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Clase No. 29:

Introducción a EDP:Ecuaciones parabólicas

MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 02.12.2015 1 / 23

EDPs parabólicas (I)

El ejemplo más común es la ecuación de calor 1D

ut = auxx

donde u = u(x, t) representa como evoluciona la temperatura en el puntoconforme el tiempo t pasa.

El coeficiente a(·) se le llama el coeficiente de difusión. Debe ser unacantidad no negativa.

El coeficiente de difusión puede variar espacialmente. En ese caso laecuación difusión es de la forma

ut =∂

∂x(a(x)ux) .

Para modelar el caso en que una varilla es calentada por una fuenteexterna, la ecuación que modela como el calor se distribuye por lavarilla es

ut = auxx + ϕ(x)


EDPs parabólicas (II)

Para resolver esta ecuaciones en [0,X]× [0,T] hay que agregar unacondición inicial,

u(x,0) = f (x) x ∈ [0,X],

y condiciones de frontera, por ejemplo, tipo Dirichlet:

u(0, t) = g1(t), u(X, t) = g2(t) t ∈ [0,T],

Podemos usar un esquema explícito para resolver el problema:

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.

20.

20.

61.

0

c(−1.2, 1.2)

c(−

0.2,

1.2

)

● ● ●

●

( j, i)( j−1, i) ( j+1, i)

( j, i+1)


EDPs parabólicas (III)

Por ejemplo para resolver

ut = auxx (x, t) ∈ (0,X)× (0,T]

u(x,0) = f (x) x ∈ [0,X]

u(0, t) = 0 t ∈ (0,T]

u(X, t) = 0 t ∈ (0,T]

aplicando un esquema de diferencias finitas, obtenemos

ui+1j − uij

∆t= a

uij−1 − 2uij + uij+1

∆x2

Esto nos da un esquema de primer orden en el tiempo y de segundo ordenen el espacio.

El esquema es explícito:

ui+1j = αui

j−1 + (1− 2α)uij+ αui

j+1

donde


EDPs parabólicas (IV)

α =a∆t

∆x2,

se llama el número de Peclet.

Podemos escribir lo anterior en forma matricial:

ui+1 =

1− 2α αα 1− 2α α

. . .. . .

. . .α 1− 2α α

α 1− 2α

ui

Esto es

ui+1 = Aui,

de modo que

ui+1 = Ai+1u0.


EDPs parabólicas (V)

Si al inicio tenemos un error e0, entonces el error propagado en el instante ies

ei = Aie0.

Si expresamos el error en términos de los eigenvectores de A, se tiene que

e0 =n∑

l=1

clvs → ei =n∑

l=1

clλilvl.

De este modo, para que los errores no crezcan exponencialmente, debeocurrir que

maxl|λl| ≤ 1 l = 1, ...,n− 1.

Si se tiene que ‖A‖ ≤ 1, se cumple lo anterior. Como

‖A‖∞ = 2α + |1− 2α|,


EDPs parabólicas (VI)

debemos tener que

‖A‖∞ ≤ 1 −→ α ≤1

2.

Es decir, tomamos el tamaño de paso temporal como

∆t ≤∆x2

2a.


Método implícito

Cambiamos la aproximación de la derivada espacial:

ui+1j − uij

∆t= a

ui+1j−1 − 2ui+1

j + ui+1j+1

∆x2

−αui+1j−1 + (1 + 2α)ui+1

j − αui+1j+1 = ui

j

donde

α =a∆t

∆x2.

Esto nos conduce a un sistema de ecuaciones lineales que hay resolver encada instante de tiempo.


Método de Crank-Nicholson (I)

La aproximación de la derivada temporal

ui+1j − uij

∆t

puede ser considerada como una aproximación de la derivada en (xj, ti+ 12

)

mediante diferencias centrales.Por otra parte, tenemos que

∂2u

∂x2(xj, ti) ≈

uij−1 − 2uij + uij+1

∆x2

∂2u

∂x2(xj, ti+1) ≈

ui+1j−1 − 2ui+1

j + ui+1j+1

∆x2

El método de Crank-Nicholson aproxima la derivada espacial es el punto(xj, ti+ 1

2) como el promedio de las dos aproximaciones anteriores.


Método de Crank-Nicholson (II)

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−0.

20.

20.

61.

0

c(−1.2, 1.2)

c(−

0.2,

1.2

)

● ● ●

●● ● ●

( j, i)( j−1, i) ( j+1, i)

( j−1, i+1) ( j, i+1) ( j+1, i+1)

x

Entonces para 1 ≤ j ≤M− 1 y 2 ≤ j ≤ L aproximamos las primeras ysegundas derivadas parciales respecto a x como el promedio en el instante iy i+ 1, de modo que

ui+1j − uij

∆t=

a

2

ui+1j+1 − 2ui+1

j + ui+1j−1

∆x2+uij+1 − 2uij + uij−1

∆x2


Método de Crank-Nicholson (III)

Agrupando los términos

−αui+1j+1 + 2(1 + α)ui+1

j − αui+1j−1 = αui

j+1 + 2(1− α)uij+ αui

j−1

donde

α =a∆t

∆x2.

Falta incorporar las condiciones iniciales y de frontera.De este modo obtenemos un sistema de la forma

Aui+1 +bi+1 = Bui +bi.

donde bi+1 y bi son vectores que están asociados a las condiciones defrontera.


Estabilidad del método de C-N (I)

Supongamos que la expresión

Aui+1 +bi+1 = Bui +bi.

representa el cálculo de los vectores ui libre de error.En la práctica tenemos errores εi y εi+1 tales que

A(ui+1 + εi+1) +bi+1 = B(ui + εi) +bi

Entonces

Aεi+1 = Bεi =⇒ εi+1 = A−1Bεi

Se puede ver que los eigvalores del producto de las matrices es

λk =2− 4α sin2(kπ/2N)

2 + 4α sin2(kπ/2N)

Si α→ 0, entonces λk → 1.


Estabilidad del método de C-N (II)

Si α→∞, entonces λk → −1.

Lo anterior indica que para cualquier valor positivo de α se tiene que

|λk | < 1

Esto indica que el método de Crank-Nicholson es incondicionalmenteestable.


Ejemplo (I)

Consideremos el problema

ut = uxx

u(x,0) = sin(πx/X).

u(0, t) = 0.

u(X, t) = 0.

para x ∈ [0,1] y t ∈ [0,10]. La solución analítica del problema es

u(x, t) = sin(πx/X) exp(−π2t/X2).

Para el esquema FTCS, la solución es estable si

∆t

∆x2<

1

2.

Si ∆x = 0.01, entonces podemos elegir ∆t = 0.000045, de modo queN = 22223.


Ejemplo (II)

0e+ 00

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Solución analítica y numérica para el esquema FTCS


Ejemplo (III)

0.0e+ 00

5.0e-05

1.0e-04

1.5e-04

2.0e-04

2.5e-04

3.0e-04

3.5e-04

4.0e-04

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

E(ti) =

√

√

√

√

M∑

j=0

[uij − u(xj, ti)]2, para el esquema FTCS


Ejemplo (IV)

0.0000

0.0005

0.0010

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

E(ti) =

r

∑Mj=0[uij − u(xj, ti)]2

r

∑Mj=0 u(xj, ti)2

, para el esquema FTCS


Ejemplo (V)

0.0000

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0.0007

0.0008

0.0009

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

E(ti) =

r

∑Mj=0[uij − u(xj, ti)]2

r

∑Mj=0 u(xj, ti)2

, para el esquema C-N


Ejemplo: Flujo monofásico en un medio poroso (I)

•(x1, x2, x3)

∆x1

∆x2

∆x3

Denotamos porϕ – la porosidad del medioρ – densidad

u = (u1,u2,u3) – Velocidad del flujoq – fuentes externas y sumideros

Sea (x1,x2,x3) es el centroide del cubo. El flujo de masa en la dirección xi esρui.


Ejemplo: Flujo monofásico en un medio poroso (II)

El flujo de entrada a través de la superficie en x1 − ∆x1/2 por unidad detiempo es:

•(x1, x2, x3)

x1 − ∆x1

2

(ρu1)x1−

∆x12 ,x2 ,x3

∆x2∆x3.

El flujo de masa de salida en x1 + ∆x1/2 es:

•(x1, x2, x3)

x1 − ∆x1

2

(ρu1)x1+

∆x12 ,x2 ,x3

∆x2∆x3.

Similarmente se tienen los flujos de masa en las otras direcciones.


Ejemplo: Flujo monofásico en un medio poroso (III)

La acumulación de masa debida a la compresibilidad por unidad de tiempoes

∂(ϕρ)

∂t∆x1∆x2∆x3,

y el decremento o acumulación de masa debido a la fuente q (masa porunidad de volumen por unidad de tiempo) es

−q∆x1∆x2∆x3.

La diferencia entre la masa de entrada y salida debe ser igual a laacumulación de masa en el cubo:

h

(ρu1)x1−∆x1

2 ,x2,x3− (ρu1)x1+

∆x12 ,x2,x3

i

∆x2∆x3

+h

(ρu2)x1,x2−∆x2

2 ,x3− (ρu2)x1,x2+

∆x22 ,x3

i

∆x1∆x3

+h

(ρu3)x1,x2,x3−∆x3

2− (ρu3)x1,x2,x3+

∆x32

i

∆x1∆x2 =�

∂(ϕρ)

∂t− q

�

∆x1∆x2∆x3


Ejemplo: Flujo monofásico en un medio poroso (IV)

−(ρu1)x1+∆x1/2,x2,x3 − (ρu1)x1−∆x1/2,x2,x3

∆x1

−(ρu2)x1,x2+∆x2/2,x3 − (ρu2)x1,x2−∆x2/2,x3

∆x2

−(ρu3)x1,x2,x3+∆x3/2 − (ρu3)x1,x2,x3−∆x3/2

∆x3=

∂(ϕρ)

∂t− q

Tomando ∆xi → 0, obtenemos la ecuación de conservación de masa:

∂(ϕρ)

∂t= −∇ · (ρu) + q.

Se puede aplicar la aproximación

∂(ϕρ)

∂t= ϕ

∂ρ

∂t+ ρ

∂ϕ

∂t≈ ϕρcf

∂p

∂t+ ρϕ0cR

∂p

∂t= ρ(ϕcf + ϕ0cR)

∂p

∂t

donde p es la presión en el dominio.


Ejemplo: Flujo monofásico en un medio poroso (V)

Si ct = ϕcf + ϕ0cR y aplicamos la ley de Darcy

u = −k

μ∇p,

tenemos que la ecuación que modela a la presión en el medio está dada por

ρct∂p

∂t= ∇ ·

�

kρ

μ∇p�

+ q


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