo único que varía es que en esta parte
tenemos una lente positiva e introducimos una lente
negativa con cierta f (distancia focal). Se movió la
posición de nuestra diapositiva (imagen) y se
mantuvo fijo la distancia entre la lente negativa y
positiva, con este arreglo se procedió a encontrar
nuestra Si (imagen).
TELESCOPIO KEPLERIANO
Siempre hacemos énfasis en alinear nuestro sistema
y después colocar nuestros objetos. En este punto se
usaron dos lentes positivas separadas una distancia d,
se obtiene una imagen virtual y amplificada de un
objeto que se encuentra muy lejos.
MICROSCOPIO COMPUESTO
Se colocó un objeto muy pequeño en una pantalla
blanca. El objeto se colocó cerca del plano focal de la
primera lente (nombrado objetivo) se forma una
imagen. La imagen formada por el objetivo sirvió
como objeto para la segunda lente (nombrada ocular).
La posición de esta lente fue de tal manera que
obtenemos una imagen virtual amplificada.
RESULTADOS
LENTE POSITIVA
1.- Con objeto en el “infinito”.
Tenemos la ecuación de lentes:
1
so+
1
si=
1
f
Como el objeto se encuentra, en teoría, en el infinito,
el termino dependiente de So tiende a cero y la
formula puede expresarse como
1
si=
1
f
Se procedió a colocar el objeto lo ms lejos que el
arreglo experimental permitió (1.3 m) y se encontró
el rango de visibilidad óptima entre 32 y 33.4 cm.
Entonces
f = 32.7 cm +/- 7 mm
2.- Variando la distancia del objeto con lente fijo.
Nuevamente tenemos la ecuación de lentes:
1
so+
1
si=
1
f
Se colocó la lente a una distancia fija y el objeto se
puso en tres distancias distintas a esta
SO1 = 60 cm +/- 1 mm
SO2 = 50 cm +/- 1 mm
SO3 = 40 cm +/- 1 mm
Mediante una pantalla blanca y con la luz colimada se
encontró el rango de visión óptimo de la imagen para
cada caso:
(31.4, 32.2) cm => SI1 = 31.6 cm +/- 2 mm
(35, 36.1) cm => SI2 = 35.6 cm +/- 5 mm
(42.2, 44.4) cm => SI3 = 43.3 cm +/- 11 mm
Utilizando la ecuación de las lentes, se obtuvo una
distancia focal para cada caso de:
F1 =20.7 cm +/- 6 mm
F2 = 20.8 cm +/- 8 mm
F3 = 20.8 cm +/- 9 mm
Se podría concluir entonces que la distancia focal de
la lente tenía un valor de
f = 20.7 cm +/- 8 mm
Fig. 6 Diagrama de rayos para lentes positivas. El
rayo C viene de “infinito” y pasa por el foco, el rayo E
pasa por el eje óptico y no se desvía, el rayo F pasa
por el foco y se va a “infinito”.
LENTE NEGATIVA
Fig. 7. Sistema de dos lentes, la primera negativa, la
segunda positiva. So- forma una imagen virtual con
respecto a nuestra lente negativa, esta imagen
virtual se vuelve real gracias a la ayuda de nuestra
lente positiva. So+, Si+ es la distancia de la objeto e
imagen respecto a la lente positiva, So- , Si-
distancia objeto e imagen con respecto a la lente
negativa. El foco de la lente positiva y negativa es
(f+ , f- ).
Por nuestro diagrama, sabemos que
𝑆𝑜+ = 𝑆𝑖− + 𝑑
Ahora por la ec. De Gauss para lentes delgadas
sabemos lo siguiente:
1
So ++
1
Si +=
1
f +
Sustituyendo las relaciones pasadas tenemos
𝑆𝑖− =𝑑𝑓+ + 𝑆𝑖+(𝑓+ − 𝑑)
𝑆𝑖+ − 𝑓+
La lente negativa y la positiva, están separadas
(25±0.1) cm.
Al final llegamos a la ecuación #, pero algo muy
importante que debemos recalcar, es que hemos
encontrado una relación entre nuestra imagen virtual
(l. negativa), imagen real (l. positiva) y la So-. Entonces
usando un programa creado con ayuda de Octave
(estos detalles serán colocados en un Anexo) y con
ayuda de mínimos cuadrados vamos a detectar cuál
es nuestro f-(l. negativa)
Gráfica 1. Representa los parámetros (focos) que
mejor ajustarían una curva a nuestra ecuación So- vs
Si-. El eje x representa nuestros parámetros y el eje y
representa la suma de mínimos cuadrados debido a
un cierto parámetro.
De la gráfica anterior se nota que el mínimo está entre
46 cm y 48 cm, pero nuestro programa nos arrojó que
el mejor parámetro estaba entre 46.500 cm y 47.500
cm.
Ahora graficando nuestros datos So- vs Si- tenemos lo
siguiente.
Gráfica 2. Nuestro eje x representa So- y nuestro eje y
representa Si-.
Usando a nuestros datos la siguiente curva
𝑆𝑖− =𝑆𝑜− ∙ 𝑓∗
𝑆𝑜− − 𝑓∗
Donde f* es nuestro mejor parámetro
f* =-46.500 cm
y el signo menos se introdujo debido a la convención
de signos.
Gráfica 3. Curva no lineal (ec #) ajustada a nuestros
datos experimentales, hay que observar que es un
buen ajuste y esto gracias a que se eligió el
parámetro correcto.
TELESCOPIO KEPLERIANO
Esta parte fue desarrollada muy cualitativamente y
este fue nuestro resultado. Para lograr la imagen de
la Fig.8 se aleja la imagen a una distancia muy grande
en nuestro caso de 4 m. Hay que notar que la imagen
se invierte.
Fig 8. Telescopio Kepleriano.
Fig 9. Diagrama de rayos para el Telescopio
Kepleriano.
Para el telescopio se obtuvieron los siguientes
parámetros:
f1 = 7 cm +/- .5 mm
f2 = 20 cm +/- .5 mm
xo = 380 cm +/- .5 mm
xo* = -2 cm +/- .5 mm
Tomando valor absoluto en la fórmula para la
magnificación o aumento total transversal viene dada
por:
|𝑀𝑇𝑡| = |𝑀𝑡1||𝑀𝑡2|
Donde
|𝑀𝑡1| = |𝑓1
𝑥𝑜| =
20
380= 0.052
Y
|𝑀𝑡2| = |𝑓2
𝑥𝑜 ∗| =
7
2= 3.5
Así, la magnificación fue de un orden de:
|𝑀𝑇𝑡| = (0.052)(3.5) = 0.182
Lo cual concuerda con la idea de que un telescopio
debe achicarnos la imagen de un objeto grande.
Tomamos valor absoluto para evitar la convención de
signos sin olvidar que según nuestro diagrama de
rayos, el aumento es negativo puesto que se forma
una imagen virtual (invertida, como indica la Fig. 8).
MICROSCOPIO COMPUESTO
Lamentablemente en esta parte no pudimos tomar
foto de un objeto en específico, pero ponemos el
ensamble del experimento y el respectivo análisis de
rayos. Se nota también una imagen invertida y más
grande.
Fig. 10. Microscopio Compuesto.
Fig. 11. Análisis de rayos para Microscopio compuesto.
Por su parte para el microscopio se obtuvieron los
siguientes parámetros:
f1 = 7 cm +/- .5 mm
f2 = 7 cm +/- .5 mm
xo = 10.5 cm +/- .5 mm
xo* = -2 cm +/- .5 mm
Tomando valor absoluto en la fórmula para la
magnificación o aumento total transversal viene dada
por:
|𝑀𝑇𝑡| = |𝑀𝑡1||𝑀𝑡2|
Donde
|𝑀𝑡1| = |𝑓1
𝑥𝑜| =
7
10.5= 0.66
Y
|𝑀𝑡2| = |𝑓2
𝑥𝑜 ∗| =
7
2= 3.5
Así, la magnificación fue de un orden de:
|𝑀𝑇𝑡| = (0.66)(3.5) = 2.331
Lo cual también viene de acuerdo con la idea de que
un microscopio debe agrandar una imagen
proveniente de un objeto de tamaño pequeño.
Ciertamente esta magnificación debe ser positiva, sin
considerar los valores absolutos, por nuestro
diagrama de rayos. La imagen aumentada por el
microscopio debe ser real.
DISCUSIÓN
LENTE POSITIVA
En esta parte en realidad debimos haber usado
nuestro método de mínimos cuadrados para
encontrar el foco de la lente, lamentablemente por
una mala organización del tiempo y problemas para
alinear nuestro sistema, solo pudimos tomar 3 datos
y en realidad sentimos que aplicar este método para
tres datos y va a ser mucho. Así que calculamos el
foco (y su incertidumbre) usando la ec. de lentes
delgadas. Pero algo importante de esta parte es
observar cómo se forma la imagen sobre una pantalla,
esta imagen en los libros de texto se conoce como
imagen virtual.
LENTE NEGATIVA
Para esta sección se tomaron los datos de So- y Si+,
tratamos de encontrar una relación entre ambos
datos, para esto usamos la ec. correspondiente que
es construida de alguna forma gracias a nuestro
diagrama de rayos. Después con un programa
computacional aplicamos mínimos cuadrados a
nuestros puntos SI+ y So+ (=Si-) y tratamos de encontrar
el parámetro tal que cuando sumaras ciertas cosas (cf.
Anexo) obtuvieras la suma menor. Algo muy curioso
que cabe recalcar en esta parte fue que nuestra
programa funcionaba bien, pero que teníamos
problemas con el signo del foco, hasta que después
de analizar en equipo llegamos a la conclusión que
nuestro programa necesitaba en una parte ser
multiplicado por -1, corrigiendo esta errata
empezamos a graficar nuestros parámetros(focos)
contra nuestras sumas. La gráfica 1 muestra que el
posible mínimo se puede encontrar entre 46.500 y
47.500(una distancia de 1), pero nuestro programa
nos arrojó que el parámetro que alcanzaba la menor
suma era f*=-46.500(ojo, como se trata de una lente
negativa se introduce un menos). Se grafican nuestros
puntos y con ayuda de Gnuplot® podemos ajustar
nuestros datos a la ec. correspondiente con nuestro
parámetro f*. Nótese que en realidad es un buen
ajuste, quizá podría ser ligeramente mejor, pero
debido a las incertidumbres y otros pequeños
factores difieren muy poco de nuestros datos
experimentales.
TELESCOPIO Y MICROSCOPIO
Se pudo observar lo siguiente:
Si se tienen dos lentes convergentes y una
configuración como las Fig. 9 y 11; hay que
notar que nuestros “segundas” imágenes
están después del foco, esto produce una
imagen virtual sobre nuestra segunda lente,
pero si comparamos la distancia imagen y la
distancia objeto nos daremos cuenta que la
distancia imagen > distancia objeto por lo
cual tendríamos un |M|>1 que indica un
aumento. Es por eso que en nuestras
imágenes observamos imágenes invertidas y
más grandes.
Para el telescopio se considera un objeto en
el infinito, como sabemos que esto es
imposible, nos ponemos muy lejos de
nuestro arreglo experimental.
Además de poder ver la magnificación con los cálculos
realizados, se pudo notar realmente el
“empequeñecimiento” del objeto a observar en el
telescopio kepleriano de la Fig. 8.
CONCLUSIÓN
Se observó cuál es la relación que hay entre la
distancia focal y la distancia objeto e imagen. Se nota
también que bajo ciertas condiciones de distancia
focal, distancia entre lentes o el tipo de lente, se
puede observar una imagen en una pantalla o
simplemente pasa lo contrario (imagen virtual).
Los datos obtenidos (tomando en cuenta la
incertidumbre asociada a cada uno de ellos) son muy
similares a lo dictado por la teoría. El foco encontrado
con el método de mínimos cuadrados difiere 0.500
cm del foco reportado por el laboratorio de Óptica.
El telescopio y el microscopio fueron una parte muy
esencial de la práctica pues nos enseñaron como
debemos armar un sistema de lentes para notar un
aumento en nuestra imagen final respecto a la
imagen objeto.
Por último un buen comentario sería que hay que
tener presente siempre la convención de signos para
lentes, pues de lo contrario se obtendrán datos
erróneos y se graficaran cosas no deseadas que
pueden causar conflicto al momento de analizar. Pero
su naturaleza siempre puede ser evitada en los
cálculos con valores absolutos y para determinar el
signo se realiza un diagrama de rayos adecuado para
poder tener la idea de cómo será la imagen formada
al último.
BIBLIOGRAFÍA [1] Ditchburn, R.W. (1982). Óptica [Light, en inglés].
(Julián Hernández Ferrer, trad.). Barcelona: Reverté.
(Obra original publicada en 1952).
[2] Guenther, Robert D. (1990). Modern Optics.
EE.UU.: John Wiley & Sons.
[3] Hecht, Eugene. (1998). Optics. (3a ed.). EE.UU.:
Addison-Wesley Longman.
[4] Hecht, Eugene. (1977). Teoría y Problemas de
Óptica. (Eduardo Carriazo Paz, trad.). México:
McGraw-Hill. (Obra original publicada en 1974).
[5] Oda Noda, Berta. (2005). Introducción al análisis
gráfico de datos experimentales. (3a ed.) México:
UNAM, Facultad de Ciencias, (Colección Las Prensas
de Ciencias).
[6] Pedrotti, F. y L. Pedrotti. (1993). Introduction to
Optics. (2a ed.) EE.UU.: Prentice Hall.
[7] Física Experimental III, Curso 2012 (2012).,
Lentes y Óptica del Ojo. Departamento de Física,
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional
de La Plata. Recuperado de:
http://www2.fisica.unlp.edu.ar/materias/FEIII/
/2012/lentes.pdf.
ANEXO (PROGRAMA PARA CALCULAR MÍNIMOS CUADRADOS)
Tenemos la siguiente ecuación
∑(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖, 𝛼))2
𝑛
yi = los datos obtenidos experimentalmente.(variable dependiente)
f(xi,α)=función propuesta evaluada en los datos obtenidos experimentalmente(variable independiente) y con un
cierto parámetro.
Si se gráfica los parámetros con respecto a la suma, se tiene que encontrar un mínimo en la función, si eso no llega a
ocurrir hay que proponer otros parámetros.
PROGRAMA
#inicio de script
So=[Conjuntos de valores
So obtenidos exp.]
Si=[Conjunto de valores
Si obtenidos exp.]
d=distancia entre las dos lentes
f2=distancia focal lente positiva
Sineg=((d*f2)+(Si.*(f2-d)))./((Si-f2))
f=linspace(46,48,100)
Suma=zeros(1,100)
for i=1:100
fun=(So.*f(i))./(So-f(i))
SS=(Sineg-fun).^2
Suma(i)=sum(SS)
plot(f,Suma)
end
[smin,j]=min(Suma)
fmin=f(j)
#fin del script
Este programa fue realizado en Octave(Linux).