Departamento de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales I- 2009
Taller Nº 8
Tema: Transformada de Laplace, Transformada de Laplace Inversa, Problemas de valores iniciales
Objetivos:
Utilizar la definición para calcular la transformada de Laplace o calcularla mediante tablas,
además determinar las transformadas inversas.
Utilizar la transformada de Laplace de derivadas e integrales para aplicar éstas en la solución
de ecuaciones diferenciales.
Ejercicios:
1. Determine ℒ 𝑓 𝑡
a. 𝑓 𝑡 = −1, 0 ≤ 𝑡 < 1
1, 𝑡 ≥ 1
b. 𝑓 𝑡 = 2𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 < 1
0, 𝑡 ≥ 1
c. 𝑓 𝑡 = 𝑡 cos 𝑡
d. 𝑓 𝑡 = 𝑡2𝑒−2𝑡
e. 𝑓 𝑡 = 1 + 𝑒2𝑡 2
f. 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 sinh 𝑡
g. 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑡 cosh 𝑡
2. En la solución de la ecuación de Bessel, se usa la función gamma. Una definición de esa
función es la integral impropia
Γ 𝛼 = 𝑡𝛼−1𝑒−𝑡𝑑𝑡∞
0
, 𝛼 > 0
a. Compruebe que Γ 𝛼 + 1 = 𝛼Γ 𝛼
b. Compruebe que ℒ 𝑡𝛼 =Γ 𝛼+1
𝑠𝛼+1 , 𝛼 > −1
3. Aproveche que Γ 1
2 = 𝜋 para determinar la transformada de Laplace de
a. 𝑓 𝑡 = 𝑡−1
2
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
b. 𝑓 𝑡 = 𝑡1
2
c. 𝑓 𝑡 = 𝑡3
2
4. Realice la gráfica de 𝑓(𝑡) de cada una de las funciones:
a. 𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑎
b. 𝑓 𝑡 − 𝑏 𝜇 𝑡 − 𝑏
c. 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑎
d. 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑎 − 𝑓 𝑡 𝜇 𝑡 − 𝑏
e. 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝜇(𝑡 − 𝑎)- 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝜇(𝑡 − 𝑏)
5. Encuentre ℒ−1 F(s) donde F(s) está dada por:
a. 1
𝑠+3 𝑠+7
b. 2𝑠2+4𝑠+9
𝑠+2 𝑠2+3𝑠+3
c. 1
𝑠+1 𝑠+2 𝑠2+2𝑠+10
d. 3𝑠
𝑠−1 𝑠2− 4
e. 𝑠+7
𝑠2+4𝑠+5
f. 3𝑠2−7𝑠+5
𝑠−1 𝑠−2 (𝑠−3)
BIBLIOGRAFÍA
1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley. 2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey. 3. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas. Coordinadora : Mireya García , [email protected] , garmireya.googlepages.com
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org
www.klasesdematematicasymas.com Ing. Oscar Restrepo
www.klasesdematematicasymas.com www.fundacionsire.org