Lecciones de mecanica de fluidos.pdf

el Celemín Matachana

WEJD

UNIVERSIDAD DE LEON 1996

LECCIONES DE M E C A N I C A DE FLUIDOS

V I I

INDICE

INTRODUCCION XV

ler Tema: Estática de fluidos . »

1' Lección

1.1.1. Fluidos: definición y clasificación 11.1.1.1. Clasificación 2

1.1.2. Concepto de presión 31.1.2.1. Unidades 41.1.2.2. Isotropía de la presión 5

1.1.3. Densidad y compresibilidad 61.1.4. Aplicación: estudio de la compresión isoterma del

aire en una tubería 10

2' Lección

1.2.1. Ecuación fundamental de la estática de fluidos 141.2.1.1. Presión atmosférica 161.2.1.2. Presión hidrostática 17

1.2.2. Principio de Pascal 181.2.3. Barómetros 20

1.2.3.1. Tipos de barómetro 231.2.4. Manómetros 26

1.2.4.1. Piezómetros 281.2.4.2. Manómetros de líquido 291.2.4.3. Manómetros metálicos 301.2.4.4. Empleo de los distintos manómetros 31

3* Lección — ———• —-— —

1.3.1. Principio de Arquímedes: la subpresíón 321.3.2. Equilibrio de los cuerpos sumergidos 361.3.3. Determinación de la densidad de sólidos y líquidos 40

1.3.3.1. Análisis granulométrico por sedimentación 44

4 1 Lección - —-—

1.4.1. Sistema de fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida 48

1.4.1.1. Momentos de inercia de un área 521.4.2. Aplicación: equilibrio de un azud 541.4.3. Fórmula de Mariotte 57

5* Lección —

1.5.1. Fuerzas intermoleculares 591.5.2. Tensión superficial 61

1.5.2.1. Unidades 641.5.3. Sobrepresión de curvatura 651.5.4. Formación de meniscos 67

V I I I

1.5.5. Capilaridad 681.5.6. Aplicación: ascenso de la savia en árboles y plañías 70

2 9 Tema: Cinemática de fluidos 1

1* Lección

2.1.1. Descripción del movimiento de un fluido: métodos de Lagrange y Euler 72

2.1.2. Lfnea de corriente, de trayectoria y de traza 732.1.3. Clasificación macroscópica del movimiento de un fluido 752.1.4. Otras clasificaciones 782.1.5. Concepto de caudal 792.1.6. Ecuación de continuidad 812.1.7. Aceleración 84

3er Tema: Dinámica de fluidos

1* Lección

3.1.1. Teorema de Bernoulli 873.1.1.1. Representación gráfica del teorema de Bernoulli 98 3.1.1.2. Cálculo del trinomio de Bernoulli 100

3.1.2. Teorema de Torricelli 1023.1.3. Tubo de Venturi 1033.1.4. Tubo de Pitot 1063.1.5. Tubo de Prandtl 1083.1.6. El sifón 110

2* Lección

3.2.1. Estudio de la viscosidad 3.2.1.1. Unidades 3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad 3.2.1.3. Medición de la viscosidad

3.2.2. Máquinas hidráulicas 3.2.3. Generalización del teorema de Bernoulli

3.2.3.1. Gráfico de energía 3.2.4. Estudio del movimiento de un fluido real

3.2.4.1. Bernoulli entre las secciones 1 y 2 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.2. Bernoulli entre las secciones 2 y 3 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.3. Bernoulli entre las secciones 1 y 4 (Fig. 3.2.7)

3* Lección

3.3.1. Régimen laminar y turbulento 1403.3.1.1. Capa límite 146

3.3.2. Fórmula de Poiseuille 1473.3.3. Fórmula de Darcy-Weisbach 1513.3.4. Ley de Stokes 153

3.3.4.1. Aplicaciones 157

113 117 119 122 124 125 128 132 132 137 138

Ejercicio n°l Sistemas de fuerzas hidrosíáticas, equivalencia mecánica de siste

mas de fuerzas, centro de áreas, equilibrio del sólido rígido

Ejercicio n°2 Reducción de sistemas de fuerzas, barras articuladas cargadas en

nudos, equilibrio del sólido rígido.

Ejercicio n 1^ Fuerzas de subpresión, centro de áreas, reducción de sistemas de

fuerzas, equilibrio del sólido rígido.

Ejercicio n°4 Fuerzas h'tdrostáticas sobre área circular, momento de inercia,

centro de áreas, centro de presión, estabilidad al vuelco.

Ejercicio n°5 Centro de carena, centro de gravedad, metacentro, empuje de

Arquímedes, equilibrio de cuerpos flotantes.

Ejercicio n°6 Empuje de Arquímedes, peso y peso específico, centro de carena,

equilibrio de cuerpos flotantes.

Ejercicio nD7 Distribución de velocidad en régimen permanente y uniforme, cál

culo del caudal a partir de la definición y por aplicación del segundo teorema de Guldin.

Ejercicio na8 Estudio del movimiento de una partícula de fluido por aplicación

de la segunda ley de Newton, teorema de Torricelli.

Ejercicio n°9 Aplicación del teorema de Bernoulli a un fluido ideal, ecuación

general de la estática de fluidos, principio de continuidad.

X

Ejercicio n°10 189Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a un fluido

real, cálculo del coeficiente de fricción por aproximaciones sucesivas, principio de continuidad, número de Reynolds.

Gráfico de energía. 194

Ejercicio n°ll 195Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a un fluido real,

pérdidas localizadas de carga, presión manométrica y absoluta, definición de caudal.

Gráfico de energía 199

Ejercicio n°12 200Estudio de una elevación de agua mediante el teorema de Bernou

lli generalizado, determinación de la carga hidráulica y obtención de ¡a potencia teórica de ¡a bomba, definición de caudal.

Ejercicio n°13 203Cálculo de la carga hidráulica necesaria para la elevación de agua

entre depósitos mediante la aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, definición de caudal, potencia teórica de una bomba.


Ejercicio nD14 207Aplicación del teorema de Bernoulli generalizado a una impulsión

de agua entre depósitos, consideración de tuberías de características geométricas distintas y de pérdidas de carga localizadas y unitarias, principio de continuidad.


Ejercicio nB15 211Resolución de un sistema de tuberías, con punto alto interme

dio , por doble aplicación del teorema de Bernoulli generalizado, principio de continuidad, pérdidas localizadasy unitarias.


X I

Práctica n e l : Aparatos para la medida de presiones en fluidos 219

Práctica n°2: Estudio de la distribución de fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas 229

Práctica n°3: Teorema de Bernoulli 247

Apéndice n°l: Programa REMICUAD.BAS. 271

Apéndice n°2: Pérdida de carga en un cono convergente. 281

Bibliografía. 285

X I U

PRÓLOGO

Estas "Lecciones de Mecánica de Fluidos" han venido siendo utilizadas, desde el curso 1990-1991, como guiones de clase para la implantación del capítulo homónimo del Programa de Física de la que era Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola y hoy es Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria.

Varias fueron las ocasiones en las que, a lo largo de los cursos transcurridos desde que estas Lecciones fueron escritas, pensé en su publicación; sin embargo no debí encontrar motivos suficientes para iniciar los correspondientes trámites. He creído que las circunstancias actuales: aplicación del Plan de Estudios de la Reforma y la consiguiente extinción del Plan 1971 sí son motivos que justifican la edición de las Lecciones, por lo que solicité ésta y la obtuve, del Servicio de Publicaciones.

En el presente curso 1995-1996 ha comenzado, en la Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria, la aplicación de la Reforma de los Planes de Estudios. Un cambio de plan de estudios es ocasión para reflexionar sobre contenidos, introducción de nuevas formas docentes, optimización del tiempo de los alumnos, etc. En ese sentido espero que este libro ayude a alcanzar alguno o algunos de esos objetivos.

En el nuevo Plan de Estudios, la asignatura de Física ha sido sustituida por Física I y Física I I . Este libro será utilizado en la enseñanza de los contenidos de Mecánica de Fluidos que hay en cada una de las anteriores materias.

En el curso 1995-1996 se ha iniciado también la paulatina extinción del Plan 1971 y con ella, la desaparición de la enseñanza oficial de la asignatura de Física de dicho Plan. He pensado que estas "Lecciones de Mecánica de Fluidos" podrían ayudar a los alumnos del Plan 1971 a preparar adecuadamente la asignatura.

A los agradecimientos que, en su día, recogí en la introducción a estas Lecciones, y que hoy reitero, añado el que quiero hacer llegar al Servicio de Publicaciones de esta Universidad, dirigido por el Dr. José Manuel Martínez Rodríguez.

León, febrero de 1996 Miguel Celemín Matachana Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Universidad de León

XV

INTRODUCCION

En este libro se desarrollan, en forma teórico-práctica, las lecciones que cons

tituyen el capítulo titulado "Mecánica de Fluidos" del programa de Física que se

imparte en la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de la Universidad

de León. Dos han sido, fundamentalmente, las razones por las que se eligió dicho

capítulo, y no otro del programa, para ser desarrollado por escrito: en primer lugar

se encuentra el hecho del carácter de materia "casi nueva" que la mecánica de fluidos

tiene para los alumnos que acceden a la universidad, a lo que contribuye el que nada

relativo a dicha materia figure en los temarios oficiales del Curso de Orientación

Universitaria (B.O.E. del 17 de Marzo de 1978); en segundo lugar, el tratarse de una

materia básica para la formación de) ingeniero técnico agrícola, y ésto en un doble

sentido, ya que no sólo es importante por las aplicaciones que en sí misma encuentra

en el ejercicio de la ingeniería agraria, sino también porque muchos de sus conceptos

se necesitan para el estudio de otras partes de la Física tales como Termodinámica,

en general, y Meteorología, en particular.

La estructura de este libro: contenidos teóricos, ejercicios y prácticas de labo

ratorio pretende, bajo su título, transmitir la idea de que teoría y práctica y espe

cialmente, las prácticas de laboratorio, han de estar estrechamente relacionadas entre

sí, buscando la mejor integración posible de una en otra. Aunque puede decirse que

esta idea es de aplicación a la ingeniería en general, es en las escuelas de ingeniería

técnica donde adquiere una mayor relevancia debido a las características del técnico

que en ellas se forma.

De acuerdo con lo anterior, en la primera parte del libro se desarrollan los

contenidos del programa teórico relativos a la mecánica de fluidos, prestando especial

atención a las aplicaciones de algunos de dichos contenidos -Teorema de Bernoulli,

ecuación general de la hídrostática, etc.,- en ciertos casos de interés para el alumno

desde el punto de vista de su actividad futura. En la segunda parte del libro se ha

X V I

efectuado la resolución detallada de quince ejercicios de aplicación de los conceptos

estudiados, habiéndose dibujado en la mayoría de los de dinámica el gráfico de

energía, que es la representación del teorema de Bernoulli. Con el fin de potenciar

al máximo ciertos hábitos que los alumnos han adquirido como son: actuar reflexi

vamente ante la resolución de ejercicios, explicar éstos e indicar los teoremas y

conceptos aplicados en dicha resolución, etc., y a la vez, remabilizar el tiempo que

el alumno dedica al ejercicio, cada uno va acompañado de unos "comentarios a la

resolución" que, con objeto de que su lectura no obligue a ver simultáneamente la

resolución del ejercicio, han sido incluidos en un bloque que precede a ésta. La tercera

y última parte del libro contiene los guiones de las clases prácticas de laboratorio

seleccionadas para la visualización de los fenómenos estudiados así como para la

familiarización del alumno con las técnicas experimentales básicas. Con la realización

de las prácticas también se intenta iniciar al alumno en la faceta de usuario de pro

gramas estándar, haciendo que ejecute un programa basado en cálculos de los que,

por conocer su fundamento, posee criterio para juzgar ios resultados de la ejecución

de dicho programa, aspecto éste muy importante cuando, probablemente, el orde

nador sea una herramienta de trabajo en su vida profesional.

Varias son las personas que de una u otra forma han tenido que ver con la

realización de este libro. A todas ellas mi agradecimiento y de modo especial a quienes

han colaborado más directamente: Covadonga Palencia Coto, por su ayuda en la

verificación y puesta a punto de los equipos y prácticas de laboratorio; Rafael

González Ortega, que delineó las figuras; Pablo Peláez Aller que hizo el tratamiento

de textos y por último, pero no en último lugar, a mi compañero Andrés Liaño

Herrera, Profesor Titular de Universidad del Dpto. de Ciencias y Técnicas de Agua

y del Medio Ambiente, en la E.T.S, de Ingenieros de Caminos de Santander, por sus

acertadas sugerencias.

Miguel Celemín Matachana

León, Septiembre de 1990.

1

I-Tema. Es ¡ática de Fluidos.

¡-Lección. Fluidos: definición y clasificación. Concepto de presión. Den

sidad y compresibilidad. Aplicación: estudio de la compresión isoterma del

aire en una tubería.

1.1.1. FLUIDOS: DEFINICION Y CLASIFICACIÓN

Al iniciar el estudio de la mecánica de fluidos parece obligado definir aquello

que va a ser objeto de dicho estudio. Antes de proponer, por tanto, una definición

de fluido y dado que en el capítulo anterior del programa de la asignatura se ha

estudiado el comportamiento de un sólido real bajo las hipótesis del modelo elástico

lineal, puede resultar esclarecedor establecer una comparación entre dicho com

portamiento y el de un fluido.

La diferencia más notable entre el comportamiento de un sólido y el de un fluido

se presenta al analizar la respuesta de uno y otro frente a tensiones tangenciales. La

fig. 1.1.1 muestra un cuerpo sólido solicitado por un estado de tensión tangencial

pura. Como consecuencia de dicho estado el sólido se deforma ( contorno en trazo

discontinuo) y las fuerzas internas movilizadas

por el sólido hacen posible que se alcance una

configuración de equilibrio en la que se cumple:

x-yG (1.1.1)

donde " G" es, como se recordará, el módulo de

Fig. 1.1.1. Deformación de elasticidad transversal y "v"la deformación un sólido solicitado por .

angular. tensión tangencial pura.

2

Cuando se aplica una tensión tangencial a un fluido no se alcanza una

configuración de equilibrio; el fluido se deforma continuamente siendo la velocidad

de deformación angular y no la deformación angular, la magnitud que está relacio

nada con las tensiones tangenciales " T " a través del coeficiente de viscosidad " u,",

es decir,

La ecuación 1.1.2 -denominada ley de Newton de la viscosidad- expresa lo que

puede ser considerado como el aspecto más relevante del comportamiento de un

fluido, por lo que éste es recogido en la mayoría de las definiciones de fluido que

se encuentran en la bibliografía y en particular, en la que aquí se propone, cuyo

enunciado es el siguiente: un fluido es un medio material, continuo, deformable,

desprovisto de rigidez que puede fluir; es decir, sufrir grandes deformaciones bajo la

acción de fuerzas de cuya intensidad depende la mayor o menor velocidad de dichas

deformaciones.

1.1.1.1. Clasificación

Los fluidos pueden ser clasificados atendiendo a diversos criterios, dos de los

cuales tienen su origen en la ecuación 1.1.2. Así, el cumplimiento ono de esta ecuación

permite clasificarlos como newtonianos o no newtonianos respectivamente, mientras

que con arreglo al valor del coeficiente de viscosidad, los fluidos pueden clasificarse

como ideales o reales, según que dicho coeficiente se suponga o no cero. Sin embargo,

la clasificación más elemental de los fluidos quizá sea aquella que distingue entre

líquidos y gases, en la que el criterio de clasificación es el estado en el que se presenta

la materia.

3

Una de las diferencias más conocidas entre los líquidos y los gases consiste en

que los primeros ocupan un volumen determinado y presentan superficie libre,

mientras que los segundos, no. La explicación a esta diferencia se encuentra en la

forma en la que se disponen espacialmente las moléculas de un líquido y las de un

gas. Los líquidos se comportan como se ha indicado, debido a que sus moléculas están

muy próximas unas de otras, por lo que se ejercen mutuamente fuerzas atractivas de

origen eléctrico cuya intensidad permite, sin embargo, que las moléculas puedan

desplazarse aleatoriamente en el seno del líquido. En los gases las moléculas están

muy separadas y como consecuencia apenas se ejercen fuerzas entre sí, lo que implica

que las moléculas se desplazan libremente hasta ser detenidas por un contorno. Un

gas, por tanto, se expande hasta ocupar todo el volumen del que dispone.

Los líquidos y los gases presentan analogías y diferencias que irán poniéndose

de manifiesto a medida que se vayan estudiando determinadas propiedades de los

fluidos. Entre las propiedades comunes se encuentra la de ejercer presiones sobre

las superficies con las que el fluido tiene contacto; entre las propiedades diferen-

ciadoras, la densidad y la compresibilidad son las más importantes. Estas propiedades

serán estudiadas en los dos apartados siguientes.

Por último, conviene tener bien presente que aunque la estructura molecular

es el origen de las propiedades de los fluidos y que por tanto, en algunas ocasiones

se recurrirá a ella, es el comportamiento macroscópico, es decir, a gran escala, el que

se considera en la resolución de los problemas que se plantean en ingeniería. Se dice,

entonces, que se considera al fluido como un medio continuo.

LL2. CONCEPTO DE PRESION

La presión de un fluido se define como la fuerza normal que ejerce la materia

fluida sobre una superficie cualquiera. Si" A f „ " es el módulo de la fuerza normal

que actúa sobre un elemento infinitesimal de superficie " A 5 " que contiene a un

punto, la presión media " pm " en el punto considerado es :

P m ~ (1.1.3)

Se define la presión en un punto como el limite de la presión media calculada

en dicho punto, es decir:

A f , dFn

p = l im p m = ¡im ——• = - ~ . (1.1.4) A S - o Ü S - O A 6 a ó

De la ecuación 1.1.4 se deduce que la presión de un fluido da lugar a un sistema

de fuerzas, siendo la expresión vectorial genérica de una de ellas la siguiente:

dF'p.dS.ñ • , (1.1.5)

La definición de presión muestra claramente que se trata de una magnitud de

carácter escalar, que puede, sin embargo, ser utilizada como indica la ecuación 1.1.5;

formando parte de la fuerza que resulta cuando la presión actúa sobre una superficie.

1.1.2.1. Unidades

Sistema Cegesimal

La unidad es ^ 7 = baria. Dado que es una unidad muy pequeña para los usos

habituales, se utiliza, frecuentemente, el múltiplo de ella denominado bar, siendo

la relación entre ambas la siguiente:

1 bar - 10*barias

Sistema Internacional

La unidad es f"a"°" «= pasca l. Aunque mayor que la baria sigue siendo una

5

unidad muy pequeña, por lo que se utilizan los múltiplos con los prefijos adecuados,

es decir,

IkPa= lQ3Pa

1 \MPa=\QbPa

~ lGPa-\09Pa

Sistema Técnico

La unidad eskp/m2ókgf/m\ ;

Además de las unidades reseñadas se utilizan otras como el "kgf í'cm2~,

" i/m2" y la anglosajona " p . s. i." (libras / pul gado.2} que pertenece al sistema

técnico inglésy cuya relación con la unidad usual de presión en España es la siguiente:

1 kgf/cm2 -= ! 4p .s. t .

La relación de unidades de presión se completará mas adelante con aquéllas

cuya utilización más extendida se da en el contexto de la meteorología para la

medición de la presión atmosférica.

1.122. Isotropfa de la presión

Una de las propiedades más importantes de la estática de fluidos es la que

establece que en el interior de un fluido en reposo se verifica que la presión en un

punto cualquiera, es la misma en todas las direcciones. Para demostrarlo, se considera

un punto" O " de un fluido en reposo y en él

un sistema de ejes cartesianos. La línea AB

representa la dirección de un plano cual

quiera infinitamente próximo a" Oaunque

en la figura 1.1.2 se haya dibujado separado

de él, en beneficio de la claridad del

Fig. 1.1.2. Sección recta infini- esquema. Los ejes coordenados y la línea tesimal de un prisma de fluido en reposo. AB definen una sección recta infinitesimal

P x ¿ y

de un elemento prismático de fluido cuya dimensión perpendicular al papel es 1

unidad. .

Puesto que el fluido está en reposo, el efecto que ejerce la parte suprimida

éste tiene que estar representado por una fuerza normal a la superficie considerad

ya que de no ser así, no sería posible el equilibrio. Basta tener presente a este respe

que un fluido se deforma continuamente ante la aplicación de fuerzas tangencial

(ec. 1.1.2.). En consecuencia, el sistema de fuerzas que actúa sobre el elemento de

fluido considerado, es el que aparece en la figura 1.1.2.

Imponiendo la condición de equilibrio (R - 0) para el elemento de altura

unidad se obtienen las siguientes ecuaciones escalares:

p x - A y - p - A S - sena - 0 (1.1.6)

j - ^ - y A x - Ay - p y • Ax + p - & S • cosa= 0 (1 .1 .7)

y teniendo en cuenta las relaciones geométricas que se dan en la figura 1.L2 resulta:

p i - p = 0 (1.1.8)

| y A y - p y * p = 0 (1.1.9)

Al hallar el límite cuando A y -» Ode la ecuación 1.1.9 resultap y = p , yconla

ecuación 1.1.8 se tiene, finalmente:

PM'P>"P (1.1.10)

Dado que la orientación " ot" del plano considerado es arbitraria, queda

demostrada la propiedad.

1.13. DENSIDAD Y COMPRESIBILIDAD

Se define la densidad " p" de un cuerpo como la masa por unidad de volumen,

es decir:

7

P = ^ (1,1.11)

Las unidades en las que con más frecuencia se expresa la densidad son el

"g/cm 3 ", en el Sistema Cegesimal y el" kg/cm3"tn el Sistema Internacional.

En general, la densidad de un cuerpo depende de la presión y de la temperatura,

aunque la importancia de esta dependencia es función del estado en el que se presenta

la materia.

En lo que se refiere a los fluidos líquidos, las variaciones de volumen debidas

ala temperatura se estudian mediante el coeficiente de dilatación cúbica "p", cuya

expresión es:

P — ^ (1.1.12)

mientras que los cambios de volumen cuya causa se encuentra en las variaciones de

presión se cuantifican a través del módulo de elasticidad volumétrica o módulo de

compresibilidad "K", que se define:

La ecuación 1.1.12 y las consecuencias que se derivan de ella, como los movi

mientos de convección de las masas de agua, se suelen estudiar en el contexto de los

fenómenos térmicos, ya que su influencia en los aspectos prácticos de la mecánica

de fluidos es muy escasa.

Mucho más interés ofrece, al menos desde el punto de vista conceptual, la

compresibilidad. En efecto, ello es así hasta el extremo de que en la mayoría de los

textos relativos a mecánica de fluidos se señala que el estudio que en ellos se realiza

está limitado al de los fluidos incompresibles, que es tanto como decir al de los fluidos

8

líquidos, como se verá más adelante. La compresibilidad de los líquidos supone,

consiguiente, que las únicas variaciones de volumen son debidas a cambios en

estado de presiones.

Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 1.1.11 resulta:

Lp-Lm-LV (1.1.14

diferenciando esta última ecuación, teniendo en cuenta el principio de conservació

de la materia, y reemplazando las diferenciales por incrementos se llega a:

p v

y sustituyendo este resultado en 1.1.13, se obtiene otra expresión para el módulo

compresibilidad,

A p K - ~ ~ (1.1.1

Ap/p

Las ecuaciones 1.1.13 y 1.1.16 muestran que las unidades en las que se expr

el módulo de compresibilidad son las mismas que las de la presión, siendo usu

hacerlo en kgf/cm2 oenGPa.

El valor del módulo de compresibilidad para el agua es d

2.1 x lOAkgf/cmz ó 2.1 GPa De este orden de magnitud es también el módul

de compresibilidad de los líquidos, lo que justifica que en muchas aplicaciones de

mecánica de fluidos se suponga que la densidad es independiente de la presión,

esto consiste la hipótesis de incompresibilidad de los líquidos, lo que a efect

prácticos supone admitir, también, que la densidad permanece constante.

La hipótesis de incompresibilidad de los líquidos simplifica notablemente

desarrollo de los cálculos y conduce a resultados muy aproximados en números

aplicaciones de la mecám'ca de fluidos. Sin embargo, esta hipótesis no es de aplicació

en algunos casos, como son aquéllos en los que tienen lugar cambios repentinos e

9

la velocidad, que originan grandes fuerzas inerciales y, como consecuencia, se generan

alias presiones "que en este caso sí que producen efectos de compresibilidad. Un

ejemplo de esto último lo ofrece la parada repentina de un grupo de bombeo que da

lugar a la aparición del fenómeno que se conoce como golpe de ariete.

En los gases, la variación de la densidad con la presión y la temperatura se

deduce de su ecuación de estado. Así, para los gases ideales, para los que la ecuación

de estado es:

pV = nRT (1.1.17)i

la expresión de la densidad se obtiene sustituyendo ei número de moles " n " por la

masa molecular y dividiendo ésta por el volumen. Resulta así:

ecuación que refleja la relación de dependencia que se da entre la densidad y las

variables de estado presión y temperatura.

Dado que se dispone de la expresión de la densidad de ungasy que la deducción

de la ecuación 1.1.16 no contiene restricción alguna para su aplicación, se utilizará

ésta para obtener el módulo de compresibilidad de un gas.

Tomando logaritmos neperianos en 1.1.18 se obtiene:

Lp = Lp*LPm- LR-LT (1.1.19)

y diferenciando resulta:

A p á o A 7" — (1.1.20)P P T

sustituyendo este resultado en la ecuación 1.1.16 se obtiene el módulo de compre

sibilidad de un gas:

P 7

La ecuación 1.1.21 muestra que el módulo de compresibilidad de un gas no sólo

depende de las variables de estado sino también de su evolución.

Para el caso de una transformación isoterma ( A 7 = 0 ) el módulo de comp

sibilidad es, precisamente, el valor de la presión durante la transformación. Esto

significa que, por ejemplo, un gas a la presión atmosférica (equivalente a

1 ,0336kgf/cm 2 ) tiene un módulo de compresibilidad de 1.01 x 10"4CPaloque

supone que es veinte mil veces más compresible que el agua.

Conviene tener claro que cualquiera que sea el tipo de módulo de elasticidad

que se esté considerando (lineal, superficial o volumétrico para los sólidos o única

mente el volumétrico en los líquidos), su valor es proporcional a la indeformabilidad

correspondiente. Así, cuanto más alto es el módulo de Young de un sólido tanto más

rígido es éste. Sin embargo, hay autores que prefieren emplear el inverso del módulo

de elasticidad, denominado coeficiente de elasticidad, ya que éste es proporcional a

la deformabilidad. Es frecuente por ello que al hablar de fluidos se emplee el coe

ficiente de compresibilidad por ser proporcional a esta propiedad.

1.1.4. APLICACION: ESTUDIO DE LA COMPRESION ISOTERMA DEL AIRE

EN UNA TUBERIA

Fig 1.1.3. Sistema embalse-conducción —depósito.

La figura 1.1.3 representa el esquema de una instalación para la captación,

transporte y almacenamiento de agua en la que se ha supuesto que el tramo central

de la conducción tiene muy poca pendiente. En estos tramos de poca o nula

11

= pendiente donde se acumula el aire que, con

m diversas procedencias, siempre hay en una

tubería. Si no se prevé su evacuación o

habiéndola previsto, ios dispositivos no fun-Fiq 1.1.4. Bolsa de aire r r

en una tuber ía . cionan correctamente, se va formando una

bolsa de aire que con el tiempo, puede llegar a ocupar toda la sección (Fig. 1.1.4) e

interrumpir así la circulación de agua. Si esto sucediera, el agua se vería frenada por

la bolsa de aire al tiempo que éste sufriría una compresión isoterma durante la cual,

y debido a su alta compresibilidad, aumentaría considerablemente la presión del aire

ocluido, superando con creces la resistencia de la tubería y provocando, por tanto,

la rotura de ésta.

Al aplicar el teorema de las fuerzas vivas entre los instantes 2 {detención del

flujo de agua) y 1 (circulación con velocidad "v") se tiene:

E2-E\-W^ ( 1 . 1 . 2 2 )

El trabajo " W ¡ ^2" es el que se produce sobre el aire durante su compresión

isoterma y se calcula mediante:

l / N 2 = f* P d V ( 1 . 1 . 2 3 )

siendo " p "la presión del aire y" dV" el volumen de un elemento diferencial.

Durante la compresión isoterma la presión varía con el volumen siguiendo la ley

de Boyle, es decir,

pV = K ( 1 . 1 . 2 4 )

sustituyendo 1.1.24 en 1.1.23 e integrando, se obtiene el trabajo:

Dado que l 7

2 < K , , el trabajo es negativo, por lo que se puede escribir:

W^-KL^ ( 1 . 1 . 2 6 )V 2

12

Con el fin de preparar la ecuación 1.1.26 para su aplicación conviene obtener" K"

y sustituir el cociente de volúmenes por el cociente de presiones. Ambos cambios se

efectúan por aplicación de la ecuación 1.1.24. Se llega asi a:

^ I - 2 - - P I ^ I ¿ ~ ( 1 . 1 . 2 7 )P i

Sustituyendo 1.1.27 en 1.1.22 y teniendo en cuenta el valor de la energía cinética

de la masa de agua que resulta frenada, se obtiene:

-\mvz = ~ p í V l L ^ ( 1 . 1 . 2 8 )2 Pi

En la ecuación anterior se conocen todas la variables salvo " pz" que es la presión

que se alcanza en la bolsa de aire al final del proceso.

Para ilustrar el análisis realizado, se hará aplicación a un caso cuyos datos son los

siguientes:

Longitud de la conducción: 13200 m

Distancia de la bolsa de aire al embalse: 7000 m

Velocidad del agua en la tubería: 0,97 m/s

Diámetro de la tubería: 500 mm

Presión del agua en el punto donde se produce la bolsa: 5 kgf/cm2

Voíúmen de la bolsa de aire antes de la compresión: 600 1

La ecuación 1.1.28 resume el fenómeno que tiene lugar cuando se forma una bolsa

de aire que interrumpe la circulación del agua de una tubería: la energía cinética de la

masa de agua circulante se transforma en trabajo de compresión del aire encerrado en

¡a bolsa.

Para calcular la energía cinética del agua en circulación hay que determinar pre

viamente la masa de agua situada entre el embalse y el punto en que se encuentra la

1 3

bolsa de aire.

El segundo miembro de la ecuación 1.1.28 se refiere al aire ocluido en ¡a bolsa

los dos primeros factores constituyen ta constante de Boyle en la compresión isoterma,

siendo el tercer factor el que contiene la presión final del citado proceso termodinámica.

ÍSOO \m Y kam=V-p ; m = n - r • ¿ - p ; m = n -~-mm • -—- • 7000nv 1 0 0 0 ^

m = ),37.\06kg

• ) 2 1.37- 1 0 6 ' 0 , 9 7 z , , „ 5 , , E--mv2 = - = 6 .44- \05Julios

PíV l-5kgf/cm2.6O0l^-^~-3- 10 6 Kgf • ctrJ' 11 \kgf\o2cm

/ í - 2 . 9 4 ' \05JuUos

- l m v 2 = -p,V ,L— : - 6 . 4 4 - 10 5 = - 2 , 9 4 ' 1 0 5 ¿ ^ 2 Pi 5

p2 = 5(!2">z45kgf/cm2

14

1 -Tema . Estática de fluidos.

2-Lección. Ecuación fundamental de la estática de fluidos: presión

atmosférica y presión hidrostática. Principio de Pascal. Barómetros. Manó

metros.

1.2.1. ECUACION FUNDAMENTAL DE LA ESTATICA DE FLUIDOS

F ig 1. 2 .1. Paralelepípedo elemental de fluido.

En el interior de un fluido en

reposo se considera un paralelepí-

"Jdy pedo elemental. SÍ éste se aisla del

resto de la masa fluida (Fig. 1.2.1),

sobre cada una de sus caras se

ejercerá la fuerza derivada de la

presión que ejercía el fluido supri

mido. Además, actuará el peso " W'

del paralelepípedo de fluido.

Si se denomina F, a la fuerza que ejerce la presión sobre una cara oculta del

paralelepípedo, las ecuaciones de equilibrio de éste quedan de la siguiente forma:

£ > , - 0 F . - F . - O

2>,-0 P ; - F , - l / - 0 (1.2.1)

£ f , « 0 F ; - F a - 0

Al expresar cada una de las fuerzas superficiales en función de la presión "p"

existente en el centro del paralelepípedo resulta:

1 5

í dpdx' j d y d z - ) d y d z = 0

! dpdy' Jdxdz - )d.v-dz- pgdxdydz = 0 (1.2.2)

j d x d y - \dxdy = 0 [ P 2 ,

j d x d y - \dxdy = 0

Simplificando, las ecuaciones 1.2.2 se transforman en:

^ = 0 (1.2.3)dx

^ - P 9 = 0 (1.2.4)dy

^ = 0 (1.2.5)

Las ecuaciones 1.2.3 y 1.2.5 indican que la presión no varía en un plano horizontal

olo que es lo mismo: la presión sólo depende de la variable " y ", por lo que la ecuación

1.2.4 se puede escribir en la forma:

dp = -pgdy (1.2,6)

La ecuación 1.2.6 se denomina ecuación fundamental de la estática de fluidos

y expresa la variación de la presión en el interior de un fluido en reposo. Dado el

sentido que se ha tomado como positivo para el eje " y " en la figura 1.2.1, de la

ecuación 1.2.6 se deduce que la presión disminuye con la variable " y " es decir, con

la altura topográfica. Por último, para integrar la ecuación fundamental de la estática

de fluidos, es preciso conocer la variación de la densidad "p" y de la gravedad "g"

con la altura" y".

Dos son los casos en los que la integración de la ecuación 1.2.6 ofrece resultados

con mayor interés práctico y son aquellos en los que dicha ecuación se aplica ai aire

y al agua. En el primer caso, se obtiene la ley de variación de la presión atmosférica

con la altitud topográficay en el segundo, la ley de variación de la presión hidrostática

con la profundidad.

16

12.1,1. Presión atmosférica

Para deducir la variación de la presión atmosférica, se hace la hipótesis de que

el aire se comporta como un gas ideal, con lo que su densidad viene dada-por la

ecuación 1.1.18:

La temperatura " T " de la atmósfera varía con la altitud topográfica " z", por

lo que se necesita conocer la ley de variación de la primera con la segunda.

En la troposfera, que es la capa de la atmósfera en contacto con la superficie

terrestre y cuyo espesor es de 8 a 10 km en los polos y de 15 a 18 km en el Ecuador,

la temperatura disminuye a razón de 0,65°C cada 100 m, aproximadamente. Resulta

por tanto, que puede suponerse que la ley de variación de la temperatura con la

altitud viene dada por la ecuación:

T - T0-6,S- I0'3z C 1.2.8)

siendo" T0" la temperatura de la atmósfera al nivel del mar y estando expresada la

altitud " z " en metros.

La aceleración de la gravedad depende de la altitud "z" y de la latitud

Como expresión aproximada de esta dependencia puede tomarse la que recoge la

ecuación:

g = 9 , 8 0 ó - 2 5 - 10" 3cos2ij>-3- 10~ 6 -z (1-2.9)

de la que se deduce que la aceleración de la gravedad al nivel del mar y a una latitud

d e 4 5 ° , es d e 9 , 8 0 6 m / s E , aproximadamente.

De la ecuación 1.2.9 también se deduce que, en un estudio como el que aquí se

está efectuando, resulta procedente ignorar la variación de la aceleración de la

gravedad con la altitud, pudiéndose tomar como valor suficientemente represen

tativo para " g" el deducido anteriormente.

17

Sustituyendo 1.2.8 en 1.2.7 y ésta en 1.2.6 se tiene:

pPmg dp--~~ ^ —-—dz (1.2.10)

ecuación diferencial de variables separadas que puede escribirse en la forma:

•dp P„g í* dz(1.2.11)

JPa p R Jx.o T 0 - 6 , 5 - 10~ 3z

de donde resulta, finalmente:

f..-W.-' > l ( 6 . 5 ' I 0 " 3 j

. - [ 1 -6 ,5 - 1 0 ~ J ^ - I (1.2.12)Po V ToJ

En la ecuación anterior," p 0 " es la presión atmosférica al nivel del mar; " p " es la

presión que corresponde a la altitud " z" ; " T 0 " es la temperatura al nivel del mar,

expresada en "Ampara poder ser sustituida en la ecuación 1.2.10; " Pm" es la masa

molecular del aire (28,9 g); " g" se hace igual a 9, S O ó m / s 2 , de acuerdo con el

comentario hecho anteriormente; " R" es la constante de los gases ideales

(0.082a¡rrt • i/°K • mol) y ó . 5 - 10" 3 es el gradiente de temperatura en la

troposfera, expresado en °C ó " K"por metro.

Sustituyendo los valores anteriores en 1.2.12 se obtiene la siguiente ley de

variación de la presión atmosférica con la altitud topográfica:

/ \5 .25- P - = i - 6 . 5 - 10" 3 — (1.2.13)Po V

1.2.1.2, Presión hidrostática

Teniendo en cuenta la hipótesis de incompresibilidad de los líquidos, así como

las observaciones que se hicieron con relación a la aceleración de la gravedad, la

integración de la ecuación 1.2.6 para un líquido resulta inmediata, pudiéndose

escribir:

(Pdp--pg [ 1dy (1.2.14)J pa Vy-0

18

donde" p 0 " es la presión que existe en la superficie libre del líquido, para la que se

ha tomado y - O y ~ p " a la presión que corresponde a la profundidad " y" del

punto considerado.

La ecuación 1.2.14, integrada, queda en la forma:

P-Po-PQy (1.2.1

En la figura 1.22 se

representado -en trazo continu

la ecuación 1.2.15 y en t r

discontinuo, el caso particul

que corresponde a p ^ O ,

Aunque la expresión:'

tribución hidrostática de presi

nes" hace referencia al agua,

utiliza para denominar

cualquier distribución de presi

Fig. 1.2.2. Distribución hidrostática de presiones.

nes linealmente variable.

La ley lineal de variación de la presión con la profundidad fue deducida

L. Euler, que la publicó en 1749, en su obra "Scientia Navalis".

122. PRINCIPIO DE PASCAL

Se dice que un fluido se encuentra en equilibrio isotérmico, cuando la tem

ratura en todos los puntos de la masa fluida es la misma. AI hablar de los líquidos

se comentó que esta hipótesis conduce a que la densidad sólo depende de la presi

y dada la reducida compresibilidad de los líquidos, ello supone en la práctica, que

densidad permanece constante. La hipótesis de equilibrio térmico para un gas impli

que su densidad sólo depende de la presión, suponiéndose también en lo que sigu

19

que el gas se encuentra confinado. Hechas estas consideraciones, la ecuación fun

damental de la estática de fluidos permite extraer una importante y conocida apli

cación práctica denominada principio de Pascal.

La integración de la ecuación diferencial 1.2.6. entre dos puntos cualesquiera

de un líquido en reposo encerrado en un recipiente conduce al siguiente resultado:;

p2-p¡-pgh. (1.2.16)

siendo" h "la diferencia de profundidad entre los puntos considerados. De la ecuación

1.2.16 se deduce que si una de las presiones aumenta, la otra ha de aumentar exac

tamente lo mismo, ya que la diferencia ha de mantenerse constante.

Para un gas ideal en equilibrio térmico, la integración de la ecuación diferencial

1.2.6 da como resultado:

(1.2.17) P]

El valor de la constante que multiplica a la diferencia de alturas entre los puntos

considerados es muy pequeño -para el aire seco a 20° C dicha constante es del orden

de lO" 4 " !" 1 - por lo que su producto por la diferencia de alturas que puede haber

entre los puntos considerados es prácticamente cero.

La ecuación 1.2.17 puede escribirse, por consiguiente, en la forma:

p 2 - p , - 0 (1.2.18)

con lo que se pone de relieve que un aumento en la presión en un punto cualquiera

del gas encerrado en un recipiente se traduce en un incremento de igual magnitud

en cualquier otro punto.

Las conclusiones a las que se ha llegado a partir de las ecuaciones 1.2.16 y 1.2.18

son idénticas y constituyen el principio de Pascal (1653), cuyo enunciado puede

hacerse en los siguientes términos: "La presión aplicada a un fluido confinado en un

recipiente se trasmite íntegramente a todos los puntos de dicho fluido".

Entre las aplicaciones más importantes del principio de Pascal se puede citar

2 0

el gato hidráulico.los frenos de aire comprimido, los frenos hidráulicos y la prensa

hidráulica.

En los sistemas denominados hidráulicos se suele utilizar el aceite como líquido

para la transmisión de fuerzas.

La figura 1.2.3 representa el esquema

de una prensa hidráulica. En él, "v"y"w~

son válvulas antirretorno del aceite y" u"

es una válvula de seguridad.

Si se denomina "D¡~ y "D2" al

diámetro del cilindro de la izquierda y al

de la derecha, respectivamente, se puede

escribir, en el equilibrio:

I f2

) f u

F ig . 1.2.3. Prensa hidra 'ulica. ( 1 . 2 . 1 9 ) 0 ,25nZ) 2 O.ZSkD2

ecuación que expresa la igualdad entre las presiones en los puntos del fluido situados

por debajo de cada uno de los émbolos.

Con relación a la figura 1.2.3 se deduce también:

F • a - F , • ó

en aplicación de la ley de la palanca.

De las ecuaciones 1.2.20 y 1.2.19 resulta:

( 1 . 2 . 2 0 )

D J b" C 1 ' 2 - 2 1 >

que muestra el poder multiplicador de la fuerza aplicada que caracteriza a la prensa

hidráulica.

12.3. BAROMETROS

Se denomina barómetro al aparato que permite medir la presión que ejerce

21

la atmósfera en el lugar de observación. Generalmente, se denomina presión

atmosférica al resultado de la medición, sin embargo.la norma alemana DIN' 1314

propone el empleo del término presión ambiental. Aunque en el texto se seguirá

empleando la primera denominación, es conveniente tener bien presente la propuesta

de la norma alemana, ya que en determinadas situaciones, su empleo resulta más

adecuado.

La primera determinación de la presión atmosférica fue realizada en 1644 por

Evangelista Torricelli, discípulo de Galileo. Para ello, Torricelli utilizó un tubo de

vidrio cerrado en uno de sus extre

mos y abierto en el otro, el cual, una

vez lleno de mercurio introdujo, en

la forma que indica la figura 1.2.4.

en una cubeta que también contenía

mercurio. El resultado fué que el

mercurio permaneció en el interior

del tubo, ocupando una altura "h"

Fig. 1.2.4. Experimento de Torricelli. d e : "..Un codo y un cuarto, y un dedo

más" -según escribió Torricelli- y que equivale a unos 76 cm.

Dado que en el espacio existente en la parte superior del tubo no podía haber

entrado el aire, la presión de la columna de mercurio al nivel de la superficie libre

de éste en la cubeta, estaba siendo equilibrada con la presión ejercida por la atmósfera

sobre dicha superficie.

La presión atmosférica se suele expresar en unidades específicas, aunque hay

una cierta tendencia hacia el empleo de unidades S.I. Entre las primeras se encuentra

el mm. de mercurio, al que se ha dado la denominación "torr" siendo, por tanto,

1 torr = 1 mmHg

Cuando al nivel del mar, a una latitud de 45°y a 0°Cde temperatura, la presión

es de 760 mm Hg se dice que hay una presión "normal" o que la presión atmosférica

es de 1 atmósfera. Así pues:

22

l a í m - 760mmHg

En meteorología se utiliza habitualmente el milibar (mb) para expresar la

presión en las cartas ¡sobáricas o mapas del tiempo. Teniendo en cuenta la equiva

lencia anterior así como su significado físico y utilizando los factores de conversión

habituales se puede escribir:

latm-76cmHg- 1 3 , 6 ^ 1 k g f 9 • 8 N 1 ° ' d i a á l b a r i a l b a r

cm 1 ]Q3gf lkgf \N \dina/cm2 lO^barias lbar

obteniéndose como resultado:

l a í m - 1013mbw

Cuando se trabaja en las unidades del Sistema Internacional la presión

atmosférica se suele expresar en hectopascales (_hPa ) , siendo la equivalencia con

el milibar la siguiente: \hPa= lmb<*r

Si en la ecuación 1.2.13 se sustituye " p0' por 760 y "T0" por 288,15, que

corresponde a una temperatura de 15°C , se puede obtener la tabla 1.2.1, que pro

porciona la variación de la presión, atmosférica con la altitud topográfica.

ALTITUD PRESION (m) (mmHg)

0 760 11 759,01 22 ' 758,02 33 757,03 44 756,05

' 55 755,06 66 754,08 77 753,10 88 752,11 99 751,13

Tabla 1.2.1 Variación de la presión

atmosférica con la altitud topográfica.

23

Se observa que la presión atmosférica disminuye muy aproximadamente 1 mm

de Hg cada 11 m de incremento en la altitud topográfica, lo que constituye un orden

de magnitud de la variación fácilmente memorizable.

UJ.1. Tipos de barómetro

Los barómetros pueden ser clasificados de la forma siguiente:

Barómetros

de mercurio

metálicos o

aneroides

Torricelli

Fortín

Tonnelot

Vidi

Bourdon

E! esquema de un barómetro de mercurio es el que se mostró en la figura 1.2.4.

Las diferencias entre los diferentes tipos de barómetro radican, fundamentalmente,

en el procedimiento utilizado para obviar el inconveniente que constituye la

oscilación de nivel en el mercurio de la cubeta.

En el barómetro de Torricelli se suele disponer una escala móvil cuyo cero se

sitúa al nivel de la superficie libre antes de hacer la medición.

24

F i g . 1.2.5. Barómetro de Fortín (detal le).

En el barómetro de Fortín, el fondo de la

cubeta es de gamuza y es desplazado hasta

hacerlo coincidir con una punta de marfil -"M"

en la figura 1.2.5- que coincide con el cero de ia

escala. Por último, cabe también la posibilidad

de alterar la escala y ésto es lo que caracteriza

al barómetro de Tonnelot o de escala com

pensada.

El fundamento de la modificación es sencillo: como el volumen de mercurio es

constante, se ha de verificar (ver fig. 1.2.6):

s.h-S.H

siendo "s" la sección del tubo y "S" la de la cubeta, y también,

h S + s h*H~ S

En la ecuación anterior " h " es la lectura del

barómetro que corresponde a la variación real

" h * H " del desnivel entre las superficies libres del

mercurio. Se deduce de dicha ecuación que para

que la lectura represente la variación real, su escala

ha de estar afectada por el coeficiente

~s/(s*sy. Fig. 1.2.6- Notación para el barómetro de Tonnelot

En general, las lecturas de los barómetros hechas en diferentes observatorios

o estaciones meteorológicas no son comparables, ya que han sido efectuadas en

condiciones distintas. Para poder comparar entre sí las presiones barométricas de

diferentes lugares es preciso reducirlas a unas condiciones normales. Estas condi

ciones, establecidas por la Organización Meteorológica Mundial, son las siguientes:

- Temperatura de 0°C, a la cual la densidad del mercurio es de 13, 5951 g/cm3

- Aceleración de la gravedad de 9 . 8 0 6 6 5 m / s 2

25

La reducción a las condiciones normales se realiza mediante sendas correc

ciones: una, por la temperatura y otra por la gravedad, más una tercera, denominada

instrumental, que depende del aparato y que debe indicar el fabricante ya que suele

estar relacionada con la capilaridad, imperfección del vacío en el tubo barométrico,

etc.

Los barómetros metálicos están constituidos por un recipiente en cuyo interior

se ha hecho el vacío y en el que una de sus superficies es susceptible de deformación.

El movimiento de esta superficie bajo la actuación de la presión atmosférica se refleja,

mediante un sistema de engranaje, en el movimiento de una aguja sobre una escala

graduada en unidades de presión.

La forma que adopta el recipiente es lo que distingue a unos barómetros de

otros: en el de Vidi el recipiente es una cajita, mientras que en el de Bourdon, es un

tubo de sección elíptica.

Fig .1 .2 .7 . Mapa del tiempo. (Hemisferio Norte)

26

Una de las aplicaciones más importantes del conocimiento de la presión

atmosférica es la de su utilización en la confección de los mapas del tiempo. En estos

mapas la mayor parte de la información la proporcionan las lineas curvas denomi

nadas isóbaras, que se obtienen uniendo los puntos en los que existe la misma presión

atmosférica al nivel de! mar. Cada isóbara se caracteriza por un número que indica

la presión atmosférica en milibares o hectopascales que existe en cada uno de sus

puntos. Las isóbaras suelen dibujarse cada cuatro milibares y con su representación

se pueden identificar zonas de altas presiones o anticiclones "A" y zonas con bajas

presiones o borrascas "B". Los anticiclones se caracterizan porque en ellos dominan

las corrientes de aire dirigidas hacia afuera y girando en torno a ellos en sentido

horario -ver figura 1.2.7- mientras que en las zonas con bajas presiones sucede lo

contrario: las corrientes de aire se dirigen hacia el centro de las borrascas girando

alrededor de ellas en sentido antihorario y favoreciendo así la formación de nubes.

El aire que sale de los anticiclones se dirige hacia las borrascas siguiendo con

bastante aproximación la dirección de las isóbaras, por lo que éstas pueden ser

consideradas como "líneas de viento". Las isóbaras no sólo están relacionadas, por

tanto, con la presión atmosférica sino que también lo están con los vientos, hasta el

punto de que la velocidad de éstos se puede deducir a partir de la separación entre

las isóbaras.

12.4. MANOMETROS i

En numerosas ocasiones se necesita conocer la presión a la que se encuentra

un gas o a la que circula un líquido: la verificación o control de procesos industriales

y aveces, la seguridad de personas y bienes, son algunas de dichas ocasiones.

La determinación de la presión de un gas o de un líquido se realiza mediante

los manómetros. La mayoría de los manómetros convencionales sólo permiten

determinar la presión en exceso sobre la atmosférica, por lo que la presión que se

obtiene con ellos es una presión relativa denominada, por la razón que se acaba de

27

decir, presión manométrica. La suma de la presión atmosférica o ambiental con la

presión relativa o manométrica constituye la presión absoluta, es decir:

Pab¡ = P,* + Pat„ ( 1 . 2 . 2 2 )

Esto implica que, en general, para determinar la presión absoluta se necesita

un barómetro y un manómetro. Hay sin embargo, manómetros de presión absoluta

pero su utilización no es habitual.

En consecuencia, la presión absoluta y la presión relativa son denominaciones

alusivas a la posición del cero de la escala de medida, en la primera, el cero es el cero

absoluto mientras que en la segunda, el cero es la presión atmosférica.

Presión absoLuta

J Presio'n manométrica positiva

Presión} mancmetrica negativcij

Presi dn atmosférica Presión

absoluta

C ERO ABSOLUTO

Fig. 1. 2.8. Presión absoluta, manométrica y atmosférica.

Por lo que respecta al

signo, la presión manométrica

puede ser positiva o negativa,

mientras que la presión abso

luta siempre es positiva. (Fig.

1.2.8)

Entre los diversos tipos

de manómetros, se han selec

cionado para ser comentados

aquí los siguientes:

- piezómetros.

- manómetros de líquido.

- manómetros metálicos.

28

12.4.1. Piezómetros

Un piezómetro está constituido por un tubo transparente de cristal o plástico,

recto o con un codoy cuyo diámetro no debe ser inferior a 5 mm para evitar fenómenos

de capilaridad. Un piezómetro permite medir la presión que existe en un líquido y

para ello, basta con leer la altura que éste alcanza en el tubo.

Con relación a la figura 1.2.9, si la

escala del piezómetro está graduada en

metros, su lectura " h " proporciona la

presión que hay en "A" expresada en

metros de columna del líquido almace

nado.

El producto de "h" por el peso

específico del líquido "pg" permite

F t g . 1. 2. 9. Piezómetro conectado a un depósi to de agua

obtener la presión expresada en unidades de fuerza dividida por unidades de

superficie.

Un piezómetro también puede ser conectado a

una tubería por la que circula un líquido a presión y

con velocidad uniforme, ya que en esas condiciones

es aplicable la ecuación 1.2.16. Es importante señalar

que en el caso que se considera, hay que prestar

especial atención a la ejecución de la conexión del

piezómetro a la tubería para que no queden pro

tuberancias que dificulten la lectura. A tal fin tam

bién se recomienda la utilización de piezómetros cuyos tubos tengan un diámetro no

inferior a 10 mm.

F i g . 1.2.10. Piezómetros conectados a una tuber ía .

En cualquiera de las situaciones representadas en las figuras 1.2.9 y 1.2.10 la

presión que se obtiene es,evidentemente, una presión manométrica o relativa.

29

12.42. Manómetros de líquido

Los manómetros de líquido se denominan así porque, a diferencia de los pie

zómetros, se requiere la utilización de un líquido distinto a aquel cuya presión se

quiere medir, denominado líquido manométrico y que, generalmente, suele ser

mercurio. No obstante lo anterior, en cada caso habrá que comprobar la adecuación

del líquido manométrico a la magnitud de la presión a medir.

En la figura 1.2.11 se muestra un

manómetro de líquido montado en una

tubería por la que circula a velocidad

uniforme un fluido a presión.

Al aplicar la ecuación de la

estática de fluidos al nivel de la interfaz

fluido de la tubería - líquido manomé-

Fig. 1.2.11. Manómetro de líquido. t r i c 0 s e t ¡ e n e :

PA + P iQh =pmgh ( 1 . 2 . 2 3 )

en la que" p A" es la presión en el centro de la tuberíay " p ¡" y " p m " son las densidades

del fluido y del líquido manométrico, respectivamente. Si el fluido es un gas se suele

despreciar su densidad por lo que, en tal caso, su presión vendría dada por el segundo

miembro de la ecuación 1.2.23.

Un manómetro como el representado en la figura 1.2.11 también puede ser

utilizado para medir presiones relativas negativas, es decir, presiones relativas

inferiores a la atmosférica. En tal caso, el líquido manométrico alcanzaría mayor

altura en la rama izquierda que en la rama derecha del manómetro.

30

Fig. 1. 2.12. Manómet ro diferencial

Entre los manómetros de líquido

se encuentra el manómetro diferen

cial, denominado así porque se

emplea para medir la diferencia de

presión que existe entre dos puntos.

En la figura 1.2.12 se ha repre

sentado un manómetro diferencial

conectado a una tubería por la que

circula un fluido de densidad "p , " .

Al aplicar la ecuación de la estática de fluidos entre los puntos 1 y 2 del

manómetro resulta:

PA-plgx = P„lgh~P,g(x + h)+ pB (1.2.24)

y agrupando términos,

pA-pr(pm-P/)gft ( 1.2.25)

1.2.4.3. Manómetros metálicos

El principio de su funcionamiento es similar al de los barómetros metálicos:

hacer que la presión que se desea medir actúe sobre un recipiente deformable y

transformar el movimiento de éste en desplazamiento de una aguja sobre una escala

graduada en unidades de presión. Hay sin embargo una diferencia con los barómetros,

yes que en los manómetros convencionales la presión que se mide actúa en el interior

del recipiente, estando éste en contacto con la atmósfera. Esto explica el por qué un

manómetro convencional no mide presiones absolutas. Basta, no obstante, con

producir el vacío en el interior del recipiente y hacer que el líquido ejerza presión

sobre el exterior de éste para que la presión medida sea la absoluta.

La mayoría de los manómetros tienen como recipiente un tubo de Bourdony

por su diseño sólo son adecuados para medir presiones relativas.

31

1.2.4.4. Empleo de los distintos manómetros

Los piezómetros y los manómetros líquidos son baratosy si están bien fabricados

son muy precisos. Su mayor inconveniente es su fragilidad y la gama limitada de

presiones que pueden medir sin que dejen de ser manejables. Este tipo de manó

metros encuentra su mayor utilización en los laboratorios.

Los manómetros metálicos son fácilmente transportables, baratos y pueden

medir amplias bandas de presiones. Su principal inconveniente es que su diseño los

hace sensibles a desgastes mecánicos por lo que, periódicamente, deben ser cali

brados.

Por último, y aplicable a todos los manómetros, suele ser habitual denominar

vacuómetro al manómetro capaz de medir presiones manométricas negativas y

manovacuómetro, al que sirve para medir presiones manométricas tanto negativas

como positivas.

32

¡ -Tema. Estática de fluidos.

3 £ L e c c i ó n . Principio de Arquímedes: la subpresión. Equilibrio de los

cuerpos sumergidos. Determinación de la densidad de sólidos y líquidos.

13.1. PRINCIPIO DE ARQUIMEDES: LA SUBPRESIÓN

ds

\ d S í \ d S í

! \ W i

! d \ | t d F )

F i g - 1. 3 . 1 . Fuerzas hidrostaticas sobre un cuerpo sumergido.

(dF).y - dF sen a

(dF)xs - d F c o s a

En la figura 1.3.1-a) se ha

representado un cuerpo

sumergido en un fluido '• de

densidad "p ¡ " cuya superficie

libre coincide con el plano

x o z .

La fuerza hidrostática que

actúa sobre un elemento dife

rencial de superficie " dS~

viene dada por la ecuación 1.1.5:

d~F = pdSn (1.3.1)

Para descomponer esta

fuerza diferencial se utilizarán

las componentes que aparecen

en su plano proyectante vertij

c a l : " ( d F ) y - . y - ( d / 0 „ \ ( v e r ¡

Fig. 1.3.1-a).

(1.3.2)

(1.3.3)

33

Se estudiará en primer lugar la ecuación 1.3.3, que también se escribe en la

forma:

(dF)xz = pdS cosa (1.3.4)

ahora bien, "dScosa" es la proyección ortogonal de "dS" en la dirección de la

componente ( d / 7 ) , * (ver Fig. 1.3.1-b) y es, por consiguiente, un diferencial de

superficie vertical ( d S „ ) . Resulta así que el segundo miembro de la ecuación 1.3.4

representa la fuerza hidrostática que actúa sobre " d S „ " .

Si se considera la componente horizontal de la fuerza diferencial hidrostática

~(dF)x¡." que corresponde a cada diferencial de superficie situado a igual profun

didad que "dS" y se proyecta sobre un plano horizontal este conjunto de fuerzas

se obtiene la figura 1.3.1-c). La resultante de dicho sistema de fuerzas será:

R~= f(dF)xt-I pdS„n» ( 1 . 3 .5 )

en la que " n „" representa el vector unitario normal a " d S „".

Las componentes de la fuerza" R " son:

R x = r'l = j pdSvÜ-í = j pldz ( 1 . 3 . 6 )

R 2 = R"k = J pdS,ñuk = j pídx (1 .3 .7)

siendo " p" la presión hidrostática existente a la profundidad considerada y " í" la

dimensión de "dS„" paralela al eje OY. Dado que la última integración que aparece

en las ecuaciones 1.3.6 y 1.3.7 se extiende a un recinto cerrado, su valor es nulo. De

acuerdo con lo anterior se deduce que las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre el

cuerpo considerado no tienen resultante horizontal sino sólo resultante vertical.

Para calcular la resultante vertical de las fuerzas hidrostáticas se comenzará por

escribir la ecuación 1.3.2 en la forma:

{dF)y = pdS sen a ( 1 . 3 . 8 )

34

en la que "dSsen a" es la proyección ortogonal de ~dS~ en la dirección "OY" por

lo que se trata de un diferencial de superficie horizontal (dSh).

Sustituyendo en 1.3.8 el valor de la presión hidrostática a la profundidad con

siderada resulta:

(dF)y-p,gydxdz (1.3.9)

En la ecuación anterior "y" representa un punto genérico de la superficie del

cuerpo, por lo que su valor vendrá dado por una expresión del tipo:

y = y ( * 2 ) (1.3.10)

El módulo de la resultante vertical de las fuerzas hidrostáticas será:

Ry = J ( d F ) y = j jp¡gydxd: (1.3.11)

donde " y dxd^~ representa el diferencial de volumen del cuerpo considerado (ver

~L fig. 1.3.2) que, al multiplicarlo por la densidad del

fluido y la aceleración de la gravedad, pasa a ser el

peso de dicho diferencial de volumen supuesto éste

ocupado por el fluido. En consecuencia, la integral

doble que aparece en la ecuación 1.3.11 representa

el peso del fluido desalojado por el cuerpo.

F i g 1. 3. 2 . Elemento d i ferencial de volumen.

Teniendo en cuenta -(ver Fig. 1.3.1-a)- que la

fuerza hidrostática aumenta con la profundidad ,se

deduce que la resultante obtenida mediante la ecuación 13.11 es de signo negativo

lo que significa que está dirigida hacia arriba.

El análisis anterior se enuncia mediante el conocido principio de Arquímedes:

'Todo cuerpo introducido en un fluido experimenta una fuerza vertical ascendente

cuyo módulo es el peso del fluido desalojado". Esta fuerza vertical ascendente suele

denominarse empuje de Arquímedesy su punto de aplicación es el centro de gravedad

del volumen introducido en el fluido. Aunque la demostración del principio se ha

hecho para un cuerpo sumergido en un líquido -por resultar generalmente ésta una

35

imagen más conocida- el enunciado ya recoge su validez para todos los fluidos, ya

que a los efectos de su aplicación puede suponerse que la densidad de éstos es

constante.

El principio de Arquímedes se aplica siempre que se puedan desarrollar fuerzas

hidrostáticas y éstas aparecen cuando hay continuidad en el líquido, aunque esa

continuidad se establezca a lo largo de una grieta o fisura o a través de los huecos de

un medio poroso. Un azud de hormigón en masa proporciona la oportunidad de

comentar ambas posibilidades. Por muy bien ejecutada que esté la cimentación es

imposible garantizar que el agua no pueda introducirse en el contacto entre la base

del azud y el terreno, con lo que inmediatamente se producirían fuerzas ascendentes

que tratarían de "levantar" el azud. Por otro lado, la constitución del hormigón

-cemento, arena, grava y agua- hace que su fabricación de lugar a un medio poroso,

muy poco permeable, pero que al cabo de un tiempo suficientemente largo de con

tacto con el agua permite que ésta entre en sus huecos. En cuanto tal cosa suceda,

cada partícula mineral queda sometida al empuje de Arquímedes, lo que supone una

merma o reducción de su peso y, consecuentemente, de toda presa o azud,

Para tener en cuenta ambas situaciones, cuya denominación genérica es la de

subpresión y que, como se ha visto, no consiste más que en la aparición de presiones

en los huecos deun medio poroso-presiones intersticiales- las normas oficiales exigen

que la subpresión sea considerada entre las acciones sobre la presa.

Por último, el principio de Arquímedes constituye la base para el estudio del

equilibrio de los cuerpos sumergidos así como para la determinación de densidades,

por lo que ambas cuestiones serán tratadas a continuación.

36

132. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS

De acuerdo con el principio de Arquí

medes, un cuerpo sumergido total o parcial

mente en un fluido está sometido al empuje

" E" aplicado en el centro de gravedad del

volumen sumergido, al que se denominará, en

lo sucesivo, centro de carena "C. Además,

sobre el cuerpo actuará el peso" W", aplicado

De la comparación entre el valor relativo de las fuerzas intervinientes se

obtienen las tres situaciones posibles: si el peso " W" es superior al empuje " E~, el

cuerpo se hundirá; si el peso es igual al empuje, se mantendrá sumergido en una

posición cualquiera y si el peso es menor que el empuje, el cuerpo flotará.

De la situación que corresponde al segundo caso, y que aparece representada

en la figura 1.3.3 se deduce otra forma de expresar lo mismo, aunque en función de

una propiedad física de los cuerpos como es la densidad. Dado que:

E-W (1.3.12)

al estar el cuerpo totalmente sumergido resulta:

PfgV-pgV ' (1.3.13)

expresión en la que " V" representa el volumen del cuerpo. En consecuencia, se

puede decir que cada una de las situaciones anteriores se corresponde, respecti

vamente, con densidad del cuerpo mayor, igual, o menor que la densidad del fluido.

En el caso de cuerpos en equilibrio sumergido puede ser importante el carácter

del equilibrio, lo que es función de la posición relativa entre el centro de carena "C"

y el centro de gravedad "G".

F i g . 1. 3. 3. Fuerzas sobre un cuerpo sumergido.

en su centro de gravedad "G".

37

Así, un cuerpo que se

Ü encuentra en equilibrio en

la posición representada en

la figura 1.3.4-a en trazo

lleno, y que como conse

cuencia de alguna acción es

desplazado adoptando la

Fig 1 .3 -4 . Clases de equilibrio en un cuerpo posición que aparece en sumergido.

trazo discontinuo, se dice

que se encuentra en equilibrio estable, ya que la desestabilización induce la aparición

de un par que devuelve al cuerpo a la posición de equilibrio.

En el caso en que la distribución de masa fuera tal que el centro de gravedad

estuviera por encima del centro de carena, (Fig. 1.3.4.-b), la actuación de fuerzas

transversales supondría la aparición de un par de vuelco , por lo que se dice que en

tal situación el equilibrio es inestable. Finalmente, si coinciden el centro de carena

y el centro de gravedad, el equilibrio se denomina indiferente.

Para el estudio del equilibrio de los

cuerpos flotantes conviene establecer

m previamente el significado de algunos

= B = = ^ = = = términos: así, y con respecto a la situación

^ ~~̂ ^ de desviación nula (Fig. 1.3.5-a), se define

plano de flotación como la intersección del wf- L_ l_| U I I L ÍJ I I U LJ*T LJI I ' , . . I Q p u

flotante, cuerpo con la superficie libre, y eje de

flotación, como la recta perpendicular al plano de flotación que pasa por el centro

de gravedad.

Fig 1. 3 5. Equ i l ib r io de un cuerpo

La intersección del eje de flotación con la recta soporte del empuje se denomina

metacentro (M), y es la posición relativa de este punto respecto al centro de gravedad

lo que determina el carácter del equilibrio de un cuerpo flotante.

38

Asf, en la figura 1.3.5-b puede verse la situación que corresponde al equilibrio

estable. Ante una pequeña desviación del eje de flotación respecto a su posición

normal, el centro de carena se desplaza hasta la posición que corresponde al centro

de gravedad del volumen sumergido (C) que ahora tiene sección transversal trapecial,

como se ve en la figura 1.3.5-b. Resulta así que la desviación da lugar a que aparezca

un par cuyo sentido tiende a devolver al cuerpo flotante a la posición inicial. Esto se

debe a que el metacentro está situado por encima del centro de gravedad. Dado que

el centro de carena (C) está por encima del centro de gravedad (G), era previsible

que el equilibrio debía ser estable. Sin embargo, y a diferencia de lo que sucede con

los cuerpos totalmente sumergidos, un cuerpo flotante puede estar en equilibrio aún

cuando el centro de gravedad esté por encima del centro de carena.

Esta situación es la que se representa en la figura 1.3.5-c. Como se ve, el par

que aparece cuando se produce la desviación hace que el cuerpo flotante recupere

la posición de equilibrio. Es, por consiguiente, la posición del metacentro la que

determina el sentido del par y con ello, e! carácter del equilibrio.

En resumen, el equilibrio de un cuerpo flotante será estable si el metacentro

está por encima del centro de gravedad e inestable, en caso contrario. La situación

en la que ambos puntos coinciden corresponde al equilibrio indiferente.

El estudio de la posición normal en

la flotación de un cuerpo permite obtener

una relación interesante; dado que el

Ic — — -—- = - =—

~

( - : _ - - - „ • • . , cuerpo se encuentra en equilibrio, se ha deFig. 1. 3 . 6 . Posición no rma l de K H

equilibrio. verificar:

E = W ( 1 . 3 . 1 4 )

y sustituyendo en 1.3.14 las expresiones de cada una de las fuerzas que aparecen en

dicha ecuación resulta:

P,gVs-pgV (1 .3 .15 )

39

Siendo ~ v s " el volumen sumergido en el cuerpo y " v " el volumen total. La ecuación

1.3.15 también puede ser escrita en la forma:

tv La expresión que aparece a la izquierda de la igualdad anterior se denomina

densidad relativa de un cuerpo respecto a un fluido. Cuando el fluido es agua y su

temperatura es de 4 o C su densidad es 1 g.f '/cm3 y ésta se utiliza como densidad

patrón, denominándose densidad relativa de un cuerpo" D,", al resultado de dividir

su densidad entre la del agua a 4°C, es decir:

Dr

P- (1-3.17)P « ; 0 , 4 * C

El cociente que figura a la derecha del signo igual en la ecuación 1.3.16 es la

fracción del volumen del cuerpo que se sumerge. En consecuencia, la ecuación 1.3.16

indicaque dichafracción coincide con la densidad relativa del cuerpo flotante referida

al fluido en el que tiene lugar la flotación.

Aunque la densidad del agua salada varia de unos mares a otros y la densidad

del hielo tampoco es constante, suele tomarse como densidad relativa de éste 0,92,

lo que explica , sin necesidad de más comentarios, el peligro que representan los

icebergs para la navegación en ciertas rutas.

40

133. DETERMINACION DE LA DENSIDAD DE SOLIDOS Y LIQUIDOS

La densidad es una propiedad física del estado de cada cuerpo que se define

como el cociente entre la masa y el volumen de dicho cuerpo (ec. 1.1.11). En el

apartado anterior se ha definido el concepto de densidad relativa (ec. 1.3.17), número

adimensional que permite expresar la densidad de un cuerpo en función de la del

agua a4°C. Relacionado con la densidad se encuentra el concepto de peso específico

"Y", que se define como el cociente entre el peso " P" de un cuerpo y su volumen

" V ". De la definición se deduce que el peso específico no es una propiedad física,

ya que depende del campo gravitatorio. De dicha definición, y con ayuda de la

ecuación 1.1.11, se deduce la relación antes citada:

Y - £ = ̂ - p f f ( 1 . 3 . 1 8 )

El conocimiento de la densidad de los cuerpos es uno de los criterios que se

emplean para la toma de decisiones que corresponden a ciertas actividades. Así,

para la construcción de firmes de carretera, las normas oficiales exigen un grado de

compactación en terraplenes, capas granulares y mezclas asfálticas que se estima

mediante la determinación de la densidad "in shu". Las estructuras se dimensionan

no sólo para resistir ciertas cargas como el peso de la nieve, las fuerzas derivadas de

la presión que ejerce el viento sobre los paramentos del edificio, etc., sino también

para soportar su propio peso que, en algunos casos, es la acción más importante. Por

último, la densidad de algunos productos agrícolas es, a veces, el único criterio dis

ponible para la realización de las transacciones comerciales.

La determinación de la densidad de los cuerpos sólidos puede realizarse

mediante la balanza hidrostática. Aunque el método se basa en el principio de

Arquímedes -de hecho, este principio lo descubrió Arquímedes cuando trataba de

41

identificar un cuerpo por su densidades generalmente reconocida la aportación

metodológica de Galileo, que escribió en 1586 un breve tratado de carácter experi

mental sobre la balanza hidrostática, titulado La Bilancetta.

777777777777777Z

V Ps

En la figura 1.3.7-a se ha represen

tado un esquema de la balanza

hidrostática, que es similar a! de una

balanza convencional con la particulari

dad de que uno de sus platillos ha de estar

sumergido en un fluido que suele ser agua.

El esquema de las fuerzas que intervienen

en el problema puede verse en la fig.

1.3.7.-b, en el que" P " es el peso al aire del

objeto;" Ps", el peso que tiene cuando se

le sumerge en agua; " E" es el empuje de

Fig. 1. 3. 7 Balanza hidrostát ica. Arquímedes y" T" representa la fuerza de

enlace.

En la posición de equilibrio se verifica:

E=P-PS ( 1 . 3 . 1 9 )

y teniendo en cuenta la definición de empuje, resulta:

pfgV-P-P, ( 1 . 3 . 2 0 )

De la ecuación anterior se obtiene el volumen " V " del cuerpo que sustituido

en la fórmula de la densidad y teniendo en cuenta la relación entre masa y peso,

permite escribir: !

b)

p - — - P/g ( 1 . 3 . 2 1 )

V (P-Ps)/(S>,9) P-P, '

De la ecuación 1.3.21 se obtiene realmente la densidad relativa del cuerpo

respecto al fluido. Si se conoce la densidad de éste, se puede deducir la del cuerpo.

42

La balanza hidrostática también puede ser utilizada para determinar el volumen

de un cuerpo si se conoce la densidad del fluido, según se deduce de la ecuación

1.3.20 y asimismo, es posible obtener la densidad relativa de un iíquido respecto a

otro, sin más que determinar el peso al aire y los pesos sumergidos de un cuerpo en

cada uno de los líquidos, aplicar en cada determinación la ecuación 1.3.21 y dividir,

La determinación de la densidad de los

líquidos puede realizarse mediante la

balanza de Mobr, aparato que se muestra en

la figura 1.3.8 y que está constituido, esen

cialmente, por un brazo con contrapeso en

un lado y una serie de ranuras en el otro, en

las que se pueden alojar unas pesas espe

ciales denominadas reiter; y un objeto -el

inmersor- en cuyo interior hay un

termómetro que se introduce en el líquido

de prueba. La balanza ha de estar equili

brada en el aire, con el inmersor colgado del extremoy sin reiter alguno en las ranuras.

El reiter unidad se elige de manera que al introducir el inmersor en aguaa4°C

se restituya el equilibrio colocando aquél en la ranura situada encima del gancho. El

peso de cada uno de los restantes reiter es tal que teniendo en cuenta las ranuras en

las que se alojan, se pueda leer directamente la densidad del líquido hasta la cuarta

cifra decimal.

según convenga, estas ecuaciones.

F i g . 1.3. 8 Balanza de Monn Líquido de densidad 1,14 respecto al agua a 4" C.

Otro aparato que permite determinar la densidad de los líquidos es el areómetro

o densímetro (Fig. 1.3.9), muy utilizado en la determinación sistemática de densida

des.

t

43

Este tiene en su pane superior un tubo de

Escala vidrio en el que hay una escala y en su parte

inferior, un flotador lastrado con el fin de man-

Fiota dor tener vertical el conjunto. Lastre

A l introducir el densímetro en la probeta

que contiene al líquido de prueba y una vez Fig 1. 3. 9. Areómetro o densímetro. alcanzado el equilibrio se verifica:

E = WD (1.3.22)

siendo" W D" el peso del densímetro, que es una constante y " E" el empuje del líquido

sobre éste. Teniendo en cuenta la definición de empuje se obtiene: p , - — (1.3.23)

que proporciona la densidad del líquido en función del volumen sumergido del

densímetro " V D". El aparato se diseña de manera que al utilizarlo sólo emerja el

tubo, con lo cual la escala se gradúa para que de su lectura se obtenga directamente

la densidad del líquido.

El densímetro se utiliza profusamente en los laboratorios de geotecnia y de

análisis de suelos para conocer el porcentaje de una muestra de suelo que corresponde

a diámetros inferiores a 0,075 mm mediante la técnica que se conoce como análisis

granulométrico por sedimentación. Sus resultados, junto a los obtenidos en el análisis

granulométrico por tamizado, permiten representar la curva granulométrica (Fig.

1.3.10) del suelo y/o conocer el porcentaje que corresponde a los tamaños de grava,

arena, limo y arcilla, siendo ésto lo que en la técnica agronómica suele denominarse

la textura del suelo. En los laboratorios de análisis, la textura permite clasificar

agronómicamente un suelo, mientras que en los laboratorios de geotecnia, el cono

cimiento de la curva granulométrica no basta para la clasificación de un suelo.

44

60 2 0.06 O.O02

D iámet ro de las part ículas en mm.

F i g . 1. 3.10- Curva g ranu lomét r i ca de un suelo.

La curva granulométrica

proporciona información res

pecto a la permeabilidad, sus

ceptibilidad a la helada, origen

geológico etc., de un suelo, así

como sobre la magnitud cuanti

tativa de su fracción fina -limo y

arcilla-, sin embargo, para

clasificar un suelo desde el punto

de vista geotécnico, se requiere conocer cualitativamente dicha fracción fina, y para

ello es preciso determinar también los límites de Atterberg.

I J - l l . Análisis granulométrico por sedimentación

El análisis granulométrico por sedimentación se basa en la ley de Stokes

(ec. 3.3.49) que proporciona la fuerza resistiva que ejerce un fluido sobre un cuerpo

sólido que se mueve en su interior en condiciones de régimen laminar. Conocida

dicha fuerza se puede estudiar el movimiento de una partícula y deducir su velocidad

de sedimentación "v, "(apartado 3.3.4.):

v - g ( p - - p ' y 18(1

( 1 . 3 . 2 4 )

expresión en la que " p s " es la densidad de las partí

culas de suelo; " D" su diámetro y "o," y "u." la

densidad y viscosidad del fluido. Para realizar un

anál ¡sis por sedimentación se prepara en una probeta

. una suspensión uniforme del suelo en agua y se coloca

F i g . 1. 3.11. Análisis por verticalmente aquélla, con lo que las partículas ini-sed ¡mentación. . ,

cían su decantación. (Fig. 1.3.11).

45

La fórmula 1.3.24 puesta en función de la profundidad " 2 " , y de la densidad y

viscosidad del agua "pu,"y"u. l l,''queda en la forma:

que indica que al cabo de un tiempo " í" desde que comenzó la sedimentación, las

partículas cuyo diámetro es " D " se encuentran a la profundidad " z ". Esto significa

que si se puede determinar la concentración de partículas que ocupan la posición

"2"en el instante "i" -que se representará por "Cz," - el porcentaje de partículas

" p" cuyo tamaño es inferior a " D " vendrá dado por:

Cz,(1.3.26)

donde "C,"es la concentración inicial de partículas es decir, el peso del suelo dividido

por el volumen de la suspensión por lo que su valor es conocido. La ecuación 1.3.26

proporciona, por consiguiente, los puntos necesarios para dibujar la curva granulo-

métrica en la zona correspondiente a los tamaños más finos.

El densímetro puede ser utilizado para determinar " C2," ya que existe una

correlación entre ésta y la lectura de un densímetro " p z , " introducido en la sus

pensión, correlación que viene dada por:

C « - - £ 2 — f f { p „ - p „ ) (1.3.27)

cuya demostración, aunque sencilla, se omite para no desviar la atención del motivo

principal. No obstante, dicha demostración puede verse en la referencia bibliográfica

nB 13.

El densímetro proporciona la densidad que existe a una profundidad" 2"en un

iastante " í", pero nada se ha dicho respecto a cual es la profundidad " 2 " a la que

corresponde dicha densidad. Esta es, por tanto, la cuestión que falta por dilucidar.

4 6

Cuando el densímetro de peso ~WD" se introduce en un líquido homogéneo de

densidad " p" se verifica:

pg d(Vol) = W D ( 1 . 3 . 2 8 )

siendo ~d(Voiy el volumen de un elemento diferencial situado en la parte

sumergida del densímetro y extendiéndose la integral al volumen de densímetro que

está sumergido.

Mientras hay sedimentación la densidad de lasuspensión no es constante, siendo

suficientemente aproximado suponer que varia linealmente con la profundidad, es

decir:

De acuerdo con la ecuación 1.3.29, la ecuación que expresa el equilibrio del

densímetro en una suspensión será:

en la que " d'V ot)" y~ W D'' tienen el mismo significado que en la ecuación 1.3.28.

Si se representa por" z'" la profundidad a la cual la densidad de la suspensión

coincide con la lectura del densímetro " p ¿", se verifica:

p = a + bz ( 1 . 3 . 2 9 )

( 1 . 3 . 3 0 )

= a + bz ( 1 . 3 . 3 1 )

Sustituyendo 1.3.31 en 1.3.28 se tiene:

De la igualdad entre las ecuaciones 1.3.32 y 1.3.30 se obtiene:

z = ( 1 . 3 . 3 3 )

47

que identifica a ~ z'~ como el centroide gravedad del volumen sumergido, es decir,

como el centro de carena del volumen sumergido del densímetro. En consecuencia,

la lectura del densímetro proporciona la densidad de la suspensión a la profundidad

a la que se encuentra el centro de carena del volumen sumergido del densímetro. Se

necesita por tanto, conocer la profundidad del centro de carena que corresponde a

cada lectura del densímetro, operación que se denomina calibrado del densímetro.

I

El procedimiento a seguir en la realización del análisis por sedimentación se

puede resumir en los siguientes pasos:

1. - La lectura del densímetro proporciona la densidad de la suspensión a la

profundidad a la que se encuentra su centro de carena, profundidad que se determina

en el calibrado o ajuste del densímetro.

2. - La ecuación 1.3.25 permite obtener el diámetro de las partículas que en el

instante en el que se hizo la lectura se encontraban a la profundidad del centro de

carena del densímetro.

3. - La concentración de las partículas cuyo diámetro se obtuvo en el apartado

anterior y que se encuentran a la profundidad del centro de carena en el instante de

lectura, se obtiene mediante la ecuación 1.3.27.

4. - El porcentaje de partículas cuyo diámetro es inferior al obtenido en el paso

n° 2 se obtiene sustituyendo en la ecuación 1.3.26 la concentración calculada en el

apartado anterior.

48

i-Toma .Estática de fluidos.

4*Lección. Sistema de fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana

sumergida. Aplicación: equilibrio de un azud. Fórmula de Mariotte.

1.4.1. SISTEMA DE FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE

PLANA SUMERGIDA

En ia figura 1.4.1-a) se muestra el alzado desde aguas arriba de un muro de

embalse en el que hay una compuerta rectangular MNPQ. Cuando la presión

hidrostática " p " a c t ú a sobre un elemento diferencial de área " dA", aparece una

fuerza normal y dirigida hacia éste " dF" cuyo módulo viene dado por:

dF=pdA

SECCION A A

( 1 . 4 . 1 )

a) b)

Fig. 1.4.1. Fuerzas hidrostáticas sobre una super f ic ie .

El conjunto de fuerzas que se origina como consecuencia de la presión

hidrostática se denomina sistema de fuerzas hidrostáticas. En la figura 1.4.1-b) se ha

representado la distribución plana de fuerzas hidrostáticas correspondiente a la

sección AA'del muro, y en la figura 1.4.1.-c) la distribución espacial de fuerzas

hidrostáticas que actúa sobre la compuerta MNPQ.

49

Las fuerzas que actúan sobre la compuerta constituyen un sistema de fuerzas

paralelas y comu tal, puede ser reducido a un sistema mecánicamente equivalente

formado por una sola fuerza aplicada en un punto determinado de la compuerta,

denominado centro de presión.

La determinación del centro de presión se facilita considerablemente si, como

suele ser frecuente, el área de la compuerta es simétrica y uno de sus ejes de simetría

resulta ser perpendicular a la intersección del plano de la compuerta con la superficie

libre del agua. En tal caso, es fácil comprobar que dicho eje de simetría lo es también

para la distribución de fuerzas hidrostáticas y, por consiguiente, el centro de presión

ha de ser uno de los puntos de dicho eje.

Fig . 1. 4. 2. Sistemas mecánicamente equivalentes.

Así pues, para determinar la posición del centro de presión basta con conocer

"ycp" (Fig. 1.4.2-b). Tanto esta determinación como la de la fuerza única " R H" ha

de realizarse imponiendo las condiciones para que los sistemas de fuerzas I y 11

representados en la figura 1.4.2 sean mecánicamente equivalentes.

50

La igualdad entre los módulos de las resultantes de los sistemas I y I I , permite

obtener R H:

[ yydA-ftH (1.4.2)J A

y teniendo en cuenta la definición de centro de gravedad de un área resulta:

Y V c ^ t f * (1-4 .3)

donde " y" es el peso específico del agua," A " es el área de la compuerta e " y c " es

la profundidad del centro de gravedad del área de la superficie plana sumergida.

Conocido el módulo de la resultante de las fuerzas hidrostáticas, la posición del

centro de presión se obtiene mediante la igualdad entre los momentos de las resul

tantes de los sistemas de fuerzas I y I I (Fig. 1.4.2), es decir:

f ( Y y c M ) y - t f „ y „ (1.4.4)JA

que, teniendo en cuenta la ecuación 1.4.2, puede escribirse

y¿dA J /

•CP~

2,

yCf=—r (1-4.5)ydA •

El numerador del segundo miembro de la ecuación 1.4.5 es el momento de

inercia del área de la compuerta con respecto al eje X X es decir, con respecto a la

intersección del plano de lacompuerta con la superficie libre del agua, y se representa

por / x x ,

Dado que el momento de inercia se denomina también momento de segundo

orden, se puede decir que la profundidad del centro de presión se obtiene como

cociente entre los momentos de segundo y primer orden del área de la compuerta.

Con la notación ya explicada, la ecuación 1.4.5 queda en la forma:

yCF = ~~ (1-4-6)ycA

51

En algunos casos, los problemas relacionados con la determinación del centro

depresión pueden ser resueltos con bastante rapidez si se analiza la distribución de

fuerzas hidrostáticas.

En el caso de una compuerta rectangular como la que aquí se ha considerado,

el sistema de fuerzas representado en la figura 1.4.2 e identificado en ella como

sistema 1, puede ser reducido al que se muestra en la figura 1.4.3, que a su vez puede

ser reducido a una sola fuerza pasando por el centro de gravedad de la distribución

trapecial. El centro de presión es el punto de intersección de la recta soporte de esta

fuerza con el plano de la compuerta.

El procedimiento que se acaba

de describir es de carácter particular,

y no puede ser utilizado, por ejemplo,

si el área de la compuerta es circular.

Fig. 1.4.3- Distribución plana equi- En tal caso, es el procedimiento valente a la distribución espacial.

general, denominado método del

volumen de presiones" el que debe ser aplicado.

La denominación del método se basa en una interpretación geométrica de la

ecuación 1.4.2, en base a la cual el integrando que aparece en su primer miembro es

un elemento diferencial del volumen creado por la distribución de presiones actuante

sobre la compuerta. Así pues, la ecuación 1.4.2 indica que el módulo de la resultante

del sistema de fuerzas hidrostáticas se obtiene calculando el volumen que crea la

distribución de presiones hidrostáticas que actúa sobre la compuerta.

Teniendo en cuenta este resultado, la ecuación 1.4.4 muestra que la posición

del centro de presión coincide con la del centro de gravedad del volumen de presiones,

con lo que queda definido el.sistema I I (Fig. 1.4.2) mecánicamente equivalente al

sistema I constituido por la distribución de fuerzas hidrostáticas.

\ ' .

52

1.4.1.1. Momentos de inercia de un área

• dA ' 1

/ r ( o W V / yo y

F¡ g 1.4.4. N otacidn para el cálculo de magni tudes inercia-Ies de un a'rea.

El momento de inercia de un área

con respecto a un eje puede ser rela

cionado con la posición del centro de

gravedad de dicho área con respecto al

eje. Así, con la notación de la figura 1.4.4,

en la que "ye" representa la ordenada

del centro de gravedad del área" A", se

tiene:

¡xx- yzdA

y también:

fÁ(yc + rfdA

C 1-4.7)

(1.4.8)

y desarrollando el binomio, teniendo en cuenta que r c - 0 resulta:

I x x = lxx + y U (1-4.9)

que es el teorema-de Steiner para los momentos de inercia de un área. El teorema

de Steiner puede ser utilizado para deducir una importante propiedad del centro de

presión. Sustituyendo la ecuación 1.4.9 en 1.4.6 resulta:

y ( ycA (1.4.10)

que muestra que el centro de presión está siempre por debajo del centro de gravedad

del área.

En la mayoría de las determinaciones del centro de presión de una superficie

plana sumergida, basta con aplicar la ecuación 1.4.6 para situar dicho punto, ya que

generalmente, la distribución de fuerzas hidrostáticas es simétrica.

53

Si, haciendo abstracción de las consideraciones de simetría, se calcúlala abscisa

del centro de presión -siguiendo la misma metodología empleada para la deducción

de la ordenada- se obtiene como resultado:

El numerador de la ecuación 1.4.11 representa el producto de inercia del área

considerada, cuya definición es:

De la ecuación 1.4.12 se deduce que el producto de inercia es nulo si uno de los

ejes con respecto a los cuales se calcula dicho producto es eje de simetría del área.

Dado que, generalmente, la variable " y " de la ecuación 1.4.12 se emplea para

expresar la variación de la presión hidrostática, resulta que la simetría de la sección

respecto al eje correspondiente a la variable "y" supone la simetría de la distribución

de fuerzas hidrostáticas y en consecuencia, el centro de presión deberá ser un punto

de dicho eje, por lo que tomándolo como eje de referencia se obtendrá siempre

x C P - 0.

Tomando como modelo la deducción del teorema de Steiner, es inmediato

obtener una relación similar para el producto de inercia, que es la siguiente:

x CP ~ (1.4.11)

(1.4.12)

(1,4.13)

54

1.42. APLICACION: EQUILIBRIO DE UN AZUD

Algunos de los conceptos recientemente estudiados son de aplicación al analizar

el equilibrio de un azud o presa pequeña cuya misión fundamental es la de crear el

remanso suficiente para la desviación del agua.

En la figura 1.4.5 se ha representado

un elemento transversal de espesor unidad

del azud. Las fuerzas activas fundamentales

para el análisis del equilibrio son las

siguientes:

- Sistema de fuerzas hidrostáticas.

Fig 1.4.5. Geometría del -Subpresión.

P r o b t e m a - Peso del elemento.

En el cálculo de grandes presas se consideran además, acciones sísmicas,

térmicas, etc., el efecto de los aterramientos, oleaje e incluso las fuerzas que podrían

actuar sobre la presa si se helara superficialmente el embalse.

El sistema de fuerzas hidrostáticas que actúa sobre la presa representada en la

figura 1.4.5 da lugar a una distribución lineal que tiene su origen en la superficie libre

y que llega hasta el punto más bajo de la obra de fábrica, es decir, aunque una vez

ejecutada la cimentación se suele rellenar estay el terreno aguas arriba queda como

indícala línea discontinua de la figura 1.4.5, la distribución de fuerzas actuante sobre

la presa se extiende hasta su base.

La fuerza resultante de la distribución -que suele denominarse "empuje del

agua"- se aplica en el centro de presión de la superficie sobre la que actúa ,

determinándose su situación mediante la ecuación 1.4.10. Teniendo en cuenta que,

en el ejemplo considerado, dicha superficie es rectangular, resulta:

17 1

V C P

n T Í * 3 2 h

55

(1.4.14)

El módulo del empuje se obtendrá

mediante la ecuación 1.4.3:

(1.4.15)

Fig 1.4.6. Fuerzas en el equil ibrio de un azud.

El efecto de la subpresión puede

ser considerado mediante la ley que se

representa con trazo de punto y raya en

la figura 1.4.6; en la que la presión en el

extremo aguas arriba de la base se ha

hecho igual a la presión hidrostática existente en dicho punto y nula, la presión en el

otro extremo, ya que en éste sólo actúa la presión atmosférica.

La distribución de fuerzas debidas a la subpresión puede ser reducida a una

fuerza de módulo igual al área de dicha distribución, dirección vertical y sentido

ascendente y pasando por el centro de gravedad de la distribución, es decir:

S = | Y , f i ó

m--b

(1.4.16)

(1.4.17)

Por último, el peso del elemento considerado "W" se obtendrá multiplicando su

volumen por el peso específico del hormigón, que es el material de uso más

generalizado para este tipo de obras. Esta fuerza está aplicada en el centro de gra

vedad del elemento, cuya determinación puede hacerse por descomposición del área

de la sección en áreas sencillas. Así pues:

(1.4.18)

1 / , - a t fYc (1.4.19)

56

V2 = -{b-a){H-h-)yc

a c. = -

" c 2 - - ( 6 - a )

(1.4.20)

(1.4.21)

(1.4.22)

Sólo quedan por considerar las fuerzas reactivas, representadas por su resultante

vertical " Y ", su resultante horizontal " X " y el punto "A" de aplicación de ambas.

En la figura 1.4.7 se han representado las fuerzas que intervienen en el equilibrio

del elemento considerado. Las tres incógnitas: módulos de las reacciones y la posición

de su punto de aplicación (OA), se obtienen

mediante las ecuaciones escalares de equilibrio

en el plano:

Rx = 0

M*0-0

(1.4.23)

(1.4.24)

(1.4.25)

F i q . 1.4. 7. Fuerzas sobre el sólido rígido-

Una vez determinados los valores de las

reacciones"X"y " ) ' " se plantea el problema

resistente, es decir, si el suelo o cimiento es capaz de resistir con la seguridad adecuada

las fuerzas "X" e "Y" que le transmite el elemento de presa considerado. Este

problema se resuelve mediante la aplicación de la teoría correspondiente a la

mecánica del suelo, que permite estimar la resistencia del terreno y aplicando a ésta

unos coeficientes de seguridad preestablecidos , averiguar si dicha resistencia es

superior a las cargas que ha de soportar.

La condición 1.4.25 proporciona el punto de intersección con la base, de la recta

de acción de la resultante de las fuerzas reactivas, que lo es también de la resultante

de las fuerzas activas.

El desequilibrio, esto es, el vuelco, se produciría si este pumo estuviera situado

57

fuera de la base. Dado que la Norma para el cálculo de presas exige que la resultante

de las fuerzas activas caiga dentro del tercio central de la base, el vuelco no puede

tener lugar si se cumple dicha Norma.

1.4.3. FORMULA DE MARIOTTE

La distribución en red y en ocasiones, el transporte de los fluidos, se realiza

mediante tuberías en presión. Asimismo, es casi práctica generalizada, almacenar

los fluidos en depósitos circulares. En ambos casos, las fuerzas derivadas de la presión

se ejercen radialmente, lo que simplifica su análisis.

Si para facilitar la visualización del

problema, se estudia un depósito circular

de agua y se considera en él una sección

diametral del mismo, limitada por dos

secciones paralelas a la base y separadas

entre sí una magnitud unidad, el sistema

de fuerzas a considerar es el que se mués-

F ig 1. 4. 8 . Semi -secc io 'n t ransve rsa l de un d e p ó s i t o c i r c u l a r

tra en la figura 1.4.8.

• Se ha despreciado la variación de la presión con la altura del elemento

pudiéndose tomar, o bien la presión media, o mejor aún, la presión existente en la

parte inferior del elemento considerado, con lo que se está claramente del lado de

la seguridad.

Las fuerzas " T " representan la resultante de las que actúan en el espesor "e"

del cilindro. Del equilibrio de fuerzas se obtiene:

(1.4.26)

(1.4.27)

2 7 - p t f d a s e n a 'o

0= I pRdacosa Jo

58

La integral de la ecuación 1.4.27 es nula, y de la ecuación 1.4.26 resulta:

T-pR (1.4.28)

mediante la cual se obtiene la tensión circunferencial" c", en la forma:

( I . 4 . 2 J e e

El resultado de la ecuación 1.4.29 sirve para determinar el espesor de los tubos

comerciales de fibrocemento, P.V.C., etc., al comparar la tensión que se produce en

un tubo de radio "R~ cuando en su interior hay un fluido a presión ~p" con la

resistencia a tracción del material del tubo.

También sirve, naturalmente, para determinar la armadura necesaria en un

depósito circular de hormigón ya que sólo el acero es capaz de resistir la tracción

producida.

La fórmula 1.4.29 es la fórmula de Mariotte, aunque se la conoce también por

"fórmula de los tubos".

59

}-Tema. Estática de fluidos

5-Lección .Fuerzas Ínter molecular es. Tensión superficial. Sobrepresión de

curvatura. Formación de meniscos. Capilaridad. Aplicación: ascenso de la

savia en árboles y plantas.

1.5.1. FUERZAS INTERMOLECULARES

En esta lección se van a estudiar diversos fenómenos físicos relacionados,

fundamentalmente, con la propiedad de los líquidos o mejor, con la propiedad del

contacto aire-líquido que se denomina tensión superficial. La comprensión no sólo

de ésta, sino también de otras varias propiedades de la materia se facilita conside

rablemente si su estudio se realiza desde un punto de vista microscópico, es decir,

teniendo en cuenta la constitución molecular de la materia.

En cualquiera de los estados o formas en que se presente la materia, ésta está

constituida por moléculas en movimiento cuya intensidad va desde la vibración en

torno a la posición de equilibrio, que caracteriza a las moléculas de los sólidos, hasta

la libertad de movimiento que poseen las moléculas de los gases, pasando por la

situación intermedia que corresponde a las moléculas de los líquidos. El movimiento

de las moléculas se corresponde con la intensidad de las fuerzas intermoleculares;

ésta es grande en el caso de los sólidos y nula en el de los gases, correspondiendo,

lógicamente, a los líquidos la situación intermedia.

En la figura 1.5.1 se ha representado en trazo continuo la variación de la fuerza

intermolecular con la distancia existente entre los centros de las moléculas. Se aprecia

en ella que cuando la distancia es superior a"d," , la fuerza intermolecular atrae a

las moléculas circundantes, mientras que si se intenta que la separación entre los

60

centros de Jas moléculas sea inferiora " d „ l a fuerza intermolecular es de repulsión.

La distancia ~ d „ puede considerarse como el diámetro molecular,y es representativa

de la distancia media de equilibrio estable entre una molécula y las que la rodean.

Esta distancia media de equilibrio depende de las condiciones externas de presión y

temperatura.

E(>0) c ••o

Efe O) F ig . 1. 5 .1 . Variación de la tuerza intermolecular y de la energía potencial con la separación intermolecuiar

La situación de equilibrio estable que corresponde a " d „" implica que en ella

ha de ser mínima la energía potencial" E", definida como la energía necesaria para

llevar una molécula desde el infinito hasta una distancia " r " del centro de otra

molécula. En efecto, definida así la energía, se tiene:

dE = -E(r)dr ( 1 . 5 . 1 )

y en consecuencia, la gráfica de energía potencial -en trazo discontinuo en la figura

1.5.1-se obtiene por integración de la función F ( r ) .

La curva de energía potencial de la figura 1.5.1 permite comprobar la estabilidad

del equilibrio que corresponde a" d 0": si por alguna causa se separara una molécula

de otra auna distancia superior a" d 0 ", la energía potencial sería mayor que ¡a mínima

y como todos los sistemas evolucionan hacia la posición de energía potencial mínima,

la molécula sería atraída por las fuerzas intermoleculares de atracción (fuerzas

61

cohesivas). En el caso de intentar configuraciones moleculares en las que la distancia

entre los centros de las moléculas fuera inferior a " d„", resultaría que la tendencia

a hacer mínima la energía potencial las separaría, es decir, se ejercerían fuerzas de

repulsión.

La figura 1.5.1 muestra también que los efectos de las fuerzas intermoleculares

sólo se dejan sentir por debajo de una distancia "R" (10 Angstróm) que sería el radio

de la esfera de influencia de cada molécula. También se observa en dicha figura que

para "sacar" a una molécula de la esfera de influencia de otra es preciso deshacer los

enlaces intermoleculares y ello requiere la aportación de una energía de cohesión

"¿f".

La intensidad de las fuerzas intermoleculares es muy superior a la de atracción

entre masas, por lo que se trata de fuerzas de carácter eléctrico. Las fuerzas que se

ejercen entre moléculas de una misma sustancia se denominan fuerzas cohesivas,

mientras que las fuerzas que se desarrollan entre moléculas de cuerpos distintos se

denominan fuerzas adhesivas.

p2. TENSION SUPERFICIAL

Las ideas expuestas en el apartado anterior servirán para explicar la propiedad,

exclusiva de los líquidos, que consiste en que éstos presentan una superficie libre y

tensa como consecuencia de la acción de fuerzas superficiales de extensión que se

denominan genérica y globalmente, como tensión superficial.

En la figura 1.5.2 se ha representado la esfera de acción correspondiente a la

molécula "A", situada en el interior de un líquido y a la molécula superficial "B".

62

Las fuerzas cohesivas correspondientes a la

molécula "A" dan lugar a una resultante nula,

mientras que en la molécula "B" hay una

resultante vertical y dirigida hacia el interior

de la masa fluida. Esto significa que para que

una molécula de interior, situada en alguna

esfera de influencia, pase a ser una molécula

superficial es preciso realizar un trabajo

contra las fuerzas cohesivas, trabajo que según la figura 1.5.1 viene dado por" A F " .

En consecuencia, toda molécula superficial tiene una energía potencial, por lo

que cabe hablar de una energía superficial que sería la suma de la energía corres

pondiente a cada una de las moléculas superficiales. Dado que la situación de

equilibrio está asociada al mínimo de energía potencial, la superficie del líquido

tenderá hacia la mínima posible, que para un contorno dado, es la superficie plana.

Esta tendencia exige la aparición de fuerzas tangentes a la superficie libre del líquido

que al tensar dicha superficie hacen que sea mínima. Estas fuerzas son la tensión

superficial del líquido, que al mantener estirada la superficie, dan a ésta un aspecto

de membrana elástica tensa. Sin embargo, la superficie libre de un líquido no se

comporta como una membrana elástica ya que, como se verá, la tensión superficial

no sigue la ley de Hooke.

SÍ se introduce en una disolución jabonosa un bastidor metálico en forma de

"U" y se cierra la abertura mediante un alambre deslizante, se observa que una vez

formada la lámina de líquido en el interior del bastidor y puesto éste en posición

vertical, el alambre es desplazado ligeramente hacia arriba, como consecuencia de

la tensión superficial que actúa sobre él.

B

F i g . 1 5. 2. Estera de influencia de moléculas líquidas.

Ax

4& ^

o

F 1 1

f j

F

4

F i g . 1. 5 . 3. B a s t i d o r para la medida de la tensión superf icial.

63

El dispositivo aparece

representado en la figura 1.5.3 y

puede ser utilizado para medir la

tensión superficial de la siguiente

forma: si T " representa la

fuerza que equilibra la tensión

superficial se tiene:

Zla = F (1.5.2)

y por tanto:

o =F_ 21

(1.5.3)

La ecuación 1.5.3 permite determinar la tensión superficial" o" ala temperatura

del ensayo a partir de la fuerza " F" -el peso del alambre deslizante más el de las

pesas precisas para el equilibrio- conocida la longitud " l" del alambre.

. Si incrementando ligeramente " F", se desplaza el alambre una distancia" A x"

se observa que el equilibrio se alcanza con la misma fuerza " F" con la que se alcanzó

antes. Sin embargo, al desplazar el alambre se ha producido un trabajo " A l / " de

valor:

A l / = F A x (1.5.4)

sustituyendo 1.5.2 en 1.5.4 resulta:

A l / = 2 o i A x (1.5.5)

pero"2¿ A.v" es precisamente el incremento de superficie de la lámina" AS", por

lo que:

A l / (1.5.6)

que expresa que la tensión superficial de un líquido es igual al trabajo que hay que

realizar para aumentar en una unidad su superficie libre.

64

1.52.1. Unidades

De las ecuaciones 1.5.2 ó 1.5.6 se deduce la ecuación de dimensiones de la

tensión superficial:

[a] = MT'z (1.5.7)

o, tomando como magnitud fundamental la fuerza:

[a] = FL'] (1.5.8)

Las unidades de tensión superficial se deducen de la ecuación 1.5.8, siendo

habitual emplear" N/m" o~ dina/cm~, en los sistemas SI y CGS respectivamente.

La ecuación 1.5.6 muestra que también es posible expresar la tensión superficial en

-J/m2" (SI) o en "erg/cm 2 " (CGS).

La tensión superficial disminuye al aumentar la temperatura, como se deduce

de la observación de la tabla 1.5.1, en la que se dan algunos valores de la tensión

superficial del agua.

Temperatura

<°C)

0

5

10

15

20

25

30

Tensión superficial

(dinas/ cm)

75.64

74.92

74.22

73.49

72.75

71.97

71.18

Tabla 1.5.1 Viscosidad del agua a diferentes temperaturas.

1.5.3. SOBREPRESION DE CURVATURA

65

En el apartado anterior se vió que las fuerzas de tensión superficial tienden a

hacer mínima la superficie libre de un líquido. Así se explica la planeidad que presenta

la superficie libre de los líquidos almacenados en un recipiente y también la esferi

cidad de las gotas de líquido, ya que la superficie esférica es la que minimiza la

superficie que corresponde a un volumen dado. Este último fenómeno resulta

adecuado para analizar lo que ocurre cuando ía superficie libre de un líquido no es

plana.

En la figura 1.5.4 se ha representado la distribución de fuerzas de tensión

superficial que aparece en la circunferencia de un casquete esférico, obtenido a partir

de una gota líquida. Para que el casquete pueda estar en equilibrio se necesita la

existencia de una sobrepresión

" Ap"actuando en cada punto del interior

de la superficie considerada.

El valor de la sobrepresión " Ap"se puede obtener mediante el balance energético asociado a un aumento de la

Fig. 1. 5 .4 . Tensión superficial

en superf ic ie no plana. superficie de la gota de la siguiente forma:

la energía necesaria para aumentar en " dS " la superficie de la esfera será:

d£ = adS (1.5.9)

donde" dS "se obtiene diferenciando la superficie de la esfera, obteniéndose como

resultado:

dS^Snrdr (1.5.10)

El trabajo que han de realizar las fuerzas de presión en ese aumento de superficie

viene dado por: dW-Ap-S-dr (1.5.11)

66

siendo "5" la superficie de la esfera de radio " r" , que sustituida en 1.5.10 da lugar

a:

Igualando la energía superficial (ec. 1.5.9) -después de sustituir en ella 1.5.10-

al trabajo de las fuerzas de presión (ec. 1.5.12) y despejando la sobrepresión " Ap"

se obtiene:

La ecuación 1.5.13 muestra que la formación de una gota de agua requiere el

desarrollo de una sobrepresión relativamente elevada -tanto más cuanto menor sea

el diámetro de la gota- por lo que, en ocasiones, la atmósfera llega a alcanzar estados

de elevada sobresaturación. A este fenómeno se debe el que la formación de gotas

por condensación del vapor de agua de la atmósfera requiera la existencia en ella de

núcleos de condensación: partículas de polvo, partículas procedentes de la actividad

industrial o urbana, etc., con el fin de proporcionar una superficie de soporte para

dicha condensación.

La sobrepresión que corresponde a un chorro líquido circular de radio" r " puede

deducirse de la aplicación de la fórmula 1.4.28, con lo que se obtiene:

Tanto la fórmula 1.5.13 como la 1.5.14 son casos particulares de la fórmula

genera! que da la sobrepresión para una superficie en función de sus radios de cur

vatura principal " R y" R 2 " :

dW = Ap- 4nr2-dr ( 1 . 5 . 1 2 )

( 1 . 5 . 1 3 )

( 1 . 5 . 1 4 )

( 1 . 5 . 1 5 )

fórmula que se conoce como ley de Laplace.

1.5.4. FORMACION DE MENISCOS

67

En el contacto con una pared sólida la superficie libre de los líquidos deja de

ser horizontal. La razón para ello es que las moléculas situadas en la superficie de

contacto no sólo se ven solicitadas por las fuerzas cohesivas sino también por las

fuerzas adhesivas ejercidas por las moléculas de la pared sólida. La forma de la

superficie libre en el contacto sólido-líquido depende del resultado de la comparación

entre ambas fuerzas.

Fig 1. 5 . 5 . a) Menisco cóncavo y b) Menisco convexo.

Si la resultante de las

fuerzas adhesivas "Fa"-nor

mal siempre a la superficie

sólida- es mayor que la

resultante de las fuerzas

cohesivas " F c "-dirigida hacia

el interior del líquido- la

superficie libre del líquido

adopta la forma representada

en la figura 1.5.5-a) ya que para que exista equilibrio, la resultante " R " ha de ser

perpendicular a dicha superficie. Se dice que en tal caso se ha formado un menisco

cóncavoy también, que el líquido "moja" al sólido. Una situación así puede ser descrita

mediante el ángulo de contacto "6" , que es el que forma la tangente a la superficie

libre con la pared, en el punto de contacto. La situación de menisco cóncavo

corresponde a 0 < 90°, esto es, a un ángulo de contacto agudo y puede encontrarse

en el contacto agua-vidrio (G = 25 0 ) . El caso de ángulo de contacto nulo es aquel en

el que la pared se recubre de una delgada película líquida que asciende por ella, y

se da en el contacto entre agua pura y vidrio perfectamente limpio.

68

Cuando las fuerzas cohesivas son altas -lo que corresponde a, una elevada tensión

superficial- la geometría del contacto responde al esquema representado en la figura

1.5.5-b), que puede ser descrito diciendo que el menisco es convexo; el ángulo de

contacto obtuso o que el líquido no moja al sólido. Este es el caso del contacto

mercurio-vidrio, en el que el ángulo " 9" es del orden de 1 4 0 ° . La magnitud del

ángulo de contacto del mercurio está, lógicamente, en consonancia con su tensión

superficial, que a 20°C es d e 4 ó 5 r í t r ¿ a s / c m , es decir, más de seis veces superior

a la del agua.

Si se introduce un tubo estrecho de vidrio

en un líquido que lo moja, se observa que éste

asciende hasta una altura ~hc" (Fig.1.5.6),

denominada altura de ascensión capilar. En la

parte superior del tubo aparece el correspon

diente menisco cóncavo que se une con las

paredes del tubo formando con él el ángulo de

contacto "0".

En los puntos "A" y "C" la presión ha de ser la misma y por tanto se tiene:

P S ^ Y / / Í C = 0 ( 1 . 5 . 1 6 )

siendo " p B" la presión relativa existente en el punto "B", y " y / " el peso específico

del líquido.

Por otro lado, la curvatura del menisco exige que la presión absoluta en "B" sea

inferior a la atmosférica en la magnitud dada por la ecuación 1.5.13, por consiguiente,

la presión relativa en "B" será:

1.5.5. CAPILARIDAD

F i g . 1 .5 .6 . Ascensión ca¬pi lan

69

1 » / r

siendo " r m " el radio de curvatura del menisco (Fig.

1.5.7), y "o" la tensión superficial del líquido.

De la figura 1.5.7 se deduce:

(1.5.17)

F i g 1. 5. 7 R elaciones geométricas en un menisco. r ni cos9

r (1.5.18)

Sustituyendo 1.5.18 en 1.5.17 se tiene:

2acos9 Ps = ~

r (1.5.19)

y entrando con este valor en 1.5.16 y despejando "hc" resulta:

2acosG (1.5.20)

La fórmula 1.5.20 indica que la altura de ascensión capilar es inversamente

proporcional al radio del tubo, resultado que se conoce por ley de Jurin.

El líquido que asciende por capilaridad se encuentra sometido todo él a

presiones negativas, con la ley de variación lineal que aparece a la derecha de la

figura 1.5.6 y cuyo valor máximo se deduce de 1.5.16. Si se aplica la fórmula de

Mariotte a esta situación de depresión interior se deduce que el tubo queda sometido

a un estado de compresión. Se trata, en definitiva, del estado de cargas contrario al

que aparece en la figura 1.4.8.

Si se tiene en cuenta lo anterior, así como el hecho de que la capilaridad se

produce en cualquier medio poroso como es el suelo, resulta que las presiones

negativas del agua alojada en los poros del suelo situado por encima del nivel freático

confieren a las partículas del suelo una elevada resistencia, lo que permite que, por

ejemplo, las playas puedan ser utilizadas en la bajamar como pistas para la realización

de pruebas deportivas.

70

1.5.6. APLICACION: ASCENSO DE LA SAVIA EN ARBOLES Y PLANTAS

La savia está contituida por agua más algunos productos de la fotosíntesis entre

los que se encuentra el azúcar. Esta solución acuosa se desplaza en los árboles y

plantas a través de una red de conductos de radio comprendido entre 2 5 p m y

250 u. m denominada xilema.

Debido a la constitución de la savia, se establece a nivel radicular una diferencia

de presión osmótica entre el agua del suelo y la savia que propicia el ascenso de ésta

por el xilema, llegándose a explicar por este concepto, ascensos del orden de unos

siete metros.

Si se aplica a los conductos del xilema la fórmula 1.5.20, se obtienen alturas de

ascensión capilar del orden de unos sesenta centímetros.

De las consideraciones anteriores se deduce que ni la presión osmótica ni la

capilaridad explican el ascenso de la savia en ciertos árboles hasta alturas que, como

es el caso de la sequoya, llegan a ser de sesenta metros.

En la actualidad se admite que la explicación al ascenso de la savia se encuentra

en la capacidad del agua para desarrollar elevadas presiones negativas, que son

debidas a las fuerzas moleculares de cohesión. Como se recordará, toda la columna

líquida que asciende por capilaridad presenta una ley creciente de presiones negativas

(Fig. 1.5.6), aunque moderadas. Sin embargo, el agua es capaz de desarrollar pre

siones negativas mucho más elevadas: así, en agua con aire disuelto se han medido

resistencias a la tracción comprendidas entre 6 y 40 atm., mientras que en agua

desaireada a 27 "C se ha llegado a alcanzar una resistencia a la equitracción de

2 2 3 ± 5 a í m .

71

Si se supone que la savia de la raíz se encuentra a la presión de 1 atmósfera y

se aplica la ecuación general de la hidrostática, se deduce que en lo más alto de

árboles como la sequoya, la savia se encuentra a una presión negativa de unas cinco

atmósferas, lo que está dentro del rango de resistencias a la tracción del agua.

72

2-Tema. Cinemática de fluidos.

I-Lección. Descripción del movimiento de un fluido: métodos de Lagrange

y Euler. Línea de corriente, de trayectoria y de traza. Clasificación macros

cópica del movimiento de un fluido. Otras clasificaciones. Concepto de

caudal. Ecuación de continuidad. Aceleración.

2.1.1. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO

La cinemática es la parte de la mecánica que estudia la geometría del movi

miento de las partículas, supuesto éste conocido, sin considerar las causas que lo

originan. Por otra parte, se dice que el movimiento de una partícula está definido

cuando se conoce la posición que ésta ocupa a lo largo del tiempo, es decir, cuando

se conoce la ley horaria del movimiento, que es una-expresión del tipo:

r = r ( í ) (2.1.1)

El movimiento de un fluido puede ser descrito a partir del movimiento de cada

una de sus partículas para lo cual es preciso distinguir unas partículas de otras. Esto

puede hacerse asignando a cada partícula sus coordenadas respecto a un sistema de

referencia en un instante cualquiera, que suele ser el instante inicial del movimiento.

Dfenominando " q," a dichas coordenadas y " r\{" al correspondiente vector de posi

ción, el movimiento de un fluido queda definido si se conoce la ley horaria del

movimiento de cada partícula, es decir:

r - r í ñ ! , ! ) V i e Z " (2.1.2)

Una descripción del movimiento de un fluido mediante las ecuaciones 2.1.2 se

denomina descripción referencial o de Lagrange.

La descripción de Lagrange resulta adecuada para plantear las ecuaciones

generales del movimiento ya que las fuerzas actúan sobre masas y éstas son indivi-

73

dualizadas en la citada descripción. Sin embargo, en las aplicaciones de la mecánica

de fluidos el interés se centra en conocer lo que ocurre en diversos puntos de la

corriente, p. ej., la velocidad en ciertas zonas, el caudal en las secciones de aforo, etc,

y para estos fines es más ventajosa la descripción espacial o de Euler en la que el

movimiento queda definido por ecuaciones cuya expresión general es:

v=v(r,t) (2.1.3)

en la que " r " es el vector que identifica la sección o punto de la corriente en la que

se realiza la observación de la velocidad.

En lo que sigue, y salvo advertencia explícita, se supondrá que el movimiento

es plano o bidimensional.

2.12. LINEA DE CORRIENTE, DE TRAYECTORIA Y DE TRAZA

La ecuación 2.1.3 expresa que una de las formas de describir el movimiento de

un fluido consiste en conocer el vector velocidad a lo largo del tiempo en cada punto

del espacio ocupado por dicho fluido. Se comprende, sin embargo, que la repre

sentación del campo vectorial resultante no sería un procedimiento eficaz para

visualizar la corriente.

La situación cambia totalmente si en lugar de

representar el vector velocidad en cada punto y en

cada instante, se dibujan las líneas que son tangentes

a los vectores velocidad en un instante de tiempo.

Estas líneas se denominan líneas de corriente (Fig.

2.1.1). Una definición más precisa de línea de

corriente sería la siguiente: las líneas de corriente son

las envolventes del vector velocidad en un instante

dado. Una línea de corriente es, por tanto, una línea Fig. 2 .1 . 1. Líneas de -corriente en el instante'!'

74

que indica, por su tangencia con el vector velocidad, la dirección instantánea de la

corriente en cada uno de los puntos situados a lo largo de ella. Como consecuencia,

se deduce que no puede existir corriente a través de estas líneas en ninguno de sus

puntos, ya que ello supondría que las líneas de corriente se cortan, o lo que es lo

mismo, que en el punto de intersección habría dos vectores velocidad.

En general, las líneas de corriente instantáneas podrán ser convergentes o

divergentes según su curvatura en el espacio, ya que la velocidad puede variar en

magnitud y dirección de un punto a otro del fluido en movimiento. Así pues, las

líneas de corriente, aisladamente consideradas, informan sobre la dirección de la

corriente, pero más adelante se verá que de su separación también puede deducirse

la velocidad de aquélla.

Si en el fluido se considera una línea "L"

que corta a un grupo de líneas de corriente

(Fig. 2.1.2) se obtiene una superficie de flujo.

Si la línea considerada es cerrada, la superficie

se denomina tubo de flujo y el volumen ence

rrado por esta superficie, vena fluida.

Fig . 2 .1. 2. Representación de superficie de flujo en una En cinemática se definió la trayectoria de corriente b¡dimensional.

una partícula como el lugar geométrico de las

posiciones ocupadas por ella a lo largo del tiempo. Recordando el significado físico

de la ecuación vectorial 2.1.2, resulta obvio que la ecuación de la trayectoria de una

partícula fluida se obtiene de la eliminación del parámetro temporal entre las tres

ecuaciones escalares asociadas a ella.

Por último, línea de traza es el lugar geométrico de los puntos ocupados en un

instante dado por todas las partículas que han pasado por una determinada posición.

Si se supone que en esta posición se coloca un dispositivo para la inyección de

colorante, la línea de traza asociada a dicha posición vendría dada por la corres

pondiente línea coloreada.

75

2 .U. CLASIFICACION MACROSCOPICA DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO

SÍ se observa el movimiento del humo que sale por una chimenea en un día de

viento, se aprecia claramente el alto grado de variabilidad que puede llegar a pre

sentar dicho movimiento. En efecto, una fotografía de la nube de humo tomada en

un instante cualquiera" / * revela una fuerte variabilidad espacial en el movimiento,

ya que el vector velocidad cambia sus características de un punto a otro de la nube.

Otro tipo de variabilidad se detecta cuando se comparan dos fotografías de la misma

zona del espacio tomadas en instantes distintos; en este caso, el vector velocidad en

un punto cualquiera de la nube ha variado de un instante a otro. Así pues, el movi

miento de unfluido se caracteriza por presentar dos tipos de variabilidad: en el tiempo

y en el espacio.

Con respecto a la variabilidad en el tiempo, el movimiento de un fluido puede

ser permanente o estacionario, o variable. Un movimiento es permanente cuando

en un punto cualquiera, el vector velocidad es el mismo a lo largo del tiempo, aunque

el vector velocidad puede, naturalmente, variar de un punto a otro del fluido. Es

decir, en un movimiento permanente se verifica:

^ = 0 (2.1.4)di v '

En un movimiento permanente ha de ser nula también la derivada temporal de

cualquier otra magnitud ligada al movimiento como presión, densidad, etc.

De la ecuación 2.1.4 se deduce que en un movimiento permanente, las líneas

de corriente no varían de un instante a otro. Asimismo, la no variación de la velocidad

con el tiempo implica que tampoco variarán las líneas de trayectoria y las de traza y

que éstas coincidirán entre sí y también con las líneas de corriente.

La mayoría de las situaciones habituales con las que se encuentra el ingeniero

corresponden a condiciones permanentes o estacionarias del flujo. Así, el transporte

76

de agua por tuberías y canales, una vez establecido el flujo, es quizá el ejemplo más

representativo de movimiento permanente.

Lógicamente, el movimiento variable es aquél en el cual no se cumple la

ecuación 2.1.4. Cuando se abre la compuerta que alimenta un canal y hasta que se

establece el flujo, el movimiento es variable. Otro ejemplo de movimiento variable

lo proporciona la acción contraria a la descrita anteriormente: el cierre de una válvula

en una tubería o la parada repentina de un grupo de bombeo. Una de las represen

taciones más sencillas de un movimiento variable es el vaciado de un

depósito (Fig.2.1.3). El teorema de Torricelli -que se

verá más adelante- proporciona la velocidad del

fluido en el punto P:

vF=42gy (2.1.5)

cuya derivada temporal no es, evidentemente, nula. Fig. 2.1. 3. Vaciado de un depósi to .

En lo que se refiere a la variabilidad en el

espacio, el movimiento de un fluido puede ser uniforme o no uniforme. Un movi

miento es uniforme cuando en un instante cualquiera, la distribución del vector

velocidad no varía de una a otra sección transversal a la dirección de la corriente.

Un movimiento uniforme es por tanto aquél en el que se verifica:

r - 5

//////////.

F i g 2 . 1 . 4 . Reducción gradual de sección.

(2.1.6)

En la figura 2.1.4 se

ven las líneas de corriente

en el movimiento de un

fluido que atraviesa un

dispositivo en el que se

efectúa una reducción de

la sección tansversal en el

sentido del flujo. Las lí-

77

neas a trazos corresponden a la distribución del vector velocidad en las secciones

señaladas con trazo de punto y raya.

Si a izquierda y derecha del dispositivo de la figura 2.1.4 no se producen cambios

en la sección transversal, la distribución del vector velocidad en cualquiera de sus

secciones coincidirá con la de la izquierda o con la de la derecha de las representadas

en dicha figura, por consiguiente, a ambos lados de la reducción el movimiento es

uniforme. Obviamente, el movimiento es no uniforme cuando el fluido atraviesa la

reducción de sección.

Tanto el movimiento uniforme como el no uniforme, puede ser, a su vez, per

manente o variable. Si aguas arriba de la reducción representada en la figura 2.1.4

hay una llave de paso, al abrirla y hasta la estabilización del flujo, el movimiento es

variable y uniforme, antes y después de la reducción y variable no uniforme, al

atravesar la reducción. Una vez que el flujo ha quedado regularizado el movimiento

pasa a ser permanente y uniforme a uno y otro lado de la reducción y permanente

no uniforme en ella.

Entre las cuatro combinaciones posibles, la que ofrece un mayor interés desde

el punto de vista práctico es la que corresponde al movimiento permanente y uni

forme. En él, las líneas de corriente son rectas y la distribución de velocidad es la

misma en el tiempo y en el espacio.

78

2.1.4. OTRAS CLASIFICACIONES

Además de la clasificación del movimiento estudiada en el apartado anterior

hay otras que también tienen interés. Así, y con arreglo a la mayor o menor influencia

de las fuerzas derivadas de la viscosidad frente a las fuerzas másicas, el movimiento

puede clasificarse en movimiento laminar o turbulento. Esta clasificación será ana

lizada con más detalle en el tema siguiente, en el que se estudiará la dinámica de los

fluidos.

La naturaleza del campo de velocidades en el movimiento de un fluido da lugar

a la clasificación de éste en movimiento solenoidal, irrotacional o armónico. Entre

estos tres tipos de movimiento conviene destacar el segundo por su importancia en

la aplicación del teorema de Bernoulli, ya que si un movimiento es irrotacional este

teorema puede ser aplicado entre dos puntos cualesquiera de la masa fluida.

Un movimiento se dice que es irrotacional si-

ro íu = 0 (2-1-7)

Físicamente, la ecuación 2.1.7 significa que un elemento de fluido cualquiera

no tiene velocidad angular respecto a su centro de masa, por lo que su movimiento

es únicamente de traslación sin que haya, por consiguiente, rotación de dicho ele

mento alrededor de su centro de masa.

El movimiento de un fluido puede ser analizado en una, dos, o tres dimensiones

en función del número de componentes que presente el vector velocidad y el vector

aceleración. Esta circunstancia permite clasificar el movimiento, por razón del tipo

de análisis que se lleve a cabo, en movimiento unidimensional, bidimensional o tri

dimensional.

2.1.5. CONCEPTO DE CAUDAL

79

' / ~C / / / 0 1 fluida. Para calcular la masa " M" de fluido

En la figura 2.1.5 "S" representa una

superficie situada en el interior de una masa

que ha atravesado dicha superficie en un

intervalo de tiempo " d i " se comenzará por

determinar la masa de fluido que ha pasado

Fig 2.1.5. Flujo a t r avés de a través de un elemento diferencial de una superficie. _-. . „ . „ „ , . v superficie dS , es decir:

dM-pd(Vol) (2.1.8)

donde "p" es la densidad de fluido y "d(Voiy es el volumen del prisma oblicuo

que definen con su desplazamiento los puntos situados en el elemento de superficie

considerado. Si " 6 " es el ángulo que forma el vector velocidad " v " del punto " A "

con el versor normal" n"al elemento diferencial de superficie" dS" en dicho punto,

resulta:

d(Vol)-dSvdt-cose

pero

por consiguiente:

n • v = Ü C O S 0

(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11) diVof)'dSvdt

sustituyendo 2.1.11 en 2.1.8 se obtiene:

dM = pv-dSdt (2.1.12)

Se define el caudal másico ~QM" que atraviesa la superficie elemental" dS"

como:

I Q u ~ (2.1.13)

por lo que el caudal másico a través de la superficie "S"se rá :

80

QM ™ / p ^ d S (2.1.14)

Si el fluido es un líquido puede suponérsele incompresible y por consiguiente

se puede dividir por "p " la ecuación 2.1.14 obteniéndose el caudal volumétrico" Q"

que se define:

Q = j Z-dS (2.1.15)

En las aplicaciones prácticas se determina el flujo a través de superficies nor

males a las líneas de corriente, con lo que la ecuación 2.1.15 queda: „

Q = J vdS (2.1.16)

La velocidad " v "que aparece en el integrando se deduce de la ecuación analítica

correspondiente a la distribución de velocidades. En la práctica, sin embargo, se suele

utilizar la media" v " de dicha distribución; cuya definición es:

vdS v = ¿ 4 (2.1.17)

l s d S

En lo sucesivo, y mientras no se especifique lo contrario, la velocidad media en

la sección se representará por "u", con lo que la ecuación 2.1.16 queda de la siguiente

forma:

Q = uS (2.1.18)

siendo, como ya se ha advertido, " 5 " una sección normal a la corriente y " v" la

velocidad media de la distribución de velocidades en dicha sección.

La ecuación de dimensiones del caudal es:

[Q]-[v][S] = L3T-' (2.1.19)

y por tanto, las unidades SI y ST coinciden y son "m 3/s"mientras que las unidades

CGS que expresan el caudal serán" cm'3/s". En la práctica, para expresar caudales

pequeños se utiliza frecuentemente el litro por segundo (1/ s).

2.1.6. ECUACION DE CONTINUIDAD

81

Esta ecuación expresa que la variación de la masa del fluido contenido en el

volumen limitado por una superficie cerrada " -S ", en un tiempo cualquiera, es igual

al fluido que atraviesa dicha superficie en el mismo tiempo. La ecuación de conti

nuidad recoge, por consiguiente, el principio de conservación de la materia.

Para deducir la ecuación de continuidad se

considera un tubo de flujo y en él, el espacio definido

por dos secciones transversales a las líneas de

corriente (Fig. 2.1.6). Se define así una superficie

cerrada en la que se ha de verificar el principio de

Fig 2 1 6 Superficie conservación de la materia. La masa existente en la

cerrada en un tubo de s u p e r f í c ¡ e en un instante " í~ será: flujo.

( G f m ) , = pSdx

y la masa, en un instante posterior ~t*dí" será:

(dm\,ai = PSdx + -(pSdx)dt

( 2 . 1 . 2 0 )

( 2 . 1 . 2 1 )

Las ecuaciones 2.1.20 y 2.1.21 muestran que ha habido un incremento de masa

dado por:

(Am)IJI = T(_pSdx)dt-—(pS)dxdt ( 2 . 1 . 2 2 ) ¿t di

La masa de fluido que ha atravesado la sección " S"en "/"será:

(dm)s'pSvdt ( 2 . 1 . 2 3 )

y la que ha salido por la sección" S"\ distante " dx" de" S":

(dm)s- = pSvt * — (pSvdt)dx ( 2 . 1 . 2 4 )

82

d d(Am)clll = - — rpSvdt)dx-- — (pSv)dtdx (2.1.25)

O X Ó X

La variación de masa en el espacio "dx" es, por tanto,

El principio de conservación de la masa exige que coincidan las ecuaciones

2.1.22 y 2.1.25 y en consecuencia, se ha de verificar:

- ( p S ) - - ^ - ( p S u ) (2,1.26)oí dx

Si el movimiento es permanente, cualquier derivada temporal es nula y la

ecuación 2.1.26 queda:

~(pSv)-0 (2.1.27)

que expresa la constancia del caudal másico.

Si además el fluido es incompresible, la ecuación 2.1.27 queda en la forma:

-^(Sv) = Q (2.1.28)

lo que implica que el caudal volumétrico permanece constante. La ecuación 2.1.28

puede ser aplicada, por tanto, al movimiento permanente de los líquidos bajo la

denominación de ecuación de continuidad y escrita, con la notación que se utilizó en

la ecuación 2.1.18, de la siguiente forma:

S , ü , - S 2 u 2 - = Snva (2.1.29)

en la que los subíndices indican las secciones consideradas.

La ecuación de continuidad, que reúne el concepto de caudal y el principio de

conservación de lamateria, constituye, junto a la ecuación que expresa la conservación

de la energía, la base para la resolución de cualquier problema de hidráulica.

Ambas ecuaciones: continuidad y conservación de la energía, están inequívo

camente vinculadas a sendas personas, aunque sólo una de estas vinculaciones figure

de manera generalizada en las referencias bibliográficas. En efecto, siendo habitual

la denominación "teorema de Bernoulli" para el principio de conservación de la

83

energía específica hidráulica, resulta poco frecuente encontrar la referencia a Leo

nardo al tratar la ecuación de continuidad, a pesar de tas numerosas ocasiones en las

que este tema aparece tratado en el Códice Atlántico y en el Códice Hammer, que

fueron dos de sus obras más importantes. La claridad y la originalidad con las que

Leonardo escribió sobre la continuidad fueron las razones en las que se basaron H.

Rouse y S. Ince para proponer en su "Historia de la Hidráulica" de 1957 que la

denominación "principio de continuidad" se acompañara de la indicación "según

Leonardo".

Al estudiar las líneas de corriente se señaló que de su separación relativa podía

deducirse información respecto al módulo de la velocidad. Así resulta si, con relación

al flujo bidimensional representado en la figura 2.1.4, se denomina"&n¡ "y " An 2~a

la separación entre dos líneas de corriente en secciones consecutivas y se aplica la

ecuación de continuidad entre ellas, obteniéndose:

u , A n , - n 2 A / i j (2.1.30)

de donde.

A i ! , C z = f , 7 — - , (2.1.31)

expresión que relaciona la velocidad con la separación entre las líneas de corriente

y de la que se deduce que su divergencia incrementa la variación de velocidad en una

sección normal, ocurriendo lo contrario si las líneas de corriente son convergentes.

84

2.1.7. ACELERACION

v (t+At)

A » v A v n

Fi g. 2.1.7. a) Geometría del movimiento, b) Variación convectiva de la velocidad(movimiento permanente).

La figura 2.1.7-a) representa

la trayectoria de una partícula de

fluido en un movimiento perma

nente, en la que se han dibujado

las velocidades de dicha partícula

en los instantes ~ í" y " í + A r". La

variación del vector velocidad de

la partícula a lo largo del tiempo

se mide mediante la aceleración

que, como se sabe, se define (Fig

2.1.7-b):

- , . Au dv a = Lim — = —

A I - . 0 ¿ í di (2.1.32)

Dado que el vector velocidad de la partícula es tangente a la trayectoria, su

expresión en coordenadas intrínsecas es:

v = vt (2.1.33)

siendo " i " el versor tangente a la trayectoria (Fig.2.1.7-a).

Sustituyendo 2.1.33 en 2.1.32 y derivando vectorialmente resulta:

- dv- dt a ( + v —

dt dt (2.1.34)

El segundo sumando de 2.1.34 puede ser modificado realizando, en primer

lugar , una derivación intermedia respecto al arco de curva " s " y sustituyendo, a

continuación, la fórmula de Frenet correspondiente, con lo que resulta:

85

que es la expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas para el movimiento

permanente. La primera componente se denomina aceleración tangencial y mide la

variación en el módulo de la velocidad, mientras que la segunda, denominada ace

leración normal, cuantifica el cambio que experimenta la dirección del vector velo

cidad.

Para aplicaciones posteriores interesa expresar el módulo de la aceleración

tangencial en función del arco de curva " s", para lo cual basta con efectuar una

derivación intermedia en dicho módulo, resultando:

dv _dv ds _ dv _ 1 d 2

a'~dl~ds'dl~tJdl~2dl '( 2 . 1 . 3 6 )

Hasta aquí se ha estudiado el movimiento en masa o de convección del fluido,

suponiendo que no hay variabilidad temporal en dicho movimiento, esto es, que el

movimiento es permanente. En tal caso, ¡a componente tangencial de la aceleración,

dada por la ecuación 2.1.36, se denomina aceleración tangencial convectiva mientras

que la componente normal, representada por el segundo sumando de la ecuación

2.1.35, se denomina aceleración normal convectiva.

v ( t *A t )

Fig, 2 .1 .8 . Variación local ÍAv)¡ de la ve loc idad (movimiento uniforme).

En un movimiento variable, el vector

velocidad varía de un instante a otro en

cualquier punto "P" que se considere en la

masa fluida (Fig.2.1.8). Hay por tanto, una

variación local de la velocidad y por consi

guiente, cabe hablar del vector aceleración

local y de sus componentes intrínsecas, es

decir, de la aceleración local normal y de la

aceleración local tangencial. En un movi

miento variable y uniforme, las componentes

locales intrínsecas de la aceleración serán:

86

a, dv di

a . - —ó!

(2.1.37)

(2.1.38)

En el caso genera! de un movimiento variable no uniforme, se producirá tanto

la variación local de la velocidad (Fig. 2.1.8) como lavariaciónconvectiva(Fig2.1.7-a),

por lo que las componentes intrínsecas de la aceleración serán, en tal caso, las

siguientes:

,'¿V} 1 ° , 2 ,

dv\ v2

• ' . 3 F J / 7

(2.1.39)

(2.1.40)

teniendo, por tanto, cada componente intrínseca de la aceleración una componente

local y una componente convectiva.

87

3"Tema.Dinámica de Fluidos.

1*Lección. Teorema de Bernoulli. Teorema de Torricelli. Tubo de Venturi.

Tubo de Pitot. Tubo de Prandtl. El sifón.

3.1.1. TEOREMA DE BERNOULLI

Fig. 3.1. 1. Fuerzas en el movimiento según "sí

En la figura 3.3.1 se ha represen

tado un elemento de fluido ideal, de

forma cilindrica, así como las fuerzas

que actúan sobre él y tienen proyección

en la dirección de su eje. Estas fuerzas

son las que se derivan de la presión que

actúa sobre las caras circulares y el peso

del elemento.

Al aplicar a dicho elemento la 2 a ley de Newton y proyectarla en la dirección

de su eje longitudinal resulta:

pdA-^p + ~^ds^dA-ydAdscos$- mas (3.1.1)

en la que " y " es el peso específico del fluido, " m" la masa del elemento y " a," la

proyección de la aceleración del elemento en la dirección " s". Expresando" cosfi"

en función de " d z "y dividiendo por el peso del elemento se obtiene:

JMi).^ c 3 . 1 . 2 )¿$V\J ds g

Si el fluido es incompresible, la ecuación anterior se puede escribir también:

88

¿<s\y J g

Si la aceleración en la dirección " s " es nula se verifica:

y si también es nula en cualquier otra dirección se deduce que:

~* z^h-Cte. y

De acuerdo con la I a ley de Newton, dos son las opciones a considerar si la

aceleración es nula: o el movimiento es uniforme o la velocidad es nula. Entre ellas,

sólo la segunda es coherente con la hipótesis de inexistencia de fuerzas tangenciales

viscosas, ya que según la ecuación 1.1.2, éstas sólo son realmente nulas si no hay

velocidad de deformación. En consecuencia, la ecuación 3.1.5 es, rigurosamente

hablando, la ecuación de la hidrostática y "h" recibe la denominación de altura

píezométrica, ya que representa la altura a la que ascendería el líquido contenido en

un recipiente si se le colocara un tubo piezométrico (Fig. 1.2.9).

La altura píezométrica es la suma de la altura de presión " p/y" y de la altura

geométrica " z", que son magnitudes homogéneas como revela su análisis dimen

sional:

P

_ Y

[ 2 ] - ¿ ( 3 . 1 . 7 )

Dado que la altura píezométrica se expresa en unidades de longitud, admite una

sencilla representación geométrica: elegido un plano al que referir la altura geo

métrica " 2 " de cada punto del fluido, de la ecuación 3.1.5 se deduce que la altura de

presión "p/y" viene dada por la distancia entre el punto y su superficie libre.

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.5)

[F/V] (3.1.6)

Un razonamiento similar al empleado para deducir la ecuación 3.1.3 permitiría

obtener la ecuación que corresponde a la proyección de la segunda ley de Newton

en la dirección de la normal al movimiento del elemento de fluido considerado. Así

pues, las ecuaciones del movimiento proyectadas en las direcciones" s " y " n." son:

**\y J g

• ¿ ( £ • 0 - - ( 3 - 1 . 9 )dn\y ) g

l Y J g U J

y sustituyendo en 3.1.8 y 3.1.9 las ecuaciones 2.1.39 y 2.1.40 resulta:

1 dv2

2g ds

+ I ¡ ¡ ! g r

La ecuación 3.1.10 puede escribirse también en la forma:

ds\Z* y* ZgJ- g\dl)t

- - Í - Í - 1

( 3 . 1 . 1 0 )

( 3 . 1 . 1 1 )

(3.1.12)

La ecuación 3 .1 .12 se denomina teorema de Bernoulli o ecuación de la línea de

corriente y la suma que aparece entre paréntesis, en el primer miembro, trinomio de

Bernoulli " B" o altura total " H". La altura total se obtiene, por consiguiente, al

añadir a la altura píezométrica "h" la magnitud homogénea ~v2/2g", que se

denomina altura cinética o altura de velocidad.

El teorema de Bernoulli expresa que si la aceleración local tangencial no es

nula, la altura total varía a lo largo de una línea de corriente. Ahora bien, si el

movimiento es estacionario, no hay aceleración local y el teorema de Bernoulli indica,

en ese caso, que la altura total permanece constante de un punto a otro de una línea

de corriente, esto es:

2 + £ i + Í Í L = z ( 3 . 1 . 1 3 )1 Y 2g 2 Y 2g

representando los subíndices puntos cualesquiera de una misma línea de corriente.

90

Si el movimiento del fluido se desarrolla en las condiciones de régimen per

manente y uniforme, las líneas de corriente resultan ser líneas rectas ( r = °°) y como

consecuencia, de la ecuación 3.1.11 se deduce que en el plano perpendicular a la

dirección de la corriente, existe una distribución hidrostática de presiones.

Como ya ha sido dicho, en un movimiento estacionario se verifica que la altura

total no varía de un punto a otro de una misma línea de corriente. Sin embargo, en

el caso general de que el movimiento sea rotacional, la altura total varía de una línea

de corriente a otra. Aunque esta importante observación se comprobará más adelante

mediante el tubo de Pitot, puede darse ahora una justificación analítica, para lo cual

se comenzará por escribir la ecuación 3.1.11 para un movimiento estacionario,

resultando:

dn\ y) gr

De la relación de semejanza existente entre los triángulos representados en la

figura 2.1.7-b) se deduce, en primera aproximación:

(3.1.14)

dv ds

(3.1.15)

sustituyendo 3.1.15 en 3.1.14 y añadiendo a cada uno de los miembros de esta última

ecuación la derivada de la altura cinética respecto a la normal, se tiene:

p V z + — + —

dn\ y 2g vfdv\ _ i g\ds)a dn\2g

(3.1.16)

realizando la derivación del paréntesis del segundo miembro y extrayendo el factor

común del resultado se- llega a:

..2 \ , , f ( ¿ u \ { ¿ii Y (3.1.17) 7-1 -(-11 dn\ Y 2g) g

Si el movimiento es irrotacional se verifica:

rot v = 0 (3.1.18)

91

y por consiguiente:

í Sv\ ( b\¡ \ (3,1.19)

Resulta por tanto, que en el movimiento permanente e irrotacional de un fluido

ideal e incompresible, la altura total es la misma en dos puntos cualesquiera del

fluido, es decir:

P i Pi vi z + £ H + _ L = 2 + ^ + _ l (3.1.20)

Y 2g y 2g

Hasta ahora el estudio del movimiento ha sido realizado, fundamentalmente,

para el caso bidimensional y mediante dicho estudio ha sido posible exponer los

principios básicos del movimiento curvilíneo. Sin embargo, y aunque el método

bidimensional de análisis encuentra aplicación en algunos casos reales, en la mayoría

de los problemas relacionados con el movimiento de los fluidos, se viene empleando

el método unidimensional de análisis que no es sino una simplificación de las con

diciones del movimiento bi o tridimensional, en el que se supone que la corriente

tiene las características de un filamento líquido, adoptándose valores medios para la

velocidad, presión y altura geométrica y considerando así a la corriente como un

conjunto en cada sección transversal de este filamento de corriente.

La idea que encierra el método unidimensional de análisis no se introduce ahora:

fué utilizada en la formulación de la ecuación de continuidad al representar la dis

tribución de velocidades por su media estadística, representación que, conviene

recordarlo, no supone simplificación alguna. -

El estudio unidimensional del movimiento de un fluido permite resolver ciertos

problemas de la mecánica de fluidos: fuerzas en los cambios de dirección de la

corriente, resalto hidráulico, etc., al obtenerse expresiones sencillas en la aplicación,

a estos problemas, de los teoremas de fuerzas vivas y de la cantidad de movimiento.

En concreto, es mediante el uso del teorema de las fuerzas vivas como se llega a la

deducción de la versión simplificada del teorema de Bernoulli.

92

Para la deducción del teorema de Bernoulli mediante el teorema de las fuerzas

vivas es preciso suponer que el filamento de corriente de trazo discontinuo en la

figura 3.1.2 representa las condiciones del movimiento de la porción de fluido definida

por un tubo de corriente.

La deducción se inicia aplicando a un

elemento diferencial del filamento líquido el

teorema de las fuerzas vivas teniendo en

cuenta que el sistema de fuerzas que actúa

sobre él es el que se mostró en la figura 3.1.1.

El trabajo realizado por el peso y las fuerzas

derivadas de la presión que actúan sobre el

elemento considerado, en un desplazamiento

-Sección 1

F i g . 3 .1 . 2 . Filamento de corriente.

ds~ de dicho elemento será:

dW-F-dr — CP* \z)dsdA | í - ( d s ) ( (3.1.21)

expresión en la que " í" es un vector unitario en la dirección de la velocidad. Para un

movimiento permanente, la ecuación 3.1.21 se escribe en la forma siguiente:

dW = -dsdA — (p + yz)ds ds

!| ^pdsdAv2

(3.1.22)

La energía cinética de un elemento diferencial del filamento viene dada por:

(3.1.23)

que para un fluido incompresible, en movimiento permanente, queda en la forma:

(3.1.24)

(3.1.25)

dE = pdsdA—\ — ds

El teorema de las fuerzas vivas establece que:

dE = dW

por lo que, sustituyendo 3.1.22 y 3.1.24 en 3.1.25, resulta:

93

-dsdA — (p + yz)ds<° pdsdA — ( — \ds (3.1.26)ds ds\ 2

Teniendo en cuenta la definición del módulo de la velocidad, así como la de

caudal, y dividiendo por "dt" el resultado de sustituir ambas definiciones en la

ecuación 3.1.26, se obtiene:

--^-(p*yz)dsdQ-p~(% )dsdQ (3.1.27)ds ds\ 2 }

Dado que, para un fluido incompresible en movimiento permanente, el caudal

permanece constante, al integrar la ecuación 3.1.27 a lo largo del filamento y entre

las secciones 1 y 2, se obtiene:

[Cp 1

+ Y 2 , ) - ( P 2

+ V 2 2 ) ] d Q = p ^ - ^ d ( 3 (3.1.28)

Para resolver la ecuación 3.1.28 se necesita integrar ambos miembros, es decir:

/ Kpl*yzi)-(p^yz2)]dQ = | p ( ^ - ^ W (3.1.29)

Si se supone que el movimiento es uniforme, los paréntesis que aparecen en el

primer miembro son constantes en la sección ya que como se recordará, en tal caso

la distribución de presiones es hidrostática.

La integral del segundo miembro de la ecuación 3.1.29 puede expresarse en

función de la velocidad media "v" en la sección si se hace intervenir un coeficiente

corrector " K„", denominado factor de energía o coeficiente de corrección de la

energía cinética cuya definición es:

K''U{ífdQ (3-l-30)

siendo " A " la sección transversal.

94

Así pues, la ecuación 3.1.29 puede expresarse como:

[ C p l * Y = l ) - C P 2 + V Z z ) ] Q - p ( j - ^ J / í í e (3.1.31)

en la que " v," y " vz" representan la velocidad media en las secciones 1 y 2.

A l dividir la ecuación 3.1.31 por "yQ" se obtiene una serie de términos que

tienen las dimensiones de energía por unidad de peso. Agrupando seguidamente los

que corresponden a cada una de las secciones consideradas resulta:

p, v2 p, vi

El coeficiente " Ka" depende de la distribución de velocidades en la sección

transversal; tomando el valor 1 cuando la distribución es uniforme y el valor 2 en el

caso de distribución parabólica en un movimiento confinado en una tubería circular.

En las aplicaciones relacionadas con el movimiento del agua en tuberías, el valor del

coeficiente de energía es de! orden de 1.1, siendo habitual tomar el valor unidad

habida cuenta del pequeño valor que suele tener la altura cinética. En consecuencia,

la ecuación 3.1.32 queda en la forma:

P i f? P? vi z , . £ l í + _ ± = 2 + ( 3.1.33)

' Y 2g 2 y 2g

y constituye la expresión a emplear en la mayoría de las aplicaciones del teorema de

Bernoulli, motivo por el cual será analizada detenidamente más adelante.

Cada uno de los sumandos de la ecuación 3.1.33 representa una energía por

unidad de peso, por lo que es habitual denominar "energía específica" al trinomio de

Bernoulli. Además de esta denominación se emplea también, sobre todo en las

aplicaciones ingeníenles de la mecánica de fluidos, la de "carga hidráulica". Dado el

significado energético de cada uno de los términos de la ecuación 3.1.33, puede decirse

que dicha ecuación expresa el principio de conservación de la energía hidráulica.

95

Se han efectuado dos deducciones del teorema de Bernoulli: la primera de ellas

(ec.3.1.12) ha conducido a una expresión de uso restringido a puntos situados en una

misma línea de corriente; la segunda (ec.3.1.33), ha permitido obtener una expresión

más adecuada para las numerosas aplicaciones que el teorema de Bernoulli tiene en

la ingeniería.

En la Historia de la mecánica de fluidos se pueden identificar tres momentos

clave con relación a la deducción dei teorema de Bernoulli, pudiéndose comprobar

también que, como ha sucedido y probablemente siga sucediendo, en no pocas

ocasiones las aplicaciones técnicas van por delante de ios conocimientos científicos:

La primera aplicación de lo que

hoy se conoce por teorema de

Bernoulli apareció en el libro

"Hydrodynamica" de Daniel Ber

noulli, que fué publicado en 1738.

Daniel Bernoulli dedujo el teorema

que lleva su nombre mediante la

aplicación del teorema de las fuerzas

vivas al estudio del movimiento del

agua en el sistema que se muestra en

la figura 3.1.3, obteniendo una expre

sión cuya forma guardaba gran parecido con la que se obtendría de la particularización

al caso de la ecuación 3.1.33. La falta de coincidencia tenía su origen, fundamen

talmente, en que Daniel Bernoulli no conocía el verdadero alcance del concepto de

presión.

La deducción del ya "teorema de Bernoulli" para una línea de corriente, tanto

en el caso de movimiento permanente como en el de movimiento variable, fué rea-

A.

Fig 3 . 1 . 3 . Sistema estudiado por Danief Bernoulli ! Reproducción de la Fig.72 de Hidrodinámica).

96

lizada por Johanfl Bernoulli -padre del anterior- que publicó sus resultados en el libro

"Hidráulica", feciiado en 1742, cuyas ecuaciones coincidirían -escritas en la notación

actual- con 3.1.13 y 3.1.12, respectivamente.

La primera de las deducciones que aquí se han hecho del teorema de Bernoulli,

coincidente en líneas generales con las que se ven en la bibliografía de mecánica de

fluidos, se basa casi por completo en la metodología que permitió a Leonhard Euler

obtener las ecuaciones generales de cualquier movimiento. Dicha metodología fue

publicada por Euler en 1750 bajo el título "Découverte d'un nouveau principe de

mécanique" y está constituida por dos ideas fundamentales: la utilización de un

elemento diferencial, representativo de la constitución del cuerpo continuo al que

se aplican las fuerzas que actúan sobre él -idea que expresa la figura 3.1.1-y por otro

lado, el empleo del cálculo diferencial e integral para resolver las ecuaciones dife

renciales que resultan de la aplicación de la segunda ley de Newton al elemento

considerado.

Siguiendo esta metodología, Euler escribió la obra "Principes généraux de

mouvement des fluides" que publicó en 1755 y en la que pueden verse las ecuaciones

generales del movimiento de un fluido, denominadas ecuaciones de Euler cuya

expresión abreviada es:

y_ \dp_dvx

páx di

\do dvw

p dy dt

\dp_dvt

p dz = dt

en las que " X", " Y" y " Z" representan las componentes de las fuerzas por unidad

de masa que actúan sobre el elemento en la dirección de los ejes coordenados; ~vx ",

" Vy*y " ü , * son las componentes de la velocidad en dichas direcciones; "p" es la

97

densidad del fluido y" p" es la presión.

La integración de las ecuaciones anteriores a lo largo de una línea de corriente

conduce, como es lógico, a la obtención del teorema de Bernoulli.

En resumen, el teorema de Bernoulli o ecuación de la línea de corriente -de

nominación esta última que puede verse en las actas del simposio " Hydraulics and

Hydraulic Research - Historical Development an Present Trends-", celebrado en

Berlín Oeste en 1985 - se enuncia como sigue:

En un fluido ideal (u. - 0 )e incompresible (p = c í e - i en un movimiento per

manente o estacionario [ - • O j el trinomio de Bernoulli permanece constante a lo

largo de una línea de corriente {ec. 3.1.20).

Bajo la denominación genérica "teorema de Bernoulli" se pueden dar los

siguientes enunciados:

I o En un fluido ideal e incompresible en movimiento permanente e irrota

cional ( r o t u = 0 ) , el trinomio de Bernoulli permanece constante en

cualquier parte de la masa fluida (ec. 3.1.20)

2 o En un análisis unidimensional del movimiento permanente y uniforme

de un fluido ideal e incompresible, el trinomio de Bernoulli se mantiene

constante de una sección a otra del filamento de corriente considerado,

debiendo ser multiplicado por el factor de energía ( K, } el sumando del

trinomio que corresponde a la altura cinética ( ees. 3.1.32 y 3.1.33).

En el apartado 3.2.3 se dará la expresión del teorema de Bernoulli para el caso

de fluido real y existencia de máquinas hidráulicas en la corriente.

98

3.1.1.1, Representación gráfica del teorema de Bernoulli

En las aplicaciones del teorema de Bernoulli se suele emplear la ecuación 3.1.33,

deducida en el análisis unidimensional del movimiento.

Cuando se trata de estudiar el movimiento de un líquido en un conducto cerrado

puede obtenerse una visión de conjunto de las características de la corriente si se

dibuja a escala, sobre el perfil longitudinal de la conducción, el valor de la altura

píezométrica " h " y de la altura total " H~ existentes en cada punto de la corriente.

Fig . 3.1.4. Representacio'n gráfica del teorema de Bernoulli.

El resultado de una representación así se puede ver en la figura 3.1.4 para ei

caso del desagüe libre de un depósito de gran tamaño por una tubería con un cambio

de sección, en cuyo extremo hay una válvula. '

Elegido un plazo de comparación como referencia para la representación de la

altura geométrica "z", el lugar geométrico de los puntos obtenidos al llevar en

prolongación de ésta la altura de presión se denomina línea píezométrica. En la figura

3.1.4 la línea píezométrica ha sido dibujada con trazo discontinuo.

La formulación del teorema de Bernoulli correspondiente a la ecuación 3.1.33

indica que la altura total permanece constante a lo largo de la corriente. En el supuesto

que recoge la figura 3.1.4, la altura total la fija el nivel del agua en el depósito. En el

99

caso de un fluido ideal, esa altura será la misma en cualquier otra sección de la

corriente, por lo que el lugar geométrico del extremo del segmento representativo

de la altura total, será una línea recta paralela al plano de comparación. Dicho lugar

geométrico se denomina línea de carga, línea de energía o línea de altura total. En

la figura 3.1.4 esta línea ha sido dibujada con trazo continuo.-

En los tramos de tubería en que la sección permanece constante la línea de

carga y la línea píezométrica son paralelas, siendo su "separación", el valor de la altura

cinética en cada sección. Se ha entrecomillado la palabra separación para recalcar

que no es la distancia -perpendicular común a las rectas- lo que representa la altura

cinética, sino el segmento interceptado entre las líneas y la perpendicular al plano

de comparación. Cuando las líneas son paralelas al plano de comparación (Fig. 3.1.4)

distancia y separación coinciden, evidentemente, pero se verá en el apartado 3.2.3

que no siempre es así, y que en tal caso, es la separación y no la distancia lo que

representa la altura cinética.

La observación de la figura 3.1.4 pone de manifiesto de forma sencilla ciertos

detalles: la "separación" entre el eje de la conducción -con trazo de punto y raya en

la figura que se comenta- y la línea piezométrica, representa la presión a la que está

sometida la conducción, lo que constituye un dato esencial para el dimensionamiento

de los tubos. Basta con representar la línea piezométrica para darse cuenta de cuales

son las zonas de la tubería que soportarán más presión. Lógicamente los tubos han

de dimensionarse para soportar la máxima presión y ésto es algo que también se

deduce de la representación de las líneas. La máxima presión en la tubería se alcanza

en la situación en la cual la válvula del extremo está cerrada; en tal caso las líneas

coinciden y por tanto la distancia entre cualquier punto del eje de la tubería y la línea

piezométrica indica la presión que soportarán los tubos y en consecuencia, el timbraje

que hay que exigir al fabricante de dichos tubos. Respecto a ésto conviene señalar

que la distancia proporciona directamente la presión en metros de columna de agua

(m.c.a.), pero el timbraje de los tubos suele expresarse en atmósferas o en paséales.

100

Por último, de las condiciones en el extremo libre de la tubería se deduce que

en la salida la velocidad es muy alta, ya que la presión se iguala, en ese punto, a la

presión atmosférica. Es obvio que la velocidad en el extremo libre puede reducirse

si se aumenta la cota de este punto.

En todo perfil longitudinal es prácticamente obligado recurrir a una

representación distorsionada, esto es, al empleo de escalas distintas para las mag

nitudes horizontales y verticales. En este sentido suele ser habitual emplear, en los

perfiles longitudinales de las obras lineales, como son, por ejemplo, carreteras y

tuberías, una relación de 10 entre la escala vertical y la horizontal. Sin embargo, casi

siempre es preciso superar esta relación en la representación gráfica del teorema de

Bernoulli e incluso se hace necesario, a veces, emplear escalas verticales distintas

para poder diferenciar la línea de altura total de la línea piezométrica. Este ha de

ser, precisamente, el criterio a seguir en la elección de la escala o escalas verticales.

En cuanto a la escala horizontal, ésta se aplica directamente a la longitud de la

tubería, aunque ello conduzca a que la longitud real de la tubería no coincida con su

representación. Hay que tener en cuenta a este respecto que tal detalle carece de

importancia práctica cuando la inclinación de la tubería es pequeña, cosa que ocurre

a menos que se trate de una impulsión.

i

3.1.1.2. Cálculo del trinomio de Bernoulli

En la ecuación 3.1.33," z " es la altura geométrica del centro de gravedad de la

sección transversal, referida al plano de comparación. Teniendo en cuenta el signi

ficado energético de dicha altura," z "también puede denominarse "energía potencial

geodésica", "energía geodésica" o simplemente "energía de posición". Se trata, en

101

definitiva, de la energía que posee un líquido en razón a su posición topográfica,

siendo quizá el caso más ilustrativo el del aprovechamiento que de esta energía se

hace en las turbinas de una central hidroeléctrica.

La altura de presión" p/y", en la ecuación 3.1.33, debería ser la presión media

en la sección, deducida de la lectura de un conjunto de piezómetros distribuidos

alrededor de la sección transversal. En la práctica, dicha altura de presión se suele

calcular en el centro de gravedad de la sección, como punto más representativo de

ella. El término de presión se denomina también "energía de presión", aunque en

rigor, tal expresión sólo deba ser utilizada para fluidos compresibles. Dado que los

líquidos se suponen incompresibles a efectos prácticos, se entiende que se necesita

un gradiente de presiones para que la presión aplicada a un líquido desarrolle un

trabajo.

La representación de la figura 3.1.4 y en general, todas las del teorema de

Bernoulli, emplean la presión manométrica o relativa, sin embargo, nada hay que

objetar a la utilización de presiones absolutas, bastando para ello con desplazar la

línea piezométrica en la magnitud que corresponde a la presión atmosférica o

ambiental. Lógicamente, el timbraje de los tubos se define para la presión relativa.

Finalmente, el sumando" u2/2g" se obtiene a partir de la velocidad media en

la sección, calculada como indica la ecuación 2.1.18. La altura cinética se denomina

también energía cinética.

102

3.1.2. TEOREMA DE TORRICELLI

Fig. 3.1.5. Esquema y notación para el teorema de Torricelli.

Basándose en los estudios de Galileo

sobre la caída libre de los cuerpos, Evan

gelista Torricelli dedujo que la velocidad

del agua que sale por un orificio practicado

en la pared de un depósito (Fig. 3.1.5), es

proporcional a la raíz cuadrada de la

profundidad de dicho orificio con respecto

a la superficie libre, es decir:

vA = KÍH (3.1.35)

La ecuación 3.1.35 resume, por tanto, el denominado teorema de Torricelli,

cuya comprobación realizó éste, experimentalmente, mediante el aforo de un

recipiente de capacidad conocida, dado que el caudal desaguado por un orificio es

proporcional a la velocidad de salida.

El teorema de Torricelli puede ser deducido mediante la aplicación del teorema

de Bernoulli entre la superficie libre del depósito y la sección " A" (Fig. 3.1.5). Uti

lizando el subíndice "0" para designar a la superficie libre, el teorema de Bernoulli

se escribe: ,

Po fo n v\ PA H + — + 0 + — + —

2g 2g Y(3.1.36)

Dado que el depósito está abierto y que se desagüa a la atmósfera, las presiones

que aparecen en 3.1.36 son iguales a la presión ambiental o atmosférica. Por otro

lado, si se supone que el depósito es de grandes dimensiones conrespecto al diámetro

del desagüe, puede despreciarse la altura cinética en el primer miembro, con lo que

se obtiene:

vA-<¡2gH (3.1.37)

3.L3. TUBO DE VENTURI

103

Fig. 3-1-6 Tubo de Venturi y manómetro diferencial.

Un tubo de Venturi es un

aparato constituido por un cono de

reducción que Finaliza en un estre

chamiento denominado garganta, al

que sigue un cono difusor mediante

el cual se recupera gradualmente la

sección inicial (Fig. 3.1.6). Además,

el tubo de Venturi debe llevar algún

dispositivo que permita conocer la diferencia de presión entre la sección inicial (1)

y la garganta (2). Para ello, pueden utilizarse sendos manómetros o bien un

manómetro diferencial como el que aparece en la figura 3.1.6.

Aplicando el teorema de Bernoulli entre las secciones (1) y (2) resulta:

vi (3.1 .38)

' Y 2g y 2g

Mediante la ecuación de continuidad se puede relacionar la velocidad existente

en las secciones de referencia,

-v2A2 (3.1.39)

y expresando ¡a sección en función del diámetro, y despejando ~ v, "se llega a:

(3.1.40)

Dado que el esquema que se representa en la figura 3.1.6 corresponde a una

configuración de equilibrio, se ha de cumplir la ecuación general de la estática de

fluidos que, aplicada al nivel AA', se expresa de la siguiente forma:

P^yl~P2*ymt (3.1.41)

104

en la que " y " es el peso específico del fluido que circula por el tubo de Venturi, ~ym~

es el peso especifico del líquido manométrico y " í" es la lectura del manómetro

diferencial. Nótese que para la aplicación de la ecuación 3.1.41 se precisa que el

movimiento sea uniforme en las secciones, ya que solo así la distribución de presiones

en una sección transversal será hidrostática.

De la ecuación 3.1.41 se deduce que la diferencia de alturas pie/o métricas entre

las secciones"!" y "2" (_h , -hz) viene dada por:

— " i ) ' (3.1.42)

donde " p" es la densidad del líquido de la tubería y " p m " es la del líquido mano-

métrico.

Sustituyendo 3.1.42 y 3.1.40 en 3.1.38 y despejando " v2" se obtiene:

( P m - p ) í , „ _ j v, = . 2g — (3. .43)

p [ l - ( D 2 / £ > , ) 4 ]

Conocida la velocidad en la sección de garganta, es inmediato deducir el caudal

que circula,

Q-A2v2 = / 2g H m ' (3.1.44)

Un examen detallado de la ecuación 3.1.44 pone de manifiesto que, dado un

tubo de Venturi, la única variable de la ecuación es la lectura "l" del manómetro

diferencial, por lo que el caudal es directamente proporcional a dicha variable. En

la práctica, la constante de proporcionalidad se obtiene mediante el tarado del tubo

de Venturi, operación que se efectúa en laboratorio. Así pues, la ecuación 3.1.44

puede ser escrita en la forma:

Q = Kft (3.1.45)

en la que" ¿"es la lectura del manómetro diferencial y" K"ia constante de calibración

o tarado.

105

El tubo de Venturi permite, por consiguiente, medir el caudal que circula por

una conducción en carga, para lo cual basta con colocarlo en una zona de la tubería

en la que no haya turbulencias, debiéndose a este respecto disponer un tramo de

aproximación y otro de salida. Por su tamaño y la protección que requiere, el tubo

de Venturi debe ser alojado en una caseta. Sólo de esa forma se podrá contar con un

aparato fiable y preciso para la medida de caudales pudiéndose, en tales condiciones,

estimar éstos con la exactitud del + 2 ,5% que pueden llegar a alcanzar.

El funcionamiento del tubo de Venturi está basado en la depresión que aparece

en un fluido cuando se le hace pasar a través de un estrechamiento. En esto consiste

Por último, la mezcla de la gasolina con el aírese realiza también por efecto

el denominado "efecto Venturi" que encuentra

numerosas aplicaciones prácticas como el

mechero Bunsen; el pulverizador; el "sun", que

hace posible la ventilación de los edificios (Fig.

3.1.7) o las capuchas de ventilación que se ven Fig. 3.1.7. Ventilación de edificios mediante "sun" en la cubierta de los barcos y que hacen posible

la extracción del aire de las bodegas.

a los cilindros Venturi en el carburador de los motores de Carburante

explosión. Cuando el aire es introducido en el

tubo de mezcla del carburador (Fig, 3.1.8), se

le hace pasar por un estrechamiento o difusor

Fig. 3. 1. 8. Esquema del carburador de un motor de explosión-

ire "D", lo que provoca la depresión necesariapara

aspirar la gasolina que a continuación es pul

verizada en el gicleur "s" (siclé), produciéndose

como resultado final la mezcla carburada.

106

3.1.4. TUBO DE PITOT

F ig 3.1.9. Tubo de Pi tot

En la figura 3.1.9 puede verse

un tubo de Pitot introducido en una

corriente. Ai orientar una de sus

ramas en la dirección de aquélla, el

extremo de dicha rama produce un

punto de parada o estancamiento

(2), al tiempo que el líquido entra en

el tubo alcanzando una altura " l"

(Fig. 3.1.9).

Al aplicar el teorema de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, suponiendo que ambos

tienen la misma altura geométrica, resulta:

Y Zg y (3.1.46)

Se deduce, por tanto, que en el punto de parada se desarrolla una sobrepresión

que viene dada por la altura cinética del punto 1. La presión en el punto de parada

o de estancamiento se denomina presión de estancamiento y es la suma de la presión

estática " p i / Y~y de la presión dinámica "v2/2g~ .

El líquido que se encuentra en el tubo de Pitot está en equilibrio, por lo que

aplicando la ecuación de la estática de fluidos entre el punto de estancamiento y la

superficie libre del líquido en el tubo se obtiene:

p2-yt (3.1.47)

siendo " Y " el peso específico del líquido," í" la lectura del tubo de Pitot y " p2~ la

presión de estancamiento o presión total.

107

Fig 3 . 1 . 10- Instrumentación básica para la medida de veloc idades.

Si además del tubo de Pitot, se dis

pone un tubo piezométrico en la sección

que pasa por el punto 1 (Fig. 3.1.10), la

diferencia de lecturas " / ' " , entre el tubo

de Pitot y el tubo piezométrico es la

diferencia entre las alturas de presión

correspondientes a dichos puntos, por lo

que, de la ecuación 3.1.46 se deduce:

v,=>[2gT (3.1.48)

En consecuencia, un tubo de Pitot y un tubo piezométrico constituyen una

instrumentación suficiente para medir la velocidad en una corriente.

Esta instrumentación básica puede ser utilizada para visualizar la diferencia

entre la aplicación del teorema de Bernoulli a una línea de corriente (ec. 3.1.13) y la

aplicación al conjunto de la masa fluida (ec. 3.1.20).

SÍ se supone que en la

sección (1) de una tubería (Fig.

3.1.11) la distribución de velo

cidades es parabólica, la velo

cidad en puntos tales como el "a"

y el "b" será distinta y también

lo será, por tanto, su altura

cinética. La consecuencia de

ésto es que la energía total que

hay en "a" no coincide con la que Fig. 3 .1 .11 . Visual ización del teorema de Bernoul l i .

hay en ' V .

108

Esto puede comprobarse fácilmente si se colocan sendos tubos de Pitot en las

líneas de corriente que pasan por "a"y "b". De acuerdo con lo estudiado anteriormente,

un tubo de Pitot colocado en la línea de corriente que pasa por "a" mide la presión

de estancamiento, de la que puede deducirse la altura cinética si se tiene en cuenta

la lectura del tubo piezométrico, que fija la línea piezométrica. En la figura 3.1.11 se

han acotado sólo las alturas que corresponden a la línea que pasa por "a", siendo

inmediato identificar las de la otra línea. Se ve claramente que la energía específica

varía de una línea a otra, de ahí la necesidad de que se cumpla la condición de

movimiento irrotacional, ya que ello supone que las líneas de corriente transportan

la misma cantidad de energía.

3.1.5. TUBO DE PRANDTL

La medición de velocidades se

liza el aparato esquematizado en la

figura 3.1.12, constituido como puede

verse, por un tubo piezométrico, un

tubo de Pitot y un manómetro dife-

simpüfica considerablemente si se uti-

la ecuación 3.1.46, escrita para el tubo

rencial.

Entre los puntos 1 y 2 se verifica

F ig . 3. 1. 12. Tubo de Prandtl. de Pitot, es decir,

P_i + v]_= P_2

Y 2c- y (3.1.49J

109

La medición de la presión estática se realiza en puntos como el 3 de la figura

3.1.12, que están distribuidos circunferencialmente. Dado que el diseño del aparato

permite suponer que en el punto 3 han desaparecido las perturbaciones causadas por

el punto de remanso en la red de corriente, se puede admitir que, aproximadamente,

se verifica:

(3.1.50)

Por otro lado, el líquido que hay en los tubos se encuentra en equilibrio, por lo

que se puede aplicar la ecuación de la estática de fluidos al nivel más bajo alcanzado

por la superficie libre del líquido manométrico, resultando:

P z - P a - Í Y ^ - Y ) * ( 3 . 1 . 5 1 )

donde" Y M " es el peso específico del líquido manométrico," Y " es el peso específico

del líquido que circula por la tubería y " l~ es la lectura del manómetro diferencial.

Sustituyendo 3.1.51 en 3.1.49, teniendo en cuenta 3.1.50 se obtiene:

vt=j2g\ - - ] t (3.1.52)

que permite deducir el valor de la velocidad a partir de la lectura del manómetro

diferencial.

Conexiones al manómetro

Fue Ludwig Prandtl quien

tuvo la idea de reunir en un sólo

aparato los tubos de Pitot y pie

zométrico, recomendando asi

mismo, la proporción que debían guardar sus distintas dimensiones

Fit j . 3. 1. 13. Relación entre dimensiones del tubo según L. Prandtl. (Fig. 3.1.13).

110

3.1.6. EL SIFON

Se denomina sifón a un tubo acodado (Fig.

3.1.14) en el que, mediante la creación en su

interior de un estado de presiones inferiores a la

ambiental, se hace posible que un líquido ascienda

a un nivel superior al que tiene su superficie libre.

El sifón fué utilizado desde tiempos remotos

-Philón de Bizancio (300 a. C) ya hablaba de él

en sus escritos- y continúa siéndolo actualmente, no sólo para el trasiego de líquidos

de un recipiente a otro, sino también, por ejemplo, como dispositivo para la

distribución del agua de riego desde la acequia hasta el surco.

A l aplicar el teorema de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 se obtiene:

F i g . 3 .1 . 14. Sifón.

P i v2 Pz vi • = 2 „ + • (3 . I .S3)

1 Y 2g " £ Y 2g

Dado que sobre las secciones 1 y 2 actúa la presión ambiental y que puede

despreciarse la velocidad de descenso de la lámina libre del depósito y con mayor

motivo, por tanto, su altura cinética, la ecuación 3.1.53 queda en la forma siguiente:

2g (3.1.54)

de la que se deduce la velocidad de salida del líquido por el extremo libre del sifón.

Ya se ha señalado la necesidad de que se produzca una depresión en la tubería

que haga posible el ascenso del líquido. Esta depresión alcanza su valor máximo en

el punto 3 pudiéndose determinar ésta aplicando el teorema de Bernoulli entre las

secciones 2 y 3, con lo que se obtiene:

111

Como la sección de la tubería es constante, de la ecuación de continuidad se

deduce que las alturas cinéticas han de coincidir en las secciones consideradas, por

lo que teniendo en cuenta que en la sección 2 actúa la presión ambiental, de la

ecuación 3.1.55 se obtiene:

P amb P 3 ~<.z3-z2) (3.1.56)

De la ecuación 3.1.56 se deduce que en la sección 3 hay unapresión manométrica

negativa que podría llegar a anularse si se cumpliera:

Pamb Z->~Z? = (3.1.57)

Si el líquido es agua, de la ecuación 3.1.57 se infiere el valor máximo teórico

que puede tomar la diferencia " z3 - z2", dicho valor sería:

( 2 3 - 2 2 ) m a B = 10 .33m. (3.1.58)

Sin embargo este valor, como se ha señalado, es sólo teórico, ya que antes de

ser alcanzado se ha producido el cambio de fase de líquido a gas, lo que impide la

aplicación del teorema de Bernoulli por no cumplirse sus hipótesis.

La explicación a ésto se encuentra en la figura 3.1.15, en la que se ha repre

sentado

el diagrama de fases del agua. En

él aparecen las combinaciones de

presión y temperatura que

corresponden a las distintas for

mas de presentación del agua:

sólida (S), líquida (L) y gas (V),

Las curvas señalan los valores de

presión y temperatura en los que

coexisten, en equilibrio, las fases

0,01 TCC)

F i g . 3 . 1 . 15- Diagrama de fases del agua.

112

que quedan a uno y otro lado de ellas y el punto cuyas coordenadas han sido acotadas

es el único en el que las tres fases pueden darse simultáneamente.

Dado que 4.58 mm es el mínimo valor de la presión para el cual el agua puede

existir en estado líquido, se deduce que es físicamente imposible lograr que se cumpla

la condición dada por 3.1.58, ya que ello supondría que la presión del agua sería nula.

La curva que en la figura 3.1.15 separa las zonas señaladas con "L" y "V" se

denomina curva de vaporización y proporciona, para cada temperatura, la presión a

la cual el agua está en equilibrio con su fase gaseosa. Esta presión, denominada

presión de vapor del agua, es por tanto, la mínima para la cual el agua puede estar

en fase líquida.

113

3-Tema. Dinámica de Fluidos.

2-Lección .Estudio de la viscosidad. Máquinas hidráulicas. Generalización

del teorema de Bernoulli Estudio del movimiento de un fluido real.

3.2.1. ESTUDIO DE LA VISCOSIDAD

En la primera de estas lecciones de mecánica de fluidos se señaló que el aspecto

más relevante del comportamiento de un fluido -hasta el punto de que por ello, dicho

aspecto era recogido en la mayoría de las definiciones de fluido- consistía en que su

resistencia al esfuerzo cortante era proporcional a la velocidad de deformación. El

coeficiente de proporcionalidad en esta relación es, precisamente, el coeficiente de

viscosidad absoluta o dinámica "u.".

Para estudiar el comportamiento de los líquidos bajo la aplicación de esfuerzos

cortantes puede utilizarse el viscosímetro de placas. Este aparato está constituido

por dos superficies planas paralelas separadas una pequeña distancia entre las cuales

se coloca el líquido que se desea estudiar. El desplazamiento relativo de las placas

en la dirección de éstas origina en el líquido una solicitación de tensión tangencial

pura (véase Fig. 1.1.1) a la que corresponde un estado de deformación angular

caracterizado por el ángulo "y" . .

Uno de los viscosímetros más comunes es aquél en el que la placa inferior está

fija mientras que la superior se mueve con velocidad constante "v0" cuando se le

aplica una fuerza horizontal" F", Durante el ensayo se observa que la porción de

114

fluido en contacto con las placas adquiere su misma velocidad, por loqueen el líquido

aparece un gradiente de velocidades, lineal o curvo, que presenta velocidad cero en

el contacto con la placa fija y velocidad " u0" en el contacto con la otra placa.

En cierto tipo de líquidos, entre los que se encuentran el agua y el aceite, el

gradiente de velocidades es lineal. Si

uno de estos líquidos se coloca en el

viscosímetro descrito en el párrafo

anterior y que se muestra en la figura

3.2.1, resulta que al aplicar la fuerza

" F", un elemento de fluido como el

"abcd" se deformará, pasando a

F i g . 3. 2. 1. Vtscosimetro de placas.

ocupar la posición genérica" abe' d " ' . Para medir la deformación angular se puede

utilizar el ángulo " Y " cuya definición geométrica se deduce de la figura 3 .2 .1 .

Si el área de la placa superior es "5" , el cociente " F/S" representa la fuerza

tangencial unitaria o esfuerzo cortante " x " cuyo valor viene dado por la ley de Newton

de la viscosidad para el movimiento unidimensional:

dy ( 3 . 2 . 1 )

en la que "u." es el coeficiente de viscosidad absoluta o dinámica y " dy/dt" es la

velocidad de deformación angular. De la ecuación 3.2.1 se desprende que en un

líquido sometido a esfuerzo cortante la deformación angular aumenta continuamente

a lo largo del tiempo, no alcanzándose por consiguiente una configuración estable.

De la figura 3.2.1 se deduce la siguiente relación geométrica:

dy _ dv dt dy

(3.2.2)

que sustituida en 3.2.1 proporciona la expresión de la ley de Newton de la viscosidad

en función del gradiente de velocidades, esto es,

115

dv t - H - (3.2.3)

De lo anterior se desprende que la viscosidad es la propiedad mediante la cual

un fluido real presenta resistencia a' la aplicación de esfuerzos tangenciales. Cuando

un fluido real está en movimiento, la ecuación 3.2.3 indica que aparecen fuerzas

tangenciales derivadas de la viscosidad -fuerzas viscosas- que se oponen al movi

miento. Esto significa que al estudiar el movimiento de un fluido real habrá que

tener en cuenta no sólo las fuerzas gravitatorias y las derivadas de la presión, como

se hizo en la lección anterior, sino también las fuerzas viscosas. Se obtienen así las

ecuaciones del movimiento de un fluido real o ecuaciones de Navier-Stokes:

\dp 7 dvx

p3x * * dt

\dp _ ¡ dv y - p ^ * ^ * ' W C 3 - 2 - 4 )

pdz- 1 dt

en las que" p " es el coeficiente de viscosidad absoluta y" V2" representa el operador

de Laplace, cuya expresión es:

a d2 a3 d2

V 2 ; + — r + —= (3.2.5)dx2 dy2 dz2

siendo el significado de las restantes magnitudes el que ya se dijo al presentar las

ecuaciones de Navier (ec. 3.1.34) que como se ve, no son sino la particularización de

las de Navier-Stokes para un fluido ideal.

La integración de las ecuaciones de Navier-Stokes a lo largo de una línea de

corriente conduce a una expresión similar a la del teorema de Bernoulli, ya que

además del trinomio, aparece en ella un término que representa la pérdida de carga

debida a la existencia de las fuerzas resistivas derivadas de la viscosidad. De la

contabilización de las pérdidas de carga en el movimiento de un fluido real se tratará

en el apartado 3.2.3.

116

Si se representan en un sistema de ejes cartesianos el esfuerzo cortante y la

velocidad de deformación de un fluido se obtiene lo que se denomina diagrama

reológico (Fig.3.2.2).

Los fluidos que quedan repre

sentados en dicho diagrama por una

línea recta se denominan fluidos

newtonianosy entre ellos se encuentran

los que presentan más interés desde el

punto de vista de las aplicaciones de la

mecánica de fluidos: el agua, el aceite

y el aire.

dv/dy

F i g 3 . 2 . 2 . Diagrama r eo lóg i co .

Los fluidos cuya representación en el diagrama reológico es una curva se

denominan fluidos no newtonianos y en ellos la viscosidad puede ser modificada por

la aplicación de esfuerzos cortantes. Cuando la viscosidad aumenta al aplicar un

esfuerzo cortante se dice que el fluido es dilatante y un ejemplo de este tipo de fluido

son las arenas movedizas que es como se suele denominar a las arenas sometidas a

un gradiente hidráulico ascendente. Cuando la viscosidad del fluido no newtoniano

disminuye con la aplicación de los esfuerzos cortantes se le denominan seudoplástico,

siendo éste el caso de la tinta de los bolígrafos cuya fluencia se logra por los esfuerzos

tangenciales originados por el giro de la bolita de tungsteno.

Los ejes del diagrama reológico corresponden a sendas idealizaciones: el eje de

abscisas representa un fluido ideal y el eje de ordenadas corresponde al sólido rígido.

En la dinámica de fluidos se utiliza frecuentemente una magnitud física derivada

de la viscosidad absoluta, denominada viscosidad cinemática " v ", cuya definición es:

v = ^ ( 3 . 2 . 6 )

117

siendo "p" la densidad. Entre las aplicaciones de la viscosidad cinemática puede

citarse que el número de Reynolds -que servirá para clasificar un movimiento- se

puede expresar en función de dicha viscosidad.

3J.1.1. Unidades

Las unidades en las que se debe expresar la viscosidad se obtienen, como las de

cualquier otra magnitud física, a partir de su ecuación de dimensiones.

Así, despejando la viscosidad absoluta de la ecuación 3.2.3 y teniendo en cuenta

la definición de esfuerzo cortante.resulta:

< 3 - 2 - 7 )

dv/dy cuya ecuación de dimensiones es.

Si en lugar de tomar la masa como magnitud fundamental se adopta la fuerza,

la ecuación de dimensiones de la viscosidad es:

[u]-= F £ ~ 2 T (3.2.9)

Las unidades en las que se expresa la viscosidad absoluta deducidas de las

ecuaciones de dimensiones 3.2.8 y 3.2.9 son las que se muestran en ¡a tabla 3.2.1

C C S . S . / . S.T.

g • cm'' • s'1 ( p o t s e ) kg • m " ' • s " 1 • UTM • m~l • s~'

dina . newton , „ , kgf¿-s(barta-s) —-s(Pa-s) - ~ • s

cm m m

Tabla 3.2.1. Unidades de viscosidad absoluta.

118

La ecuación de dimensiones de la viscosidad cinemática se deduce de 3.2.6:

[ u ] ML'lT' ^^ái'^r^'^" (3-2'10)

Con la ecuación 3.2.10 se obtienen las siguientes unidades en cada uno de los

sistemas:

CCS. S.l. S.T.

c m z / s ( s í o / c e ) mz/s mz / s

Tabla 3.2.2. Unidades de viscosidad cinemática.

Dado que tanto el poise como el stoke son unidades demasiado grandes para

la viscosidad de los líquidos usuales, se utiliza frecuentemente sus submúltiplos; el

centipoise C l c / > = 1 0 - z F ) y e l centistoke ( l c S r = 1 0 ~ 2 S O

En alguno sub-sectores de la actividad industrial como es el caso del de la

lubricación, se emplean frecuentemente las denominadas unidades empíricas de

viscosidad que expresan ésta ec función del tiempo necesario para que un volumen

determinado de líquido fluya a través de un orificio de dimensiones normalizadas a

una determinada temperatura. De este tipo son los segundos saybolt-furol {sSF\

utilizados en los Estados Unidos de Norteamérica y los segundos redwood ( ' 'R\

empleados en el Reino Unido.

Como ejemplo de la difusión alcanzada por este tipo de unidades se puede citar

la clasificación de aceites de lubricación hecha por la Society of Automotive Engi-

neers, cuyas iniciales, acompañadas de un número que expresa la viscosidad en

segundos, sirven para diferenciar entre sí dichos aceites.

En tabla 3.2.3 puede verse la equivalencia en centipoises de la viscosidad

expresada en unidades SAE.

119

Aceite

SAE • 10

SAE-20

SAE -30

Viscosidad absoluta ( cP )

160 a 220

220 a 300

300 a 430

Tabla 3.2.3. Viscosidad absoluta de aceites SAE.

Por último, en Europa en general y en España en particular, la viscosidad se

expresa, en ocasiones, en grados englerCf ) , que es un número adimensional, dado

que el resultado del ensayo que sirve para su determinación, esto es, el tiempo

necesario para que 200 mm3 del líquido de muestra pasen a través de un tubo de

2,9 mm de diámetro y 200 mm de longitud a la temperatura de 20°C,se divide por

el tiempo obtenido al realizar el ensayo con agua a esta misma temperatura.

Existen diversas fórmulas que relacionan las unidades empíricas de viscosidad

con la viscosidad dinámica o cinemática. Algunas de ellas pueden verse en las refe

rencias bibliográficas n° 9 y 17.

3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad

La viscosidad de un fluido tiene su origen en las fuerzas intermoleculares y en

la transferencia de la cantidad de movimiento molecular.

En los líquidos, en los que las moléculas se encuentran muy próximas entre sí

predomina el primero de los orígenes, siendo por tanto las fuerzas cohesivas y

adhesivas las causantes de la viscosidad. Dado que ambas fuerzas dependen de la

tensión superficial y ésta disminuye al aumentar la temperatura, la viscosidad

120

presentará una variación en el mismo sentido. Para el caso del agua, esta variación

está recogida en la fórmula de Poiseuille:

1 . 7 8 - 1 0 -

1 + 0 .377 -7 + 0,0002-7" 2

en la que " T" es la temperatura del agua en grados celsius y " p" es la viscosidad

absoluta en decapoises ( da P).

En los gases la viscosidad depende de la transferencia de la cantidad de movi

miento molecular y ésta aumenta con la temperatura, por lo tanto en un gas, la

viscosidad aumenta al hacerlo la temperatura. En un gas, la viscosidad no sólo

depende de la temperatura; también interviene la presión, por ello, es preciso aportar

este último dato.

En la tabla 3.2.4 se da, para distintas temperaturas, la viscosidad absoluta de

los fluidos más interesante en ingeniería.

Temperatura Viscosidad absoluta

Agua Aceite Aire seco (l.Olbar)

10 130,5 23400 1,768

20 100,2 10895 1,819

30 79,7 6291 1,867

40 V 65,3 3448 1,915

50 54,8 2226 1,962

Tabla 3.2.4. Variación de la viscosidad absoluta con la temperatura.

La tendencia que se observa en los datos de la tabla de viscosidades absolutas

se mantiene al considerar la viscosidad cinemática,y en este sentido conviene recordar

que en los líquidos, la densidad disminuye al aumentar la temperatura -excepción

hecha del agua entre 0 y 3,98 HC - mientras que en los gases sucede lo contrario. De

121

la tabla 3.2.5 se deduce que estas variaciones actúan de forma que la influencia de

la temperatura sobre la viscosidad cinemática sigue, como se ha dicho, pautas

comparables a las de la variación de la viscosidad dinámica.

Temperatura Viscosidad cinemática

• C°C) ( 1 0 - 6 m 2 / s )

Agua Aceite Aire seco (l.Olbar)

10 1,30 260 14,18

20 1,00 122 15,10

30 0,80 71 16,03

40 0,65 39 16,98

50 0,55 26 17,94

Tabla 3.2.5. Variación de la viscosidad cinemática con la temperatura.

122

3.2.1.3. Medición de la viscosidad

La viscosidad absoluta puede medirse mediante el viscosímetro de placas del

que ya se ha hablado en esta misma lección. Existen además otros tipos de viscosí

metro y entre ellos, quizá el más interesante sea el denominado viscosímetro de

Couette, cuya descripción no sólo servirá para mejorar la comprensión de las fuerzas

viscosas sino que también permitirá recordar y aplicar conceptos de la mecánica de

los sólidos rígidos.

El viscosímetro de Couette o

viscosímetro de cilindros concéntri

cos está constituido por un cilindro

macizo de radio" R'~ (Fig. 3.2.3) que

está suspendido mediante un alam

bre de torsión. Concéntrico con él se

encuentra un segundo cilindro de

radio interior ~R~ al que se puede

hacergírar en torno a su eje mediante

un motor.

Después de introducir el líquido

en estudio en el espacio existente

entre los cilindros, se hace girar al

cilindro exterior con velocidad

angular constante " w", con lo que

se crea en el líquido situado en la

corona circular existente entre los cilindros el gradiente de velocidades que se muestra

en el detalle de la figura 3.2.3, cuyo valor será:

Fig 3. 2. 3. Viscosímetro de Couette {Alzado-sección y planta^

dv _ wR dy"R-R'

(3.2.12)

123

De la ley de Newton de la viscosidad se deduce el valor de la fuerza" F " que el

fluido ejerce sobre el cilindro suspendido:

F = \i^-A (3.2.13)

expresión en la que " A " es el área lateral del cilindro exterior, es decir:

A-2nRH (3.2.14)

Sustituyendo 3.2.12 y 3.2.14 en 3.2.13 se obtiene:

F = \i-^^2xRH (3.2.15)

Esta fuerza produce un momento sobre el eje del cilindro suspendido de módulo:

U . , . » - ¿ 2 g * . (3.2.16,

Este momento producirá un giro " $" en dicho cilindro, que puede leerse en un

limbo graduado. A partir de esta lectura se deduce el momento que se moviliza en

el alambre de torsión:

M = G<k__ (3.2.17)

siendo " G " la constante del alambre representativa de su rigidez al giro.

En el equilibrio coinciden las ecuaciones 3.2.17 y 3.2.16 y de esta igualdad se

deduce el coeficiente de viscosidad absoluta,

á j w j C 3. 2. 1 8 )2nwR3H

Si el espesor "a" de la capa de fluido situado debajo del cilindro suspendido

fuera del orden de la separación entre cilindros, habría que considerar también -en

un cálculo similar al realizado- el par producido por las fuerzas viscosas desarrolladas

en dicha zona. A veces se evita la aparición de fuerzas viscosas en el fondo del cilindro

suspendido haciendo que dicho fondo sea cóncavo, lo que favorece la aparición de

burbujas de aire en el contacto con el cilindro.

124

3.2.2. MAQUINAS HIDRAULICAS

El agua almacenada en un embalse se utiliza para diversos fines, entre los cuales

se pueden citar los siguientes: abastecimiento de poblaciones, regadíos y producción

de energía eléctrica. Estos fines, que no son los únicos, tienen en común el que

constituyen aprovechamientos de la energía hidráulica. En efecto, estos tres usos del

agua se basan en la energía potencial que adquiere aquélla en razón a su situación

topográfica. Esta energía potencial será utilizada, en el caso de regadíos y abaste

cimientos, para conducir el agua hasta los puntos de consumo, venciendo las fuerzas

resistivas derivadas de la viscosidad.

Es también la energía potencial del agua embalsada la que, transformada en

energía cinética de rotación en las turbinas, produce el giro de los alternadores

coaxiales con ellas dentro de un campo magnético y como producto final la energía

eléctrica. La potencia que es posible extraer de una corriente depende del desnivel

utilizado y del caudal turbinado. La expresión de la potencia teórica " P " es:

P = yQ&H (3.2.19)

en la que " v" es el peso específico del agua," Q " es el caudal que atraviesa la turbina

y "AH~ la carga hidráulica o energía extraída de la corriente.

Ocurre a veces que el agua no se encuentra donde se la necesita y en tal caso

se hace necesario aportar energía. La aportación de energía se efectúa mediante una

bomba, que es una máquina hidráulica en la que tiene lugar la transformación de la

energía térmica de un combustible o la eléctrica de la red general en energía

mecánica, con el resultado de un incremento en la carga hidráulica de la corriente

al atravesar la bomba. La potencia teórica necesaria para aumentar en " A / / " la

energía de un caudal "Q" de agua viene dada también por la ecuación 3.2.19, con la

particularidad de que " A H" representa ahora una aportación de carga hidráulica.

125

En resumen, las máquinas hidráulicas son aparatos que se intercalan en una

corriente para comunicarle energía -en el caso de las bombas- o para tomar energía

de la corriente en el caso de las turbinas.

Si " H i " representa el valor del trinomio de Bernoulli antes de la máquina

hidráulica o como se suele decir también, "aguas arriba" de ella y " H 2 " representa

el trinomio de Bernoulli después de la máquina hidráulica -"aguas abajo"- la variación

de energía o carga hidráulica introducida por una bomba " B" viene dada por:

HI + (&H)B-H2 (3.2.20)

y si lo que se interpone en la corriente es una turbina " T", entonces la ecuación de

energía queda en la forma:

H , - ( A W ) r - H2 (3.2.20 bis)

•

3.2.3. GENERALIZACION DEL TEOREMA DE BERNOULLI

Se suele entender por "generalización del teorema de Bernoulli" a la versión de

este teorema en la que se consideran tanto las pérdidas de carga asociadas a la cir

culación de un fluido real, como el incremento positivo o negativo de energía

hidráulica que se obtiene con la interposición de máquinas hidráulicas en la corriente.

La ley de Newton de la viscosidad establece que en un fluido en movimiento,

la viscosidad moviliza fuerzas resistivas de naturaleza molecular que, en los líquidos,

eran debidas a la cohesión y a la adhesión entre moléculas . La primera de estas

fuerzas actúa entre las moléculas del líquido, por tanto actúa en toda la masa fluida;

la segunda, corresponde a la acción entre las moléculas del líquido y los contornos

sólidos con los que está en contacto. Quiere ésto decir que en un líquido real en

movimiento se desarrollan fuerzas resistivas en cada porción de líquido que se

considere, y que el trabajo realizado por estas fuerzas supone una pérdida de energía

126

o de carga hidráulica porunidad de longitud de conducción. Esta disminución unitaria

en la energfa del líquido se denomina pérdida unitaria de carga "i". Resulta, por

consiguiente, que en una conducción de longitud " L " la pérdida total será:

AH = iL (3.2.21)

En la siguiente lección se deducirán las expresiones mediante las cuales se puede

calcular la pérdida de carga, tanto en régimen laminar como en régimen turbulento.

En los fluidos que como el agua, tienen una viscosidad muy pequeña, la resis

tencia al avance se concentra sobre todo en los contornos, ya que en ellos se da un

elevado gradiente de velocidad. En concreto, esta resistencia de superficie tiene lugar

en una capa de fluido de pequeño espesor -del orden de mieras a mm- situada en

contacto con los contornos y denominada capa límite.

En las conducciones se hace necesario a veces, utilizar piezas especiales que

permitan cambios bruscos en la dirección de la corriente como son p. ej. los codos a

90 " ; o efectuar cambios en la sección mediante conos de reducción; o simplemente,

disponer válvulas que permitan aislar tramos de la conducción y efectuar limpiezas

o reparaciones en ellos. Todas las piezas especiales que como las descritas se disponen

en las conducciones producen efectos similares: alteraciones o desprendimientos de

la capa límite que perturban la corriente, originando remolinos y turbulencias. Se

dice que constituyen una resistencia de forma que no es sino una pérdida de energía

localizada, ya que su efecto tiene lugar en el entorno próximo del punto en el que se

sitúa la pieza. La expresión general de estas pérdidas localizadas es:

v2

AH-K — (3.2.22)2ff

siendo "v" la velocidad media en la tubería si se trata de codos, válvulas, etc. o la

velocidad en una determinada sección, cuando la pieza tiene sección variable y " K"

Un coeficiente adimensional que depende del tipo de pieza de que se trate. En la

127

tabla 3.2.6 se han recogido algunos de estos coeficientes. El análisis dimensional de

la ecuación 3.2.22 pone de manifiesto que las pérdidas localizadas tienen dimensiones

lineales, lo mismo que la pérdida total en una conducción (ec. 3.2.21).

Coef ic iente *K"

0 , 5 0

1 , 0 0

Conex ión d e p ó s i t o - t u b e r í a e n t r a n t e

0 , 0 5

Conex ión aboc inada depós i to- tuber ía

1 , 0 0

Conex ión t u b e r í a - d e p ó s i t o

Tabla 3 . 2 . 6 . Coe f i c ien tes de pe rd i da de c a r g a .

En resumen, en una conducción se producen dos tipos de pérdidas de carga: las

unitarias a lo largo de toda la conducción y las localizadas, correspondientes a cada

una de las piezas especiales, accesorios, etc., interpuestos en la corriente. La suma

de ambas será la pérdida total de carga:

A W - i i + V / í — (3.2.23)2g

La generalización del teorema de Bernoulli viene dada por la siguiente

expresión:

v2 v2

Hi*bHB-*HT-Hi + iL + Kl — + + ^ n ^ - (3.2.24) 2g 2g

Conex ión depós i t o - t ube r ía en ángulo

128

en la que "W,* y " H 2 " son el trinomio de Bernoulli en las secciones consideradas;

" A W S " y "AHT~ representan la variación de carga que corresponde a la interpo

sición en la corriente de una bomba o de una turbina, respectivamente;" iL" es la

pérdida total de carga debida a la resistencia de superficie y " K a ^ " representa la

pérdida localizada en el aparato o pieza especia!" a Denominando ( A H ) , J 2 a l a

suma de todas las pérdidas, la ecuación 3.2.24 puede escribirse en la forma:

/7, + C A W ) J ( - C A / / ) T - / / 2 + C A / / ) „ 2 (3.2.25)

3.2.3.1. Gráfico de energía

Para la representación de la ecuación 3.2.24 siguen siendo válidas las reco

mendaciones hechas al explicar la representación gráfica del teorema de Bernoulli.

Se trata ahora de completar aquéllas con las correspondientes a los sumandos

relativos a las máquinas hidráulicas y a las pérdidas de carga.

La modificación más importante quizá sea que la línea de energía no es hori

zontal; y no lo puede ser debido a ta existencia de la pérdida unitaria de carga, que

se presenta desde el primer metro de conducción. Si en la ecuación 3.2.24 se supone,

por el momento, que no hay máquinas hidráulicas ni accesorios se obtiene;

Hl = H2-iL (3.2.26)

De esta ecuación se deduce la forma de iniciar la representación gráfica: una

vez calculada la pérdida unitaria "i" y con ella, la pérdida total (ec. 3.2.21), se traza

una línea horizontal por el punto representativo de la sección 1 (Fig. 3.2.4) y a con

tinuación y en la vertical correspondiente a la sección 2, se lleva sobre ella , desde

su punto de intersección con la línea horizontal anterior y hacia abajo, la pérdida

129

total. Uniendo el extremo inferior del segmento que representa el valor de la pérdida

total con el punto representativo de la sección 1 se obtiene la línea de energía, de

carga hidráulica o de altura total, cuya pendiente es, evidentemente, " i".

Fíg .3 .2 .4 . Representación gráfica del teorema de Bernoulli generalizado. (I)

En la lección siguiente se verá la estructura de la pérdida unitaria " i " ; por el

momento basta con saber que depende del material de la tubería y de su diámetro,

además de la velocidad. Se deduce de la figura 3.2.4 que la tubería representada tiene

sección constante y es del mismo material. Una variación en cualquiera de estos datos

o en los dos, supondrá que la línea de energía será una poligonal en la que cada punto

anguloso marca el comienzo de un tramo de tubería de características distintas al

anterior.

Con base en la representación hecha en la figura 3.2.4, es muy sencillo obtener

el gráfico del teorema de Bernoulli generalizado, pues sólo queda desplazar la línea

de energía paralelamente a sí misma en la magnitud, sentido y posición que corres

pondan a cada máquina hidráulica o accesorio. Así, si se supone que la única máquina

es una

130

Fig. 3.2.5. Representación gráfica del teorema de Bernoulli generalizado. ( I I ) .

bomba (B) y que los accesorios que producen pérdida son la conexión depósito-

tubería de salida y un codo, se calcularán las variaciones de energía hidráulica que

producen cada uno de ellos, esto es: el incremento de carga que aporta la bomba

( A H B \ la pérdida de carga en la conexión (K ¡ v2/2g) y la pérdida de carga en el

codo ( / í 2 y 2 / 2 9 ) y a continuación se efectuará la traslación de la línea de carga en

la vertical de los puntos correspondientes a la ubicación de cada máquina o accesorio,

y en la magnitud y sentido adecuados: la magnitud será la de la variación de energía

y el sentido, hacia abajo en los accesorios y hacia arriba en labomba. Estas traslaciones

deben hacerse en el orden en el que aparecen máquinas y accesorios en el sentido

de la comente (Fig. 3.2.5).

Es importante recordar que lo que se busca con la representación del teorema

de Bernoulli generalizado es la visualización de las características de la corriente y

para ello hay que elegir una escala vertical que permita apreciar todas las variaciones

de carga hidráulica que hay en ella. Esta es la condición a tener en cuenta para elegir

adecuadamente dicha escala.

Una vez dibujada la línea de energía, sólo queda representar la línea piezo

métrica y para ello, basta con dibujar una paralela a la primera, por debajo de ella y

separada en la magnitud correspondiente a la altura cinética " v2/2g".

En general, la altura cinética es del orden de magnitud de las pérdidas en

131

accesorios, por lo que no debería haber problemas para distinguir perfectamente la

línea de energía de la línea piezométrica. No obstante, si los hubiera, habría que

llegar a una solución de compromiso recurriendo incluso a la utilización de más de

una escala vertical, aplicándolas, eso sí, de acuerdo con un criterio razonable.

Fig. 3. 2. 6- Gráfico de energía.

En la figura 3.2.6 se muestra la representación gráfica del teorema de Bernoulli

generalizado a lo que se denominará "gráfico de energía" para distinguirla de la

representación gráfica del teorema de Bernoulli.

132

3.2.4. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO REAL

En la figura 3.2.7 puede verse el esquema de una instalación de bombeo que

eleva hasta una altura " h a " el agua procedente de un pozo.

Fig. 3 .2 .7 Esquema de una elevación de agua.

El estudio de dicha instalación proporciona la oportunidad de aplicar a un

problema real el teorema de Bernoulli generalizado, deduciendo expresiones y

resultados de interés práctico.

3.2.4.1. Bernoulli entre las secciones 1 y 2 (Fig. 3.2.7)

La gran mayoría de los problemas que se plantean en una instalación de bombeo

como la que muestra la figura 3.2.7 están relacionados con el régimen de presiones

existente en la tubería que va desde el pozo a la bomba, denominada tubería de

aspiración. Con la notación que aparece en la figura 3.2.7, al aplicar el teorema de

133

Bernoulli generalizado entre la superficie del agua en el pozoy ¡a sección de la tubería

situada inmediatamente antes de la bomba, resulta:

fi,-Bl+CA//)W2 (3.2.27)

siendo " B , " y " B2" el trinomio de Bernoulli en las secciones 1 y 2 y " ( A / / ) , _ z l a

pérdida de carga habida entre dichas secciones.

A l aplicar la ecuación 3.2.27 se eriiplearán presiones relativas y se tomará como

plano de comparación la superficie libre del agua en el pozo, ya que debido a que,

en general, la sección recta de un pozo es muy superior a la de la tubería, la velocidad

de descenso de la lámina de agua es prácticamente inapreciable.

Resulta así nulo el trinomio de Bernoulli en la sección 1 mientras que en la

sección 2 su valor será:

siendo" h „" la altura de aspiración, "{p/yJ2" la presión manométrica en la sección

aguas arriba de la bomba y "vz/2g" la altura cinética en dicha sección, calculada

a partir de la velocidad media en ella.

El término correspondiente a las pérdidas de carga tendrá dos sumandos: el

debido a la pérdida unitaria en la tubería de aspiración y el correspondiente a las

pérdidas localizadas causadas por el codo y los accesorios que es preciso disponer en

el extremo de la tuberíaque está introducido en el pozo para evitar la entrada de

objetos extraños en la bomba, así como el vaciado de la tubería de aspiración durante

las paradas. El primero de estos accesorios se denomina alcachofa de toma y

básicamente consiste en una malla y el segundo, se denomina válvula de pié que no

es más que una clapeta que sólo permite un sentido de circulación para el agua. Así

pues, se puede escribir:

( ^ ) H 2 - i l , + ¿ (3.2.29)

134

donde " ¿ " e s la pérdida unitaria de carga en la tubería de aspiración," ia" es la

longitud de ésta," K" representa la suma de los coeficientes de pérdida de carga en

los accesorios y " v" es la velocidad media en la tubería de aspiración.

Sustituyendo 3.2.29 y 3.2.28 en 3.2.27, recordando que el trinomio de Bernoulli

es nulo en la sección 1, resulta:

La ecuación 3.2.31 muestra que en la sección 2 la presión manométrica es

negativa, siendo habitual por ello que en el lado de succión de las bombas y para

conocer la presión allí, haya un tapón que permita, una vez retirado éste, colocar en

él un vacuómetro.

La altura de presión absoluta en la sección 2 será, por consiguiente:

en la que" pamb/y"es la altura de presión atmosférica. Se deduce de esta úldma

ecuación que un diseño inadecuado de la aspiración - altura excesiva " ha ", utilización

de tubería de pequeño diámetro, etc, - puede dar lugar a una situación como la que

se muestra en la figura 3.2.8 en la que el punto 2, obtenido al representar la presión

y la temperatura del agua, se sitúa muy próximo a la curva de vaporización, con lo

que la instalación quedaría seriamente expuesta al riesgo de cavitación, esto es, a la

formación de burbujas o cavidades de vapor de agua.

(3.2.30)

ydespejando ( p / v ) 2 s e obtiene:

(3.2.31)

(3.2.32)

0,01 TCC)

Fig. 3. 2 .8 . Diagrama de fases del agua.

135

Estas burbujas de vapor

son arrastradas por el agua y

cuando alcanzan zonas de

mayor presión se produce su

condensación repentina, pro

vocando sobrepresiones locales

que pueden superar los

lOQOkgf/cm2, produciendo

daños muy importantes en la

bomba.

En consecuencia, para prevenir la cavitación se deberá comprobar que la

instalación cumple la condición:

C 3.2.33)

siendo " ( p / y ) „ " la presión de vapor que corresponde a la temperatura del agua.

Sustituyendo la ecuación 3.2.32 en el primer miembro de la desigualdad 3.2.33,

resulta la expresión:

(3.2.34)

que será utilizada para comentar los factores que influyen en la cavitación, así como

el sentido en el que actúa dicha influencia, para lo cual se supondrá que los restantes

factores no varían cuando lo hace el que es objeto del comentario.

Los factores que intervienen en la cavitación son:

- La altura de presión atmosférica " p ^ / v " . La ecuación 3.2.32 muestra que

éste es el único sumando positivo entre los que constituyen la presión absoluta en la

sección 2, por lo que su valor influye decisivamente en la desigualdad 3.2.34. Dicho

valor se puede determinar mediante la ley de variación de la presión atmosférica con

la altitud topográfica (ec. 1.2.13). Dado que la presión atmosférica disminuye cuando

las condiciones meteorológicas corresponden a las de una borrasca, será conveniente

136

tener en cuenta esta circunstancia, sobre todo en aquellos casos en que haya un escaso

margen de seguridad frente a la cavitación. Algunos autores -ver referencia

bibliográfica n° 25- proponen que para tener en cuenta la depresión asociada al paso

de las borrascas se reduzca la presión atmosférica del lugar en 34 hPa.

- La altura de aspiración " h„". La altura de aspiración es la diferencia entre la

cota topográfica a la entrada de la bomba y el nivel de la superficie libre del agua en

el pozo. Por su orden de magnitud, es el factor más importante entre los tres que

contribuyen a reducir la altura de presión atmosférica.

- I-a pérdida de carga en la tubería de aspiración " ' ' „ " . Dado que este factor

contribuye a aumentar el riesgo de cavitación conviene reducir en lo posible su valor

absoluto. En este sentido se debe evitar que la tubería de aspiración sea innecesa

riamente larga y también, el que su diámetro sea pequeño.

-1 J S pérdidas localizadas de carga" (1 + K)v2/2g". Es también un factor que

conviene reducir en la medida de lo posible. Para ello, se debe prestar atención a las

características geométricas de los accesorios que sea preciso disponer, con el fin de

obtener el mínimo coeficiente " K ", o bien, prescindir de aquéllos que puedan ser

sustituidos por otros elementos tal es el caso de la válvula de pié que puede ser

reemplazada pdr una bomba de vacío. De la estructura del factor que se analiza, se

desprende también la conveniencia de procurar una velocidad moderada en la tubería

de aspiración.

-La altura de presión de vapor de agua "(p/y)»". La curva que en la figura

3.2.8 separa las zonas señaladas con " L" y " V " se denomina curva de vaporización y

proporciona los valores de la presión y temperatura para los cuales el agua coexiste

con su vapor. La curva de vaporización muestra que la presión de vapor -que es la

presión a la que el agua está en equilibrio con su vapor- aumenta con la temperatura.

Aunque el peso específico del agua disminuye- por encima de 3 , 9 8 ° C - con la

temperatura, el cociente de ambas magnitudes presenta la misma tendencia que la

137

presión de vapor. En consecuencia, el segundo miembro de la desigualdad 3.2.34

depende de la temperatura, aumentando con ella, y por consiguiente, deberá ser

determinado su valor teniendo en cuenta la temperatura del agua que se desea elevar.

3.2.4.2. Bernoulli entre las secciones 2 y 3 (Fig. 3.2.7)

Al aplicar entre las secciones 2 y 3 el teorema de Bernoulli generalizado resulta:

B2 + (&H)B = S 3 + A t f j _ a (3.2.35)

siendo ~ ( A / / ) É " l a carga o energía comunicada al agua por la bomba;" (A H ) 2_3"

la pérdida de carga habida entre dichas secciones y ~ B E " y " f í 3 " l a s expresiones del

trinomio de Bernoulli en las secciones 2 y 3, respectivamente. Sustituyendo las

expresiones de estas magnitudes en la ecuación 3.2.35 y reordenando ésta, se tiene:

P-? v\ p , v% ( A t f ) , - ( A / O í . . 9 - * » + — ^ - z * - — - r ^ (3.2.36)

y 2g Y 2g

Dado que si no se anulan las diferencias de altura geométrica y cinética entre

las secciones consideradas, su valor sería en tal caso muy pequeño, puede despreciarse

la contribución de una y otra diferencia, resultando la siguiente expresión para la

ecuación 3.2.36:

( ¿ W ) r ( A / / ) 2 . 3 = ^ - ^ (3.2.37)

Disponiendo en las secciones 2 y 3 la instrumentación adecuada: un vacuómetro

y un manómetro respectivamente, se podrán conocer las presiones relativas en ellas.

Puesto que el primer miembro de la ecuación 3.2.37 representa la carga neta

comunicada al agua"(A/y) n c ( Q " , resulta que su valor puede deducirse mediante la

suma de los valores absolutos de las lecturas " L M" y" L v" en los manómetros colo

cados a la entrada y a la salida de la bomba, es decir:

( A / Y ) n e , D = - ^ — ^ (3.2.38)

138

32.43. Bernoulli entre las secciones 1 y 4 (Fig. 32.7)

Un dato esencial en el diseño de una instalación de bombeo como la que aquí

se está estudiando es el de la potencia teórica que ha de tener la bomba (ec. 3.2.19).

Para ello conviene relacionar la carga teórica de la bomba "(AH)B" con la geometría

de la instalación, es decir, con la longitud de la tubería y altura geométrica, parti

cularmente. Dicha relación se obtiene al aplicar el teorema de Bernoulli generalizado

entre las secciones 1 y 4, es decir:

fii + ( A / / ) , - B 4 + ( A / / ) 1 - 4 (3.2.39)

Teniendo en cuenta que en la sección 4 también puede considerarse nula la

altura cinética y que si se trabaja en presiones manométricas, la altura de presión es

también nula, resulta que el valor del trinomio de Bernoulli en dicha sección es:

B4-hg (3.2.40)

donde" h „ " -diferencia entre la cota topográfica de las superficies Ubres del agua en

el depósito y en el pozo (Fig. 3.2.7)- se suele denominar altura geométrica de la

elevación.

El factor que representa la pérdida de carga en la ecuación 3.2.39," (A H) i _ 4 "

tiene la siguiente estructura:

( A / / ) l - 4 - ( A / / ) W 2 + ( A W ) 2 J 3 + ; i f , - + / í ' ^ + ^ (3.2.41)

en la que el valor de ~ ( A / / ) , _ Z " se deduce de la ecuación 3.2.29; " ( A t f ) a _ 3 "

representa las pérdidas en la bomba;" i í ¡ " es la pérdida de carga en la tubería que

va desde la bomba al depósito (Fig. 3.2.7), a la que se suele, denominar tubería de

impulsión; " K'v2/2g~ representa la suma de las pérdidas localizadas de carga

habidas entre la bomba y el depósito y "vz/2g" es la pérdida correspondiente a la

entrada de la tubería en el depósito (ver tabla 3.2.6). A l escribir la ecuación 3.2.41

se ha supuesto implícitamente que las tuberías de impulsión y de aspiración son del

139

mismo material y tienen el mismo diámetro, ya que en caso contrario no se podría

haber utilizado la notación que en dicha ecuación representa la pérdida unitaria de

carga y la velocidad media en la tubería de impulsión.

Sustituyendo 3.2.40 y 3.2.41 en 3.2.39 y despejando de la expresión resultante

(AH~) B, se obtiene:

2 2 2

(&H),-hg + tl„ + ff^ + ( ¿ / / ) a H 3 + ¿<( + / í ' Í - + i L (3.2.42)

y agrupando términos semejantes,

C A / V ) s - / i B + í ( ¿ n + ¿ i ) + ( A H ) a , 3 + ^ ( l + K + (3.2.43)

La ecuación 3.2.43 muestra que la energía que ha de comunicar la bomba al

agua, y por consiguiente, la potencia teórica de aquélla es superior a la que se necesita

para salvar el desnivel topográfico entre las superficies libres del agua.

140

3-Tema. Dinámica de Fluidos.

3-Lección .Régimen laminar y turbulento. Fórmula de Poiseuille. Fórmula

de Darcy-Weisbach. Ley de Stokes.

33.1. REGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO

A escala microscópica, el

movimiento de un fluido puede cla

sificarse en régimen laminar o régi

men turbulento. El que aparezca uno

u otro de estos regímenes depende de

Fig. 3. a 1. A p a r a t o de R e y n o l d s . i a c o m p a r a c i ó n entre las fuerzasde

inercia y las fuerzas viscosas: si predominan las primeras el régimen será turbulento,

si por el contrario, son las fuerzas viscosas las que prevalecen, el régimen será laminar.

Cada uno de estos regímenes puede ser estudiado mediante el aparato diseñado

por Osborne Reynolds que esquemáticamente se muestra en la figura 3.3.1. Dicho

apartado está constituido por un depósito de agua que alimenta un tubo de cristal

de diámetro " D ", abocinado en un extremo y con una válvula de control en el otro.

En el abocinamiento hay una boquilla que comunica, mediante un tubo delgado, con

un pequeño depósito que contiene un colorante (anilina o permanganato potásico,

generalmente). Al abrir ligeramente la válvula, se establece el flujo de agua en el

tuboy se observa que el colorante sale en forma de un filamento líquido prácticamente

rectilíneo, hasta el punto de parecer que no hay movimiento (Fig 3.3.2-a).

141

Este movimiento ordenado, en el que

a) las partículas siguen trayectorias

paralelas entre sí, se denomina

movimiento en régimen laminar. Al

c) abrir un poco más la válvula, se

b)

Fig- 3. 3. 2. Evolución del filamento o b s e r v a 1 u e a r r i b a * Í u n t 0 a

coloreado para números crecientes de e i i a > aparecen remolinos y turbulen-Reinolds.

cias que colorean el agua enesazona.

Si se continúa aumentando la apertura de la válvula de control, los remolinos se

propagan aguas arriba de la corriente, difundiéndose simultáneamente en ella el

colorante. La difusión del colorante demuestra que ha desaparecido el movimiento

ordenado que caracterizaba al régimen laminar y que ha sido sustituido por otro, en

el que cada partícula se mueve aleatoriamente en la masa fluida, en lo que se

denomina movimiento en régimen turbulento.

Reynolds observó que la aparición de uno u otro régimen podía correlacionarse

con un parámetro adimensional que comparara las fuerzas de inercia con las fuerzas

viscosas. La introducción de las fuerzas de inercia en el estudio de los regímenes

laminar y turbulento tiene su justificación en que el análisis que se hace de ambos lo

efectúa un observador ligado a la Tierray por consiguiente, el sistema de referencia

no es ¡neiáa]. Es en tales casos cuando se hace necesario introducir la fuerza cen

trífuga y la fuerza de Coriolis denominadas, genéricamente, fuerzas de inercia. La

expresión general de estas fuerzas se deduce de la segunda ley de Newton:

R = ma (3.3.1)

enla que" R " es la resultante de las fuerzas exteriores y" a " es la aceleración absoluta

o aceleración respecto a un sistema de referencia inercial. Cuando la aceleración se

calcula respecto a un sistema no inercial, como es el ligado a la Tierra, que tiene

142

movimiento de traslación y de rotación, la aceleración absoluta tiene como expresión

general:

a-a^* aUI *aCor (3.3.2)

siendo " a t c l " la aceleración relativa, es decir, la que mediría el investigador que

estuviera realizando el estudio de movimiento del fluido; "aa!r "es la aceleración de

arrastre o aceleración que adquiriría un cuerpo si estuviera rígidamente unido al

sistema no inercial esto es, en el caso que se analiza, si estuviera unido a la Tierra y

" a cor " o aceleración de Coriolis, que es la aceleración que resulta del movimiento

de rotación del sistema no inercial y de la velocidad relativa del movimiento que se

estudia.

Al sustituir 3.3.2 en 3.3.1 resulta:

R-ma^ + ma^ + ma^ (3.3.3)

y pasando al primer miembro los dos últimos sumandos que aparecen en el segundo,

R ~ m a „ r - mac„ = m a n l (3.3.4)

La ecuación 3.3.4 expresa que el estudio del movimiento desde un sistema no

inercia! ha de incorporar las fuerzas que se derivan de la aceleración de arrastre y

de la aceleración de Coriolis, es decir, además de las fuerzas exteriores cuya suma

es " R ", es preciso tener en cuenta:

(3.3.5)

denominadas fuerza de inercia de arrastre y fuerza de inercia de Coriolis, respecti

vamente.

Si en la expresión general de las fuerzas de inercia se sustituye la masa en

función de la densidad" p" se obtiene:

F,'pVol-a (3.3.6)

143

de donde resulta que la expresión general de las fuerzas de inercia es también:

F,-pLzva (3.3.7)

siendo" L" una dimensión lineal y " v"la velocidad.

La ley de Newton de la viscosidad (ec. 3.2.1) se puede escribir en la forma

siguiente:

^ - u £ (3.3.8)

de donde se deduce que las fuerzas viscosas " F „" son proporcionales al coeficiente

de viscosidad absoluta " u ", a la velocidad " v " y a una dimensión lineal" L", es decir:

F , = uu£ (3.3.9)

A l dividir la expresión general de las fuerzas de inercia (ec. 3.3.7) entre la que

corresponde a las fuerzas viscosas (ec. 3.3.9) se obtiene:

F^=PJ±£ = PVL

que muestra que el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas depende

de una dimensión lineal" L"; de la velocidad " v "; de la densidad" p " y de la viscosidad

dinámica " u,". Dicho cociente es un número adimensional que se denomina número

de Reynolds, " Re " siendo por tanto su expresión general:

Re=P-^ (3.3.11)

M '

que para el movimiento de un líquido en una tubería de diámetro " D " queda en la

forma:

R e ^ (3.3.12)

A l estudiar mediante el aparato representado en la figura 3.3.1 los regímenes

de corriente, Reynolds encontró que cuando el valor de "Re" (ec. 3.3.12) era menor

o igual que 2000, el movimiento era siempre laminar, ya que en tales condiciones, la

144

viscosidad amortiguaba rápidamente la turbulencia causada por cualquier pertur

bación que pudiera sufrir la corriente. Esta situación no se daba si el número de

Reynolds era superior a 2000. En efecto, aunque es posible obtener un régimen

laminar con * Re > 2000" -Reynolds lo logró para "Se - 12000 "y posteriormente,

y en condiciones de ensayo muy controladas, se ha logrado incluso con" Re = 40000 "¬

sucede que, en tales condiciones, el régimen laminar es muy sensible a las pertur

baciones -tanto más cuanto mayor sea el número de Reynolds- y por consiguiente,

cuando éstas aparecen, el movimiento se hace turbulento. Así pues, y por convenio,

se considerará laminar un movimiento con número de Reynolds inferior o igual a

2000 y turbulento, en caso contrario.

Para cada caso, es decir, dados un diámetro de tubería " D " y un líquido de

viscosidad cinemática " V , existe una velocidad crítica que es la que se deduce de la

ecuación 3.3.12 cuando el número de Reynolds es precisamente 2000. En la mayoría

de los casos, la velocidad de circulación del agua en las tuberías a presión es superior

a la crítica, por lo que de acuerdo con lo anterior, el movimiento es turbulento.

El valor del número de Reynolds constituye en la práctica, el criterio para

clasificar un movimiento en régimen laminar o turbulento. Sin embargo, estos regí

menes también se diferencian en otros aspectos. Así, y en lo que concierne a la

descripción del movimiento, se puede

suponer que en el régimen laminar éste

tiene lugar en la forma que sugiere la

figura 3.3.3-a), en la que la masa fluida

se desplaza telescópicamente; desli-

- ~ S ¿ . - J ^ zando unas superficies cilindricas con-

wiuutKKtuiiujitiJ céntricas sobre otras, correspondiendo

F i g . 3 . 3 . 3 . Representación del un desplazamiento nulo a la superficie movimiento a) régimen laminar b) régimen turbulento.

cilindrica en contacto con el tubo, ya

que se adhiere a éste por la viscosidad.

145

y el desplazamiento máximo a las partículas situadas en la superficie cilindrica

coincidente con el eje de la tubería. En el régimen turbulento, las partículas se

desplazan aleatoriamente en la tubería, describiendo trayectorias como las que se

representan, para un mismo intervalo de tiempo, en la figura 3.3.3-b).

La situación descrita anteriormente se refleja en la distribución de velocidades

que corresponde a uno y otro régimen. Así, mientras el movimiento telescópico

que caracteriza al régimen laminar,

corresponde, como se demostrará en el

apartado siguiente, a una distribución

parabólica de velocidades (Fig. 3.3.4-a),

en el movimiento turbulento, el registro

de velocidad en un instante cualquiera

presenta la variabilidad que muestra la

figura 3.3.4.-b), y es sólo cuando se

Fig . 3.3.4. Distribución de velocidad r e p r e s e n t a ¡ a v e l o d d a d m e d i a e n cada a j rég imen l a m i n a n b)régimen turbulento. punto en un cierto intervalo de tiempo,

cuando se logra que una curva logarít

mica represente la distribución de velocidad.

La descripción de un movimiento turbulento sólo puede hacerse si se recurre a

la consideración de los valores medios temporales de algunas variables y aún así, a

veces se hace necesario introducir parámetros correctores. Esto es lo que sucede con

la resistencia al esfuerzo cortante de un fluido en régimen turbulento. En efecto, la

ley de Newton de la viscosidad (ec. 3.2.1) sólo es válida para el movimiento laminar,

sin embargo puede utilizarse una expresión similar a ella para el régimen turbulento

si se considera el valor medio de la velocidad " v" y del esfuerzo cortante" %" en el

tiempo, es decir:

T = ( U + T | ) ^ (3 .3 .13)

en la que" u" es el coeficiente de viscosidad absoluta y" n" es la denominada visco-

146

sidad de remolino.

Por último, se demostrará en el apartado siguiente que en el régimen laminar

la pérdida unitaria de carga " i" es proporcional a la primera potencia de la velocidad,

mientras que en el régimen turbulento lo es a una potencia de la velocidad de

exponente comprendido entre 1,7 y 2.

33.1.1. Capa límite

Si se observa detenidamente la distribución de velocidad que corresponde al

régimen turbulento (Fig. 3.3.4-b), se aprecia que salvo en la zona del fluido próxima

a los contornos, en la que se registra una fuerte variación de la velocidad, en el resto

del fluido el gradiente de velocidad es muy pequeño. Este es un hecho de gran

importancia en fluidos poco viscosos como el agua, ya que de la ecuación 33.13 se

deduce que allí donde el gradiente de velocidad sea pequeño, apenas habrá resistencia

a los esfuerzos cortantes y por consiguiente, los efectos de la viscosidad sólo serán

importantes en una zona próxima a los contornos, esta zona es la denominada "capa

límite". Es en la capa límite por tanto, donde se localizan fundamentalmente las

fuerzas viscosas que originan la pérdida unitaria de carga que, dada la situación de

proximidad de la capa límite a los contornos, se denomina también resistencia de

superficie.

La viscosidad es también en última instancia, la causa de las pérdidas localizadas

de carga, ya que éstas tienen su origen en el desprendimiento de la capa límite y ésta,

como se acaba de señalar, se debe a la viscosidad. Sin embargo, la causa más inmediata

de las pérdidas localizadas obedece a que cuando la geometría de los contornos

provoca el desprendimiento de la capa límite, se desarrolla un gradiente adverso de

presiones que es el verdadero responsable de la pérdida de carga. Es justamente para

147

minimizar las pérdidas localizadas por lo que se trata de evitar el desprendimiento

de la capa límite, recurriendo al empleo de formas suaves -hidrodinámicas y

aerodinámicas- en el diseño de estructuras y piezas especiales.

332 . FORMULA DE POISEUILLE

Se trata de estudiar el movimiento de un fluido real en régimen permanente en

el interior de una tubería horizontal de diámetro " 2 r 0 " . Para ello se aplicará la

segunda ley de Newton a un elemento cilindrico de fluido de radio " r " y altura " i "

(Fig. 33.5).

Fig. 3 . 3 . 5 . -Elemento c i l indr ico.

I 1

L - J

F ig . 3 . 3 . 6 . Sistema de fuerzas en la dirección del movimiento.

El sistema de fuerzas con componente

en la dirección del movimiento es el que

se muestra en la figura 3.3.6 en el que

" P i "y" P 2 "represen tan la presión que

actúa sobre el elemento aguas arriba y

aguas abajo respectivamente;" A " es la

superficie de la base del cilindro ele

mental; " x" es la tensión tangencial o

esfuerzo cortante derivado de la

viscosidady" A L" es la superficie lateral

del elemento.

La proyección de la 2 a ley de Newton en la dirección del movimiento da lugar

a la ecuación:

148

Rs = ma, (3.3.14)

y teniendo en cuenta que la aceleración es nula por ser un movimiento permanente,

la ecuación 3.3.14 es, realmente, una ecuación para imponer el equilibrio de fuerzas

del elemento considerado (Fig. 3.3.6), es decir,

P i A - pzA- TAt - 0 (3.3.15)

sustituyendo las áreas por su valor en función de la geometría del elemento, resulta:

( p , - p 2 ) n r z - T 2 n r ¿ •= O (3.3.16)

de la que se deduce la ley de variación de la tensión tangencial,

2.L (3.3.17)

r

+

Z y

Fig. 3. 3. 7 Distr bución

1 2 r .

- i

tensiones tangenciales.

cuya representación puede verse en

la Figura 3.3.7.

Si el régimen es laminar, la

relación entre las tensiones tangen

ciales y el gradiente de velocidades

viene dada por la ley de Newton de

la viscosidad:

dv x = | i _ ( 3 .3 .18 |

ecuación en la que la variable " y " se mide desde el contorno fijo (Fig. 3.2.1). Para

expresar la ecuación 3.3.18 en función de " r " es preciso relacionar ambas variables

resultando (Fig. 3.3.7):

y + r = r 0 (3.3.19)

diferenciando esta ecuación se obtiene:

dy = -dr (3.3.20)

y sustituyendo 3.3.20 en 3.3.18 resulta, finalmente:

149

T = ~ U ^ (3.3.21)dr

De las ecuaciones 3.3.17 y 3.3.21 se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

P l p2rdr = -dv (3.3.22)2 u ¿

que integrada con los límites que se señalan,

f Pi-Pz rdr= [* -dv (3.3.23)Jr.r, 2 u £

proporciona la distribución de velocidades para un fluido real en movimiento per

manente y régimen laminar:

La representación gráfica

de esta distribución se muestra

W C n ' a ^ ^ u r a ^"*'í*" v e ' o c ' d a d

máxima se alcanza en el eje de

la tubería y su valor es: Fig . 3 .3 .6 . Distribución de velocidades en régimen laminan vmax, = P^ P''lr% (3.3.25)

La velocidad media de la distribución se obtiene mediante la ecuación 2.1.16: i

¡dS ü = (3.3.26)

dS

en la que "dS" se tomará, para este caso, igual al área de una corona circular de

radio" r" (Fig. 3.3.8), es decir:

dS = 2 n r d r (3.3.27)

Sustituyendo 3.3.24 y 3.3.27 en 3.3.26 e integrando, se obtiene la velocidad media

"v"cuyo valor es:

- k

150

que es igual a la mitad de la velocidad máxima. Despejando de esta última ecuación

la diferencia de presiones se obtiene la ecuación de Poiseuille:

P , - p 2 = ̂ (3 .3 .29)r o

en la que " u " representa la velocidad media de la distribución.

Si se aplica entre las secciones 1 y 2 el teorema de Bernoulli generalizado resulta:

fi, = e 2 + ( A t f ) 1 _ 2 (3 .3 .30 )

y desarrollando cada uno de los trinomios de Bernoulli,

P i e? Pi e l Z i + Z±+-L-Z + ?^.+ _ ± + l & H ) (3 .3 .31)

Y 2c/ Y 2o-

teniendo en cuenta que la tubería es horizontal y de sección constante, se obtiene:

P - ^ ^ - ( A / / ) w z (3 .3 .32)

Sustituyendo 3.3.29 en3.3.32 se deduce el valor d e " ( A / / ) , ^ 2 ~ , pérdida de carga

por resistencia de superficie entre las secciones 1 y 2, es decir:

( A t í J u j - ^ T (3 .3 .33 )Yío

Si se divide la pérdida " ( A W ) N ! " entre la separación horizontal" L" entre las

secciones consideradas se obtiene la pérdida de carga por unidad de longitud " i " o

pérdida unitaria:

(¿tí)N!

i = - (3 .3 .34 )

Teniendo en cuenta 3.3.33 y haciendo intervenir el diámetro de la tubería

mediante la variable " D ", la ecuación 3.3.34 queda en la forma:

32 u i %v (3 .3 .35 )

YÜ

* 151

y buscando la expresión del número de Reynolds entre las variables de 3.3.35, esta

ecuación puede ser escrita también de la siguiente manera:

, 64 v2

1 " TT~z—r (3.3.36)

que constituye la expresión de la pérdida unitaria de carga en régimen laminar.

3.3.3. FORMULA DE DARCY-WEISBACH

La ecuación 3.3.36 no es sino la particularización al régimen laminar de la

expresión general de las pérdidas de carga, que viene dada por la fórmula de

Darcy-Weisbach:

imik í33-37)

en la que " / " es el coeficiente de fricción," v " es la velocidad media en la tubería de

diámetro " D ~ y " g " es la aceleración de gravedad.

Al comparar las ecuaciones 3.3.37 y 3.3.36 se obtiene el valor del coeficiente de

fricción en régimen laminar:

64

/ = — (3.3.38)

de donde se deduce que sólo depende del número de Reynolds.

Sin embargo, en el movimiento turbulento, el coeficiente de fricción depende del

número de Reynolds y de lo que se denomina rugosidad relativa " K/ D", término en

el que " K" representa el tamaño medio de las irregularidades geométricas o rugo

sidad absoluta de la superficie interior de la tubería y" D" el diámetro interior

152

de ésta (Fig. 3.3.9). La rugosidad absoluta

tiene dimensiones lineales y sólo puede

medirse con aparatos especiales, dado el

valor que suele tomar: 0,025 mm en

Fig- 3 .3 .9 . Rugosidad absoluta. tuberías de fíbrocemento y polietileno.

En resumen, en el régimen laminar el coeficiente de fricción sólo depende del

número de Reynolds, es decir

/ - / ( * « ) (3.3.39)

mientras que en el régimen turbulento dicho coeficiente también depende de la

rugosidad relativa:

/ - / ( § . . * • ) (3.3.40)

Para el cálculo del coeficiente de fricción en régimen turbulento, lo que

constituye el caso más frecuente en las aplicaciones, se utiliza la fórmula de

Prandtl-Colebrook:

1 / K/D 2 , 5 1 A

7r~ 2 l o g 'W*W7J • < 3' 3' 4 1 )

de la que, como puede verse, no es posible despejar el valor del coeficiente de fricción.

Sin embargo, el comportamiento matemático de la ecuación 3.3.41 es tal que,

mediante un cálculo constituido por cuatro o cinco iteraciones se llega a un valor de

" / " suficientemente aproximado. Supuesto conocido el caudal y las características

físicas del agua( p. u.) y geométricas de la tubería (K , Z>) se supone un valor positivo

cualquiera para el coeficiente de fricción (f\); sustituyendo éste en el segundo

miembro de la ecuación 3.3.41 quedará:

1' (K/D 2 , 5 1 A

7 r ~ 2 1 o a ' ° l ^ W 7 l J ( 3 ' 3 ' 4 2 )

ecuación de la que se puede deducir otro valor del coeficiente de fricción ( / ] ) . Este

se toma como valor de entrada en la segunda iteración, es decir:

153

(3.3,43)

y por consiguiente, ( / 2 ) se sustituye en el segundo miembro de 3.3.41, resultando la

ecuación:

que una vez resuelta, proporciona ( / 2 \ el cual se toma como valor de entrada en la

tercera iteración y así sucesivamente, hasta que la diferencia entre los valores de

entrada y salida del coeficiente de fricción en una iteración sea inferior al error con

el que se desea obtener dicho coeficiente. Generalmente tres o cuatro iteraciones

son suficientes para conseguir la coincidencia de tres cifras decimales en los valores

de entrada y salida, lo que constituye una precisión muy aceptable.

33.4. LEY DE STORES

Se trata ahora de estudiar el movimiento de un cuerpo sólido en un fluido en

reposo, cuya viscosidad absoluta y densidad son "u." y "p", respectivamente. La

clasificación de este movimiento a escala microscópica también se hace mediante

el número de Reynolds cuya expresión general viene dada por la ecuación 3.3.11.

Entre los muchos movimientos que se podrían analizar tiene especial interés,

por las numerosas aplicaciones que encuentra, el de una esfera de radio " R". Para

este movimiento, el número de Reynolds se define de la siguiente forma:

siendo " p " y " u," la densidad y viscosidad del fluido y"v" la velocidad de la esfera

de radio " R". Aunque este número de Reynolds depende de la velocidad del cuerpo

y no de la del fluido, debe advertirse que desde un punto de vista formal, la ecuación

33.45 coincide con la 3.3.12 ya que la velocidad que aparece en ambas expresiones

(3.3.44)

Re-pVR

(3.3.45)

154

puede ser considerada como velocidad relativa del movimiento y en este sentido,

tanto da que la esfera se mueva respecto al fluido -que es el caso que aquí se considera-

corno que fuera el fluido el que se moviera respecto a la esfera.

Pues bien, cuando una esfera se mueve respecto a un ñuido se observa

experimental mente que si se cumple la condición:

^ < 1 (3.3.46)

esto es, que si el número de Reynolds es inferior a uno, entonces el fluido ejerce una

fuerza resistiva proporcional a la velocidad:

F = Kv (3.3.47)

En tales condiciones el movimiento es laminar, mientras que si el número de

Reynolds de este movimiento fuera mayor o igual que uno, el movimiento sería

turbulento y la expresión general de la fuerza resistiva que actúa sobre la esfera

pasaría a ser:

F-Kv* (3.3.48)

Para el caso de régimen laminar, Stokes (1845) obtuvo la expresión de la fuerza

resistiva que ejerce un fluido en reposo sobre una esfera que se mueve con velocidad

F = 6nvRn (3.3.49)

Conocida esta fuerza, se puede plantear la ecuación del movimiento de la esfera

en el fluido, para lo cual se aplicará la 2 a ley de Newton con los diagramas de fuerzas

155

y aceleraciones correspondientes al movimiento de la esfera (Fig. 3.3.10):

~R = ma (3.3.50)

W-FSI-E = ma (3.3.51)

siendo "W el peso de la esfera; ~ F s , " la

fuerza resistiva de Stokes;" E" el empuje de

Arquímedes;" m " la masa de la esfera y " a "

la aceleración de ésta. Expresando estas

magnitudes en función de variables relacio

nadas con el problema se llega a la ecuación:

O w

o

Fig. 3 3.10. Diagrama de fuerzas y de aceleraciones para el movimiento de una esfera en un fluido en reposo.

m dvmg-6nvR[í p .g = m— (3.3.52)

p ' dt

en la que " m" es la masa de la esfera; ~ p " su densidad y " p /" la densidad del fluido.

La ecuación 33.52 es una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede ser

integrada directamente, para lo cual se utilizará la siguiente notación:

- 7

ónffp ónflu. órttfu. 9 u

(3.3.53)

m

Teniendo encuenta lo anterior, la ecuación diferencial del movimiento queda en la

forma:

, dva-bv = —dt (3.3.54)

La integración de esta ecuación se plantea con las siguientes condiciones de

contomo:

dv d i

to que conduce a la solución:

v-oa-bv (3.3.55)

(3.3.56)

156

de la que despejando la velocidad "v" resulta:

- 2 ( 1 - . - ) (3.3.57)

Fig. 3.3.11. Representacio'n

de • • d - e 6 * )

La gráfica de la ecuación 3.3.57

(Fig.33.11) muestra que la velocidad

tiende asintóticamente a una velocidad

constante ~vs", lo que significa que al

cabo de un cierto tiempo el movimiento

se hace uniforme con velocidad

"vs-a/b" cuyo valor se obtiene

sustituyendo los valores de los

parámetros "a" y "b" (ees. 3.3.53), es

decir:

2 * 2 y - ( p - p / ) V c . = - — (3.3.58)

' 9 _ (i

La velocidad ~vs~ puede obtenerse también de la siguiente forma: la gráfica

de la figura 3.3.11 muestra que al comenzar el movimiento, la esfera incrementa

progresivamente su velocidad -como corresponde al movimiento acelerado que

adquiere- y por consiguiente, también aumenta la fuerza resistiva de Stokes. En el

crecimiento de la fuerza resistiva llega un momento en que ésta se iguala a la fuerza

neta constante de sentido contrario es decir, a la diferencia entre el peso y el empuje.

Cuando ésto ocurre, es de aplicación la I a ley de Newtony en consecuencia, al anularse

la resultante sobre la esfera, el movimiento que era acelerado, pasa a ser un

movimiento uniforme. Teniendo en cuenta lo anterior, la condición de resultante

nula, permite deducir la velocidad a la que tal cosa sucede, es decir:

~nR3pg-^nR2pfg~6nR\iv (3.3.59)

de la que se obtiene, despejando " v ", el valor de " v s" dado por la ecuación 3.3.58.

157

3J.4.1. Aplicaciones

La ecuación 3.3.58 es el fundamento teórico del viscosímetro de bola, en el que

una esfera de densidad y radio conocidos se deja caer enun líquido viscoso de densidad

"P/~, con lo que midiendo la velocidad en la fase uniforme del movimiento puede

obtenerse la viscosidad del líquido.

La ecuación 3.3.58 también es de aplicación en el estudio del movimiento de

las partículas de polvo en la atmósfera o de las gotas de lluvia, etc.

En otras situaciones, la ecuación 3.3.58 puede ser utilizada para determinar el

radio de partículas muy pequeñas que, por ello, no puede ser medido directamente.

Un empleo de este tipo, condujo a la obtención de la carga eléctrica de un electrón,

al poderse determinar el radio de una gotita de aceite cargada eléctricamente por

rozamiento, que Millikan consiguió mantener en equilibrio estático mediante la

creación de un campo eléctrico opuesto al sentido de la diferencia entre el peso y el

empuje de dicha gota en el aire.

La determinación del radio de la gota de

aceite permitió conocer su volumen " V " (Fig.

3.3.12) y con él y aplicando la condición de

equilibrio entre las fuerzas representadas en

la figura 3.3.12, determinar la carga eléctrica

Fig, 3. 3. 12. Experimento de "Q" de la gotita de aceite que resultó ser

M i II ¡kan. siempre múltiplo de " e ", carga del electrón.

Ya se comentó (Aptdo.1.3.3) que el análisis por sedimentación de un suelo se

basa en la aplicación de la ley de Stokes, y cómo, a partir de ella se pueden obtener

puntos suficientes para representar la curva granulométrica. A veces sin embargo, la

velocidad de sedimentación natural (ec. 3.3.58) conduce a tiempos de espera muy

grandes que dificultan considerablemente la realización de ciertos análisis, como son

+ + + + + • * + + + + +

0 I mg-Vp a

158

los que se hacen por ejemplo, sobre los fluidos humanos. En tales casos se recurre a

la centrifugación o a la ultracentrifugación mediante la cual se crea un campo

gravitatorio ficticio en el que la aceleración de la gravedad viene dada por " t o 2 r "

siendo " OJ " la velocidad de rotación del aparato y " r " la distancia de la partícula

que sedimenta al eje de rotación. La velocidad de la sedimentación en el proceso de

centrifugación viene determinada también por la ley de Stokes ya que dicha fuerza

sigue actuando aunque el campo gravitatorio haya sido aumentado artificialmente.

EJERCICIO N° 1

161

Una marisma de agua dulce desagua en

el océano a través de una compuerta

automática de mareas que tiene 2m de ancho

y l,5m de alta La compuerta está sujeta por

goznes situados en su borde superior en A y

se apoya en un umbral en B. En un momento

dado, el nivel de agua en la marisma es de

3 m y en el océano de 4,5 m. Hallar la fuerza

ejercida por el umbral sobre la compuerta en B y la reaccción de los goznes en A.

(Peso específico del agua salada I 030kg/m3).

Comentarios a la resolución

El efecto que produce el umbral sobre la compuerta es el de una distribución

uniforme de fuerzas perpendiculares al plano de la compuerta. Dicha distribución puede

ser sustituida por su fuerza mecánicamente equivalente (Ru).

La acción de los goznes sobre la compuerta sería, en general, una distribución

uniforme de fuerzas oblicuas respecto al plano de la compuerta. Dicha distribución puede

ser sustituida por dos: una formada por fuerzas normales a la compuerta y otra por

fuerzas paralelas a ésta. Ahora bien, dado que el ejercicio no proporciona datos suficientes

para calcular el peso de la compuerta, no hay que considerar fuerzas exteriores activas

paralelas a ella y por consiguiente tampoco puede haber fuerzas exteriores reactivas en

esa dirección. Resulta, por tanto, que la acción de los goznes sobre la compuerta sólo

162

está constituida por la distribución uniforme de fuerzas normales y consecuentemente,

esta distribución puede ser reemplazada por su fuerza mecánicamente equivalente (Rg).

Las fuerzas exteriores activas están constituidas por dos distribuciones espaciales

de fuerzas paralelas, correspondiente cada una de ellas a la acción del agua situada a

uno y otro lado de la compuerta. Estas distribuciones espaciales pueden ser sustituidas

por sendas distribuciones planas siempre que la sustitución tenga lugar en el plano de

simetría perpendicular al plano de la compuerta. Si se procede como se acaba de decir,

cada distribución espacial puede sustituirse por una distribución trapecial de fuerzas

paralelas que es mecánicamente equivalente a la distribución espacial, ya que se pasa

de una a otra sustituyendo cada una de las infinitas distribuciones uniformes planas en

las que se puede descomponer la distribución espacial, por sus respectivas fuerzas

mecánicamente equivalentes. Por último, cada una de las distribuciones trapeciales,

puede ser sustituida por su fuerza mecánicamente equivalente (E, y £" 2)

163

Para reemplazar una distribución plana de fuerzas paralelas por su fuerza

mecánicamente equivalente, ésta ha de cumplir las siguientes condiciones:

Ia Su módulo ha de ser igual al área de la distribución.

2a Su dirección y sentido lian de ser coincidentes con los de las fuerzas que

constituyen ¡a distribución.

3a Su recta de aplicación debe pasar por el centro de gravedad del área de

la distribución.

La determinación del centro de gravedad del área trapecial puede hacerse des

componiendo este área en suma de un área rectangular y un área triangular y aplicando

la fórmula:

- Y.x>A> x = -^

LA'

El sistema de fuerzas que actúa sobre la compuerta puede, de acuerdo con lo

anterior, ser reducido a un sistema mecánicamente equivalente formado por dos fuerzas

exteriores reactivas ' í „ " y" Re~ desconocidas y dos fuerzas exteriores activas ' Et~y

•Ez".

La condición para determinar las fuerzas desconocidas es que el sistema esté en

equilibrio, para lo cual ha de cumplirse:

164

Resolución del ejercicio

A 1 I A 2

Figura z, At Z( A,

Rectángulo L/2 aL aL2/2

Triángulo L/3 ( ¿ / 2 ) ( b - a ) (b~a)L2/6

(a-b)L/2 ( 2 a + ó ) ¿ ? / 6

A, 3 Q + 6

F A • V a s -hyZm - 1 0 3 0 ^ - 3m- 2m = 6 1 8 0 ^

^ í = Y a s -hB-2m= 1 0 3 0 ^ - 4 , 5 m - 2 m - 9 2 7 0 ^ m m

F' A = \ a d • h„-2m= \000^- 1 . 5m • 2m = 3 0 0 0 ^ m m

f ' ^ Y a i -hB-2m= 1 0 0 0 ^ - 3 í n - 2 m = 6 0 0 0 ^

F i + F a ( 6 1 8 0 ^ + 9 2 7 0 ^ )— ¡ 1 . 5 m = l - — • 1 . 5 m - 1 1587,SA:o;/

¿. 2

1 > 2 . y f , 1 . 5 m ( 2 - 6 1 8 0 f f + 9 2 7 0 a í )

3 FA* FB - 3 6 i 8 0 ^ + 9 2 7 0 ^ = ' ™

2 l l 5 m ^ 5 : I L ^ ' 1.5m-67S0fcff/

1 .5m. 2 - f ^ f # _ l , 5 m ( 2 - 3 0 0 0 ^ * 6 0 0 0 ^ ) , 2 3 F'A-F'„ " 3 3 0 0 0 ^ + 6 0 0 0 ^ 3™

m m

; /? 0- l , 5 m + £ y 2 - 2 - F , Z , = 0

/? H • 1 . 5m + 1 1587 , 5 • 0 ,7 - 6750 • \ = 0

* = -2407,S/cg/ ; * =2407,5fcg /

£ > , = 0 R^El-R^E2

Ru+ 6750= - 2 4 0 7 , 5 + 11587,5

2430*g /

166

EJERCICIO N° 2

Encontrar para la compuerta AB de

2,50 m de longitud la fuerza de compresión

sobre la barra CD ejercida por la presión del

agua, sabiendo que B, C y D son puntos arti

culados.


La compuerta AB ha de estar en equilibrio, por consiguiente se ha de verificar:

R-0 (1)

¡W*-0 (2)

El sistema de fuerzas que actúa sobre la compuerta está constituido por:

• El sistema de fuerzas derivado de la presión hidrostática.

- La reacción de la articulación.

- La reacción de la barra comprimida.

El sistema de fuerzas hidrostáticas está formado por una distribución espacial de

fuerzas paralelas que puede ser reducido -ver, a este respecto, el ejercicio na 1- a una

distribución mecánicamente equivalente de fuerzas paralelas situadas en el plano de

simetría de la compuerta. Se obtiene así una distribución trapecial de fuerzas que, a su

vez, puede ser reducida a sólo una fuerza mecánicamente equivalente.

167

Para obtener la fuerza mecánicamente equivalente se puede descomponer la dis

tribución trapecial de fuerzas en suma de una distribución rectangular y una distribución

triangular y reducir cada uno de estos subsistemas a su fuerza mecánicamente

equivalente.

i

Un sistema plano de fuerzas paralelas distribuidas es mecánicamente equivalente

a uno constituido por una fuerza de igual dirección y sentido que aquéllas; módulo igual

al área de la distribución y recta de aplicación pasando por el centro de gravedad de

dicho área.

El sistema de fuerzas hidrostáticas quedaría asi sustituido por un sistema

mecánicamente equivalente fonnado por dos fuerzas paralelas que, si se quisiera, aún

se podría reducir a una sola fuerza, aunque para imponer el equilibrio esto último no es

necesario. En efecto, por definición de sistemas de fuerzas mecánicamente equivalentes,

la compuerta estará en equilibrio si las dos fuerzas anteriores, la reacción de la articu-

lacióny la reacción de la barra comprimida constituyen un sistema nulo, es decir, cumplen

las condiciones (l)y (2).

Para obtener lo que pide el ejercicio, esto es, la fuerza en la barra comprimida,

basta con aplicar la segunda de las condiciones de equilibrio y hacerlo en el punto B,

es decir,

168 168

!' 2,7T.

3,5~ 0.9m ~ "'-

/ 0.6m 45•\ N -,/, CD

ro'

Xg IY9 Fig. 2.

FR= 1500kg· l.8m=2700Kg-2.7t m

l FT=2_(F 8 -F,.,)·AB

(5397. 11 - 1500);; · l, 8m FT= 2

F T = 3507' 40kg = 3 '5t

dT=~· AB=~· l ,8=0,6m

3' s. o' 6 + 2. 7 . o. 9 - N CD . cos 45. o' 9 = o

N CD= 7' l 2t

169

EJERCICIO N° 3

3 0 m

Con referencia a ia figura, ¿cuál es la

r - ^ r anchura mínima "b" de la base de la presa de

\ gravedad de una altura de 30 m al suponer que

la presión hidrostática ascensional en la base de

la presa varía uniformemente desde la altura de

presión total en el borde de aguas arriba hasta el

valor cero en el borde de aguas abajo y supo

niendo además un empuje " P ¡" debido a una

j , b ^ capa de hielode 18.600 kgf por metro de presa y

que actúa en la parte superior?. Para este estudio

se supondrá que las fuerzas resultantes de la reacción cortan a la base a un tercio del

borde aguas abajo y que el peso específico del material de la presa es 2 ,5 T/m3.


El ancho mínimo requerido en la base de la presa será el necesario para que haya

equilibrio. •

El equilibrio de la presa se estudiará analizando el de una rebanada -porción de

presa limitada por dos secciones transversales próximas- de un metro de espesor.

El sistema de fuerzas que actúa sobre la rebanada está constituido por:

La distribución de fuerzas hidrostáticas horizontales sobre el paramento

vertical

El empuje de la capa de hielo.

170

La distribución de fuerzas hidrostáticas verticales sobre la base o fuerzas de

subpresión.

El peso.

La reacción del terreno.

Cada distribución de fuerzas hidrostáticas puede ser reemplazada por su fuerza

mecánicamente equivalente con la condición de que el módulo de dicha fuerza sea igual

al área de la distribución, su dirección y sentido coincidan con los de las fuerzas de la

distribución y su recta de aplicación pase por el centro de gravedad del área de dicha

distribución.

En lugar de calcular el centro de gravedad de la rebanada de sección trapecial y

situaren él el peso, puede resultar algo más rápido descomponer dicha sección en suma

de sección rectangular y triangular y trabajar con el peso de la parte de rebanada de

sección rectangular y de sección triangular, ya que ello tiene la ventaja de que se conoce

la posición de la recta de aplicación de estos dos pesos.

Para que ¡a rebanada esté en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre ella han de

verificar las condiciones:

R-0

M* = 0

Imponiendo el equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción vertical del

terreno, lo que permite elegir el extremo aguas arriba de la base para que se cumpla en

él la condición de equilibrio de momentos, condición de la cual se obtiene el valor del

ancho necesario en la base de la presa.

* b 1-

FA-ytlA-l* 1 0 0 0 r c c ? / m 3 - 3 0 m - 3 0 i / m

J 1 - / i í l = - 3 0 í / m - 3 0 m = 4S0í ; y £ = - h = - 3 0 m = 1 Om

6m- 30m- 1 m • 2, 5 ¡ / m 3 - 4S0f ; x , - 3 m ; y , - ISm

l / 2 " ^ C b - 6 ) ' 30m- l m - 2 . 5 f / m 3 = 3 7 . 5 ( b - 6 ) í

x 2 = 6 + - ( b - 6 ) ; y 2 = ^ 3 0 m = 1 0 m

Ry-0 ; S + V -*W i-W2-0 ; y - + W 2 - S

V - 4 5 0 + 3 7 . 5 ( 6 - 6 ) - 1 5 6 - 2 2 5 + 2 2 . 5 6

172

M * = 0

4 5 0 ' 10 + 13, ó ' 30 + 4 5 0 - 3 + 3 7 , 5 ( 6 - 6 ) b - 6 - 1 5 6 - ^ 6 - ( 2 2 5 + 2 2 , 5 6 ) ^ 6 = 0

4500 + 558+ 1350 + 7 5 0 - 9 0 0 + 12, 5b 2 - S o 2 - 1506- 15b z - 0

7 , 5 b 2 + 7 5 6 - 5 5 0 8 = 0

6 - 2 2 , 5 m

EJERCICIO N»4

173

Una compuerta circular vertical de radio "R"

está articulada en los extremos del diámetro DD',

h llamando " p " a la densidad del agua, determinar a)

la reacción en la articulación, b) el momento del par

necesario para mantener la compuerta cerrada.


En la figura 1 se muestra el alzado y la sección diametral vertical del sistema de

fuerzas hidrostáticas que actúa sobre la compuerta circular.

En la figura 2 puede verse la perspectiva caballera de dicho sistema de fuerzas así

como la reacción que produce en la articulación D'. Dado que la distribución de fuerzas

hidrostáticas constituye un sistema de fuerzas paralelas, es posible encontrar la fuerza

mecámcamente equivalente a ellas. Teniendo en cuenta la simetría de la distribución

con respecto al plano YZ, dicha fuerza ha de estar situada en este plano, por tanto, para

determinarsu situación basta con calcular''y CP~,ordenada del centro de presiones (Fig.

3).

Para que la fuerza " F H" sea mecánicamente equivalente a ¡a distribución, ha de

producir sobre la compuerta la misma tendencia a la traslación y al giro que producía

dicha distribución. Para lo primero, es preciso que el módulo de" F H" sea igual al módulo

de la resultante de la distribución, es decir,

F H ~ J^gydA (1)

174

para lo segundo, esto es, para que la tendencia al giro de la compuerta sea la misma

bajo " F „ " que bajo la distribución, una y otra deberán producir el mismo momento

respecto al eje de giro (DD') o respecto a uno cualquiera paralelo a éste, como es la recta

intersección del plano de la compuerta con la superficie libre del agua (eje XX), así pues,

se debe cumplir:

FH-yCP = ¡(pgydAyj (2)

Tanto la ecuación (1) como la (2) pueden escribirse en función de magnitudes

relacionadas con el área "A" de la compuerta, ya que

J ydA-ycA (3)

jy*dA-Íxx (4)

donde "ye" es ¡a ordenada del centro de gravedad del área "A" e " I Xx " el momento de

inercia de dicho área respecto al eje XX.

Conocidas ~ F „" e ~ y cr~, el valor de la reacción en la articulación se obtiene del

equilibrio entre las fuerzas normales a la compuerta.

Para que la compuerta no se abra será necesario un momento de par " M" cuyo

módulo verifique la condición:

M>FH(yCP-h) (5)

Al imponer la condición (5) se obtiene Un resultado llamativo: el momento del par

no depende de la altura de agua sobre el centro de gravedad de la compuerta (h), sino

tan sólo del radio de ésta La explicación a este resultado sé deduce de la figura 4. Aunque

la distribución defuerzas de lafigura4-b corresponde aldiámetro déla compuerta situado

sobre el eje YY (Fig. 4-a), el razonamiento que sigue es válido para la distribución que

corresponde a cualquier cuerda paralela a dicho diámetro. En la figura 4-b es nulo el

175

momento respecto a O de la zona rectangular de la distribución, por lo que sólo ¡a

distribución triangular produce momento, el cual, evidentemente, sólo depende del radio

"R".


Aptdo. a)

176

J (pgydA)y = pg J y2dA = p gfxx

f>9' xx I xxycp = pgycA ycA

l x x = lDD. + Ad-

¡DD-^!'X-X- '• / o " lx-x- + ¡Y-V '• 'x'x-"lrn

~ 2/ x-x- : I x-x- ~ ~^

/0= r2dA= r2- 2nrdr = Jo Jo • 1 DD- ~ 1 x-x- 2 0 4

TlR-

nR2(R2 + 4h2) R AyG 4 j t R2 h

k + — 4/i

Aptdo. b)

pghnR:

Rz=0 ; 2 Z - F „ = 0 ; Z=* -

Ley de fuerzas hidrostáticas en el eje de simetría

F i g 4.

M>FH{yc,-h)

f R2

M>pghnR2\h + — -h

R* M > pgn —

EJERCICIO N° 5

177

Una gabarra de forma paralelepipédica rectangular de dimensiones 6 m de

anchura, 18 m de longitud y 3 m de altura pesa 160.000 kg._Cuando flota en agua

salada(v = 1025fcg/m 3 )e l centro de gravedad de la gabarra cargada está a

1,35 m por debajo de su parte superior, a) Situar el centro de carena cuando flota

horizontalmente en agua tranquila, b) Situar el centro de carena cuando ha girado

10° alrededor del eje longitudinal, c) Determinar el metacentro para la inclinación

de 10°.


Aptdo. a)

Cuando la gabarra flota en posición normal, esto es, con su eje de flotación per

pendicular al plano de flotación, el empuje de Arquímedes y elpeso son fuerzas colineales

aunque aplicadas en puntos distintos: el empuje, en el centro de carena Cy el peso, en

el centro de gravedad G.

La condición de flotabilidad es que el peso sea igual al empuje, obteniéndose de

esta igualdad el calado de ¡a gabarra del cual se deduce la posición del centro de carena.

Aptdo. b)

Al aproximar la sección transversal de la gabarra a un rectángulo resulta sencillo

representar su posición cuando se produce el giro de 10a. Dado que éste tiene lugar

alrededor del efe longitudinal de la gabarra, se deduce que el área sumergida de la sección

transversal ha de tener forma trapecial. El centro de carena es el centro de gravedad de

¡a sección trapecial situada en el plano de simetría transversal de la gabarra

178

Aptdo. c)

El metacentro M se obtiene como intersección de la recta soporte del empuje de

Arquímedes con el eje de flotación. Esta intersección aparece en detalle en la figura 5-b,

deduciéndose de ella la distancia existente entre el metacentro Mylaproyección ortogonal

D del centro de carena C sobre el eje de flotación. Conocida dicha distancia puede

acotarse la que existe entre el metacentro y la base de la gabarra, ya que se conoce la

posición del centro de carena.


Aptdo. a)

|EJe de flotación. W = E

160Í = 1 .025

a) b]

F i g . 1.

F ig 2.

Aptdo. b)

x = 0 .53m

Fig. 3.

179

6m

0,91 m

1,97m

Fig. A.

~ — ~ "

Figura xt y i A, x, Ai y i Ai

Rectángulo 0,455 3 5,46 2,48 16,38

[Triángulo 1,26 2 3,18 4,00 6,36 |

8,64 [ 6,48 22,74

- X > M , 6 ,48 „ v c - Z y ^ i 22 .74 - 0 , 7 S m , y = r = = •-• • ••••• p 2 . 6 3 m x = 8 . 6 4

Aptdo. c)

8 , 6 4

eje o e f l o t a c i ó n ^ M

<bañ) / c b)

0,37 = — — - = 2 , 0 9 m

tg 10"

AM-AD+DM

AM'O, 75 + 2 ,09 = 2 , 8 4 m

180

EJERCICIO N° 6

Un cilindro hueco de 1 m de diámetro y 1,5 m de altura pesa 400 kg. a) ¿Cuántos

kilogramos de piorno de peso específico 1 1 , Zg/cm3 deben unirse al fondo por su

parte exterior para que el cilindro flote en agua, verticalmente, con 1 m del mismo

sumergido? b) ¿Cuántos kilogramos se necesitarán si se colocan en el interior del

cilindro?


Las fuerzas que actúan sobre el cilindro son: el peso del cilindro, el del lastre de

plomoy el empuje de Arquímedes. La resultante de las dos primeras está dirigida hacia

abajo y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo compuestoy la segunda, ascendente,

está aplicada en el centro de carena o centro de gravedad del volumen sumergido.

Para que el cuerpo flote verticalmente el módulo del empuje y el de la resultante

de los pesos deben ser iguales y sus puntos de aplicación han de estar en ¡a misma vertical

La magnitud del empuje de Arquímedes que experimenta un cuerpo sumergido en

un fluido dado sólo depende del volumen de dicho cuerpo, el cual se obtiene, como se

sabe, al dividir el peso entre el peso específico.


Aptdo. a)

P-E

f . ( n . ' o . s * . i * £ ¡ s í Í S 2 - l £ Í _ ) i o > i a

™ a , l m a

2 . 1 . . , r t - 3 l l r t S d . l f t ) . ' ' MF - J I - 0 . 5 ' - 1 + ~ ~ " 10 _ J 1 0 J - n - 0 . 5 ¿ - 10"-+ 11,2 J 11,2

P P = E ; 400fcg+P P b = r í ' 0 . 5 2 - 10 3 + y y ^ ; Pn = 423, lBAip

Aptdo. b)

P = 400+ P P 6

f - K S ? ' - Y y - K - 0 . 5 2 - 1 • 1000 = 785,39Jfcff

P = E ; 400+ PFb = 785.35 ; />„ • 385, 39kg

182

EJERCICIO N" 7

Dada la distribución de velocidad en régimen permanente y uniforme de un

líquido en movimiento laminar: v= "^"^ (.ra" r2), e n l a q u e " r 0 " eselradiode

la tubería y " r " la distancia al eje del punto considerado, se pide obtener la expresión

del caudal; a) a partir de la definición, b) aplicando el segundo teorema de Guldin.


La distribución de velocidad que corresponde al régimen permanente y uniforme

de un líquido en movimiento laminar dentro de una tubería fue deducida en la tercera

lección de dinámica de fluidos.

Para calcular la expresión del caudal circulante a partir de la definición, (ver la

lección de cinemática de fluidos) conviene elegir un elemento diferencial de área que

mantenga ¡a simetría que tiene la distribución de velocidad. Esta condición la cumple

una corona circular de radio " r" y ancho diferencial, que será, por consiguiente, el

elemento que se utilice en el cálculo.

Dada la simetría de la distribución de velocidady teniendo en cuenta la definición

de caudal, se deduce que éste se puede calcular a partir del 2a teorema de Guldin, ya

que el caudal no es sino el volumen generado por el área de la semidistribución de

velocidad cuando dicho área da una vuelta alrededor del eje de la tubería


Aptdo. a)

183

Q-j vdS

dS -2nrdr

4u¿

Aptdo. b)

Q = - 8 l ^ n r °

ro

V = V(r)

dA dA-udr

c M ; / I = cM = vdr

dA

Q = 2n- r- A = 2n-ro!dA

dA dA-2n r„,dA

P l - P i P i - P 'o 4u¿ 8u¿

184

EJERCICIO N° 8

T Por el punto A del depósito de H

la figura sale agua con velocidad

l m. horizontal. ¿Para qué rango de

1,5m valores de " H " pasará el agua a

través de la abertura BC?


La velocidad con la que sale el agua por el punto A se obtiene por aplicación del

teorema de Torricelli. Con esta velocidad se inicia un movimiento cuyo estudio puede

hacerse mediante la segunda ley de Newton. Para ello, se comenzará por representar el

diagrama de fuerzas y el de aceleraciones correspondientes a una partícula de agua de

masa "m", en un instante genérico del movimiento. La proyección de las fuerzas y de las

aceleraciones sobre dos direcciones ortogonales pennite descomponer el movimiento

original curvilíneo en dos movimientos rectilíneos: uniforme en ¡a dirección del eje "x"y

uniformemente variado en la dirección perpendicular.

La primera integración de las ecuaciones escalares obtenidas ai proyectar la 2a ley

de Newton proporciona la ley de velocidades de cada uno de los movimientos rectilíneos

e integrando nuevamente, se obtiene la ley horaria de dichos movimientos. Imponiendo

la condición de que la partícula de agua pase por la abertura BC se obtienen las dos

desigualdades que permiten acotar el intervalo de valores de "H" que lo hacen posible.


mg Diagrama de fuerzas

Diagrama de aceleraciones

v0 = j2gH

R = ma

Rs = max ; 0 = max ; vx = v0 = •JZgH ; x =-[2{

Ry = ma : -mg=ma ; vy = ~gt ; y=--gt

x-3 ; i -V2g/7

- 2 . 5 < y < - ' l ; - 2 , 5 < - ^ g í z < - 1

2 . 5 > ^ g r 2 > l ; 2 , 5 > - g - ^ ~ - : H>0,9m 2 W 2T2.gH

^ g - ^ - > l , 0 ; 2,25>H : W < 2 , 2 52 2gH

0,9m< H < 2 , 2 5 m

186

EJERCICIO N° 9

Dos depósitos abiertos muy

grandes A y F contienen el mismo

líquido. Un tubo horizontal BCD

que tiene un estrechamiento en C

sale del fondo del depósito A, y un

tubo acodado E sale del estrecha

miento en C y se introduce en el líquido del depósito F. Suponiendo que el líquido

es ideal, que la sección transversal en el estrechamiento C es la mitad que en B y D

y que la diferencia de cota entre la superficie libre de! líquido en el depósito A y el

eje de la tubería BCD es " h ¡ ", determinar la altura " h " que alcanzará en el tubo

acodado E el líquido del depósito F.


Si a la hipótesis definido ideal, de la que habla el enunciado, se añade la de que

el movimiento sea permanente e irrotacional, resulta que en tales condiciones, el teorema

de Bernoulli se cumple entre puntos cualesquiera de la masa fluida y en consecuencia,

aplicando dicho teorema se resuelve el ejercicio.

El ejercicio también puede ser resuelto mediante la aplicación del método unidi

mensional de análisis (ver aptdo. 3.1.1) para lo cual las hipótesis a realizar serían las de

líquido ideal en movimiento permanente y uniforme. En tal caso, el teorema se aplica

entre secciones transversales a ¡a corriente.

El teorema de Bernoulli ha de aplicarse, obviamente, entre secciones relevantes

para el estudio que se quiere hacer. A este tipo de secciones pertenecen aquéllas en las

que, como en la A de la figura del ejercicio, existe superficie libre. Secciones imponantes

en este estudio son también la C y la D ; la primera, porque permite relacionar el

187

movimiento en la tubería con la depresión provocada en el tubo acodado y la segunda,

porque en ella la presión es la atmosférica y por consiguiente, la presión manométrica

es nula así como su cota relativa.

La aplicación del teorema de Bernoulli entre AyD conduce a un resultado coin

cidente con el que se obtendría mediante el teorema de Torricelli

Las velocidades en las distintas secciones de la tubería no son independientes, sino

que deben cumplir la ecuación de continuidad. Aplicando esta ecuación se relacionan

las velocidades en las secciones CyD.

Para relacionar la altura " h" que sube el líquido del depósito F con la presión en

C basta aplicar la ecuación general de la hidrostática entre puntos de la superficie de F

situados en el exterior y en el interior del tubo.


BA-BC

Y * 2 g

Pe V2c Y 2g

BA-BD

Scvc = SDuD ; SC = -SD

^SD-vc = SD-uD : uc = 2uD

c=2vD=2^2gh, ; v^Bgh,

yh = pF ; pF- O ¡ p c - ~ y h

y 2g

189

EJERCICIO N° 10

Determinar la diferencia de cota" H" que ha de existir entre la superficie libre

de dos depósitos que contienen fuel-oil pesado a 38QC para que la tubería que los

une, de 30 cm de diámetro y 1000 m de longitud, pueda transportar un caudal de

220 1/s. La rugosidad absoluta de la tubería (K) es de 0,024 cm, la viscosidad

cinemática del fuel-oil pesado es, a 35°C, de 67 ,9 • 10" 6 n i 2 / s y a 40°C, de

52 ,8- 10" 6 m2/¡r.La fórmula de Prandtl-Colebrook es j= - - 21 og [ ̂ + ~j ] . El

coeficiente de pérdida de carga localizada en los depósitos es 1. Represéntese el

gráfico de energía.


La aplicación del teorema de Bernoulli generalizado entre las superficies libres de

los depósitos permite relacionar la diferencia de cola que ha de haber entre ellas para

que la tubería transporte el caudal que indica el enunciado.

El trinomio de Bernoulli en cada superficie libre se ha calculado en presiones

manométricas y se ha despreciado la altura cinética

Para calcular el coeficiente de fricción "f hay que saber si el régimen es laminar o

turbulento y para ello, es preciso determinar el número de Reynolds.

Para conocer el número de Reynolds de este ejercicio es preciso calcularla velocidad

media en la tubería y la viscosidad cinemática a 38°C. La primera de estas magnitudes

físicas se deduce de la ecuación de continuidad, mientras que ¡asegunda, ha de obtenerse

por interpolación lineal entre la viscosidad a 35°Cy a 40°C.

190

Dado que el número de Reynolds es superior a 2000, el régimen es turbulento y por

consiguiente, el coeficiente de fricción se obtiene mediante la fórmula de Prandtl-

Colebrook.

La detenninación del coeficiente "f ha de hacerse por iteraciones. Se comienza

tomando como valor de entrada en la primera iteración ( / l) un valor cualquiera -ya

que el método converge rápidamente- aunque se reduce el número de iteraciones si se

toma un valor del orden de 0,01. Entrando con éste en el segundo miembro de la fórmula

de Prandtl y sustituyendo el resto de las variables que en él aparecen, se obtiene el valor

de salida de la primera iteración (fl).

Este se adopta como valor de entrada para la segunda iteración ( / 2 ) y con él se

vuelve a calcular el segundo miembro de la fórmula de Prandtl y a continuación, el valor

de salida de la segunda iteración (/ 2).

El método se continúa hasta que la diferencia entre el valor de entraday el de salida

sea menor de una cieña cantidad, que puede situarse en 0,001.

Determinado "f\ se obtiene la pérdida de carga " A H i -, 2" y sustituyendo su valor

en el teorema de Bernoulli se deduce, finalmente, el valor de la diferencia de cota "H"

entre los depósitos.

Gráfico de energía

La pendiente de la línea de carga se obtiene dividiendo la diferencia de cota entre

la longitud de la tubería. Ai representar esta línea hay que tener en cuenta que su punto

de partida se encuentra por debajo de la superficie libre del depósito más alto y finaliza

por encima del otro depósito ya que se considera la pérdida correspondiente a la conexión

de la tubería con cada depósito.

191

B^B2 + (AH)^ 1-2.

P,B{ = z¡+ — +~-= H + 0 + 0 = H

Y 2g

p, v2

B ? = z , + — + —^=0 + 0 + 0 = 0 Fig. 1.

Y 2g

2 2g 2g D2g 2g 2g\ D

Re p - v • D u • D

Q = S • v = v \ v = n £ > 2 n(30cm

4 - . 2 2 0 i . - i i -5 1 0 ' = 3 , 1 1 -1 m \ 2

lOOcm

( x 1 0 6 )

6 7 , 9

52,6

6 7 , 9 - 5 2 , 8 4 0 - 3 5 v - 5 2 , 8 4 0 - 3 8

v = 58 ,84- ] 0 " 6 m 2 / s

3 5 3 8 4 0 T ( ° C )

„ vD 3 ,1 \m/s-0,3m r = — = • , 15856,5

v 58 ,84- 1 0 " 6 m 2 / s

http://4-.220i.-ii-

-21og[ 0,024

+

1

77!

!5 Iteración

/ ; - o , o i

2 ,5 ] - - 2 l o g [

0 ,024 2,5 3 , 7 - 3 0 15856 -V0 , 01

2 1 o g [ l , 7 9 - 10~ 3] = 5 ,49

f\ = 0 . 0 3 3

]

2-/teración

y 2 = /: = o,o33

0 . 0 2 4 t 2 ,5 0 . 0 2 4 2 ,5° 9 L 3 . 7 - 3 0 * 1 5 8 5 6 - v 7 ! ° 9 l 3 . 7 - 3 0 + 15856 • ,/b7033

1

m •2log[ 1 ,08- 10" 3]-= 5 .92

/ 2 = 0,028

21og[ 0,024

3 . 7 - 3 0 1 5 8 5 6 - v T l

3lIleración

/ 3 = / 2 = 0.028

2 .5 0 ,024 ] - - 2 1 o g [

2,5 3 , 7 - 3 0 15856- -JO,028

- - 2 1 o g [ 1 . 1 5 - 1 0 " 3 ] = 5 ,87

/ 3 - = 0 , 0 2 8

/ 3 - / 3 - 0 , 0 2 8 - 0 , 028 - 0, 000. . . ; / - O , 028

193

va f f \ v2 ( 0 .028 A V2

( A / / ) , _ , \2*-L U — 2+ — lOOOm - — ( 2 + 93 ,3 ) '^2 2g{ D ) 2g\ 0,3m J 2gK

( A / / ) , ^ ^ 3 ^ 1 - 9 5 , 3 - 4 7 . 0 3 m

B, - B2 + (AH),_t2 ; W - 0 + 4 7 , 03 = 4 7 , 0 3 m


vz 3, l l 2

n ^ AH 46 . n A e . — q = = 0 , 5 m ; i = • — = = 0 , 0 4 ó m / m 2 y 20 £ 1000

1.000m

l V }'2g::: 0,5 m

46m

--- Línea de carga

-------Línea piezométrica

EH. 1:5000 E.V. 1: 500

Ejercicio n• 10 GRAFICO DE ENERGIA

EJERCICIO N» 11

195

En la figura, el punto B dista 180 m del recipiente. En el punto C hay un contador

de agua en el que se lee que circulan 15 1/s. En tales condiciones se pide:

a) Calcular la presión absoluta en B en kgf/cm2, sabiendo que la presión

atmosférica es de 9,87 m.ca.

b) Calcular la pérdida de carga que produce el contador de agua.

c) Dibujar a escala la línea de carga en presiones manométricas.


Aptdo. a)

El movimiento permanente de un fluido real se estudia mediante el teorema de

Bernoulli generalizado.

Dado que se desea conocer la presión en B, dicho teorema se aplicará entre esta

sección y la superficie libre del depósito A.

La velocidad media en la tubería, necesaria para calcular la altura cinética en B,

se obtiene mediante la definición de caudal.

Para calcular la pérdida de carga desde A hasta B se utilizará la fórmula de

Darcy- Weisbach.

196

Con la aplicación del teorema de Bernoulli generalizado entre A y B se obtiene una

ecuación dé la que se deduce la altura de presión en B. Si se supone nula la altura de

presión en el depósito, lo que se obtiene es la altura de presión manométrica, por lo que

para obtener la altura de presión absoluta habrá que sumar la altura de presión que

corresponde a la presión atmosférica.

Aptdo. b)

La pérdida de carga localizada en el contador de aguasólo interviene si se considera

alguna de las secciones de! tramo CD de la tubería Como sólo se conoce la posición de

la sección D, se aplicará el teorema de Bemoulii generalizado entre AyD.

Este apartado también podría ser resuelto aplicando el teorema de Bemoulii

generalizado entre las secciones ByD.

Aptdo. c)

Dado que la tubería tiene sección constante y que su coeficiente de fricción es

también constante, hay una sola pendiente de línea de carga En la vertical que

corresponde al contador se produce un salto de esta línea debido a la pérdida de carga

localizada En D hay altura cinética, por consiguiente, la línea piezométrica finaliza en

un punto situado "v2/2g" por encima del punto D.


Aptdo. a)

BA = BB+(&H)A^B

197

B. = z. + — + — = 0 , 0 + 0 + 0 = 0 , 6

Y 2 g Y 2 g Y 2 g

Q - S f l i ; f i ; v f l = -7 1 0 1 = 0 . 8 5 m / s

*\ 103cmJ

( A H ) _ = í . í i i s = / . £ l . ¿ ^ = ° ^ . 2 i | 5 ! 1 8 0 = l i l 0 m

>. v ^ - s AB D 2g *' o , 1 5 2 - 9 , 8

0 , 6 - ^ + ^ - ^ + 1 , 1 0 ; ^ - - 0 . 5 3 6 m . c . Q . y 2 - 9 , 8 v

Pomb-9,87 m.c.a. ; - ( ^ - ) + ( y ) - 9 . 87 - 0 . 5 3 6 = 9 . 3 3 4 m .c.a.

« P „ , , . - 9 . 3 3 4 m . , 0 0 0 Í £ . I i ^ . 0 . 9 3 Í £ Í

Aptdo. b)

B A = BD+(AH)A.D

2

B A - Z A * ~ * — = 6 + 0 + 0 = 6m Y 2 g

» . - * . * * ' | | - o * o ^ . o . o 3 7 m

( A W ) ^ í , = ^ ^ - 0 . 0 3 7 - 7 0 0 + ( A W ) „ n , . = 4 , 3 1 6 + ( A / / ) ( o n l ,

198

BA~BD+(.*H)A+D

6 - 0 , 0 3 7 + 4 . 3 ) ó + ( A / / )

( A / / ) c o n ( . = l , 6 4 7 m

Aptdo. c)

| , . 1 0 - ; ü l = ° ^ = 0 , 0 3 7 m 1 £ 1 8 0 ' 2 g 2 - 9 . 8

7 0 0 m

1 8 0 m

Linea de carga

Línea piezométrica

5 t 5 s , s * = ^ f f i v 2/2g= 0.0 37r

E H 1 : 3 . 5 0 0 E V 1: 100

Ejercicio r f 11 GRAFICO DE ENERGIA

200

EJERCICIO N° 12

Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 era. La

bomba desagua a través de una tubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada

3,20 m sobre el nivel de agua del pozo. Cuando se bombean 35 1/s las lecturas de los

manómetros colocados a la entrada y salida de la bomba son -O , 32kgf /cm2y

1 ,80kg f /cm2 , respectivamente. El manómetro de descarga está situado a 1,0 m

por encima de! manómetro de succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y

la pérdida de carga en la tubería de succión de 15 cm.


La potencia teórica de una bomba depende del peso específico " y" del fluido, del

caudal "Q" y déla energía " ( A H) B " que se comunica al fluido.

El cálculo de la energía apañada al fluido " (A H) B" se obtiene aplicando el

teorema de Bemoulii generalizado entre las secciones aguas arriba y aguas abajo de la

bomba

Aplicando la definición de cauda! a las secciones consideradas se obtiene la

velocidad en ellas y conocida ésta se determina la altura cinética en dichas secciones.

Sumando a la altura cinética la cota y la altura de presión en cada una de las

secciones se obtiene el trinomio de Bemoulii. •

Si como suele ser habitual, el trinomio de Bemoulii se calcula en metros, es preciso

aplicar factores de conversión a la altura de presión.

201

Conocido el valor del trinomio de Bemoulii en las secciones de la tubería situadas

inmediatamente antes y después de la bomba, el teorema de Bernoulli generalizado

permite calcular la energía comunicada difluido que, finalmente, se expresará en CV,

como suele ser habitual.

La pérdida de carga en la tubería de succión se deduce de la aplicación del teorema

de Bernoulli generalizado, entre la superficie Ubre del agua en el pozo y la sección de la

tubería de aspiración situada antes de la bomba.


1,0m

2,2 m

P-yQ(¿sH)„

Bl + {AH)B = B2 ; ¿j = z + £ + | -

Fig. 1.

35- —

n • Q. 15 2 2

•m

Q2" szVi ' 1 0 ' A „ , = — _ ^ 4 , 4 5 _

1 I Z 0 . 1 '

n—^-m

1000-^ + 2 - 9 . 8 B, = z i + — + = 0

Y 2g = - 3 , 2 + 0,2 = - 3 m

p , v % Y 2g

1.8 c m * i m * 4 ,45 '

1 0 0 0 ^ 2 -9 ,8 = 1 + 18+ 1 .01 =20,01m

Bl + (AH)B = B2 ; (AH)B = 20.01 +3 = 23, Olm

202

P - v 9 ( A / f ) , - l 0 0 0 ^ . 3 5 f ^ . 2 3 . 0 1 m - 8 0 5 . 3 S Í E » . - ^ : - 1 0 . 7 4 c J m s 10 i * 75 —

B o = 2 ° + T + 2 V ° * ü + 0 = 0 •

+ — + — = 2 , 2 + ( - 3 , 2 ) + 0 ,2 = - 0 , 8 m Y 2o;

B 0 = B 1 + ( A / / ) 0 J | ; 0 - - 0 , 8 + ( A W ) 0 „ ; (AW ) 0 „ , = 0, 8m

I

EJERCICIO N° 13

203

Mediante una

bomba se eleva agua

desde un recipiente

A, a una elevación de

225 m, hasta otro

depósito E, a una

elevación de 240 m a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la

tubería de 30 cm, en el punto D a una elevación de 195 m, es de 5,60kgf/cm 2 .

Las pérdidas de carga son: de A a la entrada de la bomba B, 0,6 m; de la salida de

la bomba en C hasta D, 38v2/2g y desde D a E, 40v2/2g. Determinar el caudal

"Q" y la potencia en watios y en CV suministrada por la bomba. Dibujar el gráfico

de energía.


El caudal se obtiene al multiplicar la sección de la tubería por la velocidad media

del agua en ella.

La velocidad media de la corriente se obtiene directamente si se aplica el teorema

de Bemoulii generalizado entre ¡as secciones D y E, ya que a! hacerlo entre éstas no

interviene la aportación de energía de ¡a bomba

Dado que lo habitual en el estudio de las conducciones de agua y en otras muchas

situaciones es trabajar en presiones sobre la atmosférica, se supondrá que la presión en

el punto D es manométrica

204

Para calcular la potencia teórica de la bomba es preciso conocer la energía" A H"

comunicada a la corriente por la bomba

Conocida la velocidad media de la corriente, basta aplicar el teorema de Bemoulii

generalizado entre secciones de la tubería situadas aguas arriba y aguas abajo de la

bomba, para que de la ecuación resultante se pueda obtener el incremento de carga

hidráulica aportado por aquélla En el ejercicio se ha optado por las secciones Ay D,

pero también podrían haberse considerado las secciones Ay E.


Con los datos del ejercicio no queda definida la pendiente de la línea de carga. En

efecto, no es posible su determinación mediante la fórmula de Darcy-Weisbach, puesto

que no se conoce el valor del coeficiente de fricción " / ". Tampoco se puede deducir la

pendiente dividiendo la pérdida de carga " A H " entre la longitud del tramo correspon

diente " i ", ya que se desconoce este último dato. Se ha optado por reflejar esta cir

cunstancia en el gráfico de energía representando una de las infinitas soluciones que

podrían darse en función de los valores que se asignen a las variables antes citadas.


BD°* 5 £ + ( A H )

B — + — = 2 4 0 + 0 + 0 = 2 4 0 m Y 2 g

( A / / )

205

v2 .„v2 . . „ t / 2

BD= BE + {AH)D^E ; 1 9 5 + 5 6 + — = 2 4 0 + 4 0 — : 11 = 3 9 — ¿g 2g 2g

v2 11 / _ 11 2 ^ = 3 9 : « - V 2 * 3 9 - 2 ' 3 5 m / f f

Q - S . U - ; Í 3 0 c m — í ¿ 2 - Y . 2 . 3 5 ^ - 0 . 1 6 6 ^ - ^ - 1 6 6 -4 V l O ^ c / n / s s ¡ o 3 / s

B , + C A / / ) b D m 6 Q = F 0 + C A / / ) ^ D

£„ = ^,i + — + ^ - = 2 2 5 + 0 + 0 = 2 2 5 m Y 2g

PD V% _ v2 „ „ 11 9 8 0 0 BD = ZD

+ — + ~ = 1 9 5 + 5 6 + — = 1 9 5 + 5 6 + — = Y 2 9 2 f f 3 9 3 9

v2 1 1 4 4 1 4 ( A / / j ^ B - ( A / / ) ^ f + ( A W ) c - f i - 0 , 6 + 3 8 — = 0 , 6 + 3 8 — = - ^ -

9 8 0 0 4 4 ! 4

S , + ( A r / ) t o m 6 a = fi0 + ( A r / ) ^ D ; 2 2 5 + ( A H ) B ¡ > M B A = — + ~ -

(AH)B = 2 6 2 . 6 - 2 2 5 = 3 7 , 6 m

P= Y - Q - ¿ H - 1 0 0 0 ^ - 0 , 166 — - 3 7 , 6 / 7 1 = 6 2 4 1 , 6 ^ ^ - = 8 3 , 2 2 C K m3 s s 7 5 ^

•

^ = 6 2 4 1 . 6 - ^ - ^ - 1 ^ - ^ = 6 1 . 1 ^ s Ifcp; U / s 1 0 3 ! /


^ - 3 Í = 0 , 2 8 m ; 3 8 - | l = 3 8 . n = 1 0 , 7 2 m

v2 11 4 0 4 0 - — = 1 1 , 2 8 / n

2 p 3 9

EV 1 500 EH a estima

E j e r c i c i o n* 13 G R A F I C O DE E N E R G I A

LÍnea de carga

Línea piezométric.a

E V 1 500 EH a estima

Ejercicio n• 13

1 3B J/29: 10,71m

1

(6. H JaonoDa

56m

GRAFICO DE ENERGl.A

207

EJERCICIO N B 14

Si la bomba B de la figura transfiere al fluido 70 CV cuando el caudal de agua

es de 2201/s, ¿a qué altura puede situarse el depósito C? Dibujar el gráfico de energía.

i C i


La aplicación del teorema de Bemoulii generalizado entre las superficies libres de

los depósitos hace intervenir a la altura del depósito C por lo que ésta podría ser la primera

ecuación a plantear. Al hacerlo, se observa que es preciso calcularla energía comunicada

por la bomba al agua " (A H ) B " así como la pérdida de carga " ( A / / ) , , _ c " .

La energía que apona la bomba al agua se obtiene mediante la aplicación de la

fórmula que proporciona la potencia teórica de una bomba

Para calcularla pérdida de carga " (A H) A^c" hay que sumar las pérdidas loca

lizadas que se producen a la salida del depósito y en la llave, con las pérdidas totales

debidas a la fricción en la tubería

Las pérdidas de carga se obtienen en función de la velocidad media en la tubería

correspondiente.

La velocidad media en cada uno de los tramos de la tubería debe cumplir la

ecuación de continuidad, lo que permite relacionar dichas velocidades. El cálculo de

éstas ha de hacerse mediante la definición de caudal.

6m.-ft 45cm 1 = 0 , 0 3

208


Una vez calculado el valor que toman las distintas pérdidas de carga se ve la

necesidad de utilizar diferentes escalas para la representación del gráfico de energía, ya

que de no hacerlo, algunas de las pérdidas no podrían ser apreciadas.


BA + (AH)B-BC + (MT)^C

Pr Vc Bc = zc + — + - £ = t f + 0 + 0 = t f Y 2 g

P = yQ(AH)B

7Skam/s ka „ i 1 m — = 1 0 0 0 - ^ - 2 2 0

m3

( A / / ) f i = 2 3 . 8 6 m

3

7 0 C K - r f e ^ = 1 0 0 0 ^ - 2 2 0 ; T ^ C A H ) f i

( A / / ) ^ = ( A / / ) f l f * ( A W ) ^ + ( A / / ) s , c + ( A W ) t ó ( .

2 ^ w w - ^ e p - - i - -

, f v2} 0 , 0 3 v \ B ¿ n VAB

£>2g ule

BC

^ ^ 1 2 0 = 8 -0 , 3 0 2 g 2 g

( A W ) ^ c . ^ £ + 0 , 4 ^ + 8 - - - + 5 - - í - 1 . 4 ^ + 1 3 ^ -2 g 2 g 2 g 2 g 2 g 2 g

209

$ ABV ¿B " $ BCVBC

n - 0 . 4 5 2 J l ' 0 . 3 2 „ __ z "A» z "*c : vBC = 2.2^vAB

Q O AB

u,,* . _ , 1 .38 — n - 0 , 4 5 2 n 0 . 4 5 :

( A / / ) . - c - 1 , 4 — + 1 3 — - 1 .4 — + 65, 8125-*= - 6 7 , 2 1 2 5 ^ = 6 ,53m v y , , " c ' 2ff 2g 2g 2g 2g

6 + 2 3 . 8 6 - H* 6. 53

W = 2 3 , 3 3 m


( A W ) d É p . - 0 , 0 9 7 m ; - 0 . 0 3 9 m

iBCLsc = 3,93m ; ( A / / ) * , - 2,46m

Otb = 3,93m ro o

EH 1 :100

EV 1 : 40

-----------

23,86m

EH 1:700 E V 1:200

l :3,93/120

-----------------

a +b = 3,93 m

v2/2g: 0,492m a

1- ---------------2 ;46in

Línea de carga

Línea p iezométrica

(j) ::o )loo .,, n o o ,,, ,,, z ,,, ::u (j)

>

"' -o

211

•

Se conectan dos depósitos,

cuya diferencia de nivel es 14 m,por

una tubería ABC cuyo punto más

elevado B se encuentra 1,5 m por

debajo del nivel del líquido en el depósito superior. El tramo AB tiene un diámetro

de 200mm y el BC de 150mm. El coeficiente de fricción es 0,02 en ambas ramas. La

longitud total de la tubería es de 3 km. Considerando como única pérdida localizada

la que se produce a la salida del depósito A y sabiendo que la altura manométrica

de presión en B es de -3 m, se pide:

I o Calcular la longitud de cada tramo de la tubería.

2 o Dibujar a estima la línea de energía y la línea piezométrica y acotar la posición

de los puntos necesarios para que dichas líneas queden definidas.


Como ya ha sido señalado, la superficie libre de un depósito constituye, general

mente, una sección muy adecuada para calcular en ella el valor del trinomio de Bemoulii

De acuerdo con lo anterior, parece obligado considerar, al menos, la aplicación del

teorema de Bernoulli entre ¡as dos superficies libres existentes en el ejercicio. Si además

resulta que al tratarse de un fluido real hay que tener en cuenta las pérdidas de carga y

que las pérdidas unitarias son proporcionales a la longitud de cada uno de los tramos

de la conducción, es evidente que la aplicación del teorema de Bernoulli entre las

superficies libres proporciona una ecuación válida para la resolución del ejercicio. En

EJERCICIO N° 15

212

la ecuación resultante aparecen cuatro incógnitas: la longitud de cada uno de los tramos

(" L | " y" L2") y la velocidad media en ellos (" v 1 ' ' y ' 'o 2"). Se necesitan, por tanto, tres

ecuaciones más.

Una segunda ecuación se obtiene al imponer la condición de que la longitud total

de la tubería ha de ser tres kilómetros.

Dado que se conoce la altura depresióny la cota delpunto B, se obtiene una tercera

ecuación sise aplica el teorema de Bemoulii entre el depósito más alto y dicho punto.

Finalmente, el principio de continuidad proporcionará la cuartay última ecuación

necesaria para la resolución del ejercicio.


:-2

ID P i V\ ' Y 2g

c u2 v? 2 Y 2g

v2

| 0 , 0 2 ¿ v%_ 2g + 0 . 15 z 2 g

S i » n - 0 , 2 a

4 n - 0 , 1 5 2

4 ¡/i •4

y, = 0 ,75 2 t / 2 : f 2 = 1 .77f[

v\ 0 .02 (1 , Z 7 ) 2L?

6 1 = g z + ( A / y ) l „ 2 ; 1 4 - ( 0 . 5 + 0 , 1 ¿ , + 0 , 4 ] ¿ 2 ) — -

213

.2 PB VB V, ul S , - 1 4 ; e B = z f l + — + — - 1 2 , 5 + ( - 3 ) + — - 9 , S + —

i i fl Y 2g 20 2g

C A W ) 1 , B - ( ñ / / ) l o e . f ( A / / ) H f t i t i - 0 . s | i - + ^ ^ £ l | ¿ - ( 0 , 5 + 0 , U , ) ^ 2g 0,2 2g 2g

( A W ) 1 ^ - ( 0 . 5 + 0 . 1 £ 1 ) r J -•̂9

fir5e+ ( A H ) H S ; 14 = 9 , S + - ! - + ( 0 , 5 + 0 , U , ) - i -

2g 2g

4 . 5 - ( 1 . 5 * 0 . U I ) ¿ ; y i 4 ' 5

2g 2g 1 , 5 + 0 , I I ,

M - f O . S + O . l i . + O ^ l L , ) — . 2g

1 4 - ( 0 , 5 + 0 , U , + 0 . 4 U 2 ) i ^ o

5

i ¿ i

21 + 1 , 4 ¿ , - 2.25 + 0 . 4 5 ¿ , + 1 , 8 4 5 ¿ 2

0 ,95 / . , - 1 , 8 4 5 ¿ 2 - - 18.75

L¡ + í 2 = 3000

0 , 9 5 I , - 1 . 8 4 5 ¿ 2 = - 1 8 , 7 5

¿ i + ¿ 2 = 3 0 0 0

0 , 9 5 - 1 . 8 4 5 \ = / • - 1 8 . 7 5

1 1 j U2J V 3 0 0 0

LA = (1973,6m L2J ' U 0 2 6 . 4 m

214


v2 4 ,5 4 ,5_ L = 1- = ¡ — = 0 ,023fn 2g 1 ,5+0 , 1 ¿! 1,5 + 0, 1 • 1973,6

— = — 1 , 7 7 2 - v z = 1 , 7 7 z - 0 , 023= 0,07 m 2g 2g

B s = 2 ( * — + — - 1 2 , 5 - 3 + 0, 023 = 9 , 5 2 3 m Y 2g

( A W ) 1 , B = C0,5 + 0 , u ^ ^ l - í O . S + O . 1 • 1974)0,023 = 4 , 5 S l m

I 0,011 m

Jof..onm T

T T fT1 '-· ID óH:4,54m , n

l ?I o

;;, •

(JI

(j) ;o > ,,

\ ñ

' o o

1.974 m fT1

m z m ;o (j)

j; Escala horizontal 1 . 12.000 Escala vertical a estima

Línea de energ(a

------- Línea pi ezométrica

f\) ~ .... L C1I 1.026m

l

219

Práctica n» I : APARATOS PARA LA MEDIDA DE PRESIONES EN FLUIDOS

Introducción

Una de las propiedades que caracterizan a los fluidos es la de ejercer presiones

sobre cualquier superficie con la que tengan contacto. Los aparatos que se utilizan

para la medida de las presiones son los barómetros y los manómetros. Los primeros

se emplean para la determinación de la presión atmosférica o ambiental y los

segundos, para la medida de presiones en otros fluidos, tanto líquidos como gases.

En la segunda lección del tema dedicado a estática de fluidos se ha descrito el fun

damento de estos aparatos y se ha dado una clasificación, tanto para los barómetros

como para los manómetros.

Durante la realización de esta práctica se efectuará la lectura de la presión

atmosférica mediante la utilización de diversos tipos de barómetro y se realizarán la

correcciones por temperatura y gravedad para reducir dicha lectura a las condiciones

normalizadas.

La práctica incluye también la utilización de manómetros para la medida de la

presión en líquidos, así como la comprobación de un manómetro de Bourdon

mediante un equipo para la calibración de manómetros.

220

l 1 Parte: Barómetros

Equipo necesario

Barómetro de Fortín, barómetro de Tonnelot y termómetro.

Procedimiento

Antes de leer la presión atmosférica mediante el barómetro de Fortín hay que

ajustar el cero de la escala. Para ello se gira el tornillo existente en la parte inferior

del depósito de mercurio hasta que la superficie libre de éste haga contacto con la

punta de marfil. Queda así establecido el cero de la escala en la que se mide la altura

alcanzada por la columna de mercurio. Para conocer el valor de dicha altura se

desplaza la deslizadera que hay en la parte superior del aparato hasta que su borde

horizontal izquierdo coincida con la superficie libre del mercurio situado en la

columna y a continuación, se lee la altura en milímetros mediante el nonius existente

en la deslizadera.

La altura de la columna de mercurio, leída en la escala de un barómetro de

Tonnelot proporciona, directamente, la presión atmosférica.

Por último, se leerá la temperatura en el termómetro existente en la zona en la

que se ha hecho la observación.

Las lecturas efectuadas se anotarán en el espacio disponible al efecto existente

en la tabla 1.1.

Presión atmosférica

(mm Hg)

Temperatura

FORTIN TONNELOT

Temperatura

Tabla 1.1. Datos de la práctica.

Fundamento teórico

221

La figura 1 representa, esquemáticamente, el

fundamento de un barómetro de mercurio: la presión

atmosférica que actúa sobre la superficie libre del

mercurio situado en una cubeta se ve equilibrada por

la presión que ejerce una altura "h" de mercurio.

Aplicando la ecuación general de la estática de fluidos

a los puntos 1 y 2 resulta:

yHv-h-palm. ( i . i )

siendo " y Hg" el peso específico del mercurio y" P alm~ la presión ambiental o

atmosférica.

La distinta denominación de los barómetros de mercurio tiene su origen en el

procedimiento utilizado para medir la altura "h" de la columna de mercurio.

Cálfjüfis

Conocida la presión atmosférica en un lugar y en unas condiciones determi

nadas, puede deducirse el valor de la presión atmosférica en condiciones normali

zadas aplicando las correcciones por temperatura y gravedad. Dichas correcciones

se efectuarán solamente a la lectura obtenida en el barómetro de Tonnelot.

La corrección por temperatura se realiza mediante la tabla 1.2, obteniéndose

por consiguiente, la presión que corresponde a 0°C. Esta presión se anotará en la

casilla existente en la tabla 1.3.

Fig. 1. Barómetro de mercurio

222

TEMPERATURA LECTURA DEL BAROMETRO

(°C) (mmHg)

670 680 690 700 710 720

16,0 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 2,0 16,5 1,9 1,9 2,0 2,0 2,0 2,0 17,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,1 2,1 17,5 2,0 2,0 2,1 2,1 2,1 2,2 18,0 2,1 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 18,5 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 2,3 19,0 2,2 2,2 2,2 2,3 2,3 2,3 19,5 2,2 2,3 2,3 2,3 2,4 2,4 20,0 2,3 2,3 2,4 2,4 2,4 2,5 20,5 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,5 21,0 2,4 2,4 2,5 2,5 2,5 2,6 21,5 2,5 2,5 2,5 2,6 2,6 2,6 22,0 2,5 2,6 2,6 2,6 2,7 2,7 22,5 2,6 2,6 2,7 2.7 2,7 2,8

Tabla 1.2. Reducción de las lecturas barométricas a cero grados.

(Se restará de la lectura barométrica el valor obtenido en la tabla)

Presión a T

ambiente

Presión a 0 °C

Tabla 1.3. Presión atmosférica reducida a 0°C.

La corrección por gravedad se realiza mediante la fórmula:

en la que "B," es la presión atmosférica a 0°C; " g * w " , la aceleración local de la

223

gravedad en cm/s2, calculada medíante la fórmula propuesta al efecto por la

Organización Meteorológica Mundial (O.M.M.) y "Cg" la presión atmosférica en

condiciones normalizadas.

La fórmula que la O.M.M. recomienda aplicar para el cálculo de la aceleración

local, obteniéndose ésta encm/s2, es:

gt„ = 980,616(1 -0,0026373cos2<t> + 0,0000059cos22<|i)

- 0 , 0003086H +0.00011 IQ(H-H') (1.3)

en la que" $" es la latitud del lugar, "i!" es la altitud de la estación en metros y" H'"

es la altitud media en metros de la superficie de terreno comprendida en el interior

de un círculo de 150 km de radio con centro en la estación.

Sustituyendo en 1.2 el valor de "gtH" se obtiene la presión atmosférica en

condiciones normalizadas.

Los valores de las variables que intervienen en el cálculo de la aceleración local,

así como el valor obtenido para ésta y el de la presión en condiciones normalizadas,

se anotarán en las casillas correspondientes de la tabla 1.4.

Latitud Altitud Altitud Aceleración Presión en cond.

-•- -H- -H*. -g*><- normalizadas

(°) (m) (m) ( c m / s 2 ) ( )

Tabla 1.4. Cálculo de la presión en condiciones normalizadas.

224

2* Parte: Manómetros: empleo y calibración

Equipo necesario

El equipo que se requiere para la calibración de manómetros está compuesto

por un manómetro de 180 kPa, un aparato calibrador constituido por cilindro, pistón

y tubos flexibles (ver Fig. 1.1), juego de pesas, balanza, calibre o pié de rey y toma de

agua. Para medir la presión en la red de distribución se dispone de un adaptador a

rosca así como de un manómetro de lOkgf/cm2.

c i l indro

nivel de burbuja

- pesas,

-pistón. -tubo de drenaje.

/////;;/,'/yy / / ///vvy////

Fig 1. 1. Equipo calibrador de manómetros.

_tubo para entrada de agua con conexión a mantímetro.

-tornillo de nivelación.

Procedimiento

En primer lugar se medirá mediante el pié de rey, el diámetro del pistón que

forma parte del equipo calibrador y se anotará el resultado en la casilla dispuesta al

efecto en la tabla 1.5. A continuación se introduce agua en el cilindro mediante el

tubo correspondiente, se conecta a éste el manómetro y se procede a expulsar el aire

que haya podido quedar en el tubo al efectuar la conexión, para lo cual se utilizarán

las llaves existentes en el manómetro.

225

Cuando el cilindro esté lleno de agua, se determina la masa del pistón, se anota

su valor en la tabla 1.5 y se introduce en el cilindro.con lo que se produce el des

plazamiento de la aguja del manómetro, registrándose la lectura correspondiente en

la tabla 1.5. '

El tubo que sale de la parte superior del cilindro (Fig. 1.1) tiene como misión

servir para evacuar el agua que se introduce entre el pistón y el cilindro durante el

proceso de colocación de las pesas.

Procediendo con cada una de las pesas de la forma en la que se ha hecho con

el pistón, se obtienen nuevas lecturas en el manómetro que se anotarán en la tabla

1.5.

Masa del

pistón

(kg)

Lectura

manómetro

(kPa)


226

Fundamento teórico

La presión se define como la fuerza normal aplicada sobre una superficie,

obteniéndose su valor mediante la expresión:

en la que " Fn" es la fuerza normal a la superficie " 5 ". Si la fuerza se mide en newtons

y la superficie en metros cuadrados, la presión " P " se obtiene en paséales.

Al colocar el pistón sobre el cilindro lleno de agua se ejerce una presión sobre

ésta cuyo valor se obtiene mediante la fórmula 1.4. Debido al principio de Pascal

estapresión se transmite íntegramente a todo el fluidoy en consecuencia, es detectada

por el manómetro.

La calibración o tarado de un dispositivo de medida, en este caso, de un

manómetro, consiste en la utilización de dicho aparato para medir presiones cuyo

valor es conocido "a priori". Se trata en definitiva, de comprobar el funcionamiento

del manómetro y conocer así su fiabilidad en la medición. Para que el calibrado sea

realmente útil ha de procurarse que las medidas cubran el rango de utilización del

manómetro.

Calaítas

Con los datos obtenidos durante la realización de la práctica se calcularán las

presiones que debería haber medido el manómetro y se rellenará con ellas la tercera

columna de la tabla 1.6. En la cuarta columna de dicho cuadro se pondrá la diferencia

entre el valor real y el valor medido, es decir, el error absoluto, y en la quinta columna,

el cociente entre el error absoluto y el valor real esto es, el error relativo de la

medición.

Masa del

pistón

(kg)

Lectura del

manómetro 1 '

kPa

Presión

real

kPa

Error

absoluto

kPa

Error

relativo

(%)

= ^ = — —

•

Operaciones

Tabla 1.6. Resultados de la práctica.

228

Comentarios.

Cuestiones fa plantear por el Profesor al término de la práctica)

229

Práctica n°2: ESTUDIO DE LA DISTRIBUCION DE FUERZAS HIDROSTATICAS

SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

Introducción

La ecuación general de la estática de fluidos permite calcular la presión que

hay en cada punto de un fluido en reposo. Si en contacto con dicho fluido existe una

superficie, en cada elemento diferencial de área de ella, la presión da lugar a la

aparición de una fuerza denominada hidrostática, perpendicular al diferencial de

área y dirigida hacia él y cuyo módulo se obtiene como producto de la presión por

el diferencial de área. El conjunto de fuerzas que así resulta se denomina sistema de

fuerzas hidrostáticas y es mecánicamente equivalente a la resultante de dicho sistema

aplicada en el centro de presión (ver aptdo. 1.4.1),

En esta práctica se estudiará el sistema de fuerzas hidrostáticas asociado a

diversas superficies mediante el aparato de presión hidrostática (Fig. 2.1). La reali

zación de la práctica ofrece además la oportunidad de consolidar algunos de los

conocimientos adquiridos al estudiar la mecánica del sólido rígido, ya que es preciso

aplicar los conceptos de equilibrio, sistema de fuerzas, centro de gravedad, momento

de inercia, etc..

230

Equipo necesario

En la figura 2.1. se muestra ei alzado principal del aparato para el estudio de

la presión hidrostática y se identifican los principales elementos que lo constituyen.

Para la realización de la práctica se necesita además un juego de pesas adecuado

para ser utilizado en el platillo. Dicho juego lo componen siete pesas de 50 g, dos de

20 g y una de 10 g. La masa del platillo es de 50 g.

Fig 2 . 1 . Aparato de presión nidrdstatica.

Procedimiento

Antes de montar el aparato, es preciso conocer algunos datos geométricos que

intervendrán en los cálculos que serán efectuados más adelante. Así pues, se medirán

las magnitudes "a", "L" y "d" (ver Fig. 2.1), así como la anchura "b" del cuadrante, que

en la figura 2.1 es la dimensión perpendicular al plano del dibujo.

A continuación, y después de nivelar el recipiente de metacrilato, se procede a

colocar el conjunto formado por el cuadrante y el brazo de la balanza sobre el fulcro

de ésta; a colgar el platillo como muestra la figura 2.1 y por último, a equilibrar todo

ello mediante el desplazamiento adecuado del contrapeso.

231

El paso siguiente consiste en colocar una de las pesas en el platillo e introducir

agua en el tanque hasta que se alcance nuevamente el equilibrio. En ese momento,

se anota en la tabla 2.1 la masa colocada en el platillo y el nivel del agua en el

recipiente, leído este último en la escala que hay en el cuadrante.

La experiencia se continúa con la colocación de una nueva pesa en el platillo,

nueva aportación de agua hasta lograr el equilibrio y por último, la lectura del nivel

alcanzado por ésta.

Una vez utilizado todo el juego de pesas, se procede en orden inverso, es decir,

se retira cada una de las pesas y se permite la salida del agua hasta que se logra de

nuevo el equilibrio, anotándose la masa y el nivel del agua que lo hacen posible.

Todos estos datos se irán anotando, a medida que se obtengan, en las columnas

que para ello hay en la tabla 2.1.

Con el vaciado del recipiente concluye la toma de datos de la práctica. Antes

de pasara realizar los cálculos, se debe rellenarla columna de la tabla 2.1 encabezada

con el rótulo: "promedio", para lo cual basta con hallar la media aritmética de las

lecturas del nivel del agua.

232

a b L d

DIMENSIONES

(mm)


I a Parte: Análisis de la inmersión parcial (h<100 mm)

233

La figura 2.2 representa un esquema del aparato de presión hidrostática cuando

la variable "h" (ver Fig. 2.2) es inferior a 100 mm. Suponiendo que se trata de una

configuración de equilibrio, se ha de verificar que:

mgL-lf>gbh2[a*d-^ (2.1)

expresión en la cual "p" es la densidad del agua, "g" la aceleración de la grave

dad;" L " , " a~,"b~ y "d" son dimensiones geométricas del aparato," m " es la masa

colocada en el platillo y" h." la altura del agua.

234

Cálculos

Con los datos de la tabla 2.1 que corresponden a la situación que se analiza en

esta primera parte de la práctica, se rellenarán las dos primeras columnas de la tabla

2.2 y a partir de ellos las restantes columnas de dicha tabla.

Masa -m -

(g)

Altura -h-

(A< 100} (mm)

h2

( )

m/h2

( )

_ Tabla 2.2. Resultados de la práctica ( I a parte).

Representación de resultados

235

En los ejes de la figura 2.3 se representarán los puntos cuyas coordenadas son

el nivel de agua " h"y la relación " m/h2" -segunda y cuarta columnas, respectiva

mente de la tabla 2.2- y se ajustarán dichos puntos a una recta, para lo que se puede

utilizar el programa REMICUAD.BAS. Para valorar el error cometido se

compararán la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de ajuste con los

parámetros teóricos de la recta deducidos de la ecuación 2.1.

m/h*h

h

Fig 2.3. Representación gráfica de resultados.

236

Parámetros Valor Error abs. Error reí.

de la s/ec.2.1 s/F¡g.2.3

recta ( ) ( ) ( ) m

Ordenada

Pendiente I

Tabla 2.3. Cálculo de errores.

Operaciones

Comentarios

Cuestiones ( serán manteadas por el Profesor de la Práctica al termino Cíe ésta)

238

2 a Parte: Análisis de la inmersión total (h > 100 mm)

Fundamento teórico

Fig. 2.4. Inmersión tota l .

En la figura 2.4. puede verse el esquema descriptivo del aparato de presión

hidrostática para el supuesto de inmersión tota! de la superficie rectangular de

dimensiones "b" y "d".

Teniendo en cuenta la simetría que presenta la distribución de fuerzas

hidrostáticas que actúa sobre la superficie rectangular, resulta que el centro de presión

está situado en su eje de simetría, por lo que basta conocer " y Cr " para que quede

definido.

Dado que las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre la superficie rectangular

son paralelas, el sistema que constituyen puede ser reducido a otro mecánicamente

equivalente, formado por una fuerza de su misma dirección y sentido denominada

resultante hidrostática" R H" y aplicada en el centro de presión.

239

EJ módulo" R H" de la resultante hidrostática y la ordenada del centro de presión

"yCp" se obtienen mediante las ecuaciones siguientes (ver aptdo. 1.4.1):

RH-yyc-A (2.2)

La ordenada del centro de presión también puede ser obtenida teniendo en

cuenta que en la posición representada en la figura 2.4 hay equilibrio y por consi

guiente debe ser nulo el momento resultante en el punto de apoyo, para lo cual se

ha de cumplir:

mgL = R„(yCP+q) (2.4)

Cálculos

Con los datos de la tabla 2.1. que corresponden a la situación que se analiza en

esta segunda parte de la práctica (h > 100 mm) y las características geométricas del

aparato de presión hidrostática, se rellenarán las seis primeras columnas de la tabla

2.4 y en la columna (7) se dispondrá el resultado obtenido mediante la aplicación de

la ecuación 2.2. Las dos últimas columnas de la tabla 2.4 servirán para comparar la

posición del centro de presiones determinada mediante las ecuaciones 2.3 y 2.4.

El espacio entre paréntesis que existe en el encabezamiento de cada columna

deberá rellenarse con la abreviatura de la unidad elegida para expresar la magnitud

recogida en dicha columna.

240

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

Masa Mmto. Altura y c

' XX YC A q RH y CP y CP

-m- -mgL- -h- (ec.2.3) (ec.2.4)

(g) ( ) (mm) ( ) < ) ( ) ( ) ( ) ( )

T

= • i r " r rJ J I I --

Tabla 2.4. Resultados de la práctica (2 a parte).

Operaciones

Representación de resultados

241

En los ejes de la figura 2.5 se representarán los puntos cuyas coordenadas son

la masa "m" y la altura del agua "h" -columnas (1) y (3) respectivamente, de la tabla

2.4- y se ajustarán a su recta de mínimos cuadrados, pudiéndose utilizar para ello

el programa REMICUAD.BAS.

Cuando la superficie rectangular está totalmente sumergida, la masa "m" varía

linealmente con "h". Esta circunstancia puede ser aprovechada para calcular el error

cometido en cada lectura del nivel de agua. Para ello se deducirá la ecuación que

expresa dicha variación, obteniéndose mediante ella el valor de "h" que corresponde

a dos cualesquiera de los valores de la masa. La comparación entre el valor así

deducido y el leído durante la realización de la práctica permitirá obtener el error

absoluto y el error relativo cometido en la lectura. El valor de "h" deducido mediante

la citada ecuación, así como el leído en la práctica y los errores correspondientes se

recogerán en la tabla 2.5.

h

Fig. 2.5. Representación gráfica de resultados.

Masa Altura de agua-ft - Error abs. Error reí.

- m - leída s/ecuación

(g) (mm) (mm) ( ) %

Tabla 2.5. Cálculo de errores.

243

Deducción de la ecuación m = Kh + K'

243

Deduccjóo de Ja · . -- ecuac1óo m K = h + K'

244

Operaciones

244

Operaciones

245

Cuestiones f.Sérájn planteadas par el Profesor de la práctica al finalizar ésta)

246 246

Práctica n° 3: TEOREMA DE BERNOULLI

247

Introducción

El teorema de Bernoulli es una de las ecuaciones fundamentales para el estudio

del movimiento de los fluidos. En su formulación básica establece que en el movi

miento permanente de un fluido ideal e incompresible, la suma de las alturas pie

zométrica y cinética permanece constante a lo largo de una línea de corriente.

La realización de esta práctica ofrece la posibilidad de mejorar el conocimiento

y la comprensión del teorema de Bernoulli mediante la aplicación de dicho teorema

al movimiento de agua a través de un tubo de Venturi equipado con piezómetros

para la medida de presiones estáticas y dinámicas. Además, esta práctica también

permite estudiar el régimen de velocidades y como consecuencia, clasificar el

movimiento según el valor del número de Reynolds. Por último, el equipo de medida

de presiones que se utiliza en esta práctica está basado en el empleo de piezómetros,

que es un tipo de manómetro del que no se había hablado en la práctica número 1,

lo que supone que entre ambas prácticas el alumno se familiarizará con las técnicas

instrumentales básicas para la medida de presiones.

248

Fotografía 3.2

248

Fotografía 3. 1

Fotografía 3.2

249

Equipo necesario

Para la realización de esta práctica se necesita el banco hidráulico (Fotografía

nH3.1), el aparate para el estudio del teorema de Bernoulli (Fotografía n°3.2), un

cronómetro, un termómetro y tomas de corriente eléctrica y de agua.

La figura 3.1-a) muestra un esquema en alzado y planta del aparato para el

estudio del teorema de Bernoulli en el que aparecen identificados sus elementos

principales. En el conducto comprendido entre los manguitos de unión hay un tubo

b 13,9 e 10

c 11,6 f 25

a) b)

Fig 3 . 1 . Aparato para el estudio del teorema de Bernoulli.

de Venturi (ver fotografías números 3.3 y 3.4), cuidadosamente mecanizado sobre

metacrilato y cuya geometría puede verse en la Figura 3.1.-b), en el que se han

practicado seis orificios piezométricos para la conexión de sendos tubos destinados

a medir la presión estática.

250

Fotografía 3.4

250

Fotografía 3.3

Fotografía 3.4

251

La instrumentación se completa con la sonda, que consiste en un tubo de Pitot

que puede ser desplazado a lo largo del eje del conducto y con un último piezómetro,

conectado en el punto M (Fig. 3.1-a) situado en una generatriz de contorno.

En la figura 3.2 se muestran dos perspectivas del banco hidráulico. Está cons

tituido, esencialmente, por un depósito de 1601 de capacidad, una bomba que toma

agua de este depósitoy un tanque volumétrico calibrado que recibe el agua bombeada,

y que a determinada altura dispone de un aliviadero que devuelve el agua al depósito.

Piuccdimienls

Se coloca el aparato para el estudio del teorema de Bernoulli sobre la superficie

de trabajo del banco hidráulico y se dispone un tubo de plástico entre el conector

(Fig. 3.2) y la entrada de agua del aparato (Fig. 3.1-a), orientándose adecuadamente

éste a fin de que el agua caiga en el tanque volumétrico. A continuación se desplaza

el tubo de Pitot hasta que su extremo quede unos tres centímetros, aproximadamente,

aguas abajo de la sección " f (Fig. 3.1.-b), se enchufa a la red eléctrica el cable de

alimentación, se abre ligeramente la llave de paso de la bomba y se acciona el

interruptor del motor, con lo que empieza a circular el agua. La velocidad de cir

culación del agua no sólo puede modificarse con la llave de paso, también puede

hacerse mediante la válvula de control (Fig. 3.1.-a). Mientras se regulariza el flujo y

se van llenando los piezómetros, se mantiene abierta la válvula manual de descarga

(Fig. 3.2), con lo que el agua circula en circuito cerrado.

El llenado de los piezómetros ha de hacerse lentamente para que no queden

en ellos burbujas de aire. Para facilitar el purgado de los piezómetros, éstos están

conectados por su extremo superior, existiendo en la parte derecha de la pieza de

conexión un tornillo y un orificio con tapón roscado (ver fotografía n° 3.2). Cuando

el agua empieza a entrar en los piezómetros hay que desenroscar el tornillo y retirar

Fig 3.2. Banco hidráulico-

253

el tapón; la velocidad de ascenso del agua en aquéllos debe ser pequeña para que no

se formen burbujas de aire, debiéndose vaciar y volver a llenar todo piezómetro en

el que se vean burbujas.

A medida que los piezómetros se llenan, comienza a salir agua por la rosca del

tornillo y por el orificio, es el momento de colocar un tubo en este último de manera

que el agua -emulsionada- sea conducida al tanque volumétrico. Cuando se observe

que el agua deja de estar emulsionada por haber arrastrado ya las burbujas de aire

que había en los piezómetros, se rosca el tomillo y se coloca el tapón en el orificio,

con lo que finaliza la operación de purgado.

A continuación, y en el orden que se indica, se cierra la válvula de control (Fig.

3.1.-a), la llave de paso (Fig. 3.2) y se para la bomba. Al abrir en estas condiciones

el tornillo, el agua de los piezómetros desciende, debiéndose permitir que esto suceda

hasta que el nivel de agua alcance la mitad de los piezómetros, aproximadamente,

en cuyo momento se volverá a cerrar el tornillo.

Para restablecer la circulación de agua se pondrá en marcha la bomba y después

se abrirá lentamente la llave de paso, al tiempo que se abre también la válvula de

control. Como consecuencia del régimen así establecido, aparecerá un gradiente de

presiones en el tubo de Venturi con lo que el equipo queda dispuesto para su utili

zación en esta práctica.

Una vez estabilizadas las lecturas de los piezómetros, se cierra la válvula de

descarga y se observa, mediante la sonda (Fig, 3.2), el nivel que va alcanzando el

agua en el tanque volumétrico. Cuando el nivel del agua en la sonda coincida con

alguna de las divisiones, se pone en marcha el cronómetro, deteniéndolo en alguna

de las divisiones anteriores a la de seis litros. El resultado de éste y de los otros aforos

se anotará en las casillas correspondientes de la tabla 3.1.

254 1

Cuando el volumen de agua almacenado en el tanque volumétrico haya

superado los seis litros, se hará, al menos, un aforo más. El resultado de los aforos

se anotará en las casillas existentes en la tabla 3.1. Por último se leerán los ocho tubos

piczométricos, anotando estas lecturas en los recuadros dispuesta al efecto en la tabla

3.1.

Sección

Lectura

piezómetro

( )

Volúmenes

Tiempo Inicial

( )

Final

( )

Tiempo

Tabla 3.1. Datos de la práctica ( I a parte).

255

La segunda parte de la práctica consiste en medir la presión de estancamiento

en diversos puntos del eje del tubo de Venturi mediante la colocación en ellos de un

tubo de Pitot. Para ello se desplaza dicho tubo hasta que su extremo ocupe las

posiciones señaladas con los números 1, 2, etc. (Fig. 3.3), anotándose en la columna

de la tabla 3.2 las lecturas correspondientes. Una vez situado el tubo de Pitot en la

posición adecuada, se esperarán sesenta segundos para dar tiempo a la estabilización

del nivel de agua en dicho tubo. Con el registro de la temperatura del agua utilizada

en la realización de la práctica finaliza la toma de datos de ésta.

256

tubo de Pitot. f.

Fig. 3 .3 . Posiciones del tubo de Pitot-

Posición Lectura tubo

Pitot

( )

rz

Tabla 3.2. Datos de la práctica (2fl parte).

Fundamento teórico

257

En el movimiento permanente y uniforme de un líquido, la altura cinética en

un punto cualquiera de una línea de corriente viene dada por la diferencia de lecturas

piezométricas obtenidas con un tubo de Pitot y un tubo piezométrico (ver, a este

respecto, la primera lección de dinámica de fluidos).

En el movimiento permanente de los líquidos se cumple la ecuación de conti

nuidad, por lo que si se conoce el caudal y la sección transversal, puede obtenerse la

velocidad media en dicha sección.

El teorema de Bernoulli o teorema de la línea de corriente establece que en el

movimiento permanente de un fluido ideal e incompresible, la suma de la altura

cinética y piezométrica permanece constante en los puntos en una misma línea de

corriente.

Para estudiar el movimiento de un líquido real, la mecánica de fluidos aplica el

teorema de Bernoulli generalizado, en el que la carga hidráulica se obtiene a partir

de los valores medios de la altura cinética y piezométrica en cada sección y además

se contabilizan las variaciones de carga hidráulica producidas por la presencia de

máquinas hidráulicas en la corriente así como las pérdidas de carga debidas al

rozamiento y a la forma de los conductos.

258

Cuestiones

I a Utilizando los datos obtenidos en la medición de volúmenes y tiempos, determinar

el valor medio, en 1/s, del caudal circulante.

2 a Calcular el número de Reynolds en cada uno de los tramos del conducto en los

que la sección es constante y clasificar el movimiento.

259

3 a A la vista de las lecturas obtenidas al desplazar el tubo de Pitot a lo largo del

conducto, indicai entre qué puntos de la línea axial de corriente se cumple el teorema

de Bernoulli, y señalar alguna razón que explique el incumplimiento de dicho teorema

en los restantes puntos.

4 a Calcular la pérdida de carga entre las secciones que pasan por los puntos 11 y 3.

260

5* ¿Qué condiciones ha de cumplir un movimiento para que, utilizando un tubo de

Pitot y un tubo piezométrico, pueda determinarse la velocidad en un punto cual

quiera? Determinar por ese procedimiento la velocidad existente en el punto 3 de

la figura 3.3, explicando la necesidad de cada una de las condiciones requeridas.

261

6 a Calcular la pérdida de carga que se produce en el cono convergente del tubo de

Venturi siguiendo el método recogido en el apéndice n° 2. La rugosidad absoluta de

las paredes del tubo puede considerarse nula.

262

7 a Deducir la expresión de la velocidad media en el estrechamiento del tubo de

Venturi en Función de la lectura de los piezómetros existentes en las secciones que

pasan por los puntos 11 y 7 (Fig. 3.3), pérdida de carga en el cono convergente y

diámetro de dichas secciones. Indicar los teoremas que sea preciso aplicar en la

deducción.

263

8a Como aplicación de la expresión deducida en el apartado anterior, deducir la que

proporciona el caudal circulante por el tubo de Venturi. Particularizar la expresión

resultante con los valores correspondientes de esta práctica. Comparar el caudal así

calculado con el determinado en la primera de estas cuestiones.

264

Operaciones

264

Operaciones

Comentarios

265

Cuestiones (serán Planteadas nnr el Profesor al término de la práctica^

Programa REMICUAD. BAS

Descripción del procedimiento de ejecución

271

Para ejecutar el programa REMICUAD.BAS en el ordenador IBM AT deben

seguirse los siguientes pasos:

I o Conectar la unidad central del ordenador.

2 o Encender el monitor.

3Q Cuando en la pantalla del monitor se pregunte la fecha, pulsar la tecla "intro",

(ver figura A - l . l ) lo mismo que cuando se solicite la hora.

En la pantalla aparecerán los siguientes caracteres:

C:\>

donde "C": indica que la unidad activa es el disco duro; la raya invertida (\)

muestra que se está trabajando en el directorio principal y el símbolo "mayor

que" es el indicador que caracteriza al conjunto de programas que se deno

mina, genéricamente, sistema operativo MS-DOS.

Dado que el programa que se desea utilizar es GWBASIC se procederá como

sigue:

T E C L A S D E FUNCION 1

9 ) I S I E I B I S I , M B E I B . I B Í B I B I B I I H 1

i i ¡ l

I - BAR RA E SPACI ADORA • LjFH A<i flF Mí

l ü n • • m m

T n mm ESI m

l m W • •

LTECLAS DE MOVIMIENTOJDEL CURSOR

F i g A - 1 . 1 PLANTILLA DE TECLADO

272

4° Escribir G WBAS1C y pulsar "intro". La pantalla cambia y aparece "ok", que

es el indicador propio del BASIC.

5Q Pulsar la tecla de función F3 y a continuación escribir el nombre del programa.

También puede cargarse el programa escribiendo LOAD, pulsando la barra

espadadora una vez y seguidamente, el nombre del programa. En cualquiera

de los casos la orden no se ejecuta hasta que no se pulsa la tecla "intro".

6 o Pulsar la tecla de función F2, o bien, escribir RUN y a continuación pulsar

"intro".

El programa comienza solicitando el nombre con el que el usuario desea que

se almacenen en el disco duro los datos de la práctica. Conviene elegir un nombre

que pueda ser recordado fácilmente ya que después, el programa pregunta si los datos

han sido o no introducidos previamente. Si fueron introducidos y se ha dado

correctamente el nombre como respuesta a la primera pregunta, no es preciso

introducir nuevamente los datos y el control de! programa se transfiere a una zona

del mismo en la que se ofrece la posibilidad de modificar dichos datos. La ejecución

del programa puede ser interrumpida en cualquier momento sin más que pulsar

simultáneamente las teclas "control" y "pausa"(Fíg.A-l.l), pudiéndose reanudar

aquélla actuando como se indicó en el paso sexto.

Si es la primera vez que se introducen los datos, el programa solicita el número

total de lecturas realizadas y el número de lecturas en las que la altura de agua fué

inferior a 100 mm, para seguidamente pedir la introducción de las alturas de agua y

de las correspondientes masas. Finalizada la entrada de datos y de igual forma que

cuando éstos ya han sido introducidos en una ocasión anterior, existe la posibilidad

de comprobar y corregir todos y cada uno de los datos, de manera que el programa

no calcula los parámetros de las rectas de regresión hasta que el usuario no da su

conformidad a la última de las comprobaciones existentes. Si una vez escrito un dato

273

se detecta algún error antes de pulsar la tecla "intro", puede corregirse éste despla

zando el cursor con las "teclas de movimiento del cursor" hasta situarlo debajo del

carácter que se desea modificar y pulsando a continuación la tecla "supr".

Finalizada la fase de cálculo, la pantalla del ordenador informa al usuario de

que datos y resultados están archivados, haciendo aparecer las letras "ok" en dicha

pantalla.

Una vez ejecutado el programa, debe guardarse nuevamente en el disco duro,

para lo cual se escribirá EDfT 10, a fin de solicitar que aparezca en la pantalla la

línea n° 10 del programa. Cuando dicha línea haya aparecido, se desplazará el cursor

hasta situarlo debajo del "1" del número de línea y seguidamente se pulsará la tecla

"supr" tantas veces como sea preciso para borrar el número de línea y el apóstrofe

que le sigue. Hecho ésto, la pulsación de la tecla "intro" ordena grabar el programa

en el disco duro y dejarlo así listo para una posterior ejecución.

Para obtener una copia impresa de datos y resultados hay que preparar la

impresora y para ello se procederá de la siguiente forma:

1° Retirar el papel continuo si está cargado.

2 o Conectar la impresora.

3 o Introducir una hoja en ta abertura dispuesta al efecto.

4 o Pulsar las teclas: "avance página", "en línea" y "avance página",que hay en

el panel de mandos existente en la parte izquierda de la impresora.

La impresora está así en condiciones de recibir la información de la unidad

central y consecuentemente, de imprimir dicha información.

Durante la ejecución del programa se crearon dos archivos: el de datos, cuyo

nombre elige el usuario, y el de resultados, cuya denominación es "RESUL". Ambos

archivos se encuentran en el directorio raíz del disco duro y para acceder a él es

preciso, en primer lugar, abandonar GWBASIC y regresar al sistema operativo, para

lo cual basta con escribir SYSTEM y pulsar "intro". Aparecerán a continuación los

274

caracteres ya conocidos:

C:\>

lo que significa que se está en el directorio principal del disco duro.

Para imprimir el archivo "RESUL" se escribirá PRINT, seguido de un espacio

y del nombre del archivo que se desea imprimir, en este caso, "RESUL", y por último

se pulsará la tecla "intro". Finalizada la impresión de resultados, se extrae la hoja de

la impresora, se desconecta ésta y a continuación, la unidad central y el monitor.

10 'SAVE"C:remicuad.bas",A 20 INPUT "Referencia de la práctica (siete caracteres máx.):",REF$ 30 INPUT "¿Datos ya introducidos(l) o a introducir(0)?",DT:CLS 40 IF DT=1 THEN GOTO 150 50 INPUT "Número de lecturas -altura de agua- realizadas:",N 60 INPUT "Número de la última lectura inferior a 100 mm:",N1 70 DIM M(N),H(N) 80 FOR 1=1 T O N 90 PRINT USING "Altura de agua No W ; I : I N P U T " ;H( I ) 100 PRINT : N E X T I 110 FOR 1=1 T O N 120 PRINT USING "Masa No ##";I:INPUT " ;M( I ) 130 PRINT :NEXTI 140 GOTO 220 150 FILE$ = "C:"+REF$ 160 OPEN FILE$ FOR INPUT AS 1 170 INPUT #1,N,N1 180 FOR 1=1 T O N 190 INPUT #1 , M(I),H(I) 200 NEXTI 2 1 0 C L O S E #1 220 REM Posibilidad de cambiar los datos 230 CLS:PRINT:PRINT 240 PRINT "Número de lecturas:";N 250 INPUT "¿Se desea modificar algo (S/N)?",S$ 260 IF S$="N" OR S$='n" THEN GOTO 290 270 INPUT "¿Nuevo número de lecturas?",N 280 GOTO 230 290 CL&PRINT PRINT 300 PRINT "Número de la última lectura inferior a 100 mm:";N1 310 INPUT "¿Se desea modificar (S/N)?\S$ 320 IF S$="n" OR S$="N" THEN GOTO 350 330 INPUT "¿Número de la última lectura inferiora 100 mm?",N1 340 GOTO 290 350 CLS:PRINT :PRINT 3 6 0 P R I N T " N MASA ALTURA ":PRINT 370 FOR 1=1 TO N 380 PRINT U S I N G " ## ### ###.## M,M(I),H(I) 390 NEXT l:PRINT:PRINT 400 INPUT "¿Hay que hacer cambios (S/N)?",S$ 410 IF S$="N" OR S $ = V THEN GOTO 450 420 INPUT "¿Número (N) que se quiere cambiar?",NUM 430 INPUT "Nueva masa y nueva altura de agua(nueva

masa.nueva aftura)';M(NUM),H(NUM) 440 C L S : PRINT: PRINT: GOTO 360 450 F(LE$ = "C:"+REF$ 460 OPEN FILES FOR OUTPUT AS 1 4 7 0 W R I T E # 1 , N, N1

276

480 FOR I = 1 TO N 490 WRITE # 1 , M( l ) , H(l) 500NEXTI 5 1 0 C L O S E # 1 520 FILE$ = "C:"+REF$ 530 OPEN FILES FOR INPUT AS 1 540 INPUT #1,N,N1 550 FOR 1=1 TO N 560 INPUT #1,M(I),H(I) 570 NEXTI 580 CLOSE #1 590 REM Cálculo de los súmatenos 600 FOR I = 1 TO N1 610SH(0) = 0 620 SH(I) = SHÍJ-1) + H(l) 630 SY(0)= 0 640 SY(I) = SY(I-1) 4- M(I)/(H(I))"2 650 SCH(0)= 0 660 SCH(I)=SCH(I-1)+(H(I))"2 670 SYH(0)=0 680 SYH(I)=SYH(I-1)+M(I)/H(I) 690 NEXTI 700 REM Cálculo de los parámetros de la recta de regresión 710 OR1=((SY(N1))*(SCH(N1))-(SH(N1))*(SYH(N1)))/

(N1*(SCH(N1))-(SH(N1)) A2) 720 PE1=(N1*SYH{N1)-SH(N1)*SY(N1))/(N1*{SCH(N1))-(SH(N1))"2) 730 REM Cálculo de la recta de regresión de m sobre h 740 REM Nueva definición de las variables 750 FOR l=N1+1 TO N 760 H2(I-N1)=H(I) 770 M2{I-N1)=M(I) 7 8 0 N E X T I 790 N2=N-N1 800 REM Cálculo de los sumatorios 810 FOR 1=1 TO N2 820 SH2(0)=0 830 SH2(I)=SH2(I-1)+H2(I) 840 SY2(0)=0 850 SY2(I)=SY2(I-1)+M2(I) 860 SCH2(0)=0 870 SCH2(I)=SCH2{I-1)+(H2(I)) A2 880 SY2H2(0)=0 890 SY2H2(I)=SY2H2(I-1)+M2(I)*H2(I) 900 NEXTI 910 REM Cálculo de los parámetros de la recta de regresión 920 OR2=((SY2(N2))*(SCH2(N2))-(SH2(N2))*(SY2H2(N2)))/

(N2*SCH2(N2)-(SH2(N2)) A2)

277

930 PE2=(N2*SY2H2(N2)-SH2(N2)*SY2(N2))/(N2*SCH2(N2)- (SH2(N2)) A2) 940 OPEN "C:RESUL" FOR OUTPUT AS 2 950 PRINT #2,:PRINT #2, 960 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m/h A2 SOBRE h " 970 PRINT #2,AD$ : PRINT #2, 980AD$=" m/h A 2 h " 990 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1000 FOR 1=1 T O N 1 1010 PRINT #2, USING * ##.#### ';M(I)/H(I) A2,H(I)1020NEXTI 1030 PRINT #2, 1040 AD$=* ordenada pendiente " 1050 PRINT #2, AD$ 1060 PRINT #2,USING " # # . # # A A A A ";OR1,PE1 1070 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1080 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m SOBRE h ' 1090 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1100AD$=" m h " 1110 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1120 FOR l=N1 + 1 T O N 1130 PRINT #2,USING " tHHt Mtt.tt ";M(I),H(I) 1140 NEXTI 1150 PRINT #2, 1160 AD$=" ordenada pendiente ' 1170 PRINT #2,AD$ 1180 PRINT #2,USING " # # . # # A A A A # # . # # A A A A *;OR2,PE2 1190 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1200 CLOSE #2 1210END 1220 CLOSE #2 1230 EN D

277

930 PE2=(N2*SY2H2(N2)-SH2(N2)*SY2(N2))/(N2*SCH2(N2)- (SH2(N2)) A2) 940 OPEN "C:RESUL" FOR OUTPUT AS 2 950 PRINT #2,:PRINT #2, 960 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m/h A2 SOBRE h " 970 PRINT #2,AD$ : PRINT #2, 980AD$=" m/h A 2 h " 990 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1000 FOR 1=1 T O N 1 1010 PRINT #2, USING * ##.#### fHttt.tf ' ;M(I)/H(I) A2,H(I) 1020NEXTI 1030 PRINT #2, 1040 AD$=" ordenada pendiente " 1050 PRINT #2, AD$ 1060 PRINT #2,USING " ";OR1,PE11070 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1080 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m SOBRE h ' 1090 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1100AD$=" m h " 1110 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1120 FOR l=N1 + 1 T O N 1130 PRINT #2,USING " tHHt tHHt.tt ";M(I),H(I) 1140 NEXTI 1150 PRINT #2, 1160 AD$=" ordenada pendiente ' 1170 PRINT #2,AD$ 1180 PRINT #2,USING " # # . # # A A A A # # . # # A A A A *;OR2,PE2 1190 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1200 CLOSE #2 1210END 1220 CLOSE #2 1230 EN D

281

Cálculo de la pérdida de carga en un cono convergente

La pérdida de carga ( A h) que se produce en un cono convergente (Fig. A-2.1)

tiene dos sumandos : el debido al

rozamiento ( A h í ) y el correspon

diente a la separación de la capa

límite ( A / i 2 ) .

Fiq A - 2 . 1 . Cono convergente. . . . , , 3 La expresión general de la pér

dida de carga debida al rozamiento es la siguiente:

A f t , = x A h ' | ( A - 2 . 1 )

en la que " A h' t " es la pérdida de carga que se produce en un conducto cilindrico

de la misma longitud que el cono convergente y sección igual a la sección mayor, y

" x" viene dada por la expresión:

X ~ 4 ( n - l ) ( A 2 ' 2 )

en la que " rt"es el cociente entre el diámetro de entrada (D) y el de salida (d) .

La pérdida de carga que corresponde al despegue de la capa límite se calcula

a través del coeficiente de pérdida de carga, esto es:

v2

&h2 = K— ( A - 2 . 3 )

siendo " v " la velocidad media en la sección mayor del cono convergente y " K " el

coeficiente de pérdida de carga, cuyo valor se obtiene entrando en la tabla A-2.1 con

el valor de " n " y el del ángulo en el vértice (a ).

\ o í 1.15 1.25 1.50 1.75 2 2.5

6 0.006 0.018 0.085 0.23 0.5 1.5

8 0.009 0.028 0.138 0.373 0.791 2.42

10 0.012 0.04 0.20 0.53 1.05 3.4

15 0.022 0.07 0.034 0.934 1.98 6.07

Tabla A-2.1. Coeficiente de pérdida de carga por

separación de capa límite en un cono convergente.

285

BIBLIOGRAFIA

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2- BELDA VILLENA, E., "Mecánica, tomo primero". La Editorial Vizcaína, S.A., Bilbao, 1966.

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Me Graw-Hill Latinoamericana S.A., Bogotá, 1980. 5- DEGREMONT, S.A.E. de depuración de aguas, "Manual técnico del agua", 14»

Edición, Artes Gráficas Grijelmo, S.A., Bilbao, 1979. 6- FERNANDEZ CASADO, C, "Ingeniería hidráulica romana". Colegio de

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