Universidad Nacional Experimental del Tachira

Departamento de Matematica y Fısica

Asignatura: Matematica I Lapso 2013-1

DERIVADAS

(I) En los ejercicios 1 a 5 obtenga la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion en el

punto indicado.

(1) f(x) = 2x− x3; (−2, 4). Resp. y = −10x− 16.

(2) f(x) =4

x2; (4,−4). Resp. 8y = −x− 28.

(3) f(x) = 4x− x2; (1, 3). Resp. y = 2x+ 1.

(4) f(x) = 4x2 − 2x3; (1, 2). Resp. y = 2x.

(5) f(x) =√x ; (1, 1). Resp. 2y = x+ 1.

(II) En los ejercicios 6 a 11, empleando la definicion de derivada, calcule la derivada en el numero

indicado x0.

(6) f(x) = 1 + x− 2x2; x0 = −1. Resp. 5.

(7) f(x) =x

2x− 1; x0 = 0. Resp. −1.

(8) f(x) =2√3− x

; x0 = 1. Resp.√2/4

(9) f(x) =x√x+ 1

; x0 = 4. Resp. 3√5/25.

(10) f(x) = x√x2 + 1 ; x0 = 1. Resp. 3

√2/2.

(11) f(x) = xcos(x); x0 = π. Resp. −1.

(III) En los ejercicios 12 a 19, empleando la definicion de derivada determine la derivada de la

funcion. Deduzca el dominio de diferenciabilidad.

(12) f(x) = 5x+ 3. Resp. f ′(x) = 5; dom(f ′) = R.

(13) f(x) = 18. Resp. f ′(x) = 0; dom(f ′) = R.

(14) f(x) = x3 − x2 + 2x. Resp. f ′(x) = 3x2 − 2x+ 2; dom(f ′) = R.

(15) f(x) =√6− x . Resp. f ′(x) =

−1

2√6− x

; dom(f ′) = (−∞,−6).

(16) f(x) =√1 + 2x . Resp. f ′(x) =

1√1 + 2x

; dom(f ′) = (−1/2,∞).

(17) f(x) =x+ 1

x− 1. Resp. f ′(x) =

−2

(x− 1)2; dom(f ′) = R− {1}.

(18) f(x) =4− 3x

2 + x. Resp. f ′(x) = −10(x+ 2)−2; dom(f ′) = R− {−2}.

(19) f(x) =1√x− 1

. Resp. f ′(x) = −(x− 1)−3/2; dom(f ′) = (1,∞).

(IV) En los ejercicios 20 a 29, realice lo siguiente: (a) Determine si la funcion es continua en x0.

(b) Calcule las derivadas laterales f ′−(x0) y f ′

+(x0) si existen. (c) Determine si f ′(x0) existe, de

existir cual es el valor.

(20) f(x) =

x+ 2 si x ≤ −4;

−x− 6 si x > −4.x0 = −4. Resp. Si; f ′

−(−4) = 1; f ′+(−4) = −1; f ′(−4) ∄.

(21) f(x) =

−1 si x < 0;

x− 1 si x ≥ 0.x0 = 0. Resp. Si; f ′

−(0) = 0; f ′+(0) = 1; f ′(0) ∄.

(22) f(x) =

x2 si x ≤ 0;

−x2 si x > 0.x0 = 0. Resp. Si; f ′

−(0) = f ′+(0) = 0 = f ′(0).

(23) f(x) =

5− 6x si x ≤ 3;

−4− x2 si x > 3.x0 = 3. Resp. Si; f ′

−(3) = −6; f ′+(3) = 6; f ′(3) ∄.

(24) f(x) =

x− 2 si x < 0;

x2 si x ≥ 0.x0 = 0. Resp. No; f ′

−(0) = ∞; f ′+(0) = 0; f ′(0) ∄.

(25) f(x) =

1

xsi 0 < x < 2;

1− x

4si x ≥ 2.

x0 = 2. Resp. Si; f ′−(2) = f ′

+(2) = −1/4 = f ′(−4).

(26) f(x) =1

(x− 2)2; x0 = 2. Resp. No; f ′

−(2), f ′+(2), f

′(2) ∄.

(27) f(x) = |1− x2|; x0 = ±1. Resp. Si; f ′−(−1) = −2; f ′

+(−1) = 2; f ′(−1) ∄.

(28) f(x) = |x− 3| ; x0 = 3. Resp. Si; f ′−(3) = −1; f ′

+(3) = 1; f ′(3) ∄.

(29) f(x) = sign(x); x0 = 0. Resp. No; f ′−(0) = ∞; f ′

+(0) = ∞; f ′(0) ∄.

(V) En los ejercicios 30 a 34, determine si la funcion dada es derivable en el intervalo indicado.

30) f(x) =√x , [0, 1]; Resp. No.

31) f(x) =1− x

x+ 2, [−3, 0]; Resp. No.

32) g(x) =1√x− 1

, [2, 3]; Resp. Si.

33) h(x) =

1/x si 0 < x < 2

1− x/4 si x ≥ 2.; (0, 3]; Resp. Si.

34) g(x) = | x+ 1| , [−2,−1]; [−2, 0]; [−1, 0]. Resp. Si,No, Si.

(VI) En los ejercicios 35 a 40, se presentan las graficas de una funcion. Determine: f ′−(−1); f ′

+(−1);

f ′−(0); f ′

+(0); f ′−(1); f ′

+(1); ¿En que numeros la funcion no es diferenciable?. (Las graficas se

presentan en la siguiente pagina)

Resp. (35) 2; 1; 1;−1;−1; 1. no es diferenciable en: − 1; 0; 1.

(36) 0; 2;−∞;∞;−1; 2. no es diferenciable en: − 1; 0; 1.

(37) 1/2;−1/3;−∞;∞; 1/3; 1. no es diferenciable en: − 1; 0; 1.

(38) − 2; 1;−∞;−1;−1;∞. no es diferenciable en: − 1; 0; 1.

(39) − 2;−2; 0; 0;−2; 1. no es diferenciable en: 1.

(40) 2; 2; 0; 0; 3;∞. no es diferenciable en: 1.

(41) Suponga que a los t minutos, r(t) metros es el radio del flujo circular de petroleo que se derrama

por una fisura de un tanque, dado por r(t) =

4t2 + 20 si 0 ≤ t ≤ 2,

16t+ 4 si t > 2.

Determine si la funcion r(t) es diferenciable en t = 2. De ser ası, cual es el valor de f ′(2).

(42) Determine el valor de a y b tales que la funcion f sea diferenciable en x0.

(a) f(x) =

x2 si x < 1;

ax+ b si x ≥ 1;x0 = 1. (b) f(x) =

ax+ b si x < 2;

2x2 − 1 si x ≥ 2;x0 = 2.

(43) ¿Es posible que una funcion sea diferenciable en un numero y no sea continua en ese numero?.

Si la respuesta es si de un ejemplo. Si es no, establezca la(s) razon(es).

(44) ¿Es posible que una funcion sea continua en un numero y no sea diferenciable en ese numero?.

Si la respuesta es si de un ejemplo. Si es no, establezca la(s) razon(es).

(45) ¿Para que valores de x la funcion f(x) = x|x| es diferenciable?. Deduzca una formula de f ′(x).

(46) ¿Para que valores de x la funcion f(x) =q

xy

es diferenciable?. Deduzca una formula de f ′(x).

(47) Determine si f ′(0) existe o no.

(i) f(x) =

x sen(

1/x)

si x 6= 0;

0 si x = 0;(b) f(x) =

x2sen(

1/x)

si x 6= 0;

0 si x = 0;

(VII) Determine si la funcion dada es derivable en el intervalo indicado.

48) f(x) =√x , [0, 1]; 49) g(x) =

1− x

x+ 2, [−3, 0];

49) h(x) =1√

x− 1, [2, 3]; 50) f(x) = |x+ 1|, [−2,−1], [−2, 0], (−1, 0].

51) f(x) =

1/x, si 0 < x < 2,

1− x/4 , si x ≥ 2;[0, 3];

(VIII) Halle la derivada de las siguientes funciones. Las letras a, b, c y d son constantes.

(52) y = 4x2 − 6x+ 1. (53) y = 1− x

3+

x6

6.

(54) y = 0, 5x4 − 0, 3x2 + 2, 5x. (55) u = v10 − 3v8

4+ 0, 4v3 + 0, 1.

(56) s = 2t−5 +t3

3− 0, 3t−2. (57) z = 2 +

1

3y− 3

y2.

(58) f (x) = 3x56 − 10− 4x− 2

3 . (59) g (x) = ax5 − bx−4 + d+ cx32 .

(60) y =−2 x6

3a. (61) z =

x3

a+ b+

x5

a− b− x.

(62) z =t3 − bt2 − 3

6. (63) y = 4

√x+

√3− 3

2 x2.

(64) z =3√t− 1

3√t. (65) u =

√3

2√x+

3√3− 5

33√x2

.

(66) y = (5x4 − 4x5) (3x2 + 2x3) . (67) y = x3 ex.

(68) y =√x ex. (69) y = xe + ex.

(70) y = (x− 1) (x− 2) (x− 3) . (71) y =1

3

(

2 x3 − 1) (

3 x2 − 2)

(6x− 5) .

(72) z =√t (t4 − 1) (t6 − 2) . (73) y = (

√x− 1) (

√x+ 1)

(74) u = 2√x(√

5−√x+ x2

)

. (75) y = (√x− 3)

(

2x− 1

)

(76) y =3

x− 9. (77) y =

x

x− 8

(78) y =x+ 3

x− 3. (79) z =

t

t2 + 1

(80) u =2t3 + 1

t− 1. (81) y =

x3 − 2x

x2 + x+ 1

(82) y =ax2 + bx+ c

x. (83) y =

ax2 + bx+ c√x

(84) y =ax2 + b√a2 + b2

. (85) y =x2 + 1

x2 − 1− (x− 1)

(

x2 − 1)

(86) y =1

(x− 1) (x− 3). (87) y =

1−√x

1 + 2√x

(88) y =1− 3

√x

1 + 3√x. (89) y =

ex − 1

ex + 1

(90) f (x) = 5 sen(x) + 2 cos(x). (91) g (θ) = θ cot(θ)

(92) y = tg(α) sen(α). (93) y = tg(x)− cot(x)

(94) h (t) =sen(t)

1 + cos(t). (95) f (x) =

tg(x)

x

(96) g (x) =1− cos(x)

1 + cos(x). (97) y =

sen(t) + cos(t)

sen(t)− cos(t)

(98) y =tg(x)− 1

sec(x). (99) y =

(

1

2

)x

(100) y = x2 2x. (101) y = x2 e−x.

(102) y = ex ln(x). (103) y = 2x log2(x)

(104) y =ln(x)

ex. (105) y =

log2(x)

2x.

(106) y =1 + ln(x)

1− ln(x). (107) y = (x2 − 3x+ 5)

3.

(108) f (x) = (15− 8x)4 . (109) g (t) = (2t3 − 1)−3

(110) z =1

(5x5 − x4)8. (111) y = (3x2 − 8)

3(−4x2 + 1)

4

(112) f (u) =2u3 + 1

u2 − 1. (113) y =

(

x− 1

x+ 3

)2

(114) g (t) =

(

3t2 + 2

2t3 − 1

)2

. (115) y =√1− 2x

(116) u =√1 + t− 2t2 − 8t3. (117) h (x) = x2

√x4 − 1

(118) g (x) =x√

x2 + 1. (119) y =

√3x2 − 1 3

√2x+ 1

(120) z = (1− 3x2)2(√x+ 1)

−2. (121) h (t) =

1 + t√1− t

(122) z = 3

√

1

1 + t2. (123) z = 3

√b+ ax3 .

(124) f (x) =x

b2√b2 + x2

. (125) y =1−

√1 + x

1 +√1 + x

(126) y = 3√

x+√x . (127)

√

x+√

x+√x .

(128) y = tg(4x) (129) y = 2 cot(x

2

)

(130) u = cos (x3) (131) v = cos3(x)

(132) y = tg (x4) + tg4(x) (133) z = cos√x

(134) u =√

cos(x) (135) y =√

cos(√x )

(136) y = 3√

tg(3x) (137) y = cot 3√1 + x2

(138) y =4

√

sec(x)(139) y = csc

(

1

x2

)

(140) y = sen3

(

1−√x

1 +√x

)

(141) y =tg(x)

√

1 + sec2(x)

(142) y =

√

1 + sen(x)

1− sen(x)(143) y =

√

1 + cot

(

x+1

x

)

(144) y =cot

(

x2

)

√

1− cot2(x

2

)

(145) y =√

a sen2(x) + b cos2(x)

(146) y = cos (cos(x)) (147) y = sen (cos(x2))

(148) y = sen2 (cos(4x)) (149) y = sen (sen (sen(x))) .

(150) y = cos2 (cos(x)) + sen2 (sen(x)) (151) y = tg (sen2(x)) .

(152) y = sen(

tg(

√

sen(x)))

(153) y = e−3x2+1 (154) y = 2√x

(155) y = xna−x2(156) y = 3cot(1/t)

(157) y = 23sen2(x)

(158) y =√

log5(x)

(159) y = ln( x

ex

)

(160) y =ln(t)

e2t.

(161) y = ln

(

e4x − 1

e4x + 1

)

(162) y = ex ln(x)

(163) y = ln

(

x+ 1√x− 2

)

(164) y = ln

(

x+ 1

x− 1

)

3

5

(165) y = ln (x3 sen(x)) (166) y = ln

[

cos

(

x− 1

x

)]

(167) y = arccos

(

1− x√2

)

(168) y = x arcsen

√

x

1 + x+ arctg

√x−√

x

(169) y = arctg

(

senx+ cos(x)

sen(x)− cos(x)

)

(170) y = ln

(

arccos

(

1√x

))

(171) y = arctg√x2 − 1− ln(x)√

x2 − 1(172) y = arctg

(

x

1 +√1− x2

)

(173) y = arccot

(

a− 2x

2√ax− x2

)

, (a > 0) .

Resp. VIII)

(52) y′ = 8x− 6.

(53) y′ = x5 − 13.

(54) y′ = 2x3 − 35x+ 5

2.

(55) u′ = 10v9 − 6v7 + 65v2.

(56) s′ = −10t6

+ t2 + 35t3

.

(57) z′ = 6y3

− 13y2

.

(58) f ′(x) = 52 6√x

+ 8

3x3√x2.

(59) g′(x) = 5ax4 + 4bx5 +

32

√x.

(60) y′ = −4x5

a.

(61) z′ = 3x2

a+b+ 5x4

a−b− 1.

(62) z′ = 3t2−2bt6

.

(63) y′ = 2√x+ 3

x3 .

(64) z′ = 13

[

13√t2+ 1

t 3√t

]

.

(65) u′ = 1x

[

10

93√x2

−√3

4√x

]

.

(66) y′ = −64x7 − 14x6 + 90x5.

(67) y′ = x2ex(3 + x).

(68) y′ =√xex

[

2x+12x

]

.

(69) y′ = exe−1 + ex.

(70) y′ = 3x2 − 12x+ 11.

(71) y′ = 72x5 − 50x4 − 32x3 + 2x2 + 10x+ 4.

(72) z′ =√t

[

21t9

2− 13t

5

2− 9t3 + 1

t

]

.

(73) y′ = 1.

(74) u′ =√5√x+ 5x

√x− 2.

(75) y′ = 6x2 − 1

x√x− 1

2√x.

(76) y′ = −3(x−9)2

.

(77) y′ = −8(x−8)2

.

(78) y′ = −6(x−3)2

.

(79) z′ = 1−t2

(t2+1)2.

(80) u′ = 4t3−6t2−1(t−1)2

.

(81) y′ = x4+2x3+5x2−2(x2+x+1)2

.

(82) y′ = a− cx2 .

(83) y′ = 12√x

[

3ax+ b− cx

]

.

(84) y′ = 2ax√a2+b2

.

(85) y′ = −4x(x2−1)2

− (3x2 − 2x− 1).

(86) y′ = 2(x−1)2(x−3)2

.

(87) y′ = −32√x(1+2

√x)2

.

(88) y′ = −2

33√x2(1+ 3

√x)2

.

(89) y′ = 2ex

(ex+1)2.

(90) f ′(x) = 5 cos(x)− 2sen(x).

(91) g′(θ) = cotx− θ csc2 θ.

(92) y′ = senα[sen2α+ 1].

(93) y′ = sec2 x+ csc2 x.

(94) h′(t) = 11+cos t

.

(95) f ′(x) = x sec2 x−tanxx2 .

(96) g′(x) = 2senx[1+cos x]2

.

(97) y′ = −2(sent−cos t)2

.

(98) y′ = sec x− sen2xcos x

+ senx.

(99) y′ = − ln 2(

12

)x.

(100) y′ = x2x(2 + x ln 2).

(101) y′ = −x(x−2)ex

.

(102) y′ = ex[

ln x+ 1x

]

.

(103) y′ = 2x[

ln x+ 1x ln 2

]

.

(104) y′ = 1−ln(xx)xex

.

(105) y′ = 1−ln(2x) lnxln 2x

.

(106) y′ = 2x[1−lnx]2

.

(107) y′ = 3(x2 − 3x+ 5)2(2x− 3).

(108) f ′(x) = −32(15− 8x)3.

(109) g′(t) = −18t2

(2t3−1)4.

(110) z′ = −8x3(25x−4)(5x5−x4)9

.

(111) y′ = 2x(3x2 − 8)2(−4x2 + 1)3(137 − 84x2).

(112) f ′(u) = 2u(u3−3u−1)(u2−1)2

.

(113) y′ = 8(x−1)(x+3)3

.

(114) g′(t) = −12t(3t2+2)(t3+2t+1)(2t3−1)3

.

(115) y′ = −1√1−2x

.

(116) w′ = 1−4t−24t2

2√1+t−2t2−8t3

.

(117) h′(x) = 2x(2x3−1)√x4−1

.

(118) g′(x) = 1(x2+1)3/2

.

(119) y′ = 3x 3√2x+1√

3x2−1+ 2

√3x2−1

3 3√

(2x2+1)2.

(120) z′ = −12x(1− 3x2)(√x+ 1)−2 − (1−3x2)(

√x+1)−3

√x

.

(121) h′(t) = 3−t2(1−t)3/2

.

(122) z′ = −2t

(1+t2) 3√1+t2.

(123) z′ = ax2

3√

(b+ax3)2.

(124) f ′(x) = 1(b2+x2)3/2

.

(125) y′ = −1√1+x(1+

√1+x)2

.

(126) y′ = 1

3 3√

(x+√x)2

(

1 + 12√x

)

.

(127) y′ =4√x√

x+√x+2

√x+1

8√x√

x+√x

√

x+√

x+√x

.

(128) y′ = 4 sec2(4x).

(129) y′ = − csc2(x2).

(130) u′ = −3x2senx3.

(131) v′ = −3 cos2 xsenx.

(132) y′ = 4x3 sec2(x4) + 4tg3x sec2 x.

(133) z′ = −sen√x

2√x

.

(134) u′ = − −senx2√cos x

.

(135) y′ = −sen√x

4√x√

cos√x.

(136) y′ = sec2 3x3√

tg3x.

(137) y′ = −2x csc2( 3√1+x2)

3 3√

(1+x2)2.

(138) y′ = −2tgx√sec x

.

(139) y′ = 2x3 csc

(

1x2

)

cot(

1x2

)

.

(140) y′ = −3√x(1+

√x)2

sin2(

1−√x

1+√x

)

.

(141) y′ = 2 sec2 x(1+sec2 x)3/2

.

(142) y′ = 11−senx

.

(143) y′ =csc2(x+ 1

x)[1−x2]

2x2√

1+cot(x+ 1x).

(144) y′ = − csc2(x/2)

2[1−cot2(x/2)]3/2.

(145) y′ = (1−b)sen2x

2√asen2x+b cos2 x

.

(146) y′ = senxsen cos x.

(147) y′ = −2xsen(x2) cos(cosx2).

(148) y′ = −4sen4xsen(2 cos 4x).

(149) y′ = cos(sensenx) cos(senx) cosx.

(150) y′ = senxsen(2 cosx) + cosxsen(2senx).

(151) y′ = sen2x sec2(sen2x).

(152) y′ = cos(tg√senx) sec2(

√senx) cos x

2√senx

.

(153) y′ = −6xe−3x2+1.

(154) y′ = ln(2)2√

x

2√x

.

(155) y′ = xn−1a−x2

[n− 2 ln(a)x2].

(156) y′ = csc2(1/t)3cot(1/t)

t2.

(157) y′ = sen(2x)23sen2x

.

(158) y′ = 1

10x√

log5 x.

(159) y′ = 1x− 1.

(160) y′ = 1−ln(t2t)te2t

.

(161) y′ = 8e4x

e8x−1.

(162) y′ = [1 + ln x]ex lnx.

(163) y′ = x−52(x+1)(x−2)

.

(164) y′ = −65(x2−1)

.

(165) y′ = 3x+ cot x.

(166) y′ =−tg(x−1

x )x2 .

(167) y′ = 1√1+2x−x2 .

(168) y′ = arcsen√

x1+x

.

(169) y′ = −1.

(170) y′ = 1

2x√x−1 arc cos

(

1√x

) .

(171) y′ = x lnx(x2−1)3/2

.

(172) y′ = 12√1−x2 .

(173) y′ = 1√ax−x2 .

(IX) En las siguientes funciones halle los valores de x para los cuales f ′(x) = 0 o f ′(x) no existe.

(174) f (x) = 3√x2 − 2x . (175) f (x) = x3

3− 4x2 + 12x+ 3

(176) f (x) = 3− 3√

(x− 3)2. (177) f (x) = x+ 1

x

(178) f (x) = 9x e−x. (179) f (x) = 4x3e−x

(180) y =1

x− 1. (181) y =

3x

1− x

(182) f (x) = 2sen(x)− sen(2x).

Resp. IX):

(174) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.

(175) x1 = 2, x2 = 6.

(176) x = 3.

(177) x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1.

(178) x = 1.

(179) x1 = 0, x2 = 3.

(180) x = 1.

(181) x = 1.

(182){

x1 y x2 ∈ R : x1 = 2nπ y x2 = (6n± 2)π3, n ∈ Z

}

.

(X) En los siguientes problemas encuentred3 y

dx3.

(183) y = x3 + 2x2 + 6x. (184) y = x5 + x4

(185) y = (3x+ 5)3. (186) y = (3− 5x)5

(187) y = sen(7x). (188) y = sen(x3)

(189) y =1

x− 1. (190) y =

3x

1− x

(191) y = e3x. (192) y = arctg(x).

Resp. X):

(183) d3ydx3 = 6.

(184) d3ydx3 = 60x2 + 24x.

(185) d3ydx3 = 48.

(186) d3ydx3 = −7500(3− 5x)2.

(187) d3ydx3 = −343 cos(7x).

(188) d3ydx3 = −27x4 cos(x3) − 54x3sen(x3) +

6 cos(x3).

(189) d3ydx3 = −6

(x−1)4.

(190) d3ydx3 = 18(1− x)−4.

(191) d3ydx3 = 27e3x.

(192) d3ydx3 = 7x2−1

(1+x2)3.

(XI) En los siguientes problemas determine f ′′(2).

(193) f(x) = x2 + 1; (194) f(x) = 5x3 + 2x2 + x; (195) f(t) = 2/t;

(196) f(u) =2u2

5− u; (197) f(θ) =

(

cos(πθ))−2

; (198) f(t) = tsen(π/t);

(199) f(s) = s(1− s2)3; (200) f(x) =(x+ 1)2

x− 1.

Resp. XI):

(193) f ′′(2) = 2.

(194) f ′′(2) = 64.

(195) f ′′(2) = 12.

(196) f ′′(2) = 10027.

(197) f ′′(2) = 2π2.

(198) f ′′(2) = −π2

8.

(199) f ′′(2) = −684.

(200) f ′′(2) = 200.

(201) Determine una formula para Dnx

(

an−1xn−1+· · ·+a1x+a0

)

. Sin realizar calculo alguno encuentre

la derivada D4x

(

3x3 + 2x− 19)

y D11x

(

(

x2 − 3)5)

.

Resp. (201): Dnxf = an−1(n− 1)(n− 2) · · · (n− n)xn−(n+1) + . . . = 0.

a) D4x(3x

3 + 2x− 19) = 0.

b) D11x (x2 − 3)5 = 0.

(202) Encuentre una formula para: (a) y(n) cuando y = eax. (b) Dnx

(1

x

)

.

Resp. (202):

(a) y(n) = aneax. (b) Dnx(

1x) = (−1)n+2n!

xn+1 .

(XII) Determine la derivada indicada en cada funcion.

(203) y(10) si y = sen(x); (204) y(4) si y = x2 ln(x);

(205) y(5) si y = ln(x+ 1); (206) y(4) si y = ex cos(x);

(207) y(4) si y = cos(3x); (208) y(5) si y =ln(x)

x.

Resp. XII):

(203) y(10) = −sen(x).

(204) y(4) = −2x−2.

(205) y(5) = 24(x+ 1)−5.

(206) y(4) = −4ex cos(x).

(207) y(4) = 81 cos(3x).

(208) y(5) = 274−120 ln(x)x6 .

(XIII) Obtenga la derivada de la funcion, siguiendo las indicaciones. (a) Obteniendo primero explıcita-

mente la funcion y = f(x) y derivando directamente. (b) derivando implıcitamente la expresion

dada.

(209) 3x+ 8y − xy = 1; (210) xe2y+1 + 1− x = 0;

(211) tg(xy) + x = 2; (212) xsen(y) + 3− x2 = 0.

Resp. XIII):

(209) y′ = −23(8−x)2

.

(210) y′ = 12(x−1)

.

(211) y′ = −1x sec2(tg−1(2−x))

− tg−1(2−x)x2 .

(212) y′ = x2+3

x2 cos(

sen−1(x2−3x

)) .

(XIV) Suponiendo que en los siguientes ejercicios cada ecuacion define una funcion derivable de x.

Encuentre Dxy por medio de la derivacion implıcita.

(213) y2 − x2 = 1; (214) 9x2 + 4y2 = 36; (215) x3 + y3 = 8xy;

(216) x2 + y2 = 7xy; (217)1

x+

1

y= 1; (218)

3

x− 3

y= 2x;

(219)√

5xy + 2y = y2 + xy3; (220) x√

y + 1 = xy + 1; (221) xy + sen(xy) = 1;

(222) cos(xy2) = y2 + x; (223) sec2(x) + csc2(y) = 4; (224) ctg(xy) + xy = 0;

(225) xsen(y) + y cos(x) = 1; (226) cos(x+ y) = ysen(x); (227) exy + x2 − y2 = 1;

(228) ln(1 +√

x2 + y2 )− x+ y = 0.

Resp. XIV):

(213) y′ = xy.

(214) y′ = −94y.

(215) y′ = 3x2−8y8x−3y2

.

(216) y′ = 2x−7y7x−2y

.

(217) y′ = −y2

x2 .

(218) y′ = y2

x2 .

(219) y′ = y3−5y5x+2

√5xy−2y

√5xy−3xy2

√5xy

.

(220) y′ = 2√y+1(y−√

y+1)x−2x

√y+1

.

(221) y′ = −y

x.

(222) y′ = −(1+y2sen(xy2))2y(xsen(xy2)+1)

.

(223) y′ = sen(x)sen3(y)cos(y) cos3(x) .

(224) y′ = y(csc2(xy)−1)x(1−csc2(xy)) .

(225) y′ = ysen(x)−sen(y)x cos(y)+cos(x) .

(226) y′ = −sen(x+y)−y cos(x)sen(x)+sen(x+y)

.

(227) y′ = −yexy−2xxexy−2y .

(228) y′ =√

x2+y2+x2+y2−x√x2+y2+y+x2+y2

.

(XV) Encuentre la derivada en el punto indicado.

(229) x3y + y3x = 30, (1, 3); (230) sen(xy) = y, (π/2 , 1);

(231) y + cos(xy2) + 3x2 = 4, (1, 0); (232) arc tg(x+ y) + y = π/4, (1, 0);

(233) arctg(x− y) + x+ y = π/4, (1, 0).

Resp. XV):

(229) y′(1, 3) = −97.

(230) y′(π/2, 1) = 0.

(231) y′(1, 0) = −6.

(232) y′(1, 0) = −13.

(233) y′(1, 0) = −3.

(234) Suponga que xy + y3 = 2. Derivando implıcitamente dos veces respecto de x se obtiene:

(a) xy′ + y + 3y2y′ = 0.

(b) xy′′ + 2y′ + 3y2y′′ + 6y(y′)2 = 0.

Despeje y′ de (a) y sustituya en (b), finalmente despeje y′′.

(235) Determine y′′ si x3 − 4y2 + 3 = 0.

(236) Determine y′′ en el punto (2, 1) si 2x2y − 4y3 = 4.

(237) Determine y′′ en el punto (3, 4) si x2 + y2 = 25.

Resp.

(234) y′′ = 2y(x+3y2)−6y3

(x+3y2)3.

(235) y′′ = 48xy2−9x4

64y3.

(236) y′′(2, 1) = −15.

(237) y′′(3, 4) = −2564

.

(XVI) En los siguientes problemas encontrar dy/dx por medio de la derivacion logarıtmica.

(238) y =x+ 11√x3 − 4

; (239) y = (x2 + 3x)(x− 2)(x2 + 1);

(240) y =

√x+ 13

(x− 4) 3√2x+ 1

; (241) y =(x2 + 3)2/3(3x+ 2)2√

x+ 1;

(242) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6; (243) y =√x ex

2(x2 + 1)10;

(244) y =sen2(x) tg4(x)

(x2 + 1)2; (245) y = 4

√

x2 + 1

x2 − 1;

(246) y = xx; (247) y = xcos(x); (248) y = xsen(x);

(249) y = (√x )x; (250) y = cosx(x); (251) y =

(

sen(x))ln(x)

;

(252) y =(

tg(x))1/x

; (253) y =(

ln(x))cos(x)

.

Resp. XVI):

(238) y′ =(

1x+11

− 3x2

2(x3−4)

)

x+11√x3−4

.

(239) y′ =(

2x+3x2+3x

+ 1x−2

+ 2xx2+1

)

(x2 + 3x)(x− 2)(x2 + 1).

(240) y′ =(

12(x+13)

− 1x−4

− 23(2x+1)

) √x+13

(x−4) 3√2x+1.

(241) y′ =(

4x3(x2+3)

+ 63x+2

− 12(x+1)

)

(x2+3)2/3(3x+2)2√x+1

.

(242) y′ =(

102x+1

+ 24x3

x4−3

)

(2x+ 1)5(x4 − 3)6.

(243) y′ =(

4x2+4x4+12x(x2+1)

)√xex

2(x2 + 1)10.

(244) y′ =(

2 cot(x)− 4 sec x csc x− 4xx2+1

)

sin2 x tan4 x(x2+1)2

.

(245) y′ = 14

(

−4x(x2+1)(x2−1)

)

4

√

x2+1x2−1

.

(246) y′ = (1 + ln x)xx.

(247) y′ =(

cos xx

− sen(x) ln(x))

xcos(x).

(248) y′ =(

sen(x)x

+ cos(x) ln(x))

xsen(x).

(249) y′ = 12(1 + ln(x))

√xx.

(250) y′ = (−xtg(x) + ln(cos(x))) cosx x.

(251) y′ =(

ln(x) cot(x) + ln sen(x)x

)

(senx)lnx.

(252) y′ =(

2xsen(2x)

− ln tgxx2

)

(tgx)1/x.

(253) y′ =(

cos xx lnx

− senx(ln(ln x)))

(lnx)cos x.

BIBLIOGRAFIA

(1) Demidovich B. P., “5000 Problemas de Analisis Matematico”, Paraninfo, S.A, Madrid.

(2) Leithold L., “El Calculo”, 7ma Edicion, Oxford University Press.

(3) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., “Calculo”, 9na Edicion, Pearson-Educacion.

(4) Saenz J., “Calculo Diferencial con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencia e Inge-

nierıa”, 2da Edicion, Hipotenusa, Barquisimeto-Lara-Venezuela.

(5) Stewart J., “Calculus”, Sexta Edicion, Thompson Brooks/Cole.

Universidad Nacional Experimental del Tachira

Decanato de Docencia - Dpto. de Matematica y Fısica

Matematica I Lapso 2013-1

Reglas de Derivacion

(A) Regla para la Suma. Si f, g son funciones derivables entonces f + g es derivable y[f(x) + g(x)

]′= f ′(x) + g′(x)

De manera general, si f1, f2, · · · , fn son funciones derivables entonces f1 + f2 + · · · + fn

es derivable y[f1(x) + f2(x) + · · ·+ fn(x)

]′= f ′1(x) + f ′2(x) + · · ·+ f ′n(x).

(B) Regla para el Producto. Si f, g son funciones derivables entonces f · g es derivable y[f(x) · g(x)

]′= f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

De esta regla obtenemos que si α ∈ R y f es una funcion derivable, entonces α · f es

derivable y[αf(x)

]′= α · f ′(x).

(C) Regla para el Cociente. Si f, g son funciones derivables y g 6= 0 entonces f/g es

derivable y [f(x)

g(x)

]′=f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)[

g(x)]2

(D) Regla de la Cadena. Si f, g son funciones derivables entonces f ◦ g es derivable y[(f ◦ g

)(x)]′

=[f(g(x)

)]′= f ′

(g(x)

)· g′(x)

Tablas de Derivadas

f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)

1) α, α ∈ R 0 10) ctg(x) −csc2(x)

2) xn, n ∈ R nxn−1 11) sec(x) sec(x)tg(x)

3) ex ex 12) csc(x) − csc(x)ctg(x)

4) ax, a > 0 ax ln(a) 13) arcsen(x)1√

1− x2

5) ln(x)1

x14) arccos(x)

−1√1− x2

6) lga(x), a > 0, a 6= 11

x ln(a)15) arctg(x)

1

1 + x2

7) sen(x) cos(x) 16) arcctg(x)−1

1 + x2

8) cos(x) −sen(x) 17) arcsec(x)1

x√x2 − 1

9) tg(x) sec2(x) 18) arccsc(x)−1

x√x2 − 1

Tablas de Derivadas - Funciones Compuestas

h(x) =(g ◦ f

)(x) h′(x) h(x) =

(g ◦ f

)(x) h′(x)

1) α, α ∈ R 0 10) ctg(f(x)) −csc2(f(x))f ′(x)

2)(f(x)

)n, n ∈ R n(f(x))n−1f ′(x) 11) sec(f(x)) sec(f(x))tg(f(x))f ′(x)

3) ef(x) ef(x)f ′(x) 12) csc(f(x)) −csc(f(x))ctg(f(x))f ′(x)

4) af(x), a > 0 af(x) ln(a)f ′(x) 13) arcsen(f(x))f ′(x)√

1− (f(x))2

5) ln(f(x))f ′(x)

f(x)14) arccos(f(x))

−f ′(x)√1− (f(x))2

6) lga(f(x)), a > 0, a 6= 1f ′(x)

f(x) ln(a)15) arctg(f(x))

f ′(x)

1 + (f(x))2

7) sen(f(x)) cos(f(x))f ′(x) 16) arcctg(f(x))−f ′(x)

1 + (f(x))2

8) cos(f(x)) −sen(f(x))f ′(x) 17) arcsec(f(x))f ′(x)

f(x)√

(f(x))2 − 1

9) tg(f(x)) sec2(f(x))f ′(x) 18) arccsc(f(x))−f ′(x)

f(x)√

(f(x))2 − 1