el Celemín Matachana
WEJD
UNIVERSIDAD DE LEON 1996
LECCIONES DE M E C A N I C A DE FLUIDOS
V I I
INDICE
INTRODUCCION XV
ler Tema: Estática de fluidos . »
1' Lección
1.1.1. Fluidos: definición y clasificación 11.1.1.1. Clasificación 2
1.1.2. Concepto de presión 31.1.2.1. Unidades 41.1.2.2. Isotropía de la presión 5
1.1.3. Densidad y compresibilidad 61.1.4. Aplicación: estudio de la compresión isoterma del
aire en una tubería 10
2' Lección
1.2.1. Ecuación fundamental de la estática de fluidos 141.2.1.1. Presión atmosférica 161.2.1.2. Presión hidrostática 17
1.2.2. Principio de Pascal 181.2.3. Barómetros 20
1.2.3.1. Tipos de barómetro 231.2.4. Manómetros 26
1.2.4.1. Piezómetros 281.2.4.2. Manómetros de líquido 291.2.4.3. Manómetros metálicos 301.2.4.4. Empleo de los distintos manómetros 31
3* Lección — ———• —-— —
1.3.1. Principio de Arquímedes: la subpresíón 321.3.2. Equilibrio de los cuerpos sumergidos 361.3.3. Determinación de la densidad de sólidos y líquidos 40
1.3.3.1. Análisis granulométrico por sedimentación 44
4 1 Lección - —-—
1.4.1. Sistema de fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida 48
1.4.1.1. Momentos de inercia de un área 521.4.2. Aplicación: equilibrio de un azud 541.4.3. Fórmula de Mariotte 57
5* Lección —
1.5.1. Fuerzas intermoleculares 591.5.2. Tensión superficial 61
1.5.2.1. Unidades 641.5.3. Sobrepresión de curvatura 651.5.4. Formación de meniscos 67
V I I I
1.5.5. Capilaridad 681.5.6. Aplicación: ascenso de la savia en árboles y plañías 70
2 9 Tema: Cinemática de fluidos 1
1* Lección
2.1.1. Descripción del movimiento de un fluido: métodos de Lagrange y Euler 72
2.1.2. Lfnea de corriente, de trayectoria y de traza 732.1.3. Clasificación macroscópica del movimiento de un fluido 752.1.4. Otras clasificaciones 782.1.5. Concepto de caudal 792.1.6. Ecuación de continuidad 812.1.7. Aceleración 84
3er Tema: Dinámica de fluidos
1* Lección
3.1.1. Teorema de Bernoulli 873.1.1.1. Representación gráfica del teorema de Bernoulli 98 3.1.1.2. Cálculo del trinomio de Bernoulli 100
3.1.2. Teorema de Torricelli 1023.1.3. Tubo de Venturi 1033.1.4. Tubo de Pitot 1063.1.5. Tubo de Prandtl 1083.1.6. El sifón 110
2* Lección
3.2.1. Estudio de la viscosidad 3.2.1.1. Unidades 3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad 3.2.1.3. Medición de la viscosidad
3.2.2. Máquinas hidráulicas 3.2.3. Generalización del teorema de Bernoulli
3.2.3.1. Gráfico de energía 3.2.4. Estudio del movimiento de un fluido real
3.2.4.1. Bernoulli entre las secciones 1 y 2 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.2. Bernoulli entre las secciones 2 y 3 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.3. Bernoulli entre las secciones 1 y 4 (Fig. 3.2.7)
3* Lección
3.3.1. Régimen laminar y turbulento 1403.3.1.1. Capa límite 146
3.3.2. Fórmula de Poiseuille 1473.3.3. Fórmula de Darcy-Weisbach 1513.3.4. Ley de Stokes 153
3.3.4.1. Aplicaciones 157
113 117 119 122 124 125 128 132 132 137 138
Ejercicio n°l Sistemas de fuerzas hidrosíáticas, equivalencia mecánica de siste
mas de fuerzas, centro de áreas, equilibrio del sólido rígido
Ejercicio n°2 Reducción de sistemas de fuerzas, barras articuladas cargadas en
nudos, equilibrio del sólido rígido.
Ejercicio n 1^ Fuerzas de subpresión, centro de áreas, reducción de sistemas de
fuerzas, equilibrio del sólido rígido.
Ejercicio n°4 Fuerzas h'tdrostáticas sobre área circular, momento de inercia,
centro de áreas, centro de presión, estabilidad al vuelco.
Ejercicio n°5 Centro de carena, centro de gravedad, metacentro, empuje de
Arquímedes, equilibrio de cuerpos flotantes.
Ejercicio n°6 Empuje de Arquímedes, peso y peso específico, centro de carena,
equilibrio de cuerpos flotantes.
Ejercicio nD7 Distribución de velocidad en régimen permanente y uniforme, cál
culo del caudal a partir de la definición y por aplicación del segundo teorema de Guldin.
Ejercicio na8 Estudio del movimiento de una partícula de fluido por aplicación
de la segunda ley de Newton, teorema de Torricelli.
Ejercicio n°9 Aplicación del teorema de Bernoulli a un fluido ideal, ecuación
general de la estática de fluidos, principio de continuidad.
X
Ejercicio n°10 189Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a un fluido
real, cálculo del coeficiente de fricción por aproximaciones sucesivas, principio de continuidad, número de Reynolds.
Gráfico de energía. 194
Ejercicio n°ll 195Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a un fluido real,
pérdidas localizadas de carga, presión manométrica y absoluta, definición de caudal.
Gráfico de energía 199
Ejercicio n°12 200Estudio de una elevación de agua mediante el teorema de Bernou
lli generalizado, determinación de la carga hidráulica y obtención de ¡a potencia teórica de ¡a bomba, definición de caudal.
Ejercicio n°13 203Cálculo de la carga hidráulica necesaria para la elevación de agua
entre depósitos mediante la aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, definición de caudal, potencia teórica de una bomba.
Gráfico de energía 206
Ejercicio nD14 207Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a una impulsión
de agua entre depósitos, consideración de tuberías de características geométricas distintas y de pérdidas de carga localizadas y unitarias, principio de continuidad.
Gráfico de energía 210
Ejercicio nB15 211Resolución de un sistema de tuberías, con punto alto interme
dio , por doble aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, principio de continuidad, pérdidas localizadasy unitarias.
Gráfico de energía 215
X I
Práctica n e l : Aparatos para la medida de presiones en fluidos 219
Práctica n°2: Estudio de la distribución de fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas 229
Práctica n°3: Teorema de Bernoulli 247
Apéndice n°l: Programa REMICUAD.BAS. 271
Apéndice n°2: Pérdida de carga en un cono convergente. 281
Bibliografía. 285
X I U
PRÓLOGO
Estas "Lecciones de Mecánica de Fluidos" han venido siendo utilizadas, desde el curso 1990-1991, como guiones de clase para la implantación del capítulo homónimo del Programa de Física de la que era Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola y hoy es Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria.
Varias fueron las ocasiones en las que, a lo largo de los cursos transcurridos desde que estas Lecciones fueron escritas, pensé en su publicación; sin embargo no debí encontrar motivos suficientes para iniciar los correspondientes trámites. He creído que las circunstancias actuales: aplicación del Plan de Estudios de la Reforma y la consiguiente extinción del Plan 1971 sí son motivos que justifican la edición de las Lecciones, por lo que solicité ésta y la obtuve, del Servicio de Publicaciones.
En el presente curso 1995-1996 ha comenzado, en la Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria, la aplicación de la Reforma de los Planes de Estudios. Un cambio de plan de estudios es ocasión para reflexionar sobre contenidos, introducción de nuevas formas docentes, optimización del tiempo de los alumnos, etc. En ese sentido espero que este libro ayude a alcanzar alguno o algunos de esos objetivos.
En el nuevo Plan de Estudios, la asignatura de Física ha sido sustituida por Física I y Física I I . Este libro será utilizado en la enseñanza de los contenidos de Mecánica de Fluidos que hay en cada una de las anteriores materias.
En el curso 1995-1996 se ha iniciado también la paulatina extinción del Plan 1971 y con ella, la desaparición de la enseñanza oficial de la asignatura de Física de dicho Plan. He pensado que estas "Lecciones de Mecánica de Fluidos" podrían ayudar a los alumnos del Plan 1971 a preparar adecuadamente la asignatura.
A los agradecimientos que, en su día, recogí en la introducción a estas Lecciones, y que hoy reitero, añado el que quiero hacer llegar al Servicio de Publicaciones de esta Universidad, dirigido por el Dr. José Manuel Martínez Rodríguez.
León, febrero de 1996 Miguel Celemín Matachana Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Universidad de León
XV
INTRODUCCION
En este libro se desarrollan, en forma teórico-práctica, las lecciones que cons
tituyen el capítulo titulado "Mecánica de Fluidos" del programa de Física que se
imparte en la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de la Universidad
de León. Dos han sido, fundamentalmente, las razones por las que se eligió dicho
capítulo, y no otro del programa, para ser desarrollado por escrito: en primer lugar
se encuentra el hecho del carácter de materia "casi nueva" que la mecánica de fluidos
tiene para los alumnos que acceden a la universidad, a lo que contribuye el que nada
relativo a dicha materia figure en los temarios oficiales del Curso de Orientación
Universitaria (B.O.E. del 17 de Marzo de 1978); en segundo lugar, el tratarse de una
materia básica para la formación de) ingeniero técnico agrícola, y ésto en un doble
sentido, ya que no sólo es importante por las aplicaciones que en sí misma encuentra
en el ejercicio de la ingeniería agraria, sino también porque muchos de sus conceptos
se necesitan para el estudio de otras partes de la Física tales como Termodinámica,
en general, y Meteorología, en particular.
La estructura de este libro: contenidos teóricos, ejercicios y prácticas de labo
ratorio pretende, bajo su título, transmitir la idea de que teoría y práctica y espe
cialmente, las prácticas de laboratorio, han de estar estrechamente relacionadas entre
sí, buscando la mejor integración posible de una en otra. Aunque puede decirse que
esta idea es de aplicación a la ingeniería en general, es en las escuelas de ingeniería
técnica donde adquiere una mayor relevancia debido a las características del técnico
que en ellas se forma.
De acuerdo con lo anterior, en la primera parte del libro se desarrollan los
contenidos del programa teórico relativos a la mecánica de fluidos, prestando especial
atención a las aplicaciones de algunos de dichos contenidos -Teorema de Bernoulli,
ecuación general de la hídrostática, etc.,- en ciertos casos de interés para el alumno
desde el punto de vista de su actividad futura. En la segunda parte del libro se ha
X V I
efectuado la resolución detallada de quince ejercicios de aplicación de los conceptos
estudiados, habiéndose dibujado en la mayoría de los de dinámica el gráfico de
energía, que es la representación del teorema de Bernoulli. Con el fin de potenciar
al máximo ciertos hábitos que los alumnos han adquirido como son: actuar reflexi
vamente ante la resolución de ejercicios, explicar éstos e indicar los teoremas y
conceptos aplicados en dicha resolución, etc., y a la vez, remabilizar el tiempo que
el alumno dedica al ejercicio, cada uno va acompañado de unos "comentarios a la
resolución" que, con objeto de que su lectura no obligue a ver simultáneamente la
resolución del ejercicio, han sido incluidos en un bloque que precede a ésta. La tercera
y última parte del libro contiene los guiones de las clases prácticas de laboratorio
seleccionadas para la visualización de los fenómenos estudiados así como para la
familiarización del alumno con las técnicas experimentales básicas. Con la realización
de las prácticas también se intenta iniciar al alumno en la faceta de usuario de pro
gramas estándar, haciendo que ejecute un programa basado en cálculos de los que,
por conocer su fundamento, posee criterio para juzgar ios resultados de la ejecución
de dicho programa, aspecto éste muy importante cuando, probablemente, el orde
nador sea una herramienta de trabajo en su vida profesional.
Varias son las personas que de una u otra forma han tenido que ver con la
realización de este libro. A todas ellas mi agradecimiento y de modo especial a quienes
han colaborado más directamente: Covadonga Palencia Coto, por su ayuda en la
verificación y puesta a punto de los equipos y prácticas de laboratorio; Rafael
González Ortega, que delineó las figuras; Pablo Peláez Aller que hizo el tratamiento
de textos y por último, pero no en último lugar, a mi compañero Andrés Liaño
Herrera, Profesor Titular de Universidad del Dpto. de Ciencias y Técnicas de Agua
y del Medio Ambiente, en la E.T.S, de Ingenieros de Caminos de Santander, por sus
acertadas sugerencias.
Miguel Celemín Matachana
León, Septiembre de 1990.
1
I-Tema. Es ¡ática de Fluidos.
¡-Lección. Fluidos: definición y clasificación. Concepto de presión. Den
sidad y compresibilidad. Aplicación: estudio de la compresión isoterma del
aire en una tubería.
1.1.1. FLUIDOS: DEFINICION Y CLASIFICACIÓN
Al iniciar el estudio de la mecánica de fluidos parece obligado definir aquello
que va a ser objeto de dicho estudio. Antes de proponer, por tanto, una definición
de fluido y dado que en el capítulo anterior del programa de la asignatura se ha
estudiado el comportamiento de un sólido real bajo las hipótesis del modelo elástico
lineal, puede resultar esclarecedor establecer una comparación entre dicho com
portamiento y el de un fluido.
La diferencia más notable entre el comportamiento de un sólido y el de un fluido
se presenta al analizar la respuesta de uno y otro frente a tensiones tangenciales. La
fig. 1.1.1 muestra un cuerpo sólido solicitado por un estado de tensión tangencial
pura. Como consecuencia de dicho estado el sólido se deforma ( contorno en trazo
discontinuo) y las fuerzas internas movilizadas
por el sólido hacen posible que se alcance una
configuración de equilibrio en la que se cumple:
x-yG (1.1.1)
donde " G" es, como se recordará, el módulo de
Fig. 1.1.1. Deformación de elasticidad transversal y "v"la deformación un sólido solicitado por .
angular. tensión tangencial pura.
2
Cuando se aplica una tensión tangencial a un fluido no se alcanza una
configuración de equilibrio; el fluido se deforma continuamente siendo la velocidad
de deformación angular y no la deformación angular, la magnitud que está relacio
nada con las tensiones tangenciales " T " a través del coeficiente de viscosidad " u,",
es decir,
La ecuación 1.1.2 -denominada ley de Newton de la viscosidad- expresa lo que
puede ser considerado como el aspecto más relevante del comportamiento de un
fluido, por lo que éste es recogido en la mayoría de las definiciones de fluido que
se encuentran en la bibliografía y en particular, en la que aquí se propone, cuyo
enunciado es el siguiente: un fluido es un medio material, continuo, deformable,
desprovisto de rigidez que puede fluir; es decir, sufrir grandes deformaciones bajo la
acción de fuerzas de cuya intensidad depende la mayor o menor velocidad de dichas
deformaciones.
1.1.1.1. Clasificación
Los fluidos pueden ser clasificados atendiendo a diversos criterios, dos de los
cuales tienen su origen en la ecuación 1.1.2. Así, el cumplimiento ono de esta ecuación
permite clasificarlos como newtonianos o no newtonianos respectivamente, mientras
que con arreglo al valor del coeficiente de viscosidad, los fluidos pueden clasificarse
como ideales o reales, según que dicho coeficiente se suponga o no cero. Sin embargo,
la clasificación más elemental de los fluidos quizá sea aquella que distingue entre
líquidos y gases, en la que el criterio de clasificación es el estado en el que se presenta
la materia.
3
Una de las diferencias más conocidas entre los líquidos y los gases consiste en
que los primeros ocupan un volumen determinado y presentan superficie libre,
mientras que los segundos, no. La explicación a esta diferencia se encuentra en la
forma en la que se disponen espacialmente las moléculas de un líquido y las de un
gas. Los líquidos se comportan como se ha indicado, debido a que sus moléculas están
muy próximas unas de otras, por lo que se ejercen mutuamente fuerzas atractivas de
origen eléctrico cuya intensidad permite, sin embargo, que las moléculas puedan
desplazarse aleatoriamente en el seno del líquido. En los gases las moléculas están
muy separadas y como consecuencia apenas se ejercen fuerzas entre sí, lo que implica
que las moléculas se desplazan libremente hasta ser detenidas por un contorno. Un
gas, por tanto, se expande hasta ocupar todo el volumen del que dispone.
Los líquidos y los gases presentan analogías y diferencias que irán poniéndose
de manifiesto a medida que se vayan estudiando determinadas propiedades de los
fluidos. Entre las propiedades comunes se encuentra la de ejercer presiones sobre
las superficies con las que el fluido tiene contacto; entre las propiedades diferen-
ciadoras, la densidad y la compresibilidad son las más importantes. Estas propiedades
serán estudiadas en los dos apartados siguientes.
Por último, conviene tener bien presente que aunque la estructura molecular
es el origen de las propiedades de los fluidos y que por tanto, en algunas ocasiones
se recurrirá a ella, es el comportamiento macroscópico, es decir, a gran escala, el que
se considera en la resolución de los problemas que se plantean en ingeniería. Se dice,
entonces, que se considera al fluido como un medio continuo.
LL2. CONCEPTO DE PRESION
La presión de un fluido se define como la fuerza normal que ejerce la materia
fluida sobre una superficie cualquiera. Si" A f „ " es el módulo de la fuerza normal
que actúa sobre un elemento infinitesimal de superficie " A 5 " que contiene a un
punto, la presión media " pm " en el punto considerado es :
P m ~ (1.1.3)
Se define la presión en un punto como el limite de la presión media calculada
en dicho punto, es decir:
A f , dFn
p = l im p m = ¡im ——• = - ~ . (1.1.4) A S - o Ü S - O A 6 a ó
De la ecuación 1.1.4 se deduce que la presión de un fluido da lugar a un sistema
de fuerzas, siendo la expresión vectorial genérica de una de ellas la siguiente:
dF'p.dS.ñ • , (1.1.5)
La definición de presión muestra claramente que se trata de una magnitud de
carácter escalar, que puede, sin embargo, ser utilizada como indica la ecuación 1.1.5;
formando parte de la fuerza que resulta cuando la presión actúa sobre una superficie.
1.1.2.1. Unidades
Sistema Cegesimal
La unidad es ^ 7 = baria. Dado que es una unidad muy pequeña para los usos
habituales, se utiliza, frecuentemente, el múltiplo de ella denominado bar, siendo
la relación entre ambas la siguiente:
1 bar - 10*barias
Sistema Internacional
La unidad es f"a"°" «= pasca l. Aunque mayor que la baria sigue siendo una
5
unidad muy pequeña, por lo que se utilizan los múltiplos con los prefijos adecuados,
es decir,
IkPa= lQ3Pa
1 \MPa=\QbPa
~ lGPa-\09Pa
Sistema Técnico
La unidad eskp/m2ókgf/m\ ;
Además de las unidades reseñadas se utilizan otras como el "kgf í'cm2~,
" i/m2" y la anglosajona " p . s. i." (libras / pul gado.2} que pertenece al sistema
técnico inglésy cuya relación con la unidad usual de presión en España es la siguiente:
1 kgf/cm2 -= ! 4p .s. t .
La relación de unidades de presión se completará mas adelante con aquéllas
cuya utilización más extendida se da en el contexto de la meteorología para la
medición de la presión atmosférica.
1.122. Isotropfa de la presión
Una de las propiedades más importantes de la estática de fluidos es la que
establece que en el interior de un fluido en reposo se verifica que la presión en un
punto cualquiera, es la misma en todas las direcciones. Para demostrarlo, se considera
un punto" O " de un fluido en reposo y en él
un sistema de ejes cartesianos. La línea AB
representa la dirección de un plano cual
quiera infinitamente próximo a" Oaunque
en la figura 1.1.2 se haya dibujado separado
de él, en beneficio de la claridad del
Fig. 1.1.2. Sección recta infini- esquema. Los ejes coor- denados y la línea tesimal de un prisma de fluido en reposo. AB definen una sección recta infinitesimal
P x ¿ y
de un elemento prismático de fluido cuya dimensión perpendicular al papel es 1
unidad. .
Puesto que el fluido está en reposo, el efecto que ejerce la parte suprimida
éste tiene que estar representado por una fuerza normal a la superficie considerad
ya que de no ser así, no sería posible el equilibrio. Basta tener presente a este respe
que un fluido se deforma continuamente ante la aplicación de fuerzas tangencial
(ec. 1.1.2.). En consecuencia, el sistema de fuerzas que actúa sobre el elemento de
fluido considerado, es el que aparece en la figura 1.1.2.
Imponiendo la condición de equilibrio (R - 0) para el elemento de altura
unidad se obtienen las siguientes ecuaciones escalares:
p x - A y - p - A S - sena - 0 (1.1.6)
j - ^ - y A x - Ay - p y • Ax + p - & S • cosa= 0 (1 .1 .7)
y teniendo en cuenta las relaciones geométricas que se dan en la figura 1.L2 resulta:
p i - p = 0 (1.1.8)
| y A y - p y * p = 0 (1.1.9)
Al hallar el límite cuando A y -» Ode la ecuación 1.1.9 resultap y = p , yconla
ecuación 1.1.8 se tiene, finalmente:
PM'P>"P (1.1.10)
Dado que la orientación " ot" del plano considerado es arbitraria, queda
demostrada la propiedad.
1.13. DENSIDAD Y COMPRESIBILIDAD
Se define la densidad " p" de un cuerpo como la masa por unidad de volumen,
es decir:
7
P = ^ (1,1.11)
Las unidades en las que con más frecuencia se expresa la densidad son el
"g/cm 3 ", en el Sistema Cegesimal y el" kg/cm3"tn el Sistema Internacional.
En general, la densidad de un cuerpo depende de la presión y de la temperatura,
aunque la importancia de esta dependencia es función del estado en el que se presenta
la materia.
En lo que se refiere a los fluidos líquidos, las variaciones de volumen debidas
ala temperatura se estudian mediante el coeficiente de dilatación cúbica "p", cuya
expresión es:
P — ^ (1.1.12)
mientras que los cambios de volumen cuya causa se encuentra en las variaciones de
presión se cuantifican a través del módulo de elasticidad volumétrica o módulo de
compresibilidad "K", que se define:
La ecuación 1.1.12 y las consecuencias que se derivan de ella, como los movi
mientos de convección de las masas de agua, se suelen estudiar en el contexto de los
fenómenos térmicos, ya que su influencia en los aspectos prácticos de la mecánica
de fluidos es muy escasa.
Mucho más interés ofrece, al menos desde el punto de vista conceptual, la
compresibilidad. En efecto, ello es así hasta el extremo de que en la mayoría de los
textos relativos a mecánica de fluidos se señala que el estudio que en ellos se realiza
está limitado al de los fluidos incompresibles, que es tanto como decir al de los fluidos
8
líquidos, como se verá más adelante. La compresibilidad de los líquidos supone,
consiguiente, que las únicas variaciones de volumen son debidas a cambios en
estado de presiones.
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 1.1.11 resulta:
Lp-Lm-LV (1.1.14
diferenciando esta última ecuación, teniendo en cuenta el principio de conservació
de la materia, y reemplazando las diferenciales por incrementos se llega a:
p v
y sustituyendo este resultado en 1.1.13, se obtiene otra expresión para el módulo
compresibilidad,
A p K - ~ ~ (1.1.1
Ap/p
Las ecuaciones 1.1.13 y 1.1.16 muestran que las unidades en las que se expr
el módulo de compresibilidad son las mismas que las de la presión, siendo usu
hacerlo en kgf/cm2 oenGPa.
El valor del módulo de compresibilidad para el agua es d
2.1 x lOAkgf/cmz ó 2.1 GPa De este orden de magnitud es también el módul
de compresibilidad de los líquidos, lo que justifica que en muchas aplicaciones de
mecánica de fluidos se suponga que la densidad es independiente de la presión,
esto consiste la hipótesis de incompresibilidad de los líquidos, lo que a efect
prácticos supone admitir, también, que la densidad permanece constante.
La hipótesis de incompresibilidad de los líquidos simplifica notablemente
desarrollo de los cálculos y conduce a resultados muy aproximados en números
aplicaciones de la mecám'ca de fluidos. Sin embargo, esta hipótesis no es de aplicació
en algunos casos, como son aquéllos en los que tienen lugar cambios repentinos e
9
la velocidad, que originan grandes fuerzas inerciales y, como consecuencia, se generan
alias presiones "que en este caso sí que producen efectos de compresibilidad. Un
ejemplo de esto último lo ofrece la parada repentina de un grupo de bombeo que da
lugar a la aparición del fenómeno que se conoce como golpe de ariete.
En los gases, la variación de la densidad con la presión y la temperatura se
deduce de su ecuación de estado. Así, para los gases ideales, para los que la ecuación
de estado es:
pV = nRT (1.1.17)i
la expresión de la densidad se obtiene sustituyendo ei número de moles " n " por la
masa molecular y dividiendo ésta por el volumen. Resulta así:
ecuación que refleja la relación de dependencia que se da entre la densidad y las
variables de estado presión y temperatura.
Dado que se dispone de la expresión de la densidad de ungasy que la deducción
de la ecuación 1.1.16 no contiene restricción alguna para su aplicación, se utilizará
ésta para obtener el módulo de compresibilidad de un gas.
Tomando logaritmos neperianos en 1.1.18 se obtiene:
Lp = Lp*LPm- LR-LT (1.1.19)
y diferenciando resulta:
A p á o A 7" — (1.1.20)P P T
sustituyendo este resultado en la ecuación 1.1.16 se obtiene el módulo de compre
sibilidad de un gas:
P 7
La ecuación 1.1.21 muestra que el módulo de compresibilidad de un gas no sólo
depende de las variables de estado sino también de su evolución.
Para el caso de una transformación isoterma ( A 7 = 0 ) el módulo de comp
sibilidad es, precisamente, el valor de la presión durante la transformación. Esto
significa que, por ejemplo, un gas a la presión atmosférica (equivalente a
1 ,0336kgf/cm 2 ) tiene un módulo de compresibilidad de 1.01 x 10"4CPaloque
supone que es veinte mil veces más compresible que el agua.
Conviene tener claro que cualquiera que sea el tipo de módulo de elasticidad
que se esté considerando (lineal, superficial o volumétrico para los sólidos o única
mente el volumétrico en los líquidos), su valor es proporcional a la indeformabilidad
correspondiente. Así, cuanto más alto es el módulo de Young de un sólido tanto más
rígido es éste. Sin embargo, hay autores que prefieren emplear el inverso del módulo
de elasticidad, denominado coeficiente de elasticidad, ya que éste es proporcional a
la deformabilidad. Es frecuente por ello que al hablar de fluidos se emplee el coe
ficiente de compresibilidad por ser proporcional a esta propiedad.
1.1.4. APLICACION: ESTUDIO DE LA COMPRESION ISOTERMA DEL AIRE
EN UNA TUBERIA
Fig 1.1.3. Sistema embalse-conducción —depósito.
La figura 1.1.3 representa el esquema de una instalación para la captación,
transporte y almacenamiento de agua en la que se ha supuesto que el tramo central
de la conducción tiene muy poca pendiente. En estos tramos de poca o nula
11
= pendiente donde se acumula el aire que, con
m diversas procedencias, siempre hay en una
tubería. Si no se prevé su evacuación o
habiéndola previsto, ios dispositivos no fun-Fiq 1.1.4. Bolsa de aire r r
en una tuber ía . cionan correctamente, se va formando una
bolsa de aire que con el tiempo, puede llegar a ocupar toda la sección (Fig. 1.1.4) e
interrumpir así la circulación de agua. Si esto sucediera, el agua se vería frenada por
la bolsa de aire al tiempo que éste sufriría una compresión isoterma durante la cual,
y debido a su alta compresibilidad, aumentaría considerablemente la presión del aire
ocluido, superando con creces la resistencia de la tubería y provocando, por tanto,
la rotura de ésta.
Al aplicar el teorema de las fuerzas vivas entre los instantes 2 {detención del
flujo de agua) y 1 (circulación con velocidad "v") se tiene:
E2-E\-W^ ( 1 . 1 . 2 2 )
El trabajo " W ¡ ^2" es el que se produce sobre el aire durante su compresión
isoterma y se calcula mediante:
l / N 2 = f* P d V ( 1 . 1 . 2 3 )
siendo " p "la presión del aire y" dV" el volumen de un elemento diferencial.
Durante la compresión isoterma la presión varía con el volumen siguiendo la ley
de Boyle, es decir,
pV = K ( 1 . 1 . 2 4 )
sustituyendo 1.1.24 en 1.1.23 e integrando, se obtiene el trabajo:
Dado que l 7
2 < K , , el trabajo es negativo, por lo que se puede escribir:
W^-KL^ ( 1 . 1 . 2 6 )V 2
12
Con el fin de preparar la ecuación 1.1.26 para su aplicación conviene obtener" K"
y sustituir el cociente de volúmenes por el cociente de presiones. Ambos cambios se
efectúan por aplicación de la ecuación 1.1.24. Se llega asi a:
^ I - 2 - - P I ^ I ¿ ~ ( 1 . 1 . 2 7 )P i
Sustituyendo 1.1.27 en 1.1.22 y teniendo en cuenta el valor de la energía cinética
de la masa de agua que resulta frenada, se obtiene:
-\mvz = ~ p í V l L ^ ( 1 . 1 . 2 8 )2 Pi
En la ecuación anterior se conocen todas la variables salvo " pz" que es la presión
que se alcanza en la bolsa de aire al final del proceso.
Para ilustrar el análisis realizado, se hará aplicación a un caso cuyos datos son los
siguientes:
Longitud de la conducción: 13200 m
Distancia de la bolsa de aire al embalse: 7000 m
Velocidad del agua en la tubería: 0,97 m/s
Diámetro de la tubería: 500 mm
Presión del agua en el punto donde se produce la bolsa: 5 kgf/cm2
Voíúmen de la bolsa de aire antes de la compresión: 600 1
La ecuación 1.1.28 resume el fenómeno que tiene lugar cuando se forma una bolsa
de aire que interrumpe la circulación del agua de una tubería: la energía cinética de la
masa de agua circulante se transforma en trabajo de compresión del aire encerrado en
¡a bolsa.
Para calcular la energía cinética del agua en circulación hay que determinar pre
viamente la masa de agua situada entre el embalse y el punto en que se encuentra la
1 3
bolsa de aire.
El segundo miembro de la ecuación 1.1.28 se refiere al aire ocluido en ¡a bolsa
los dos primeros factores constituyen ta constante de Boyle en la compresión isoterma,
siendo el tercer factor el que contiene la presión final del citado proceso termodinámica.
ÍSOO \m Y kam=V-p ; m = n - r • ¿ - p ; m = n -~-mm • -—- • 7000nv 1 0 0 0 ^
m = ),37.\06kg
• ) 2 1.37- 1 0 6 ' 0 , 9 7 z , , „ 5 , , E--mv2 = - = 6 .44- \05Julios
PíV l-5kgf/cm2.6O0l^-^~-3- 10 6 Kgf • ctrJ' 11 \kgf\o2cm
/ í - 2 . 9 4 ' \05JuUos
- l m v 2 = -p,V ,L— : - 6 . 4 4 - 10 5 = - 2 , 9 4 ' 1 0 5 ¿ ^ 2 Pi 5
p2 = 5(!2">z45kgf/cm2
14
1 -Tema . Estática de fluidos.
2-Lección. Ecuación fundamental de la estática de fluidos: presión
atmosférica y presión hidrostática. Principio de Pascal. Barómetros. Manó
metros.
1.2.1. ECUACION FUNDAMENTAL DE LA ESTATICA DE FLUIDOS
F ig 1. 2 .1. Paralelepípedo elemental de fluido.
En el interior de un fluido en
reposo se considera un paralelepí-
"Jdy pedo elemental. SÍ éste se aisla del
resto de la masa fluida (Fig. 1.2.1),
sobre cada una de sus caras se
ejercerá la fuerza derivada de la
presión que ejercía el fluido supri
mido. Además, actuará el peso " W'
del paralelepípedo de fluido.
Si se denomina F, a la fuerza que ejerce la presión sobre una cara oculta del
paralelepípedo, las ecuaciones de equilibrio de éste quedan de la siguiente forma:
£ > , - 0 F . - F . - O
2>,-0 P ; - F , - l / - 0 (1.2.1)
£ f , « 0 F ; - F a - 0
Al expresar cada una de las fuerzas superficiales en función de la presión "p"
existente en el centro del paralelepípedo resulta:
1 5
í dpdx' j d y d z - ) d y d z = 0
! dpdy' Jdxdz - )d.v-dz- pgdxdydz = 0 (1.2.2)
j d x d y - \dxdy = 0 [ P 2 ,
j d x d y - \dxdy = 0
Simplificando, las ecuaciones 1.2.2 se transforman en:
^ = 0 (1.2.3)dx
^ - P 9 = 0 (1.2.4)dy
^ = 0 (1.2.5)
Las ecuaciones 1.2.3 y 1.2.5 indican que la presión no varía en un plano horizontal
olo que es lo mismo: la presión sólo depende de la variable " y ", por lo que la ecuación
1.2.4 se puede escribir en la forma:
dp = -pgdy (1.2,6)
La ecuación 1.2.6 se denomina ecuación fundamental de la estática de fluidos
y expresa la variación de la presión en el interior de un fluido en reposo. Dado el
sentido que se ha tomado como positivo para el eje " y " en la figura 1.2.1, de la
ecuación 1.2.6 se deduce que la presión disminuye con la variable " y " es decir, con
la altura topográfica. Por último, para integrar la ecuación fundamental de la estática
de fluidos, es preciso conocer la variación de la densidad "p" y de la gravedad "g"
con la altura" y".
Dos son los casos en los que la integración de la ecuación 1.2.6 ofrece resultados
con mayor interés práctico y son aquellos en los que dicha ecuación se aplica ai aire
y al agua. En el primer caso, se obtiene la ley de variación de la presión atmosférica
con la altitud topográficay en el segundo, la ley de variación de la presión hidrostática
con la profundidad.
16
12.1,1. Presión atmosférica
Para deducir la variación de la presión atmosférica, se hace la hipótesis de que
el aire se comporta como un gas ideal, con lo que su densidad viene dada-por la
ecuación 1.1.18:
La temperatura " T " de la atmósfera varía con la altitud topográfica " z", por
lo que se necesita conocer la ley de variación de la primera con la segunda.
En la troposfera, que es la capa de la atmósfera en contacto con la superficie
terrestre y cuyo espesor es de 8 a 10 km en los polos y de 15 a 18 km en el Ecuador,
la temperatura disminuye a razón de 0,65°C cada 100 m, aproximadamente. Resulta
por tanto, que puede suponerse que la ley de variación de la temperatura con la
altitud viene dada por la ecuación:
T - T0-6,S- I0'3z C 1.2.8)
siendo" T0" la temperatura de la atmósfera al nivel del mar y estando expresada la
altitud " z " en metros.
La aceleración de la gravedad depende de la altitud "z" y de la latitud
Como expresión aproximada de esta dependencia puede tomarse la que recoge la
ecuación:
g = 9 , 8 0 ó - 2 5 - 10" 3cos2ij>-3- 10~ 6 -z (1-2.9)
de la que se deduce que la aceleración de la gravedad al nivel del mar y a una latitud
d e 4 5 ° , es d e 9 , 8 0 6 m / s E , aproximadamente.
De la ecuación 1.2.9 también se deduce que, en un estudio como el que aquí se
está efectuando, resulta procedente ignorar la variación de la aceleración de la
gravedad con la altitud, pudiéndose tomar como valor suficientemente represen
tativo para " g" el deducido anteriormente.
17
Sustituyendo 1.2.8 en 1.2.7 y ésta en 1.2.6 se tiene:
pPmg dp--~~ ^ —-—dz (1.2.10)
ecuación diferencial de variables separadas que puede escribirse en la forma:
•dp P„g í* dz(1.2.11)
JPa p R Jx.o T 0 - 6 , 5 - 10~ 3z
de donde resulta, finalmente:
f..-W.-' > l ( 6 . 5 ' I 0 " 3 j
. - [ 1 -6 ,5 - 1 0 ~ J ^ - I (1.2.12)Po V ToJ
En la ecuación anterior," p 0 " es la presión atmosférica al nivel del mar; " p " es la
presión que corresponde a la altitud " z" ; " T 0 " es la temperatura al nivel del mar,
expresada en "Ampara poder ser sustituida en la ecuación 1.2.10; " Pm" es la masa
molecular del aire (28,9 g); " g" se hace igual a 9, S O ó m / s 2 , de acuerdo con el
comentario hecho anteriormente; " R" es la constante de los gases ideales
(0.082a¡rrt • i/°K • mol) y ó . 5 - 10" 3 es el gradiente de temperatura en la
troposfera, expresado en °C ó " K"por metro.
Sustituyendo los valores anteriores en 1.2.12 se obtiene la siguiente ley de
variación de la presión atmosférica con la altitud topográfica:
/ \5 .25- P - = i - 6 . 5 - 10" 3 — (1.2.13)Po V
1.2.1.2, Presión hidrostática
Teniendo en cuenta la hipótesis de incompresibilidad de los líquidos, así como
las observaciones que se hicieron con relación a la aceleración de la gravedad, la
integración de la ecuación 1.2.6 para un líquido resulta inmediata, pudiéndose
escribir:
(Pdp--pg [ 1dy (1.2.14)J pa Vy-0
18
donde" p 0 " es la presión que existe en la superficie libre del líquido, para la que se
ha tomado y - O y ~ p " a la presión que corresponde a la profundidad " y" del
punto considerado.
La ecuación 1.2.14, integrada, queda en la forma:
P-Po-PQy (1.2.1
En la figura 1.22 se
representado -en trazo continu
la ecuación 1.2.15 y en t r
discontinuo, el caso particul
que corresponde a p ^ O ,
Aunque la expresión:'
tribución hidrostática de presi
nes" hace referencia al agua,
utiliza para denominar
cualquier distribución de presi
Fig. 1.2.2. Distribución hidrostática de presiones.
nes linealmente variable.
La ley lineal de variación de la presión con la profundidad fue deducida
L. Euler, que la publicó en 1749, en su obra "Scientia Navalis".
122. PRINCIPIO DE PASCAL
Se dice que un fluido se encuentra en equilibrio isotérmico, cuando la tem
ratura en todos los puntos de la masa fluida es la misma. AI hablar de los líquidos
se comentó que esta hipótesis conduce a que la densidad sólo depende de la presi
y dada la reducida compresibilidad de los líquidos, ello supone en la práctica, que
densidad permanece constante. La hipótesis de equilibrio térmico para un gas impli
que su densidad sólo depende de la presión, suponiéndose también en lo que sigu
19
que el gas se encuentra confinado. Hechas estas consideraciones, la ecuación fun
damental de la estática de fluidos permite extraer una importante y conocida apli
cación práctica denominada principio de Pascal.
La integración de la ecuación diferencial 1.2.6. entre dos puntos cualesquiera
de un líquido en reposo encerrado en un recipiente conduce al siguiente resultado:;
p2-p¡-pgh. (1.2.16)
siendo" h "la diferencia de profundidad entre los puntos considerados. De la ecuación
1.2.16 se deduce que si una de las presiones aumenta, la otra ha de aumentar exac
tamente lo mismo, ya que la diferencia ha de mantenerse constante.
Para un gas ideal en equilibrio térmico, la integración de la ecuación diferencial
1.2.6 da como resultado:
(1.2.17) P]
El valor de la constante que multiplica a la diferencia de alturas entre los puntos
considerados es muy pequeño -para el aire seco a 20° C dicha constante es del orden
de lO" 4 " !" 1 - por lo que su producto por la diferencia de alturas que puede haber
entre los puntos considerados es prácticamente cero.
La ecuación 1.2.17 puede escribirse, por consiguiente, en la forma:
p 2 - p , - 0 (1.2.18)
con lo que se pone de relieve que un aumento en la presión en un punto cualquiera
del gas encerrado en un recipiente se traduce en un incremento de igual magnitud
en cualquier otro punto.
Las conclusiones a las que se ha llegado a partir de las ecuaciones 1.2.16 y 1.2.18
son idénticas y constituyen el principio de Pascal (1653), cuyo enunciado puede
hacerse en los siguientes términos: "La presión aplicada a un fluido confinado en un
recipiente se trasmite íntegramente a todos los puntos de dicho fluido".
Entre las aplicaciones más importantes del principio de Pascal se puede citar
2 0
el gato hidráulico.los frenos de aire comprimido, los frenos hidráulicos y la prensa
hidráulica.
En los sistemas denominados hidráulicos se suele utilizar el aceite como líquido
para la transmisión de fuerzas.
La figura 1.2.3 representa el esquema
de una prensa hidráulica. En él, "v"y"w~
son válvulas antirretorno del aceite y" u"
es una válvula de seguridad.
Si se denomina "D¡~ y "D2" al
diámetro del cilindro de la izquierda y al
de la derecha, respectivamente, se puede
escribir, en el equilibrio:
I f2
) f u
F ig . 1.2.3. Prensa hidra 'ulica. ( 1 . 2 . 1 9 ) 0 ,25nZ) 2 O.ZSkD2
ecuación que expresa la igualdad entre las presiones en los puntos del fluido situados
por debajo de cada uno de los émbolos.
Con relación a la figura 1.2.3 se deduce también:
F • a - F , • ó
en aplicación de la ley de la palanca.
De las ecuaciones 1.2.20 y 1.2.19 resulta:
( 1 . 2 . 2 0 )
D J b" C 1 ' 2 - 2 1 >
que muestra el poder multiplicador de la fuerza aplicada que caracteriza a la prensa
hidráulica.
12.3. BAROMETROS
Se denomina barómetro al aparato que permite medir la presión que ejerce
21
la atmósfera en el lugar de observación. Generalmente, se denomina presión
atmosférica al resultado de la medición, sin embargo.la norma alemana DIN' 1314
propone el empleo del término presión ambiental. Aunque en el texto se seguirá
empleando la primera denominación, es conveniente tener bien presente la propuesta
de la norma alemana, ya que en determinadas situaciones, su empleo resulta más
adecuado.
La primera determinación de la presión atmosférica fue realizada en 1644 por
Evangelista Torricelli, discípulo de Galileo. Para ello, Torricelli utilizó un tubo de
vidrio cerrado en uno de sus extre
mos y abierto en el otro, el cual, una
vez lleno de mercurio introdujo, en
la forma que indica la figura 1.2.4.
en una cubeta que también contenía
mercurio. El resultado fué que el
mercurio permaneció en el interior
del tubo, ocupando una altura "h"
Fig. 1.2.4. Experimento de Torricelli. d e : "..Un codo y un cuarto, y un dedo
más" -según escribió Torricelli- y que equivale a unos 76 cm.
Dado que en el espacio existente en la parte superior del tubo no podía haber
entrado el aire, la presión de la columna de mercurio al nivel de la superficie libre
de éste en la cubeta, estaba siendo equilibrada con la presión ejercida por la atmósfera
sobre dicha superficie.
La presión atmosférica se suele expresar en unidades específicas, aunque hay
una cierta tendencia hacia el empleo de unidades S.I. Entre las primeras se encuentra
el mm. de mercurio, al que se ha dado la denominación "torr" siendo, por tanto,
1 torr = 1 mmHg
Cuando al nivel del mar, a una latitud de 45°y a 0°Cde temperatura, la presión
es de 760 mm Hg se dice que hay una presión "normal" o que la presión atmosférica
es de 1 atmósfera. Así pues:
22
l a í m - 760mmHg
En meteorología se utiliza habitualmente el milibar (mb) para expresar la
presión en las cartas ¡sobáricas o mapas del tiempo. Teniendo en cuenta la equiva
lencia anterior así como su significado físico y utilizando los factores de conversión
habituales se puede escribir:
latm-76cmHg- 1 3 , 6 ^ 1 k g f 9 • 8 N 1 ° ' d i a á l b a r i a l b a r
cm 1 ]Q3gf lkgf \N \dina/cm2 lO^barias lbar
obteniéndose como resultado:
l a í m - 1013mbw
Cuando se trabaja en las unidades del Sistema Internacional la presión
atmosférica se suele expresar en hectopascales (_hPa ) , siendo la equivalencia con
el milibar la siguiente: \hPa= lmb<*r
Si en la ecuación 1.2.13 se sustituye " p0' por 760 y "T0" por 288,15, que
corresponde a una temperatura de 15°C , se puede obtener la tabla 1.2.1, que pro
porciona la variación de la presión, atmosférica con la altitud topográfica.
ALTITUD PRESION (m) (mmHg)
0 760 11 759,01 22 ' 758,02 33 757,03 44 756,05
' 55 755,06 66 754,08 77 753,10 88 752,11 99 751,13
Tabla 1.2.1 Variación de la presión
atmosférica con la altitud topográfica.
23
Se observa que la presión atmosférica disminuye muy aproximadamente 1 mm
de Hg cada 11 m de incremento en la altitud topográfica, lo que constituye un orden
de magnitud de la variación fácilmente memorizable.
UJ.1. Tipos de barómetro
Los barómetros pueden ser clasificados de la forma siguiente:
Barómetros
de mercurio
metálicos o
aneroides
Torricelli
Fortín
Tonnelot
Vidi
Bourdon
E! esquema de un barómetro de mercurio es el que se mostró en la figura 1.2.4.
Las diferencias entre los diferentes tipos de barómetro radican, fundamentalmente,
en el procedimiento utilizado para obviar el inconveniente que constituye la
oscilación de nivel en el mercurio de la cubeta.
En el barómetro de Torricelli se suele disponer una escala móvil cuyo cero se
sitúa al nivel de la superficie libre antes de hacer la medición.
24
F i g . 1.2.5. Barómetro de Fortín (detal le).
En el barómetro de Fortín, el fondo de la
cubeta es de gamuza y es desplazado hasta
hacerlo coincidir con una punta de marfil -"M"
en la figura 1.2.5- que coincide con el cero de ia
escala. Por último, cabe también la posibilidad
de alterar la escala y ésto es lo que caracteriza
al barómetro de Tonnelot o de escala com
pensada.
El fundamento de la modificación es sencillo: como el volumen de mercurio es
constante, se ha de verificar (ver fig. 1.2.6):
s.h-S.H
siendo "s" la sección del tubo y "S" la de la cubeta, y también,
h S + s h*H~ S
En la ecuación anterior " h " es la lectura del
barómetro que corresponde a la variación real
" h * H " del desnivel entre las superficies libres del
mercurio. Se deduce de dicha ecuación que para
que la lectura represente la variación real, su escala
ha de estar afectada por el coeficiente
~s/(s*sy. Fig. 1.2.6- Notación para el barómetro de Tonnelot
En general, las lecturas de los barómetros hechas en diferentes observatorios
o estaciones meteorológicas no son comparables, ya que han sido efectuadas en
condiciones distintas. Para poder comparar entre sí las presiones barométricas de
diferentes lugares es preciso reducirlas a unas condiciones normales. Estas condi
ciones, establecidas por la Organización Meteorológica Mundial, son las siguientes:
- Temperatura de 0°C, a la cual la densidad del mercurio es de 13, 5951 g/cm3
- Aceleración de la gravedad de 9 . 8 0 6 6 5 m / s 2
25
La reducción a las condiciones normales se realiza mediante sendas correc
ciones: una, por la temperatura y otra por la gravedad, más una tercera, denominada
instrumental, que depende del aparato y que debe indicar el fabricante ya que suele
estar relacionada con la capilaridad, imperfección del vacío en el tubo barométrico,
etc.
Los barómetros metálicos están constituidos por un recipiente en cuyo interior
se ha hecho el vacío y en el que una de sus superficies es susceptible de deformación.
El movimiento de esta superficie bajo la actuación de la presión atmosférica se refleja,
mediante un sistema de engranaje, en el movimiento de una aguja sobre una escala
graduada en unidades de presión.
La forma que adopta el recipiente es lo que distingue a unos barómetros de
otros: en el de Vidi el recipiente es una cajita, mientras que en el de Bourdon, es un
tubo de sección elíptica.
Fig .1 .2 .7 . Mapa del tiempo. (Hemisferio Norte)
26
Una de las aplicaciones más importantes del conocimiento de la presión
atmosférica es la de su utilización en la confección de los mapas del tiempo. En estos
mapas la mayor parte de la información la proporcionan las lineas curvas denomi
nadas isóbaras, que se obtienen uniendo los puntos en los que existe la misma presión
atmosférica al nivel de! mar. Cada isóbara se caracteriza por un número que indica
la presión atmosférica en milibares o hectopascales que existe en cada uno de sus
puntos. Las isóbaras suelen dibujarse cada cuatro milibares y con su representación
se pueden identificar zonas de altas presiones o anticiclones "A" y zonas con bajas
presiones o borrascas "B". Los anticiclones se caracterizan porque en ellos dominan
las corrientes de aire dirigidas hacia afuera y girando en torno a ellos en sentido
horario -ver figura 1.2.7- mientras que en las zonas con bajas presiones sucede lo
contrario: las corrientes de aire se dirigen hacia el centro de las borrascas girando
alrededor de ellas en sentido antihorario y favoreciendo así la formación de nubes.
El aire que sale de los anticiclones se dirige hacia las borrascas siguiendo con
bastante aproximación la dirección de las isóbaras, por lo que éstas pueden ser
consideradas como "líneas de viento". Las isóbaras no sólo están relacionadas, por
tanto, con la presión atmosférica sino que también lo están con los vientos, hasta el
punto de que la velocidad de éstos se puede deducir a partir de la separación entre
las isóbaras.
12.4. MANOMETROS i
En numerosas ocasiones se necesita conocer la presión a la que se encuentra
un gas o a la que circula un líquido: la verificación o control de procesos industriales
y aveces, la seguridad de personas y bienes, son algunas de dichas ocasiones.
La determinación de la presión de un gas o de un líquido se realiza mediante
los manómetros. La mayoría de los manómetros convencionales sólo permiten
determinar la presión en exceso sobre la atmosférica, por lo que la presión que se
obtiene con ellos es una presión relativa denominada, por la razón que se acaba de
27
decir, presión manométrica. La suma de la presión atmosférica o ambiental con la
presión relativa o manométrica constituye la presión absoluta, es decir:
Pab¡ = P,* + Pat„ ( 1 . 2 . 2 2 )
Esto implica que, en general, para determinar la presión absoluta se necesita
un barómetro y un manómetro. Hay sin embargo, manómetros de presión absoluta
pero su utilización no es habitual.
En consecuencia, la presión absoluta y la presión relativa son denominaciones
alusivas a la posición del cero de la escala de medida, en la primera, el cero es el cero
absoluto mientras que en la segunda, el cero es la presión atmosférica.
Presión absoLuta
J Presio'n manométrica positiva
Presión} mancmetrica negativcij
Presi dn atmosférica Presión
absoluta
C ERO ABSOLUTO
Fig. 1. 2.8. Presión absoluta, manométrica y atmosférica.
Por lo que respecta al
signo, la presión manométrica
puede ser positiva o negativa,
mientras que la presión abso
luta siempre es positiva. (Fig.
1.2.8)
Entre los diversos tipos
de manómetros, se han selec
cionado para ser comentados
aquí los siguientes:
- piezómetros.
- manómetros de líquido.
- manómetros metálicos.
28
12.4.1. Piezómetros
Un piezómetro está constituido por un tubo transparente de cristal o plástico,
recto o con un codoy cuyo diámetro no debe ser inferior a 5 mm para evitar fenómenos
de capilaridad. Un piezómetro permite medir la presión que existe en un líquido y
para ello, basta con leer la altura que éste alcanza en el tubo.
Con relación a la figura 1.2.9, si la
escala del piezómetro está graduada en
metros, su lectura " h " proporciona la
presión que hay en "A" expresada en
metros de columna del líquido almace
nado.
El producto de "h" por el peso
específico del líquido "pg" permite
F t g . 1. 2. 9. Piezómetro conectado a un depósi to de agua
obtener la presión expresada en unidades de fuerza dividida por unidades de
superficie.
Un piezómetro también puede ser conectado a
una tubería por la que circula un líquido a presión y
con velocidad uniforme, ya que en esas condiciones
es aplicable la ecuación 1.2.16. Es importante señalar
que en el caso que se considera, hay que prestar
especial atención a la ejecución de la conexión del
piezómetro a la tubería para que no queden pro
tuberancias que dificulten la lectura. A tal fin tam
bién se recomienda la utilización de piezómetros cuyos tubos tengan un diámetro no
inferior a 10 mm.
F i g . 1.2.10. Piezómetros conectados a una tuber ía .
En cualquiera de las situaciones representadas en las figuras 1.2.9 y 1.2.10 la
presión que se obtiene es,evidentemente, una presión manométrica o relativa.
29
12.42. Manómetros de líquido
Los manómetros de líquido se denominan así porque, a diferencia de los pie
zómetros, se requiere la utilización de un líquido distinto a aquel cuya presión se
quiere medir, denominado líquido manométrico y que, generalmente, suele ser
mercurio. No obstante lo anterior, en cada caso habrá que comprobar la adecuación
del líquido manométrico a la magnitud de la presión a medir.
En la figura 1.2.11 se muestra un
manómetro de líquido montado en una
tubería por la que circula a velocidad
uniforme un fluido a presión.
Al aplicar la ecuación de la
estática de fluidos al nivel de la interfaz
fluido de la tubería - líquido manomé-
Fig. 1.2.11. Manómetro de líquido. t r i c 0 s e t ¡ e n e :
PA + P iQh =pmgh ( 1 . 2 . 2 3 )
en la que" p A" es la presión en el centro de la tuberíay " p ¡" y " p m " son las densidades
del fluido y del líquido manométrico, respectivamente. Si el fluido es un gas se suele
despreciar su densidad por lo que, en tal caso, su presión vendría dada por el segundo
miembro de la ecuación 1.2.23.
Un manómetro como el representado en la figura 1.2.11 también puede ser
utilizado para medir presiones relativas negativas, es decir, presiones relativas
inferiores a la atmosférica. En tal caso, el líquido manométrico alcanzaría mayor
altura en la rama izquierda que en la rama derecha del manómetro.
30
Fig. 1. 2.12. Manómet ro diferencial
Entre los manómetros de líquido
se encuentra el manómetro diferen
cial, denominado así porque se
emplea para medir la diferencia de
presión que existe entre dos puntos.
En la figura 1.2.12 se ha repre
sentado un manómetro diferencial
conectado a una tubería por la que
circula un fluido de densidad "p , " .
Al aplicar la ecuación de la estática de fluidos entre los puntos 1 y 2 del
manómetro resulta:
PA-plgx = P„lgh~P,g(x + h)+ pB (1.2.24)
y agrupando términos,
pA-pr(pm-P/)gft ( 1.2.25)
1.2.4.3. Manómetros metálicos
El principio de su funcionamiento es similar al de los barómetros metálicos:
hacer que la presión que se desea medir actúe sobre un recipiente deformable y
transformar el movimiento de éste en desplazamiento de una aguja sobre una escala
graduada en unidades de presión. Hay sin embargo una diferencia con los barómetros,
yes que en los manómetros convencionales la presión que se mide actúa en el interior
del recipiente, estando éste en contacto con la atmósfera. Esto explica el por qué un
manómetro convencional no mide presiones absolutas. Basta, no obstante, con
producir el vacío en el interior del recipiente y hacer que el líquido ejerza presión
sobre el exterior de éste para que la presión medida sea la absoluta.
La mayoría de los manómetros tienen como recipiente un tubo de Bourdony
por su diseño sólo son adecuados para medir presiones relativas.
31
1.2.4.4. Empleo de los distintos manómetros
Los piezómetros y los manómetros líquidos son baratosy si están bien fabricados
son muy precisos. Su mayor inconveniente es su fragilidad y la gama limitada de
presiones que pueden medir sin que dejen de ser manejables. Este tipo de manó
metros encuentra su mayor utilización en los laboratorios.
Los manómetros metálicos son fácilmente transportables, baratos y pueden
medir amplias bandas de presiones. Su principal inconveniente es que su diseño los
hace sensibles a desgastes mecánicos por lo que, periódicamente, deben ser cali
brados.
Por último, y aplicable a todos los manómetros, suele ser habitual denominar
vacuómetro al manómetro capaz de medir presiones manométricas negativas y
manovacuómetro, al que sirve para medir presiones manométricas tanto negativas
como positivas.
32
¡ -Tema. Estática de fluidos.
3 £ L e c c i ó n . Principio de Arquímedes: la subpresión. Equilibrio de los
cuerpos sumergidos. Determinación de la densidad de sólidos y líquidos.
13.1. PRINCIPIO DE ARQUIMEDES: LA SUBPRESIÓN
ds
\ d S í \ d S í
! \ W i
! d \ | t d F )
F i g - 1. 3 . 1 . Fuerzas hidrostaticas sobre un cuerpo sumergido.
(dF).y - dF sen a
(dF)xs - d F c o s a
En la figura 1.3.1-a) se ha
representado un cuerpo
sumergido en un fluido '• de
densidad "p ¡ " cuya superficie
libre coincide con el plano
x o z .
La fuerza hidrostática que
actúa sobre un elemento dife
rencial de superficie " dS~
viene dada por la ecuación 1.1.5:
d~F = pdSn (1.3.1)
Para descomponer esta
fuerza diferencial se utilizarán
las componentes que aparecen
en su plano proyectante vertij
c a l : " ( d F ) y - . y - ( d / 0 „ \ ( v e r ¡
Fig. 1.3.1-a).
(1.3.2)
(1.3.3)
33
Se estudiará en primer lugar la ecuación 1.3.3, que también se escribe en la
forma:
(dF)xz = pdS cosa (1.3.4)
ahora bien, "dScosa" es la proyección ortogonal de "dS" en la dirección de la
componente ( d / 7 ) , * (ver Fig. 1.3.1-b) y es, por consiguiente, un diferencial de
superficie vertical ( d S „ ) . Resulta así que el segundo miembro de la ecuación 1.3.4
representa la fuerza hidrostática que actúa sobre " d S „ " .
Si se considera la componente horizontal de la fuerza diferencial hidrostática
~(dF)x¡." que corresponde a cada diferencial de superficie situado a igual profun
didad que "dS" y se proyecta sobre un plano horizontal este conjunto de fuerzas
se obtiene la figura 1.3.1-c). La resultante de dicho sistema de fuerzas será:
R~= f(dF)xt-I pdS„n» ( 1 . 3 .5 )
en la que " n „" representa el vector unitario normal a " d S „".
Las componentes de la fuerza" R " son:
R x = r'l = j pdSvÜ-í = j pldz ( 1 . 3 . 6 )
R 2 = R"k = J pdS,ñuk = j pídx (1 .3 .7)
siendo " p" la presión hidrostática existente a la profundidad considerada y " í" la
dimensión de "dS„" paralela al eje OY. Dado que la última integración que aparece
en las ecuaciones 1.3.6 y 1.3.7 se extiende a un recinto cerrado, su valor es nulo. De
acuerdo con lo anterior se deduce que las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre el
cuerpo considerado no tienen resultante horizontal sino sólo resultante vertical.
Para calcular la resultante vertical de las fuerzas hidrostáticas se comenzará por
escribir la ecuación 1.3.2 en la forma:
{dF)y = pdS sen a ( 1 . 3 . 8 )
34
en la que "dSsen a" es la proyección ortogonal de ~dS~ en la dirección "OY" por
lo que se trata de un diferencial de superficie horizontal (dSh).
Sustituyendo en 1.3.8 el valor de la presión hidrostática a la profundidad con
siderada resulta:
(dF)y-p,gydxdz (1.3.9)
En la ecuación anterior "y" representa un punto genérico de la superficie del
cuerpo, por lo que su valor vendrá dado por una expresión del tipo:
y = y ( * 2 ) (1.3.10)
El módulo de la resultante vertical de las fuerzas hidrostáticas será:
Ry = J ( d F ) y = j jp¡gydxd: (1.3.11)
donde " y dxd^~ representa el diferencial de volumen del cuerpo considerado (ver
~L fig. 1.3.2) que, al multiplicarlo por la densidad del
fluido y la aceleración de la gravedad, pasa a ser el
peso de dicho diferencial de volumen supuesto éste
ocupado por el fluido. En consecuencia, la integral
doble que aparece en la ecuación 1.3.11 representa
el peso del fluido desalojado por el cuerpo.
F i g 1. 3. 2 . Elemento d i ferencial de volumen.
Teniendo en cuenta -(ver Fig. 1.3.1-a)- que la
fuerza hidrostática aumenta con la profundidad ,se
deduce que la resultante obtenida mediante la ecuación 13.11 es de signo negativo
lo que significa que está dirigida hacia arriba.
El análisis anterior se enuncia mediante el conocido principio de Arquímedes:
'Todo cuerpo introducido en un fluido experimenta una fuerza vertical ascendente
cuyo módulo es el peso del fluido desalojado". Esta fuerza vertical ascendente suele
denominarse empuje de Arquímedesy su punto de aplicación es el centro de gravedad
del volumen introducido en el fluido. Aunque la demostración del principio se ha
hecho para un cuerpo sumergido en un líquido -por resultar generalmente ésta una
35
imagen más conocida- el enunciado ya recoge su validez para todos los fluidos, ya
que a los efectos de su aplicación puede suponerse que la densidad de éstos es
constante.
El principio de Arquímedes se aplica siempre que se puedan desarrollar fuerzas
hidrostáticas y éstas aparecen cuando hay continuidad en el líquido, aunque esa
continuidad se establezca a lo largo de una grieta o fisura o a través de los huecos de
un medio poroso. Un azud de hormigón en masa proporciona la oportunidad de
comentar ambas posibilidades. Por muy bien ejecutada que esté la cimentación es
imposible garantizar que el agua no pueda introducirse en el contacto entre la base
del azud y el terreno, con lo que inmediatamente se producirían fuerzas ascendentes
que tratarían de "levantar" el azud. Por otro lado, la constitución del hormigón
-cemento, arena, grava y agua- hace que su fabricación de lugar a un medio poroso,
muy poco permeable, pero que al cabo de un tiempo suficientemente largo de con
tacto con el agua permite que ésta entre en sus huecos. En cuanto tal cosa suceda,
cada partícula mineral queda sometida al empuje de Arquímedes, lo que supone una
merma o reducción de su peso y, consecuentemente, de toda presa o azud,
Para tener en cuenta ambas situaciones, cuya denominación genérica es la de
subpresión y que, como se ha visto, no consiste más que en la aparición de presiones
en los huecos deun medio poroso-presiones intersticiales- las normas oficiales exigen
que la subpresión sea considerada entre las acciones sobre la presa.
Por último, el principio de Arquímedes constituye la base para el estudio del
equilibrio de los cuerpos sumergidos así como para la determinación de densidades,
por lo que ambas cuestiones serán tratadas a continuación.
36
132. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS
De acuerdo con el principio de Arquí
medes, un cuerpo sumergido total o parcial
mente en un fluido está sometido al empuje
" E" aplicado en el centro de gravedad del
volumen sumergido, al que se denominará, en
lo sucesivo, centro de carena "C. Además,
sobre el cuerpo actuará el peso" W", aplicado
De la comparación entre el valor relativo de las fuerzas intervinientes se
obtienen las tres situaciones posibles: si el peso " W" es superior al empuje " E~, el
cuerpo se hundirá; si el peso es igual al empuje, se mantendrá sumergido en una
posición cualquiera y si el peso es menor que el empuje, el cuerpo flotará.
De la situación que corresponde al segundo caso, y que aparece representada
en la figura 1.3.3 se deduce otra forma de expresar lo mismo, aunque en función de
una propiedad física de los cuerpos como es la densidad. Dado que:
E-W (1.3.12)
al estar el cuerpo totalmente sumergido resulta:
PfgV-pgV ' (1.3.13)
expresión en la que " V" representa el volumen del cuerpo. En consecuencia, se
puede decir que cada una de las situaciones anteriores se corresponde, respecti
vamente, con densidad del cuerpo mayor, igual, o menor que la densidad del fluido.
En el caso de cuerpos en equilibrio sumergido puede ser importante el carácter
del equilibrio, lo que es función de la posición relativa entre el centro de carena "C"
y el centro de gravedad "G".
F i g . 1. 3. 3. Fuerzas sobre un cuerpo sumergido.
en su centro de gravedad "G".
37
Así, un cuerpo que se
Ü encuentra en equilibrio en
la posición representada en
la figura 1.3.4-a en trazo
lleno, y que como conse
cuencia de alguna acción es
desplazado adoptando la
Fig 1 .3 -4 . Clases de equilibrio en un cuerpo posición que aparece en sumergido.
trazo discontinuo, se dice
que se encuentra en equilibrio estable, ya que la desestabilización induce la aparición
de un par que devuelve al cuerpo a la posición de equilibrio.
En el caso en que la distribución de masa fuera tal que el centro de gravedad
estuviera por encima del centro de carena, (Fig. 1.3.4.-b), la actuación de fuerzas
transversales supondría la aparición de un par de vuelco , por lo que se dice que en
tal situación el equilibrio es inestable. Finalmente, si coinciden el centro de carena
y el centro de gravedad, el equilibrio se denomina indiferente.
Para el estudio del equilibrio de los
cuerpos flotantes conviene establecer
m previamente el significado de algunos
= B = = ^ = = = términos: así, y con respecto a la situación
^ ~~̂ ^ de desviación nula (Fig. 1.3.5-a), se define
plano de flotación como la intersección del wf- L_ l_| U I I L ÍJ I I U LJ*T LJI I ' , . . I Q p u
flotante, cuerpo con la superficie libre, y eje de
flotación, como la recta perpendicular al plano de flotación que pasa por el centro
de gravedad.
Fig 1. 3 5. Equ i l ib r io de un cuerpo
La intersección del eje de flotación con la recta soporte del empuje se denomina
metacentro (M), y es la posición relativa de este punto respecto al centro de gravedad
lo que determina el carácter del equilibrio de un cuerpo flotante.
38
Asf, en la figura 1.3.5-b puede verse la situación que corresponde al equilibrio
estable. Ante una pequeña desviación del eje de flotación respecto a su posición
normal, el centro de carena se desplaza hasta la posición que corresponde al centro
de gravedad del volumen sumergido (C) que ahora tiene sección transversal trapecial,
como se ve en la figura 1.3.5-b. Resulta así que la desviación da lugar a que aparezca
un par cuyo sentido tiende a devolver al cuerpo flotante a la posición inicial. Esto se
debe a que el metacentro está situado por encima del centro de gravedad. Dado que
el centro de carena (C) está por encima del centro de gravedad (G), era previsible
que el equilibrio debía ser estable. Sin embargo, y a diferencia de lo que sucede con
los cuerpos totalmente sumergidos, un cuerpo flotante puede estar en equilibrio aún
cuando el centro de gravedad esté por encima del centro de carena.
Esta situación es la que se representa en la figura 1.3.5-c. Como se ve, el par
que aparece cuando se produce la desviación hace que el cuerpo flotante recupere
la posición de equilibrio. Es, por consiguiente, la posición del metacentro la que
determina el sentido del par y con ello, e! carácter del equilibrio.
En resumen, el equilibrio de un cuerpo flotante será estable si el metacentro
está por encima del centro de gravedad e inestable, en caso contrario. La situación
en la que ambos puntos coinciden corresponde al equilibrio indiferente.
El estudio de la posición normal en
la flotación de un cuerpo permite obtener
una relación interesante; dado que el
Ic — — -—- = - =—
~
( - : _ - - - „ • • . , cuerpo se encuentra en equilibrio, se ha deFig. 1. 3 . 6 . Posición no rma l de K H
equilibrio. verificar:
E = W ( 1 . 3 . 1 4 )
y sustituyendo en 1.3.14 las expresiones de cada una de las fuerzas que aparecen en
dicha ecuación resulta:
P,gVs-pgV (1 .3 .15 )
39
Siendo ~ v s " el volumen sumergido en el cuerpo y " v " el volumen total. La ecuación
1.3.15 también puede ser escrita en la forma:
tv La expresión que aparece a la izquierda de la igualdad anterior se denomina
densidad relativa de un cuerpo respecto a un fluido. Cuando el fluido es agua y su
temperatura es de 4 o C su densidad es 1 g.f '/cm3 y ésta se utiliza como densidad
patrón, denominándose densidad relativa de un cuerpo" D,", al resultado de dividir
su densidad entre la del agua a 4°C, es decir:
Dr
P- (1-3.17)P « ; 0 , 4 * C
El cociente que figura a la derecha del signo igual en la ecuación 1.3.16 es la
fracción del volumen del cuerpo que se sumerge. En consecuencia, la ecuación 1.3.16
indicaque dichafracción coincide con la densidad relativa del cuerpo flotante referida
al fluido en el que tiene lugar la flotación.
Aunque la densidad del agua salada varia de unos mares a otros y la densidad
del hielo tampoco es constante, suele tomarse como densidad relativa de éste 0,92,
lo que explica , sin necesidad de más comentarios, el peligro que representan los
icebergs para la navegación en ciertas rutas.
40
133. DETERMINACION DE LA DENSIDAD DE SOLIDOS Y LIQUIDOS
La densidad es una propiedad física del estado de cada cuerpo que se define
como el cociente entre la masa y el volumen de dicho cuerpo (ec. 1.1.11). En el
apartado anterior se ha definido el concepto de densidad relativa (ec. 1.3.17), número
adimensional que permite expresar la densidad de un cuerpo en función de la del
agua a4°C. Relacionado con la densidad se encuentra el concepto de peso específico
"Y", que se define como el cociente entre el peso " P" de un cuerpo y su volumen
" V ". De la definición se deduce que el peso específico no es una propiedad física,
ya que depende del campo gravitatorio. De dicha definición, y con ayuda de la
ecuación 1.1.11, se deduce la relación antes citada:
Y - £ = ̂ - p f f ( 1 . 3 . 1 8 )
El conocimiento de la densidad de los cuerpos es uno de los criterios que se
emplean para la toma de decisiones que corresponden a ciertas actividades. Así,
para la construcción de firmes de carretera, las normas oficiales exigen un grado de
compactación en terraplenes, capas granulares y mezclas asfálticas que se estima
mediante la determinación de la densidad "in shu". Las estructuras se dimensionan
no sólo para resistir ciertas cargas como el peso de la nieve, las fuerzas derivadas de
la presión que ejerce el viento sobre los paramentos del edificio, etc., sino también
para soportar su propio peso que, en algunos casos, es la acción más importante. Por
último, la densidad de algunos productos agrícolas es, a veces, el único criterio dis
ponible para la realización de las transacciones comerciales.
La determinación de la densidad de los cuerpos sólidos puede realizarse
mediante la balanza hidrostática. Aunque el método se basa en el principio de
Arquímedes -de hecho, este principio lo descubrió Arquímedes cuando trataba de
41
identificar un cuerpo por su densidad- es generalmente reconocida la aportación
metodológica de Galileo, que escribió en 1586 un breve tratado de carácter experi
mental sobre la balanza hidrostática, titulado La Bilancetta.
777777777777777Z
V Ps
En la figura 1.3.7-a se ha represen
tado un esquema de la balanza
hidrostática, que es similar a! de una
balanza convencional con la particulari
dad de que uno de sus platillos ha de estar
sumergido en un fluido que suele ser agua.
El esquema de las fuerzas que intervienen
en el problema puede verse en la fig.
1.3.7.-b, en el que" P " es el peso al aire del
objeto;" Ps", el peso que tiene cuando se
le sumerge en agua; " E" es el empuje de
Fig. 1. 3. 7 Balanza hidrostát ica. Arquímedes y" T" representa la fuerza de
enlace.
En la posición de equilibrio se verifica:
E=P-PS ( 1 . 3 . 1 9 )
y teniendo en cuenta la definición de empuje, resulta:
pfgV-P-P, ( 1 . 3 . 2 0 )
De la ecuación anterior se obtiene el volumen " V " del cuerpo que sustituido
en la fórmula de la densidad y teniendo en cuenta la relación entre masa y peso,
permite escribir: !
b)
p - — - P/g ( 1 . 3 . 2 1 )
V (P-Ps)/(S>,9) P-P, '
De la ecuación 1.3.21 se obtiene realmente la densidad relativa del cuerpo
respecto al fluido. Si se conoce la densidad de éste, se puede deducir la del cuerpo.
42
La balanza hidrostática también puede ser utilizada para determinar el volumen
de un cuerpo si se conoce la densidad del fluido, según se deduce de la ecuación
1.3.20 y asimismo, es posible obtener la densidad relativa de un iíquido respecto a
otro, sin más que determinar el peso al aire y los pesos sumergidos de un cuerpo en
cada uno de los líquidos, aplicar en cada determinación la ecuación 1.3.21 y dividir,
La determinación de la densidad de los
líquidos puede realizarse mediante la
balanza de Mobr, aparato que se muestra en
la figura 1.3.8 y que está constituido, esen
cialmente, por un brazo con contrapeso en
un lado y una serie de ranuras en el otro, en
las que se pueden alojar unas pesas espe
ciales denominadas reiter; y un objeto -el
inmersor- en cuyo interior hay un
termómetro que se introduce en el líquido
de prueba. La balanza ha de estar equili
brada en el aire, con el inmersor colgado del extremoy sin reiter alguno en las ranuras.
El reiter unidad se elige de manera que al introducir el inmersor en aguaa4°C
se restituya el equilibrio colocando aquél en la ranura situada encima del gancho. El
peso de cada uno de los restantes reiter es tal que teniendo en cuenta las ranuras en
las que se alojan, se pueda leer directamente la densidad del líquido hasta la cuarta
cifra decimal.
según convenga, estas ecuaciones.
F i g . 1.3. 8 Balanza de Monn Líquido de densidad 1,14 respecto al agua a 4" C.
Otro aparato que permite determinar la densidad de los líquidos es el areómetro
o densímetro (Fig. 1.3.9), muy utilizado en la determinación sistemática de densida
des.
t
43
Este tiene en su pane superior un tubo de
Escala vidrio en el que hay una escala y en su parte
inferior, un flotador lastrado con el fin de man-
Fiota dor tener vertical el conjunto. Lastre
A l introducir el densímetro en la probeta
que contiene al líquido de prueba y una vez Fig 1. 3. 9. Areómetro o densímetro. alcanzado el equilibrio se verifica:
E = WD (1.3.22)
siendo" W D" el peso del densímetro, que es una constante y " E" el empuje del líquido
sobre éste. Teniendo en cuenta la definición de empuje se obtiene: p , - — (1.3.23)
que proporciona la densidad del líquido en función del volumen sumergido del
densímetro " V D". El aparato se diseña de manera que al utilizarlo sólo emerja el
tubo, con lo cual la escala se gradúa para que de su lectura se obtenga directamente
la densidad del líquido.
El densímetro se utiliza profusamente en los laboratorios de geotecnia y de
análisis de suelos para conocer el porcentaje de una muestra de suelo que corresponde
a diámetros inferiores a 0,075 mm mediante la técnica que se conoce como análisis
granulométrico por sedimentación. Sus resultados, junto a los obtenidos en el análisis
granulométrico por tamizado, permiten representar la curva granulométrica (Fig.
1.3.10) del suelo y/o conocer el porcentaje que corresponde a los tamaños de grava,
arena, limo y arcilla, siendo ésto lo que en la técnica agronómica suele denominarse
la textura del suelo. En los laboratorios de análisis, la textura permite clasificar
agronómicamente un suelo, mientras que en los laboratorios de geotecnia, el cono
cimiento de la curva granulométrica no basta para la clasificación de un suelo.
44
60 2 0.06 O.O02
D iámet ro de las part ículas en mm.
F i g . 1. 3.10- Curva g ranu lomét r i ca de un suelo.
La curva granulométrica
proporciona información res
pecto a la permeabilidad, sus
ceptibilidad a la helada, origen
geológico etc., de un suelo, así
como sobre la magnitud cuanti
tativa de su fracción fina -limo y
arcilla-, sin embargo, para
clasificar un suelo desde el punto
de vista geotécnico, se requiere conocer cualitativamente dicha fracción fina, y para
ello es preciso determinar también los límites de Atterberg.
I J - l l . Análisis granulométrico por sedimentación
El análisis granulométrico por sedimentación se basa en la ley de Stokes
(ec. 3.3.49) que proporciona la fuerza resistiva que ejerce un fluido sobre un cuerpo
sólido que se mueve en su interior en condiciones de régimen laminar. Conocida
dicha fuerza se puede estudiar el movimiento de una partícula y deducir su velocidad
de sedimentación "v, "(apartado 3.3.4.):
v - g ( p - - p ' y 18(1
( 1 . 3 . 2 4 )
expresión en la que " p s " es la densidad de las partí
culas de suelo; " D" su diámetro y "o," y "u." la
densidad y viscosidad del fluido. Para realizar un
anál ¡sis por sedimentación se prepara en una probeta
. una suspensión uniforme del suelo en agua y se coloca
F i g . 1. 3.11. Análisis por verticalmente aquélla, con lo que las partículas ini-sed ¡mentación. . ,
cían su decantación. (Fig. 1.3.11).
45
La fórmula 1.3.24 puesta en función de la profundidad " 2 " , y de la densidad y
viscosidad del agua "pu,"y"u. l l,''queda en la forma:
que indica que al cabo de un tiempo " í" desde que comenzó la sedimentación, las
partículas cuyo diámetro es " D " se encuentran a la profundidad " z ". Esto significa
que si se puede determinar la concentración de partículas que ocupan la posición
"2"en el instante "i" -que se representará por "Cz," - el porcentaje de partículas
" p" cuyo tamaño es inferior a " D " vendrá dado por:
Cz,(1.3.26)
donde "C,"es la concentración inicial de partículas es decir, el peso del suelo dividido
por el volumen de la suspensión por lo que su valor es conocido. La ecuación 1.3.26
proporciona, por consiguiente, los puntos necesarios para dibujar la curva granulo-
métrica en la zona correspondiente a los tamaños más finos.
El densímetro puede ser utilizado para determinar " C2," ya que existe una
correlación entre ésta y la lectura de un densímetro " p z , " introducido en la sus
pensión, correlación que viene dada por:
C « - - £ 2 — f f { p „ - p „ ) (1.3.27)
cuya demostración, aunque sencilla, se omite para no desviar la atención del motivo
principal. No obstante, dicha demostración puede verse en la referencia bibliográfica
nB 13.
El densímetro proporciona la densidad que existe a una profundidad" 2"en un
iastante " í", pero nada se ha dicho respecto a cual es la profundidad " 2 " a la que
corresponde dicha densidad. Esta es, por tanto, la cuestión que falta por dilucidar.
4 6
Cuando el densímetro de peso ~WD" se introduce en un líquido homogéneo de
densidad " p" se verifica:
pg d(Vol) = W D ( 1 . 3 . 2 8 )
siendo ~d(Voiy el volumen de un elemento diferencial situado en la parte
sumergida del densímetro y extendiéndose la integral al volumen de densímetro que
está sumergido.
Mientras hay sedimentación la densidad de lasuspensión no es constante, siendo
suficientemente aproximado suponer que varia linealmente con la profundidad, es
decir:
De acuerdo con la ecuación 1.3.29, la ecuación que expresa el equilibrio del
densímetro en una suspensión será:
en la que " d'V ot)" y~ W D'' tienen el mismo significado que en la ecuación 1.3.28.
Si se representa por" z'" la profundidad a la cual la densidad de la suspensión
coincide con la lectura del densímetro " p ¿", se verifica:
p = a + bz ( 1 . 3 . 2 9 )
( 1 . 3 . 3 0 )
= a + bz ( 1 . 3 . 3 1 )
Sustituyendo 1.3.31 en 1.3.28 se tiene:
De la igualdad entre las ecuaciones 1.3.32 y 1.3.30 se obtiene:
z = ( 1 . 3 . 3 3 )
47
que identifica a ~ z'~ como el centroide gravedad del volumen sumergido, es decir,
como el centro de carena del volumen sumergido del densímetro. En consecuencia,
la lectura del densímetro proporciona la densidad de la suspensión a la profundidad
a la que se encuentra el centro de carena del volumen sumergido del densímetro. Se
necesita por tanto, conocer la profundidad del centro de carena que corresponde a
cada lectura del densímetro, operación que se denomina calibrado del densímetro.
I
El procedimiento a seguir en la realización del análisis por sedimentación se
puede resumir en los siguientes pasos:
1. - La lectura del densímetro proporciona la densidad de la suspensión a la
profundidad a la que se encuentra su centro de carena, profundidad que se determina
en el calibrado o ajuste del densímetro.
2. - La ecuación 1.3.25 permite obtener el diámetro de las partículas que en el
instante en el que se hizo la lectura se encontraban a la profundidad del centro de
carena del densímetro.
3. - La concentración de las partículas cuyo diámetro se obtuvo en el apartado
anterior y que se encuentran a la profundidad del centro de carena en el instante de
lectura, se obtiene mediante la ecuación 1.3.27.
4. - El porcentaje de partículas cuyo diámetro es inferior al obtenido en el paso
n° 2 se obtiene sustituyendo en la ecuación 1.3.26 la concentración calculada en el
apartado anterior.
48
i-Toma .Estática de fluidos.
4*Lección. Sistema de fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana
sumergida. Aplicación: equilibrio de un azud. Fórmula de Mariotte.
1.4.1. SISTEMA DE FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE
PLANA SUMERGIDA
En ia figura 1.4.1-a) se muestra el alzado desde aguas arriba de un muro de
embalse en el que hay una compuerta rectangular MNPQ. Cuando la presión
hidrostática " p " a c t ú a sobre un elemento diferencial de área " dA", aparece una
fuerza normal y dirigida hacia éste " dF" cuyo módulo viene dado por:
dF=pdA
SECCION A A
( 1 . 4 . 1 )
a) b)
Fig. 1.4.1. Fuerzas hidrostáticas sobre una super f ic ie .
El conjunto de fuerzas que se origina como consecuencia de la presión
hidrostática se denomina sistema de fuerzas hidrostáticas. En la figura 1.4.1-b) se ha
representado la distribución plana de fuerzas hidrostáticas correspondiente a la
sección AA'del muro, y en la figura 1.4.1.-c) la distribución espacial de fuerzas
hidrostáticas que actúa sobre la compuerta MNPQ.
49
Las fuerzas que actúan sobre la compuerta constituyen un sistema de fuerzas
paralelas y comu tal, puede ser reducido a un sistema mecánicamente equivalente
formado por una sola fuerza aplicada en un punto determinado de la compuerta,
denominado centro de presión.
La determinación del centro de presión se facilita considerablemente si, como
suele ser frecuente, el área de la compuerta es simétrica y uno de sus ejes de simetría
resulta ser perpendicular a la intersección del plano de la compuerta con la superficie
libre del agua. En tal caso, es fácil comprobar que dicho eje de simetría lo es también
para la distribución de fuerzas hidrostáticas y, por consiguiente, el centro de presión
ha de ser uno de los puntos de dicho eje.
Fig . 1. 4. 2. Sistemas mecánicamente equivalentes.
Así pues, para determinar la posición del centro de presión basta con conocer
"ycp" (Fig. 1.4.2-b). Tanto esta determinación como la de la fuerza única " R H" ha
de realizarse imponiendo las condiciones para que los sistemas de fuerzas I y 11
representados en la figura 1.4.2 sean mecánicamente equivalentes.
50
La igualdad entre los módulos de las resultantes de los sistemas I y I I , permite
obtener R H:
[ yydA-ftH (1.4.2)J A
y teniendo en cuenta la definición de centro de gravedad de un área resulta:
Y V c ^ t f * (1-4 .3)
donde " y" es el peso específico del agua," A " es el área de la compuerta e " y c " es
la profundidad del centro de gravedad del área de la superficie plana sumergida.
Conocido el módulo de la resultante de las fuerzas hidrostáticas, la posición del
centro de presión se obtiene mediante la igualdad entre los momentos de las resul
tantes de los sistemas de fuerzas I y I I (Fig. 1.4.2), es decir:
f ( Y y c M ) y - t f „ y „ (1.4.4)JA
que, teniendo en cuenta la ecuación 1.4.2, puede escribirse
y¿dA J /
•CP~
2,
yCf=—r (1-4.5)ydA •
El numerador del segundo miembro de la ecuación 1.4.5 es el momento de
inercia del área de la compuerta con respecto al eje X X es decir, con respecto a la
intersección del plano de lacompuerta con la superficie libre del agua, y se representa
por / x x ,
Dado que el momento de inercia se denomina también momento de segundo
orden, se puede decir que la profundidad del centro de presión se obtiene como
cociente entre los momentos de segundo y primer orden del área de la compuerta.
Con la notación ya explicada, la ecuación 1.4.5 queda en la forma:
yCF = ~~ (1-4-6)ycA
51
En algunos casos, los problemas relacionados con la determinación del centro
depresión pueden ser resueltos con bastante rapidez si se analiza la distribución de
fuerzas hidrostáticas.
En el caso de una compuerta rectangular como la que aquí se ha considerado,
el sistema de fuerzas representado en la figura 1.4.2 e identificado en ella como
sistema 1, puede ser reducido al que se muestra en la figura 1.4.3, que a su vez puede
ser reducido a una sola fuerza pasando por el centro de gravedad de la distribución
trapecial. El centro de presión es el punto de intersección de la recta soporte de esta
fuerza con el plano de la compuerta.
El procedimiento que se acaba
de describir es de carácter particular,
y no puede ser utilizado, por ejemplo,
si el área de la compuerta es circular.
Fig. 1.4.3- Distribución plana equi- En tal caso, es el procedimiento valente a la distribución espacial.
general, denominado método del
volumen de presiones" el que debe ser aplicado.
La denominación del método se basa en una interpretación geométrica de la
ecuación 1.4.2, en base a la cual el integrando que aparece en su primer miembro es
un elemento diferencial del volumen creado por la distribución de presiones actuante
sobre la compuerta. Así pues, la ecuación 1.4.2 indica que el módulo de la resultante
del sistema de fuerzas hidrostáticas se obtiene calculando el volumen que crea la
distribución de presiones hidrostáticas que actúa sobre la compuerta.
Teniendo en cuenta este resultado, la ecuación 1.4.4 muestra que la posición
del centro de presión coincide con la del centro de gravedad del volumen de presiones,
con lo que queda definido el.sistema I I (Fig. 1.4.2) mecánicamente equivalente al
sistema I constituido por la distribución de fuerzas hidrostáticas.
\ ' .
52
1.4.1.1. Momentos de inercia de un área
• dA ' 1
/ r ( o W V / yo y
F¡ g 1.4.4. N otacidn para el cálculo de magni tudes inercia-Ies de un a'rea.
El momento de inercia de un área
con respecto a un eje puede ser rela
cionado con la posición del centro de
gravedad de dicho área con respecto al
eje. Así, con la notación de la figura 1.4.4,
en la que "ye" representa la ordenada
del centro de gravedad del área" A", se
tiene:
¡xx- yzdA
y también:
fÁ(yc + rfdA
C 1-4.7)
(1.4.8)
y desarrollando el binomio, teniendo en cuenta que r c - 0 resulta:
I x x = lxx + y U (1-4.9)
que es el teorema-de Steiner para los momentos de inercia de un área. El teorema
de Steiner puede ser utilizado para deducir una importante propiedad del centro de
presión. Sustituyendo la ecuación 1.4.9 en 1.4.6 resulta:
y ( ycA (1.4.10)
que muestra que el centro de presión está siempre por debajo del centro de gravedad
del área.
En la mayoría de las determinaciones del centro de presión de una superficie
plana sumergida, basta con aplicar la ecuación 1.4.6 para situar dicho punto, ya que
generalmente, la distribución de fuerzas hidrostáticas es simétrica.
53
Si, haciendo abstracción de las consideraciones de simetría, se calcúlala abscisa
del centro de presión -siguiendo la misma metodología empleada para la deducción
de la ordenada- se obtiene como resultado:
El numerador de la ecuación 1.4.11 representa el producto de inercia del área
considerada, cuya definición es:
De la ecuación 1.4.12 se deduce que el producto de inercia es nulo si uno de los
ejes con respecto a los cuales se calcula dicho producto es eje de simetría del área.
Dado que, generalmente, la variable " y " de la ecuación 1.4.12 se emplea para
expresar la variación de la presión hidrostática, resulta que la simetría de la sección
respecto al eje correspondiente a la variable "y" supone la simetría de la distribución
de fuerzas hidrostáticas y en consecuencia, el centro de presión deberá ser un punto
de dicho eje, por lo que tomándolo como eje de referencia se obtendrá siempre
x C P - 0.
Tomando como modelo la deducción del teorema de Steiner, es inmediato
obtener una relación similar para el producto de inercia, que es la siguiente:
x CP ~ (1.4.11)
(1.4.12)
(1,4.13)
54
1.42. APLICACION: EQUILIBRIO DE UN AZUD
Algunos de los conceptos recientemente estudiados son de aplicación al analizar
el equilibrio de un azud o presa pequeña cuya misión fundamental es la de crear el
remanso suficiente para la desviación del agua.
En la figura 1.4.5 se ha representado
un elemento transversal de espesor unidad
del azud. Las fuerzas activas fundamentales
para el análisis del equilibrio son las
siguientes:
- Sistema de fuerzas hidrostáticas.
Fig 1.4.5. Geometría del -Subpresión.
P r o b t e m a - Peso del elemento.
En el cálculo de grandes presas se consideran además, acciones sísmicas,
térmicas, etc., el efecto de los aterramientos, oleaje e incluso las fuerzas que podrían
actuar sobre la presa si se helara superficialmente el embalse.
El sistema de fuerzas hidrostáticas que actúa sobre la presa representada en la
figura 1.4.5 da lugar a una distribución lineal que tiene su origen en la superficie libre
y que llega hasta el punto más bajo de la obra de fábrica, es decir, aunque una vez
ejecutada la cimentación se suele rellenar estay el terreno aguas arriba queda como
indícala línea discontinua de la figura 1.4.5, la distribución de fuerzas actuante sobre
la presa se extiende hasta su base.
La fuerza resultante de la distribución -que suele denominarse "empuje del
agua"- se aplica en el centro de presión de la superficie sobre la que actúa ,
determinándose su situación mediante la ecuación 1.4.10. Teniendo en cuenta que,
en el ejemplo considerado, dicha superficie es rectangular, resulta:
17 1
V C P
n T Í * 3 2 h
55
(1.4.14)
El módulo del empuje se obtendrá
mediante la ecuación 1.4.3:
(1.4.15)
Fig 1.4.6. Fuerzas en el equil ibrio de un azud.
El efecto de la subpresión puede
ser considerado mediante la ley que se
representa con trazo de punto y raya en
la figura 1.4.6; en la que la presión en el
extremo aguas arriba de la base se ha
hecho igual a la presión hidrostática existente en dicho punto y nula, la presión en el
otro extremo, ya que en éste sólo actúa la presión atmosférica.
La distribución de fuerzas debidas a la subpresión puede ser reducida a una
fuerza de módulo igual al área de dicha distribución, dirección vertical y sentido
ascendente y pasando por el centro de gravedad de la distribución, es decir:
S = | Y , f i ó
m--b
(1.4.16)
(1.4.17)
Por último, el peso del elemento considerado "W" se obtendrá multiplicando su
volumen por el peso específico del hormigón, que es el material de uso más
generalizado para este tipo de obras. Esta fuerza está aplicada en el centro de gra
vedad del elemento, cuya determinación puede hacerse por descomposición del área
de la sección en áreas sencillas. Así pues:
(1.4.18)
1 / , - a t fYc (1.4.19)
56
V2 = -{b-a){H-h-)yc
a c. = -
" c 2 - - ( 6 - a )
(1.4.20)
(1.4.21)
(1.4.22)
Sólo quedan por considerar las fuerzas reactivas, representadas por su resultante
vertical " Y ", su resultante horizontal " X " y el punto "A" de aplicación de ambas.
En la figura 1.4.7 se han representado las fuerzas que intervienen en el equilibrio
del elemento considerado. Las tres incógnitas: módulos de las reacciones y la posición
de su punto de aplicación (OA), se obtienen
mediante las ecuaciones escalares de equilibrio
en el plano:
Rx = 0
M*0-0
(1.4.23)
(1.4.24)
(1.4.25)
F i q . 1.4. 7. Fuerzas sobre el sólido rígido-
Una vez determinados los valores de las
reacciones"X"y " ) ' " se plantea el problema
resistente, es decir, si el suelo o cimiento es capaz de resistir con la seguridad adecuada
las fuerzas "X" e "Y" que le transmite el elemento de presa considerado. Este
problema se resuelve mediante la aplicación de la teoría correspondiente a la
mecánica del suelo, que permite estimar la resistencia del terreno y aplicando a ésta
unos coeficientes de seguridad preestablecidos , averiguar si dicha resistencia es
superior a las cargas que ha de soportar.
La condición 1.4.25 proporciona el punto de intersección con la base, de la recta
de acción de la resultante de las fuerzas reactivas, que lo es también de la resultante
de las fuerzas activas.
El desequilibrio, esto es, el vuelco, se produciría si este pumo estuviera situado
57
fuera de la base. Dado que la Norma para el cálculo de presas exige que la resultante
de las fuerzas activas caiga dentro del tercio central de la base, el vuelco no puede
tener lugar si se cumple dicha Norma.
1.4.3. FORMULA DE MARIOTTE
La distribución en red y en ocasiones, el transporte de los fluidos, se realiza
mediante tuberías en presión. Asimismo, es casi práctica generalizada, almacenar
los fluidos en depósitos circulares. En ambos casos, las fuerzas derivadas de la presión
se ejercen radialmente, lo que simplifica su análisis.
Si para facilitar la visualización del
problema, se estudia un depósito circular
de agua y se considera en él una sección
diametral del mismo, limitada por dos
secciones paralelas a la base y separadas
entre sí una magnitud unidad, el sistema
de fuerzas a considerar es el que se mués-
F ig 1. 4. 8 . Semi -secc io 'n t ransve rsa l de un d e p ó s i t o c i r c u l a r
tra en la figura 1.4.8.
• Se ha despreciado la variación de la presión con la altura del elemento
pudiéndose tomar, o bien la presión media, o mejor aún, la presión existente en la
parte inferior del elemento considerado, con lo que se está claramente del lado de
la seguridad.
Las fuerzas " T " representan la resultante de las que actúan en el espesor "e"
del cilindro. Del equilibrio de fuerzas se obtiene:
(1.4.26)
(1.4.27)
2 7 - p t f d a s e n a 'o
0= I pRdacosa Jo
58
La integral de la ecuación 1.4.27 es nula, y de la ecuación 1.4.26 resulta:
T-pR (1.4.28)
mediante la cual se obtiene la tensión circunferencial" c", en la forma:
( I . 4 . 2 J e e
El resultado de la ecuación 1.4.29 sirve para determinar el espesor de los tubos
comerciales de fibrocemento, P.V.C., etc., al comparar la tensión que se produce en
un tubo de radio "R~ cuando en su interior hay un fluido a presión ~p" con la
resistencia a tracción del material del tubo.
También sirve, naturalmente, para determinar la armadura necesaria en un
depósito circular de hormigón ya que sólo el acero es capaz de resistir la tracción
producida.
La fórmula 1.4.29 es la fórmula de Mariotte, aunque se la conoce también por
"fórmula de los tubos".
59
}-Tema. Estática de fluidos
5-Lección .Fuerzas Ínter molecular es. Tensión superficial. Sobrepresión de
curvatura. Formación de meniscos. Capilaridad. Aplicación: ascenso de la
savia en árboles y plantas.
1.5.1. FUERZAS INTERMOLECULARES
En esta lección se van a estudiar diversos fenómenos físicos relacionados,
fundamentalmente, con la propiedad de los líquidos o mejor, con la propiedad del
contacto aire-líquido que se denomina tensión superficial. La comprensión no sólo
de ésta, sino también de otras varias propiedades de la materia se facilita conside
rablemente si su estudio se realiza desde un punto de vista microscópico, es decir,
teniendo en cuenta la constitución molecular de la materia.
En cualquiera de los estados o formas en que se presente la materia, ésta está
constituida por moléculas en movimiento cuya intensidad va desde la vibración en
torno a la posición de equilibrio, que caracteriza a las moléculas de los sólidos, hasta
la libertad de movimiento que poseen las moléculas de los gases, pasando por la
situación intermedia que corresponde a las moléculas de los líquidos. El movimiento
de las moléculas se corresponde con la intensidad de las fuerzas intermoleculares;
ésta es grande en el caso de los sólidos y nula en el de los gases, correspondiendo,
lógicamente, a los líquidos la situación intermedia.
En la figura 1.5.1 se ha representado en trazo continuo la variación de la fuerza
intermolecular con la distancia existente entre los centros de las moléculas. Se aprecia
en ella que cuando la distancia es superior a"d," , la fuerza intermolecular atrae a
las moléculas circundantes, mientras que si se intenta que la separación entre los
60
centros de Jas moléculas sea inferiora " d „ l a fuerza intermolecular es de repulsión.
La distancia ~ d „ puede considerarse como el diámetro molecular,y es representativa
de la distancia media de equilibrio estable entre una molécula y las que la rodean.
Esta distancia media de equilibrio depende de las condiciones externas de presión y
temperatura.
E(>0) c ••o
Efe O) F ig . 1. 5 .1 . Variación de la tuerza intermolecular y de la energía potencial con la separación intermolecuiar
La situación de equilibrio estable que corresponde a " d „" implica que en ella
ha de ser mínima la energía potencial" E", definida como la energía necesaria para
llevar una molécula desde el infinito hasta una distancia " r " del centro de otra
molécula. En efecto, definida así la energía, se tiene:
dE = -E(r)dr ( 1 . 5 . 1 )
y en consecuencia, la gráfica de energía potencial -en trazo discontinuo en la figura
1.5.1-se obtiene por integración de la función F ( r ) .
La curva de energía potencial de la figura 1.5.1 permite comprobar la estabilidad
del equilibrio que corresponde a" d 0": si por alguna causa se separara una molécula
de otra auna distancia superior a" d 0 ", la energía potencial sería mayor que ¡a mínima
y como todos los sistemas evolucionan hacia la posición de energía potencial mínima,
la molécula sería atraída por las fuerzas intermoleculares de atracción (fuerzas
61
cohesivas). En el caso de intentar configuraciones moleculares en las que la distancia
entre los centros de las moléculas fuera inferior a " d„", resultaría que la tendencia
a hacer mínima la energía potencial las separaría, es decir, se ejercerían fuerzas de
repulsión.
La figura 1.5.1 muestra también que los efectos de las fuerzas intermoleculares
sólo se dejan sentir por debajo de una distancia "R" (10 Angstróm) que sería el radio
de la esfera de influencia de cada molécula. También se observa en dicha figura que
para "sacar" a una molécula de la esfera de influencia de otra es preciso deshacer los
enlaces intermoleculares y ello requiere la aportación de una energía de cohesión
"¿f".
La intensidad de las fuerzas intermoleculares es muy superior a la de atracción
entre masas, por lo que se trata de fuerzas de carácter eléctrico. Las fuerzas que se
ejercen entre moléculas de una misma sustancia se denominan fuerzas cohesivas,
mientras que las fuerzas que se desarrollan entre moléculas de cuerpos distintos se
denominan fuerzas adhesivas.
p2. TENSION SUPERFICIAL
Las ideas expuestas en el apartado anterior servirán para explicar la propiedad,
exclusiva de los líquidos, que consiste en que éstos presentan una superficie libre y
tensa como consecuencia de la acción de fuerzas superficiales de extensión que se
denominan genérica y globalmente, como tensión superficial.
En la figura 1.5.2 se ha representado la esfera de acción correspondiente a la
molécula "A", situada en el interior de un líquido y a la molécula superficial "B".
62
Las fuerzas cohesivas correspondientes a la
molécula "A" dan lugar a una resultante nula,
mientras que en la molécula "B" hay una
resultante vertical y dirigida hacia el interior
de la masa fluida. Esto significa que para que
una molécula de interior, situada en alguna
esfera de influencia, pase a ser una molécula
superficial es preciso realizar un trabajo
contra las fuerzas cohesivas, trabajo que según la figura 1.5.1 viene dado por" A F " .
En consecuencia, toda molécula superficial tiene una energía potencial, por lo
que cabe hablar de una energía superficial que sería la suma de la energía corres
pondiente a cada una de las moléculas superficiales. Dado que la situación de
equilibrio está asociada al mínimo de energía potencial, la superficie del líquido
tenderá hacia la mínima posible, que para un contorno dado, es la superficie plana.
Esta tendencia exige la aparición de fuerzas tangentes a la superficie libre del líquido
que al tensar dicha superficie hacen que sea mínima. Estas fuerzas son la tensión
superficial del líquido, que al mantener estirada la superficie, dan a ésta un aspecto
de membrana elástica tensa. Sin embargo, la superficie libre de un líquido no se
comporta como una membrana elástica ya que, como se verá, la tensión superficial
no sigue la ley de Hooke.
SÍ se introduce en una disolución jabonosa un bastidor metálico en forma de
"U" y se cierra la abertura mediante un alambre deslizante, se observa que una vez
formada la lámina de líquido en el interior del bastidor y puesto éste en posición
vertical, el alambre es desplazado ligeramente hacia arriba, como consecuencia de
la tensión superficial que actúa sobre él.
B
F i g . 1 5. 2. Estera de influencia de moléculas líquidas.
Ax
4& ^
o
F 1 1
f j
F
4
F i g . 1. 5 . 3. B a s t i d o r para la medida de la tensión superf icial.
63
El dispositivo aparece
representado en la figura 1.5.3 y
puede ser utilizado para medir la
tensión superficial de la siguiente
forma: si T " representa la
fuerza que equilibra la tensión
superficial se tiene:
Zla = F (1.5.2)
y por tanto:
o =F_ 21
(1.5.3)
La ecuación 1.5.3 permite determinar la tensión superficial" o" ala temperatura
del ensayo a partir de la fuerza " F" -el peso del alambre deslizante más el de las
pesas precisas para el equilibrio- conocida la longitud " l" del alambre.
. Si incrementando ligeramente " F", se desplaza el alambre una distancia" A x"
se observa que el equilibrio se alcanza con la misma fuerza " F" con la que se alcanzó
antes. Sin embargo, al desplazar el alambre se ha producido un trabajo " A l / " de
valor:
A l / = F A x (1.5.4)
sustituyendo 1.5.2 en 1.5.4 resulta:
A l / = 2 o i A x (1.5.5)
pero"2¿ A.v" es precisamente el incremento de superficie de la lámina" AS", por
lo que:
A l / (1.5.6)
que expresa que la tensión superficial de un líquido es igual al trabajo que hay que
realizar para aumentar en una unidad su superficie libre.
64
1.52.1. Unidades
De las ecuaciones 1.5.2 ó 1.5.6 se deduce la ecuación de dimensiones de la
tensión superficial:
[a] = MT'z (1.5.7)
o, tomando como magnitud fundamental la fuerza:
[a] = FL'] (1.5.8)
Las unidades de tensión superficial se deducen de la ecuación 1.5.8, siendo
habitual emplear" N/m" o~ dina/cm~, en los sistemas SI y CGS respectivamente.
La ecuación 1.5.6 muestra que también es posible expresar la tensión superficial en
-J/m2" (SI) o en "erg/cm 2 " (CGS).
La tensión superficial disminuye al aumentar la temperatura, como se deduce
de la observación de la tabla 1.5.1, en la que se dan algunos valores de la tensión
superficial del agua.
Temperatura
<°C)
0
5
10
15
20
25
30
Tensión superficial
(dinas/ cm)
75.64
74.92
74.22
73.49
72.75
71.97
71.18
Tabla 1.5.1 Viscosidad del agua a diferentes temperaturas.
1.5.3. SOBREPRESION DE CURVATURA
65
En el apartado anterior se vió que las fuerzas de tensión superficial tienden a
hacer mínima la superficie libre de un líquido. Así se explica la planeidad que presenta
la superficie libre de los líquidos almacenados en un recipiente y también la esferi
cidad de las gotas de líquido, ya que la superficie esférica es la que minimiza la
superficie que corresponde a un volumen dado. Este último fenómeno resulta
adecuado para analizar lo que ocurre cuando ía superficie libre de un líquido no es
plana.
En la figura 1.5.4 se ha representado la distribución de fuerzas de tensión
superficial que aparece en la circunferencia de un casquete esférico, obtenido a partir
de una gota líquida. Para que el casquete pueda estar en equilibrio se necesita la
existencia de una sobrepresión
" Ap"actuando en cada punto del interior
de la superficie considerada.
El valor de la sobrepresión " Ap"se puede obtener mediante el balance energético asociado a un aumento de la
Fig. 1. 5 .4 . Tensión superficial
en superf ic ie no plana. superficie de la gota de la siguiente forma:
la energía necesaria para aumentar en " dS " la superficie de la esfera será:
d£ = adS (1.5.9)
donde" dS "se obtiene diferenciando la superficie de la esfera, obteniéndose como
resultado:
dS^Snrdr (1.5.10)
El trabajo que han de realizar las fuerzas de presión en ese aumento de superficie
viene dado por: dW-Ap-S-dr (1.5.11)
66
siendo "5" la superficie de la esfera de radio " r" , que sustituida en 1.5.10 da lugar
a:
Igualando la energía superficial (ec. 1.5.9) -después de sustituir en ella 1.5.10-
al trabajo de las fuerzas de presión (ec. 1.5.12) y despejando la sobrepresión " Ap"
se obtiene:
La ecuación 1.5.13 muestra que la formación de una gota de agua requiere el
desarrollo de una sobrepresión relativamente elevada -tanto más cuanto menor sea
el diámetro de la gota- por lo que, en ocasiones, la atmósfera llega a alcanzar estados
de elevada sobresaturación. A este fenómeno se debe el que la formación de gotas
por condensación del vapor de agua de la atmósfera requiera la existencia en ella de
núcleos de condensación: partículas de polvo, partículas procedentes de la actividad
industrial o urbana, etc., con el fin de proporcionar una superficie de soporte para
dicha condensación.
La sobrepresión que corresponde a un chorro líquido circular de radio" r " puede
deducirse de la aplicación de la fórmula 1.4.28, con lo que se obtiene:
Tanto la fórmula 1.5.13 como la 1.5.14 son casos particulares de la fórmula
genera! que da la sobrepresión para una superficie en función de sus radios de cur
vatura principal " R y" R 2 " :
dW = Ap- 4nr2-dr ( 1 . 5 . 1 2 )
( 1 . 5 . 1 3 )
( 1 . 5 . 1 4 )
( 1 . 5 . 1 5 )
fórmula que se conoce como ley de Laplace.
1.5.4. FORMACION DE MENISCOS
67
En el contacto con una pared sólida la superficie libre de los líquidos deja de
ser horizontal. La razón para ello es que las moléculas situadas en la superficie de
contacto no sólo se ven solicitadas por las fuerzas cohesivas sino también por las
fuerzas adhesivas ejercidas por las moléculas de la pared sólida. La forma de la
superficie libre en el contacto sólido-líquido depende del resultado de la comparación
entre ambas fuerzas.
Fig 1. 5 . 5 . a) Menisco cóncavo y b) Menisco convexo.
Si la resultante de las
fuerzas adhesivas "Fa"-nor
mal siempre a la superficie
sólida- es mayor que la
resultante de las fuerzas
cohesivas " F c "-dirigida hacia
el interior del líquido- la
superficie libre del líquido
adopta la forma representada
en la figura 1.5.5-a) ya que para que exista equilibrio, la resultante " R " ha de ser
perpendicular a dicha superficie. Se dice que en tal caso se ha formado un menisco
cóncavoy también, que el líquido "moja" al sólido. Una situación así puede ser descrita
mediante el ángulo de contacto "6" , que es el que forma la tangente a la superficie
libre con la pared, en el punto de contacto. La situación de menisco cóncavo
corresponde a 0 < 90°, esto es, a un ángulo de contacto agudo y puede encontrarse
en el contacto agua-vidrio (G = 25 0 ) . El caso de ángulo de contacto nulo es aquel en
el que la pared se recubre de una delgada película líquida que asciende por ella, y
se da en el contacto entre agua pura y vidrio perfectamente limpio.
68
Cuando las fuerzas cohesivas son altas -lo que corresponde a, una elevada tensión
superficial- la geometría del contacto responde al esquema representado en la figura
1.5.5-b), que puede ser descrito diciendo que el menisco es convexo; el ángulo de
contacto obtuso o que el líquido no moja al sólido. Este es el caso del contacto
mercurio-vidrio, en el que el ángulo " 9" es del orden de 1 4 0 ° . La magnitud del
ángulo de contacto del mercurio está, lógicamente, en consonancia con su tensión
superficial, que a 20°C es d e 4 ó 5 r í t r ¿ a s / c m , es decir, más de seis veces superior
a la del agua.
Si se introduce un tubo estrecho de vidrio
en un líquido que lo moja, se observa que éste
asciende hasta una altura ~hc" (Fig.1.5.6),
denominada altura de ascensión capilar. En la
parte superior del tubo aparece el correspon
diente menisco cóncavo que se une con las
paredes del tubo formando con él el ángulo de
contacto "0".
En los puntos "A" y "C" la presión ha de ser la misma y por tanto se tiene:
P S ^ Y / / Í C = 0 ( 1 . 5 . 1 6 )
siendo " p B" la presión relativa existente en el punto "B", y " y / " el peso específico
del líquido.
Por otro lado, la curvatura del menisco exige que la presión absoluta en "B" sea
inferior a la atmosférica en la magnitud dada por la ecuación 1.5.13, por consiguiente,
la presión relativa en "B" será:
1.5.5. CAPILARIDAD
F i g . 1 .5 .6 . Ascensión ca¬pi lan
69
1 » / r
siendo " r m " el radio de curvatura del menisco (Fig.
1.5.7), y "o" la tensión superficial del líquido.
De la figura 1.5.7 se deduce:
(1.5.17)
F i g 1. 5. 7 R elaciones geométricas en un menisco. r ni cos9
r (1.5.18)
Sustituyendo 1.5.18 en 1.5.17 se tiene:
2acos9 Ps = ~
r (1.5.19)
y entrando con este valor en 1.5.16 y despejando "hc" resulta:
2acosG (1.5.20)
La fórmula 1.5.20 indica que la altura de ascensión capilar es inversamente
proporcional al radio del tubo, resultado que se conoce por ley de Jurin.
El líquido que asciende por capilaridad se encuentra sometido todo él a
presiones negativas, con la ley de variación lineal que aparece a la derecha de la
figura 1.5.6 y cuyo valor máximo se deduce de 1.5.16. Si se aplica la fórmula de
Mariotte a esta situación de depresión interior se deduce que el tubo queda sometido
a un estado de compresión. Se trata, en definitiva, del estado de cargas contrario al
que aparece en la figura 1.4.8.
Si se tiene en cuenta lo anterior, así como el hecho de que la capilaridad se
produce en cualquier medio poroso como es el suelo, resulta que las presiones
negativas del agua alojada en los poros del suelo situado por encima del nivel freático
confieren a las partículas del suelo una elevada resistencia, lo que permite que, por
ejemplo, las playas puedan ser utilizadas en la bajamar como pistas para la realización
de pruebas deportivas.
70
1.5.6. APLICACION: ASCENSO DE LA SAVIA EN ARBOLES Y PLANTAS
La savia está contituida por agua más algunos productos de la fotosíntesis entre
los que se encuentra el azúcar. Esta solución acuosa se desplaza en los árboles y
plantas a través de una red de conductos de radio comprendido entre 2 5 p m y
250 u. m denominada xilema.
Debido a la constitución de la savia, se establece a nivel radicular una diferencia
de presión osmótica entre el agua del suelo y la savia que propicia el ascenso de ésta
por el xilema, llegándose a explicar por este concepto, ascensos del orden de unos
siete metros.
Si se aplica a los conductos del xilema la fórmula 1.5.20, se obtienen alturas de
ascensión capilar del orden de unos sesenta centímetros.
De las consideraciones anteriores se deduce que ni la presión osmótica ni la
capilaridad explican el ascenso de la savia en ciertos árboles hasta alturas que, como
es el caso de la sequoya, llegan a ser de sesenta metros.
En la actualidad se admite que la explicación al ascenso de la savia se encuentra
en la capacidad del agua para desarrollar elevadas presiones negativas, que son
debidas a las fuerzas moleculares de cohesión. Como se recordará, toda la columna
líquida que asciende por capilaridad presenta una ley creciente de presiones negativas
(Fig. 1.5.6), aunque moderadas. Sin embargo, el agua es capaz de desarrollar pre
siones negativas mucho más elevadas: así, en agua con aire disuelto se han medido
resistencias a la tracción comprendidas entre 6 y 40 atm., mientras que en agua
desaireada a 27 "C se ha llegado a alcanzar una resistencia a la equitracción de
2 2 3 ± 5 a í m .
71
Si se supone que la savia de la raíz se encuentra a la presión de 1 atmósfera y
se aplica la ecuación general de la hidrostática, se deduce que en lo más alto de
árboles como la sequoya, la savia se encuentra a una presión negativa de unas cinco
atmósferas, lo que está dentro del rango de resistencias a la tracción del agua.
72
2-Tema. Cinemática de fluidos.
I-Lección. Descripción del movimiento de un fluido: métodos de Lagrange
y Euler. Línea de corriente, de trayectoria y de traza. Clasificación macros
cópica del movimiento de un fluido. Otras clasificaciones. Concepto de
caudal. Ecuación de continuidad. Aceleración.
2.1.1. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO
La cinemática es la parte de la mecánica que estudia la geometría del movi
miento de las partículas, supuesto éste conocido, sin considerar las causas que lo
originan. Por otra parte, se dice que el movimiento de una partícula está definido
cuando se conoce la posición que ésta ocupa a lo largo del tiempo, es decir, cuando
se conoce la ley horaria del movimiento, que es una-expresión del tipo:
r = r ( í ) (2.1.1)
El movimiento de un fluido puede ser descrito a partir del movimiento de cada
una de sus partículas para lo cual es preciso distinguir unas partículas de otras. Esto
puede hacerse asignando a cada partícula sus coordenadas respecto a un sistema de
referencia en un instante cualquiera, que suele ser el instante inicial del movimiento.
Dfenominando " q," a dichas coordenadas y " r\{" al correspondiente vector de posi
ción, el movimiento de un fluido queda definido si se conoce la ley horaria del
movimiento de cada partícula, es decir:
r - r í ñ ! , ! ) V i e Z " (2.1.2)
Una descripción del movimiento de un fluido mediante las ecuaciones 2.1.2 se
denomina descripción referencial o de Lagrange.
La descripción de Lagrange resulta adecuada para plantear las ecuaciones
generales del movimiento ya que las fuerzas actúan sobre masas y éstas son indivi-
73
dualizadas en la citada descripción. Sin embargo, en las aplicaciones de la mecánica
de fluidos el interés se centra en conocer lo que ocurre en diversos puntos de la
corriente, p. ej., la velocidad en ciertas zonas, el caudal en las secciones de aforo, etc,
y para estos fines es más ventajosa la descripción espacial o de Euler en la que el
movimiento queda definido por ecuaciones cuya expresión general es:
v=v(r,t) (2.1.3)
en la que " r " es el vector que identifica la sección o punto de la corriente en la que
se realiza la observación de la velocidad.
En lo que sigue, y salvo advertencia explícita, se supondrá que el movimiento
es plano o bidimensional.
2.12. LINEA DE CORRIENTE, DE TRAYECTORIA Y DE TRAZA
La ecuación 2.1.3 expresa que una de las formas de describir el movimiento de
un fluido consiste en conocer el vector velocidad a lo largo del tiempo en cada punto
del espacio ocupado por dicho fluido. Se comprende, sin embargo, que la repre
sentación del campo vectorial resultante no sería un procedimiento eficaz para
visualizar la corriente.
La situación cambia totalmente si en lugar de
representar el vector velocidad en cada punto y en
cada instante, se dibujan las líneas que son tangentes
a los vectores velocidad en un instante de tiempo.
Estas líneas se denominan líneas de corriente (Fig.
2.1.1). Una definición más precisa de línea de
corriente sería la siguiente: las líneas de corriente son
las envolventes del vector velocidad en un instante
dado. Una línea de corriente es, por tanto, una línea Fig. 2 .1 . 1. Líneas de -corriente en el instante'!'
74
que indica, por su tangencia con el vector velocidad, la dirección instantánea de la
corriente en cada uno de los puntos situados a lo largo de ella. Como consecuencia,
se deduce que no puede existir corriente a través de estas líneas en ninguno de sus
puntos, ya que ello supondría que las líneas de corriente se cortan, o lo que es lo
mismo, que en el punto de intersección habría dos vectores velocidad.
En general, las líneas de corriente instantáneas podrán ser convergentes o
divergentes según su curvatura en el espacio, ya que la velocidad puede variar en
magnitud y dirección de un punto a otro del fluido en movimiento. Así pues, las
líneas de corriente, aisladamente consideradas, informan sobre la dirección de la
corriente, pero más adelante se verá que de su separación también puede deducirse
la velocidad de aquélla.
Si en el fluido se considera una línea "L"
que corta a un grupo de líneas de corriente
(Fig. 2.1.2) se obtiene una superficie de flujo.
Si la línea considerada es cerrada, la superficie
se denomina tubo de flujo y el volumen ence
rrado por esta superficie, vena fluida.
Fig . 2 .1. 2. Representación de superficie de flujo en una En cinemática se definió la trayectoria de corriente b¡dimensional.
una partícula como el lugar geométrico de las
posiciones ocupadas por ella a lo largo del tiempo. Recordando el significado físico
de la ecuación vectorial 2.1.2, resulta obvio que la ecuación de la trayectoria de una
partícula fluida se obtiene de la eliminación del parámetro temporal entre las tres
ecuaciones escalares asociadas a ella.
Por último, línea de traza es el lugar geométrico de los puntos ocupados en un
instante dado por todas las partículas que han pasado por una determinada posición.
Si se supone que en esta posición se coloca un dispositivo para la inyección de
colorante, la línea de traza asociada a dicha posición vendría dada por la corres
pondiente línea coloreada.
75
2 .U. CLASIFICACION MACROSCOPICA DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO
SÍ se observa el movimiento del humo que sale por una chimenea en un día de
viento, se aprecia claramente el alto grado de variabilidad que puede llegar a pre
sentar dicho movimiento. En efecto, una fotografía de la nube de humo tomada en
un instante cualquiera" / * revela una fuerte variabilidad espacial en el movimiento,
ya que el vector velocidad cambia sus características de un punto a otro de la nube.
Otro tipo de variabilidad se detecta cuando se comparan dos fotografías de la misma
zona del espacio tomadas en instantes distintos; en este caso, el vector velocidad en
un punto cualquiera de la nube ha variado de un instante a otro. Así pues, el movi
miento de unfluido se caracteriza por presentar dos tipos de variabilidad: en el tiempo
y en el espacio.
Con respecto a la variabilidad en el tiempo, el movimiento de un fluido puede
ser permanente o estacionario, o variable. Un movimiento es permanente cuando
en un punto cualquiera, el vector velocidad es el mismo a lo largo del tiempo, aunque
el vector velocidad puede, naturalmente, variar de un punto a otro del fluido. Es
decir, en un movimiento permanente se verifica:
^ = 0 (2.1.4)di v '
En un movimiento permanente ha de ser nula también la derivada temporal de
cualquier otra magnitud ligada al movimiento como presión, densidad, etc.
De la ecuación 2.1.4 se deduce que en un movimiento permanente, las líneas
de corriente no varían de un instante a otro. Asimismo, la no variación de la velocidad
con el tiempo implica que tampoco variarán las líneas de trayectoria y las de traza y
que éstas coincidirán entre sí y también con las líneas de corriente.
La mayoría de las situaciones habituales con las que se encuentra el ingeniero
corresponden a condiciones permanentes o estacionarias del flujo. Así, el transporte
76
de agua por tuberías y canales, una vez establecido el flujo, es quizá el ejemplo más
representativo de movimiento permanente.
Lógicamente, el movimiento variable es aquél en el cual no se cumple la
ecuación 2.1.4. Cuando se abre la compuerta que alimenta un canal y hasta que se
establece el flujo, el movimiento es variable. Otro ejemplo de movimiento variable
lo proporciona la acción contraria a la descrita anteriormente: el cierre de una válvula
en una tubería o la parada repentina de un grupo de bombeo. Una de las represen
taciones más sencillas de un movimiento variable es el vaciado de un
depósito (Fig.2.1.3). El teorema de Torricelli -que se
verá más adelante- proporciona la velocidad del
fluido en el punto P:
vF=42gy (2.1.5)
cuya derivada temporal no es, evidentemente, nula. Fig. 2.1. 3. Vaciado de un depósi to .
En lo que se refiere a la variabilidad en el
espacio, el movimiento de un fluido puede ser uniforme o no uniforme. Un movi
miento es uniforme cuando en un instante cualquiera, la distribución del vector
velocidad no varía de una a otra sección transversal a la dirección de la corriente.
Un movimiento uniforme es por tanto aquél en el que se verifica:
r - 5
//////////.
F i g 2 . 1 . 4 . Reducción gradual de sección.
(2.1.6)
En la figura 2.1.4 se
ven las líneas de corriente
en el movimiento de un
fluido que atraviesa un
dispositivo en el que se
efectúa una reducción de
la sección tansversal en el
sentido del flujo. Las lí-
77
neas a trazos corresponden a la distribución del vector velocidad en las secciones
señaladas con trazo de punto y raya.
Si a izquierda y derecha del dispositivo de la figura 2.1.4 no se producen cambios
en la sección transversal, la distribución del vector velocidad en cualquiera de sus
secciones coincidirá con la de la izquierda o con la de la derecha de las representadas
en dicha figura, por consiguiente, a ambos lados de la reducción el movimiento es
uniforme. Obviamente, el movimiento es no uniforme cuando el fluido atraviesa la
reducción de sección.
Tanto el movimiento uniforme como el no uniforme, puede ser, a su vez, per
manente o variable. Si aguas arriba de la reducción representada en la figura 2.1.4
hay una llave de paso, al abrirla y hasta la estabilización del flujo, el movimiento es
variable y uniforme, antes y después de la reducción y variable no uniforme, al
atravesar la reducción. Una vez que el flujo ha quedado regularizado el movimiento
pasa a ser permanente y uniforme a uno y otro lado de la reducción y permanente
no uniforme en ella.
Entre las cuatro combinaciones posibles, la que ofrece un mayor interés desde
el punto de vista práctico es la que corresponde al movimiento permanente y uni
forme. En él, las líneas de corriente son rectas y la distribución de velocidad es la
misma en el tiempo y en el espacio.
78
2.1.4. OTRAS CLASIFICACIONES
Además de la clasificación del movimiento estudiada en el apartado anterior
hay otras que también tienen interés. Así, y con arreglo a la mayor o menor influencia
de las fuerzas derivadas de la viscosidad frente a las fuerzas másicas, el movimiento
puede clasificarse en movimiento laminar o turbulento. Esta clasificación será ana
lizada con más detalle en el tema siguiente, en el que se estudiará la dinámica de los
fluidos.
La naturaleza del campo de velocidades en el movimiento de un fluido da lugar
a la clasificación de éste en movimiento solenoidal, irrotacional o armónico. Entre
estos tres tipos de movimiento conviene destacar el segundo por su importancia en
la aplicación del teorema de Bernoulli, ya que si un movimiento es irrotacional este
teorema puede ser aplicado entre dos puntos cualesquiera de la masa fluida.
Un movimiento se dice que es irrotacional si-
ro íu = 0 (2-1-7)
Físicamente, la ecuación 2.1.7 significa que un elemento de fluido cualquiera
no tiene velocidad angular respecto a su centro de masa, por lo que su movimiento
es únicamente de traslación sin que haya, por consiguiente, rotación de dicho ele
mento alrededor de su centro de masa.
El movimiento de un fluido puede ser analizado en una, dos, o tres dimensiones
en función del número de componentes que presente el vector velocidad y el vector
aceleración. Esta circunstancia permite clasificar el movimiento, por razón del tipo
de análisis que se lleve a cabo, en movimiento unidimensional, bidimensional o tri
dimensional.
2.1.5. CONCEPTO DE CAUDAL
79
' / ~C / / / 0 1 fluida. Para calcular la masa " M" de fluido
En la figura 2.1.5 "S" representa una
superficie situada en el interior de una masa
que ha atravesado dicha superficie en un
intervalo de tiempo " d i " se comenzará por
determinar la masa de fluido que ha pasado
Fig 2.1.5. Flujo a t r avés de a través de un elemento diferencial de una superficie. _-. . „ . „ „ , . v superficie dS , es decir:
dM-pd(Vol) (2.1.8)
donde "p" es la densidad de fluido y "d(Voiy es el volumen del prisma oblicuo
que definen con su desplazamiento los puntos situados en el elemento de superficie
considerado. Si " 6 " es el ángulo que forma el vector velocidad " v " del punto " A "
con el versor normal" n"al elemento diferencial de superficie" dS" en dicho punto,
resulta:
d(Vol)-dSvdt-cose
pero
por consiguiente:
n • v = Ü C O S 0
(2.1.9)
(2.1.10)
(2.1.11) diVof)'dSvdt
sustituyendo 2.1.11 en 2.1.8 se obtiene:
dM = pv-dSdt (2.1.12)
Se define el caudal másico ~QM" que atraviesa la superficie elemental" dS"
como:
I Q u ~ (2.1.13)
por lo que el caudal másico a través de la superficie "S"se rá :
80
QM ™ / p ^ d S (2.1.14)
Si el fluido es un líquido puede suponérsele incompresible y por consiguiente
se puede dividir por "p " la ecuación 2.1.14 obteniéndose el caudal volumétrico" Q"
que se define:
Q = j Z-dS (2.1.15)
En las aplicaciones prácticas se determina el flujo a través de superficies nor
males a las líneas de corriente, con lo que la ecuación 2.1.15 queda: „
Q = J vdS (2.1.16)
La velocidad " v "que aparece en el integrando se deduce de la ecuación analítica
correspondiente a la distribución de velocidades. En la práctica, sin embargo, se suele
utilizar la media" v " de dicha distribución; cuya definición es:
vdS v = ¿ 4 (2.1.17)
l s d S
En lo sucesivo, y mientras no se especifique lo contrario, la velocidad media en
la sección se representará por "u", con lo que la ecuación 2.1.16 queda de la siguiente
forma:
Q = uS (2.1.18)
siendo, como ya se ha advertido, " 5 " una sección normal a la corriente y " v" la
velocidad media de la distribución de velocidades en dicha sección.
La ecuación de dimensiones del caudal es:
[Q]-[v][S] = L3T-' (2.1.19)
y por tanto, las unidades SI y ST coinciden y son "m 3/s"mientras que las unidades
CGS que expresan el caudal serán" cm'3/s". En la práctica, para expresar caudales
pequeños se utiliza frecuentemente el litro por segundo (1/ s).
2.1.6. ECUACION DE CONTINUIDAD
81
Esta ecuación expresa que la variación de la masa del fluido contenido en el
volumen limitado por una superficie cerrada " -S ", en un tiempo cualquiera, es igual
al fluido que atraviesa dicha superficie en el mismo tiempo. La ecuación de conti
nuidad recoge, por consiguiente, el principio de conservación de la materia.
Para deducir la ecuación de continuidad se
considera un tubo de flujo y en él, el espacio definido
por dos secciones transversales a las líneas de
corriente (Fig. 2.1.6). Se define así una superficie
cerrada en la que se ha de verificar el principio de
Fig 2 1 6 Superficie conservación de la materia. La masa existente en la
cerrada en un tubo de s u p e r f í c ¡ e en un instante " í~ será: flujo.
( G f m ) , = pSdx
y la masa, en un instante posterior ~t*dí" será:
(dm\,ai = PSdx + -(pSdx)dt
( 2 . 1 . 2 0 )
( 2 . 1 . 2 1 )
Las ecuaciones 2.1.20 y 2.1.21 muestran que ha habido un incremento de masa
dado por:
(Am)IJI = T(_pSdx)dt-—(pS)dxdt ( 2 . 1 . 2 2 ) ¿t di
La masa de fluido que ha atravesado la sección " S"en "/"será:
(dm)s'pSvdt ( 2 . 1 . 2 3 )
y la que ha salido por la sección" S"\ distante " dx" de" S":
(dm)s- = pSvt * — (pSvdt)dx ( 2 . 1 . 2 4 )
82
d d(Am)clll = - — rpSvdt)dx-- — (pSv)dtdx (2.1.25)
O X Ó X
La variación de masa en el espacio "dx" es, por tanto,
El principio de conservación de la masa exige que coincidan las ecuaciones
2.1.22 y 2.1.25 y en consecuencia, se ha de verificar:
- ( p S ) - - ^ - ( p S u ) (2,1.26)oí dx
Si el movimiento es permanente, cualquier derivada temporal es nula y la
ecuación 2.1.26 queda:
~(pSv)-0 (2.1.27)
que expresa la constancia del caudal másico.
Si además el fluido es incompresible, la ecuación 2.1.27 queda en la forma:
-^(Sv) = Q (2.1.28)
lo que implica que el caudal volumétrico permanece constante. La ecuación 2.1.28
puede ser aplicada, por tanto, al movimiento permanente de los líquidos bajo la
denominación de ecuación de continuidad y escrita, con la notación que se utilizó en
la ecuación 2.1.18, de la siguiente forma:
S , ü , - S 2 u 2 - = Snva (2.1.29)
en la que los subíndices indican las secciones consideradas.
La ecuación de continuidad, que reúne el concepto de caudal y el principio de
conservación de lamateria, constituye, junto a la ecuación que expresa la conservación
de la energía, la base para la resolución de cualquier problema de hidráulica.
Ambas ecuaciones: continuidad y conservación de la energía, están inequívo
camente vinculadas a sendas personas, aunque sólo una de estas vinculaciones figure
de manera generalizada en las referencias bibliográficas. En efecto, siendo habitual
la denominación "teorema de Bernoulli" para el principio de conservación de la
83
energía específica hidráulica, resulta poco frecuente encontrar la referencia a Leo
nardo al tratar la ecuación de continuidad, a pesar de tas numerosas ocasiones en las
que este tema aparece tratado en el Códice Atlántico y en el Códice Hammer, que
fueron dos de sus obras más importantes. La claridad y la originalidad con las que
Leonardo escribió sobre la continuidad fueron las razones en las que se basaron H.
Rouse y S. Ince para proponer en su "Historia de la Hidráulica" de 1957 que la
denominación "principio de continuidad" se acompañara de la indicación "según
Leonardo".
Al estudiar las líneas de corriente se señaló que de su separación relativa podía
deducirse información respecto al módulo de la velocidad. Así resulta si, con relación
al flujo bidimensional representado en la figura 2.1.4, se denomina"&n¡ "y " An 2~a
la separación entre dos líneas de corriente en secciones consecutivas y se aplica la
ecuación de continuidad entre ellas, obteniéndose:
u , A n , - n 2 A / i j (2.1.30)
de donde.
A i ! , C z = f , 7 — - , (2.1.31)
expresión que relaciona la velocidad con la separación entre las líneas de corriente
y de la que se deduce que su divergencia incrementa la variación de velocidad en una
sección normal, ocurriendo lo contrario si las líneas de corriente son convergentes.
84
2.1.7. ACELERACION
v (t+At)
A » v A v n
Fi g. 2.1.7. a) Geometría del movimiento, b) Variación convectiva de la velocidad(movimiento permanente).
La figura 2.1.7-a) representa
la trayectoria de una partícula de
fluido en un movimiento perma
nente, en la que se han dibujado
las velocidades de dicha partícula
en los instantes ~ í" y " í + A r". La
variación del vector velocidad de
la partícula a lo largo del tiempo
se mide mediante la aceleración
que, como se sabe, se define (Fig
2.1.7-b):
- , . Au dv a = Lim — = —
A I - . 0 ¿ í di (2.1.32)
Dado que el vector velocidad de la partícula es tangente a la trayectoria, su
expresión en coordenadas intrínsecas es:
v = vt (2.1.33)
siendo " i " el versor tangente a la trayectoria (Fig.2.1.7-a).
Sustituyendo 2.1.33 en 2.1.32 y derivando vectorialmente resulta:
- dv- dt a ( + v —
dt dt (2.1.34)
El segundo sumando de 2.1.34 puede ser modificado realizando, en primer
lugar , una derivación intermedia respecto al arco de curva " s " y sustituyendo, a
continuación, la fórmula de Frenet correspondiente, con lo que resulta:
85
que es la expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas para el movimiento
permanente. La primera componente se denomina aceleración tangencial y mide la
variación en el módulo de la velocidad, mientras que la segunda, denominada ace
leración normal, cuantifica el cambio que experimenta la dirección del vector velo
cidad.
Para aplicaciones posteriores interesa expresar el módulo de la aceleración
tangencial en función del arco de curva " s", para lo cual basta con efectuar una
derivación intermedia en dicho módulo, resultando:
dv _dv ds _ dv _ 1 d 2
a'~dl~ds'dl~tJdl~2dl '( 2 . 1 . 3 6 )
Hasta aquí se ha estudiado el movimiento en masa o de convección del fluido,
suponiendo que no hay variabilidad temporal en dicho movimiento, esto es, que el
movimiento es permanente. En tal caso, ¡a componente tangencial de la aceleración,
dada por la ecuación 2.1.36, se denomina aceleración tangencial convectiva mientras
que la componente normal, representada por el segundo sumando de la ecuación
2.1.35, se denomina aceleración normal convectiva.
v ( t *A t )
Fig, 2 .1 .8 . Variación local ÍAv)¡ de la ve loc idad (movimiento uniforme).
En un movimiento variable, el vector
velocidad varía de un instante a otro en
cualquier punto "P" que se considere en la
masa fluida (Fig.2.1.8). Hay por tanto, una
variación local de la velocidad y por consi
guiente, cabe hablar del vector aceleración
local y de sus componentes intrínsecas, es
decir, de la aceleración local normal y de la
aceleración local tangencial. En un movi
miento variable y uniforme, las componentes
locales intrínsecas de la aceleración serán:
86
a, dv di
a . - —ó!
(2.1.37)
(2.1.38)
En el caso genera! de un movimiento variable no uniforme, se producirá tanto
la variación local de la velocidad (Fig. 2.1.8) como lavariaciónconvectiva(Fig2.1.7-a),
por lo que las componentes intrínsecas de la aceleración serán, en tal caso, las
siguientes:
,'¿V} 1 ° , 2 ,
dv\ v2
• ' . 3 F J / 7
(2.1.39)
(2.1.40)
teniendo, por tanto, cada componente intrínseca de la aceleración una componente
local y una componente convectiva.
87
3"Tema.Dinámica de Fluidos.
1*Lección. Teorema de Bernoulli. Teorema de Torricelli. Tubo de Venturi.
Tubo de Pitot. Tubo de Prandtl. El sifón.
3.1.1. TEOREMA DE BERNOULLI
Fig. 3.1. 1. Fuerzas en el movimiento según "sí
En la figura 3.3.1 se ha represen
tado un elemento de fluido ideal, de
forma cilindrica, así como las fuerzas
que actúan sobre él y tienen proyección
en la dirección de su eje. Estas fuerzas
son las que se derivan de la presión que
actúa sobre las caras circulares y el peso
del elemento.
Al aplicar a dicho elemento la 2 a ley de Newton y proyectarla en la dirección
de su eje longitudinal resulta:
pdA-^p + ~^ds^dA-ydAdscos$- mas (3.1.1)
en la que " y " es el peso específico del fluido, " m" la masa del elemento y " a," la
proyección de la aceleración del elemento en la dirección " s". Expresando" cosfi"
en función de " d z "y dividiendo por el peso del elemento se obtiene:
JMi).^ c 3 . 1 . 2 )¿$V\J ds g
Si el fluido es incompresible, la ecuación anterior se puede escribir también:
88
¿<s\y J g
Si la aceleración en la dirección " s " es nula se verifica:
y si también es nula en cualquier otra dirección se deduce que:
~* z^h-Cte. y
De acuerdo con la I a ley de Newton, dos son las opciones a considerar si la
aceleración es nula: o el movimiento es uniforme o la velocidad es nula. Entre ellas,
sólo la segunda es coherente con la hipótesis de inexistencia de fuerzas tangenciales
viscosas, ya que según la ecuación 1.1.2, éstas sólo son realmente nulas si no hay
velocidad de deformación. En consecuencia, la ecuación 3.1.5 es, rigurosamente
hablando, la ecuación de la hidrostática y "h" recibe la denominación de altura
píezométrica, ya que representa la altura a la que ascendería el líquido contenido en
un recipiente si se le colocara un tubo piezométrico (Fig. 1.2.9).
La altura píezométrica es la suma de la altura de presión " p/y" y de la altura
geométrica " z", que son magnitudes homogéneas como revela su análisis dimen
sional:
P
_ Y
[ 2 ] - ¿ ( 3 . 1 . 7 )
Dado que la altura píezométrica se expresa en unidades de longitud, admite una
sencilla representación geométrica: elegido un plano al que referir la altura geo
métrica " 2 " de cada punto del fluido, de la ecuación 3.1.5 se deduce que la altura de
presión "p/y" viene dada por la distancia entre el punto y su superficie libre.
(3.1.3)
(3.1.4)
(3.1.5)
[F/V] (3.1.6)
Un razonamiento similar al empleado para deducir la ecuación 3.1.3 permitiría
obtener la ecuación que corresponde a la proyección de la segunda ley de Newton
en la dirección de la normal al movimiento del elemento de fluido considerado. Así
pues, las ecuaciones del movimiento proyectadas en las direcciones" s " y " n." son:
**\y J g
• ¿ ( £ • 0 - - ( 3 - 1 . 9 )dn\y ) g
l Y J g U J
y sustituyendo en 3.1.8 y 3.1.9 las ecuaciones 2.1.39 y 2.1.40 resulta:
1 dv2
2g ds
+ I ¡ ¡ ! g r
La ecuación 3.1.10 puede escribirse también en la forma:
ds\Z* y* ZgJ- g\dl)t
- - Í - Í - 1
( 3 . 1 . 1 0 )
( 3 . 1 . 1 1 )
(3.1.12)
La ecuación 3 .1 .12 se denomina teorema de Bernoulli o ecuación de la línea de
corriente y la suma que aparece entre paréntesis, en el primer miembro, trinomio de
Bernoulli " B" o altura total " H". La altura total se obtiene, por consiguiente, al
añadir a la altura píezométrica "h" la magnitud homogénea ~v2/2g", que se
denomina altura cinética o altura de velocidad.
El teorema de Bernoulli expresa que si la aceleración local tangencial no es
nula, la altura total varía a lo largo de una línea de corriente. Ahora bien, si el
movimiento es estacionario, no hay aceleración local y el teorema de Bernoulli indica,
en ese caso, que la altura total permanece constante de un punto a otro de una línea
de corriente, esto es:
2 + £ i + Í Í L = z ( 3 . 1 . 1 3 )1 Y 2g 2 Y 2g
representando los subíndices puntos cualesquiera de una misma línea de corriente.
90
Si el movimiento del fluido se desarrolla en las condiciones de régimen per
manente y uniforme, las líneas de corriente resultan ser líneas rectas ( r = °°) y como
consecuencia, de la ecuación 3.1.11 se deduce que en el plano perpendicular a la
dirección de la corriente, existe una distribución hidrostática de presiones.
Como ya ha sido dicho, en un movimiento estacionario se verifica que la altura
total no varía de un punto a otro de una misma línea de corriente. Sin embargo, en
el caso general de que el movimiento sea rotacional, la altura total varía de una línea
de corriente a otra. Aunque esta importante observación se comprobará más adelante
mediante el tubo de Pitot, puede darse ahora una justificación analítica, para lo cual
se comenzará por escribir la ecuación 3.1.11 para un movimiento estacionario,
resultando:
dn\ y) gr
De la relación de semejanza existente entre los triángulos representados en la
figura 2.1.7-b) se deduce, en primera aproximación:
(3.1.14)
dv ds
(3.1.15)
sustituyendo 3.1.15 en 3.1.14 y añadiendo a cada uno de los miembros de esta última
ecuación la derivada de la altura cinética respecto a la normal, se tiene:
p V z + — + —
dn\ y 2g vfdv\ _ i g\ds)a dn\2g
(3.1.16)
realizando la derivación del paréntesis del segundo miembro y extrayendo el factor
común del resultado se- llega a:
..2 \ , , f ( ¿ u \ { ¿ii Y (3.1.17) 7-1 -(-11 dn\ Y 2g) g
Si el movimiento es irrotacional se verifica:
rot v = 0 (3.1.18)
91
y por consiguiente:
í Sv\ ( b\¡ \ (3,1.19)
Resulta por tanto, que en el movimiento permanente e irrotacional de un fluido
ideal e incompresible, la altura total es la misma en dos puntos cualesquiera del
fluido, es decir:
P i Pi vi z + £ H + _ L = 2 + ^ + _ l (3.1.20)
Y 2g y 2g
Hasta ahora el estudio del movimiento ha sido realizado, fundamentalmente,
para el caso bidimensional y mediante dicho estudio ha sido posible exponer los
principios básicos del movimiento curvilíneo. Sin embargo, y aunque el método
bidimensional de análisis encuentra aplicación en algunos casos reales, en la mayoría
de los problemas relacionados con el movimiento de los fluidos, se viene empleando
el método unidimensional de análisis que no es sino una simplificación de las con
diciones del movimiento bi o tridimensional, en el que se supone que la corriente
tiene las características de un filamento líquido, adoptándose valores medios para la
velocidad, presión y altura geométrica y considerando así a la corriente como un
conjunto en cada sección transversal de este filamento de corriente.
La idea que encierra el método unidimensional de análisis no se introduce ahora:
fué utilizada en la formulación de la ecuación de continuidad al representar la dis
tribución de velocidades por su media estadística, representación que, conviene
recordarlo, no supone simplificación alguna. -
El estudio unidimensional del movimiento de un fluido permite resolver ciertos
problemas de la mecánica de fluidos: fuerzas en los cambios de dirección de la
corriente, resalto hidráulico, etc., al obtenerse expresiones sencillas en la aplicación,
a estos problemas, de los teoremas de fuerzas vivas y de la cantidad de movimiento.
En concreto, es mediante el uso del teorema de las fuerzas vivas como se llega a la
deducción de la versión simplificada del teorema de Bernoulli.
92
Para la deducción del teorema de Bernoulli mediante el teorema de las fuerzas
vivas es preciso suponer que el filamento de corriente de trazo discontinuo en la
figura 3.1.2 representa las condiciones del movimiento de la porción de fluido definida
por un tubo de corriente.
La deducción se inicia aplicando a un
elemento diferencial del filamento líquido el
teorema de las fuerzas vivas teniendo en
cuenta que el sistema de fuerzas que actúa
sobre él es el que se mostró en la figura 3.1.1.
El trabajo realizado por el peso y las fuerzas
derivadas de la presión que actúan sobre el
elemento considerado, en un desplazamiento
-Sección 1
F i g . 3 .1 . 2 . Filamento de corriente.
ds~ de dicho elemento será:
dW-F-dr — CP* \z)dsdA | í - ( d s ) ( (3.1.21)
expresión en la que " í" es un vector unitario en la dirección de la velocidad. Para un
movimiento permanente, la ecuación 3.1.21 se escribe en la forma siguiente:
dW = -dsdA — (p + yz)ds ds
!| ^pdsdAv2
(3.1.22)
La energía cinética de un elemento diferencial del filamento viene dada por:
(3.1.23)
que para un fluido incompresible, en movimiento permanente, queda en la forma:
(3.1.24)
(3.1.25)
dE = pdsdA—\ — ds
El teorema de las fuerzas vivas establece que:
dE = dW
por lo que, sustituyendo 3.1.22 y 3.1.24 en 3.1.25, resulta:
93
-dsdA — (p + yz)ds<° pdsdA — ( — \ds (3.1.26)ds ds\ 2
Teniendo en cuenta la definición del módulo de la velocidad, así como la de
caudal, y dividiendo por "dt" el resultado de sustituir ambas definiciones en la
ecuación 3.1.26, se obtiene:
--^-(p*yz)dsdQ-p~(% )dsdQ (3.1.27)ds ds\ 2 }
Dado que, para un fluido incompresible en movimiento permanente, el caudal
permanece constante, al integrar la ecuación 3.1.27 a lo largo del filamento y entre
las secciones 1 y 2, se obtiene:
[Cp 1
+ Y 2 , ) - ( P 2
+ V 2 2 ) ] d Q = p ^ - ^ d ( 3 (3.1.28)
Para resolver la ecuación 3.1.28 se necesita integrar ambos miembros, es decir:
/ Kpl*yzi)-(p^yz2)]dQ = | p ( ^ - ^ W (3.1.29)
Si se supone que el movimiento es uniforme, los paréntesis que aparecen en el
primer miembro son constantes en la sección ya que como se recordará, en tal caso
la distribución de presiones es hidrostática.
La integral del segundo miembro de la ecuación 3.1.29 puede expresarse en
función de la velocidad media "v" en la sección si se hace intervenir un coeficiente
corrector " K„", denominado factor de energía o coeficiente de corrección de la
energía cinética cuya definición es:
K''U{ífdQ (3-l-30)
siendo " A " la sección transversal.
94
Así pues, la ecuación 3.1.29 puede expresarse como:
[ C p l * Y = l ) - C P 2 + V Z z ) ] Q - p ( j - ^ J / í í e (3.1.31)
en la que " v," y " vz" representan la velocidad media en las secciones 1 y 2.
A l dividir la ecuación 3.1.31 por "yQ" se obtiene una serie de términos que
tienen las dimensiones de energía por unidad de peso. Agrupando seguidamente los
que corresponden a cada una de las secciones consideradas resulta:
p, v2 p, vi
El coeficiente " Ka" depende de la distribución de velocidades en la sección
transversal; tomando el valor 1 cuando la distribución es uniforme y el valor 2 en el
caso de distribución parabólica en un movimiento confinado en una tubería circular.
En las aplicaciones relacionadas con el movimiento del agua en tuberías, el valor del
coeficiente de energía es de! orden de 1.1, siendo habitual tomar el valor unidad
habida cuenta del pequeño valor que suele tener la altura cinética. En consecuencia,
la ecuación 3.1.32 queda en la forma:
P i f? P? vi z , . £ l í + _ ± = 2 + ( 3.1.33)
' Y 2g 2 y 2g
y constituye la expresión a emplear en la mayoría de las aplicaciones del teorema de
Bernoulli, motivo por el cual será analizada detenidamente más adelante.
Cada uno de los sumandos de la ecuación 3.1.33 representa una energía por
unidad de peso, por lo que es habitual denominar "energía específica" al trinomio de
Bernoulli. Además de esta denominación se emplea también, sobre todo en las
aplicaciones ingeníenles de la mecánica de fluidos, la de "carga hidráulica". Dado el
significado energético de cada uno de los términos de la ecuación 3.1.33, puede decirse
que dicha ecuación expresa el principio de conservación de la energía hidráulica.
95
Se han efectuado dos deducciones del teorema de Bernoulli: la primera de ellas
(ec.3.1.12) ha conducido a una expresión de uso restringido a puntos situados en una
misma línea de corriente; la segunda (ec.3.1.33), ha permitido obtener una expresión
más adecuada para las numerosas aplicaciones que el teorema de Bernoulli tiene en
la ingeniería.
En la Historia de la mecánica de fluidos se pueden identificar tres momentos
clave con relación a la deducción dei teorema de Bernoulli, pudiéndose comprobar
también que, como ha sucedido y probablemente siga sucediendo, en no pocas
ocasiones las aplicaciones técnicas van por delante de ios conocimientos científicos:
La primera aplicación de lo que
hoy se conoce por teorema de
Bernoulli apareció en el libro
"Hydrodynamica" de Daniel Ber
noulli, que fué publicado en 1738.
Daniel Bernoulli dedujo el teorema
que lleva su nombre mediante la
aplicación del teorema de las fuerzas
vivas al estudio del movimiento del
agua en el sistema que se muestra en
la figura 3.1.3, obteniendo una expre
sión cuya forma guardaba gran parecido con la que se obtendría de la particularización
al caso de la ecuación 3.1.33. La falta de coincidencia tenía su origen, fundamen
talmente, en que Daniel Bernoulli no conocía el verdadero alcance del concepto de
presión.
La deducción del ya "teorema de Bernoulli" para una línea de corriente, tanto
en el caso de movimiento permanente como en el de movimiento variable, fué rea-
A.
Fig 3 . 1 . 3 . Sistema estudiado por Danief Bernoulli ! Reproducción de la Fig.72 de Hidrodinámica).
96
lizada por Johanfl Bernoulli -padre del anterior- que publicó sus resultados en el libro
"Hidráulica", feciiado en 1742, cuyas ecuaciones coincidirían -escritas en la notación
actual- con 3.1.13 y 3.1.12, respectivamente.
La primera de las deducciones que aquí se han hecho del teorema de Bernoulli,
coincidente en líneas generales con las que se ven en la bibliografía de mecánica de
fluidos, se basa casi por completo en la metodología que permitió a Leonhard Euler
obtener las ecuaciones generales de cualquier movimiento. Dicha metodología fue
publicada por Euler en 1750 bajo el título "Découverte d'un nouveau principe de
mécanique" y está constituida por dos ideas fundamentales: la utilización de un
elemento diferencial, representativo de la constitución del cuerpo continuo al que
se aplican las fuerzas que actúan sobre él -idea que expresa la figura 3.1.1-y por otro
lado, el empleo del cálculo diferencial e integral para resolver las ecuaciones dife
renciales que resultan de la aplicación de la segunda ley de Newton al elemento
considerado.
Siguiendo esta metodología, Euler escribió la obra "Principes généraux de
mouvement des fluides" que publicó en 1755 y en la que pueden verse las ecuaciones
generales del movimiento de un fluido, denominadas ecuaciones de Euler cuya
expresión abreviada es:
y_ \dp_dvx
páx di
\do dvw
p dy dt
\dp_dvt
p dz = dt
en las que " X", " Y" y " Z" representan las componentes de las fuerzas por unidad
de masa que actúan sobre el elemento en la dirección de los ejes coordenados; ~vx ",
" Vy*y " ü , * son las componentes de la velocidad en dichas direcciones; "p" es la
97
densidad del fluido y" p" es la presión.
La integración de las ecuaciones anteriores a lo largo de una línea de corriente
conduce, como es lógico, a la obtención del teorema de Bernoulli.
En resumen, el teorema de Bernoulli o ecuación de la línea de corriente -de
nominación esta última que puede verse en las actas del simposio " Hydraulics and
Hydraulic Research - Historical Development an Present Trends-", celebrado en
Berlín Oeste en 1985 - se enuncia como sigue:
En un fluido ideal (u. - 0 )e incompresible (p = c í e - i en un movimiento per
manente o estacionario [ - • O j el trinomio de Bernoulli permanece constante a lo
largo de una línea de corriente {ec. 3.1.20).
Bajo la denominación genérica "teorema de Bernoulli" se pueden dar los
siguientes enunciados:
I o En un fluido ideal e incompresible en movimiento permanente e irrota
cional ( r o t u = 0 ) , el trinomio de Bernoulli permanece constante en
cualquier parte de la masa fluida (ec. 3.1.20)
2 o En un análisis unidimensional del movimiento permanente y uniforme
de un fluido ideal e incompresible, el trinomio de Bernoulli se mantiene
constante de una sección a otra del filamento de corriente considerado,
debiendo ser multiplicado por el factor de energía ( K, } el sumando del
trinomio que corresponde a la altura cinética ( ees. 3.1.32 y 3.1.33).
En el apartado 3.2.3 se dará la expresión del teorema de Bernoulli para el caso
de fluido real y existencia de máquinas hidráulicas en la corriente.
98
3.1.1.1, Representación gráfica del teorema de Bernoulli
En las aplicaciones del teorema de Bernoulli se suele emplear la ecuación 3.1.33,
deducida en el análisis unidimensional del movimiento.
Cuando se trata de estudiar el movimiento de un líquido en un conducto cerrado
puede obtenerse una visión de conjunto de las características de la corriente si se
dibuja a escala, sobre el perfil longitudinal de la conducción, el valor de la altura
píezométrica " h " y de la altura total " H~ existentes en cada punto de la corriente.
Fig . 3.1.4. Representacio'n gráfica del teorema de Bernoulli.
El resultado de una representación así se puede ver en la figura 3.1.4 para ei
caso del desagüe libre de un depósito de gran tamaño por una tubería con un cambio
de sección, en cuyo extremo hay una válvula. '
Elegido un plazo de comparación como referencia para la representación de la
altura geométrica "z", el lugar geométrico de los puntos obtenidos al llevar en
prolongación de ésta la altura de presión se denomina línea píezométrica. En la figura
3.1.4 la línea píezométrica ha sido dibujada con trazo discontinuo.
La formulación del teorema de Bernoulli correspondiente a la ecuación 3.1.33
indica que la altura total permanece constante a lo largo de la corriente. En el supuesto
que recoge la figura 3.1.4, la altura total la fija el nivel del agua en el depósito. En el
99
caso de un fluido ideal, esa altura será la misma en cualquier otra sección de la
corriente, por lo que el lugar geométrico del extremo del segmento representativo
de la altura total, será una línea recta paralela al plano de comparación. Dicho lugar
geométrico se denomina línea de carga, línea de energía o línea de altura total. En
la figura 3.1.4 esta línea ha sido dibujada con trazo continuo.-
En los tramos de tubería en que la sección permanece constante la línea de
carga y la línea píezométrica son paralelas, siendo su "separación", el valor de la altura
cinética en cada sección. Se ha entrecomillado la palabra separación para recalcar
que no es la distancia -perpendicular común a las rectas- lo que representa la altura
cinética, sino el segmento interceptado entre las líneas y la perpendicular al plano
de comparación. Cuando las líneas son paralelas al plano de comparación (Fig. 3.1.4)
distancia y separación coinciden, evidentemente, pero se verá en el apartado 3.2.3
que no siempre es así, y que en tal caso, es la separación y no la distancia lo que
representa la altura cinética.
La observación de la figura 3.1.4 pone de manifiesto de forma sencilla ciertos
detalles: la "separación" entre el eje de la conducción -con trazo de punto y raya en
la figura que se comenta- y la línea piezométrica, representa la presión a la que está
sometida la conducción, lo que constituye un dato esencial para el dimensionamiento
de los tubos. Basta con representar la línea piezométrica para darse cuenta de cuales
son las zonas de la tubería que soportarán más presión. Lógicamente los tubos han
de dimensionarse para soportar la máxima presión y ésto es algo que también se
deduce de la representación de las líneas. La máxima presión en la tubería se alcanza
en la situación en la cual la válvula del extremo está cerrada; en tal caso las líneas
coinciden y por tanto la distancia entre cualquier punto del eje de la tubería y la línea
piezométrica indica la presión que soportarán los tubos y en consecuencia, el timbraje
que hay que exigir al fabricante de dichos tubos. Respecto a ésto conviene señalar
que la distancia proporciona directamente la presión en metros de columna de agua
(m.c.a.), pero el timbraje de los tubos suele expresarse en atmósferas o en paséales.
100
Por último, de las condiciones en el extremo libre de la tubería se deduce que
en la salida la velocidad es muy alta, ya que la presión se iguala, en ese punto, a la
presión atmosférica. Es obvio que la velocidad en el extremo libre puede reducirse
si se aumenta la cota de este punto.
En todo perfil longitudinal es prácticamente obligado recurrir a una
representación distorsionada, esto es, al empleo de escalas distintas para las mag
nitudes horizontales y verticales. En este sentido suele ser habitual emplear, en los
perfiles longitudinales de las obras lineales, como son, por ejemplo, carreteras y
tuberías, una relación de 10 entre la escala vertical y la horizontal. Sin embargo, casi
siempre es preciso superar esta relación en la representación gráfica del teorema de
Bernoulli e incluso se hace necesario, a veces, emplear escalas verticales distintas
para poder diferenciar la línea de altura total de la línea piezométrica. Este ha de
ser, precisamente, el criterio a seguir en la elección de la escala o escalas verticales.
En cuanto a la escala horizontal, ésta se aplica directamente a la longitud de la
tubería, aunque ello conduzca a que la longitud real de la tubería no coincida con su
representación. Hay que tener en cuenta a este respecto que tal detalle carece de
importancia práctica cuando la inclinación de la tubería es pequeña, cosa que ocurre
a menos que se trate de una impulsión.
i
3.1.1.2. Cálculo del trinomio de Bernoulli
En la ecuación 3.1.33," z " es la altura geométrica del centro de gravedad de la
sección transversal, referida al plano de comparación. Teniendo en cuenta el signi
ficado energético de dicha altura," z "también puede denominarse "energía potencial
geodésica", "energía geodésica" o simplemente "energía de posición". Se trata, en
101
definitiva, de la energía que posee un líquido en razón a su posición topográfica,
siendo quizá el caso más ilustrativo el del aprovechamiento que de esta energía se
hace en las turbinas de una central hidroeléctrica.
La altura de presión" p/y", en la ecuación 3.1.33, debería ser la presión media
en la sección, deducida de la lectura de un conjunto de piezómetros distribuidos
alrededor de la sección transversal. En la práctica, dicha altura de presión se suele
calcular en el centro de gravedad de la sección, como punto más representativo de
ella. El término de presión se denomina también "energía de presión", aunque en
rigor, tal expresión sólo deba ser utilizada para fluidos compresibles. Dado que los
líquidos se suponen incompresibles a efectos prácticos, se entiende que se necesita
un gradiente de presiones para que la presión aplicada a un líquido desarrolle un
trabajo.
La representación de la figura 3.1.4 y en general, todas las del teorema de
Bernoulli, emplean la presión manométrica o relativa, sin embargo, nada hay que
objetar a la utilización de presiones absolutas, bastando para ello con desplazar la
línea piezométrica en la magnitud que corresponde a la presión atmosférica o
ambiental. Lógicamente, el timbraje de los tubos se define para la presión relativa.
Finalmente, el sumando" u2/2g" se obtiene a partir de la velocidad media en
la sección, calculada como indica la ecuación 2.1.18. La altura cinética se denomina
también energía cinética.
102
3.1.2. TEOREMA DE TORRICELLI
Fig. 3.1.5. Esquema y notación para el teorema de Torricelli.
Basándose en los estudios de Galileo
sobre la caída libre de los cuerpos, Evan
gelista Torricelli dedujo que la velocidad
del agua que sale por un orificio practicado
en la pared de un depósito (Fig. 3.1.5), es
proporcional a la raíz cuadrada de la
profundidad de dicho orificio con respecto
a la superficie libre, es decir:
vA = KÍH (3.1.35)
La ecuación 3.1.35 resume, por tanto, el denominado teorema de Torricelli,
cuya comprobación realizó éste, experimentalmente, mediante el aforo de un
recipiente de capacidad conocida, dado que el caudal desaguado por un orificio es
proporcional a la velocidad de salida.
El teorema de Torricelli puede ser deducido mediante la aplicación del teorema
de Bernoulli entre la superficie libre del depósito y la sección " A" (Fig. 3.1.5). Uti
lizando el subíndice "0" para designar a la superficie libre, el teorema de Bernoulli
se escribe: ,
Po fo n v\ PA H + — + 0 + — + —
2g 2g Y(3.1.36)
Dado que el depósito está abierto y que se desagüa a la atmósfera, las presiones
que aparecen en 3.1.36 son iguales a la presión ambiental o atmosférica. Por otro
lado, si se supone que el depósito es de grandes dimensiones conrespecto al diámetro
del desagüe, puede despreciarse la altura cinética en el primer miembro, con lo que
se obtiene:
vA-<¡2gH (3.1.37)
3.L3. TUBO DE VENTURI
103
Fig. 3-1-6 Tubo de Venturi y manómetro diferencial.
Un tubo de Venturi es un
aparato constituido por un cono de
reducción que Finaliza en un estre
chamiento denominado garganta, al
que sigue un cono difusor mediante
el cual se recupera gradualmente la
sección inicial (Fig. 3.1.6). Además,
el tubo de Venturi debe llevar algún
dispositivo que permita conocer la diferencia de presión entre la sección inicial (1)
y la garganta (2). Para ello, pueden utilizarse sendos manómetros o bien un
manómetro diferencial como el que aparece en la figura 3.1.6.
Aplicando el teorema de Bernoulli entre las secciones (1) y (2) resulta:
vi (3.1 .38)
' Y 2g y 2g
Mediante la ecuación de continuidad se puede relacionar la velocidad existente
en las secciones de referencia,
-v2A2 (3.1.39)
y expresando ¡a sección en función del diámetro, y despejando ~ v, "se llega a:
(3.1.40)
Dado que el esquema que se representa en la figura 3.1.6 corresponde a una
configuración de equilibrio, se ha de cumplir la ecuación general de la estática de
fluidos que, aplicada al nivel AA', se expresa de la siguiente forma:
P^yl~P2*ymt (3.1.41)
104
en la que " y " es el peso específico del fluido que circula por el tubo de Venturi, ~ym~
es el peso especifico del líquido manométrico y " í" es la lectura del manómetro
diferencial. Nótese que para la aplicación de la ecuación 3.1.41 se precisa que el
movimiento sea uniforme en las secciones, ya que solo así la distribución de presiones
en una sección transversal será hidrostática.
De la ecuación 3.1.41 se deduce que la diferencia de alturas pie/o métricas entre
las secciones"!" y "2" (_h , -hz) viene dada por:
— " i ) ' (3.1.42)
donde " p" es la densidad del líquido de la tubería y " p m " es la del líquido mano-
métrico.
Sustituyendo 3.1.42 y 3.1.40 en 3.1.38 y despejando " v2" se obtiene:
( P m - p ) í , „ _ j v, = . 2g — (3. .43)
p [ l - ( D 2 / £ > , ) 4 ]
Conocida la velocidad en la sección de garganta, es inmediato deducir el caudal
que circula,
Q-A2v2 = / 2g H m ' (3.1.44)
Un examen detallado de la ecuación 3.1.44 pone de manifiesto que, dado un
tubo de Venturi, la única variable de la ecuación es la lectura "l" del manómetro
diferencial, por lo que el caudal es directamente proporcional a dicha variable. En
la práctica, la constante de proporcionalidad se obtiene mediante el tarado del tubo
de Venturi, operación que se efectúa en laboratorio. Así pues, la ecuación 3.1.44
puede ser escrita en la forma:
Q = Kft (3.1.45)
en la que" ¿"es la lectura del manómetro diferencial y" K"ia constante de calibración
o tarado.
105
El tubo de Venturi permite, por consiguiente, medir el caudal que circula por
una conducción en carga, para lo cual basta con colocarlo en una zona de la tubería
en la que no haya turbulencias, debiéndose a este respecto disponer un tramo de
aproximación y otro de salida. Por su tamaño y la protección que requiere, el tubo
de Venturi debe ser alojado en una caseta. Sólo de esa forma se podrá contar con un
aparato fiable y preciso para la medida de caudales pudiéndose, en tales condiciones,
estimar éstos con la exactitud del + 2 ,5% que pueden llegar a alcanzar.
El funcionamiento del tubo de Venturi está basado en la depresión que aparece
en un fluido cuando se le hace pasar a través de un estrechamiento. En esto consiste
Por último, la mezcla de la gasolina con el aírese realiza también por efecto
el denominado "efecto Venturi" que encuentra
numerosas aplicaciones prácticas como el
mechero Bunsen; el pulverizador; el "sun", que
hace posible la ventilación de los edificios (Fig.
3.1.7) o las capuchas de ventilación que se ven Fig. 3.1.7. Ventilación de edificios mediante "sun" en la cubierta de los barcos y que hacen posible
la extracción del aire de las bodegas.
a los cilindros Venturi en el carburador de los motores de Carburante
explosión. Cuando el aire es introducido en el
tubo de mezcla del carburador (Fig, 3.1.8), se
le hace pasar por un estrechamiento o difusor
Fig. 3. 1. 8. Esquema del carburador de un motor de explosión-
ire "D", lo que provoca la depresión necesariapara
aspirar la gasolina que a continuación es pul
verizada en el gicleur "s" (siclé), produciéndose
como resultado final la mezcla carburada.
106
3.1.4. TUBO DE PITOT
F ig 3.1.9. Tubo de Pi tot
En la figura 3.1.9 puede verse
un tubo de Pitot introducido en una
corriente. Ai orientar una de sus
ramas en la dirección de aquélla, el
extremo de dicha rama produce un
punto de parada o estancamiento
(2), al tiempo que el líquido entra en
el tubo alcanzando una altura " l"
(Fig. 3.1.9).
Al aplicar el teorema de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, suponiendo que ambos
tienen la misma altura geométrica, resulta:
Y Zg y (3.1.46)
Se deduce, por tanto, que en el punto de parada se desarrolla una sobrepresión
que viene dada por la altura cinética del punto 1. La presión en el punto de parada
o de estancamiento se denomina presión de estancamiento y es la suma de la presión
estática " p i / Y~y de la presión dinámica "v2/2g~ .
El líquido que se encuentra en el tubo de Pitot está en equilibrio, por lo que
aplicando la ecuación de la estática de fluidos entre el punto de estancamiento y la
superficie libre del líquido en el tubo se obtiene:
p2-yt (3.1.47)
siendo " Y " el peso específico del líquido," í" la lectura del tubo de Pitot y " p2~ la
presión de estancamiento o presión total.
107
Fig 3 . 1 . 10- Instrumentación básica para la medida de veloc idades.
Si además del tubo de Pitot, se dis
pone un tubo piezométrico en la sección
que pasa por el punto 1 (Fig. 3.1.10), la
diferencia de lecturas " / ' " , entre el tubo
de Pitot y el tubo piezométrico es la
diferencia entre las alturas de presión
correspondientes a dichos puntos, por lo
que, de la ecuación 3.1.46 se deduce:
v,=>[2gT (3.1.48)
En consecuencia, un tubo de Pitot y un tubo piezométrico constituyen una
instrumentación suficiente para medir la velocidad en una corriente.
Esta instrumentación básica puede ser utilizada para visualizar la diferencia
entre la aplicación del teorema de Bernoulli a una línea de corriente (ec. 3.1.13) y la
aplicación al conjunto de la masa fluida (ec. 3.1.20).
SÍ se supone que en la
sección (1) de una tubería (Fig.
3.1.11) la distribución de velo
cidades es parabólica, la velo
cidad en puntos tales como el "a"
y el "b" será distinta y también
lo será, por tanto, su altura
cinética. La consecuencia de
ésto es que la energía total que
hay en "a" no coincide con la que Fig. 3 .1 .11 . Visual ización del teorema de Bernoul l i .
hay en ' V .
108
Esto puede comprobarse fácilmente si se colocan sendos tubos de Pitot en las
líneas de corriente que pasan por "a"y "b". De acuerdo con lo estudiado anteriormente,
un tubo de Pitot colocado en la línea de corriente que pasa por "a" mide la presión
de estancamiento, de la que puede deducirse la altura cinética si se tiene en cuenta
la lectura del tubo piezométrico, que fija la línea piezométrica. En la figura 3.1.11 se
han acotado sólo las alturas que corresponden a la línea que pasa por "a", siendo
inmediato identificar las de la otra línea. Se ve claramente que la energía específica
varía de una línea a otra, de ahí la necesidad de que se cumpla la condición de
movimiento irrotacional, ya que ello supone que las líneas de corriente transportan
la misma cantidad de energía.
3.1.5. TUBO DE PRANDTL
La medición de velocidades se
liza el aparato esquematizado en la
figura 3.1.12, constituido como puede
verse, por un tubo piezométrico, un
tubo de Pitot y un manómetro dife-
simpüfica considerablemente si se uti-
la ecuación 3.1.46, escrita para el tubo
rencial.
Entre los puntos 1 y 2 se verifica
F ig . 3. 1. 12. Tubo de Prandtl. de Pitot, es decir,
P_i + v]_= P_2
Y 2c- y (3.1.49J
109
La medición de la presión estática se realiza en puntos como el 3 de la figura
3.1.12, que están distribuidos circunferencialmente. Dado que el diseño del aparato
permite suponer que en el punto 3 han desaparecido las perturbaciones causadas por
el punto de remanso en la red de corriente, se puede admitir que, aproximadamente,
se verifica:
(3.1.50)
Por otro lado, el líquido que hay en los tubos se encuentra en equilibrio, por lo
que se puede aplicar la ecuación de la estática de fluidos al nivel más bajo alcanzado
por la superficie libre del líquido manométrico, resultando:
P z - P a - Í Y ^ - Y ) * ( 3 . 1 . 5 1 )
donde" Y M " es el peso específico del líquido manométrico," Y " es el peso específico
del líquido que circula por la tubería y " l~ es la lectura del manómetro diferencial.
Sustituyendo 3.1.51 en 3.1.49, teniendo en cuenta 3.1.50 se obtiene:
vt=j2g\ - - ] t (3.1.52)
que permite deducir el valor de la velocidad a partir de la lectura del manómetro
diferencial.
Conexiones al manómetro
Fue Ludwig Prandtl quien
tuvo la idea de reunir en un sólo
aparato los tubos de Pitot y pie
zométrico, recomendando asi
mismo, la proporción que debían guardar sus distintas dimensiones
Fit j . 3. 1. 13. Relación entre dimensiones del tubo según L. Prandtl. (Fig. 3.1.13).
110
3.1.6. EL SIFON
Se denomina sifón a un tubo acodado (Fig.
3.1.14) en el que, mediante la creación en su
interior de un estado de presiones inferiores a la
ambiental, se hace posible que un líquido ascienda
a un nivel superior al que tiene su superficie libre.
El sifón fué utilizado desde tiempos remotos
-Philón de Bizancio (300 a. C) ya hablaba de él
en sus escritos- y continúa siéndolo actualmente, no sólo para el trasiego de líquidos
de un recipiente a otro, sino también, por ejemplo, como dispositivo para la
distribución del agua de riego desde la acequia hasta el surco.
A l aplicar el teorema de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 se obtiene:
F i g . 3 .1 . 14. Sifón.
P i v2 Pz vi • = 2 „ + • (3 . I .S3)
1 Y 2g " £ Y 2g
Dado que sobre las secciones 1 y 2 actúa la presión ambiental y que puede
despreciarse la velocidad de descenso de la lámina libre del depósito y con mayor
motivo, por tanto, su altura cinética, la ecuación 3.1.53 queda en la forma siguiente:
2g (3.1.54)
de la que se deduce la velocidad de salida del líquido por el extremo libre del sifón.
Ya se ha señalado la necesidad de que se produzca una depresión en la tubería
que haga posible el ascenso del líquido. Esta depresión alcanza su valor máximo en
el punto 3 pudiéndose determinar ésta aplicando el teorema de Bernoulli entre las
secciones 2 y 3, con lo que se obtiene:
111
Como la sección de la tubería es constante, de la ecuación de continuidad se
deduce que las alturas cinéticas han de coincidir en las secciones consideradas, por
lo que teniendo en cuenta que en la sección 2 actúa la presión ambiental, de la
ecuación 3.1.55 se obtiene:
P amb P 3 ~<.z3-z2) (3.1.56)
De la ecuación 3.1.56 se deduce que en la sección 3 hay unapresión manométrica
negativa que podría llegar a anularse si se cumpliera:
Pamb Z->~Z? = (3.1.57)
Si el líquido es agua, de la ecuación 3.1.57 se infiere el valor máximo teórico
que puede tomar la diferencia " z3 - z2", dicho valor sería:
( 2 3 - 2 2 ) m a B = 10 .33m. (3.1.58)
Sin embargo este valor, como se ha señalado, es sólo teórico, ya que antes de
ser alcanzado se ha producido el cambio de fase de líquido a gas, lo que impide la
aplicación del teorema de Bernoulli por no cumplirse sus hipótesis.
La explicación a ésto se encuentra en la figura 3.1.15, en la que se ha repre
sentado
el diagrama de fases del agua. En
él aparecen las combinaciones de
presión y temperatura que
corresponden a las distintas for
mas de presentación del agua:
sólida (S), líquida (L) y gas (V),
Las curvas señalan los valores de
presión y temperatura en los que
coexisten, en equilibrio, las fases
0,01 TCC)
F i g . 3 . 1 . 15- Diagrama de fases del agua.
112
que quedan a uno y otro lado de ellas y el punto cuyas coordenadas han sido acotadas
es el único en el que las tres fases pueden darse simultáneamente.
Dado que 4.58 mm es el mínimo valor de la presión para el cual el agua puede
existir en estado líquido, se deduce que es físicamente imposible lograr que se cumpla
la condición dada por 3.1.58, ya que ello supondría que la presión del agua sería nula.
La curva que en la figura 3.1.15 separa las zonas señaladas con "L" y "V" se
denomina curva de vaporización y proporciona, para cada temperatura, la presión a
la cual el agua está en equilibrio con su fase gaseosa. Esta presión, denominada
presión de vapor del agua, es por tanto, la mínima para la cual el agua puede estar
en fase líquida.
113
3-Tema. Dinámica de Fluidos.
2-Lección .Estudio de la viscosidad. Máquinas hidráulicas. Generalización
del teorema de Bernoulli Estudio del movimiento de un fluido real.
3.2.1. ESTUDIO DE LA VISCOSIDAD
En la primera de estas lecciones de mecánica de fluidos se señaló que el aspecto
más relevante del comportamiento de un fluido -hasta el punto de que por ello, dicho
aspecto era recogido en la mayoría de las definiciones de fluido- consistía en que su
resistencia al esfuerzo cortante era proporcional a la velocidad de deformación. El
coeficiente de proporcionalidad en esta relación es, precisamente, el coeficiente de
viscosidad absoluta o dinámica "u.".
Para estudiar el comportamiento de los líquidos bajo la aplicación de esfuerzos
cortantes puede utilizarse el viscosímetro de placas. Este aparato está constituido
por dos superficies planas paralelas separadas una pequeña distancia entre las cuales
se coloca el líquido que se desea estudiar. El desplazamiento relativo de las placas
en la dirección de éstas origina en el líquido una solicitación de tensión tangencial
pura (véase Fig. 1.1.1) a la que corresponde un estado de deformación angular
caracterizado por el ángulo "y" . .
Uno de los viscosímetros más comunes es aquél en el que la placa inferior está
fija mientras que la superior se mueve con velocidad constante "v0" cuando se le
aplica una fuerza horizontal" F", Durante el ensayo se observa que la porción de
114
fluido en contacto con las placas adquiere su misma velocidad, por loqueen el líquido
aparece un gradiente de velocidades, lineal o curvo, que presenta velocidad cero en
el contacto con la placa fija y velocidad " u0" en el contacto con la otra placa.
En cierto tipo de líquidos, entre los que se encuentran el agua y el aceite, el
gradiente de velocidades es lineal. Si
uno de estos líquidos se coloca en el
viscosímetro descrito en el párrafo
anterior y que se muestra en la figura
3.2.1, resulta que al aplicar la fuerza
" F", un elemento de fluido como el
"abcd" se deformará, pasando a
F i g . 3. 2. 1. Vtscosimetro de placas.
ocupar la posición genérica" abe' d " ' . Para medir la deformación angular se puede
utilizar el ángulo " Y " cuya definición geométrica se deduce de la figura 3 .2 .1 .
Si el área de la placa superior es "5" , el cociente " F/S" representa la fuerza
tangencial unitaria o esfuerzo cortante " x " cuyo valor viene dado por la ley de Newton
de la viscosidad para el movimiento unidimensional:
dy ( 3 . 2 . 1 )
en la que "u." es el coeficiente de viscosidad absoluta o dinámica y " dy/dt" es la
velocidad de deformación angular. De la ecuación 3.2.1 se desprende que en un
líquido sometido a esfuerzo cortante la deformación angular aumenta continuamente
a lo largo del tiempo, no alcanzándose por consiguiente una configuración estable.
De la figura 3.2.1 se deduce la siguiente relación geométrica:
dy _ dv dt dy
(3.2.2)
que sustituida en 3.2.1 proporciona la expresión de la ley de Newton de la viscosidad
en función del gradiente de velocidades, esto es,
115
dv t - H - (3.2.3)
De lo anterior se desprende que la viscosidad es la propiedad mediante la cual
un fluido real presenta resistencia a' la aplicación de esfuerzos tangenciales. Cuando
un fluido real está en movimiento, la ecuación 3.2.3 indica que aparecen fuerzas
tangenciales derivadas de la viscosidad -fuerzas viscosas- que se oponen al movi
miento. Esto significa que al estudiar el movimiento de un fluido real habrá que
tener en cuenta no sólo las fuerzas gravitatorias y las derivadas de la presión, como
se hizo en la lección anterior, sino también las fuerzas viscosas. Se obtienen así las
ecuaciones del movimiento de un fluido real o ecuaciones de Navier-Stokes:
\dp 7 dvx
p3x * * dt
\dp _ ¡ dv y - p ^ * ^ * ' W C 3 - 2 - 4 )
pdz- 1 dt
en las que" p " es el coeficiente de viscosidad absoluta y" V2" representa el operador
de Laplace, cuya expresión es:
a d2 a3 d2
V 2 ; + — r + —= (3.2.5)dx2 dy2 dz2
siendo el significado de las restantes magnitudes el que ya se dijo al presentar las
ecuaciones de Navier (ec. 3.1.34) que como se ve, no son sino la particularización de
las de Navier-Stokes para un fluido ideal.
La integración de las ecuaciones de Navier-Stokes a lo largo de una línea de
corriente conduce a una expresión similar a la del teorema de Bernoulli, ya que
además del trinomio, aparece en ella un término que representa la pérdida de carga
debida a la existencia de las fuerzas resistivas derivadas de la viscosidad. De la
contabilización de las pérdidas de carga en el movimiento de un fluido real se tratará
en el apartado 3.2.3.
116
Si se representan en un sistema de ejes cartesianos el esfuerzo cortante y la
velocidad de deformación de un fluido se obtiene lo que se denomina diagrama
reológico (Fig.3.2.2).
Los fluidos que quedan repre
sentados en dicho diagrama por una
línea recta se denominan fluidos
newtonianosy entre ellos se encuentran
los que presentan más interés desde el
punto de vista de las aplicaciones de la
mecánica de fluidos: el agua, el aceite
y el aire.
dv/dy
F i g 3 . 2 . 2 . Diagrama r eo lóg i co .
Los fluidos cuya representación en el diagrama reológico es una curva se
denominan fluidos no newtonianos y en ellos la viscosidad puede ser modificada por
la aplicación de esfuerzos cortantes. Cuando la viscosidad aumenta al aplicar un
esfuerzo cortante se dice que el fluido es dilatante y un ejemplo de este tipo de fluido
son las arenas movedizas que es como se suele denominar a las arenas sometidas a
un gradiente hidráulico ascendente. Cuando la viscosidad del fluido no newtoniano
disminuye con la aplicación de los esfuerzos cortantes se le denominan seudoplástico,
siendo éste el caso de la tinta de los bolígrafos cuya fluencia se logra por los esfuerzos
tangenciales originados por el giro de la bolita de tungsteno.
Los ejes del diagrama reológico corresponden a sendas idealizaciones: el eje de
abscisas representa un fluido ideal y el eje de ordenadas corresponde al sólido rígido.
En la dinámica de fluidos se utiliza frecuentemente una magnitud física derivada
de la viscosidad absoluta, denominada viscosidad cinemática " v ", cuya definición es:
v = ^ ( 3 . 2 . 6 )
117
siendo "p" la densidad. Entre las aplicaciones de la viscosidad cinemática puede
citarse que el número de Reynolds -que servirá para clasificar un movimiento- se
puede expresar en función de dicha viscosidad.
3J.1.1. Unidades
Las unidades en las que se debe expresar la viscosidad se obtienen, como las de
cualquier otra magnitud física, a partir de su ecuación de dimensiones.
Así, despejando la viscosidad absoluta de la ecuación 3.2.3 y teniendo en cuenta
la definición de esfuerzo cortante.resulta:
< 3 - 2 - 7 )
dv/dy cuya ecuación de dimensiones es.
Si en lugar de tomar la masa como magnitud fundamental se adopta la fuerza,
la ecuación de dimensiones de la viscosidad es:
[u]-= F £ ~ 2 T (3.2.9)
Las unidades en las que se expresa la viscosidad absoluta deducidas de las
ecuaciones de dimensiones 3.2.8 y 3.2.9 son las que se muestran en ¡a tabla 3.2.1
C C S . S . / . S.T.
g • cm'' • s'1 ( p o t s e ) kg • m " ' • s " 1 • UTM • m~l • s~'
dina . newton , „ , kgf¿-s(barta-s) —-s(Pa-s) - ~ • s
cm m m
Tabla 3.2.1. Unidades de viscosidad absoluta.
118
La ecuación de dimensiones de la viscosidad cinemática se deduce de 3.2.6:
[ u ] ML'lT' ^^ái'^r^'^" (3-2'10)
Con la ecuación 3.2.10 se obtienen las siguientes unidades en cada uno de los
sistemas:
CCS. S.l. S.T.
c m z / s ( s í o / c e ) mz/s mz / s
Tabla 3.2.2. Unidades de viscosidad cinemática.
Dado que tanto el poise como el stoke son unidades demasiado grandes para
la viscosidad de los líquidos usuales, se utiliza frecuentemente sus submúltiplos; el
centipoise C l c / > = 1 0 - z F ) y e l centistoke ( l c S r = 1 0 ~ 2 S O
En alguno sub-sectores de la actividad industrial como es el caso del de la
lubricación, se emplean frecuentemente las denominadas unidades empíricas de
viscosidad que expresan ésta ec función del tiempo necesario para que un volumen
determinado de líquido fluya a través de un orificio de dimensiones normalizadas a
una determinada temperatura. De este tipo son los segundos saybolt-furol {sSF\
utilizados en los Estados Unidos de Norteamérica y los segundos redwood ( ' 'R\
empleados en el Reino Unido.
Como ejemplo de la difusión alcanzada por este tipo de unidades se puede citar
la clasificación de aceites de lubricación hecha por la Society of Automotive Engi-
neers, cuyas iniciales, acompañadas de un número que expresa la viscosidad en
segundos, sirven para diferenciar entre sí dichos aceites.
En tabla 3.2.3 puede verse la equivalencia en centipoises de la viscosidad
expresada en unidades SAE.
119
Aceite
SAE • 10
SAE-20
SAE -30
Viscosidad absoluta ( cP )
160 a 220
220 a 300
300 a 430
Tabla 3.2.3. Viscosidad absoluta de aceites SAE.
Por último, en Europa en general y en España en particular, la viscosidad se
expresa, en ocasiones, en grados englerCf ) , que es un número adimensional, dado
que el resultado del ensayo que sirve para su determinación, esto es, el tiempo
necesario para que 200 mm3 del líquido de muestra pasen a través de un tubo de
2,9 mm de diámetro y 200 mm de longitud a la temperatura de 20°C,se divide por
el tiempo obtenido al realizar el ensayo con agua a esta misma temperatura.
Existen diversas fórmulas que relacionan las unidades empíricas de viscosidad
con la viscosidad dinámica o cinemática. Algunas de ellas pueden verse en las refe
rencias bibliográficas n° 9 y 17.
3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad
La viscosidad de un fluido tiene su origen en las fuerzas intermoleculares y en
la transferencia de la cantidad de movimiento molecular.
En los líquidos, en los que las moléculas se encuentran muy próximas entre sí
predomina el primero de los orígenes, siendo por tanto las fuerzas cohesivas y
adhesivas las causantes de la viscosidad. Dado que ambas fuerzas dependen de la
tensión superficial y ésta disminuye al aumentar la temperatura, la viscosidad
120
presentará una variación en el mismo sentido. Para el caso del agua, esta variación
está recogida en la fórmula de Poiseuille:
1 . 7 8 - 1 0 -
1 + 0 .377 -7 + 0,0002-7" 2
en la que " T" es la temperatura del agua en grados celsius y " p" es la viscosidad
absoluta en decapoises ( da P).
En los gases la viscosidad depende de la transferencia de la cantidad de movi
miento molecular y ésta aumenta con la temperatura, por lo tanto en un gas, la
viscosidad aumenta al hacerlo la temperatura. En un gas, la viscosidad no sólo
depende de la temperatura; también interviene la presión, por ello, es preciso aportar
este último dato.
En la tabla 3.2.4 se da, para distintas temperaturas, la viscosidad absoluta de
los fluidos más interesante en ingeniería.
Temperatura Viscosidad absoluta
Agua Aceite Aire seco (l.Olbar)
10 130,5 23400 1,768
20 100,2 10895 1,819
30 79,7 6291 1,867
40 V 65,3 3448 1,915
50 54,8 2226 1,962
Tabla 3.2.4. Variación de la viscosidad absoluta con la temperatura.
La tendencia que se observa en los datos de la tabla de viscosidades absolutas
se mantiene al considerar la viscosidad cinemática,y en este sentido conviene recordar
que en los líquidos, la densidad disminuye al aumentar la temperatura -excepción
hecha del agua entre 0 y 3,98 HC - mientras que en los gases sucede lo contrario. De
121
la tabla 3.2.5 se deduce que estas variaciones actúan de forma que la influencia de
la temperatura sobre la viscosidad cinemática sigue, como se ha dicho, pautas
comparables a las de la variación de la viscosidad dinámica.
Temperatura Viscosidad cinemática
• C°C) ( 1 0 - 6 m 2 / s )
Agua Aceite Aire seco (l.Olbar)
10 1,30 260 14,18
20 1,00 122 15,10
30 0,80 71 16,03
40 0,65 39 16,98
50 0,55 26 17,94
Tabla 3.2.5. Variación de la viscosidad cinemática con la temperatura.
122
3.2.1.3. Medición de la viscosidad
La viscosidad absoluta puede medirse mediante el viscosímetro de placas del
que ya se ha hablado en esta misma lección. Existen además otros tipos de viscosí
metro y entre ellos, quizá el más interesante sea el denominado viscosímetro de
Couette, cuya descripción no sólo servirá para mejorar la comprensión de las fuerzas
viscosas sino que también permitirá recordar y aplicar conceptos de la mecánica de
los sólidos rígidos.
El viscosímetro de Couette o
viscosímetro de cilindros concéntri
cos está constituido por un cilindro
macizo de radio" R'~ (Fig. 3.2.3) que
está suspendido mediante un alam
bre de torsión. Concéntrico con él se
encuentra un segundo cilindro de
radio interior ~R~ al que se puede
hacergírar en torno a su eje mediante
un motor.
Después de introducir el líquido
en estudio en el espacio existente
entre los cilindros, se hace girar al
cilindro exterior con velocidad
angular constante " w", con lo que
se crea en el líquido situado en la
corona circular existente entre los cilindros el gradiente de velocidades que se muestra
en el detalle de la figura 3.2.3, cuyo valor será:
Fig 3. 2. 3. Viscosímetro de Couette {Alzado-sección y planta^
dv _ wR dy"R-R'
(3.2.12)
123
De la ley de Newton de la viscosidad se deduce el valor de la fuerza" F " que el
fluido ejerce sobre el cilindro suspendido:
F = \i^-A (3.2.13)
expresión en la que " A " es el área lateral del cilindro exterior, es decir:
A-2nRH (3.2.14)
Sustituyendo 3.2.12 y 3.2.14 en 3.2.13 se obtiene:
F = \i-^^2xRH (3.2.15)
Esta fuerza produce un momento sobre el eje del cilindro suspendido de módulo:
U . , . » - ¿ 2 g * . (3.2.16,
Este momento producirá un giro " $" en dicho cilindro, que puede leerse en un
limbo graduado. A partir de esta lectura se deduce el momento que se moviliza en
el alambre de torsión:
M = G<k__ (3.2.17)
siendo " G " la constante del alambre representativa de su rigidez al giro.
En el equilibrio coinciden las ecuaciones 3.2.17 y 3.2.16 y de esta igualdad se
deduce el coeficiente de viscosidad absoluta,
á j w j C 3. 2. 1 8 )2nwR3H
Si el espesor "a" de la capa de fluido situado debajo del cilindro suspendido
fuera del orden de la separación entre cilindros, habría que considerar también -en
un cálculo similar al realizado- el par producido por las fuerzas viscosas desarrolladas
en dicha zona. A veces se evita la aparición de fuerzas viscosas en el fondo del cilindro
suspendido haciendo que dicho fondo sea cóncavo, lo que favorece la aparición de
burbujas de aire en el contacto con el cilindro.
124
3.2.2. MAQUINAS HIDRAULICAS
El agua almacenada en un embalse se utiliza para diversos fines, entre los cuales
se pueden citar los siguientes: abastecimiento de poblaciones, regadíos y producción
de energía eléctrica. Estos fines, que no son los únicos, tienen en común el que
constituyen aprovechamientos de la energía hidráulica. En efecto, estos tres usos del
agua se basan en la energía potencial que adquiere aquélla en razón a su situación
topográfica. Esta energía potencial será utilizada, en el caso de regadíos y abaste
cimientos, para conducir el agua hasta los puntos de consumo, venciendo las fuerzas
resistivas derivadas de la viscosidad.
Es también la energía potencial del agua embalsada la que, transformada en
energía cinética de rotación en las turbinas, produce el giro de los alternadores
coaxiales con ellas dentro de un campo magnético y como producto final la energía
eléctrica. La potencia que es posible extraer de una corriente depende del desnivel
utilizado y del caudal turbinado. La expresión de la potencia teórica " P " es:
P = yQ&H (3.2.19)
en la que " v" es el peso específico del agua," Q " es el caudal que atraviesa la turbina
y "AH~ la carga hidráulica o energía extraída de la corriente.
Ocurre a veces que el agua no se encuentra donde se la necesita y en tal caso
se hace necesario aportar energía. La aportación de energía se efectúa mediante una
bomba, que es una máquina hidráulica en la que tiene lugar la transformación de la
energía térmica de un combustible o la eléctrica de la red general en energía
mecánica, con el resultado de un incremento en la carga hidráulica de la corriente
al atravesar la bomba. La potencia teórica necesaria para aumentar en " A / / " la
energía de un caudal "Q" de agua viene dada también por la ecuación 3.2.19, con la
particularidad de que " A H" representa ahora una aportación de carga hidráulica.
125
En resumen, las máquinas hidráulicas son aparatos que se intercalan en una
corriente para comunicarle energía -en el caso de las bombas- o para tomar energía
de la corriente en el caso de las turbinas.
Si " H i " representa el valor del trinomio de Bernoulli antes de la máquina
hidráulica o como se suele decir también, "aguas arriba" de ella y " H 2 " representa
el trinomio de Bernoulli después de la máquina hidráulica -"aguas abajo"- la variación
de energía o carga hidráulica introducida por una bomba " B" viene dada por:
HI + (&H)B-H2 (3.2.20)
y si lo que se interpone en la corriente es una turbina " T", entonces la ecuación de
energía queda en la forma:
H , - ( A W ) r - H2 (3.2.20 bis)
•
3.2.3. GENERALIZACION DEL TEOREMA DE BERNOULLI
Se suele entender por "generalización del teorema de Bernoulli" a la versión de
este teorema en la que se consideran tanto las pérdidas de carga asociadas a la cir
culación de un fluido real, como el incremento positivo o negativo de energía
hidráulica que se obtiene con la interposición de máquinas hidráulicas en la corriente.
La ley de Newton de la viscosidad establece que en un fluido en movimiento,
la viscosidad moviliza fuerzas resistivas de naturaleza molecular que, en los líquidos,
eran debidas a la cohesión y a la adhesión entre moléculas . La primera de estas
fuerzas actúa entre las moléculas del líquido, por tanto actúa en toda la masa fluida;
la segunda, corresponde a la acción entre las moléculas del líquido y los contornos
sólidos con los que está en contacto. Quiere ésto decir que en un líquido real en
movimiento se desarrollan fuerzas resistivas en cada porción de líquido que se
considere, y que el trabajo realizado por estas fuerzas supone una pérdida de energía
126
o de carga hidráulica porunidad de longitud de conducción. Esta disminución unitaria
en la energfa del líquido se denomina pérdida unitaria de carga "i". Resulta, por
consiguiente, que en una conducción de longitud " L " la pérdida total será:
AH = iL (3.2.21)
En la siguiente lección se deducirán las expresiones mediante las cuales se puede
calcular la pérdida de carga, tanto en régimen laminar como en régimen turbulento.
En los fluidos que como el agua, tienen una viscosidad muy pequeña, la resis
tencia al avance se concentra sobre todo en los contornos, ya que en ellos se da un
elevado gradiente de velocidad. En concreto, esta resistencia de superficie tiene lugar
en una capa de fluido de pequeño espesor -del orden de mieras a mm- situada en
contacto con los contornos y denominada capa límite.
En las conducciones se hace necesario a veces, utilizar piezas especiales que
permitan cambios bruscos en la dirección de la corriente como son p. ej. los codos a
90 " ; o efectuar cambios en la sección mediante conos de reducción; o simplemente,
disponer válvulas que permitan aislar tramos de la conducción y efectuar limpiezas
o reparaciones en ellos. Todas las piezas especiales que como las descritas se disponen
en las conducciones producen efectos similares: alteraciones o desprendimientos de
la capa límite que perturban la corriente, originando remolinos y turbulencias. Se
dice que constituyen una resistencia de forma que no es sino una pérdida de energía
localizada, ya que su efecto tiene lugar en el entorno próximo del punto en el que se
sitúa la pieza. La expresión general de estas pérdidas localizadas es:
v2
AH-K — (3.2.22)2ff
siendo "v" la velocidad media en la tubería si se trata de codos, válvulas, etc. o la
velocidad en una determinada sección, cuando la pieza tiene sección variable y " K"
Un coeficiente adimensional que depende del tipo de pieza de que se trate. En la
127
tabla 3.2.6 se han recogido algunos de estos coeficientes. El análisis dimensional de
la ecuación 3.2.22 pone de manifiesto que las pérdidas localizadas tienen dimensiones
lineales, lo mismo que la pérdida total en una conducción (ec. 3.2.21).
Coef ic iente *K"
0 , 5 0
1 , 0 0
Conex ión d e p ó s i t o - t u b e r í a e n t r a n t e
0 , 0 5
Conex ión aboc inada depós i to- tuber ía
1 , 0 0
Conex ión t u b e r í a - d e p ó s i t o
Tabla 3 . 2 . 6 . Coe f i c ien tes de pe rd i da de c a r g a .
En resumen, en una conducción se producen dos tipos de pérdidas de carga: las
unitarias a lo largo de toda la conducción y las localizadas, correspondientes a cada
una de las piezas especiales, accesorios, etc., interpuestos en la corriente. La suma
de ambas será la pérdida total de carga:
A W - i i + V / í — (3.2.23)2g
La generalización del teorema de Bernoulli viene dada por la siguiente
expresión:
v2 v2
Hi*bHB-*HT-Hi + iL + Kl — + + ^ n ^ - (3.2.24) 2g 2g
Conex ión depós i t o - t ube r ía en ángulo
128
en la que "W,* y " H 2 " son el trinomio de Bernoulli en las secciones consideradas;
" A W S " y "AHT~ representan la variación de carga que corresponde a la interpo
sición en la corriente de una bomba o de una turbina, respectivamente;" iL" es la
pérdida total de carga debida a la resistencia de superficie y " K a ^ " representa la
pérdida localizada en el aparato o pieza especia!" a Denominando ( A H ) , J 2 a l a
suma de todas las pérdidas, la ecuación 3.2.24 puede escribirse en la forma:
/7, + C A W ) J ( - C A / / ) T - / / 2 + C A / / ) „ 2 (3.2.25)
3.2.3.1. Gráfico de energía
Para la representación de la ecuación 3.2.24 siguen siendo válidas las reco
mendaciones hechas al explicar la representación gráfica del teorema de Bernoulli.
Se trata ahora de completar aquéllas con las correspondientes a los sumandos
relativos a las máquinas hidráulicas y a las pérdidas de carga.
La modificación más importante quizá sea que la línea de energía no es hori
zontal; y no lo puede ser debido a ta existencia de la pérdida unitaria de carga, que
se presenta desde el primer metro de conducción. Si en la ecuación 3.2.24 se supone,
por el momento, que no hay máquinas hidráulicas ni accesorios se obtiene;
Hl = H2-iL (3.2.26)
De esta ecuación se deduce la forma de iniciar la representación gráfica: una
vez calculada la pérdida unitaria "i" y con ella, la pérdida total (ec. 3.2.21), se traza
una línea horizontal por el punto representativo de la sección 1 (Fig. 3.2.4) y a con
tinuación y en la vertical correspondiente a la sección 2, se lleva sobre ella , desde
su punto de intersección con la línea horizontal anterior y hacia abajo, la pérdida
129
total. Uniendo el extremo inferior del segmento que representa el valor de la pérdida
total con el punto representativo de la sección 1 se obtiene la línea de energía, de
carga hidráulica o de altura total, cuya pendiente es, evidentemente, " i".
Fíg .3 .2 .4 . Representación gráfica del teorema de Bernoulli generalizado. (I)
En la lección siguiente se verá la estructura de la pérdida unitaria " i " ; por el
momento basta con saber que depende del material de la tubería y de su diámetro,
además de la velocidad. Se deduce de la figura 3.2.4 que la tubería representada tiene
sección constante y es del mismo material. Una variación en cualquiera de estos datos
o en los dos, supondrá que la línea de energía será una poligonal en la que cada punto
anguloso marca el comienzo de un tramo de tubería de características distintas al
anterior.
Con base en la representación hecha en la figura 3.2.4, es muy sencillo obtener
el gráfico del teorema de Bernoulli generalizado, pues sólo queda desplazar la línea
de energía paralelamente a sí misma en la magnitud, sentido y posición que corres
pondan a cada máquina hidráulica o accesorio. Así, si se supone que la única máquina
es una
130
Fig. 3.2.5. Representación gráfica del teorema de Bernoulli generalizado. ( I I ) .
bomba (B) y que los accesorios que producen pérdida son la conexión depósito-
tubería de salida y un codo, se calcularán las variaciones de energía hidráulica que
producen cada uno de ellos, esto es: el incremento de carga que aporta la bomba
( A H B \ la pérdida de carga en la conexión (K ¡ v2/2g) y la pérdida de carga en el
codo ( / í 2 y 2 / 2 9 ) y a continuación se efectuará la traslación de la línea de carga en
la vertical de los puntos correspondientes a la ubicación de cada máquina o accesorio,
y en la magnitud y sentido adecuados: la magnitud será la de la variación de energía
y el sentido, hacia abajo en los accesorios y hacia arriba en labomba. Estas traslaciones
deben hacerse en el orden en el que aparecen máquinas y accesorios en el sentido
de la comente (Fig. 3.2.5).
Es importante recordar que lo que se busca con la representación del teorema
de Bernoulli generalizado es la visualización de las características de la corriente y
para ello hay que elegir una escala vertical que permita apreciar todas las variaciones
de carga hidráulica que hay en ella. Esta es la condición a tener en cuenta para elegir
adecuadamente dicha escala.
Una vez dibujada la línea de energía, sólo queda representar la línea piezo
métrica y para ello, basta con dibujar una paralela a la primera, por debajo de ella y
separada en la magnitud correspondiente a la altura cinética " v2/2g".
En general, la altura cinética es del orden de magnitud de las pérdidas en
131
accesorios, por lo que no debería haber problemas para distinguir perfectamente la
línea de energía de la línea piezométrica. No obstante, si los hubiera, habría que
llegar a una solución de compromiso recurriendo incluso a la utilización de más de
una escala vertical, aplicándolas, eso sí, de acuerdo con un criterio razonable.
Fig. 3. 2. 6- Gráfico de energía.
En la figura 3.2.6 se muestra la representación gráfica del teorema de Bernoulli
generalizado a lo que se denominará "gráfico de energía" para distinguirla de la
representación gráfica del teorema de Bernoulli.
132
3.2.4. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO REAL
En la figura 3.2.7 puede verse el esquema de una instalación de bombeo que
eleva hasta una altura " h a " el agua procedente de un pozo.
Fig. 3 .2 .7 Esquema de una elevación de agua.
El estudio de dicha instalación proporciona la oportunidad de aplicar a un
problema real el teorema de Bernoulli generalizado, deduciendo expresiones y
resultados de interés práctico.
3.2.4.1. Bernoulli entre las secciones 1 y 2 (Fig. 3.2.7)
La gran mayoría de los problemas que se plantean en una instalación de bombeo
como la que muestra la figura 3.2.7 están relacionados con el régimen de presiones
existente en la tubería que va desde el pozo a la bomba, denominada tubería de
aspiración. Con la notación que aparece en la figura 3.2.7, al aplicar el teorema de
133
Bernoulli generalizado entre la superficie del agua en el pozoy ¡a sección de la tubería
situada inmediatamente antes de la bomba, resulta:
fi,-Bl+CA//)W2 (3.2.27)
siendo " B , " y " B2" el trinomio de Bernoulli en las secciones 1 y 2 y " ( A / / ) , _ z l a
pérdida de carga habida entre dichas secciones.
A l aplicar la ecuación 3.2.27 se eriiplearán presiones relativas y se tomará como
plano de comparación la superficie libre del agua en el pozo, ya que debido a que,
en general, la sección recta de un pozo es muy superior a la de la tubería, la velocidad
de descenso de la lámina de agua es prácticamente inapreciable.
Resulta así nulo el trinomio de Bernoulli en la sección 1 mientras que en la
sección 2 su valor será:
siendo" h „" la altura de aspiración, "{p/yJ2" la presión manométrica en la sección
aguas arriba de la bomba y "vz/2g" la altura cinética en dicha sección, calculada
a partir de la velocidad media en ella.
El término correspondiente a las pérdidas de carga tendrá dos sumandos: el
debido a la pérdida unitaria en la tubería de aspiración y el correspondiente a las
pérdidas localizadas causadas por el codo y los accesorios que es preciso disponer en
el extremo de la tuberíaque está introducido en el pozo para evitar la entrada de
objetos extraños en la bomba, así como el vaciado de la tubería de aspiración durante
las paradas. El primero de estos accesorios se denomina alcachofa de toma y
básicamente consiste en una malla y el segundo, se denomina válvula de pié que no
es más que una clapeta que sólo permite un sentido de circulación para el agua. Así
pues, se puede escribir:
( ^ ) H 2 - i l , + ¿ (3.2.29)
134
donde " ¿ " e s la pérdida unitaria de carga en la tubería de aspiración," ia" es la
longitud de ésta," K" representa la suma de los coeficientes de pérdida de carga en
los accesorios y " v" es la velocidad media en la tubería de aspiración.
Sustituyendo 3.2.29 y 3.2.28 en 3.2.27, recordando que el trinomio de Bernoulli
es nulo en la sección 1, resulta:
La ecuación 3.2.31 muestra que en la sección 2 la presión manométrica es
negativa, siendo habitual por ello que en el lado de succión de las bombas y para
conocer la presión allí, haya un tapón que permita, una vez retirado éste, colocar en
él un vacuómetro.
La altura de presión absoluta en la sección 2 será, por consiguiente:
en la que" pamb/y"es la altura de presión atmosférica. Se deduce de esta úldma
ecuación que un diseño inadecuado de la aspiración - altura excesiva " ha ", utilización
de tubería de pequeño diámetro, etc, - puede dar lugar a una situación como la que
se muestra en la figura 3.2.8 en la que el punto 2, obtenido al representar la presión
y la temperatura del agua, se sitúa muy próximo a la curva de vaporización, con lo
que la instalación quedaría seriamente expuesta al riesgo de cavitación, esto es, a la
formación de burbujas o cavidades de vapor de agua.
(3.2.30)
ydespejando ( p / v ) 2 s e obtiene:
(3.2.31)
(3.2.32)
0,01 TCC)
Fig. 3. 2 .8 . Diagrama de fases del agua.
135
Estas burbujas de vapor
son arrastradas por el agua y
cuando alcanzan zonas de
mayor presión se produce su
condensación repentina, pro
vocando sobrepresiones locales
que pueden superar los
lOQOkgf/cm2, produciendo
daños muy importantes en la
bomba.
En consecuencia, para prevenir la cavitación se deberá comprobar que la
instalación cumple la condición:
C 3.2.33)
siendo " ( p / y ) „ " la presión de vapor que corresponde a la temperatura del agua.
Sustituyendo la ecuación 3.2.32 en el primer miembro de la desigualdad 3.2.33,
resulta la expresión:
(3.2.34)
que será utilizada para comentar los factores que influyen en la cavitación, así como
el sentido en el que actúa dicha influencia, para lo cual se supondrá que los restantes
factores no varían cuando lo hace el que es objeto del comentario.
Los factores que intervienen en la cavitación son:
- La altura de presión atmosférica " p ^ / v " . La ecuación 3.2.32 muestra que
éste es el único sumando positivo entre los que constituyen la presión absoluta en la
sección 2, por lo que su valor influye decisivamente en la desigualdad 3.2.34. Dicho
valor se puede determinar mediante la ley de variación de la presión atmosférica con
la altitud topográfica (ec. 1.2.13). Dado que la presión atmosférica disminuye cuando
las condiciones meteorológicas corresponden a las de una borrasca, será conveniente
136
tener en cuenta esta circunstancia, sobre todo en aquellos casos en que haya un escaso
margen de seguridad frente a la cavitación. Algunos autores -ver referencia
bibliográfica n° 25- proponen que para tener en cuenta la depresión asociada al paso
de las borrascas se reduzca la presión atmosférica del lugar en 34 hPa.
- La altura de aspiración " h„". La altura de aspiración es la diferencia entre la
cota topográfica a la entrada de la bomba y el nivel de la superficie libre del agua en
el pozo. Por su orden de magnitud, es el factor más importante entre los tres que
contribuyen a reducir la altura de presión atmosférica.
- I-a pérdida de carga en la tubería de aspiración " ' ' „ " . Dado que este factor
contribuye a aumentar el riesgo de cavitación conviene reducir en lo posible su valor
absoluto. En este sentido se debe evitar que la tubería de aspiración sea innecesa
riamente larga y también, el que su diámetro sea pequeño.
-1 J S pérdidas localizadas de carga" (1 + K)v2/2g". Es también un factor que
conviene reducir en la medida de lo posible. Para ello, se debe prestar atención a las
características geométricas de los accesorios que sea preciso disponer, con el fin de
obtener el mínimo coeficiente " K ", o bien, prescindir de aquéllos que puedan ser
sustituidos por otros elementos tal es el caso de la válvula de pié que puede ser
reemplazada pdr una bomba de vacío. De la estructura del factor que se analiza, se
desprende también la conveniencia de procurar una velocidad moderada en la tubería
de aspiración.
-La altura de presión de vapor de agua "(p/y)»". La curva que en la figura
3.2.8 separa las zonas señaladas con " L" y " V " se denomina curva de vaporización y
proporciona los valores de la presión y temperatura para los cuales el agua coexiste
con su vapor. La curva de vaporización muestra que la presión de vapor -que es la
presión a la que el agua está en equilibrio con su vapor- aumenta con la temperatura.
Aunque el peso específico del agua disminuye- por encima de 3 , 9 8 ° C - con la
temperatura, el cociente de ambas magnitudes presenta la misma tendencia que la
137
presión de vapor. En consecuencia, el segundo miembro de la desigualdad 3.2.34
depende de la temperatura, aumentando con ella, y por consiguiente, deberá ser
determinado su valor teniendo en cuenta la temperatura del agua que se desea elevar.
3.2.4.2. Bernoulli entre las secciones 2 y 3 (Fig. 3.2.7)
Al aplicar entre las secciones 2 y 3 el teorema de Bernoulli generalizado resulta:
B2 + (&H)B = S 3 + A t f j _ a (3.2.35)
siendo ~ ( A / / ) É " l a carga o energía comunicada al agua por la bomba;" (A H ) 2_3"
la pérdida de carga habida entre dichas secciones y ~ B E " y " f í 3 " l a s expresiones del
trinomio de Bernoulli en las secciones 2 y 3, respectivamente. Sustituyendo las
expresiones de estas magnitudes en la ecuación 3.2.35 y reordenando ésta, se tiene:
P-? v\ p , v% ( A t f ) , - ( A / O í . . 9 - * » + — ^ - z * - — - r ^ (3.2.36)
y 2g Y 2g
Dado que si no se anulan las diferencias de altura geométrica y cinética entre
las secciones consideradas, su valor sería en tal caso muy pequeño, puede despreciarse
la contribución de una y otra diferencia, resultando la siguiente expresión para la
ecuación 3.2.36:
( ¿ W ) r ( A / / ) 2 . 3 = ^ - ^ (3.2.37)
Disponiendo en las secciones 2 y 3 la instrumentación adecuada: un vacuómetro
y un manómetro respectivamente, se podrán conocer las presiones relativas en ellas.
Puesto que el primer miembro de la ecuación 3.2.37 representa la carga neta
comunicada al agua"(A/y) n c ( Q " , resulta que su valor puede deducirse mediante la
suma de los valores absolutos de las lecturas " L M" y" L v" en los manómetros colo
cados a la entrada y a la salida de la bomba, es decir:
( A / Y ) n e , D = - ^ — ^ (3.2.38)
138
32.43. Bernoulli entre las secciones 1 y 4 (Fig. 32.7)
Un dato esencial en el diseño de una instalación de bombeo como la que aquí
se está estudiando es el de la potencia teórica que ha de tener la bomba (ec. 3.2.19).
Para ello conviene relacionar la carga teórica de la bomba "(AH)B" con la geometría
de la instalación, es decir, con la longitud de la tubería y altura geométrica, parti
cularmente. Dicha relación se obtiene al aplicar el teorema de Bernoulli generalizado
entre las secciones 1 y 4, es decir:
fii + ( A / / ) , - B 4 + ( A / / ) 1 - 4 (3.2.39)
Teniendo en cuenta que en la sección 4 también puede considerarse nula la
altura cinética y que si se trabaja en presiones manométricas, la altura de presión es
también nula, resulta que el valor del trinomio de Bernoulli en dicha sección es:
B4-hg (3.2.40)
donde" h „ " -diferencia entre la cota topográfica de las superficies Ubres del agua en
el depósito y en el pozo (Fig. 3.2.7)- se suele denominar altura geométrica de la
elevación.
El factor que representa la pérdida de carga en la ecuación 3.2.39," (A H) i _ 4 "
tiene la siguiente estructura:
( A / / ) l - 4 - ( A / / ) W 2 + ( A W ) 2 J 3 + ; i f , - + / í ' ^ + ^ (3.2.41)
en la que el valor de ~ ( A / / ) , _ Z " se deduce de la ecuación 3.2.29; " ( A t f ) a _ 3 "
representa las pérdidas en la bomba;" i í ¡ " es la pérdida de carga en la tubería que
va desde la bomba al depósito (Fig. 3.2.7), a la que se suele, denominar tubería de
impulsión; " K'v2/2g~ representa la suma de las pérdidas localizadas de carga
habidas entre la bomba y el depósito y "vz/2g" es la pérdida correspondiente a la
entrada de la tubería en el depósito (ver tabla 3.2.6). A l escribir la ecuación 3.2.41
se ha supuesto implícitamente que las tuberías de impulsión y de aspiración son del
139
mismo material y tienen el mismo diámetro, ya que en caso contrario no se podría
haber utilizado la notación que en dicha ecuación representa la pérdida unitaria de
carga y la velocidad media en la tubería de impulsión.
Sustituyendo 3.2.40 y 3.2.41 en 3.2.39 y despejando de la expresión resultante
(AH~) B, se obtiene:
2 2 2
(&H),-hg + tl„ + ff^ + ( ¿ / / ) a H 3 + ¿<( + / í ' Í - + i L (3.2.42)
y agrupando términos semejantes,
C A / V ) s - / i B + í ( ¿ n + ¿ i ) + ( A H ) a , 3 + ^ ( l + K + (3.2.43)
La ecuación 3.2.43 muestra que la energía que ha de comunicar la bomba al
agua, y por consiguiente, la potencia teórica de aquélla es superior a la que se necesita
para salvar el desnivel topográfico entre las superficies libres del agua.
140
3-Tema. Dinámica de Fluidos.
3-Lección .Régimen laminar y turbulento. Fórmula de Poiseuille. Fórmula
de Darcy-Weisbach. Ley de Stokes.
33.1. REGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO
A escala microscópica, el
movimiento de un fluido puede cla
sificarse en régimen laminar o régi
men turbulento. El que aparezca uno
u otro de estos regímenes depende de
Fig. 3. a 1. A p a r a t o de R e y n o l d s . i a c o m p a r a c i ó n entre las fuerzasde
inercia y las fuerzas viscosas: si predominan las primeras el régimen será turbulento,
si por el contrario, son las fuerzas viscosas las que prevalecen, el régimen será laminar.
Cada uno de estos regímenes puede ser estudiado mediante el aparato diseñado
por Osborne Reynolds que esquemáticamente se muestra en la figura 3.3.1. Dicho
apartado está constituido por un depósito de agua que alimenta un tubo de cristal
de diámetro " D ", abocinado en un extremo y con una válvula de control en el otro.
En el abocinamiento hay una boquilla que comunica, mediante un tubo delgado, con
un pequeño depósito que contiene un colorante (anilina o permanganato potásico,
generalmente). Al abrir ligeramente la válvula, se establece el flujo de agua en el
tuboy se observa que el colorante sale en forma de un filamento líquido prácticamente
rectilíneo, hasta el punto de parecer que no hay movimiento (Fig 3.3.2-a).
141
Este movimiento ordenado, en el que
a) las partículas siguen trayectorias
paralelas entre sí, se denomina
movimiento en régimen laminar. Al
c) abrir un poco más la válvula, se
b)
Fig- 3. 3. 2. Evolución del filamento o b s e r v a 1 u e a r r i b a * Í u n t 0 a
coloreado para números crecientes de e i i a > aparecen remolinos y turbulen-Reinolds.
cias que colorean el agua enesazona.
Si se continúa aumentando la apertura de la válvula de control, los remolinos se
propagan aguas arriba de la corriente, difundiéndose simultáneamente en ella el
colorante. La difusión del colorante demuestra que ha desaparecido el movimiento
ordenado que caracterizaba al régimen laminar y que ha sido sustituido por otro, en
el que cada partícula se mueve aleatoriamente en la masa fluida, en lo que se
denomina movimiento en régimen turbulento.
Reynolds observó que la aparición de uno u otro régimen podía correlacionarse
con un parámetro adimensional que comparara las fuerzas de inercia con las fuerzas
viscosas. La introducción de las fuerzas de inercia en el estudio de los regímenes
laminar y turbulento tiene su justificación en que el análisis que se hace de ambos lo
efectúa un observador ligado a la Tierray por consiguiente, el sistema de referencia
no es ¡neiáa]. Es en tales casos cuando se hace necesario introducir la fuerza cen
trífuga y la fuerza de Coriolis denominadas, genéricamente, fuerzas de inercia. La
expresión general de estas fuerzas se deduce de la segunda ley de Newton:
R = ma (3.3.1)
enla que" R " es la resultante de las fuerzas exteriores y" a " es la aceleración absoluta
o aceleración respecto a un sistema de referencia inercial. Cuando la aceleración se
calcula respecto a un sistema no inercial, como es el ligado a la Tierra, que tiene
142
movimiento de traslación y de rotación, la aceleración absoluta tiene como expresión
general:
a-a^* aUI *aCor (3.3.2)
siendo " a t c l " la aceleración relativa, es decir, la que mediría el investigador que
estuviera realizando el estudio de movimiento del fluido; "aa!r "es la aceleración de
arrastre o aceleración que adquiriría un cuerpo si estuviera rígidamente unido al
sistema no inercial esto es, en el caso que se analiza, si estuviera unido a la Tierra y
" a cor " o aceleración de Coriolis, que es la aceleración que resulta del movimiento
de rotación del sistema no inercial y de la velocidad relativa del movimiento que se
estudia.
Al sustituir 3.3.2 en 3.3.1 resulta:
R-ma^ + ma^ + ma^ (3.3.3)
y pasando al primer miembro los dos últimos sumandos que aparecen en el segundo,
R ~ m a „ r - mac„ = m a n l (3.3.4)
La ecuación 3.3.4 expresa que el estudio del movimiento desde un sistema no
inercia! ha de incorporar las fuerzas que se derivan de la aceleración de arrastre y
de la aceleración de Coriolis, es decir, además de las fuerzas exteriores cuya suma
es " R ", es preciso tener en cuenta:
(3.3.5)
denominadas fuerza de inercia de arrastre y fuerza de inercia de Coriolis, respecti
vamente.
Si en la expresión general de las fuerzas de inercia se sustituye la masa en
función de la densidad" p" se obtiene:
F,'pVol-a (3.3.6)
143
de donde resulta que la expresión general de las fuerzas de inercia es también:
F,-pLzva (3.3.7)
siendo" L" una dimensión lineal y " v"la velocidad.
La ley de Newton de la viscosidad (ec. 3.2.1) se puede escribir en la forma
siguiente:
^ - u £ (3.3.8)
de donde se deduce que las fuerzas viscosas " F „" son proporcionales al coeficiente
de viscosidad absoluta " u ", a la velocidad " v " y a una dimensión lineal" L", es decir:
F , = uu£ (3.3.9)
A l dividir la expresión general de las fuerzas de inercia (ec. 3.3.7) entre la que
corresponde a las fuerzas viscosas (ec. 3.3.9) se obtiene:
F^=PJ±£ = PVL
que muestra que el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas depende
de una dimensión lineal" L"; de la velocidad " v "; de la densidad" p " y de la viscosidad
dinámica " u,". Dicho cociente es un número adimensional que se denomina número
de Reynolds, " Re " siendo por tanto su expresión general:
Re=P-^ (3.3.11)
M '
que para el movimiento de un líquido en una tubería de diámetro " D " queda en la
forma:
R e ^ (3.3.12)
A l estudiar mediante el aparato representado en la figura 3.3.1 los regímenes
de corriente, Reynolds encontró que cuando el valor de "Re" (ec. 3.3.12) era menor
o igual que 2000, el movimiento era siempre laminar, ya que en tales condiciones, la
144
viscosidad amortiguaba rápidamente la turbulencia causada por cualquier pertur
bación que pudiera sufrir la corriente. Esta situación no se daba si el número de
Reynolds era superior a 2000. En efecto, aunque es posible obtener un régimen
laminar con * Re > 2000" -Reynolds lo logró para "Se - 12000 "y posteriormente,
y en condiciones de ensayo muy controladas, se ha logrado incluso con" Re = 40000 "¬
sucede que, en tales condiciones, el régimen laminar es muy sensible a las pertur
baciones -tanto más cuanto mayor sea el número de Reynolds- y por consiguiente,
cuando éstas aparecen, el movimiento se hace turbulento. Así pues, y por convenio,
se considerará laminar un movimiento con número de Reynolds inferior o igual a
2000 y turbulento, en caso contrario.
Para cada caso, es decir, dados un diámetro de tubería " D " y un líquido de
viscosidad cinemática " V , existe una velocidad crítica que es la que se deduce de la
ecuación 3.3.12 cuando el número de Reynolds es precisamente 2000. En la mayoría
de los casos, la velocidad de circulación del agua en las tuberías a presión es superior
a la crítica, por lo que de acuerdo con lo anterior, el movimiento es turbulento.
El valor del número de Reynolds constituye en la práctica, el criterio para
clasificar un movimiento en régimen laminar o turbulento. Sin embargo, estos regí
menes también se diferencian en otros aspectos. Así, y en lo que concierne a la
descripción del movimiento, se puede
suponer que en el régimen laminar éste
tiene lugar en la forma que sugiere la
figura 3.3.3-a), en la que la masa fluida
se desplaza telescópicamente; desli-
- ~ S ¿ . - J ^ zando unas superficies cilindricas con-
wiuutKKtuiiujitiJ céntricas sobre otras, correspondiendo
F i g . 3 . 3 . 3 . Representación del un desplazamiento nulo a la superficie movimiento a) régimen laminar b) régimen turbulento.
cilindrica en contacto con el tubo, ya
que se adhiere a éste por la viscosidad.
145
y el desplazamiento máximo a las partículas situadas en la superficie cilindrica
coincidente con el eje de la tubería. En el régimen turbulento, las partículas se
desplazan aleatoriamente en la tubería, describiendo trayectorias como las que se
representan, para un mismo intervalo de tiempo, en la figura 3.3.3-b).
La situación descrita anteriormente se refleja en la distribución de velocidades
que corresponde a uno y otro régimen. Así, mientras el movimiento telescópico
que caracteriza al régimen laminar,
corresponde, como se demostrará en el
apartado siguiente, a una distribución
parabólica de velocidades (Fig. 3.3.4-a),
en el movimiento turbulento, el registro
de velocidad en un instante cualquiera
presenta la variabilidad que muestra la
figura 3.3.4.-b), y es sólo cuando se
Fig . 3.3.4. Distribución de velocidad r e p r e s e n t a ¡ a v e l o d d a d m e d i a e n cada a j rég imen l a m i n a n b)régimen turbulento. punto en un cierto intervalo de tiempo,
cuando se logra que una curva logarít
mica represente la distribución de velocidad.
La descripción de un movimiento turbulento sólo puede hacerse si se recurre a
la consideración de los valores medios temporales de algunas variables y aún así, a
veces se hace necesario introducir parámetros correctores. Esto es lo que sucede con
la resistencia al esfuerzo cortante de un fluido en régimen turbulento. En efecto, la
ley de Newton de la viscosidad (ec. 3.2.1) sólo es válida para el movimiento laminar,
sin embargo puede utilizarse una expresión similar a ella para el régimen turbulento
si se considera el valor medio de la velocidad " v" y del esfuerzo cortante" %" en el
tiempo, es decir:
T = ( U + T | ) ^ (3 .3 .13)
en la que" u" es el coeficiente de viscosidad absoluta y" n" es la denominada visco-
146
sidad de remolino.
Por último, se demostrará en el apartado siguiente que en el régimen laminar
la pérdida unitaria de carga " i" es proporcional a la primera potencia de la velocidad,
mientras que en el régimen turbulento lo es a una potencia de la velocidad de
exponente comprendido entre 1,7 y 2.
33.1.1. Capa límite
Si se observa detenidamente la distribución de velocidad que corresponde al
régimen turbulento (Fig. 3.3.4-b), se aprecia que salvo en la zona del fluido próxima
a los contornos, en la que se registra una fuerte variación de la velocidad, en el resto
del fluido el gradiente de velocidad es muy pequeño. Este es un hecho de gran
importancia en fluidos poco viscosos como el agua, ya que de la ecuación 33.13 se
deduce que allí donde el gradiente de velocidad sea pequeño, apenas habrá resistencia
a los esfuerzos cortantes y por consiguiente, los efectos de la viscosidad sólo serán
importantes en una zona próxima a los contornos, esta zona es la denominada "capa
límite". Es en la capa límite por tanto, donde se localizan fundamentalmente las
fuerzas viscosas que originan la pérdida unitaria de carga que, dada la situación de
proximidad de la capa límite a los contornos, se denomina también resistencia de
superficie.
La viscosidad es también en última instancia, la causa de las pérdidas localizadas
de carga, ya que éstas tienen su origen en el desprendimiento de la capa límite y ésta,
como se acaba de señalar, se debe a la viscosidad. Sin embargo, la causa más inmediata
de las pérdidas localizadas obedece a que cuando la geometría de los contornos
provoca el desprendimiento de la capa límite, se desarrolla un gradiente adverso de
presiones que es el verdadero responsable de la pérdida de carga. Es justamente para
147
minimizar las pérdidas localizadas por lo que se trata de evitar el desprendimiento
de la capa límite, recurriendo al empleo de formas suaves -hidrodinámicas y
aerodinámicas- en el diseño de estructuras y piezas especiales.
332 . FORMULA DE POISEUILLE
Se trata de estudiar el movimiento de un fluido real en régimen permanente en
el interior de una tubería horizontal de diámetro " 2 r 0 " . Para ello se aplicará la
segunda ley de Newton a un elemento cilindrico de fluido de radio " r " y altura " i "
(Fig. 33.5).
Fig. 3 . 3 . 5 . -Elemento c i l indr ico.
I 1
L - J
F ig . 3 . 3 . 6 . Sistema de fuerzas en la dirección del movimiento.
El sistema de fuerzas con componente
en la dirección del movimiento es el que
se muestra en la figura 3.3.6 en el que
" P i "y" P 2 "represen tan la presión que
actúa sobre el elemento aguas arriba y
aguas abajo respectivamente;" A " es la
superficie de la base del cilindro ele
mental; " x" es la tensión tangencial o
esfuerzo cortante derivado de la
viscosidady" A L" es la superficie lateral
del elemento.
La proyección de la 2 a ley de Newton en la dirección del movimiento da lugar
a la ecuación:
148
Rs = ma, (3.3.14)
y teniendo en cuenta que la aceleración es nula por ser un movimiento permanente,
la ecuación 3.3.14 es, realmente, una ecuación para imponer el equilibrio de fuerzas
del elemento considerado (Fig. 3.3.6), es decir,
P i A - pzA- TAt - 0 (3.3.15)
sustituyendo las áreas por su valor en función de la geometría del elemento, resulta:
( p , - p 2 ) n r z - T 2 n r ¿ •= O (3.3.16)
de la que se deduce la ley de variación de la tensión tangencial,
2.L (3.3.17)
r
+
Z y
Fig. 3. 3. 7 Distr bución
1 2 r .
- i
tensiones tangenciales.
cuya representación puede verse en
la Figura 3.3.7.
Si el régimen es laminar, la
relación entre las tensiones tangen
ciales y el gradiente de velocidades
viene dada por la ley de Newton de
la viscosidad:
dv x = | i _ ( 3 .3 .18 |
ecuación en la que la variable " y " se mide desde el contorno fijo (Fig. 3.2.1). Para
expresar la ecuación 3.3.18 en función de " r " es preciso relacionar ambas variables
resultando (Fig. 3.3.7):
y + r = r 0 (3.3.19)
diferenciando esta ecuación se obtiene:
dy = -dr (3.3.20)
y sustituyendo 3.3.20 en 3.3.18 resulta, finalmente:
149
T = ~ U ^ (3.3.21)dr
De las ecuaciones 3.3.17 y 3.3.21 se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
P l p2rdr = -dv (3.3.22)2 u ¿
que integrada con los límites que se señalan,
f Pi-Pz rdr= [* -dv (3.3.23)Jr.r, 2 u £
proporciona la distribución de velocidades para un fluido real en movimiento per
manente y régimen laminar:
La representación gráfica
de esta distribución se muestra
W C n ' a ^ ^ u r a ^"*'í*" v e ' o c ' d a d
máxima se alcanza en el eje de
la tubería y su valor es: Fig . 3 .3 .6 . Distribución de velocidades en régimen laminan vmax, = P^ P''lr% (3.3.25)
La velocidad media de la distribución se obtiene mediante la ecuación 2.1.16: i
¡dS ü = (3.3.26)
dS
en la que "dS" se tomará, para este caso, igual al área de una corona circular de
radio" r" (Fig. 3.3.8), es decir:
dS = 2 n r d r (3.3.27)
Sustituyendo 3.3.24 y 3.3.27 en 3.3.26 e integrando, se obtiene la velocidad media
"v"cuyo valor es:
- k
150
que es igual a la mitad de la velocidad máxima. Despejando de esta última ecuación
la diferencia de presiones se obtiene la ecuación de Poiseuille:
P , - p 2 = ̂ (3 .3 .29)r o
en la que " u " representa la velocidad media de la distribución.
Si se aplica entre las secciones 1 y 2 el teorema de Bernoulli generalizado resulta:
fi, = e 2 + ( A t f ) 1 _ 2 (3 .3 .30 )
y desarrollando cada uno de los trinomios de Bernoulli,
P i e? Pi e l Z i + Z±+-L-Z + ?^.+ _ ± + l & H ) (3 .3 .31)
Y 2c/ Y 2o-
teniendo en cuenta que la tubería es horizontal y de sección constante, se obtiene:
P - ^ ^ - ( A / / ) w z (3 .3 .32)
Sustituyendo 3.3.29 en3.3.32 se deduce el valor d e " ( A / / ) , ^ 2 ~ , pérdida de carga
por resistencia de superficie entre las secciones 1 y 2, es decir:
( A t í J u j - ^ T (3 .3 .33 )Yío
Si se divide la pérdida " ( A W ) N ! " entre la separación horizontal" L" entre las
secciones consideradas se obtiene la pérdida de carga por unidad de longitud " i " o
pérdida unitaria:
(¿tí)N!
i = - (3 .3 .34 )
Teniendo en cuenta 3.3.33 y haciendo intervenir el diámetro de la tubería
mediante la variable " D ", la ecuación 3.3.34 queda en la forma:
32 u i %v (3 .3 .35 )
YÜ
* 151
y buscando la expresión del número de Reynolds entre las variables de 3.3.35, esta
ecuación puede ser escrita también de la siguiente manera:
, 64 v2
1 " TT~z—r (3.3.36)
que constituye la expresión de la pérdida unitaria de carga en régimen laminar.
3.3.3. FORMULA DE DARCY-WEISBACH
La ecuación 3.3.36 no es sino la particularización al régimen laminar de la
expresión general de las pérdidas de carga, que viene dada por la fórmula de
Darcy-Weisbach:
imik í33-37)
en la que " / " es el coeficiente de fricción," v " es la velocidad media en la tubería de
diámetro " D ~ y " g " es la aceleración de gravedad.
Al comparar las ecuaciones 3.3.37 y 3.3.36 se obtiene el valor del coeficiente de
fricción en régimen laminar:
64
/ = — (3.3.38)
de donde se deduce que sólo depende del número de Reynolds.
Sin embargo, en el movimiento turbulento, el coeficiente de fricción depende del
número de Reynolds y de lo que se denomina rugosidad relativa " K/ D", término en
el que " K" representa el tamaño medio de las irregularidades geométricas o rugo
sidad absoluta de la superficie interior de la tubería y" D" el diámetro interior
152
de ésta (Fig. 3.3.9). La rugosidad absoluta
tiene dimensiones lineales y sólo puede
medirse con aparatos especiales, dado el
valor que suele tomar: 0,025 mm en
Fig- 3 .3 .9 . Rugosidad absoluta. tuberías de fíbrocemento y polietileno.
En resumen, en el régimen laminar el coeficiente de fricción sólo depende del
número de Reynolds, es decir
/ - / ( * « ) (3.3.39)
mientras que en el régimen turbulento dicho coeficiente también depende de la
rugosidad relativa:
/ - / ( § . . * • ) (3.3.40)
Para el cálculo del coeficiente de fricción en régimen turbulento, lo que
constituye el caso más frecuente en las aplicaciones, se utiliza la fórmula de
Prandtl-Colebrook:
1 / K/D 2 , 5 1 A
7r~ 2 l o g 'W*W7J • < 3' 3' 4 1 )
de la que, como puede verse, no es posible despejar el valor del coeficiente de fricción.
Sin embargo, el comportamiento matemático de la ecuación 3.3.41 es tal que,
mediante un cálculo constituido por cuatro o cinco iteraciones se llega a un valor de
" / " suficientemente aproximado. Supuesto conocido el caudal y las características
físicas del agua( p. u.) y geométricas de la tubería (K , Z>) se supone un valor positivo
cualquiera para el coeficiente de fricción (f\); sustituyendo éste en el segundo
miembro de la ecuación 3.3.41 quedará:
1' (K/D 2 , 5 1 A
7 r ~ 2 1 o a ' ° l ^ W 7 l J ( 3 ' 3 ' 4 2 )
ecuación de la que se puede deducir otro valor del coeficiente de fricción ( / ] ) . Este
se toma como valor de entrada en la segunda iteración, es decir:
153
(3.3,43)
y por consiguiente, ( / 2 ) se sustituye en el segundo miembro de 3.3.41, resultando la
ecuación:
que una vez resuelta, proporciona ( / 2 \ el cual se toma como valor de entrada en la
tercera iteración y así sucesivamente, hasta que la diferencia entre los valores de
entrada y salida del coeficiente de fricción en una iteración sea inferior al error con
el que se desea obtener dicho coeficiente. Generalmente tres o cuatro iteraciones
son suficientes para conseguir la coincidencia de tres cifras decimales en los valores
de entrada y salida, lo que constituye una precisión muy aceptable.
33.4. LEY DE STORES
Se trata ahora de estudiar el movimiento de un cuerpo sólido en un fluido en
reposo, cuya viscosidad absoluta y densidad son "u." y "p", respectivamente. La
clasificación de este movimiento a escala microscópica también se hace mediante
el número de Reynolds cuya expresión general viene dada por la ecuación 3.3.11.
Entre los muchos movimientos que se podrían analizar tiene especial interés,
por las numerosas aplicaciones que encuentra, el de una esfera de radio " R". Para
este movimiento, el número de Reynolds se define de la siguiente forma:
siendo " p " y " u," la densidad y viscosidad del fluido y"v" la velocidad de la esfera
de radio " R". Aunque este número de Reynolds depende de la velocidad del cuerpo
y no de la del fluido, debe advertirse que desde un punto de vista formal, la ecuación
33.45 coincide con la 3.3.12 ya que la velocidad que aparece en ambas expresiones
(3.3.44)
Re-pVR
(3.3.45)
154
puede ser considerada como velocidad relativa del movimiento y en este sentido,
tanto da que la esfera se mueva respecto al fluido -que es el caso que aquí se considera-
corno que fuera el fluido el que se moviera respecto a la esfera.
Pues bien, cuando una esfera se mueve respecto a un ñuido se observa
experimental mente que si se cumple la condición:
^ < 1 (3.3.46)
esto es, que si el número de Reynolds es inferior a uno, entonces el fluido ejerce una
fuerza resistiva proporcional a la velocidad:
F = Kv (3.3.47)
En tales condiciones el movimiento es laminar, mientras que si el número de
Reynolds de este movimiento fuera mayor o igual que uno, el movimiento sería
turbulento y la expresión general de la fuerza resistiva que actúa sobre la esfera
pasaría a ser:
F-Kv* (3.3.48)
Para el caso de régimen laminar, Stokes (1845) obtuvo la expresión de la fuerza
resistiva que ejerce un fluido en reposo sobre una esfera que se mueve con velocidad
F = 6nvRn (3.3.49)
Conocida esta fuerza, se puede plantear la ecuación del movimiento de la esfera
en el fluido, para lo cual se aplicará la 2 a ley de Newton con los diagramas de fuerzas
155
y aceleraciones correspondientes al movimiento de la esfera (Fig. 3.3.10):
~R = ma (3.3.50)
W-FSI-E = ma (3.3.51)
siendo "W el peso de la esfera; ~ F s , " la
fuerza resistiva de Stokes;" E" el empuje de
Arquímedes;" m " la masa de la esfera y " a "
la aceleración de ésta. Expresando estas
magnitudes en función de variables relacio
nadas con el problema se llega a la ecuación:
O w
o
Fig. 3 3.10. Diagrama de fuerzas y de aceleraciones para el movimiento de una esfera en un fluido en reposo.
m dvmg-6nvR[í p .g = m— (3.3.52)
p ' dt
en la que " m" es la masa de la esfera; ~ p " su densidad y " p /" la densidad del fluido.
La ecuación 33.52 es una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede ser
integrada directamente, para lo cual se utilizará la siguiente notación:
- 7
ónffp ónflu. órttfu. 9 u
(3.3.53)
m
Teniendo encuenta lo anterior, la ecuación diferencial del movimiento queda en la
forma:
, dva-bv = —dt (3.3.54)
La integración de esta ecuación se plantea con las siguientes condiciones de
contomo:
dv d i
to que conduce a la solución:
v-oa-bv (3.3.55)
(3.3.56)
156
de la que despejando la velocidad "v" resulta:
- 2 ( 1 - . - ) (3.3.57)
Fig. 3.3.11. Representacio'n
de • • d - e 6 * )
La gráfica de la ecuación 3.3.57
(Fig.33.11) muestra que la velocidad
tiende asintóticamente a una velocidad
constante ~vs", lo que significa que al
cabo de un cierto tiempo el movimiento
se hace uniforme con velocidad
"vs-a/b" cuyo valor se obtiene
sustituyendo los valores de los
parámetros "a" y "b" (ees. 3.3.53), es
decir:
2 * 2 y - ( p - p / ) V c . = - — (3.3.58)
' 9 _ (i
La velocidad ~vs~ puede obtenerse también de la siguiente forma: la gráfica
de la figura 3.3.11 muestra que al comenzar el movimiento, la esfera incrementa
progresivamente su velocidad -como corresponde al movimiento acelerado que
adquiere- y por consiguiente, también aumenta la fuerza resistiva de Stokes. En el
crecimiento de la fuerza resistiva llega un momento en que ésta se iguala a la fuerza
neta constante de sentido contrario es decir, a la diferencia entre el peso y el empuje.
Cuando ésto ocurre, es de aplicación la I a ley de Newtony en consecuencia, al anularse
la resultante sobre la esfera, el movimiento que era acelerado, pasa a ser un
movimiento uniforme. Teniendo en cuenta lo anterior, la condición de resultante
nula, permite deducir la velocidad a la que tal cosa sucede, es decir:
~nR3pg-^nR2pfg~6nR\iv (3.3.59)
de la que se obtiene, despejando " v ", el valor de " v s" dado por la ecuación 3.3.58.
157
3J.4.1. Aplicaciones
La ecuación 3.3.58 es el fundamento teórico del viscosímetro de bola, en el que
una esfera de densidad y radio conocidos se deja caer enun líquido viscoso de densidad
"P/~, con lo que midiendo la velocidad en la fase uniforme del movimiento puede
obtenerse la viscosidad del líquido.
La ecuación 3.3.58 también es de aplicación en el estudio del movimiento de
las partículas de polvo en la atmósfera o de las gotas de lluvia, etc.
En otras situaciones, la ecuación 3.3.58 puede ser utilizada para determinar el
radio de partículas muy pequeñas que, por ello, no puede ser medido directamente.
Un empleo de este tipo, condujo a la obtención de la carga eléctrica de un electrón,
al poderse determinar el radio de una gotita de aceite cargada eléctricamente por
rozamiento, que Millikan consiguió mantener en equilibrio estático mediante la
creación de un campo eléctrico opuesto al sentido de la diferencia entre el peso y el
empuje de dicha gota en el aire.
La determinación del radio de la gota de
aceite permitió conocer su volumen " V " (Fig.
3.3.12) y con él y aplicando la condición de
equilibrio entre las fuerzas representadas en
la figura 3.3.12, determinar la carga eléctrica
Fig, 3. 3. 12. Experimento de "Q" de la gotita de aceite que resultó ser
M i II ¡kan. siempre múltiplo de " e ", carga del electrón.
Ya se comentó (Aptdo.1.3.3) que el análisis por sedimentación de un suelo se
basa en la aplicación de la ley de Stokes, y cómo, a partir de ella se pueden obtener
puntos suficientes para representar la curva granulométrica. A veces sin embargo, la
velocidad de sedimentación natural (ec. 3.3.58) conduce a tiempos de espera muy
grandes que dificultan considerablemente la realización de ciertos análisis, como son
+ + + + + • * + + + + +
0 I mg-Vp a
158
los que se hacen por ejemplo, sobre los fluidos humanos. En tales casos se recurre a
la centrifugación o a la ultracentrifugación mediante la cual se crea un campo
gravitatorio ficticio en el que la aceleración de la gravedad viene dada por " t o 2 r "
siendo " OJ " la velocidad de rotación del aparato y " r " la distancia de la partícula
que sedimenta al eje de rotación. La velocidad de la sedimentación en el proceso de
centrifugación viene determinada también por la ley de Stokes ya que dicha fuerza
sigue actuando aunque el campo gravitatorio haya sido aumentado artificialmente.
EJERCICIO N° 1
161
Una marisma de agua dulce desagua en
el océano a través de una compuerta
automática de mareas que tiene 2m de ancho
y l,5m de alta La compuerta está sujeta por
goznes situados en su borde superior en A y
se apoya en un umbral en B. En un momento
dado, el nivel de agua en la marisma es de
3 m y en el océano de 4,5 m. Hallar la fuerza
ejercida por el umbral sobre la compuerta en B y la reaccción de los goznes en A.
(Peso específico del agua salada I 030kg/m3).
Comentarios a la resolución
El efecto que produce el umbral sobre la compuerta es el de una distribución
uniforme de fuerzas perpendiculares al plano de la compuerta. Dicha distribución puede
ser sustituida por su fuerza mecánicamente equivalente (Ru).
La acción de los goznes sobre la compuerta sería, en general, una distribución
uniforme de fuerzas oblicuas respecto al plano de la compuerta. Dicha distribución puede
ser sustituida por dos: una formada por fuerzas normales a la compuerta y otra por
fuerzas paralelas a ésta. Ahora bien, dado que el ejercicio no proporciona datos suficientes
para calcular el peso de la compuerta, no hay que considerar fuerzas exteriores activas
paralelas a ella y por consiguiente tampoco puede haber fuerzas exteriores reactivas en
esa dirección. Resulta, por tanto, que la acción de los goznes sobre la compuerta sólo
162
está constituida por la distribución uniforme de fuerzas normales y consecuentemente,
esta distribución puede ser reemplazada por su fuerza mecánicamente equivalente (Rg).
Las fuerzas exteriores activas están constituidas por dos distribuciones espaciales
de fuerzas paralelas, correspondiente cada una de ellas a la acción del agua situada a
uno y otro lado de la compuerta. Estas distribuciones espaciales pueden ser sustituidas
por sendas distribuciones planas siempre que la sustitución tenga lugar en el plano de
simetría perpendicular al plano de la compuerta. Si se procede como se acaba de decir,
cada distribución espacial puede sustituirse por una distribución trapecial de fuerzas
paralelas que es mecánicamente equivalente a la distribución espacial, ya que se pasa
de una a otra sustituyendo cada una de las infinitas distribuciones uniformes planas en
las que se puede descomponer la distribución espacial, por sus respectivas fuerzas
mecánicamente equivalentes. Por último, cada una de las distribuciones trapeciales,
puede ser sustituida por su fuerza mecánicamente equivalente (E, y £" 2)
163
Para reemplazar una distribución plana de fuerzas paralelas por su fuerza
mecánicamente equivalente, ésta ha de cumplir las siguientes condiciones:
Ia Su módulo ha de ser igual al área de la distribución.
2a Su dirección y sentido lian de ser coincidentes con los de las fuerzas que
constituyen ¡a distribución.
3a Su recta de aplicación debe pasar por el centro de gravedad del área de
la distribución.
La determinación del centro de gravedad del área trapecial puede hacerse des
componiendo este área en suma de un área rectangular y un área triangular y aplicando
la fórmula:
- Y.x>A> x = -^
LA'
El sistema de fuerzas que actúa sobre la compuerta puede, de acuerdo con lo
anterior, ser reducido a un sistema mecánicamente equivalente formado por dos fuerzas
exteriores reactivas ' í „ " y" Re~ desconocidas y dos fuerzas exteriores activas ' Et~y
•Ez".
La condición para determinar las fuerzas desconocidas es que el sistema esté en
equilibrio, para lo cual ha de cumplirse:
164
Resolución del ejercicio
A 1 I A 2
Figura z, At Z( A,
Rectángulo L/2 aL aL2/2
Triángulo L/3 ( ¿ / 2 ) ( b - a ) (b~a)L2/6
(a-b)L/2 ( 2 a + ó ) ¿ ? / 6
A, 3 Q + 6
F A • V a s -hyZm - 1 0 3 0 ^ - 3m- 2m = 6 1 8 0 ^
^ í = Y a s -hB-2m= 1 0 3 0 ^ - 4 , 5 m - 2 m - 9 2 7 0 ^ m m
F' A = \ a d • h„-2m= \000^- 1 . 5m • 2m = 3 0 0 0 ^ m m
f ' ^ Y a i -hB-2m= 1 0 0 0 ^ - 3 í n - 2 m = 6 0 0 0 ^
F i + F a ( 6 1 8 0 ^ + 9 2 7 0 ^ )— ¡ 1 . 5 m = l - — • 1 . 5 m - 1 1587,SA:o;/
¿. 2
1 > 2 . y f , 1 . 5 m ( 2 - 6 1 8 0 f f + 9 2 7 0 a í )
3 FA* FB - 3 6 i 8 0 ^ + 9 2 7 0 ^ = ' ™
2 l l 5 m ^ 5 : I L ^ ' 1.5m-67S0fcff/
1 .5m. 2 - f ^ f # _ l , 5 m ( 2 - 3 0 0 0 ^ * 6 0 0 0 ^ ) , 2 3 F'A-F'„ " 3 3 0 0 0 ^ + 6 0 0 0 ^ 3™
m m
; /? 0- l , 5 m + £ y 2 - 2 - F , Z , = 0
/? H • 1 . 5m + 1 1587 , 5 • 0 ,7 - 6750 • \ = 0
* = -2407,S/cg/ ; * =2407,5fcg /
£ > , = 0 R^El-R^E2
Ru+ 6750= - 2 4 0 7 , 5 + 11587,5
2430*g /
166
EJERCICIO N° 2
Encontrar para la compuerta AB de
2,50 m de longitud la fuerza de compresión
sobre la barra CD ejercida por la presión del
agua, sabiendo que B, C y D son puntos arti
culados.
Comentarios a la resolución
La compuerta AB ha de estar en equilibrio, por consiguiente se ha de verificar:
R-0 (1)
¡W*-0 (2)
El sistema de fuerzas que actúa sobre la compuerta está constituido por:
• El sistema de fuerzas derivado de la presión hidrostática.
- La reacción de la articulación.
- La reacción de la barra comprimida.
El sistema de fuerzas hidrostáticas está formado por una distribución espacial de
fuerzas paralelas que puede ser reducido -ver, a este respecto, el ejercicio na 1- a una
distribución mecánicamente equivalente de fuerzas paralelas situadas en el plano de
simetría de la compuerta. Se obtiene así una distribución trapecial de fuerzas que, a su
vez, puede ser reducida a sólo una fuerza mecánicamente equivalente.
167
Para obtener la fuerza mecánicamente equivalente se puede descomponer la dis
tribución trapecial de fuerzas en suma de una distribución rectangular y una distribución
triangular y reducir cada uno de estos subsistemas a su fuerza mecánicamente
equivalente.
i
Un sistema plano de fuerzas paralelas distribuidas es mecánicamente equivalente
a uno constituido por una fuerza de igual dirección y sentido que aquéllas; módulo igual
al área de la distribución y recta de aplicación pasando por el centro de gravedad de
dicho área.
El sistema de fuerzas hidrostáticas quedaría asi sustituido por un sistema
mecánicamente equivalente fonnado por dos fuerzas paralelas que, si se quisiera, aún
se podría reducir a una sola fuerza, aunque para imponer el equilibrio esto último no es
necesario. En efecto, por definición de sistemas de fuerzas mecánicamente equivalentes,
la compuerta estará en equilibrio si las dos fuerzas anteriores, la reacción de la articu-
lacióny la reacción de la barra comprimida constituyen un sistema nulo, es decir, cumplen
las condiciones (l)y (2).
Para obtener lo que pide el ejercicio, esto es, la fuerza en la barra comprimida,
basta con aplicar la segunda de las condiciones de equilibrio y hacerlo en el punto B,
es decir,
168 168
!' 2,7T.
3,5~ 0.9m ~ "'-
/ 0.6m 45•\ N -,/, CD
ro'
Xg IY9 Fig. 2.
FR= 1500kg· l.8m=2700Kg-2.7t m
l FT=2_(F 8 -F,.,)·AB
(5397. 11 - 1500);; · l, 8m FT= 2
F T = 3507' 40kg = 3 '5t
dT=~· AB=~· l ,8=0,6m
3' s. o' 6 + 2. 7 . o. 9 - N CD . cos 45. o' 9 = o
N CD= 7' l 2t
169
EJERCICIO N° 3
3 0 m
Con referencia a ia figura, ¿cuál es la
r - ^ r anchura mínima "b" de la base de la presa de
\ gravedad de una altura de 30 m al suponer que
la presión hidrostática ascensional en la base de
la presa varía uniformemente desde la altura de
presión total en el borde de aguas arriba hasta el
valor cero en el borde de aguas abajo y supo
niendo además un empuje " P ¡" debido a una
j , b ^ capa de hielode 18.600 kgf por metro de presa y
que actúa en la parte superior?. Para este estudio
se supondrá que las fuerzas resultantes de la reacción cortan a la base a un tercio del
borde aguas abajo y que el peso específico del material de la presa es 2 ,5 T/m3.
Comentarios a la resolución
El ancho mínimo requerido en la base de la presa será el necesario para que haya
equilibrio. •
El equilibrio de la presa se estudiará analizando el de una rebanada -porción de
presa limitada por dos secciones transversales próximas- de un metro de espesor.
El sistema de fuerzas que actúa sobre la rebanada está constituido por:
La distribución de fuerzas hidrostáticas horizontales sobre el paramento
vertical
El empuje de la capa de hielo.
170
La distribución de fuerzas hidrostáticas verticales sobre la base o fuerzas de
subpresión.
El peso.
La reacción del terreno.
Cada distribución de fuerzas hidrostáticas puede ser reemplazada por su fuerza
mecánicamente equivalente con la condición de que el módulo de dicha fuerza sea igual
al área de la distribución, su dirección y sentido coincidan con los de las fuerzas de la
distribución y su recta de aplicación pase por el centro de gravedad del área de dicha
distribución.
En lugar de calcular el centro de gravedad de la rebanada de sección trapecial y
situaren él el peso, puede resultar algo más rápido descomponer dicha sección en suma
de sección rectangular y triangular y trabajar con el peso de la parte de rebanada de
sección rectangular y de sección triangular, ya que ello tiene la ventaja de que se conoce
la posición de la recta de aplicación de estos dos pesos.
Para que ¡a rebanada esté en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre ella han de
verificar las condiciones:
R-0
M* = 0
Imponiendo el equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción vertical del
terreno, lo que permite elegir el extremo aguas arriba de la base para que se cumpla en
él la condición de equilibrio de momentos, condición de la cual se obtiene el valor del
ancho necesario en la base de la presa.
* b 1-
FA-ytlA-l* 1 0 0 0 r c c ? / m 3 - 3 0 m - 3 0 i / m
J 1 - / i í l = - 3 0 í / m - 3 0 m = 4S0í ; y £ = - h = - 3 0 m = 1 Om
6m- 30m- 1 m • 2, 5 ¡ / m 3 - 4S0f ; x , - 3 m ; y , - ISm
l / 2 " ^ C b - 6 ) ' 30m- l m - 2 . 5 f / m 3 = 3 7 . 5 ( b - 6 ) í
x 2 = 6 + - ( b - 6 ) ; y 2 = ^ 3 0 m = 1 0 m
Ry-0 ; S + V -*W i-W2-0 ; y - + W 2 - S
V - 4 5 0 + 3 7 . 5 ( 6 - 6 ) - 1 5 6 - 2 2 5 + 2 2 . 5 6
172
M * = 0
4 5 0 ' 10 + 13, ó ' 30 + 4 5 0 - 3 + 3 7 , 5 ( 6 - 6 ) b - 6 - 1 5 6 - ^ 6 - ( 2 2 5 + 2 2 , 5 6 ) ^ 6 = 0
4500 + 558+ 1350 + 7 5 0 - 9 0 0 + 12, 5b 2 - S o 2 - 1506- 15b z - 0
7 , 5 b 2 + 7 5 6 - 5 5 0 8 = 0
6 - 2 2 , 5 m
EJERCICIO N»4
173
Una compuerta circular vertical de radio "R"
está articulada en los extremos del diámetro DD',
h llamando " p " a la densidad del agua, determinar a)
la reacción en la articulación, b) el momento del par
necesario para mantener la compuerta cerrada.
Comentarios a la resolución
En la figura 1 se muestra el alzado y la sección diametral vertical del sistema de
fuerzas hidrostáticas que actúa sobre la compuerta circular.
En la figura 2 puede verse la perspectiva caballera de dicho sistema de fuerzas así
como la reacción que produce en la articulación D'. Dado que la distribución de fuerzas
hidrostáticas constituye un sistema de fuerzas paralelas, es posible encontrar la fuerza
mecámcamente equivalente a ellas. Teniendo en cuenta la simetría de la distribución
con respecto al plano YZ, dicha fuerza ha de estar situada en este plano, por tanto, para
determinarsu situación basta con calcular''y CP~,ordenada del centro de presiones (Fig.
3).
Para que la fuerza " F H" sea mecánicamente equivalente a ¡a distribución, ha de
producir sobre la compuerta la misma tendencia a la traslación y al giro que producía
dicha distribución. Para lo primero, es preciso que el módulo de" F H" sea igual al módulo
de la resultante de la distribución, es decir,
F H ~ J^gydA (1)
174
para lo segundo, esto es, para que la tendencia al giro de la compuerta sea la misma
bajo " F „ " que bajo la distribución, una y otra deberán producir el mismo momento
respecto al eje de giro (DD') o respecto a uno cualquiera paralelo a éste, como es la recta
intersección del plano de la compuerta con la superficie libre del agua (eje XX), así pues,
se debe cumplir:
FH-yCP = ¡(pgydAyj (2)
Tanto la ecuación (1) como la (2) pueden escribirse en función de magnitudes
relacionadas con el área "A" de la compuerta, ya que
J ydA-ycA (3)
jy*dA-Íxx (4)
donde "ye" es ¡a ordenada del centro de gravedad del área "A" e " I Xx " el momento de
inercia de dicho área respecto al eje XX.
Conocidas ~ F „" e ~ y cr~, el valor de la reacción en la articulación se obtiene del
equilibrio entre las fuerzas normales a la compuerta.
Para que la compuerta no se abra será necesario un momento de par " M" cuyo
módulo verifique la condición:
M>FH(yCP-h) (5)
Al imponer la condición (5) se obtiene Un resultado llamativo: el momento del par
no depende de la altura de agua sobre el centro de gravedad de la compuerta (h), sino
tan sólo del radio de ésta La explicación a este resultado sé deduce de la figura 4. Aunque
la distribución defuerzas de lafigura4-b corresponde aldiámetro déla compuerta situado
sobre el eje YY (Fig. 4-a), el razonamiento que sigue es válido para la distribución que
corresponde a cualquier cuerda paralela a dicho diámetro. En la figura 4-b es nulo el
175
momento respecto a O de la zona rectangular de la distribución, por lo que sólo ¡a
distribución triangular produce momento, el cual, evidentemente, sólo depende del radio
"R".
Resolución del ejercicio
Aptdo. a)
176
J (pgydA)y = pg J y2dA = p gfxx
f>9' xx I xxycp = pgycA ycA
l x x = lDD. + Ad-
¡DD-^!'X-X- '• / o " lx-x- + ¡Y-V '• 'x'x-"lrn
~ 2/ x-x- : I x-x- ~ ~^
/0= r2dA= r2- 2nrdr = Jo Jo • 1 DD- ~ 1 x-x- 2 0 4
TlR-
nR2(R2 + 4h2) R AyG 4 j t R2 h
k + — 4/i
Aptdo. b)
pghnR:
Rz=0 ; 2 Z - F „ = 0 ; Z=* -
Ley de fuerzas hidrostáticas en el eje de simetría
F i g 4.
M>FH{yc,-h)
f R2
M>pghnR2\h + — -h
R* M > pgn —
EJERCICIO N° 5
177
Una gabarra de forma paralelepipédica rectangular de dimensiones 6 m de
anchura, 18 m de longitud y 3 m de altura pesa 160.000 kg._Cuando flota en agua
salada(v = 1025fcg/m 3 )e l centro de gravedad de la gabarra cargada está a
1,35 m por debajo de su parte superior, a) Situar el centro de carena cuando flota
horizontalmente en agua tranquila, b) Situar el centro de carena cuando ha girado
10° alrededor del eje longitudinal, c) Determinar el metacentro para la inclinación
de 10°.
Comentarios a la resolución
Aptdo. a)
Cuando la gabarra flota en posición normal, esto es, con su eje de flotación per
pendicular al plano de flotación, el empuje de Arquímedes y elpeso son fuerzas colineales
aunque aplicadas en puntos distintos: el empuje, en el centro de carena Cy el peso, en
el centro de gravedad G.
La condición de flotabilidad es que el peso sea igual al empuje, obteniéndose de
esta igualdad el calado de ¡a gabarra del cual se deduce la posición del centro de carena.
Aptdo. b)
Al aproximar la sección transversal de la gabarra a un rectángulo resulta sencillo
representar su posición cuando se produce el giro de 10a. Dado que éste tiene lugar
alrededor del efe longitudinal de la gabarra, se deduce que el área sumergida de la sección
transversal ha de tener forma trapecial. El centro de carena es el centro de gravedad de
¡a sección trapecial situada en el plano de simetría transversal de la gabarra
178
Aptdo. c)
El metacentro M se obtiene como intersección de la recta soporte del empuje de
Arquímedes con el eje de flotación. Esta intersección aparece en detalle en la figura 5-b,
deduciéndose de ella la distancia existente entre el metacentro Mylaproyección ortogonal
D del centro de carena C sobre el eje de flotación. Conocida dicha distancia puede
acotarse la que existe entre el metacentro y la base de la gabarra, ya que se conoce la
posición del centro de carena.
Resolución del ejercicio
Aptdo. a)
|EJe de flotación. W = E
160Í = 1 .025
a) b]
F i g . 1.
F ig 2.
Aptdo. b)
x = 0 .53m
Fig. 3.
179
6m
0,91 m
1,97m
Fig. A.
~ — ~ "
Figura xt y i A, x, Ai y i Ai
Rectángulo 0,455 3 5,46 2,48 16,38
[Triángulo 1,26 2 3,18 4,00 6,36 |
8,64 [ 6,48 22,74
- X > M , 6 ,48 „ v c - Z y ^ i 22 .74 - 0 , 7 S m , y = r = = •-• • ••••• p 2 . 6 3 m x = 8 . 6 4
Aptdo. c)
8 , 6 4
eje o e f l o t a c i ó n ^ M
<bañ) / c b)
0,37 = — — - = 2 , 0 9 m
tg 10"
AM-AD+DM
AM'O, 75 + 2 ,09 = 2 , 8 4 m
180
EJERCICIO N° 6
Un cilindro hueco de 1 m de diámetro y 1,5 m de altura pesa 400 kg. a) ¿Cuántos
kilogramos de piorno de peso específico 1 1 , Zg/cm3 deben unirse al fondo por su
parte exterior para que el cilindro flote en agua, verticalmente, con 1 m del mismo
sumergido? b) ¿Cuántos kilogramos se necesitarán si se colocan en el interior del
cilindro?
Comentarios a la resolución
Las fuerzas que actúan sobre el cilindro son: el peso del cilindro, el del lastre de
plomoy el empuje de Arquímedes. La resultante de las dos primeras está dirigida hacia
abajo y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo compuestoy la segunda, ascendente,
está aplicada en el centro de carena o centro de gravedad del volumen sumergido.
Para que el cuerpo flote verticalmente el módulo del empuje y el de la resultante
de los pesos deben ser iguales y sus puntos de aplicación han de estar en ¡a misma vertical
La magnitud del empuje de Arquímedes que experimenta un cuerpo sumergido en
un fluido dado sólo depende del volumen de dicho cuerpo, el cual se obtiene, como se
sabe, al dividir el peso entre el peso específico.
Resolución del ejercicio
Aptdo. a)
P-E
f . ( n . ' o . s * . i * £ ¡ s í Í S 2 - l £ Í _ ) i o > i a
™ a , l m a
2 . 1 . . , r t - 3 l l r t S d . l f t ) . ' ' MF - J I - 0 . 5 ' - 1 + ~ ~ " 10 _ J 1 0 J - n - 0 . 5 ¿ - 10"-+ 11,2 J 11,2
P P = E ; 400fcg+P P b = r í ' 0 . 5 2 - 10 3 + y y ^ ; Pn = 423, lBAip
Aptdo. b)
P = 400+ P P 6
f - K S ? ' - Y y - K - 0 . 5 2 - 1 • 1000 = 785,39Jfcff
P = E ; 400+ PFb = 785.35 ; />„ • 385, 39kg
182
EJERCICIO N" 7
Dada la distribución de velocidad en régimen permanente y uniforme de un
líquido en movimiento laminar: v= "^"^ (.ra" r2), e n l a q u e " r 0 " eselradiode
la tubería y " r " la distancia al eje del punto considerado, se pide obtener la expresión
del caudal; a) a partir de la definición, b) aplicando el segundo teorema de Guldin.
Comentarios a la resolución
La distribución de velocidad que corresponde al régimen permanente y uniforme
de un líquido en movimiento laminar dentro de una tubería fue deducida en la tercera
lección de dinámica de fluidos.
Para calcular la expresión del caudal circulante a partir de la definición, (ver la
lección de cinemática de fluidos) conviene elegir un elemento diferencial de área que
mantenga ¡a simetría que tiene la distribución de velocidad. Esta condición la cumple
una corona circular de radio " r" y ancho diferencial, que será, por consiguiente, el
elemento que se utilice en el cálculo.
Dada la simetría de la distribución de velocidady teniendo en cuenta la definición
de caudal, se deduce que éste se puede calcular a partir del 2a teorema de Guldin, ya
que el caudal no es sino el volumen generado por el área de la semidistribución de
velocidad cuando dicho área da una vuelta alrededor del eje de la tubería
Resolución del ejercicio
Aptdo. a)
183
Q-j vdS
dS -2nrdr
4u¿
Aptdo. b)
Q = - 8 l ^ n r °
ro
V = V(r)
dA dA-udr
c M ; / I = cM = vdr
dA
Q = 2n- r- A = 2n-ro!dA
dA dA-2n r„,dA
P l - P i P i - P 'o 4u¿ 8u¿
184
EJERCICIO N° 8
T Por el punto A del depósito de H
la figura sale agua con velocidad
l m. horizontal. ¿Para qué rango de
1,5m valores de " H " pasará el agua a
través de la abertura BC?
Comentarios a la resolución
La velocidad con la que sale el agua por el punto A se obtiene por aplicación del
teorema de Torricelli. Con esta velocidad se inicia un movimiento cuyo estudio puede
hacerse mediante la segunda ley de Newton. Para ello, se comenzará por representar el
diagrama de fuerzas y el de aceleraciones correspondientes a una partícula de agua de
masa "m", en un instante genérico del movimiento. La proyección de las fuerzas y de las
aceleraciones sobre dos direcciones ortogonales pennite descomponer el movimiento
original curvilíneo en dos movimientos rectilíneos: uniforme en ¡a dirección del eje "x"y
uniformemente variado en la dirección perpendicular.
La primera integración de las ecuaciones escalares obtenidas ai proyectar la 2a ley
de Newton proporciona la ley de velocidades de cada uno de los movimientos rectilíneos
e integrando nuevamente, se obtiene la ley horaria de dichos movimientos. Imponiendo
la condición de que la partícula de agua pase por la abertura BC se obtienen las dos
desigualdades que permiten acotar el intervalo de valores de "H" que lo hacen posible.
Resolución del ejercicio
mg Diagrama de fuerzas
Diagrama de aceleraciones
v0 = j2gH
R = ma
Rs = max ; 0 = max ; vx = v0 = •JZgH ; x =-[2{
Ry = ma : -mg=ma ; vy = ~gt ; y=--gt
x-3 ; i -V2g/7
- 2 . 5 < y < - ' l ; - 2 , 5 < - ^ g í z < - 1
2 . 5 > ^ g r 2 > l ; 2 , 5 > - g - ^ ~ - : H>0,9m 2 W 2T2.gH
^ g - ^ - > l , 0 ; 2,25>H : W < 2 , 2 52 2gH
0,9m< H < 2 , 2 5 m
186
EJERCICIO N° 9
Dos depósitos abiertos muy
grandes A y F contienen el mismo
líquido. Un tubo horizontal BCD
que tiene un estrechamiento en C
sale del fondo del depósito A, y un
tubo acodado E sale del estrecha
miento en C y se introduce en el líquido del depósito F. Suponiendo que el líquido
es ideal, que la sección transversal en el estrechamiento C es la mitad que en B y D
y que la diferencia de cota entre la superficie libre de! líquido en el depósito A y el
eje de la tubería BCD es " h ¡ ", determinar la altura " h " que alcanzará en el tubo
acodado E el líquido del depósito F.
Comentarios a la resolución
Si a la hipótesis definido ideal, de la que habla el enunciado, se añade la de que
el movimiento sea permanente e irrotacional, resulta que en tales condiciones, el teorema
de Bernoulli se cumple entre puntos cualesquiera de la masa fluida y en consecuencia,
aplicando dicho teorema se resuelve el ejercicio.
El ejercicio también puede ser resuelto mediante la aplicación del método unidi
mensional de análisis (ver aptdo. 3.1.1) para lo cual las hipótesis a realizar serían las de
líquido ideal en movimiento permanente y uniforme. En tal caso, el teorema se aplica
entre secciones transversales a ¡a corriente.
El teorema de Bernoulli ha de aplicarse, obviamente, entre secciones relevantes
para el estudio que se quiere hacer. A este tipo de secciones pertenecen aquéllas en las
que, como en la A de la figura del ejercicio, existe superficie libre. Secciones imponantes
en este estudio son también la C y la D ; la primera, porque permite relacionar el
187
movimiento en la tubería con la depresión provocada en el tubo acodado y la segunda,
porque en ella la presión es la atmosférica y por consiguiente, la presión manométrica
es nula así como su cota relativa.
La aplicación del teorema de Bernoulli entre AyD conduce a un resultado coin
cidente con el que se obtendría mediante el teorema de Torricelli
Las velocidades en las distintas secciones de la tubería no son independientes, sino
que deben cumplir la ecuación de continuidad. Aplicando esta ecuación se relacionan
las velocidades en las secciones CyD.
Para relacionar la altura " h" que sube el líquido del depósito F con la presión en
C basta aplicar la ecuación general de la hidrostática entre puntos de la superficie de F
situados en el exterior y en el interior del tubo.
Resolución del ejercicio
BA-BC
Y * 2 g
Pe V2c Y 2g
BA-BD
Scvc = SDuD ; SC = -SD
^SD-vc = SD-uD : uc = 2uD
c=2vD=2^2gh, ; v^Bgh,
yh = pF ; pF- O ¡ p c - ~ y h
y 2g
189
EJERCICIO N° 10
Determinar la diferencia de cota" H" que ha de existir entre la superficie libre
de dos depósitos que contienen fuel-oil pesado a 38QC para que la tubería que los
une, de 30 cm de diámetro y 1000 m de longitud, pueda transportar un caudal de
220 1/s. La rugosidad absoluta de la tubería (K) es de 0,024 cm, la viscosidad
cinemática del fuel-oil pesado es, a 35°C, de 67 ,9 • 10" 6 n i 2 / s y a 40°C, de
52 ,8- 10" 6 m2/¡r.La fórmula de Prandtl-Colebrook es j= - - 21 og [ ̂ + ~j ] . El
coeficiente de pérdida de carga localizada en los depósitos es 1. Represéntese el
gráfico de energía.
Comentarios a la resolución
La aplicación del teorema de Bernoulli generalizado entre las superficies libres de
los depósitos permite relacionar la diferencia de cola que ha de haber entre ellas para
que la tubería transporte el caudal que indica el enunciado.
El trinomio de Bernoulli en cada superficie libre se ha calculado en presiones
manométricas y se ha despreciado la altura cinética
Para calcular el coeficiente de fricción "f hay que saber si el régimen es laminar o
turbulento y para ello, es preciso determinar el número de Reynolds.
Para conocer el número de Reynolds de este ejercicio es preciso calcularla velocidad
media en la tubería y la viscosidad cinemática a 38°C. La primera de estas magnitudes
físicas se deduce de la ecuación de continuidad, mientras que ¡asegunda, ha de obtenerse
por interpolación lineal entre la viscosidad a 35°Cy a 40°C.
190
Dado que el número de Reynolds es superior a 2000, el régimen es turbulento y por
consiguiente, el coeficiente de fricción se obtiene mediante la fórmula de Prandtl-
Colebrook.
La detenninación del coeficiente "f ha de hacerse por iteraciones. Se comienza
tomando como valor de entrada en la primera iteración ( / l) un valor cualquiera -ya
que el método converge rápidamente- aunque se reduce el número de iteraciones si se
toma un valor del orden de 0,01. Entrando con éste en el segundo miembro de la fórmula
de Prandtl y sustituyendo el resto de las variables que en él aparecen, se obtiene el valor
de salida de la primera iteración (fl).
Este se adopta como valor de entrada para la segunda iteración ( / 2 ) y con él se
vuelve a calcular el segundo miembro de la fórmula de Prandtl y a continuación, el valor
de salida de la segunda iteración (/ 2).
El método se continúa hasta que la diferencia entre el valor de entraday el de salida
sea menor de una cieña cantidad, que puede situarse en 0,001.
Determinado "f\ se obtiene la pérdida de carga " A H i -, 2" y sustituyendo su valor
en el teorema de Bernoulli se deduce, finalmente, el valor de la diferencia de cota "H"
entre los depósitos.
Gráfico de energía
La pendiente de la línea de carga se obtiene dividiendo la diferencia de cota entre
la longitud de la tubería. Ai representar esta línea hay que tener en cuenta que su punto
de partida se encuentra por debajo de la superficie libre del depósito más alto y finaliza
por encima del otro depósito ya que se considera la pérdida correspondiente a la conexión
de la tubería con cada depósito.
191
B^B2 + (AH)^ 1-2.
P,B{ = z¡+ — +~-= H + 0 + 0 = H
Y 2g
p, v2
B ? = z , + — + —^=0 + 0 + 0 = 0 Fig. 1.
Y 2g
2 2g 2g D2g 2g 2g\ D
Re p - v • D u • D
Q = S • v = v \ v = n £ > 2 n(30cm
4 - . 2 2 0 i . - i i -5 1 0 ' = 3 , 1 1 -1 m \ 2
lOOcm
( x 1 0 6 )
6 7 , 9
52,6
6 7 , 9 - 5 2 , 8 4 0 - 3 5 v - 5 2 , 8 4 0 - 3 8
v = 58 ,84- ] 0 " 6 m 2 / s
3 5 3 8 4 0 T ( ° C )
„ vD 3 ,1 \m/s-0,3m r = — = • , 15856,5
v 58 ,84- 1 0 " 6 m 2 / s
-21og[ 0,024
+
1
77!
!5 Iteración
/ ; - o , o i
2 ,5 ] - - 2 l o g [
0 ,024 2,5 3 , 7 - 3 0 15856 -V0 , 01
2 1 o g [ l , 7 9 - 10~ 3] = 5 ,49
f\ = 0 . 0 3 3
]
2-/teración
y 2 = /: = o,o33
0 . 0 2 4 t 2 ,5 0 . 0 2 4 2 ,5° 9 L 3 . 7 - 3 0 * 1 5 8 5 6 - v 7 ! ° 9 l 3 . 7 - 3 0 + 15856 • ,/b7033
1
m •2log[ 1 ,08- 10" 3]-= 5 .92
/ 2 = 0,028
21og[ 0,024
3 . 7 - 3 0 1 5 8 5 6 - v T l
3lIleración
/ 3 = / 2 = 0.028
2 .5 0 ,024 ] - - 2 1 o g [
2,5 3 , 7 - 3 0 15856- -JO,028
- - 2 1 o g [ 1 . 1 5 - 1 0 " 3 ] = 5 ,87
/ 3 - = 0 , 0 2 8
/ 3 - / 3 - 0 , 0 2 8 - 0 , 028 - 0, 000. . . ; / - O , 028
193
va f f \ v2 ( 0 .028 A V2
( A / / ) , _ , \2*-L U — 2+ — lOOOm - — ( 2 + 93 ,3 ) '^2 2g{ D ) 2g\ 0,3m J 2gK
( A / / ) , ^ ^ 3 ^ 1 - 9 5 , 3 - 4 7 . 0 3 m
B, - B2 + (AH),_t2 ; W - 0 + 4 7 , 03 = 4 7 , 0 3 m
Gráfico de energía
vz 3, l l 2
n ^ AH 46 . n A e . — q = = 0 , 5 m ; i = • — = = 0 , 0 4 ó m / m 2 y 20 £ 1000
1.000m
l V }'2g::: 0,5 m
46m
--- Línea de carga
-------Línea piezométrica
EH. 1:5000 E.V. 1: 500
Ejercicio n• 10 GRAFICO DE ENERGIA
EJERCICIO N» 11
195
En la figura, el punto B dista 180 m del recipiente. En el punto C hay un contador
de agua en el que se lee que circulan 15 1/s. En tales condiciones se pide:
a) Calcular la presión absoluta en B en kgf/cm2, sabiendo que la presión
atmosférica es de 9,87 m.ca.
b) Calcular la pérdida de carga que produce el contador de agua.
c) Dibujar a escala la línea de carga en presiones manométricas.
Comentarios a la resolución
Aptdo. a)
El movimiento permanente de un fluido real se estudia mediante el teorema de
Bernoulli generalizado.
Dado que se desea conocer la presión en B, dicho teorema se aplicará entre esta
sección y la superficie libre del depósito A.
La velocidad media en la tubería, necesaria para calcular la altura cinética en B,
se obtiene mediante la definición de caudal.
Para calcular la pérdida de carga desde A hasta B se utilizará la fórmula de
Darcy- Weisbach.
196
Con la aplicación del teorema de Bernoulli generalizado entre A y B se obtiene una
ecuación dé la que se deduce la altura de presión en B. Si se supone nula la altura de
presión en el depósito, lo que se obtiene es la altura de presión manométrica, por lo que
para obtener la altura de presión absoluta habrá que sumar la altura de presión que
corresponde a la presión atmosférica.
Aptdo. b)
La pérdida de carga localizada en el contador de aguasólo interviene si se considera
alguna de las secciones de! tramo CD de la tubería Como sólo se conoce la posición de
la sección D, se aplicará el teorema de Bemoulii generalizado entre AyD.
Este apartado también podría ser resuelto aplicando el teorema de Bemoulii
generalizado entre las secciones ByD.
Aptdo. c)
Dado que la tubería tiene sección constante y que su coeficiente de fricción es
también constante, hay una sola pendiente de línea de carga En la vertical que
corresponde al contador se produce un salto de esta línea debido a la pérdida de carga
localizada En D hay altura cinética, por consiguiente, la línea piezométrica finaliza en
un punto situado "v2/2g" por encima del punto D.
Resolución del ejercicio
Aptdo. a)
BA = BB+(&H)A^B
197
B. = z. + — + — = 0 , 0 + 0 + 0 = 0 , 6
Y 2 g Y 2 g Y 2 g
Q - S f l i ; f i ; v f l = -7 1 0 1 = 0 . 8 5 m / s
*\ 103cmJ
( A H ) _ = í . í i i s = / . £ l . ¿ ^ = ° ^ . 2 i | 5 ! 1 8 0 = l i l 0 m
>. v ^ - s AB D 2g *' o , 1 5 2 - 9 , 8
0 , 6 - ^ + ^ - ^ + 1 , 1 0 ; ^ - - 0 . 5 3 6 m . c . Q . y 2 - 9 , 8 v
Pomb-9,87 m.c.a. ; - ( ^ - ) + ( y ) - 9 . 87 - 0 . 5 3 6 = 9 . 3 3 4 m .c.a.
« P „ , , . - 9 . 3 3 4 m . , 0 0 0 Í £ . I i ^ . 0 . 9 3 Í £ Í
Aptdo. b)
B A = BD+(AH)A.D
2
B A - Z A * ~ * — = 6 + 0 + 0 = 6m Y 2 g
» . - * . * * ' | | - o * o ^ . o . o 3 7 m
( A W ) ^ í , = ^ ^ - 0 . 0 3 7 - 7 0 0 + ( A W ) „ n , . = 4 , 3 1 6 + ( A / / ) ( o n l ,
198
BA~BD+(.*H)A+D
6 - 0 , 0 3 7 + 4 . 3 ) ó + ( A / / )
( A / / ) c o n ( . = l , 6 4 7 m
Aptdo. c)
| , . 1 0 - ; ü l = ° ^ = 0 , 0 3 7 m 1 £ 1 8 0 ' 2 g 2 - 9 . 8
7 0 0 m
1 8 0 m
Linea de carga
Línea piezométrica
5 t 5 s , s * = ^ f f i v 2/2g= 0.0 37r
E H 1 : 3 . 5 0 0 E V 1: 100
Ejercicio r f 11 GRAFICO DE ENERGIA
200
EJERCICIO N° 12
Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 era. La
bomba desagua a través de una tubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada
3,20 m sobre el nivel de agua del pozo. Cuando se bombean 35 1/s las lecturas de los
manómetros colocados a la entrada y salida de la bomba son -O , 32kgf /cm2y
1 ,80kg f /cm2 , respectivamente. El manómetro de descarga está situado a 1,0 m
por encima de! manómetro de succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y
la pérdida de carga en la tubería de succión de 15 cm.
Comentarios a la resolución
La potencia teórica de una bomba depende del peso específico " y" del fluido, del
caudal "Q" y déla energía " ( A H) B " que se comunica al fluido.
El cálculo de la energía apañada al fluido " (A H) B" se obtiene aplicando el
teorema de Bemoulii generalizado entre las secciones aguas arriba y aguas abajo de la
bomba
Aplicando la definición de cauda! a las secciones consideradas se obtiene la
velocidad en ellas y conocida ésta se determina la altura cinética en dichas secciones.
Sumando a la altura cinética la cota y la altura de presión en cada una de las
secciones se obtiene el trinomio de Bemoulii. •
Si como suele ser habitual, el trinomio de Bemoulii se calcula en metros, es preciso
aplicar factores de conversión a la altura de presión.
201
Conocido el valor del trinomio de Bemoulii en las secciones de la tubería situadas
inmediatamente antes y después de la bomba, el teorema de Bernoulli generalizado
permite calcular la energía comunicada difluido que, finalmente, se expresará en CV,
como suele ser habitual.
La pérdida de carga en la tubería de succión se deduce de la aplicación del teorema
de Bernoulli generalizado, entre la superficie Ubre del agua en el pozo y la sección de la
tubería de aspiración situada antes de la bomba.
Resolución del ejercicio
1,0m
2,2 m
P-yQ(¿sH)„
Bl + {AH)B = B2 ; ¿j = z + £ + | -
Fig. 1.
35- —
n • Q. 15 2 2
•m
Q2" szVi ' 1 0 ' A „ , = — _ ^ 4 , 4 5 _
1 I Z 0 . 1 '
n—^-m
1000-^ + 2 - 9 . 8 B, = z i + — + = 0
Y 2g = - 3 , 2 + 0,2 = - 3 m
p , v % Y 2g
1.8 c m * i m * 4 ,45 '
1 0 0 0 ^ 2 -9 ,8 = 1 + 18+ 1 .01 =20,01m
Bl + (AH)B = B2 ; (AH)B = 20.01 +3 = 23, Olm
202
P - v 9 ( A / f ) , - l 0 0 0 ^ . 3 5 f ^ . 2 3 . 0 1 m - 8 0 5 . 3 S Í E » . - ^ : - 1 0 . 7 4 c J m s 10 i * 75 —
B o = 2 ° + T + 2 V ° * ü + 0 = 0 •
+ — + — = 2 , 2 + ( - 3 , 2 ) + 0 ,2 = - 0 , 8 m Y 2o;
B 0 = B 1 + ( A / / ) 0 J | ; 0 - - 0 , 8 + ( A W ) 0 „ ; (AW ) 0 „ , = 0, 8m
I
EJERCICIO N° 13
203
Mediante una
bomba se eleva agua
desde un recipiente
A, a una elevación de
225 m, hasta otro
depósito E, a una
elevación de 240 m a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la
tubería de 30 cm, en el punto D a una elevación de 195 m, es de 5,60kgf/cm 2 .
Las pérdidas de carga son: de A a la entrada de la bomba B, 0,6 m; de la salida de
la bomba en C hasta D, 38v2/2g y desde D a E, 40v2/2g. Determinar el caudal
"Q" y la potencia en watios y en CV suministrada por la bomba. Dibujar el gráfico
de energía.
Comentarios a la resolución
El caudal se obtiene al multiplicar la sección de la tubería por la velocidad media
del agua en ella.
La velocidad media de la corriente se obtiene directamente si se aplica el teorema
de Bemoulii generalizado entre ¡as secciones D y E, ya que a! hacerlo entre éstas no
interviene la aportación de energía de ¡a bomba
Dado que lo habitual en el estudio de las conducciones de agua y en otras muchas
situaciones es trabajar en presiones sobre la atmosférica, se supondrá que la presión en
el punto D es manométrica
204
Para calcular la potencia teórica de la bomba es preciso conocer la energía" A H"
comunicada a la corriente por la bomba
Conocida la velocidad media de la corriente, basta aplicar el teorema de Bemoulii
generalizado entre secciones de la tubería situadas aguas arriba y aguas abajo de la
bomba, para que de la ecuación resultante se pueda obtener el incremento de carga
hidráulica aportado por aquélla En el ejercicio se ha optado por las secciones Ay D,
pero también podrían haberse considerado las secciones Ay E.
Gráfico de energía
Con los datos del ejercicio no queda definida la pendiente de la línea de carga. En
efecto, no es posible su determinación mediante la fórmula de Darcy-Weisbach, puesto
que no se conoce el valor del coeficiente de fricción " / ". Tampoco se puede deducir la
pendiente dividiendo la pérdida de carga " A H " entre la longitud del tramo correspon
diente " i ", ya que se desconoce este último dato. Se ha optado por reflejar esta cir
cunstancia en el gráfico de energía representando una de las infinitas soluciones que
podrían darse en función de los valores que se asignen a las variables antes citadas.
Resolución del ejercicio
BD°* 5 £ + ( A H )
B — + — = 2 4 0 + 0 + 0 = 2 4 0 m Y 2 g
( A / / )
205
v2 .„v2 . . „ t / 2
BD= BE + {AH)D^E ; 1 9 5 + 5 6 + — = 2 4 0 + 4 0 — : 11 = 3 9 — ¿g 2g 2g
v2 11 / _ 11 2 ^ = 3 9 : « - V 2 * 3 9 - 2 ' 3 5 m / f f
Q - S . U - ; Í 3 0 c m — í ¿ 2 - Y . 2 . 3 5 ^ - 0 . 1 6 6 ^ - ^ - 1 6 6 -4 V l O ^ c / n / s s ¡ o 3 / s
B , + C A / / ) b D m 6 Q = F 0 + C A / / ) ^ D
£„ = ^,i + — + ^ - = 2 2 5 + 0 + 0 = 2 2 5 m Y 2g
PD V% _ v2 „ „ 11 9 8 0 0 BD = ZD
+ — + ~ = 1 9 5 + 5 6 + — = 1 9 5 + 5 6 + — = Y 2 9 2 f f 3 9 3 9
v2 1 1 4 4 1 4 ( A / / j ^ B - ( A / / ) ^ f + ( A W ) c - f i - 0 , 6 + 3 8 — = 0 , 6 + 3 8 — = - ^ -
9 8 0 0 4 4 ! 4
S , + ( A r / ) t o m 6 a = fi0 + ( A r / ) ^ D ; 2 2 5 + ( A H ) B ¡ > M B A = — + ~ -
(AH)B = 2 6 2 . 6 - 2 2 5 = 3 7 , 6 m
P= Y - Q - ¿ H - 1 0 0 0 ^ - 0 , 166 — - 3 7 , 6 / 7 1 = 6 2 4 1 , 6 ^ ^ - = 8 3 , 2 2 C K m3 s s 7 5 ^
•
^ = 6 2 4 1 . 6 - ^ - ^ - 1 ^ - ^ = 6 1 . 1 ^ s Ifcp; U / s 1 0 3 ! /
Gráfico de energía
^ - 3 Í = 0 , 2 8 m ; 3 8 - | l = 3 8 . n = 1 0 , 7 2 m
v2 11 4 0 4 0 - — = 1 1 , 2 8 / n
2 p 3 9
EV 1 500 EH a estima
E j e r c i c i o n* 13 G R A F I C O DE E N E R G I A
LÍnea de carga
Línea piezométric.a
E V 1 500 EH a estima
Ejercicio n• 13
1 3B J/29: 10,71m
1
(6. H JaonoDa
56m
GRAFICO DE ENERGl.A
207
EJERCICIO N B 14
Si la bomba B de la figura transfiere al fluido 70 CV cuando el caudal de agua
es de 2201/s, ¿a qué altura puede situarse el depósito C? Dibujar el gráfico de energía.
i C i
Comentarios a la resolución
La aplicación del teorema de Bemoulii generalizado entre las superficies libres de
los depósitos hace intervenir a la altura del depósito C por lo que ésta podría ser la primera
ecuación a plantear. Al hacerlo, se observa que es preciso calcularla energía comunicada
por la bomba al agua " (A H ) B " así como la pérdida de carga " ( A / / ) , , _ c " .
La energía que apona la bomba al agua se obtiene mediante la aplicación de la
fórmula que proporciona la potencia teórica de una bomba
Para calcularla pérdida de carga " (A H) A^c" hay que sumar las pérdidas loca
lizadas que se producen a la salida del depósito y en la llave, con las pérdidas totales
debidas a la fricción en la tubería
Las pérdidas de carga se obtienen en función de la velocidad media en la tubería
correspondiente.
La velocidad media en cada uno de los tramos de la tubería debe cumplir la
ecuación de continuidad, lo que permite relacionar dichas velocidades. El cálculo de
éstas ha de hacerse mediante la definición de caudal.
6m.-ft 45cm 1 = 0 , 0 3
208
Gráfico de energía
Una vez calculado el valor que toman las distintas pérdidas de carga se ve la
necesidad de utilizar diferentes escalas para la representación del gráfico de energía, ya
que de no hacerlo, algunas de las pérdidas no podrían ser apreciadas.
Resolución del ejercicio
BA + (AH)B-BC + (MT)^C
Pr Vc Bc = zc + — + - £ = t f + 0 + 0 = t f Y 2 g
P = yQ(AH)B
7Skam/s ka „ i 1 m — = 1 0 0 0 - ^ - 2 2 0
m3
( A / / ) f i = 2 3 . 8 6 m
3
7 0 C K - r f e ^ = 1 0 0 0 ^ - 2 2 0 ; T ^ C A H ) f i
( A / / ) ^ = ( A / / ) f l f * ( A W ) ^ + ( A / / ) s , c + ( A W ) t ó ( .
2 ^ w w - ^ e p - - i - -
, f v2} 0 , 0 3 v \ B ¿ n VAB
£>2g ule
BC
^ ^ 1 2 0 = 8 -0 , 3 0 2 g 2 g
( A W ) ^ c . ^ £ + 0 , 4 ^ + 8 - - - + 5 - - í - 1 . 4 ^ + 1 3 ^ -2 g 2 g 2 g 2 g 2 g 2 g
209
$ ABV ¿B " $ BCVBC
n - 0 . 4 5 2 J l ' 0 . 3 2 „ __ z "A» z "*c : vBC = 2.2^vAB
Q O AB
u,,* . _ , 1 .38 — n - 0 , 4 5 2 n 0 . 4 5 :
( A / / ) . - c - 1 , 4 — + 1 3 — - 1 .4 — + 65, 8125-*= - 6 7 , 2 1 2 5 ^ = 6 ,53m v y , , " c ' 2ff 2g 2g 2g 2g
6 + 2 3 . 8 6 - H* 6. 53
W = 2 3 , 3 3 m
Gráfico de energía
( A W ) d É p . - 0 , 0 9 7 m ; - 0 . 0 3 9 m
iBCLsc = 3,93m ; ( A / / ) * , - 2,46m
Otb = 3,93m ro o
EH 1 :100
EV 1 : 40
-----------
23,86m
EH 1:700 E V 1:200
l :3,93/120
-----------------
a +b = 3,93 m
v2/2g: 0,492m a
1- ---------------2 ;46in
Línea de carga
Línea p iezométrica
(j) ::o )loo .,, n o o ,,, ,,, z ,,, ::u (j)
>
"' -o
211
•
Se conectan dos depósitos,
cuya diferencia de nivel es 14 m,por
una tubería ABC cuyo punto más
elevado B se encuentra 1,5 m por
debajo del nivel del líquido en el depósito superior. El tramo AB tiene un diámetro
de 200mm y el BC de 150mm. El coeficiente de fricción es 0,02 en ambas ramas. La
longitud total de la tubería es de 3 km. Considerando como única pérdida localizada
la que se produce a la salida del depósito A y sabiendo que la altura manométrica
de presión en B es de -3 m, se pide:
I o Calcular la longitud de cada tramo de la tubería.
2 o Dibujar a estima la línea de energía y la línea piezométrica y acotar la posición
de los puntos necesarios para que dichas líneas queden definidas.
Comentarios a la resolución
Como ya ha sido señalado, la superficie libre de un depósito constituye, general
mente, una sección muy adecuada para calcular en ella el valor del trinomio de Bemoulii
De acuerdo con lo anterior, parece obligado considerar, al menos, la aplicación del
teorema de Bernoulli entre ¡as dos superficies libres existentes en el ejercicio. Si además
resulta que al tratarse de un fluido real hay que tener en cuenta las pérdidas de carga y
que las pérdidas unitarias son proporcionales a la longitud de cada uno de los tramos
de la conducción, es evidente que la aplicación del teorema de Bernoulli entre las
superficies libres proporciona una ecuación válida para la resolución del ejercicio. En
EJERCICIO N° 15
212
la ecuación resultante aparecen cuatro incógnitas: la longitud de cada uno de los tramos
(" L | " y" L2") y la velocidad media en ellos (" v 1 ' ' y ' 'o 2"). Se necesitan, por tanto, tres
ecuaciones más.
Una segunda ecuación se obtiene al imponer la condición de que la longitud total
de la tubería ha de ser tres kilómetros.
Dado que se conoce la altura depresióny la cota delpunto B, se obtiene una tercera
ecuación sise aplica el teorema de Bemoulii entre el depósito más alto y dicho punto.
Finalmente, el principio de continuidad proporcionará la cuartay última ecuación
necesaria para la resolución del ejercicio.
Resolución del ejercicio
:-2
ID P i V\ ' Y 2g
c u2 v? 2 Y 2g
v2
| 0 , 0 2 ¿ v%_ 2g + 0 . 15 z 2 g
S i » n - 0 , 2 a
4 n - 0 , 1 5 2
4 ¡/i •4
y, = 0 ,75 2 t / 2 : f 2 = 1 .77f[
v\ 0 .02 (1 , Z 7 ) 2L?
6 1 = g z + ( A / y ) l „ 2 ; 1 4 - ( 0 . 5 + 0 , 1 ¿ , + 0 , 4 ] ¿ 2 ) — -
213
.2 PB VB V, ul S , - 1 4 ; e B = z f l + — + — - 1 2 , 5 + ( - 3 ) + — - 9 , S + —
i i fl Y 2g 20 2g
C A W ) 1 , B - ( ñ / / ) l o e . f ( A / / ) H f t i t i - 0 . s | i - + ^ ^ £ l | ¿ - ( 0 , 5 + 0 , U , ) ^ 2g 0,2 2g 2g
( A W ) 1 ^ - ( 0 . 5 + 0 . 1 £ 1 ) r J -•̂9
fir5e+ ( A H ) H S ; 14 = 9 , S + - ! - + ( 0 , 5 + 0 , U , ) - i -
2g 2g
4 . 5 - ( 1 . 5 * 0 . U I ) ¿ ; y i 4 ' 5
2g 2g 1 , 5 + 0 , I I ,
M - f O . S + O . l i . + O ^ l L , ) — . 2g
1 4 - ( 0 , 5 + 0 , U , + 0 . 4 U 2 ) i ^ o
5
i ¿ i
21 + 1 , 4 ¿ , - 2.25 + 0 . 4 5 ¿ , + 1 , 8 4 5 ¿ 2
0 ,95 / . , - 1 , 8 4 5 ¿ 2 - - 18.75
L¡ + í 2 = 3000
0 , 9 5 I , - 1 . 8 4 5 ¿ 2 = - 1 8 , 7 5
¿ i + ¿ 2 = 3 0 0 0
0 , 9 5 - 1 . 8 4 5 \ = / • - 1 8 . 7 5
1 1 j U2J V 3 0 0 0
LA = (1973,6m L2J ' U 0 2 6 . 4 m
214
Gráfico de energía
v2 4 ,5 4 ,5_ L = 1- = ¡ — = 0 ,023fn 2g 1 ,5+0 , 1 ¿! 1,5 + 0, 1 • 1973,6
— = — 1 , 7 7 2 - v z = 1 , 7 7 z - 0 , 023= 0,07 m 2g 2g
B s = 2 ( * — + — - 1 2 , 5 - 3 + 0, 023 = 9 , 5 2 3 m Y 2g
( A W ) 1 , B = C0,5 + 0 , u ^ ^ l - í O . S + O . 1 • 1974)0,023 = 4 , 5 S l m
I 0,011 m
Jof..onm T
T T fT1 '-· ID óH:4,54m , n
l ?I o
;;, •
(JI
(j) ;o > ,,
\ ñ
' o o
1.974 m fT1
m z m ;o (j)
j; Escala horizontal 1 . 12.000 Escala vertical a estima
Línea de energ(a
------- Línea pi ezométrica
f\) ~ .... L C1I 1.026m
l
219
Práctica n» I : APARATOS PARA LA MEDIDA DE PRESIONES EN FLUIDOS
Introducción
Una de las propiedades que caracterizan a los fluidos es la de ejercer presiones
sobre cualquier superficie con la que tengan contacto. Los aparatos que se utilizan
para la medida de las presiones son los barómetros y los manómetros. Los primeros
se emplean para la determinación de la presión atmosférica o ambiental y los
segundos, para la medida de presiones en otros fluidos, tanto líquidos como gases.
En la segunda lección del tema dedicado a estática de fluidos se ha descrito el fun
damento de estos aparatos y se ha dado una clasificación, tanto para los barómetros
como para los manómetros.
Durante la realización de esta práctica se efectuará la lectura de la presión
atmosférica mediante la utilización de diversos tipos de barómetro y se realizarán la
correcciones por temperatura y gravedad para reducir dicha lectura a las condiciones
normalizadas.
La práctica incluye también la utilización de manómetros para la medida de la
presión en líquidos, así como la comprobación de un manómetro de Bourdon
mediante un equipo para la calibración de manómetros.
220
l 1 Parte: Barómetros
Equipo necesario
Barómetro de Fortín, barómetro de Tonnelot y termómetro.
Procedimiento
Antes de leer la presión atmosférica mediante el barómetro de Fortín hay que
ajustar el cero de la escala. Para ello se gira el tornillo existente en la parte inferior
del depósito de mercurio hasta que la superficie libre de éste haga contacto con la
punta de marfil. Queda así establecido el cero de la escala en la que se mide la altura
alcanzada por la columna de mercurio. Para conocer el valor de dicha altura se
desplaza la deslizadera que hay en la parte superior del aparato hasta que su borde
horizontal izquierdo coincida con la superficie libre del mercurio situado en la
columna y a continuación, se lee la altura en milímetros mediante el nonius existente
en la deslizadera.
La altura de la columna de mercurio, leída en la escala de un barómetro de
Tonnelot proporciona, directamente, la presión atmosférica.
Por último, se leerá la temperatura en el termómetro existente en la zona en la
que se ha hecho la observación.
Las lecturas efectuadas se anotarán en el espacio disponible al efecto existente
en la tabla 1.1.
Presión atmosférica
(mm Hg)
Temperatura
FORTIN TONNELOT
Temperatura
Tabla 1.1. Datos de la práctica.
Fundamento teórico
221
La figura 1 representa, esquemáticamente, el
fundamento de un barómetro de mercurio: la presión
atmosférica que actúa sobre la superficie libre del
mercurio situado en una cubeta se ve equilibrada por
la presión que ejerce una altura "h" de mercurio.
Aplicando la ecuación general de la estática de fluidos
a los puntos 1 y 2 resulta:
yHv-h-palm. ( i . i )
siendo " y Hg" el peso específico del mercurio y" P alm~ la presión ambiental o
atmosférica.
La distinta denominación de los barómetros de mercurio tiene su origen en el
procedimiento utilizado para medir la altura "h" de la columna de mercurio.
Cálfjüfis
Conocida la presión atmosférica en un lugar y en unas condiciones determi
nadas, puede deducirse el valor de la presión atmosférica en condiciones normali
zadas aplicando las correcciones por temperatura y gravedad. Dichas correcciones
se efectuarán solamente a la lectura obtenida en el barómetro de Tonnelot.
La corrección por temperatura se realiza mediante la tabla 1.2, obteniéndose
por consiguiente, la presión que corresponde a 0°C. Esta presión se anotará en la
casilla existente en la tabla 1.3.
Fig. 1. Barómetro de mercurio
222
TEMPERATURA LECTURA DEL BAROMETRO
(°C) (mmHg)
670 680 690 700 710 720
16,0 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 2,0 16,5 1,9 1,9 2,0 2,0 2,0 2,0 17,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,1 2,1 17,5 2,0 2,0 2,1 2,1 2,1 2,2 18,0 2,1 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 18,5 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 2,3 19,0 2,2 2,2 2,2 2,3 2,3 2,3 19,5 2,2 2,3 2,3 2,3 2,4 2,4 20,0 2,3 2,3 2,4 2,4 2,4 2,5 20,5 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,5 21,0 2,4 2,4 2,5 2,5 2,5 2,6 21,5 2,5 2,5 2,5 2,6 2,6 2,6 22,0 2,5 2,6 2,6 2,6 2,7 2,7 22,5 2,6 2,6 2,7 2.7 2,7 2,8
Tabla 1.2. Reducción de las lecturas barométricas a cero grados.
(Se restará de la lectura barométrica el valor obtenido en la tabla)
Presión a T
ambiente
Presión a 0 °C
Tabla 1.3. Presión atmosférica reducida a 0°C.
La corrección por gravedad se realiza mediante la fórmula:
en la que "B," es la presión atmosférica a 0°C; " g * w " , la aceleración local de la
223
gravedad en cm/s2, calculada medíante la fórmula propuesta al efecto por la
Organización Meteorológica Mundial (O.M.M.) y "Cg" la presión atmosférica en
condiciones normalizadas.
La fórmula que la O.M.M. recomienda aplicar para el cálculo de la aceleración
local, obteniéndose ésta encm/s2, es:
gt„ = 980,616(1 -0,0026373cos2<t> + 0,0000059cos22<|i)
- 0 , 0003086H +0.00011 IQ(H-H') (1.3)
en la que" $" es la latitud del lugar, "i!" es la altitud de la estación en metros y" H'"
es la altitud media en metros de la superficie de terreno comprendida en el interior
de un círculo de 150 km de radio con centro en la estación.
Sustituyendo en 1.2 el valor de "gtH" se obtiene la presión atmosférica en
condiciones normalizadas.
Los valores de las variables que intervienen en el cálculo de la aceleración local,
así como el valor obtenido para ésta y el de la presión en condiciones normalizadas,
se anotarán en las casillas correspondientes de la tabla 1.4.
Latitud Altitud Altitud Aceleración Presión en cond.
-•- -H- -H*. -g*><- normalizadas
(°) (m) (m) ( c m / s 2 ) ( )
Tabla 1.4. Cálculo de la presión en condiciones normalizadas.
224
2* Parte: Manómetros: empleo y calibración
Equipo necesario
El equipo que se requiere para la calibración de manómetros está compuesto
por un manómetro de 180 kPa, un aparato calibrador constituido por cilindro, pistón
y tubos flexibles (ver Fig. 1.1), juego de pesas, balanza, calibre o pié de rey y toma de
agua. Para medir la presión en la red de distribución se dispone de un adaptador a
rosca así como de un manómetro de lOkgf/cm2.
c i l indro
nivel de burbuja
- pesas,
-pistón. -tubo de drenaje.
/////;;/,'/yy / / ///vvy////
Fig 1. 1. Equipo calibrador de manómetros.
_tubo para entrada de agua con conexión a mantímetro.
-tornillo de nivelación.
Procedimiento
En primer lugar se medirá mediante el pié de rey, el diámetro del pistón que
forma parte del equipo calibrador y se anotará el resultado en la casilla dispuesta al
efecto en la tabla 1.5. A continuación se introduce agua en el cilindro mediante el
tubo correspondiente, se conecta a éste el manómetro y se procede a expulsar el aire
que haya podido quedar en el tubo al efectuar la conexión, para lo cual se utilizarán
las llaves existentes en el manómetro.
225
Cuando el cilindro esté lleno de agua, se determina la masa del pistón, se anota
su valor en la tabla 1.5 y se introduce en el cilindro.con lo que se produce el des
plazamiento de la aguja del manómetro, registrándose la lectura correspondiente en
la tabla 1.5. '
El tubo que sale de la parte superior del cilindro (Fig. 1.1) tiene como misión
servir para evacuar el agua que se introduce entre el pistón y el cilindro durante el
proceso de colocación de las pesas.
Procediendo con cada una de las pesas de la forma en la que se ha hecho con
el pistón, se obtienen nuevas lecturas en el manómetro que se anotarán en la tabla
1.5.
Masa del
pistón
(kg)
Lectura
manómetro
(kPa)
Tabla 1.5. Datos de la práctica.
226
Fundamento teórico
La presión se define como la fuerza normal aplicada sobre una superficie,
obteniéndose su valor mediante la expresión:
en la que " Fn" es la fuerza normal a la superficie " 5 ". Si la fuerza se mide en newtons
y la superficie en metros cuadrados, la presión " P " se obtiene en paséales.
Al colocar el pistón sobre el cilindro lleno de agua se ejerce una presión sobre
ésta cuyo valor se obtiene mediante la fórmula 1.4. Debido al principio de Pascal
estapresión se transmite íntegramente a todo el fluidoy en consecuencia, es detectada
por el manómetro.
La calibración o tarado de un dispositivo de medida, en este caso, de un
manómetro, consiste en la utilización de dicho aparato para medir presiones cuyo
valor es conocido "a priori". Se trata en definitiva, de comprobar el funcionamiento
del manómetro y conocer así su fiabilidad en la medición. Para que el calibrado sea
realmente útil ha de procurarse que las medidas cubran el rango de utilización del
manómetro.
Calaítas
Con los datos obtenidos durante la realización de la práctica se calcularán las
presiones que debería haber medido el manómetro y se rellenará con ellas la tercera
columna de la tabla 1.6. En la cuarta columna de dicho cuadro se pondrá la diferencia
entre el valor real y el valor medido, es decir, el error absoluto, y en la quinta columna,
el cociente entre el error absoluto y el valor real esto es, el error relativo de la
medición.
Masa del
pistón
(kg)
Lectura del
manómetro 1 '
kPa
Presión
real
kPa
Error
absoluto
kPa
Error
relativo
(%)
= ^ = — —
•
Operaciones
Tabla 1.6. Resultados de la práctica.
228
Comentarios.
Cuestiones fa plantear por el Profesor al término de la práctica)
229
Práctica n°2: ESTUDIO DE LA DISTRIBUCION DE FUERZAS HIDROSTATICAS
SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
Introducción
La ecuación general de la estática de fluidos permite calcular la presión que
hay en cada punto de un fluido en reposo. Si en contacto con dicho fluido existe una
superficie, en cada elemento diferencial de área de ella, la presión da lugar a la
aparición de una fuerza denominada hidrostática, perpendicular al diferencial de
área y dirigida hacia él y cuyo módulo se obtiene como producto de la presión por
el diferencial de área. El conjunto de fuerzas que así resulta se denomina sistema de
fuerzas hidrostáticas y es mecánicamente equivalente a la resultante de dicho sistema
aplicada en el centro de presión (ver aptdo. 1.4.1),
En esta práctica se estudiará el sistema de fuerzas hidrostáticas asociado a
diversas superficies mediante el aparato de presión hidrostática (Fig. 2.1). La reali
zación de la práctica ofrece además la oportunidad de consolidar algunos de los
conocimientos adquiridos al estudiar la mecánica del sólido rígido, ya que es preciso
aplicar los conceptos de equilibrio, sistema de fuerzas, centro de gravedad, momento
de inercia, etc..
230
Equipo necesario
En la figura 2.1. se muestra ei alzado principal del aparato para el estudio de
la presión hidrostática y se identifican los principales elementos que lo constituyen.
Para la realización de la práctica se necesita además un juego de pesas adecuado
para ser utilizado en el platillo. Dicho juego lo componen siete pesas de 50 g, dos de
20 g y una de 10 g. La masa del platillo es de 50 g.
Fig 2 . 1 . Aparato de presión nidrdstatica.
Procedimiento
Antes de montar el aparato, es preciso conocer algunos datos geométricos que
intervendrán en los cálculos que serán efectuados más adelante. Así pues, se medirán
las magnitudes "a", "L" y "d" (ver Fig. 2.1), así como la anchura "b" del cuadrante, que
en la figura 2.1 es la dimensión perpendicular al plano del dibujo.
A continuación, y después de nivelar el recipiente de metacrilato, se procede a
colocar el conjunto formado por el cuadrante y el brazo de la balanza sobre el fulcro
de ésta; a colgar el platillo como muestra la figura 2.1 y por último, a equilibrar todo
ello mediante el desplazamiento adecuado del contrapeso.
231
El paso siguiente consiste en colocar una de las pesas en el platillo e introducir
agua en el tanque hasta que se alcance nuevamente el equilibrio. En ese momento,
se anota en la tabla 2.1 la masa colocada en el platillo y el nivel del agua en el
recipiente, leído este último en la escala que hay en el cuadrante.
La experiencia se continúa con la colocación de una nueva pesa en el platillo,
nueva aportación de agua hasta lograr el equilibrio y por último, la lectura del nivel
alcanzado por ésta.
Una vez utilizado todo el juego de pesas, se procede en orden inverso, es decir,
se retira cada una de las pesas y se permite la salida del agua hasta que se logra de
nuevo el equilibrio, anotándose la masa y el nivel del agua que lo hacen posible.
Todos estos datos se irán anotando, a medida que se obtengan, en las columnas
que para ello hay en la tabla 2.1.
Con el vaciado del recipiente concluye la toma de datos de la práctica. Antes
de pasara realizar los cálculos, se debe rellenarla columna de la tabla 2.1 encabezada
con el rótulo: "promedio", para lo cual basta con hallar la media aritmética de las
lecturas del nivel del agua.
232
a b L d
DIMENSIONES
(mm)
Tabla 2.1. Datos de la práctica.
I a Parte: Análisis de la inmersión parcial (h<100 mm)
233
La figura 2.2 representa un esquema del aparato de presión hidrostática cuando
la variable "h" (ver Fig. 2.2) es inferior a 100 mm. Suponiendo que se trata de una
configuración de equilibrio, se ha de verificar que:
mgL-lf>gbh2[a*d-^ (2.1)
expresión en la cual "p" es la densidad del agua, "g" la aceleración de la grave
dad;" L " , " a~,"b~ y "d" son dimensiones geométricas del aparato," m " es la masa
colocada en el platillo y" h." la altura del agua.
234
Cálculos
Con los datos de la tabla 2.1 que corresponden a la situación que se analiza en
esta primera parte de la práctica, se rellenarán las dos primeras columnas de la tabla
2.2 y a partir de ellos las restantes columnas de dicha tabla.
Masa -m -
(g)
Altura -h-
(A< 100} (mm)
h2
( )
m/h2
( )
_ Tabla 2.2. Resultados de la práctica ( I a parte).
Representación de resultados
235
En los ejes de la figura 2.3 se representarán los puntos cuyas coordenadas son
el nivel de agua " h"y la relación " m/h2" -segunda y cuarta columnas, respectiva
mente de la tabla 2.2- y se ajustarán dichos puntos a una recta, para lo que se puede
utilizar el programa REMICUAD.BAS. Para valorar el error cometido se
compararán la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de ajuste con los
parámetros teóricos de la recta deducidos de la ecuación 2.1.
m/h*h
h
Fig 2.3. Representación gráfica de resultados.
236
Parámetros Valor Error abs. Error reí.
de la s/ec.2.1 s/F¡g.2.3
recta ( ) ( ) ( ) m
Ordenada
Pendiente I
Tabla 2.3. Cálculo de errores.
Operaciones
Comentarios
Cuestiones ( serán manteadas por el Profesor de la Práctica al termino Cíe ésta)
238
2 a Parte: Análisis de la inmersión total (h > 100 mm)
Fundamento teórico
Fig. 2.4. Inmersión tota l .
En la figura 2.4. puede verse el esquema descriptivo del aparato de presión
hidrostática para el supuesto de inmersión tota! de la superficie rectangular de
dimensiones "b" y "d".
Teniendo en cuenta la simetría que presenta la distribución de fuerzas
hidrostáticas que actúa sobre la superficie rectangular, resulta que el centro de presión
está situado en su eje de simetría, por lo que basta conocer " y Cr " para que quede
definido.
Dado que las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre la superficie rectangular
son paralelas, el sistema que constituyen puede ser reducido a otro mecánicamente
equivalente, formado por una fuerza de su misma dirección y sentido denominada
resultante hidrostática" R H" y aplicada en el centro de presión.
239
EJ módulo" R H" de la resultante hidrostática y la ordenada del centro de presión
"yCp" se obtienen mediante las ecuaciones siguientes (ver aptdo. 1.4.1):
RH-yyc-A (2.2)
La ordenada del centro de presión también puede ser obtenida teniendo en
cuenta que en la posición representada en la figura 2.4 hay equilibrio y por consi
guiente debe ser nulo el momento resultante en el punto de apoyo, para lo cual se
ha de cumplir:
mgL = R„(yCP+q) (2.4)
Cálculos
Con los datos de la tabla 2.1. que corresponden a la situación que se analiza en
esta segunda parte de la práctica (h > 100 mm) y las características geométricas del
aparato de presión hidrostática, se rellenarán las seis primeras columnas de la tabla
2.4 y en la columna (7) se dispondrá el resultado obtenido mediante la aplicación de
la ecuación 2.2. Las dos últimas columnas de la tabla 2.4 servirán para comparar la
posición del centro de presiones determinada mediante las ecuaciones 2.3 y 2.4.
El espacio entre paréntesis que existe en el encabezamiento de cada columna
deberá rellenarse con la abreviatura de la unidad elegida para expresar la magnitud
recogida en dicha columna.
240
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
Masa Mmto. Altura y c
' XX YC A q RH y CP y CP
-m- -mgL- -h- (ec.2.3) (ec.2.4)
(g) ( ) (mm) ( ) < ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
= • i r " r rJ J I I --
Tabla 2.4. Resultados de la práctica (2 a parte).
Operaciones
Representación de resultados
241
En los ejes de la figura 2.5 se representarán los puntos cuyas coordenadas son
la masa "m" y la altura del agua "h" -columnas (1) y (3) respectivamente, de la tabla
2.4- y se ajustarán a su recta de mínimos cuadrados, pudiéndose utilizar para ello
el programa REMICUAD.BAS.
Cuando la superficie rectangular está totalmente sumergida, la masa "m" varía
linealmente con "h". Esta circunstancia puede ser aprovechada para calcular el error
cometido en cada lectura del nivel de agua. Para ello se deducirá la ecuación que
expresa dicha variación, obteniéndose mediante ella el valor de "h" que corresponde
a dos cualesquiera de los valores de la masa. La comparación entre el valor así
deducido y el leído durante la realización de la práctica permitirá obtener el error
absoluto y el error relativo cometido en la lectura. El valor de "h" deducido mediante
la citada ecuación, así como el leído en la práctica y los errores correspondientes se
recogerán en la tabla 2.5.
h
Fig. 2.5. Representación gráfica de resultados.
Masa Altura de agua-ft - Error abs. Error reí.
- m - leída s/ecuación
(g) (mm) (mm) ( ) %
Tabla 2.5. Cálculo de errores.
243
Deducción de la ecuación m = Kh + K'
243
Deduccjóo de Ja · . -- ecuac1óo m K = h + K'
244
Operaciones
244
Operaciones
245
Cuestiones f.Sérájn planteadas par el Profesor de la práctica al finalizar ésta)
246 246
Práctica n° 3: TEOREMA DE BERNOULLI
247
Introducción
El teorema de Bernoulli es una de las ecuaciones fundamentales para el estudio
del movimiento de los fluidos. En su formulación básica establece que en el movi
miento permanente de un fluido ideal e incompresible, la suma de las alturas pie
zométrica y cinética permanece constante a lo largo de una línea de corriente.
La realización de esta práctica ofrece la posibilidad de mejorar el conocimiento
y la comprensión del teorema de Bernoulli mediante la aplicación de dicho teorema
al movimiento de agua a través de un tubo de Venturi equipado con piezómetros
para la medida de presiones estáticas y dinámicas. Además, esta práctica también
permite estudiar el régimen de velocidades y como consecuencia, clasificar el
movimiento según el valor del número de Reynolds. Por último, el equipo de medida
de presiones que se utiliza en esta práctica está basado en el empleo de piezómetros,
que es un tipo de manómetro del que no se había hablado en la práctica número 1,
lo que supone que entre ambas prácticas el alumno se familiarizará con las técnicas
instrumentales básicas para la medida de presiones.
248
Fotografía 3.2
248
Fotografía 3. 1
Fotografía 3.2
249
Equipo necesario
Para la realización de esta práctica se necesita el banco hidráulico (Fotografía
nH3.1), el aparate para el estudio del teorema de Bernoulli (Fotografía n°3.2), un
cronómetro, un termómetro y tomas de corriente eléctrica y de agua.
La figura 3.1-a) muestra un esquema en alzado y planta del aparato para el
estudio del teorema de Bernoulli en el que aparecen identificados sus elementos
principales. En el conducto comprendido entre los manguitos de unión hay un tubo
b 13,9 e 10
c 11,6 f 25
a) b)
Fig 3 . 1 . Aparato para el estudio del teorema de Bernoulli.
de Venturi (ver fotografías números 3.3 y 3.4), cuidadosamente mecanizado sobre
metacrilato y cuya geometría puede verse en la Figura 3.1.-b), en el que se han
practicado seis orificios piezométricos para la conexión de sendos tubos destinados
a medir la presión estática.
250
Fotografía 3.4
250
Fotografía 3.3
Fotografía 3.4
251
La instrumentación se completa con la sonda, que consiste en un tubo de Pitot
que puede ser desplazado a lo largo del eje del conducto y con un último piezómetro,
conectado en el punto M (Fig. 3.1-a) situado en una generatriz de contorno.
En la figura 3.2 se muestran dos perspectivas del banco hidráulico. Está cons
tituido, esencialmente, por un depósito de 1601 de capacidad, una bomba que toma
agua de este depósitoy un tanque volumétrico calibrado que recibe el agua bombeada,
y que a determinada altura dispone de un aliviadero que devuelve el agua al depósito.
Piuccdimienls
Se coloca el aparato para el estudio del teorema de Bernoulli sobre la superficie
de trabajo del banco hidráulico y se dispone un tubo de plástico entre el conector
(Fig. 3.2) y la entrada de agua del aparato (Fig. 3.1-a), orientándose adecuadamente
éste a fin de que el agua caiga en el tanque volumétrico. A continuación se desplaza
el tubo de Pitot hasta que su extremo quede unos tres centímetros, aproximadamente,
aguas abajo de la sección " f (Fig. 3.1.-b), se enchufa a la red eléctrica el cable de
alimentación, se abre ligeramente la llave de paso de la bomba y se acciona el
interruptor del motor, con lo que empieza a circular el agua. La velocidad de cir
culación del agua no sólo puede modificarse con la llave de paso, también puede
hacerse mediante la válvula de control (Fig. 3.1.-a). Mientras se regulariza el flujo y
se van llenando los piezómetros, se mantiene abierta la válvula manual de descarga
(Fig. 3.2), con lo que el agua circula en circuito cerrado.
El llenado de los piezómetros ha de hacerse lentamente para que no queden
en ellos burbujas de aire. Para facilitar el purgado de los piezómetros, éstos están
conectados por su extremo superior, existiendo en la parte derecha de la pieza de
conexión un tornillo y un orificio con tapón roscado (ver fotografía n° 3.2). Cuando
el agua empieza a entrar en los piezómetros hay que desenroscar el tornillo y retirar
Fig 3.2. Banco hidráulico-
253
el tapón; la velocidad de ascenso del agua en aquéllos debe ser pequeña para que no
se formen burbujas de aire, debiéndose vaciar y volver a llenar todo piezómetro en
el que se vean burbujas.
A medida que los piezómetros se llenan, comienza a salir agua por la rosca del
tornillo y por el orificio, es el momento de colocar un tubo en este último de manera
que el agua -emulsionada- sea conducida al tanque volumétrico. Cuando se observe
que el agua deja de estar emulsionada por haber arrastrado ya las burbujas de aire
que había en los piezómetros, se rosca el tomillo y se coloca el tapón en el orificio,
con lo que finaliza la operación de purgado.
A continuación, y en el orden que se indica, se cierra la válvula de control (Fig.
3.1.-a), la llave de paso (Fig. 3.2) y se para la bomba. Al abrir en estas condiciones
el tornillo, el agua de los piezómetros desciende, debiéndose permitir que esto suceda
hasta que el nivel de agua alcance la mitad de los piezómetros, aproximadamente,
en cuyo momento se volverá a cerrar el tornillo.
Para restablecer la circulación de agua se pondrá en marcha la bomba y después
se abrirá lentamente la llave de paso, al tiempo que se abre también la válvula de
control. Como consecuencia del régimen así establecido, aparecerá un gradiente de
presiones en el tubo de Venturi con lo que el equipo queda dispuesto para su utili
zación en esta práctica.
Una vez estabilizadas las lecturas de los piezómetros, se cierra la válvula de
descarga y se observa, mediante la sonda (Fig, 3.2), el nivel que va alcanzando el
agua en el tanque volumétrico. Cuando el nivel del agua en la sonda coincida con
alguna de las divisiones, se pone en marcha el cronómetro, deteniéndolo en alguna
de las divisiones anteriores a la de seis litros. El resultado de éste y de los otros aforos
se anotará en las casillas correspondientes de la tabla 3.1.
254 1
Cuando el volumen de agua almacenado en el tanque volumétrico haya
superado los seis litros, se hará, al menos, un aforo más. El resultado de los aforos
se anotará en las casillas existentes en la tabla 3.1. Por último se leerán los ocho tubos
piczométricos, anotando estas lecturas en los recuadros dispuesta al efecto en la tabla
3.1.
Sección
Lectura
piezómetro
( )
Volúmenes
Tiempo Inicial
( )
Final
( )
Tiempo
Tabla 3.1. Datos de la práctica ( I a parte).
255
La segunda parte de la práctica consiste en medir la presión de estancamiento
en diversos puntos del eje del tubo de Venturi mediante la colocación en ellos de un
tubo de Pitot. Para ello se desplaza dicho tubo hasta que su extremo ocupe las
posiciones señaladas con los números 1, 2, etc. (Fig. 3.3), anotándose en la columna
de la tabla 3.2 las lecturas correspondientes. Una vez situado el tubo de Pitot en la
posición adecuada, se esperarán sesenta segundos para dar tiempo a la estabilización
del nivel de agua en dicho tubo. Con el registro de la temperatura del agua utilizada
en la realización de la práctica finaliza la toma de datos de ésta.
256
tubo de Pitot. f.
Fig. 3 .3 . Posiciones del tubo de Pitot-
Posición Lectura tubo
Pitot
( )
rz
Tabla 3.2. Datos de la práctica (2fl parte).
Fundamento teórico
257
En el movimiento permanente y uniforme de un líquido, la altura cinética en
un punto cualquiera de una línea de corriente viene dada por la diferencia de lecturas
piezométricas obtenidas con un tubo de Pitot y un tubo piezométrico (ver, a este
respecto, la primera lección de dinámica de fluidos).
En el movimiento permanente de los líquidos se cumple la ecuación de conti
nuidad, por lo que si se conoce el caudal y la sección transversal, puede obtenerse la
velocidad media en dicha sección.
El teorema de Bernoulli o teorema de la línea de corriente establece que en el
movimiento permanente de un fluido ideal e incompresible, la suma de la altura
cinética y piezométrica permanece constante en los puntos en una misma línea de
corriente.
Para estudiar el movimiento de un líquido real, la mecánica de fluidos aplica el
teorema de Bernoulli generalizado, en el que la carga hidráulica se obtiene a partir
de los valores medios de la altura cinética y piezométrica en cada sección y además
se contabilizan las variaciones de carga hidráulica producidas por la presencia de
máquinas hidráulicas en la corriente así como las pérdidas de carga debidas al
rozamiento y a la forma de los conductos.
258
Cuestiones
I a Utilizando los datos obtenidos en la medición de volúmenes y tiempos, determinar
el valor medio, en 1/s, del caudal circulante.
2 a Calcular el número de Reynolds en cada uno de los tramos del conducto en los
que la sección es constante y clasificar el movimiento.
259
3 a A la vista de las lecturas obtenidas al desplazar el tubo de Pitot a lo largo del
conducto, indicai entre qué puntos de la línea axial de corriente se cumple el teorema
de Bernoulli, y señalar alguna razón que explique el incumplimiento de dicho teorema
en los restantes puntos.
4 a Calcular la pérdida de carga entre las secciones que pasan por los puntos 11 y 3.
260
5* ¿Qué condiciones ha de cumplir un movimiento para que, utilizando un tubo de
Pitot y un tubo piezométrico, pueda determinarse la velocidad en un punto cual
quiera? Determinar por ese procedimiento la velocidad existente en el punto 3 de
la figura 3.3, explicando la necesidad de cada una de las condiciones requeridas.
261
6 a Calcular la pérdida de carga que se produce en el cono convergente del tubo de
Venturi siguiendo el método recogido en el apéndice n° 2. La rugosidad absoluta de
las paredes del tubo puede considerarse nula.
262
7 a Deducir la expresión de la velocidad media en el estrechamiento del tubo de
Venturi en Función de la lectura de los piezómetros existentes en las secciones que
pasan por los puntos 11 y 7 (Fig. 3.3), pérdida de carga en el cono convergente y
diámetro de dichas secciones. Indicar los teoremas que sea preciso aplicar en la
deducción.
263
8a Como aplicación de la expresión deducida en el apartado anterior, deducir la que
proporciona el caudal circulante por el tubo de Venturi. Particularizar la expresión
resultante con los valores correspondientes de esta práctica. Comparar el caudal así
calculado con el determinado en la primera de estas cuestiones.
264
Operaciones
264
Operaciones
Comentarios
265
Cuestiones (serán Planteadas nnr el Profesor al término de la práctica^
Programa REMICUAD. BAS
Descripción del procedimiento de ejecución
271
Para ejecutar el programa REMICUAD.BAS en el ordenador IBM AT deben
seguirse los siguientes pasos:
I o Conectar la unidad central del ordenador.
2 o Encender el monitor.
3Q Cuando en la pantalla del monitor se pregunte la fecha, pulsar la tecla "intro",
(ver figura A - l . l ) lo mismo que cuando se solicite la hora.
En la pantalla aparecerán los siguientes caracteres:
C:\>
donde "C": indica que la unidad activa es el disco duro; la raya invertida (\)
muestra que se está trabajando en el directorio principal y el símbolo "mayor
que" es el indicador que caracteriza al conjunto de programas que se deno
mina, genéricamente, sistema operativo MS-DOS.
Dado que el programa que se desea utilizar es GWBASIC se procederá como
sigue:
T E C L A S D E FUNCION 1
9 ) I S I E I B I S I , M B E I B . I B Í B I B I B I I H 1
i i ¡ l
I - BAR RA E SPACI ADORA • LjFH A<i flF Mí
l ü n • • m m
T n mm ESI m
l m W • •
LTECLAS DE MOVIMIENTOJDEL CURSOR
F i g A - 1 . 1 PLANTILLA DE TECLADO
272
4° Escribir G WBAS1C y pulsar "intro". La pantalla cambia y aparece "ok", que
es el indicador propio del BASIC.
5Q Pulsar la tecla de función F3 y a continuación escribir el nombre del programa.
También puede cargarse el programa escribiendo LOAD, pulsando la barra
espadadora una vez y seguidamente, el nombre del programa. En cualquiera
de los casos la orden no se ejecuta hasta que no se pulsa la tecla "intro".
6 o Pulsar la tecla de función F2, o bien, escribir RUN y a continuación pulsar
"intro".
El programa comienza solicitando el nombre con el que el usuario desea que
se almacenen en el disco duro los datos de la práctica. Conviene elegir un nombre
que pueda ser recordado fácilmente ya que después, el programa pregunta si los datos
han sido o no introducidos previamente. Si fueron introducidos y se ha dado
correctamente el nombre como respuesta a la primera pregunta, no es preciso
introducir nuevamente los datos y el control de! programa se transfiere a una zona
del mismo en la que se ofrece la posibilidad de modificar dichos datos. La ejecución
del programa puede ser interrumpida en cualquier momento sin más que pulsar
simultáneamente las teclas "control" y "pausa"(Fíg.A-l.l), pudiéndose reanudar
aquélla actuando como se indicó en el paso sexto.
Si es la primera vez que se introducen los datos, el programa solicita el número
total de lecturas realizadas y el número de lecturas en las que la altura de agua fué
inferior a 100 mm, para seguidamente pedir la introducción de las alturas de agua y
de las correspondientes masas. Finalizada la entrada de datos y de igual forma que
cuando éstos ya han sido introducidos en una ocasión anterior, existe la posibilidad
de comprobar y corregir todos y cada uno de los datos, de manera que el programa
no calcula los parámetros de las rectas de regresión hasta que el usuario no da su
conformidad a la última de las comprobaciones existentes. Si una vez escrito un dato
273
se detecta algún error antes de pulsar la tecla "intro", puede corregirse éste despla
zando el cursor con las "teclas de movimiento del cursor" hasta situarlo debajo del
carácter que se desea modificar y pulsando a continuación la tecla "supr".
Finalizada la fase de cálculo, la pantalla del ordenador informa al usuario de
que datos y resultados están archivados, haciendo aparecer las letras "ok" en dicha
pantalla.
Una vez ejecutado el programa, debe guardarse nuevamente en el disco duro,
para lo cual se escribirá EDfT 10, a fin de solicitar que aparezca en la pantalla la
línea n° 10 del programa. Cuando dicha línea haya aparecido, se desplazará el cursor
hasta situarlo debajo del "1" del número de línea y seguidamente se pulsará la tecla
"supr" tantas veces como sea preciso para borrar el número de línea y el apóstrofe
que le sigue. Hecho ésto, la pulsación de la tecla "intro" ordena grabar el programa
en el disco duro y dejarlo así listo para una posterior ejecución.
Para obtener una copia impresa de datos y resultados hay que preparar la
impresora y para ello se procederá de la siguiente forma:
1° Retirar el papel continuo si está cargado.
2 o Conectar la impresora.
3 o Introducir una hoja en ta abertura dispuesta al efecto.
4 o Pulsar las teclas: "avance página", "en línea" y "avance página",que hay en
el panel de mandos existente en la parte izquierda de la impresora.
La impresora está así en condiciones de recibir la información de la unidad
central y consecuentemente, de imprimir dicha información.
Durante la ejecución del programa se crearon dos archivos: el de datos, cuyo
nombre elige el usuario, y el de resultados, cuya denominación es "RESUL". Ambos
archivos se encuentran en el directorio raíz del disco duro y para acceder a él es
preciso, en primer lugar, abandonar GWBASIC y regresar al sistema operativo, para
lo cual basta con escribir SYSTEM y pulsar "intro". Aparecerán a continuación los
274
caracteres ya conocidos:
C:\>
lo que significa que se está en el directorio principal del disco duro.
Para imprimir el archivo "RESUL" se escribirá PRINT, seguido de un espacio
y del nombre del archivo que se desea imprimir, en este caso, "RESUL", y por último
se pulsará la tecla "intro". Finalizada la impresión de resultados, se extrae la hoja de
la impresora, se desconecta ésta y a continuación, la unidad central y el monitor.
10 'SAVE"C:remicuad.bas",A 20 INPUT "Referencia de la práctica (siete caracteres máx.):",REF$ 30 INPUT "¿Datos ya introducidos(l) o a introducir(0)?",DT:CLS 40 IF DT=1 THEN GOTO 150 50 INPUT "Número de lecturas -altura de agua- realizadas:",N 60 INPUT "Número de la última lectura inferior a 100 mm:",N1 70 DIM M(N),H(N) 80 FOR 1=1 T O N 90 PRINT USING "Altura de agua No W ; I : I N P U T " ;H( I ) 100 PRINT : N E X T I 110 FOR 1=1 T O N 120 PRINT USING "Masa No ##";I:INPUT " ;M( I ) 130 PRINT :NEXTI 140 GOTO 220 150 FILE$ = "C:"+REF$ 160 OPEN FILE$ FOR INPUT AS 1 170 INPUT #1,N,N1 180 FOR 1=1 T O N 190 INPUT #1 , M(I),H(I) 200 NEXTI 2 1 0 C L O S E #1 220 REM Posibilidad de cambiar los datos 230 CLS:PRINT:PRINT 240 PRINT "Número de lecturas:";N 250 INPUT "¿Se desea modificar algo (S/N)?",S$ 260 IF S$="N" OR S$='n" THEN GOTO 290 270 INPUT "¿Nuevo número de lecturas?",N 280 GOTO 230 290 CL&PRINT PRINT 300 PRINT "Número de la última lectura inferior a 100 mm:";N1 310 INPUT "¿Se desea modificar (S/N)?\S$ 320 IF S$="n" OR S$="N" THEN GOTO 350 330 INPUT "¿Número de la última lectura inferiora 100 mm?",N1 340 GOTO 290 350 CLS:PRINT :PRINT 3 6 0 P R I N T " N MASA ALTURA ":PRINT 370 FOR 1=1 TO N 380 PRINT U S I N G " ## ### ###.## M,M(I),H(I) 390 NEXT l:PRINT:PRINT 400 INPUT "¿Hay que hacer cambios (S/N)?",S$ 410 IF S$="N" OR S $ = V THEN GOTO 450 420 INPUT "¿Número (N) que se quiere cambiar?",NUM 430 INPUT "Nueva masa y nueva altura de agua(nueva
masa.nueva aftura)';M(NUM),H(NUM) 440 C L S : PRINT: PRINT: GOTO 360 450 F(LE$ = "C:"+REF$ 460 OPEN FILES FOR OUTPUT AS 1 4 7 0 W R I T E # 1 , N, N1
276
480 FOR I = 1 TO N 490 WRITE # 1 , M( l ) , H(l) 500NEXTI 5 1 0 C L O S E # 1 520 FILE$ = "C:"+REF$ 530 OPEN FILES FOR INPUT AS 1 540 INPUT #1,N,N1 550 FOR 1=1 TO N 560 INPUT #1,M(I),H(I) 570 NEXTI 580 CLOSE #1 590 REM Cálculo de los súmatenos 600 FOR I = 1 TO N1 610SH(0) = 0 620 SH(I) = SHÍJ-1) + H(l) 630 SY(0)= 0 640 SY(I) = SY(I-1) 4- M(I)/(H(I))"2 650 SCH(0)= 0 660 SCH(I)=SCH(I-1)+(H(I))"2 670 SYH(0)=0 680 SYH(I)=SYH(I-1)+M(I)/H(I) 690 NEXTI 700 REM Cálculo de los parámetros de la recta de regresión 710 OR1=((SY(N1))*(SCH(N1))-(SH(N1))*(SYH(N1)))/
(N1*(SCH(N1))-(SH(N1)) A2) 720 PE1=(N1*SYH{N1)-SH(N1)*SY(N1))/(N1*{SCH(N1))-(SH(N1))"2) 730 REM Cálculo de la recta de regresión de m sobre h 740 REM Nueva definición de las variables 750 FOR l=N1+1 TO N 760 H2(I-N1)=H(I) 770 M2{I-N1)=M(I) 7 8 0 N E X T I 790 N2=N-N1 800 REM Cálculo de los sumatorios 810 FOR 1=1 TO N2 820 SH2(0)=0 830 SH2(I)=SH2(I-1)+H2(I) 840 SY2(0)=0 850 SY2(I)=SY2(I-1)+M2(I) 860 SCH2(0)=0 870 SCH2(I)=SCH2{I-1)+(H2(I)) A2 880 SY2H2(0)=0 890 SY2H2(I)=SY2H2(I-1)+M2(I)*H2(I) 900 NEXTI 910 REM Cálculo de los parámetros de la recta de regresión 920 OR2=((SY2(N2))*(SCH2(N2))-(SH2(N2))*(SY2H2(N2)))/
(N2*SCH2(N2)-(SH2(N2)) A2)
277
930 PE2=(N2*SY2H2(N2)-SH2(N2)*SY2(N2))/(N2*SCH2(N2)- (SH2(N2)) A2) 940 OPEN "C:RESUL" FOR OUTPUT AS 2 950 PRINT #2,:PRINT #2, 960 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m/h A2 SOBRE h " 970 PRINT #2,AD$ : PRINT #2, 980AD$=" m/h A 2 h " 990 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1000 FOR 1=1 T O N 1 1010 PRINT #2, USING * ##.#### ';M(I)/H(I) A2,H(I)1020NEXTI 1030 PRINT #2, 1040 AD$=* ordenada pendiente " 1050 PRINT #2, AD$ 1060 PRINT #2,USING " # # . # # A A A A ";OR1,PE1 1070 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1080 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m SOBRE h ' 1090 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1100AD$=" m h " 1110 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1120 FOR l=N1 + 1 T O N 1130 PRINT #2,USING " tHHt Mtt.tt ";M(I),H(I) 1140 NEXTI 1150 PRINT #2, 1160 AD$=" ordenada pendiente ' 1170 PRINT #2,AD$ 1180 PRINT #2,USING " # # . # # A A A A # # . # # A A A A *;OR2,PE2 1190 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1200 CLOSE #2 1210END 1220 CLOSE #2 1230 EN D
277
930 PE2=(N2*SY2H2(N2)-SH2(N2)*SY2(N2))/(N2*SCH2(N2)- (SH2(N2)) A2) 940 OPEN "C:RESUL" FOR OUTPUT AS 2 950 PRINT #2,:PRINT #2, 960 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m/h A2 SOBRE h " 970 PRINT #2,AD$ : PRINT #2, 980AD$=" m/h A 2 h " 990 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1000 FOR 1=1 T O N 1 1010 PRINT #2, USING * ##.#### fHttt.tf ' ;M(I)/H(I) A2,H(I) 1020NEXTI 1030 PRINT #2, 1040 AD$=" ordenada pendiente " 1050 PRINT #2, AD$ 1060 PRINT #2,USING " ";OR1,PE11070 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1080 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m SOBRE h ' 1090 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1100AD$=" m h " 1110 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1120 FOR l=N1 + 1 T O N 1130 PRINT #2,USING " tHHt tHHt.tt ";M(I),H(I) 1140 NEXTI 1150 PRINT #2, 1160 AD$=" ordenada pendiente ' 1170 PRINT #2,AD$ 1180 PRINT #2,USING " # # . # # A A A A # # . # # A A A A *;OR2,PE2 1190 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1200 CLOSE #2 1210END 1220 CLOSE #2 1230 EN D
281
Cálculo de la pérdida de carga en un cono convergente
La pérdida de carga ( A h) que se produce en un cono convergente (Fig. A-2.1)
tiene dos sumandos : el debido al
rozamiento ( A h í ) y el correspon
diente a la separación de la capa
límite ( A / i 2 ) .
Fiq A - 2 . 1 . Cono convergente. . . . , , 3 La expresión general de la pér
dida de carga debida al rozamiento es la siguiente:
A f t , = x A h ' | ( A - 2 . 1 )
en la que " A h' t " es la pérdida de carga que se produce en un conducto cilindrico
de la misma longitud que el cono convergente y sección igual a la sección mayor, y
" x" viene dada por la expresión:
X ~ 4 ( n - l ) ( A 2 ' 2 )
en la que " rt"es el cociente entre el diámetro de entrada (D) y el de salida (d) .
La pérdida de carga que corresponde al despegue de la capa límite se calcula
a través del coeficiente de pérdida de carga, esto es:
v2
&h2 = K— ( A - 2 . 3 )
siendo " v " la velocidad media en la sección mayor del cono convergente y " K " el
coeficiente de pérdida de carga, cuyo valor se obtiene entrando en la tabla A-2.1 con
el valor de " n " y el del ángulo en el vértice (a ).
\ o í 1.15 1.25 1.50 1.75 2 2.5
6 0.006 0.018 0.085 0.23 0.5 1.5
8 0.009 0.028 0.138 0.373 0.791 2.42
10 0.012 0.04 0.20 0.53 1.05 3.4
15 0.022 0.07 0.034 0.934 1.98 6.07
Tabla A-2.1. Coeficiente de pérdida de carga por
separación de capa límite en un cono convergente.
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BIBLIOGRAFIA
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