Clase No. 21: Diferenciación numérica: Método de Euler...

Clase No. 21:

Diferenciación numérica:Método de Euler explícito

MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 30.10.2013 1 / 27

Introducción (I)

• Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona a una funciónde una o varias variables con sus derivadas.

• Si la solución es una función de una sola variable, entonces decimosque la ecuación es ordinaria.

• De manera general, una ecuación ordinaria es de la forma

dny

dxn= f (x, y(x), y′(x), ..., y(n−1)(x) ).

• La derivada de mayor orden determina el orden de la ecuacióndiferencial.


Introducción (II)• También podemos tener un sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias. En este caso tenemos n funciones y1(x),y2(x), ...,yn(x) talesque

dy1

dx= f1(x, y1(x), y2(x), ... ,yn(x) )

dy2

dx= f2(x, y1(x), y2(x), ... ,yn(x) )

......

...dyn

dx= fn(x, y1(x), y2(x), ... ,yn(x) )

Escrito de manera más compacta,

dy

dx= f(x,y(x)), con y(x) = (y1(x), y2(x), ... ,yn(x)),

Así, y : R→ Rn, y f : Rn+1 → Rn.


Introducción (III)

• Hay que especificar el intervalo en que queremos encontrar la solución.

• También necesitamos una condición auxiliar para encontrar la solucióndel problema.

• Un problema de valor inicial (PVI) para una ecuación diferencial deprimer orden:

dydx = f(x,y(x)), x ∈ [x0,x1]

y(x0) = y0.(1)

• Una ecuación de orden n la podemos transformar en un sistema deecuaciones de primer orden mediante

y1(x) = y(x), yi+1(x) = y(i)(x), i = 1, ...,n− 1.

y1(a) = y(a), · · · ,yn−1(a) = y(n−1)(a)


Existencia y unicidad

• Tenemos el teorema de Peano, que nos dice que si f(x,y) es continua enun dominio Ω, que contiene al punto inicial (x0,y0), entonces la soluciónexiste en un intervalo alrededor de x0.

• La unicidad puede estar garantizada si la función f es Lipschitz continuaen Ω respecto a y. Esto es, existe L tal que

‖f(x,y1)− f(x,y2)‖ < L‖y1 − y2‖

para todo (x,y1), (x,y2) ∈ Ω.

• El cálculo de la solución del problema de valor inicial puede requerir eluso de algún método numérico.

Teorema de existencia y unicidad

Si existe un dominio Ω que contiene a la condición inicial (x0,y0) en el quela función f(x,y) es continua y es Lipschitz en y, entonces existe una únicasolución al PVI (1) en el intervalo [x0 − δ,x0 + δ] con δ > 0.


Métodos numéricos de solución

• En general, se define el intervalo [a,b] en el que se quiere calcular lasolución.

• Se discretiza el intervalo

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

para tratar de calcular el valor de la solución en puntos xi, yi ≈ y(xi).

• Frecuentemente la distribución de los nodos es uniforme, por lo que elvalor h = xi+1 − xi es constante.

• Hay métodos iterativos en los que se les da un valor inicial a todas lasvariables yi, y el algoritmo intenta ir corrigiendo sus valores yi hasta queconverja a la solución (numérica).

• Otros métodos se basan en estimar el valor yi a partir de valores previosyi−1,yi−2, ..., ya determinados. Como esto permite calcular el valor enxi = xi−1 + h, a h se le llama el tamaño de paso.


Relación con integración

Resolver una ecuación diferencial y el cálculo de integrales estánrelacionados. Consideremos el problema de valor inicial:

dy

dx= f (x,y) x ∈ [a,b]

y(a) = y0

Integrando de t a t + h ambos miembros obtenemos

∫ t+h

t

dy

dxdx =

∫ t+h

tf (x,y) dx =⇒ y(t + h) = y(t) +

∫ t+h

tf (x,y(x)) dx

Si reemplazamos la integral por alguna de las reglas de cuadratura vistasanteriormente podemos obtener una fórmula para resolver la ecuacióndiferencial.


Relación con series de Taylor

Suponemos que y tiene una expansión en series de Taylor:

y(x + h) = y(x) + hy′(x) +h2

2y′′(x) + ...+

hm

m!y(m)(x) + ...

• Lo usual es truncar la serie después de cierta cantidad de términos.

• Si truncamos después de m + 1 términos, decimos que obtenemos unmétodo basado en series de Taylor de orden m.

• Lo que resta es aproximar las derivadas que permanecen en laexpresión o calcularla una a partir de la anterior.


Método de Euler (I)

Queremos resolver el problema de valor inicial

dy

dx= f (x,y) x ∈ [a,b]

y(a) = y0

Al usar un método basado en series de Taylor de orden 1, obtenemos elmétodo de Euler:

y(x + h) ≈ y(x) + hy′(x) = y(x) + hf (x,y(x))

Dividimos el intervalo en n partes iguales:

a = x0 < x1 < · · · < xn = b, xi = xi−1 + h, h =b− a

n.

Si denotamos por yi al valor que se obtiene por el el método de Euler en xi,entonces

yi = yi−1 + hf (xi−1,yi−1), i = 1,2, ...,n.


Método de Euler (II)

Otra forma de obtener el método de Euler es mediante integración,aproximando la integral por un rectángulo cuya altura es igual al integrandoevaluado en el límite inferior de la integral:

y(x + h) = y(x) +

∫ x+h

xf (t,y(t)) dt ≈ y(x) + hf (x,y(x))

Ejemplo 1. Considere el problema de valor inicial

dy

dx= y x ∈ [0,5]

y(0) = 1


Método de Euler (III)

0 1 2 3 4 5

050

100

150

c(0, 5)

c(0,

max

(vs)

)

0 1 2 3 4 5

050

100

150

c(0, 5)c(

0, m

ax(v

s))

n = 50 n = 150

Comparación entre la solución analítica y la que se obtiene con el métodode Euler.


Método de Euler (IV)


dy

dx=p

y x ∈ [0,2]

y(0) = 0

Tenemos dos soluciones:

y(x) =x2

4,

y

y(x) = 0.

Si aplicamos el método de Euler con n = 20, se tiene el siguiente resultado


Método de Euler (V)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

c(0, b)

c(0,

max

(vs)

)


Método de Euler (VI)


dy

dx= ycosx x ∈ [0,8π]

y(0) = 1

0 5 10 15 20 25

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

X

Y

h = 0.09856


Método de Euler (VII)

0 5 10 15 20 25

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

X

Y

h = 0.00614


Interpretación geométrica (I)

En el método de Euler explícito se da un paso de tamaño h en dirección dela tangente:

y′ = − sinx, y(0) = 1

0 2 4 6 8

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

X

Y


Estabilidad de la solución (I)

De esta forma, la solución numérica del PVI requiere una discretización delintervalo [a,b]:

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

Tenemos que h(i) = xi+1 − xi, para i = 0, ...,n− 1.

• Si h(i) es constante, h(i) = (b− a)/n.

• Si h(i) es variable, decimos que el método de solución es adaptativo.

Vamos a denotar por yi a la aproximación numérica de la solución del PVI enxi, mientras que y(xi) denota a la solución exacta.

La solución numérica está formada por el conjunto de aproximacionesyin

i=1.

Estabilidad

Decimos que la solución numérica yini=1 para el PVI con condición inicial

y(a) = y0 es estable si para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que yini=1 es

la solución numérica con condición inicial y(a) = y0 y ‖y0 − y0‖ < δ, se debetener que ‖yi − yi‖ < ε para todo i = 1, ...,n.


Estabilidad de la solución (II)

Se dice que la solución numérica es asintóticamente estable cuando

‖y0 − y0‖ < δ =⇒ limi→∞‖yi − yi‖ = 0.


Estabilidad del método de Euler

Consideremos el PVI:

dy

dx= λy

y(0) = 0

Entonces

yk+1 = yk + hλyk

De aquí que

yk+1 = (1 + hλ)ky0

De la definición de estabilidad, para que el método de Euler sea estable sedebe cumplir

|1 + hλ| ≤ 1.


Error del método de Euler

También se puede definir el error local de truncamiento como

L(x,y; h) = y(x + h)− [y + hf (x,y)].

Puesto que y(x + h) = y(x) + hy′(h) + h2

2 y′′(ξ), entonces

L(x,y; h) =h2

2y′′(ξ) = O(h2)

Este error determina como afecta la aproximación a los pasos subsecuentes,es decir, la propagación del error.


Métodos basados en series de Taylor (I)

Para obtener un método basado en series de Taylor de orden superiorpodemos simplemente derivar la función f .

Ejemplo.

dy

dx=

x

y + 1x ∈ [0,4]

y(0) = 0

Puesto que y′ = xy+1 , entonces

y′′ =1

y + 1−

xy′

(y + 1)2

y′′′ = −y′

(y + 1)2−

(y + 1)(y′ + xy′′)− 2x(y′)2

(y + 1)4

Así, podemos obtener un método de tercer orden:


Métodos basados en series de Taylor (II)

1 Tenemos el valor yi en xi.

2 Calculamos y′i

=xi

yi + 1.

3 Calculamos y′′i

=1

yi + 1−

xiy′i

(yi + 1)2

4 Calculamos y′′′i

= −y′i

(yi + 1)2−

(yi + 1)(y′i + xiy′′i )− 2xi(y

′i )2

(yi + 1)3

5 Calculamos yi+1 = yi + hy′i

+h2

2y′′

i+

h3

6y′′′

i.

Comparamos este método con Euler y la solución analítica, la cual esy =p

x2 + 1− 1.


Métodos basados en series de Taylor (III)

Euler Taylor de orden 3

0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

c(0, b)

c(0,

max

(vs)

)

0 1 2 3 40.

00.

51.

01.

52.

02.

53.

0

c(0, b)

c(0,

max

(vs)

)

n = 10 n = 10


Método trapezoidal (I)

Regresando a la relación entre resolver ecuaciones diferenciales ordinarias eintegrales:

y(t + h) = y(t) +

∫ t+h

tf (x,y(x)) dx

Si aproximamos la integral por la regla del trapecio, obtenemos un métodoimplícito:

yi+1 = yi +1

2h[f (xi,yi) + f (xi+1,yi+1)]

En este caso es un método implícito de un paso. Esto nos conduce a unsistema de ecuaciones.


Método trapezoidal (II)

0 5 10 15 20 25

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

X

Y

Solucion analiticaEuler explicito (n=100)


Método trapezoidal (III)

0 5 10 15 20 25

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

X

Y

Solucion analiticaTrapecio (n=100)


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