Capítulo 3 Conceptos fundamentales para el

análisis del flujo de fluidos

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3.1 El campo de velocidades

La propiedad más importante de un flujo es el campo de velocidad V(x, y, z, t). De hecho, determinar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema ya que otras propiedades se obtienen directamente de ésta.

En general la velocidad es un vector función de la posición y el tiempo, que tienen tres componentes escalares u, v y w.

(3.1)

Otras magnitudes, denominadas propiedades cinemáticas, se pueden calcular matemáticamente a partir de la velocidad. Ejemplos de aquellas son el vector de desplazamiento, el vector de velocidad angular local y el flujo volumétrico.

Si las propiedades en cada punto del campo de flujo no cambian con el tiempo, el flujo se denomina permanente. La definición matemática de un flujo permanente es

donde η representa cualquier propiedad del fluido. Para un flujo permanente:

y

Así, en un flujo permanente, cualquier propiedad puede variar de punto en punto en el campo, pero todas las propiedades permanecen constantes con el tiempo.

3.1.1 Flujos uni, bi y tridimensionales

El flujo se clasifica como uni, bi y tridimensional dependiendo del número de coordenadas espaciales requeridas para describir el campo de velocidad. La Ec. (3.1) indica que el campo de velocidad puede ser una función de tres coordenadas espaciales y del tiempo. Dicho campo de flujo se denomina tridimensional (también es no permanente o transitorio) ya que la velocidad en cualquier punto del campo de flujo depende de las tres coordenadas espaciales requeridas para localizar el punto en el espacio.

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No todos los campos de flujo son tridimensionales. Por ejemplo, el flujo permanente a través de una tubería recta de sección transversal uniforme. Lejos de la entrada del tubo la distribución de velocidad se puede describir como

Este perfil de velocidad se muestra en la Figura 3.1 donde se emplean coordenadas cilíndricas (r, θ, z) para localizar cualquier punto en el campo de flujo. El campo de velocidad es una función de r únicamente; es independiente de z y θ, de manera que este es un flujo unidimensional.

Figura 3.1 Ejemplo de flujo unidimensional.

Un ejemplo de un campo bidimensional se ilustra en la Figura 3.2. En esta figura se representa la distribución de velocidad para el flujo entre paredes rectas divergentes, infinitas en la dirección de z. Ya que se considera que el ducto es infinito en z, el campo de velocidad será idéntico en todos los planos perpendiculares a este eje. Consecuentemente, el campo de velocidad es únicamente función de las coordenadas espaciales x, y.

Figura 3.2 Ejemplo de flujo bidimensional.

Como se podría esperar, la complejidad del análisis se incrementa considerablemente con el número de dimensiones del campo de flujo. El más simple de analizar es el flujo unidimensional, siendo el más complicado el flujo tridimensional. Para muchos análisis en ingeniería, un análisis unidimensional es suficiente para obtener soluciones aproximadas, con la precisión que se requiere en ingeniería.

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3.1.2 Líneas de flujo

En el análisis de problemas en mecánica de fluidos, frecuentemente es ventajoso obtener una representación visual del campo de flujo. Esta representación se puede obtener mediante cuatro tipos diferentes de curvas o líneas de flujo; estas son: líneas de tiempo, trayectorias, líneas de emisión y líneas de corriente.

Si un número de partículas de fluido adyacentes en un campo de flujo se marcan en un instante dado, éstas forman una línea en el fluido en ese instante; esta línea es llamada una línea de tiempo. Observaciones subsecuentes de la línea pueden proporcionar información acerca del campo de flujo. Por ejemplo, cuando se discutió el comportamiento de un fluido Newtoniano bajo la acción de un esfuerzo cortante constante, se usó una línea de tiempo para demostrar la deformación del fluido en instantes sucesivos.

Figura 3.3 Líneas de tiempo

Una trayectoria o senda es el camino seguido por una partícula de fluido en movimiento. Para hacer visible una trayectoria, se podría identificar una partícula de fluido en un instante dado, por ejemplo, usando tinta, y tomar entonces una fotografía de larga exposición de un movimiento subsiguiente. La línea trazada así por la partícula es una trayectoria.

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Figura 3.4 Líneas de trayectoria.

Por otro lado, se podría elegir una posición en el espacio e identificar, nuevamente usando tinta, todas las partículas de fluido que pasan a través de este punto. Después de un corto periodo de tiempo tendríamos un número identificable de partículas de fluido en el flujo, todas las cuales habrían pasado, en algún momento, por un punto fijo en el espacio. La línea que une a estas partículas de fluido se define como una traza o línea de emisión.

Figura 3.5 Líneas de traza

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Las líneas de corriente son líneas dibujadas en el campo de flujo de tal forma que, en un instante dado, éstas son tangentes a la dirección del vector velocidad en cada punto del campo de flujo. Ya que en un flujo no permanente la magnitud y dirección del vector velocidad cambiarán con el tiempo en cualquier punto, las líneas de corriente están definidas para un instante dado.

Figura 3.6 Líneas de corriente

En un flujo permanente, la velocidad en cada punto en el campo de flujo permanecerá constante con el tiempo y, consecuentemente, las líneas de corriente no varían de un instante a otro. Esto implica que una partícula localizada sobre una línea de corriente dada permanecerá sobre la misma línea de corriente. Además, partículas consecutivas pasando por un punto fijo en el espacio estarán sobre la misma línea de corriente y permanecerán sobre esta línea subsecuentemente. Así, en un flujo permanente, las trayectorias, las líneas de emisión y las líneas de corriente son líneas idénticas en el campo reflujo.

La forma de las líneas de corriente puede variar de un instante a otro si el flujo es no permanente. En este caso, las trayectorias, las líneas de emisión y las líneas de corriente no coinciden.

3.2 El campo de esfuerzos

En el estudio del medio continuo, se distinguen dos tipos de fuerzas actuando sobre el mismo: las fuerzas de superficie y las fuerzas de cuerpo. Las fuerzas de superficie incluyen todas las fuerzas actuando sobre las fronteras de un medio por contacto directo. Las fuerzas desarrolladas sin contacto físico y distribuidas sobre el volumen del fluido son llamadas fuerzas de cuerpo. Las fuerzas gravitacionales y las electromagnéticas son ejemplos de fuerzas de cuerpo que aparecen en un fluido.

La fuerza de cuerpo gravitacional que actúa sobre un elemento de volumen dV, está dada por ρgdV. Donde ρ es la densidad y g es la aceleración gravitacional local. Así, la fuerza de cuerpo gravitacional por unidad de volumen es ρg.

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Los esfuerzos en un medio resultan de las fuerzas que actúan sobre alguna porción del medio. El concepto de esfuerzo proporciona una manera conveniente de describir la forma en que los esfuerzos que actúan sobre las fronteras del medio se transmiten por el mismo.

En el estudio de la mecánica de sólidos se aprende que las fuerzas de superficie actuando sobre elementos internos aislados matemáticamente (cuerpos libres), dan lugar a esfuerzos normales y tangenciales. En la Figura 3.7 se muestra un paralelepípedo rectangular infinitesimal tomado de un cuerpo, con nueve esfuerzos actuando sobre sus caras exteriores. Se ha empleado un esquema de doble subíndice para identificar los esfuerzos. El primer subíndice indica la dirección normal al plano sobre el cual actúa el esfuerzo, mientras que el segundo indica la dirección del mismo. Los esfuerzos normales tienen subíndices repetidos ya que la normal al plano sobre el que actúa y la dirección del esfuerzo son colineales. Los esfuerzos cortantes tendrán subíndices combinados. Por ejemplo, τyx es el valor del esfuerzo cortante que actúa sobre el plano cuya normal es paralela a y, mientras que el esfuerzo es paralelo a x. El concepto de esfuerzos aplicado a sólidos es válido también para fluidos; en realidad, éste es válido para cualquier medio continuo.

Figura 3.7 Notación para los esfuerzos.

Los esfuerzos en un punto se especifican por nueve componentes:

donde se ha usado σ para designar los esfuerzos normales y τ para los esfuerzos cortantes.

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Con relación al elemento infinitesimal mostrado en la Figura 3.7, se observa que hay seis planos (dos x, dos y y dos z) sobre los cuales pueden actuar los esfuerzos. Con el fin de designar el plano de interés, éstos se nombran en términos de los ejes coordenados. Los planos son llamados y denominados como positivos o negativos de acuerdo con la dirección de la normal hacia fuera del plano. Así, el plano superior, por ejemplo, es un plano y positivo y el plano de atrás es un plano de atrás es un plano z negativo.

También es necesario adoptar una convención de signos para los esfuerzos. Una componente de esfuerzo se considera positiva cuando la dirección de la componente del esfuerzo y el plano sobre el cual actúa son ambas positivas o negativas. Así, τyx = 5 N/m2 representa un esfuerzo cortante sobre el plano y positivo en la dirección positiva de x o un esfuerzo cortante sobre el plano y negativo en la dirección negativa de x.

3.3 Métodos de análisis

Las leyes básicas que se usan para analizar problemas en mecánica de fluidos son las mismas que se emplean en termodinámica y mecánica básica. El primer paso para resolver un problema es definir el sistema que se desea analizar. En mecánica se usa el diagrama de cuerpo libre. En termodinámica se consideran sistemas abiertos o cerrados. En mecánica de fluidos se usan los términos de sistema y volumen de control para el análisis de problemas.

3.3.1 Sistema y volumen de control

Un sistema está definido como una cantidad identificable de masa fija; las fronteras del sistema lo separan de los alrededores. Estas fronteras pueden ser fijas o móviles; sin embargo, no hay transferencia de masa a través de ellas.

En el arreglo pistón – cilindro de la Figura 3.8, el gas en el cilindro es el sistema. Si el pistón está en movimiento, las fronteras se mueven pero la cantidad de materia dentro de las fronteras del sistema permanece fija.

Figura 3.8 Arreglo pistón-cilindro.

Un volumen de control es un volumen arbitrario en el espacio a través del cual fluye un fluido. La frontera geométrica del volumen de control es llamada superficie de control. La superficie de control puede ser real o imaginaria; ésta puede estar en reposo o en movimiento. La Figura 3.9 muestra una posible superficie de control para

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el análisis del flujo a través de una tubería. Aquí, la superficie interior del tubo, una frontera física real, comprende parte de la superficie de control. Sin embargo, las porciones perpendiculares a la dirección del flujo, de la superficie de control son imaginarias. Ya que la localización de las superficies de control tiene un efecto directo sobre el procedimiento considerado en la aplicación de las leyes básicas, es muy importante que la superficie de control esté definida adecuadamente antes de cualquier análisis.

3.3.2 Métodos diferencial e integral

Las leyes básicas que se emplean en el estudio de la mecánica de fluidos se pueden formular en términos de sistemas infinitesimales o finitos y de volúmenes de control. Ambos métodos son importantes en el estudio de la mecánica de fluidos.

En el primer caso, las ecuaciones resultantes son ecuaciones diferenciales. La solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento proporciona un medio de determinar el comportamiento detallado del flujo (punto por punto).

Frecuentemente, en el problema bajo estudio, la información buscada no requiere un conocimiento detallado del flujo. Muchas veces el interés es el comportamiento global de un dispositivo; en tales casos es más apropiado usar la formulación integral de las leyes básicas. La formulación integral, usando sistemas finitos o volúmenes de control generalmente es fácil de tratar analíticamente.

3.3.3 Métodos de descripción

La mecánica trata casi exclusivamente con sistemas, en los cursos de dinámica se aplican las ecuaciones básicas a cantidades fijas e identificables de masa. Por otro lado, en los cursos de termodinámica, a menudo es necesario utilizar análisis de volúmenes de control (sistemas abiertos) para realizar estudios en sistemas o equipos. De esta forma, resulta obvio que el tipo de análisis depende de la clase de problema a estudiar. Donde es fácil seguir la trayectoria de elementos de masa

Figura 3.9 Flujo de un fluido a través de una tubería.

ρ1 V1

ρ2 V2

A1

A2

Volumen de control

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identificables (mecánica de partículas) se emplea un método de descripción que siga a la partícula. Este método se conoce como método de descripción Lagrangiano. Considerando, por ejemplo, la aplicación de la segunda ley de Newton a una partícula de masa fija m, la descripción matemática de la segunda ley de Newton queda expresada por

En la ecuación anterior ΣF es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, a es la aceleración del centro de masa del sistema, V es la velocidad del centro de masa del sistema y r es el vector de posición del centro de masa del sistema, relacionado a un sistema de coordenadas fijo.

Al analizar el movimiento de un fluido, se puede considerar que éste está compuesto por un número muy grande de partículas cuyo movimiento debe ser descrito. Seguir la trayectoria de flujo de cada partícula de fluido por separado se convertiría en un enorme problema de toma de datos, es decir, la descripción del movimiento de cada partícula resultaría inmanejable. Un método conveniente para el estudio de esta clase de problemas es el empleo de volúmenes de control, de donde se obtiene el método de descripción de campo o Euleriano. Este método de descripción centra su atención en las propiedades de un flujo en un punto dado en el espacio, como una función del tiempo. En el método Euleriano, las propiedades de un campo de flujo son descritas como funciones de coordenadas espaciales y del tiempo.

3.4 Movimiento de un elemento de fluido (cinemática)

Antes de la formulación de los efectos de las fuerzas sobre el movimiento de un fluido (dinámica) es apropiado considerar el movimiento (cinemática) de un elemento de fluido en un campo de flujo, como el que se muestra en la Figura 3.10.

Figura 3.10 Elemento infinitesimal de fluido.

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Conforme un elemento de masa infinitesimal, dm, se mueve en un campo de flujo, pueden ocurrirle tres movimientos fundamentales: traslación, rotación y deformación. Un elemento que se traslada está sujeto a un desplazamiento lineal de una posición x, y, z a una posición diferente x1, y1, z1. Por rotación del elemento es posible que su orientación paralela a los ejes coordenados (Figura 3.10) cambie. Además, el elemento puede sufrir una deformación que se divide en dos partes: lineal y angular. La deformación lineal implica un cambio en la forma, sin cambio de orientación del elemento. La deformación angular implica una distorsión del elemento en la que los planos que eran originalmente perpendiculares ya no lo son. Estas cuatro componentes del movimiento se ilustran en la Figura 3.11.

Figura 3.11 Representación gráfica de las componentes del movimiento de un fluido.

3.4.1 Aceleración de una partícula de fluido

Considerando un elemento de masa fija dm es posible encontrar la ecuación de movimiento de esta partícula al aplicarle la segunda ley de Newton. Al considerar que la partícula se mueve en un campo de velocidad donde éste queda determinado por una expresión dependiente de las coordenadas espaciales y temporales, tal que V =V(x, y, z, t). De esta forma, conociendo el campo de velocidades del fluido se requiere, a partir de éste, determinar la aceleración de una partícula de fluido.

Dado que la velocidad de la partícula, en su forma más general, depende de las tres coordenadas espaciales y del tiempo, su aceleración quedará expresada por

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(3.2)

La derivada DV/Dt se denomina comúnmente derivada sustancial o material. De acuerdo con la ecuación anterior, es posible observar que una partícula de fluido que se mueve en un campo de flujo puede experimentar aceleración por dos razones. Puede acelerarse porque se lleva adentro de una región de mayor (o menor) velocidad. Por ejemplo, el flujo permanente a través de una tobera, en el cual el campo de flujo no es función del tiempo, pero la partícula se acelerará conforme se mueva a través de la tobera, es decir, las partículas se llevan a una región de velocidad más alta. Si un campo de flujo es transitorio, una partícula de fluido experimentará una aceleración “local” adicional, debido a que el campo de velocidad es función del tiempo.

Los primeros tres términos en la Ec. (3.2) se conocen como aceleración convectiva, mientras que el último es conocido como aceleración local. La aceleración convectiva puede expresarse en términos del operador vectorial nabla como

de forma que

(3.3)

Como cualquier ecuación vectorial, la Ec. (3.2) puede escribirse mediante ecuaciones de componentes escalares. En relación con un sistema en coordenadas cartesianas, las componentes escalares de la Ec. (3.2) son

(3.4)

(3.5)

(3.6)

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Las componentes de la aceleración en coordenadas cilíndricas pueden obtenerse del conjunto de ecuaciones anteriores, expresando la velocidad V en coordenadas cilíndricas y empleando la expresión apropiada para el operador ∇, de forma que

(3.7)

(3.8)

(3.9)

3.4.2 Rotación

La rotación, ω , de una partícula de fluido se define como la velocidad angular promedio de dos elementos de línea cualesquiera de la partícula, mutuamente perpendiculares. La rotación es una cantidad vectorial. Una partícula que se mueve en un campo de flujo tridimensional puede rotar alrededor de los tres ejes coordenados,

(3.10)

Como se comentó anteriormente, el movimiento arbitrario de un elemento de fluido consta de traslación, rotación y deformación. Para ilustrar la rotación de un elemento de fluido, considérese, para un tiempo t = to, el volumen de control mostrado en la Figura 3.12. Por simplicidad, se selecciona un elemento rectangular infinitesimal que se traslada en el plano z = 0, con una velocidad (u, v), en su esquina número 1. Las longitudes de los lados, paralelos a las direcciones x e y son Δx y Δy, respectivamente.

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Figura 3.12 Velocidad angular de un elemento rectangular de fluido.

Debido a las variaciones de velocidad, el elemento de fluido puede rotar y presentar deformación en forma simultánea, por ejemplo, la componente x de la velocidad en la esquina superior (No. 4) del elemento está dada por u + (∂u/∂y)Δy, donde los términos de orden superior son despreciados. En un tiempo posterior (t = to+ Δt) esta diferencia en las velocidades de los segmentos 1–2 y 3–4 causará deformación en el elemento de fluido, como se muestra en el lado derecho de la Figura 3.8. La componente de la velocidad angular ωz del elemento de fluido puede obtenerse al promediar las velocidades angulares instantáneas del los segmentos 1–2 y 1–4 del elemento. La velocidad angular instantánea del segmento 1–2 es la diferencia en las velocidades lineales de las dos aristas de este segmento dividido por la distancia Δx,

y la velocidad angular del segmento 1–4 es

La componente z de la velocidad angular del elemento de fluido es, por lo tanto, el promedio de estas dos componentes,

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Las dos componentes adicionales de la velocidad angular se pueden obtener de forma similar, con lo que

De esta forma, el vector de velocidad angular queda expresado por

(3.11)

Esta expresión puede presentarse en notación vectorial como

(3.12)

Una partícula de fluido moviéndose sin rotación en un campo de flujo, no puede desarrollar una rotación bajo la acción de una fuerza másica o de fuerzas de superficie normales (presión). El desarrollo de rotación en una partícula de fluido, inicialmente sin ese movimiento, requiere de la acción de un esfuerzo cortante sobre la superficie de la partícula. Puesto que el esfuerzo cortante es proporcional a la relación de deformación angular, entonces una partícula que se encuentra inicialmente sin rotación no desarrollará una rotación sin una deformación angular simultánea. El esfuerzo cortante se relaciona con la relación de la deformación angular mediante la viscosidad. La presencia de fuerzas viscosas significa que el flujo es rotacional.

La condición de irrotacionalidad puede ser una suposición válida para aquellas regiones de flujo en las que son despreciables las fuerzas viscosas.

Una cantidad que es conveniente introducir en este punto es la vorticidad, la cual está definida como el doble de la velocidad angular

(3.13)

La vorticidad es una medida de la rotación de un elemento de fluido conforme éste se mueve en el campo de flujo.

Considerando ahora una superficie abierta S, como la que se muestra en la Figura 3.13, para la cual la curva cerrada C es su frontera, con el empleo del teorema de Stokes la vorticidad en la superficie puede relacionarse con la integral de línea alrededor de C, tal que

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donde es perpendicular a S. La integral del lado derecho de la ecuación anterior se denomina circulación y se denota por Γ,

(3.14)

Esta relación puede ilustrarse una vez más empleando el elemento de fluido mostrado en la Figura 3.12. La circulación ΔΓ se obtiene al evaluar la integral de línea cerrada de la componente tangencial de la velocidad alrededor del elemento de fluido. Obsérvese que la dirección positiva corresponde a la dirección positiva de ω.

Figura 3.13 Relación entre las integrales de línea y de superficie.

Para el caso general tridimensional estas conclusiones pueden resumirse como

(3.15)

La circulación está por tanto de alguna forma ligada a la rotación en el fluido (por ejemplo, a la velocidad angular en la rotación del tipo de cuerpo sólido). En la Figura 3.14 se presentan dos ejemplos para ilustrar el concepto de circulación. La curva C (líneas punteadas) muestra una circunferencia en ambos casos. En la Figura 3.14(a) el campo de flujo consiste en líneas de corriente circulares concéntricas en la dirección contraria a las manecillas del reloj. Es claro que a lo largo de la trayectoria circular de integración C los vectores velocidad V y segmento de línea dl de la Ec. (3.14) son positivos para todo dl y, por lo tanto, C tiene una circulación positiva.

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Figura 3.14 Campos de flujo con (a) y sin (b) circulación.

En la Figura 3.14(b), el campo de flujo es el flujo simétrico de una corriente uniforme fluyendo alrededor de un cilindro. Es obvio que dada la simetría del flujo la circulación es cero en este caso.

Para ilustrar el movimiento de un fluido con rotación, se considera el volumen de control mostrado en la Figura 3.15(a) que se mueve a lo argo de la trayectoria l. Asumiendo que las fuerzas viscosas son extremadamente grandes y que el fluido rota como cuerpo rígido a lo largo del trayecto l. En este caso ∇×V ≠ 0 y el flujo se denomina rotacional. Para el movimiento del fluido descrito en la Figura 3.15(b), las fuerzas cortantes en el fluido son despreciables y los elementos de fluido a su alrededor no provocan rotación en él debido a las fuerzas cortantes. En este caso ∇×V = 0 y el flujo se considera irrotacional.

Figura 3.15 Movimiento rotacional e irrotacional de un electo de fluido