Clase No. 19:
Integrales impropiasMAT–251
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Integrandos con singularidades (I)
• Cuando el integrando o alguna de sus derivadas de bajo orden tienenuna singularidad en un punto dentro o cerca del intervalo deintegración, las fórmulas de cuadratura convencionales no tienen biendesempeño.
• Si sabemos donde están las singularidades, podemos hacer unapartición, de modo que la singularidad ocurra en alguno de los extremosde los subintervalos.
Si f tiene una singularidad en x = a, entonces
∫ b
af (x)dx = lim
r→a
∫ b
rf (x)dx
Podemos calcular la integral
∫ b
rf (x)dx numéricamente, para algún r > a.
Pero, de antemano no sabemos que valor de r usar.
Un criterio práctico (que puede no ser correcto) es
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Integrandos con singularidades (II)
∫ b
af (x)dx ≈
∫ b
r1
f (x)dx+m∑
n=1
∫ rn
rn+1
f (x)dx (1)
para rn = a+ b−a2n y podemos escoger m tal que
�
�
�
�
�
∫ rm
rm−1
f (x)dx
�
�
�
�
�
< ε
Ejemplo. Queremos calcular numéricamente
∫ 1
0
dxpx
= lima→0
∫ 1
ax−1/2 dx = lim
a→02px�
�
1a
= lima→0
(2−pa) = 2.
Usamos cuadratura Gaussiana para calcular cada una de las integrales en(1).
Núm. de nodos por integral m Aproximación3 79 1.99998343545 79 1.99999998857 79 2.0000000000
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Integrandos con singularidades (III)
Es mejor ver si podemos truncar el intervalo de integración: Si�
�
�
�
�
∫ r
af (x)dx
�
�
�
�
�
< ε, entonces podemos hacer
∫ b
af (x)dx ≈
∫ b
rf (x)dx
Ejemplo. Supongamos que g es continua en [0,1] y |g(x)| ≤ 1. Queremoscalcular
∫ 1
0
g(x)
x1/2 + x1/3dx
Se puede ver que�
�
�
�
�
∫ r
0
g(x)
x1/2 + x1/3dx
�
�
�
�
�
≤1
2
∫ r
0x−1/2dx = r1/2.
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Integrandos con singularidades (IV)
Entonces podemos escoger r suficientemente pequeño para aproximar laintegral.Ejemplo. La integral
∫ 1
0
dxpx
= 2.
tenemos que∫ r
0
dxpx
= 2pr.
Si elegimos r = 2−40, entonces 2pr ≈ 0.000002 y usando cuadratura
Gaussiana tenemos
Nodos r Aproximación10 9.094947e-13 1.924277783620 9.094947e-13 1.957525544330 9.094947e-13 1.971452246550 9.094947e-13 1.9827584931
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Otras alternativas
Una opción es hacer un cambio de variable que ayude a remover lasingularidad.
Ejemplo. Para calcular∫ 1
0
expxdx
podemos hacer x = t2, de modo que ahora tendríamos que calcular
2
∫ 1
0et
2dx.
Otra posibilidad es usar integración por partes
∫ 1
0
expxdx = 2x1/2ex
�
�
�
1
0− 2
∫ 1
0x1/2ex dx
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Fórmulas basadas en interpolación (I)
Supongamos que w(x) es una función con una singularidad en x = 0, peroexiste
∫ 1
0w(x)xk dx, para k = 0,1, ...,n.
Queremos usar una fórmula de la forma∫ 1
0w(x)f (x)dx ≈
n∑
i=0
wif (xi)
con 0 ≤ x0 < x1 < ... < xn = 1. Si pedimos que la fórmula sea exacta cuandof es un polinomio de grado a lo más n entonces podemos determinar losvalores wi.
Ejemplo. Calcular∫ 2h
0x−1/2f (x)dx
Tomamos como nodos a 0,h,2h.Para determinar los pesos, tomamos como f a los monomios 1,x,x2:
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Fórmulas basadas en interpolación (II)
∫ 2h
0x−1/2 dx = 2 = w0 +w1 +w2
∫ 2h
0x−1/2xdx =
2
3=
1
2w1 +w2
∫ 2h
0x−1/2x2 dx =
2
5=
1
4w1 +w2
De aquí que
w0 =12
15, w1 =
16
15, w2 =
2
15.
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¿ Y si ignoramos la singularidad? (I)
Supongamos que f no es acotada en x = a. De manera arbitraria definimosf (0) = 0 (o cualquier valor) y usamos la regla de trapecio para calcular laintegral, o podemos usar fórmulas de cuadratura que no usen los extremosdel intervalo de integración [a,b].
Ejemplo. Tenemos que
∫ 1
0
dx
x1/2= 2. Numéricamente, obtenemos
n Trapecio n C. Gaussiana32 1.8427 2 1.6506864 1.8887 3 1.75086
128 1.9213 4 1.80634512 1.9606 10 1.91706
1024 1.9721 32 1.97321
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¿ Y si ignoramos la singularidad? (II)
Este forma de estimar el valor de la integral puede fallar si el integrandooscila:
Ejemplo. Tenemos que
∫ 1
0
1
xsin
1
xdx = 0.624713.
n Trapecio32 2.312364 1.6946
128 -0.6083256 1.2181512 0.7215
1024 0.3178
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Intervalos de longitud infinita (I)
Sea a ≥ 0. Queremos calcular∫ ∞
af (x)dx = lim
r→∞
∫ r
af (x)dx
Podemos repetir algunos de los argumentos anteriores. Por ejemplo, Sitenemos una sucesión a < r0 < r1 < ... que converge a infinito y queremoscalcular
∫ ∞
0f (x)dx =
∫ r0
0f (x)dx+
∫ r1
r0
f (x)dx+ ...
y paramos cuando
�
�
�
�
�
∫ rn+1
rn
f (x)dx
�
�
�
�
�
< ε. Es claro que este procedimiento
permite obtener un valor para integrales divergentes, como∫ ∞
1
dx
x.
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Intervalos de longitud infinita (II)
Otra forma es usando sumas de Riemann. Si dividimos el intervalo [a,∞) ensubintervalos de la forma [a+ ih,a+ (i+ 1)h]. Podemos aproximar la integralusando sumas de Riemann evaluadas en los extremos derechos,
∫ ∞
af (x)dx ≈ RR(f ;h) = h
∞∑
i=0
f (a+ (i+ 1)h),
o evaluando en los extremos izquierdos,∫ ∞
af (x)dx ≈ RL(f ;h) = hf (a) +RR(f ;h)
El promedio de las dos sumas da la regla del trapecio,∫ ∞
af (x)dx ≈ T(f ;h) =
1
2hf (a) +RR(f ;h)
Por razones computaciones, hay que truncar la serie.
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Intervalos de longitud infinita (III)
Ejemplo.Consideremos la integral
∫ ∞
0e−x
2dx =
1
2π ≈ 0.8862269255.
Usando la regla del trapecio, para diferentes valores h, obtenemos losiguiente:
h n T(f ;h)1.00 6 0.88631860240.80 7 0.88622728130.60 9 0.88622692550.40 14 0.8862269255
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Intervalos de longitud infinita (IV)
La transformación y = e−x, cambia el intervalo a ≤ x <∞ en 0 < y ≤ e−a. Así,
∫ ∞
af (x)dx =
∫ e−a
0
f (− lny)
ydy =
∫ e−a
0
g(y)
ydy
• La sustitución cambia el problema a una integral en un intervalo finito.
• Si g(x)/x es acotada en la vecindad de x = 0, entonces podemoscalcular su integral con relativa facilidad.
• Si no es acotada, hay que buscar la forma apropiada de realizar elcálculo.
Otros cambios de variable
x = 1/(1 + e−y) 0 ≤ x ≤ 1; −∞ ≤ y ≤∞x = (ey − 1)/(ey + 1) −1 ≤ x ≤ 1; −∞ ≤ y ≤∞x = ey 0 ≤ x ≤∞; −∞ ≤ y ≤∞
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Truncamiento del intervalo infinito (I)Se puede analizar el comportamiento de la integral
∫ ∞
rf (x)dx
y tratar de determinar un valor para r que haga que podemos despreciar elvalor de la integral en [0,∞].
Ejemplo. Calcular
∫ ∞
0e−x
2dx.
Puesto que para k ∈ N, si x ≥ k entonces kx ≤ x2. Así,∫ ∞
ke−x
2dx ≤
∫ ∞
ke−kx dx = e−k
2/k.
Para k = 4 se tiene que e−k2/k ≈ 10−8, de modo podemos aproximar
∫ ∞
0e−x
2dx ≈
∫ 4
0e−x
2dx
y calcular la integral con cualquier método estándar.
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Cuadratura Gaussiana (I)Para obtener fórmulas como
∫ ∞
0w(x)f (x)dx
donde xk y wk son determinados para que la fórmula sea exacta parapolinomios de grado a lo mas 2n+ 1. Hay que elegir una función para la cual
∫ ∞
0w(x)dx <∞
Para calcular integrales de la forma∫ ∞
0e−xf (x)dx =
n∑
k=1
wkf (xk)
Es común usar funciones como los polinomios de Laguerre:
L(α)n
(x) =n∑
m=0(−1)m
�
n+ αn−m
� xm
m!, α > −1,
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Cuadratura Gaussiana (II)
los cuales cumplen con la propiedad∫ ∞
0xαe−x
�
L(α)n
(x)�2
dx =Γ(n+ α + 1)
n!
Entonces
∫ ∞
0e−xf (x)dx =
n∑
k=1
wkf (xk) +(n!)2
(2n)!f (2n)(ξ), 0 < ξ <∞.
donde xk son los ceros del polinomio de Laguerre Ln(x) = L(0)n (x), y
wk =xk
[Ln+1(xk)]2.
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